1984年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简： 二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−原式解出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于CY Y YXX y=-214422=+−y k x点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+−已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==+−+++===+<==∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒−︒=︒∴=====+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==−===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+−∴− ⎪⎝⎭+==−++−−++==−−=−=−−−=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =−+=−+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a −=−−−−−+−∴︒−+−−−−−±−=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ−+︒−︒ctgtg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=−⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+−+−−解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程 略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( −≠<∴≠+>−+−=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积 作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM −=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,22,122BE BM ME BM ME tg BM ED a BM α==∴==∴=−类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN −=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x −+=−−∴=−++⋅+−−=−−−+⋅+−−=−−−⋅+−=−−∴证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m abm bq p a p b a b −+++++=++=−++++−=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩−=−=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m −+=−⋅∴−−+=≠∴−−+=得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+−=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+−cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +−代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C −−+=++∴+−++= 7．已知L 为过点P )23,233(−−而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由2211:(),(y x A x x y PA f x x x ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为2222321:():().(03)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL P。

1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分.一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ ）（A ）2x y = （B ）x x y 2= （C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ ）（A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ ）（A ）-1 （B ）257- （C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）59．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（ ） （A ）310 （B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）532 11．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数（B ）在区间（0，1）上是减函数（C ）在区间（-2，0）上是增函数（D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ ）（A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________ 16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____17．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分） 证明：x 2cos x cos x sin 22x tg 2x 3tg+=-20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用k I 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}。

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集I N =，集合{}{}2,,4,A x x n n N B x x n n N ==∈==∈||，则 A ．B A I = B ．B A I = C ．B A I = D ．B A I = 【答案】C【解析】由于B A Þ，所以AB I =．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ．4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π==+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-． 7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】消去参数可得直角坐标方程22(1)(3)1259y x +-+=，故焦点坐标是(3,3),(3,5)-．8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα-D ．22πα--【答案】A【解析】解法一：由于已知sin 0,cos()02παα>+<，原式arcsin(sin )arccos(sin )arccos(sin )αααπααπ=-+-=-+-=-+arccos[cos()]()222πππααπα--=-+--=．解法二：当1x ≤时arcsin arccos 2x x π+=，而1sin 0α-<-<，∴原式arcsin(sin )arccos(sin )2παα=-+-=．9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，22AC BO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以231132212D ABC V a -=⋅⋅=．10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．23- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】显然1q ≠，由3231510=S S 得10151(1)31(1)32a q a q -=-，则105323110q q --=，解得 5132q =-，得12q =-，所以12lim 13n n a S q →∞==--．11．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0),(1,)π B．3)22ππ C ．5(2,),(2,)33ππD ．（2arctg )22π- 【答案】C【解析】将极坐标方程为θρcos 23-=化为直角坐标方程22(1)143x y -+=，在短轴上的两个顶点的直角坐标是，所以极坐标是5(2,),(2,)33ππ．12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．13．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4c =，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或e =0a b <<，所以e ==>，所以3e =不合题意．14．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 A ．π322 B ．π332 C ．π2 D ．π362 【答案】D15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ． 【答案】2【解析】圆的标准方程为22(3)16x y -+=，圆心和半径分别为(3,0),4，所以4312p=-=，则2p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，,,BF BC a FC =====，222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分11分）解不等式1)11(log >-xa ．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为10a -<，所以0x <，∴101x a<<-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：110,11.xa x⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩——7分由①得，1x >或0x <， 由②得，101x a <<-，∴ax -<<111． ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111． ——11分 21．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 【解】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知60,120B A C =+=． ——2分∵cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分 将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得cos)22A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos3)022A C A C ---+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos2A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα-+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos=-C A ． ——12分22．（本小题满分12分）如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （Ⅰ）求证：1BE EB =；（Ⅱ）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）． （Ⅰ）证明：（如图2）在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．① ∵ ，∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连结,BF FG ，由AB BC = 得BF AC ⊥．② ∵ ，∴BF ⊥侧面1AC ；得//,,BF EG BF EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ．③ ∵ ，∴//BE FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE FG =． ④ ∵ ，∴11//,FG AA AAC FGC ∆∆，⑤ ∵ ，∴112121BB AA FG ==，即112BE BB =，故1BE EB =． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）①面1A EC ⊥侧面1AC ， ——2分②面ABC ⊥侧面1AC ， ——3分 ③//BE 侧面1AC ， ——4分 ④1//BE AA ， ——5分 ⑤//AF FC ， ——6分 （Ⅱ）分别延长11,CE C B 交于点D ，连结1A D ．∵1111111//,22EB CC EB BB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵11111160B AC C B A ∠=∠=︒，1111111(180)302DA B A DB DB A ∠=∠=︒-∠=︒，∴111111190DAC DA B B AC ∠=∠+∠=︒， 即111DA AC ⊥． ——9分∵1CC ⊥面111AC B ，即11A C 是1A C 在平面11AC D 上的射影， 根据三垂线定理得11DA A C ⊥，所以11CAC ∠是所求二面角的平面角． ——11分 ∵11111111,90CC AA A B AC AC C ===∠=︒，∴1145CA C ∠=，即所求二面角为45． ——12分 23．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 24．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1122A B B =，求12,l l 的方程．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（I ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）设),(),,(221111y x B y x A ．由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ． ∴22222111212112()()(1)()A B x x y y k x x =-+-=+-22112214(1)(31)(1)k k k +-=-． ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+= ⑥ 由22115B A B A =，得2211225A B A B =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+，解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分25．（本小题满分12分）已知,,a b c 是实数，函数2(),()f x ax bx c g x ax b =++=+，当11x -≤≤时，()1f x ≤． （Ⅰ）证明：1c ≤；（Ⅱ）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（Ⅲ）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．【解】本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由条件当11x -≤≤时，()1f x ≤，取0x =得(0)1c f =≤，即1c ≤．——2分（Ⅱ）证法一：当0a >时，()g x ax b =+在[1,1]-上是增函数，∴(1)(0)(1)g g g -≤≤，∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c =+=-≤+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c -=-+=--+≥--+≥-，由此得()2g x ≤． ——5分 当0a <时，()g x ax b =+在[1,1]-上是减函数，∴(1)(0)(1)g g g -≥≥， ∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c -=-+=--+≤-+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c =+=-≥-+≥-，由此得()2g x ≤； ——7分当0a =时，(),()g x b f x bx c ==+．∵11x -≤≤，∴()(1)(1)2g x f c f c =-≤+≤．综上得()2g x ≤． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得221111()[()()]()2222x x x x g x ax b a b +-+-=+=-+- ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= 11()()22x x f f +-=-， ——6分当11x -≤≤时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f ，即()2g x ≤． ——8分 （Ⅲ）因为0a >，()g x 在[1,1]-上是增函数，当1x =时取得最大值2，即(1)(1)(0)2g a b f f =+=-=． ①∵1(0)(1)2121f f -≤=-≤-=-，∴(0)1c f ==-． ——10分 因为当11x -≤≤时，()1f x ≥-，即()(0)f x f ≥，根据二次函数的性质，直线0x =为()f x 的图像的对称轴，由此得02ba-=，即0b =．由①得2a =．所以 2()21f x x =-． ——12分。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。

