2020届内蒙古自治区巴彦淖尔市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，若复数()()121z i i =+-，则z 的虚部是（ ） A ．3 B ．3iC ．1D ．i【答案】C【解析】利用复数的乘法运算法则计算可得复数z ，根据复数的概念可得答案. 【详解】2(12)(1)1223z i i i i i i =+-=-+-=+，所以复数z 的虚部为1. 故选：C 【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，考查了复数的概念，属于基础题.2．已知集合A ，B 均为全集{}1,2,3,4,5U =的子集，且(){}3,4U A B =U ð，{}1,2B =，则集合A 可以有（ ）种情况A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】根据(){}3,4U A B =U ð得到{}1,2,5A B =U ，故{}{}51,2,5A ⊆⊆得到答案. 【详解】∵{}1,2,3,4,5U =，(){}3,4U A B =U ð，∴{}1,2,5A B =U ∵{}1,2B =，于是{}{}51,2,5A ⊆⊆∴集合A 可以是{}5、{}1,5、{}2,5、{}1,2,5四种情况. 故选：C 【点睛】本题考查了集合的运算和子集问题，意在考查学生的计算能力.3．已知命题p ：角α的终边在直线y =上，命题q ：()3k k Z παπ=+∈，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】对命题p 根据终边相同的角的概念进行化简可得可得答案. 【详解】角α的终边在直线y =上()23k k παπ⇔=+∈Z 或23k παππ=++()()213k k ππ=++∈Z ()3k k παπ⇔=+∈Z ，故p 是q 的充分必要条件，故选：C. 【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 4．若0.33a =，2log 1.2b =，0.2log 1.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】根据指数函数3xy =为递增函数可得1a >，根据对数函数2log y x =为递增函数可得01b <<，根据对数函数0.2log y x =为递减函数可得0c <，由此可得答案. 【详解】因为0.30331a =>=，222log 10log 1.2log 21=<<=，0.20.2log 1.5log 10c =<=， 所以a b c >>. 故选：A 【点睛】本题考查了指数函数的单调性，考查了对数函数的单调性，关键是找中间变量，属于基础题.5．已知两个非零向量a r ，b r满足()24,5a b +=r r ，()23,5a b -=-r r ，则a b ⋅r r 的值为（ ） A ．1 B ．－1C ．0D ．－2【答案】B【解析】根据已知向量的坐标求出向量,a b rr 的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示计算可得. 【详解】 因为1111[2(2)(2)][2(4,5)(3,5)][(8,10)(3,5)](5,15)(1,3)5555a ab a b =++-=+-=+-==r r r r r，所以(2)2(4,5)(2,6)(2,1)b a b a =+-=-=-r r r r， 所以(1,3)(2,1)1231a b ⋅=⋅-=⨯-=-rr .故选：B 【点睛】本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 6．已知数列{}n a 是首项为12a =，公比2q =的等比数列，且1n n n b a a +=+.若数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（ ）A ．323n ⋅-B ．1323n +⋅-C ．32n ⋅D ．1326n +⋅-【答案】D【解析】根据题意得到2nn a =，32n n b =⋅利用等比数列公式计算得到答案.【详解】由题设条件知2nn a =，于是122n n n b +=+，即32n n b =⋅， ∴21323232326n n n S +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅-故选：D . 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用. 7．已知a ，b R ∈，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域为M ，不等式组2222a b a b -≤⎧⎨-≥-⎩表示的平面区域为N .在平面区域M 内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面区域N 的概率是（ ） A ．78B ．67C ．89D ．45【答案】A【解析】作出平面区域,M N ，计算区域,M N 的面积，根据几何概型的概率公式可得答案. 【详解】如图所示，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域M 为图中的阴影部分所表示的区域，易知直线22a b -=-分别交直线1a =-与b 轴于点11,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,1F .所以12BE =，1BF =. 所以111112224BEFS BE BF ∆=⋅=⨯⨯=， 易得DHG BEF ∆∆≌， 因此14DHG BEF S S ∆∆==，故阴影部分的面积21722242ABCD BEF S S S ∆=-=-⨯=， 于是豆子始终滚不出平面区域N 的概率为()2771722248ABCDS P A S ===⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查了几何概型的面积型的概率公式，准确求出面积是解题关键，属于基础题. 8．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）A ．620π+B ．916π+C ．918π+D ．2063π+【答案】C【解析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为32，高为3，而球体的半径为3，所以该组合体的体积为：314113332329182332V V Vππ=+=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+半球体三棱锥.故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题. 9．已知()f x是定义在R上的奇函数，当0x≥时，()21xf x=-，若()()26f a f a->-，则实数a的取值范围是（）A．()(),23,-∞-+∞U B．()3,2-C．()2,3-D．()(),32,-∞-+∞U【答案】C【解析】画出函数图像得到函数单调递增，利用函数的单调性得到26a a->-，计算得到答案.