导数及其应用复习
- 格式:ppt
- 大小:601.50 KB
- 文档页数:41
导数及其应用》全章复习与巩固学习目标】能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问要点梳理】 要点一:有关切线问题 直线与曲线相切,我们要抓住三点: ① 切点在切线上; ② 切点在曲线上;③ 切线斜率等于曲线在切点处的导数值 要点诠释: 通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程要点二:有关函数单调性的问题要点诠释:则 f '(x) 0.2) f '(x) 0或 f'(x) 0恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法: m g(x)或m g(x).1 )如果恒有 f '(x) 0,则函数f(x)在(a, b)内为增函数; 2)如果恒有 f '(x) 0,则函数f(x)在(a, b)内为减函数; 3)如果恒有 f '(x) 0,则函数f (x)在(a, b)内为常数函数.设函数 y f (x) 在区间1. 会利用导数解决曲线的切线的问题2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题组.4. (a, b)内可导,(1)若函数f(x)在区间(a, b)内单调递增,则f'(X) 0,若函数f(x)在(a, b)内单调递减,② 若不能隔离参数,就是求含参函数 f(x,m) 的最小值 f(x,m)min或是求含参函数 f(x,m) 的最大值 f(x,m)max ,使 f ( x, m)max 0) 要点三:函数极值、最值的问题 函数极值的问题求方程 f (x) 0 的根;负右正,则 f(x) 在这个根处取得极小值 .( 最好通过列表法 ) 要点诠释: ① 先求出定义域② 一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点; 变正,则该点为极小值点注意:无定义的点不用在表中列出③ 根据表格给出结论:注意一定指出在哪取得极值 函数最值的问题若函数y f (x)在闭区间[a,b ]有定义,在开区间(a,b)内有导数,则求函数y f (x)在[a,b ]上的最 大值和最小值的步骤如下:求在(a,b)内所有使f(X) 0的的点的函数值和 f(x)在闭区间端点处的函数值 f (a), f (b);y f (x)在闭区间[a,b ]上的最小值.要点诠释: ①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的 函数值进行比较即可 .使f ( x, m)min 01) 确定函数的定义域; 2) 求导数 f (x) ;4) 检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x) 在这个根处取得极大值;如果左若由负1) 求函数f (x)在(a, b)内的导数f(X); 2) 求方程f(X)0在(a,b)内的根;4) 比较上面所求的值,其中最大者为函数y f(x)在闭区间[a,b ]上的最大值,最小者为函数② 若f (x )在开区间(a,b )内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值 要点四:优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题,常常可以归结为函数的最大值问题,从而可 用导数来解决.我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,导数在实际生活中的应用主要是解决 有关函数最大值、最小值的实际问题利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤:分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y f (x );求函数的导数f '(X ),解方程f '(X ) 0 ; 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大 (小)者为最大(小)值.要点诠释:①解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定 函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系 相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:②得出变量之间的关系 y f (X )后,必须由实际意义确定自变量 X 的取值范围;③ 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.④ 在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去. 【典型例题】类型一: 利用导数解决有关切线问题 3X 3X ,过点A (016)作曲线y f (x )的切线,求此切线方程.(1) .再通过研究f '(X ) 0的情形,如果函数在这点有极大例1.已知函数y【思路点拨】因为点 A 不在曲线上,所以应先设出切点并求出切点. 【解析】曲线方程为 3y X 3X ,点A (016)不在曲线上.3a)点A(016)在切线上,则有16 (X)33x 0)3化简得X o 8,解得X o 2 .所以,切点为 M( 2,2),切线方程为9xA 是否在曲线上,若点 A 不在曲线上,应先设出切点, 然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组,从而求得参数值举一反三:【变式1】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 【答案】y 4x1(2,o)且与曲线y -相切的直线方程. X类型二: 利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题 例 2.