第五节 第二类曲面积分
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曲线积分与曲面积分-第二类曲面积分第十章第五节第二类曲面积分一、主要内容(一) 第二类曲面积分的概念及性质上下内外1. 曲面的分类双侧曲面:双侧曲面.单侧曲面. 典型双侧曲面莫比乌斯带2. 曲面的侧与有向曲面侧法向量的指向有向曲面.( 1 ) 闭曲面的侧内侧:外侧:( 2 ) 非闭曲面的侧1 ) 上、下侧r ,上侧 : , , ( n , 轴 z )r , 下侧 : , , ( n , 轴 z )2 ) 左、右侧r , 右侧 : , , ( n , 轴 y ) r , 左侧 : , , ( n , 轴 y ) 3 ) 前、后侧r , 前侧 : , , ( n , 轴 x ) (, ) (后) (钝)3. 有向曲面的投影注意: 投影有正负之分投影4. 引例流向曲面一侧的流量稳定流动不可压缩稳定常流动向;量v,S 常数:不可压缩(1) 若是面积为S 的平面域, 注. vr与 t无关: 流体.=r v ,S(2) 若为有向曲面 ,―分割, 近似, 求和, 取极限‖, ,(, i ,,i ,, i ) ,, ,, v ( x, y, z ) , e n ( x, y, z ) d S,5. 定义 10.5F( x, y, z) , P( x, y, z) i , Q( x, y, z) j , R( x, y, z) k,, F ( x, y, z ) , dS,注1º 第二类曲面积分的其他表达形式F(x,y,z),dS dS ,, ,,,, [ ]dS,r rr, z )iF ( x,y, z )P(x, y,,Q( x, y, z ) j , R( x, y, z )k,, , F ( x, y, z ) , dS, ,,, P ( x, y, z )dydz , Q( x, y, z )dzdx , R( x, y, z ) dxdy2º 投影转换关系r同方向与 ne有向曲面元,d y d z , cos, d S 有向曲面元 dS分别在 x 轴、 ,, d d cos Sxzy 轴、z 轴上的, ;Sγyxd d cos d, d,,, ,,kγjβinα e x y z cos( , , ) cos cos投影去掉限制:cos , , 0, d x d y , cos, d S , (d S ) xyd y d z , cos, d S , (d S ) yzd z d x , cos , d S , (d S )zx3º如:,, z d S , 0,4º 存在性:5º6:, , ,, Pd y d z , Qd z d x , Rd x d y. ,6. 性质(1) 线性性质:(2) 可加性:(3) 有向性:研究第二类曲面积分, 必须注意曲面所取的侧.(二) 两类曲面积分之间的联系,, P ( x, y, z )dydz , Q( x, y, z )dzdx , R( x, y, z )dxdy ,, ,,[ P( x, y, z)cosα ,Q( x, y, z)cos β , R( x, y,z)cosγ ]dS,(三) 第二类曲面积分的计算法转化基本思路:情形1z , z( x, y), 上侧,Dxy ,z y 1 z x, , , e n , , ,1 , z2 , z 2 1 , z 2 , z 2 1 , z 2 , z 2x y x y x y取曲面的上侧,, R( x, y, z )d x d y,,,, R[ x, y, z( x, y)]d x d yDxy下,, R( x, y, z )d x d y,, ,, R[ x, y, z( x, y)]d x d yDxy,, R[ x, y, z( x, y)]d x d y +–,, R( x, y, z ) d x d y , Dxy,上侧正,下侧负.情形 2后–情形 3左–注 1?2?区别:d x d y , d, , 0二、典型例题例1 计算I , ,, [ f ( x, y, z ) , x]d y d z , [2 f ( x, y, z ) , y]d z d x,, [ f ( x, y, z ) , z]d x d y其中 f为连续函数, ,是平面 x y , z , 1在第四卦限部分的上侧 .+上侧解 n , (1, 1, 1 ))1,0,0( r, 1,, zyxn)0,1,0(,2, , , , ,1 1 6 1 232 2 )0,0,1( ,,d, , 当cos, , 0时,d x d y , , d, , 当cos, , 0时., 0 当cos, , 0时 ;联系:(下)-例2 计算,, xyzdxdy, 其中Σ是球面,x 2 , y 2 , z 2 , 1 外侧在x , 0, y , 0的部分 . ,2 解,1思考:注例3 计算 I , ,, ydydz xdzdx , z 2dxdy, 其中为,x 2 , y 2 被平面 z , 1, z , 2 所截部分的外侧( 锥面 z ,解(方法1)D被积函数对变量x是偶函数(方法2) 投影转换法cos,, d x d y cos,cos ,, d x d ycos,r , f n , ,( f x y , 1)x ) , Q , ( f y ) , R]dxdy , ,, [ P , ( f ,向量点积法x y, 1 , dxdy, , ,, { y, x, z 2 } , ,x 2 , y 2 x 2 , y 2 ,{ y, x, z 2 } , , , ,1,I , ,,, dxdy例4,4解 (方法1),1,6 ,5,3,2I , ,,,,,,,L,,,, [(x , y)d ydz , ( y , z)dzd x ,(z , x)d xd y],1 ,2 ,6,,,,,, ,,,, ,IL,, , 1 2 63 .3a,例5 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为q qx 2 , y 2 , z 2 ) r , E , 3 3 ( x , y , z ) ( r ,rr求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 , .解 q。