高中数学 两个向量的数量积课件 新人教B版选修2

第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积高中数学选修2-1·精品课件引入课题空间中任意两个向量均为共面向量，平面向量的概念及运算在空间中仍然成立，将平面向量的数量积推广到空间向量.基础梳理1.两个向量的夹角AOB BB①定义：∠AOB 有共同起点②表示：< a ,b >ab ③范围：[0，π]2.数量积的定义 a ∙b =| a||b|cos< a ,b >3.数量积的几何意义θab b 在 a 方向上的投影| a |与b 在 a 方向上的投影的积4.数量积的运算律(1)(λa )·b ＝____________；(2)a ·b ＝____________；(3)a ·(b ＋ c )=_____________.λ(a ·b )b ·a a ·b ＋a · c 5.一个非常重要的性质|a |2=a 2=a ·a求模即为求数量积解：例1 已知正四面体P ABC 的棱长为2，E 、F 分别为AB 和PC 的中点，求PE 与BF 夹角的余弦值.CPABEF 设PA = a ，PB =b ，PC = c ，则 a ，b ， c 长度都为2，两两夹角为60°，∴ a ∙b =b ∙ c = c ∙ a =2，又PE =12(a +b)，BF =12c −b ，四个面均为全等的正三角形∴PE∙BF=12a+b∙12c−b=1 2(12a∙c+12b∙c−a∙b−b2)=12(1+1-2-4)=-2，又|PE|=|BF|=3，∴cos<PE,BF>=−23×3=−23.跟踪训练1.在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．【答案】3−225C OABC OAB几何条件向量化例2 在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.C D ABMN|MN |设AB = a ，AC =b ，AD = c ，则 a ，b ， c 长度都为a ，两两夹角为60°，∴ a ∙b = b ∙ c = c ∙ a =a 22，MN =MB +BC +CN=23AB +(AC -AB )+13(AD -AC )=−13AB +23AC +13AD = −13a+23b +13c .解：∴|MN|2=MN2=(−13a+23b+13c)2=1 9a2+49b2+19c2-49a∙b+49b∙c-29a∙c=1 9a2+49a2+19a2-19a2=59a2，∴|MN|= |MN|=53a.且BE 与FD 的夹角为120°，∴BD 2=(BE +EF +FD )2=BE 2+EF 2+FD 2+2BE ·EF +2EF ·FD +2BE ·FD=3+3+4-3=7，∴|BD |=7.跟踪训练2.把长AB 和宽AD 分别为23和2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角，求B 、D 间的距离．DABCEF解：在△ABC 内作BE ⊥AC ，垂足为E ，则BE =3，在△ACD 内作DF ⊥AC ，垂足为F ，则DF =3，则BD =BE +EF +FD ，由条件可知|EF |=2,典例分析例3 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，OA＝OB＝OC=a，OA＝a, OB＝b, OC=c，则OG=12(OM+ON)=12[12a+12(b+c)]=1 4(a+b+c)，abc解：几何条件向量化典例分析BC=c−b，(a+b+c)·( c−b)∴OG·BC=14=a·c-a·b+b·c-b2+ c2-c·b=0，∴OG⊥BC，即OG⊥BC.跟踪训练3.已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.证明:∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.∵OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|cos∠AOC－|OA||OB|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.归纳小结1．注意向量乘法的结合律是不成立的，即a·(b·c)＝(a·b)·c不成立．事实上a·(b·c)表示与a平行的向量，而(a·b)·c表示与c平行的向量．2．两个非零向量共线时，如果同向，夹角为0，如果异向，夹角为π，特别的<a，a>＝0，<a，－a>＝π.3．注意二个向量夹角的范围：[0，π]，当夹角为锐角时其余弦值为正，当夹角为钝角时其余弦值为负．反之当两向量不共线时亦成立.当堂训练1．下列式子正确的是()A ．a ·|a |＝aB ．(a ·b )2＝a ·bC ．(a ·b ) c ＝a ·(b · c )D ．|a ·b |≤|a ||b |2．若向量m 同时垂直两个向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，λ，μ≠0)则()A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m 与n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况均有可能D B再见。

3.1.3两个向量的数量积1．已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( )． A. 3 B ．2 C. 5 D. 62．已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________．4．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是______．5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .6．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．参考答案1. 解析：∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ ∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6. 答案：D2. 解析 ∵AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD→＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12， ∴a 与b 的夹角为60°.答案 C3. 解析 由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，∴a 2＋(1＋λ)a ·b ＋λb 2＝0，∴18＋(λ＋1)×32×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－32.答案 －324. 解析 不妨设棱长为2，则AB 1→＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·（BC →＋12BB 1→）22×5＝0－2＋2－022×5＝ 0，故填90°.答案 90°5. 证明 不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC→， 由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝2×2×。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B 版选修211．掌握空间向量的夹角与长度的概念．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P 85～P 86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题． 1．夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．图3­1­202．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量________，记作________．【答案】 π 垂直 a ⊥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)〈a ，b 〉与(a ，b )都表示直角坐标系下的点．( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( )(3)在正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→的夹角为45°.( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________.【答案】|a||b|cos〈a，b〉a·b0 02．空间向量数量积满足下列运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝________.【答案】a·b＋b·c3．空间向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a| cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a|·|b|.【答案】a·a下列式子中正确的是( )A．|a|a＝a2B．(a·b)2＝a2b2C．a(a·b)＝b·a2D．|a·b|≤|a||b|【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]空间向量数量积的运算(1)如图3­1­21，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，PA →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有( )图3­1­21A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对(2)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →＝________.图3­1­22(3)如图3­1­22所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求下列数量积： ①AB →·BA 1→＝________； ②AB →·BC 1→＝________.【自主解答】 (1)AB →与BC →，PA →与AB →，PA →与BC →，PA →与CA →，PB →与BC →夹角为90°. (2)AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·12AD →＝12AB →·AD →＋14BC →·AD →＝12a 2cos 60°＝14a 2. (3)①AB →·BA 1→＝1×2cos 135° ＝－1；②AB →·BC 1→＝AB →·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋AB →·CC 1→ ＝0.