设函数 f(x) -x 32ax 23a 2x b (a,b3【思路点拨】求导后,求导数为零的根,两根大小的判断是确定分类点的依据Q Q【解析】f (x) X 4ax 3a (x a)(x(1 )当 a o 时,f(X) X 2o , f (X)在(设切点为M (X o, y 0),则点M 的坐标满足y o3 c X o 3x o .2因 f(X o ) 3(X o 1), 故切线的方程为y y 023(X o 1)(x X o ).23(x o 1)(o X o ).【变式2】求过点【答案】设P(xo, y o )为切点,则切线的斜率为 y 1X X o1~2X o•••切线方程为y 1 1 y o —(x X o ),即 yX oX o又已知切线过点 (2,0),把它代入上述方程,得-V(x X o 1 x o ). X o丄(2 X o ).X o解得X o 1, y o—1,即 X y 2 o. X o【总结升华】此类题的解题思路是,先判断点 R),求f (x)的单调区间和极值.令 f(X)o 得 X 24ax 3a 2 o 即(x a)(x3a) 0,解得 X a 或 x 3a ,)上单调递减,没有极值;(2)当a o时,由f(X) o得a X 3a,由f (x) o得x a或x 3a ,3a)•••当X a 或X 3a 时,f (x)0 , f (x)单调递减;X 2当a x 3a 时,f(X)0, f(x)单调递增;【总结升华】(1)解决此类题目,关键是解不等式 f '(X) 0或f '(X) 0,若f '(X)中含有参数,须分类讨论.(2)特别应注意,在求解过程中应先写出函数的定义域 举一反三:aa0,-r1,XV a X 0 时,4 3--f (X)极小 f (a)— ab , f (X)极大 f (3a) b , ••• f(x)的递减区间为(,a) , (3a, );递增区间为(a,3a);f(X)极小 3 a'f(x)极大b .(3)当a 0时,由f (X) 0 得 3a X a ,由 f (X) 0 得 X 3a 或 x a ,•••当X 3a 或X a 时, f (X) 0 , f(x)单调递减;当3a X a 时,f (X) 0 , f(x)单调递增;••• f(x)极小 f (3a)f (X)极大 f(a) • f(x)的递减区间为3a), (a,递增区间为(3a, a);f (x)极大 4 a'f (x)极小b .【变式1】求函数f (X) X a-(a 0)的单调区间. X【答案】 f '(X) 1令 f'(X)a~2X a 2XX 2a ,(1)J a 或XT a 时,所以, f'(X) 0;(2)1.【高清课堂:导数的应用综合 370878 例题4】【变式2】 已知函数f(x)=ax 3+x 2+1 , x€ (0 , 1]若f(x)在(0,1)上是增函数,求实数 a 的取值范围;【答案】••• f(x)在(0, 1)上是增函数,••• x€( 0 , 1)时,f’(x)=3ax 2+2x>0 恒成立, 2即a 一对x €( 0, 1 )恒成立, 3x2•-—在(0, 1)上单调增,3x2 2••• x=1时,—取最大值 -3x 32 2— (a —时也符合题意),则a 3 3(2)又 f(1) a 2 27^ 1.27a所以,f'(x) 0• • f (x)的单调增区间是,单调减区间是J a, 0 , 0, j a .(2) 求f(x)在(0,1)上的最大值.(1) (1) f’(x)=3ax 2+2x,①当a ②当a 2-时,f(x)在(0 ,1)上单调增, 32 2一时,令f '(x) 3ax 2x 0,由x 0 ,得x3 2 一时,f '(x) 0;当3a 2 f(x)max f(1) a 2.23a 2 3a 427a 20,【高清课堂:导数的应用综合 370878 例题1】例3.已知函数f (x) ax 3bx c 在x 2处取得极值为c (1)求a 、b 的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[•- f(x)在(0,1)上的最大值为4 27a 216,3,3]上的最大值.【高清课堂:导数的应用综合370878 例题1】1 12举一反三:(2) 由( 1) 知 f (X) 3 X 12x c , f (x)23x 12,令f (X) 0 ,得X 1 2,X 2 2当X (J2)时 f(X) 0, 故f(x)在(,2)上为增函数;当X (2,2) 时 f(X) 0, 故 f(x)在(2,2)上为减函数;当X (2,)时 f(X) 0, 故 f (X)在(2, )上为增函数由此可知f(X)在X j2处取得极大值f( 2)16 c ,其导函数 f(X),且函数f (X)在X 2处取得极小值,则函数【变式1】设函数f(x)在R 上可导, 【解析】 3(1 )因 f(x) ax bx c 故f (x) 3ax 2b 由于f (x)在点x 2处取得极值故有f (2) 0 f (2) c 1612a b 8a 2b cc 16解得f(X)在X 2 2处取得极小值f(2) c 16,由题设条件知16 c 28得c 12,此时 f( 3) 9 c 21, f (3)3 , f(2) c 164,因此f(x)上[3,3]的最小值为 f(2) 4.【高清课堂:导数的应用综合370878 例题1】x5x y 80.(1)若a 0,当x 变化时,f(X)的正负如下表:xg 旦3a 3a a3a(a,g )f (x)oaa/ 因此,函数f(x)在x-处取得极小值fa ,且f3^a3 ;【答案】C 【变式2】函数f(X)— 2sin x 的图象大致是( )2首先易判断函数为奇函数,排除 A,求导后解导数大于零可得周期性区间, 从而排除 B 、D,故选C.例4.设函数f(x) x(x 、2a) ( x(I)当 a 1时,求曲线 y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (n)当 a 0时,求函数f (x)的极大值和极小值. 【解析】 (I)当a 1时,f (x) x(x 1)2 x 3 2x 2 x ,得 f(2)2,且f (x) 3x 24x 1 , f (2)5.所以,曲线yx(x 21)在点(2, 2)处的切线方程是y 25(x 2),整理得(n) f(x)x(xa)2 2ax 2 (x)3x 2 4 axa 2(3x a)(x a).由于aa或30,以下分两种情况讨论.f (x) 0,解得x函数f(x)在x a 处取得极大值f(a),且f(a) 0 .(2)若a 0,当x 变化时,f(X)的正负如下表:因此,函数f (x)在x a 处取得极小值f (a),且f(a) 0 ;aa a 4 Q函数f(x)在x 3处取得极大值f -,且 f- 护-【总结升华】1.