回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++, 则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->, 则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后, 种植收入减少B ．新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 若3243S S S =+, 12a =, 则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+, 若()f x 为奇函数, 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中, AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点, 则EB =u u u rA ．3144AB AC-u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A , 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B , 则在此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中, 最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F , 过点（–2, 0）且斜率为23的直线与C 交于M , N 两点, 则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点, 则a 的取值范围是 A ．[–1, 0）B ．[0, +∞）C ．[–1, +∞）D ．[1, +∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC , 直角边AB , AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I, 黑色部分记为II, 其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点, 此点取自I, II,III 的概率分别记为p 1, p 2, p 3, 则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=, O 为坐标原点, F 为C 的右焦点, 过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形, 则|MN |= A ．32B ．3C ．3D ．412．已知正方体的棱长为1, 每条棱所在直线与平面α所成的角相等, 则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。

启用前·机密2024年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题姓名：准考证号：本试题卷分选择题和非选择题两部分,共4页, 满分150分, 考试时间120分钟。

考生注意:1.答题前, 请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时, 请按照答题纸上 “注意事项” 的要求, 在答题纸相应的位置上规范作答, 在本试题卷上的作答一律无效。

3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内, 作图时可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集体A=x-5<x3<5,B={-3,-1,0,2,3}, 则A∩B=A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}2.若zz-1=1+i, , 则z=A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.已知向量a=(0.1)，b=(2.x), 若b⊥(b-4a)则x=A.-2B.-1C.1D.24.已知cos(a+β)=m，tan a tanβ=2, 则cos(a-β)=A.-3mB.-m3C.m3D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为A.23πB.33πC.63πD.93π6.已知函数f(x)=-x2-2ax-a,x<0e x+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则a的取范围是A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)7.当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为A.3B.4C.6D.88.已知函数f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x -1)+f (x -2)，且当x <3时，f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是A.f (10)>100 B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<10000二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ） （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值 答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：2．1．P b αβ a γ ca⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12c dx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21， 从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72Y B （0，6） D X ）解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，，∠COD=θ由假设， AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）A P L。