【详解】()f x是奇函数，当0x≥时，()21xf x=-设0x<则0x->，()21xf x--=-，故()()112xf x f x⎛⎫--=⎝-⎪⎭=即()21,011,02xxxf xx⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数()f x的图像如图所示：结合图像可知()f x 是R 上的增函数 由()()26f a f a ->-，得26aa ->-解得23a -<<，故选：C . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，判断函数的单调性是解题的关键.10．已知双曲线1C ：2221142x y m m-=+-，当双曲线1C 的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线2C ：()220y px p =>的焦点、若A 、B 是抛物线2C 上两点，8AF BF +=，则AB 中点的横坐标为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B【解析】根据二次函数取得最小值的条件，求得1m =，从而可得双曲线方程，再根据双曲线的焦点坐标求得抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程，然后根据抛物线的定义和中点坐标公式可得答案. 【详解】由题意可得420m ->，即有2m <，由()22214214c m m m =++-=-+，可得当1m =时，焦距2c 取得最小值，所以双曲线的方程为22122x y -=，于是1C 右焦点为()2,0，即抛物线2C 的焦点为()2,0， 所以22p=，4p =，则抛物线2C ：28y x =， 准线方程2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴12||||228AF BF x x +=+++=，解得124x x +=， ∴线段AB 的中点横坐标为2. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质，考查了二次函数求最值，考查了抛物线的定义，属于基础题.11．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，6b =，且a c +=A 的大小为（ ） A ．25π B ．27π C ．512π D ．12π【答案】D【解析】根据正弦定理6sin sin sin3a cA C π==以及a c +=sin 62A π⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得答案. 【详解】由正弦定理得6sin sin sin3a cA C π==2sin sin sin sin 3a c a c A C A A π++==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则2sin sin 3a c A A π⎤⎛⎫+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦1sin cos sin 22A A A ⎤=++⎥⎦3sin cos 22A A ⎤=+⎥⎦112sin cos 12sin 226A A A π⎤⎛⎫=+=+⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，又∵a c +=∴12sin 6A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 于是64A ππ+=或34π（舍），故12A π=. 故选：D【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式的逆用，属于中档题. 12．已知函数()()21ln 12f x x a x a x =--++（其中1a >），则函数()f x 零点的个数为（ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】求导得到()()()1x x a f x x--'=-得到函数的单调区间，计算()10f >，()()22ln 220f a a a +=-+<得到答案.【详解】()()()11x x a af x x a x x--'=--++=-（其中0x >）. 故01x <<或x a >时()0f x '<，1x a <<时()0f x '>， 即()f x 在()0,1和(),a +∞单调递减，在()1,a 单调递增. 由于()112f a =+，而1a >，所以()10f >， 又()()22ln 220f a a a +=-+<，所以函数()f x 有唯一零点 故选：B . 【点睛】本题考查了函数的零点问题，求导得到函数的单调区间是解题的关键.二、填空题13．设函数()()cos axf x x a R x=-∈，若()2019f =()2019f -=______.【答案】【解析】根据定义判断出函数()f x 为奇函数，再根据奇函数的性质可得答案. 【详解】 因为函数()()cos ax f x x a R x =-∈的定义域是{|x x R ∈且,2x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭，是关于坐标原点对称的，当0a =时，()f x x =-是奇函数； 当0a ≠时，()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数；综上，对任意a R ∈，都有()f x 是奇函数.所以()()20192019f f -=-=故答案为：【点睛】本题考查了奇函数定义，考查了奇函数的性质，属于基础题. 14．2291sin cos αα+的最小值为______.【答案】16【解析】利用22sin cos 1αα+=将2291sin cos αα+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【详解】∵22sin cos 1αα+=，∴()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=…，当且仅当23sin 4α=，21cos 4α=时“=”成立， 故2291sin cos αα+的最小值为16.故答案为：16 【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.15．已知四面体M DEF -中，3DEF π∠=，DF =，ME DE ⊥，ME EF ⊥，4ME =，则该四面体的外接球的体积为______.【解析】先确定ME ⊥平面DEF ，将四面体M DEF -补成以DEF ∆为底面ME 为侧棱的直三棱柱，利用正弦定理得到2r =，再计算R ==计算得到答案. 【详解】∵ME DE ⊥，ME EF ⊥，∴ME ⊥平面DEF ，将四面体M DEF -补成以DEF ∆为底面ME 为侧棱的直三棱柱， 该三棱柱的外接球就是四面体M DEF -的外接球， 由题知，球心到平面DEF 的距离为2，DEF ∆外接圆的半径为22sin BC r BAC ===∠， ∴该三棱锥外接球的半径R ==∴该球的外接球的体积为(343π⨯⨯=故答案为：3【点睛】本题考查了四面体的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______.【答案】512π 【解析】根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin B A =sin C 得到1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得到答案.