导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点,一般采用求根法和图像法.举一反三:2. 列表能比较清楚的看清极值点3. 写结论时极值点和极大(小) 值都要交代清楚【高清课堂: 导数的应用综合 370878例题2】1【变式1】设函数f(X)-x In 3x(x 0),则 y f(X)(A. 在区间(一,1),(1,e)内均有零点.eB. 在区间(丄⑴门闾内均无零点e '1C. 在区间(一,1)内有零点,在区间e 1D. 在区间(一,1)内无零点,在区间 (1,e)内无零点. (1,e)内有零点.由题得f'(x)13 1 X 3x 3x,令 f'(X) 0 得 x 3 ; 令 f'(x) 0 得 0 x 3 ; f'(x) 0 得x 3,故知函数 f (x)在区间 (0,3)上为减函数,在区间(3,)为增函数,在点 x 3处有极小值1 ln3 0 ;又 f(1) l,f e3 e1 0, f(1) — 3 e 3e1 0,故选择D.每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为 315万元.【变式2】(1)试确定a,b 的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间.又对f(x)求导得x 1时,f(X) 0,此时f(x)为减函数; 1时,f(X)0,此时f (x)为增函数.例5.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量X (吨)与每吨产品的价格 P (元/吨)之间的关系式1 2为:P 24200-X ,且生产X 吨的成本为R 50000 200x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使 5利润L 达到最大?最大利润是多少?(利润=收入一成本)1【解析】:每月生产X 吨时的利润为f(x) (24200 -X 2)x (50000 200x) 5故它就是最大值点,且最大值为:f (200)1(200)3 24000 2005已知函数 f(x) ax 41nx bx 4C (x>0)在 x = 1 处取得极值-3-c , 其中a,b,c 为常数.【答案】(1)由题意知f(1)C ,从而b3f (x) 4ax ln x 41ax g- X4bx 3 x 3(4a l nx由题意f (1) 0 , 因此a 4b 0,解得 a 12,b(2)由(I)知 f(X)348x In X ( x 0),令 f(X)0,解得x因此 f(x)的单调递减区间为(0,1),而f(x)的单调递增区间为(1, g ).类型三:利用导数解决优化问题lx 3 24000 X 50000 (x5 0)3 2由 f(X) -X 24000 0解得X 1200, X 2 200(舍去). 因f (x)在[0,)内只有一个点X 200,使f (X) 050000 3150000(元)【总结升华】禾u用导数求实际问题中的最大值或最小值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点举一反三:【变式】某单位用 2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少房•经测算,如果将楼房建为x( X> 10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48X (单位:元)•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用当 X > >15 时,f '(X)0,当 10< X < 15 时,f '(X)因此,当X=15时,f(X)取得最小值f(15)2000 •10层、每层2000平方米的楼购地总费用)建筑总面积【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为f(X),则2160 10000 f(X)(560 48X)——2000Xf'(X)48 10800,令f'(X)0 ,X 560 48x 10, X N)•得x=15•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.。
复习课(三) 导数及其应用 导数的概念及几何意义的应用近几年的高考中,导数的几何意义和切线问题是常考内容,各种题型均有可能出现,一般题目难度较小.[考点精要](1)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值:k =f ′(x 0);(2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)=k ;(3)已知过某点M (x 1,f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时,常需设出切点A (x 0,f (x 0)),利用k =f x 1-f x 0x 1-x 0求解. [典例] (2017·天津高考)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax -ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________.[解析] 由题意可知f ′(x )=a -1x, 所以f ′(1)=a -1,因为f (1)=a ,所以切点坐标为(1,a ),所以切线l 的方程为y -a =(a -1)(x -1),即y =(a -1)x +1.令x =0,得y =1,即直线l 在y 轴上的截距为1.[答案] 1[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.②如果已知点不是切点,则应先出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,例如,y =x 3在(1,1)处的切线l 与y =x 3的图象还有一个交点(-2,-8).[题组训练]1.