1984全国普通高等学校招生统一考试物理试卷及参考答案一、(21分)每小题3分.把答案填写在题中横线上空白处,不要求写出演算过程.(1)我国在1984年4月8日成功地发射了一颗通信卫星.这颗卫星绕地(2)平衡下列核反应方程式:(3)如右图所示,一正离子以速度v从左向右射入匀强电场和匀强磁场并存的区域中.电场强度E=4×104牛顿/库仑.磁感应强度B=0.2特斯拉,方向垂直纸面向里.电场、磁场和速度三者的方向互相垂直.如果该离子在场中运动时不发生偏转,则电场方向在附图中为从向 ;离子速度大小v= 米/秒.(4)频率为ν的光照射到一金属表面上,有电子从金属表面逸出.当所加反向电压Ｕ的大小增大到3伏特时,光电流刚好减小到零.已知这种金属的极限频率为ν0=6×1014赫兹,因此照射光的频率ν= 赫兹.(5)太阳光谱中含有许多暗线,这些暗线是由于而形成的.(6)氢原子的基态能量E1=-13.6电子伏特,则氢原子处于量子数n=5的能级时的能量为电子伏特.(7)S1和S2是两个相干波源.在图中分别以S1和S2为圆心作出了两组同心圆弧,分别表示在同一时刻两列波的波峰和波谷.实线表示波峰,虚线表示波谷.在图中方框内标出了三个点a、b、c.在这三个点中,振动加强的点是 ,振动减弱的点是 .二、(16分) 每小题4分.本题中每小题给出的几个说法中,有一个或几个是正确的.把正确的说法全选出来,并将正确说法的号码填写在题后方括号内.每小题,全部选对的,得4分;选对但不全的,得少量分;有选错的,得0分;不答的,得0分.填写在方括号外的号码,不作为选出的答案.(1)火车在长直水平轨道上匀速行驶.门窗紧闭的车厢内有一人向上跳起,发现仍落回到车上原处.这是因为:1.人跳起后,厢内空气给他以向前的力,带着他随同火车一起向前运动.2.人跳起的瞬间,车厢的地板给他一个向前的力,推动他随同火车一起向前运动.3.人跳起后,车在继续向前运动,所以人落下后必定偏后一些,只是由于时间很短,偏后距离太小,不明显而已.4.人跳起后直到落地,在水平方向上人和车始终具有相同的速度.答( )(2)法拉第电磁感应定律可以这样表述:闭合电路中感生电动势的大小:1.跟穿过这一闭合电路的磁通量成正比.2.跟穿过这一闭合电路的磁感应强度成正比.3.跟穿过这一闭合电路的磁通量的变化率成正比.4.跟穿过这一闭合电路的磁通量的变化量成正比.答( )(3)在下图所示的电路中,当可变电阻R的阻值增大时:1.AB两点间的电压U增大.2.AB两点间的电压U减小.3.通过R的电流I增大.4.通过R的电流I减小.5.通过R的电流I不变.答( )(4)下列几种说法中,哪种说法正确?1.电场中电力线上每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致.2.沿电力线方向,场强一定越来越小.3.沿电力线方向,电势一定越来越低.4.在电场力作用下,正电荷一定从电势高的地方向电势低的地方移动.5.在电场力作用下,负电荷一定从电势高的地方向电势低的地方移动.答( )三、(14分)(1)测定电流表内电阻的实验中备用的器件有:A.电流表(量程0～100μA),B.标准伏特表(量程0～5V),C.电阻箱(阻值范围0～999Ω),D.电阻箱(阻值范围0～9999Ω),E.电源(电动势2V,有内阻),F.电源(电动势6V,有内阻),G.滑动变阻器(阻值范围0～50Ω,额定电流1.5A),还有若干电键和导线.1.如果采用图1所示的电路测定电流表A的内电阻并且要想得到较高的精确度,那末从以上备用的器件中,可变电阻R1应选用 ,可变电阻R2应选用 ,电源ε应选用 .(用字母代号填写)2.如果实验时要进行的步骤有:A.合上K1;B.合上K2;C.观察R1的阻值是否最大,如果不是,将R1的阻值调至最大;D.调节R1的阻值,使电流表指针偏转到满刻度;E.调节R2的阻值,使电流表指针偏转到满刻度的一半;F.记下R2的阻值.把以上步骤的字母代号按实验的合理顺序填写在下面横线上空白处:① ;② ;③ ;④ ;⑤ ;⑥ .3.如果在步骤F中所得R2的阻值为600欧姆,则图1中电流表的内电阻R g的测量值为欧姆.(2)如果要将第(1)小题中的电流表A改装成量程为0～5V的伏特表,则改装的方法是跟电流表联一个阻值为欧姆的电阻.(3)图2所示器件中,一部分是将电流表改装为伏特表所需的,其余是为了把改装成的伏特表跟标准伏特表进行核对所需的.首先在下面空白处画出改装和核对都包括在内的电路图(要求对0～5V的所有刻度都能在实验中进行核对),然后在图2上画出连线,将所示器件按以上要求连接成实验电路.四、(26分) 第(1)到第(3)小题,每题7分;第(4)小题5分.(1)根据牛顿运动定律证明:两物体沿一直线运动,相互作用但不受外力时,它们的总动量保持不变.(2)在右图所示的电路中,一理想变压器的原线圈跟副线圈的匝数比为N1∶N2=1∶2.电源电压U=220伏特.A是额定电流为I0=1安培的保险丝.R是可变电阻.为了不使原线圈中的电流超过I0,调节电阻R时,其阻值最低不能小于多少欧姆?(3)附图为天平的原理示意图,天平横梁的两端和中央各有一刀口,图中分别用A、B、O三点代表;三点在一条直线上,并且=L.横梁(包括固定在横梁上的指针OD)可以中央刀口为轴转动.两边的挂架及盘的质量相等.横梁的质量为M.当横梁水平时,其重心C在刀口的正下方,C到O的距离为h,此时指针竖直向下.设只在一盘中加一质量为△m的微小砝码,最后横梁在某一倾斜位置上达到平衡,此时指针与竖直方向成θ角.已知L、h、M及△m,求θ.(4)估算地球大气层空气的总重量.(最后结果取1位有效数字)五、(13分) 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体,如图所示.绳的P端拴在车后的挂钩上,Q端拴在物体上.设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时,车在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H.提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A经过B驶向C.设A到B的距离也为H,车过B点时的速度为v B.求在车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功.六、(10分)在两端封闭、内径均匀的直玻璃管内,有一段水银柱将两种理想气体a 和b隔开.将管竖立着,达到平衡时,若温度为T,气柱a和b的长度分别为l a和l b;若温度为T＇,长度分别为l抋和l抌.然后将管平放在水平桌面上,在平衡时,两段气柱长度分别为l攁和l攂.已知T、T七、(10分,本题是附加题,成绩不计入总分)在真空中速度为u=6.4×107米/秒的电子束连续地射入两平行极板之间.极板长度为l=8.0×10-2米,间距为d=5.0×10-3米.两极板不带电时,电子束将沿两极板之间的中线通过.在两极板上加一50赫兹的交变电压V=V0sinωt,如果所加电压的最大值V0超过某一值V c时,将开始出现以下现象:电子束有时能通过两极板;有时间断,不能通过.(1)求V c的大小.(2)求V0为何值才能使通过的时间(△t)通跟间断的时间(△t)断之比为(△t)通∶(△t)断=2∶1.1984年答案一、全题21分,每小题3分.各题中,在每一横线上空白处填入正确答案的,按下列该答案后面方括号内的分数给分;错误的,给0分.(1)1〔3分〕.(3)上,下〔1分〕;2×105〔2分〕.(4)13.2×1014〔3分〕.(5)太阳光经过温度较低的太阳大气层时某些特征谱线的光被吸收〔3分.要求答出两个要点:太阳大气层;吸收.答出一个要点的给1分,两个都答出的给3分〕.(6)－0.544〔3分〕.(7)a、b〔2分〕,c〔1分〕.二、(1)〔4〕. (2)〔3〕. (3)〔1,4〕. (4)〔1,3〕.评分说明:全题16分,每小题4分.每小题,答案全部选对的,给4分;未选全而无选错的,给1分;有选错的,给0分;未答的,给0分.填写在方括号外的号码不作为考生的答案.三、(1)本小题7分.1.D,C,F〔3分.D,C答对的,给2分,有一个答错的,不给这2分.F答对的,给1分〕.2.CADBEF〔3分.顺序有错的,不给分〕.3.600〔1分〕.(2)本小题2分.每小问占1分.串,49400.(3)本小题共5分.电路图如图1,占2分,如有错误,不给这2分.连线如图2,占3分,如有错误,不给这3分.接法只要正确,能满足实验要求,虽与参考答案不同,不影响评分;不满足实验要求,例如将滑动变阻器当作串联可变电阻使用,不给分.四、(1)牛顿第二定律F=ma可以写成:其中p=mv为物体的动量.当两物体相互作用而不受外力时,令F1和F2分别表示每个物体所受的力,可得:根据牛顿第三定律:F1=-F2(b)可得:△p1=-△p2.令p表示两物体的总动量,则得:△p=△p1+△p2=0. (c)即总动量的改变量等于零,总动量不变.评分说明:本小题7分.列出(a)式的,给2分.列出(b)式的,给1分.得出(c)式的,再给4分.在证明过程中,有正负号错误的,扣2分.一开始就把第二定律写成动量定理形式的,可不扣分.把相互作用力设为恒力的,可不扣分.(2)设所求的电阻值为R,此时R两端的电压为U2,电流为I2,则:UI0=U2I2(a)U2=I2R (b)由以上各式可得:评分说明:本小题7分.(a)、(b)、(c)三式列对一个给1分;列对两个给3分;三个都列对给5分.得出(d)式再给1分.最后答数正确再给1分.(3)有固定转动轴物体的平衡条件是力矩的代数和等于零.设两边挂盘(包括质量为△m的微小砝码)对横梁的作用力分别为F1和F2则:F1Lcosθ=F2Lcosθ+Mghsinθ. (a)因为F1-F2=△mg,所以得:△mgLcosθ=Mghsinθ. (b)评分说明:本小题7分.列出(a)式和(b)式的,给6分;得出(c)式再给1分.直接列出(b)式的,不扣分.把倾斜后△mg的力臂Lcosθ写作L的也可不扣分(因题设△m很小因而偏角很小).(4)设地球半径为R,地球表面处的大气压强为p,则大气的总重量:G=4πR2p.因R=6.4×108米,p=1.0×105帕,代入得:G=5×109牛顿.评分说明:本小题5分.列出G=4πR2p给4分,最后答数正确再给1分.五、设绳的P端到达B处时,左边绳与水平地面所成夹角为θ,物体从井底上升的高度为h,速度为v,所求的功为W,则:因绳总长不变,所以:v=v B cosθ. (c)将(b)、(c)两式代入(a)式,得:评分说明:全题13分.列出(a)式的,给3分.列出(b)式的,给3分.列出(c)式的,给5分.列出(d)式的,给1分.最后结果正确的,再给1分.六、对于a段气体,有:对于b段气体,有:压强关系有:p b-p a=p抇b-p抇a,(e)p a=p b. (f)由以上各式可得:评分说明:全题10分.(a)、(b)、(c)、(d)四式全都列对的,给4分;部分列对但无列错的,给1分;有列错的,不给分.(e)式列对给3分;(f)式列对给1分.最后结果正确再给2分.因此,电子通过平行极板时,极板间的电压从场强可看作是恒定不变的.电子进入平行极板中间后,其运动沿水平方向为匀速运动,沿竖直方向为匀加速运动.设电子束刚好不能通过平行极板的电压为V c,电子经过平行极板的时间为t,所受的电场力为f,则:由以上三式,可得:代入数值,得:V c=91伏特.(2)因为(△t)通=2(△t)断,所以:由此得:代入数值得:评分说明:全题10分.(1)5分,(2)5分.(1)中,列出(a)式和(b)式的,给1分.列出(c)式的,给3分.最后答数正确的再给1分.没有对电子通过极板的时间和交流电的周期进行分析比较的,不扣分.(2)中,列出(d)式的,给4分.最后答数正确再给1分.。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅱ卷）1.已知，则( ).1i z =--||z =A.0B.1 D.22.