【详解】 因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+由2sin sin B A C =结合正弦定理，得2b =所以2sin 2cos ac B ac B =+，)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=. 故答案为：512π【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.三、解答题17．已知{}n a 为等比数列，且各项均为正值，2116a =，463916a a a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4log n n b a =，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】（1）14n na =；（2）1n nT n =+. 【解析】(1) 设数列{}n a 的公比为q ，根据条件求出q 和1a ，则可得通项公式；(2)求出n b 后，利用裂项求和法可求得结果. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q .由463916a a a a =得225616a a =，所以2116q =由条件可知0q >，故14q =，由2116a =，得114a =.故数列{}n a 的通项公式为14n n a =；（2）441log log 4n n n b a n ===-.故()1111111n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+1111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1n n =+. 所以数列11b n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n nT n =+. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，属于基础题.18．某气象站统计了4月份甲、乙两地的天气温度（单位C ︒），统计数据的茎叶图如图所示，（1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲，乙两地气温的稳定性； （2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙两地的温度之和大于或等于20C ︒，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气”，求“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率. 【答案】（1）见解析 （2）1425【解析】（1）分别计算平均值和方差比较大小得到答案.（2）列出所有可能性共有25种可能，满足条件的共有14种，计算得到答案. 【详解】（1）根据题意可知：()178101213105x =++++=甲， ()198101112105x =++++=乙， 而()()()()()2222221710810101012101310 5.25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲，()()()()()222222181091010101110121025s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，∵x x =甲乙，22s s >甲乙，∴甲、乙两地的整体气温水平相当，乙地的气温水平更稳定一些.（2）气象主管部门要从甲、乙两地连续10天中各随机抽取一天的天气温度， 设随机抽取的甲、乙两地天气温度分别为x ，y ，则所有(),x y 为：()7,8，()7,9，()7,10，()7,11，()7,12，()8,8，()8,9，()8,10，()8,11，()8,12，()10,8，()10,9，()10,10，()10,11，()10,12，()12,8，()12,9，()12,10，()12,11，()12,12，()13,8，()13,9，()13,10，()13,11，()13,12，共计25个，而20x y +≥的基本事件有()8,12，()10,10，()10,11，()10,12，()12,8，()12,9，()12,10，()12,11，()12,12，()13,8，()13,9，()13,10，()13,11，()13,12，共计14个，故满足20x y +…的基本事件共有14（个），于是“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率1425【点睛】本题考查了平均值，方差和概率的计算，意在考查学生的计算能力.19．在四棱锥S EFGH -中，EF EH ⊥，∥EH FG ，224EH FG EF ===，SH SE ==SEH ⊥平面EFGH ，M ，N 分别为SF ，GH 的中点.（1）求证：MN ∥平面SEH ； （2）求E 到平面SGH 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）433【解析】（1）取EF 的中点为P ，连接MP ，NP ，证明平面MPN P 平面SEH 得到证明.（2））取EH 的中点为O ，连接SO ，OG ，得到GHS ∆为边长为22的正三角形，计算其面积，利用等体积法S EGH E SGH V V --=，计算得到答案. 【详解】（1）取EF 的中点为P ，连接MP ，NP ，∵M ，N 分别为SF ，GH 的中点，∵MP SE P ，PN EH P ，∵MP ⊄平面SEH ，NP ⊂/平面SEH ，SE ⊂平面SEH ，EH ⊂平面SEH ， ∴MP ∥平面SEH ，PN P 平面SEH ，∵MP ⊂平面MPN ，PN ⊂平面MPN ，MP NP P =I ， ∴平面MPN P 平面SEH ，∴MN ∥平面SEH（2）取EH 的中点为O ，连接SO ，OG ，∵22SH SE ==，∴SO EH ⊥，2SO =， ∵平面SEH ⊥平面EFGH ，平面SEH I 平面EFGH EH =，∴SO ⊥平面EFGH ， ∵∥EH FG ，2EH FG =，∴EO FG P ，∴平行四边形EFGO ，∴OG EF P ， ∵EF EH ⊥，2EF =，∴OG EH ⊥，2OG =， 在Rt GOH ∆中，22222222GH OH OG ++=在Rt GOS ∆中，GS =，∴GHS ∆为边长为∴(24SGH S ∆==设E 到平面SGH 的距离为d ，∵111422323GEH S OS ∆⨯⨯⨯⨯=⨯1133S EGH E SGH SGH V V S d d --∆===⨯=⨯，解得3d =∴E 到平面SGH 的距离为3 【点睛】本题考查了线面平行，点到平面的距离公式，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A-是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）22182x y +=；（2）是，0. 【解析】(1)根据已知条件,求出,a b ,即可得到椭圆方程;(2)设直线l 的方程为12y x t =+,将其代入椭圆方程后,根据韦达定理以及斜率公式变形,可得答案. 