曲线y =x x +2在点(-1,-1)处的切线方程为( )A .y =2x +1B .y =2x -1C .y =-2x -3D .y =-2x -2解析:选A ∵y ′=x ′x +2-x x +2′x +22=2x +22, ∴k =y ′|x =-1=2-1+22=2,∴切线方程为:y +1=2(x +1),即y =2x +1.2.已知曲线y =x 3-1与曲线y =3-12x 2在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393 解析:选D y =x 3-1⇒y ′=3x 2,y =3-12x 2⇒y ′=-x ,由题意得3x 20·(-x 0)=-1,解得x 30=13,即x 0=313=393,故选D. 导数与函数的单调性形式出现,则难度以中、低档为主,若以解答题形式出现,难度则以中等偏上为主,主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题.[考点精要]函数的单调性与导函数值的关系若函数f (x )在(a ,b )内可导,则f ′(x )在(a ,b )任意子区间内部不恒等于0.f ′(x )>0⇒函数f (x )在(a ,b )上单调递增;f ′(x )<0⇒函数f (x )在(a ,b )上单调递减.反之,函数f (x )在(a ,b )上单调递增⇒f ′(x )≥0;函数f (x )在(a ,b )上单调递减⇒f ′(x )≤0.即f ′(x )>0(f ′(x )<0)是f (x )为增(减)函数的充分不必要条件.特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接.[典例] (2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.讨论f(x)的单调性.[解] f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x+2ax+2a+1=x+12ax+1x.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0,-12a时,f′(x)>0;当x∈⎝⎛⎭⎪⎫-12a,+∞时,f′(x)<0,故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0,-12a上单调递增,在⎝⎛⎭⎪⎫-12a,+∞上单调递减.[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)计算函数f(x)的导数f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,得到函数f(x)的递增区间;解不等式f′(x)<0,得到函数f(x)的递减区间.[注意] 求函数单调区间一定要先确定函数定义域,往往因忽视函数定义域而导致错误.[题组训练]1.函数f(x)=2x2-ln x的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0,12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 解析:选C 由题意得f ′(x )=4x -1x =4x 2-1x,且x >0,由f ′(x )>0,即4x 2-1>0,解得x >12.故选C.2.已知函数f (x )=-12x 2+2x -a e x . (1)若a =1,求f (x )在x =1处的切线方程;(2)若f (x )在R 上是增函数,求实数a 的取值范围.解:(1)当a =1时,f (x )=-12x 2+2x -e x , 则f (1)=-12×12+2×1-e =32-e , f ′(x )=-x +2-e x ,f ′(1)=-1+2-e =1-e ,故曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y -⎝ ⎛⎭⎪⎫32-e =(1-e)(x -1),即y =(1-e)x +12. (2)∵f (x )在R 上是增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立,∵f (x )=-12x 2+2x -a e x , ∴f ′(x )=-x +2-a e x ,于是有不等式-x +2-a e x ≥0在R 上恒成立,即a ≤2-x e x 在R 上恒成立, 令g (x )=2-x e x ,则g ′(x )=x -3ex , 令g ′(x )=0,解得x =3,列表如下:x(-∞,3) 3 (3,+∞) g ′(x )- 0 + g (x )-1e 3 故函数g (x )在x =3处取得极小值,亦即最小值,即g (x )min =-1e 3,所以a ≤-1e3, 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-1e 3. 导数与函数的极值、最值的核心部分,年年高考都有考查,多以解答题形式考查,难度相对较大.[考点精要]1.导数与函数单调性、极值的关系(1)f ′(x )>0在(a ,b )上成立,是f (x )在(a ,b )上单调递增的充分不必要条件.(2)对于可导函数f (x ),f ′(x 0)=0是函数f (x )在x =x 0处有极值的必要不充分条件.2.利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域,遵循定义域优先的原则;(2)f ′(x 0)=0时,x 0不一定是极值点;(3)求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时应分类讨论.[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )=e xcos x -x .(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最大值和最小值. [解] (1)因为f (x )=e xcos x -x ,所以f ′(x )=e x (cos x -sin x )-1,f ′(0)=0.又因为f (0)=1,所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =1.