已知命题：，，命题，，则( ).:R p x ∀∈|1|1x +>:0q x ∃>3x x =A.p 和q 都是真命题 B.和q 都是真命题p ⌝C.p 和都是真命题D.和都是真命题q ⌝p ⌝q ⌝3.已知向量，满足，，且，则( ).a b ||1a = |2|2a b += (2)b a b -⊥ ||b =A. D.1124.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.kg 亩产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1150)[1150,1200)频数612182410根据表中数据，下列结论正确的是( )A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过1100kg 40%C.100块稻田亩产量的极差介于到之间200kg 300kg D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间900kg 1000kg 5.已知曲线，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线，为垂足，则线段22:16(0)C x y y +=>PP 'P '的中点M 的轨迹方程为( ).PP 'A. B.221(0)164x y y +=>221(0)168x y y +=>C. D.221(0)164y x y +=>221(0)168y x y +=>6.设函数，，当时，曲线和2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =恰有一个交点，则( )()y g x =a =A.-1 B. C.1 D.2127.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC 所成角的正111ABC A B C -5236AB =112A B =1A A 切值为( ).A. B.1 C.2D.3128.设函数，若，则的最小值为( ).()()ln()f x x a x b =++()0f x ≥22a b +A. B. C. D.11814129.对于函数和，下列正确的有( ).()sin 2f x x =π()sin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭A.与有相同零点B.与有相同最大值()f x ()g x ()f x ()g xC.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同的对称轴()f x ()g x ()f x ()g x 10.拋物线的准线为l ，P 为C 上的动点，对P 作的一条切线，Q2:4C y x =22:(4)1A x y +-= 有切点，对P 作C 的垂线，垂足为B .则( ).A.l 与相切B.当P ，A ，B 三点共线时，A ||PQ =C.当时，D.满足的点A 有且仅有2个||2PB =PA AB⊥||||PA PB =11.设函数，则( ).32()231f x x ax =-+A.当时，有一个零点1a >()f x B.当时是的极大值点0a <0x =()f x C.存在a ，b 使得为曲线的对称轴x b =()y f x =D.存在a 使得点为曲线的对称中心(1,(1))f ()y f x =12.记为等差数列的前n 项和，若，，则__________.n S {}n a 347a a +=2535a a +=10S =13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则αβtan tan 4αβ+=tan tan 1αβ=+__________.sin()αβ+=14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有44⨯__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC △sin 2A A +=（1）求A ；（2）若，求周长.2a =sin 2C c B =ABC △16.已知函数.3()e x f x ax a =--（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1,(1))f （2）若有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.()f x 17.如图，平面四边形ABCD 中，，，，，，点E ，F 满足，8AB =3CD =AD =90APC ∠=︒30BAD ∠=︒25AE AD =，将沿EF 对折至，使得，12AF AB = AEF △PEF △PC =（1）证明：：EF PD ⊥（2）求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；0.4p =0.5q =（2）假设，0p q <<（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线，点在C 上，k 为常数，，按照如下公式依22:(0)C x y m m -=>1(5,4)P 01k <<次构造点，过点作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点，令为关于(2,3,)n P n = 1n P -1n Q -n P 1n Q -y 轴的对称点，记的坐标为.n P (),n n x y （1）若，求，；12k =2x 2y （2）证明：数列是公比为的等比数列；{}n n x y -11k k +-（3）设为的面积，证明：对任意的正整数n ，.n S 12n n n P P P ++△1n n S S +=2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案答案：C解析.||z =1.答案：B解析：时，，错误，和q 是真命题.1x =-|1|1x +<p ∴P ∴⌝2.答案：A解析：，(2)0b a b -⋅= 220b a b ∴-⋅= 又，，||1a = |2|4a b += 得.1||2b = 3.答案：C解析：中位数错误，标差介于之间，选C.200kg ~300kg ∴4.答案：A解析：设，将坐标代入原方程联立，得M 方程.(,)P x y 221(0)164x y y +=>5.答案：D解析：联立，，代入方程，恰好得到一个极点，()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax ∴+-=+2a =.2a ∴=6.答案：B解析：，.πtan 4α=tan 1α∴=7.答案：C 解析：，，，()()ln()f x x a x b =++()()()f x x a h x =+⋅(1)0g b -=，，10b a -+= 1a b ∴=-.222221(1)2212a b b b b b +=-+=-+=8.答案：BC 解析：A.令，，零点不同；()0f x =()0g x =B.，最大值相同；()f x ()g x C.，，C 正确；π()sin 22f x x Tf ===π()2g x =∴D.，对称轴显然不同，D 错误.()f x ()g x ∴9.答案：ABD解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C 错，ABD 对.10.答案：D解析：依次带入质检即可后为直角三角形，，，，12AF F△12212c F F =≥=6C =22||8a AF AF =-=4a =.32c e a ==11.答案：95解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程得，3412512573475a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩143a d =-⎧⎨=⎩10110931040135952S a ⨯⨯∴=+=-+=12.解析：考察三角恒等式变形tan tan tan()1tan tan αβαβαβ⋅+===--⋅222sin ()cos ()19cos ()1a αββαβ+++=⇒+=1cos()3αβ∴+=-1sin()3αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭13.答案：24；58解析：（1）41432124=⨯⨯⨯=（2）分别列出，13，14，15，16最大，.1314151658+++=14.答案：（1）π6A =（2）2ABC C =+△解析：（1）sin 2A A=2R ===2sin()2A φ+=π2A φ+=.tan φ=π6A =（2）24πsin 6aR ==sin 2sin cos C c B B=⋅，2cos B =π4B ∴=54sin π12c=⋅22ABC C a b c ∴=++=++=+△15.答案：（1）(e 3)2y x =-+（2）2e 8a >解析：（1）(1)e 1f =-当，时1a =1x =(1)e 3f '=-(e 1)(e 3)(1)y x --=--(e 3)3e e 1y x ∴=-+-+-；(e 3)2x =-+（2），2()e 3x f x ax '=-()0f x '=2e 30x ax -=2e 3x ax =，，()e 6x f x ax ''=-2e 3x ax = ()3(2)f x ax x ''=-时，2x =2e 12a =232(2)e 2e 8f a a=-⋅=-代入，得2222e 2e (2)e 8e e 1233k f =-⋅=-=(2)0f < 2e 80a ∴-<28e a >2e 8a >.2e ,8a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭16.答案：（1）EF PD⊥（2）正弦值为0解析：（1）证明：设A 的坐标为，则B 为，(0,0)(8,0)依次求出，，，E (4,0)F (1,EF = 152D ⎛ ⎝P 关于EF 的中点M 对称，34722M ⎛⎛+== ⎝⎝设，，(,)P xy 7(2x t =+⋅1y t =⋅15922C ⎛⎛=-= ⎝⎝PC ∴=将x ，y表达式代PC ==152PD x y ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭0EF PD ⋅= EF PD∴⊥建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直（2）(8,0)PC = 求出面PCD 与面PBF 的法向量，1a 2a 又1212sin 0||a a a a θ⋅==⋅ 正弦值为0.∴17.答案：（1）0.686（2）（i ）乙（ii ）甲18.答案：（1），23x =20y =（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设(),n n n P x y 2221n n x x a m∴-=()n n y y k x x -=-.()12n n y y x x -=--22211221n n x x y x a m⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-=1122n y x xn yn -=-++2n nx x y =-代入得，.222()1x yn y a m+-=23x =20y =（2）()2221n n kx y kx x a m +--=22222222221n n n n n n k x kxx kx y k x y k x x a m++-+∴-=111n n x k x k++=-利用等性证明。