【详解】（1）因为圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点，所以b =又离心率e =3a =，于是有222b a a bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆C ：2248x y +=，可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->， 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点的对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-， 又∵1112y x t =+，2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=. 【点睛】本题考查了求椭圆方程,考查了韦达定理,考查了斜率公式,考查了运算求解能力,属于中档题.21．已知函数()ln f x x x =-.（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()212h x f x x λ=+只有一个极值点，求实数λ的取值范围； （3）若函数()()21(2h x f x x λ=+（其中4λ>）有两个极值点，分别为1x ，2x ，且()()1212h x h x k x x +>+在区间()0,∞+上恒成立，证明：不等式ln 43k ≥-成立.【答案】（1）1y =-（2）0λ<（3）证明见解析 【解析】（1）求导得到()11f x x'=-，计算()10f '=，()1ln111f =-=-得到切线方程.（2）求导得到()2x x h x xλλ-+'=即20x x λλ-+=在()0,∞+上只有一个根0x ，得到2400λλλ⎧∆=->⎨<⎩，计算得到答案.（3）12x x λ+=，12x x λ=故()()12ln 12h x h x λλλ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，所以()()1212h x h x x x ++ln 12λλ=--，取ln 12y λλ=--，求导得到答案.【详解】（1）因为()ln f x x x =-，所以()11f x x'=-，令1x =，得()10f '=， 而()1ln111f =-=-，函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1y =-. （2）函数()()2211ln ln 22h x x x x x x x λλλ=-+=-+，其的定义域为()0,∞+， ()2x x h x xλλ-+'=，因为()h x 只有一个极值点， 故()0h x '=在()0,∞+上只有一个根0x ，即20x x λλ-+=在()0,∞+上只有一个根0x ，则2400λλλ⎧∆=->⎨<⎩，解得0λ<， 又当()10,x x ∈时，()0h x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>， ∴0x 是()h x 在()0,∞+上的唯一一个极值点，此时0λ< （3）由（2）可知12x x λ+=，12x x λ=， 而()()221211122211ln ln 22h x h x x x x x x x λλλλ+=-++-+()()2121212121ln 2x x x x x x x x λ=--++-ln 12λλλ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 于是()()1212ln 12h x h x x x λλ+=--+，令ln 12y λλ=--，则112y λ'=-∵4λ>，∴0y '<，∴ln 12y λλ=--在()4,+∞上单调递减，∴ln 43y <-，∴ln 43k ≥-成立. 【点睛】本题考查了函数的切线方程，函数的极值点，证明恒成立，变换得到()()1212h x h x x x ++ln 12λλ=--是解题的关键.22．平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）若()1,A ρα是直线l 上一点，2,3B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线C 上一点，求||||OB OA 的最大值. 【答案】（120y --=，2220x y y +-=；（2）2.【解析】(1)消去参数可得普通方程,极坐标与直角坐标互化公式可得答案; (2)根据极坐标的几何意义以及三角函数的最值可得 答案. 【详解】（1）由题，直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.消去参数t 得直线l20y --=， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程)sin 2ρθθ-=，即cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）因为()1,A ρα在直线l 上，2,3B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线C 上， 所以1cos 16πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22sin 2cos 2cos 3326ππππρααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以221||2cos 2||6OB OA ρπαρ⎛⎫==-+≤ ⎪⎝⎭， OB OA的最大值为2.【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标与直角坐标互化公式,考查了极坐标的几何意义,考查了三角函数的最值,属于中档题. 23．设函数()12f x x a x a=-++（x ∈R ，实数0a >）. （1）若()1003f <，求实数a 的取值范围； （2）求证：()f x ≥【答案】（1）133a <<；（2）证明见解析. 【解析】(1)将()1003f <化为231030a a -+<,解一元二次不等式可得答案;(2)先求出函数()f x 的最小值()min 12f x a a =+,再证明最小值12a a+≥.【详解】（1）∵0a >，∴()11100||3f a a a a =+=+<， 即231030a a -+<，解得133a <<. （2）()12f x x a x a =-++13,11,2113,2x a x a a x a x a a ax a x a a ⎧-+≥⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩，当x a ≥时，()12f x a a ≥+；当12x a a -<<时，()12f x a a>+；当12x a ≤-时，()12f x a a≥+∵1122a a a a +>+，∴()min 12f x a a =+≥=，当且仅当12a a =即2a =时取等号，∴()f x ≥. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了求分段函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.。
