第五节 第二类曲面积分

曲线积分与曲面积分-第二类曲面积分第十章第五节第二类曲面积分一、主要内容(一) 第二类曲面积分的概念及性质上下内外1. 曲面的分类双侧曲面:双侧曲面.单侧曲面. 典型双侧曲面莫比乌斯带2. 曲面的侧与有向曲面侧法向量的指向有向曲面.( 1 ) 闭曲面的侧内侧:外侧:( 2 ) 非闭曲面的侧1 ) 上、下侧r ,上侧 : , , ( n , 轴 z )r , 下侧 : , , ( n , 轴 z )2 ) 左、右侧r , 右侧 : , , ( n , 轴 y ) r , 左侧 : , , ( n , 轴 y ) 3 ) 前、后侧r , 前侧 : ， , ( n , 轴 x ) (, ) (后) (钝)3. 有向曲面的投影注意: 投影有正负之分投影4. 引例流向曲面一侧的流量稳定流动不可压缩稳定常流动向;量v，S 常数:不可压缩(1) 若是面积为S 的平面域, 注. vr与 t无关: 流体.=r v ,S(2) 若为有向曲面 ,―分割, 近似, 求和, 取极限‖, ,(, i ,,i ,, i ) ,, ，， v ( x, y, z ) , e n ( x, y, z ) d S,5. 定义 10.5F( x, y, z) , P( x, y, z) i ， Q( x, y, z) j ， R( x, y, z) k，， F ( x, y, z ) , dS,注1º 第二类曲面积分的其他表达形式F(x,y,z),dS dS ，， ,,，， [ ]dS,r rr, z )iF ( x,y, z )P(x, y,，Q( x, y, z ) j ， R( x, y, z )k，， , F ( x, y, z ) , dS, ，，, P ( x, y, z )dydz ， Q( x, y, z )dzdx ， R( x, y, z ) dxdy2º 投影转换关系r同方向与 ne有向曲面元,d y d z , cos， d S 有向曲面元 dS分别在 x 轴、 ,, d d cos Sxzy 轴、z 轴上的, ;Sγyxd d cos d, d,,, ，，kγjβinα e x y z cos( , , ) cos cos投影去掉限制:cos , , 0, d x d y , cos, d S , (d S ) xyd y d z , cos， d S , (d S ) yzd z d x , cos , d S , (d S )zx3º如:，， z d S , 0,4º 存在性:5º6:, , ，， Pd y d z ， Qd z d x ， Rd x d y. ,6. 性质(1) 线性性质:(2) 可加性:(3) 有向性:研究第二类曲面积分, 必须注意曲面所取的侧.(二) 两类曲面积分之间的联系，， P ( x, y, z )dydz ， Q( x, y, z )dzdx ， R( x, y, z )dxdy ,, ，，[ P( x, y, z)cosα ，Q( x, y, z)cos β ， R( x, y,z)cosγ ]dS,(三) 第二类曲面积分的计算法转化基本思路:情形1z , z( x, y), 上侧，Dxy ,z y 1 z x， , , e n , , ，1 ， z2 ， z 2 1 ， z 2 ， z 2 1 ， z 2 ， z 2x y x y x y取曲面的上侧，， R( x, y, z )d x d y,,，， R[ x, y, z( x, y)]d x d yDxy下，， R( x, y, z )d x d y,, ，， R[ x, y, z( x, y)]d x d yDxy，， R[ x, y, z( x, y)]d x d y +–，， R( x, y, z ) d x d y , Dxy,上侧正，下侧负.情形 2后–情形 3左–注 1?2?区别:d x d y , d, , 0二、典型例题例1 计算I , ，， [ f ( x, y, z ) ， x]d y d z ， [2 f ( x, y, z ) ， y]d z d x,， [ f ( x, y, z ) ， z]d x d y其中 f为连续函数， ,是平面 x y ， z , 1在第四卦限部分的上侧 .+上侧解 n , (1, 1, 1 ))1,0,0( r, 1,， zyxn)0,1,0(,2, , , , ,1 1 6 1 232 2 )0,0,1( ,,d, , 当cos, , 0时,d x d y , , d, , 当cos, , 0时., 0 当cos, , 0时 ;联系:(下)-例2 计算，， xyzdxdy, 其中Σ是球面,x 2 ， y 2 ， z 2 , 1 外侧在x , 0, y , 0的部分 . ,2 解,1思考:注例3 计算 I , ，， ydydz xdzdx ， z 2dxdy, 其中为,x 2 ， y 2 被平面 z , 1, z , 2 所截部分的外侧( 锥面 z ,解(方法1)D被积函数对变量x是偶函数(方法2) 投影转换法cos，, d x d y cos,cos ,, d x d ycos,r , f n , ,( f x y , 1)x ) ， Q , ( f y ) ， R]dxdy , ，， [ P , ( f ,向量点积法x y, 1 , dxdy, , ，， { y, x, z 2 } , ,x 2 ， y 2 x 2 ， y 2 ,{ y, x, z 2 } , , , ,1,I , ，，, dxdy例4,4解 (方法1),1,6 ,5,3,2I , ，，，，，，，L，，，， [(x ， y)d ydz ， ( y ， z)dzd x ，(z ， x)d xd y],1 ,2 ,6，，，，，, ，，，， ,IL,, , 1 2 63 .3a,例5 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为q qx 2 ， y 2 ， z 2 ) r , E , 3 3 ( x , y , z ) ( r ,rr求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 , .解 q。