一、单选题二、多选题1. 古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）A ．413B ．427C ．308D ．1332. 已知函数，，的图象关于直线对称，则（ ）A．B．C．D．3. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为（ ）A．B．C．D．4.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（ ）A．B．C．D．6.平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ）A．B．C．D．7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）．A ．在上单调递增B ．在上单调递增C ．在上单调递减D ．在上单调递减8.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）A．B ．（2，﹣1，2）C．D ．（1，﹣2，1）9. 空气质量的指数是反映空气质量状况的指数，指数的值越小，表明空气质量越好．指数不超过，空气质量为“优”；指数大于且不超过，空气质量为“良”；指数大于，空气质量为“污染”．下图是某市2020年空气质量指数（）的月折线图．下列关于该市2020年空气质量的叙述中一定正确的是（ ）某市2020年空气质量指数（）月折线图A．全年的平均指数对应的空气质量等级为优或良B ．每月都至少有一天空气质量为优2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）三、填空题四、解答题C ．2月，8月，9月和12月均出现污染天气D ．空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份10. 已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（ ）A．B ．若，则函数的最小正周期为C ．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解D ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为11. 圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）A．B．C．D．12. 数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（）A．B．C．D．13.已知函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________．14. 某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成，，，四组，对应的行政村个数分别为25，75，100，50，若用分层抽样抽取50个行政村，则组中应该抽取的行政村数为________.15.如图，在直三棱柱中，，D ，E分别为，分如中点，则过点A ，D ，E 的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________．16. 如图，已知矩形中，、分别是、上的点，，，是的中点，现沿着翻折,使平面平面.（1）为的中点，求证：平面.(2)求异面直线与所成角的大小.17. 已知函数．(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．18. 在中，内角所对的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积的最大值.19. 已知是等比数列的前项和．(1)求及；(2)设，求的前项和．20. 党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月月份编号x12345利润y(百万)712131924(1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）；(2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望.附：相关系数21. 某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人；(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．。