【答案】 (1)B (2)14a 2(3)①－1 ②01．求两向量数量积的解题思路 (1)解模：解出两向量的模．(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)求结果：使用公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉得结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．[再练一题]1．已知空间向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角为150°，求下列各式的值． (1)a ·b ；(2)(a ＋2b )·(2a －3b )．【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×8×cos 150°＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－16 3. (2)(a ＋2b )·(2a －3b )＝2a 2＋a ·b －6b 2＝2|a |2＋|a ||b |cos 150°－6|b |2＝2×42－163－6×82＝－352－16 3.求两个空间向量的夹角如图3­1­23，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，求BC →1与AC →夹角的大小．图3­1­23【精彩点拨】 (1)怎样用向量AB →，AD →，AA →1表示向量BC →1与AC →？ (2)求两向量的夹角公式是怎样的？ 【自主解答】 不妨设正方体的棱长为1， BC →1·AC →＝(BC →＋CC →1)·(AB →＋BC →)＝(AD →＋AA →1)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA →1·AB →＋AA →1·AD →＝0＋AD →2＋0＋0＝AD →2＝1， 又∵|BC →1|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC →1·AC →|BC →1||AC →|＝12×2＝12.∵0°≤〈BC →1，AC →〉≤180°， ∴〈BC →1，AC →〉＝60°. ∴BC →1与AC →夹角的大小为60 °.1．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系．当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，它们互补．2．利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤 (1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos 〈a ，b 〉； (3)定结果cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.[再练一题]2.如图3­1­24，已知直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．图3­1­24(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. ∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. [探究共研型]利用数量积求距离探究1 已知A (1,2,1)，B (2,0,2)，求|AB →|的值． 【提示】 AB →＝(1，－2,1)，∴|AB →|＝12＋－22＋12＝ 6.探究2 求两点间距离或线段的长度的方法．【提示】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．平行四边形ABCD 中，AB ＝2AC ＝2且∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求点B ，D 间的距离．图3­1­25【精彩点拨】 (1)由已知可以得出AC 与CD ，AC 与AB 垂直吗？ (2)根据AB 与CD 成60°角可建立什么方程？能直接求出|BD →|吗？【自主解答】 由已知得AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，折叠后AB 与CD 所成角为60°，于是，AC →·CD →＝0，BA →·AC →＝0，且〈BA →，CD →〉＝60°或120°.|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈BA →，CD →〉，故|BD →|2＝13或5，解得|BD →|＝13或5， 即B ，D 间的距离为13或 5.1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．2．用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a ·a ＝|a |2，求|a |； (4)|a |即为所求距离．[再练一题]3.如图3­1­26所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60°角，且OA ＝OB ＝OC ＝2，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．图3­1­26【解】 EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2.∴|EF →|＝2，即E ，F 间的距离为 2.[构建·体系]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3【解析】 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， ∴2k －12＝0，∴k ＝6. 【答案】 B2．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0，∴OA →⊥BC →.∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.【导学号：15460065】【解析】 原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 【答案】 04.如图3­1­27，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝________，|BC →－EF →|＝________，EF →与AC →所成的角为________．图3­1­27【解析】 |AB →＋BC →|＝|AC →|＝2； EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →－12BD →2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3.故|BC →－EF →|＝ 3.又因为EF →＝12BD →＝12(AD →－AB →)，故AC →·EF →＝12AC →·(AD →－AB →)＝12(AC →·AD →－AC →·AB →)＝0， 因为〈EF →，AC →〉∈[0°，180°]， 所以〈EF →，AC →〉＝90°. 【答案】 23 90°5.如图3­1­28，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .图3­1­28(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长． 【解】 (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5， ∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD → B ．DA →与PB → C.PD →与AB →D ．PA →与CD →【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3­1­29，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3­1­29A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．【答案】 C5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中正确命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝_________________.【导学号：15460066】【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，a ＋λb ·λa －2b ≠－|a ＋λb ||λa －2b |得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3­1­30，已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3­1­30【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝BB 1→－BA →·⎝⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3­1­31，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3­1­31【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB →，CD →〉＝60°.【答案】 B3．已知正三棱柱ABC ­DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CN CF＝________.【导学号：15460067】【解析】设CN CF＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →， MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】1164.如图3­1­32，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3­1­32【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝AB →＋AD →＋AA 1→2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→.∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋21×3×cos 60°＋2×3×cos 60° ＝23.。