第二类曲面积分的奇偶性
曲面积分，又称微分形式的积分，是用来研究多元函数的积分问题的数学工具。

曲面积分的奇偶性是指曲面积分的解的奇偶性。

关于曲面积分的解的奇偶性，一般有两种情况：一类是积分的解是奇函数，称为第一类曲面积分；而另一类是积分的解是假函数，称为第二类曲面积分。

第一类曲面积分的奇偶性定义：在形状外部的任意点，若 f(x, y, z)的值的绝对值等于f(-x, -y, -z)的值的绝对值，则该曲面函数具有奇偶性。

因此，如果一个曲面函数满足奇偶性，则积分解也具有奇偶性。

第二类曲面积分的奇偶性定义：在外部的任意点，若 f(x, y, z)的值等于-f(-x, -y, -z)的值，则该曲面函数具有奇偶性。

因此，如果一个曲面函数满足奇偶性，则积分解也具有偶性。

曲面积分的奇偶性是一个十分重要的概念，它在多元函数的积分问题的解决中起着非常重要的作用。

通过使用第一类和第二类曲面积分的奇偶性，我们可以更加熟练地研究多元函数的积分问题，从而更加准确地确定函数间的联系。

所以，我们需要重视曲面积分的奇偶性，熟练掌握对于研究多元函数积分的各种方法。

第五节 第二类曲面积分分布图示★ 有向曲面的概念★ 引例 流向曲面制定侧的流量★ 第二类曲面积分的概念★ 第二类曲面积的计算★ 例1★ 例2 ★ 例3★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题10-5★ 返回内容要点一、有向曲面：双侧曲面 单侧曲面在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②中，故事情节围绕一列从波士顿地铁系统中神秘消逝的第86号列车而展开. 这个地铁系统前一天才举行通车仪式, 但是现在第86号却消失了, 什么痕迹也没有留下.事实上, 很多人都报告说他们听到了列车在它们的正上方或正下方飞驰的声音, 但是谁也没有真正地看到过它. 当确定这列火车为止的所有努力都失败之后, 哈佛的数学家罗杰.图佩罗给交通中心打电话, 并且提出了一个惊人的理论:这个地铁系统非常复杂, 以至于它可能变成了一个单面典面(麦比乌斯带)的一部分, 而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i n γβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数 γβαc o s c o s c o s R Q P n v ++=⋅ 则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v .)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A在有向曲面∑上的第二类曲面积分. 三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解 如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yz yz D D ⎰⎰⎰⎰=-= 类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分.解 如图10-5-7，把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xyxy xy D D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰ dxdy y x xy xyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xy D例3 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面 0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解 .cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα在曲面∑上，有 .11c o s c o s x x z x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z]))([()(22dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222 .821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D课堂练习 计算,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为球面2222a z y x =++的外侧.。