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin2cosθ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84ππ或2.函数)44(log25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim+-∞→nnn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相 1．平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 a P P b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由a c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得.12c d x -= 又由1)(=+xd cx x 及x ＞0，知0>+xd cx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1),02c dx 由条件（1）（6）知.01>-c d 这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1 从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--pq q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上 P b αβ a γ ca经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+,长轴长=2a=.2222q cb =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为),23(y x 设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=dMF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(,9()4(2)1223xy x y -+-=-+-=即 这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b BA ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b ac ba ab 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则22222222222||||||(8)(6)3[(2)(2)]47634476884.S P A P B P C x y x y x y x y x x x =++=-+++-++==-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=- Y X ）因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72 八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证：1．);2,1(1,21 =<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg3lg,31<≥>+n x an a 必有时那么当如果 1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立).2,1(11 =<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n nn x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x x nn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n nn x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x x nn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k kkkkk x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+kk k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k kk x x x 然后用反证法若当34lg3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211nnn n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg3lg an <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当4P 的速度为V 求这时点M 的速度 解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，x AP 3232=， 半径OC=1，可知θx 32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDM APAM =∴而.)43()843(2,,43)32sin()32cos321)(32cos 1()32sin3232cos1)(32sin([/.32sin)32cos1(.32sin)32cos 1(,32sin),32cos1(222v dtdy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy x x x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得A P L。

高考40年1984年高考物理试题答案及解析1984年全国普通高等学校招生统一考试物理试题答案及解析江苏省特级教师___解析一、(21分)每小题3分。

把答案填写在题中横线上空白处，不要求写出演算过程。

1)我国在1984年4月8日成功地发射了一颗通信卫星。

这颗卫星绕地为1：1.本题考查卫星的角速度及理解能力。

因为通信卫星是同步卫星，所以这颗卫星绕地为1：1.难度：容易。

2)平衡下列核反应方程式: 4He+1n。

本题考查核反应方程及理解能力。

根据核反应的电荷量守恒与质量数守恒，得4He+1n。

难度：容易。

3)如右图所示，一正离子以速度v从左向右射入匀强电场和匀强磁场并存的区域中。

电场强度E=4×104牛顿/库仑，磁感应强度B=0.2特斯拉，方向垂直纸面向里。

电场、磁场和速度三者的方向互相垂直。

如果该离子在场中运动时不发生偏转，则电场方向在附图中为从向；离子速度大小v=2×105米/秒。

本题考查洛伦兹力和电场力及分析能力。

根据左手定则，洛伦兹力向上，根据力的平衡，电场力向下，所以电场方向向下。

根据Bqv=Eq，得v=2×105m/s。

难度：容易。

4)频率为ν的光照射到一金属表面上，有电子从金属表面逸出。

当所加反向电压U的大小增大到3伏特时，光电流刚好减小到零。

已知这种金属的极限频率为ν=6×1014赫兹，因此照射光的频率ν=13.2×1014Hz。

本题考查爱因斯坦光电效应方程及推理能力。

根据爱因斯坦光电效应方程mv2=hν-hν，而初动能为mv2=qU，解得E=2×105m/s，ν=13.2×1014Hz。

难度：中等。

5)太阳光谱中含有许多暗线，这些暗线是由于太阳光通过地球大气层时某些频率的光被吸收而形成的。

本题考查太阳光谱及理解能力。

太阳光通过地球大气层时某些频率的光被吸收而形成的。

难度：容易。

6)氢原子的基态能量E1=-13.6电子伏特，则氢原子处于量子数n=5的能级时的能量为-0.544电子伏特。

(一九八四年全国高等学校招生统一招生语文试题)一、现代文部分（40分）（一）请把相应的汉字写在拼音下面。

（4分）1.Ｚｈｕｚｈｎｇｚｈｕāｈǎｏｔǐｚｈｇǎｉｇ2.Ｂｘūｙｎｓｃｉｚｈｎｇｊｌǜ[Key] 注意：评分一律给整分，不要出现小数。

一、现代文部分（40分）（一）［4分］答案1.着重抓好体制改革2.必须严肃财政纪律评分说明每小题2分，没有写出相应汉字或书写有错误的，每错一个字扣1分，每小题扣满2分为止。

（二）下边列举的鲁迅的作品里，有哪几篇是小说？请在不是小说的篇名前的括弧里打“×”，并在小说篇名前边的括弧里用阿拉伯数字标出它们发表的先后次序。

（2分）（）《记念刘和珍君》（）《药》（）《拿来主义》（）《祝福》（）《“丧家的”“资本家的乏走狗”》（）《为了忘却的记念》（）《阿Q正传》（）《狂人日记》（）《<呐喊>自序》[Key] （二）［2分］答案（2）《药》、（4）《祝福》、（3）《阿Q正传》、（1）《狂人日记》评分说明四篇小说都选对者得1分，次序都排列对者得1分。

（三）下边一共有四个论断，请在正确的论断后边的括弧里打“√”号，错误的打“×”号。

（每题1分，答错倒扣1分，不答不给分。

）1.朱自清的《荷塘月色》和孙犁的《荷花淀》都描写了荷花，它们都是写景的散文。

（）2.郭沫若的《甲申三百年祭》和姚雪垠的《虎吼雷鸣马萧萧》都写到了李自成这个历史人物，但前者是学术论著，后者是文艺作品。

（）3.《威尼斯商人》中的夏洛克，《守财奴》中的葛朗台，《死魂灵》中的泼留希金，都是资产阶级剥削者的典型。

（）4.《樱花赞》、《百合花》、《花城》、《南州六月荔枝丹》、《杨树》等作品都写到了花草树木，但它们的文体各不相同，表达方式都不一样。

（）[Key] （三）［4分］答案1.（×）2.（√）3.（×）4.（×）评分说明每答对一个得1分，答错一个倒扣1分，扣至0分为止。

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分)一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A,B，C,D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题:选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1)π，n是整数}与数集Y=｛（4k1）π，k是整数}之间的关系是（C )（A）XY （B）XY （C）X=Y （D）X≠Y2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么（C )（A）F=0，G≠0，E≠0. （B）E=0，F=0，G≠0。

(C）G=0，F=0,E≠0。

(D)G=0，E=0,F≠0.3。

如果n是正整数，那么的值 ( B）(A）一定是零（B)一定是偶数(C）是整数但不一定是偶数（D）不一定是整数4。

大于的充分条件是（A）（A） (B)（C) （D）5．如果θ是第二象限角,且满足那么（A)是第一象限角（B）是第三象限角（B）（C）可能是第一象限角,也可能是第三象限角（D）是第二象限角二．(本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答:2.函数在什么区间上是增函数？答：x＜-2。

3．求方程的解集答：4．求的展开式中的常数项答：-205．求的值答:06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子,不必计算）答:三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设画出函数y=H(x—1）的图象2．画出极坐标方程的曲线解：四．（本题满分12分） 已知三个平面一点或互相平行证：设三个平面为α，β,γ,且从而c 与b 或交于一点或互相平行 1．若c 与b 交于一点,设 ∴所以,b,c 交于一点（即P 点)2。

1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ D ） （A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称 3复数i 2321-的三角形式是 （ A ） （A ）)3sin()3cos(π-+π-i （B ）3sin 3cos π+πi（C ）3sin 3cos π-πi （D ）65sin 3cos π+πi4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ） （A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交 5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ A ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围答：.223<<x2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：ππ4 3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值答：m=0,x=-21.4.求)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值答：15．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数答：2406．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数2)1(1+=x y 的图象 解：四．（本题满分12分）已知等差数列a,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数列cba1,1,1不可能成等差数列证：如果cba1,1,1成等差数列，那么,,,1111ccbababcbcbbcbabcab-=--=--=-得两边乘以即又因为a,b,c成等差数列，且公差不为零，所以.0≠-=-cbba由以上两式，可知.11ca=两边都乘以a c，得a=c.但由数列a,b,c的公差不为零，知a≠c，这就得出矛盾从而cba1,1,1不可能成等差数列五．（本题满分14分）把α-β-α-422cossin2sin411化成三角函数的积的形式(要求结果最简）)-)sin(sin(2sin2sin2(2cos2(2cos)cos)(coscos(coscoscos)cos(sincoscoscoscossincoscos2sin41)sin1(:2222224222422βαβ+α=α-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α-β=α+αα-β=α-αα-β=α-α-β-=原式解六．（本题满分14分）1X2．Y如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300 CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602 用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则 S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2.D B C 300E A并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为12.12-⨯=n n a根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x y 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台答：略八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得 从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133)211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0. 解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2） 所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理解得m=-1,或m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;当m=14时，圆的半径5r，所求圆的方程是5x2+y2-28x+71=0.。

启用前·机密2024年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题姓名：准考证号：本试题卷分选择题和非选择题两部分,共4页, 满分150分, 考试时间120分钟。

考生注意:1.答题前, 请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时, 请按照答题纸上 “注意事项” 的要求, 在答题纸相应的位置上规范作答, 在本试题卷上的作答一律无效。

3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内, 作图时可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集体A=x-5<x3<5,B={-3,-1,0,2,3}, 则A∩B=A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}2.若zz-1=1+i, , 则z=A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.已知向量a=(0.1)，b=(2.x), 若b⊥(b-4a)则x=A.-2B.-1C.1D.24.已知cos(a+β)=m，tan a tanβ=2, 则cos(a-β)=A.-3mB.-m3C.m3D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为A.23πB.33πC.63πD.93π6.已知函数f(x)=-x2-2ax-a,x<0e x+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则a的取范围是A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)7.当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为A.3B.4C.6D.88.已知函数f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x -1)+f (x -2)，且当x <3时，f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是A.f (10)>100 B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<10000二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。

【高考试题】1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N=(A)｛x│0≤x<1｝(B)｛x│0≤x<2｝(C)｛x│0≤x≤1｝(D)｛x│0≤x≤2｝(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=(A)-3 (B)-6 (C)-3/2(D)2/3(A) (B) (C) (D)(4)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面都相等,且AB=AC=,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是(A)arocos(/3) (B)arccos(1/3)(C)π/2 (D)2π/3(5)函数y=sin[(π/3)-2x]+cos2x的最小正周期是(A)π/2 (B)π (C)2π (D)4π(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是(A)[-1,-1/2] (B)[-1/2,0] (C)[0,1/2](D)[1/2,1](7)将y=2x的图象(A)先向左平行移动1个单位(B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位(D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是(A)20π(B)25π(C)50π(D)200π(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为(A)2(B)6(C)-1/4(D)6(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是(A)2π/3(B)2π (C)7π/6(D)7π/3(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式:①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),。