(2)设h (x )=e x (cos x -sin x )-1,则h ′(x )=e x (cos x -sin x -sin x -cos x )=-2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2时,h ′(x )<0, 所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上单调递减. 所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2有h (x )<h (0)=0, 即f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上单调递减. 因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最大值为f (0)=1,最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=-π2. [类题通法]1.求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间,求导数f ′(x ).(2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f (x )在这个根处无极值.2.求函数的最值的方法(1)求f (x )在(a ,b )内的极值.(2)将f (x )的各极值与f (a ),f (b )比较得出函数f (x )在[a ,b ]上的最值.[题组训练]1.函数f (x )=1+3x -x 3( )A .有极小值,无极大值B .无极小值,有极大值C .无极小值,无极大值D .有极小值,有极大值解析:选D f ′(x )=-3x 2+3,由f ′(x )=0,得x =±1.当x ∈(-1,1)时,f ′(x )>0,∴f (x )的单调增区间为(-1,1);同理,f (x )的单调减区间为(-∞,-1)和(1,+∞).∴当x =-1时,函数有极小值-1,当x =1时,函数有极大值3,故选D.2.已知函数f (x )=1+ln x x(x ≥1), (1)试判断函数f (x )的单调性,并说明理由;(2)若f (x )≥k x +1恒成立,求实数k 的取值范围. 解:(1)f ′(x )=-ln x x2,∵x ≥1,∴ln x ≥0,∴f ′(x )≤0. 故函数f (x )在[1,+∞)上单调递减.(2)∵x ≥1,∴f (x )≥kx +1⇔x +11+ln x x ≥k ,令g (x )=x +11+ln x x , ∴g ′(x )=[x +11+ln x ]′x -x +11+ln x x 2=x -ln x x 2. 再令h (x )=x -ln x ,则h ′(x )=1-1x.∵x≥1,则h′(x)≥0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递增.∴[h(x)]min=h(1)=1>0,从而g′(x)>0,故g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴[g(x)]min=g(1)=2,∴k≤2.故实数k的取值范围为(-∞,2].生活中的优化问题既可以以小题形式考查,也可以解答题形式考查,难度中低档.[考点精要]解答思路[典例] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意知200πrh+160πr2=12 000π,所以h =15r(300-4r 2), 从而V (r )=πr 2h =π5(300r -4r 3). 因为r >0,又由h >0可得r <53,故函数V (r )的定义域为(0,53).(2)因为V (r )=π5(300r -4r 3), 所以V ′(r )=π5(300-12r 2). 令V ′(r )=0,解得r 1=5,r 2=-5(因r 2=-5不在定义域内,舍去). 当r ∈(0,5)时,V ′(r )>0,故V (r )在(0,5)上为增函数; 当r ∈(5,53)时,V ′(r )<0,故V (r )在(5,53)上为减函数.由此可知,V (r )在r =5处取得最大值,此时h =8.即当r =5,h =8时,该蓄水池的体积最大.[类题通法]利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大或最小值的变量y 与自变量x ,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系y =f (x ),根据实际问题确定y =f (x )的定义域.(2)求方程f ′(x )=0的所有实数根.(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小,根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.[题组训练]1.书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库存费40元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分________次进货、每次进__________册,可使所付的手续费与库存费之和最少.解析:设每次进书x 千册(0<x <150),手续费与库存费之和为y 元,由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量一半,即x 2,故有y =150x ×30+x 2×40, y ′=-4 500x 2+20=20x +15x -15x 2,∴当0<x <15时,y ′<0,当15<x <150时,y ′>0. 故当x =15时,y 取得最小值,此时进货次数为15015=10(次). 即该书店分10次进货,每次进15 000册书,所付手续费与库存费之和最少.答案:10 15 0002.一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小?解:设轮船速度为x (x >0)千米/时的燃料费用为Q 元,则Q=kx 3,由6=k ×103,可得k =3500.∴Q =3500x 3. ∴总费用y =⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x 3+96·1x =3500x 2+96x . ∵y ′=6x 500-96x 2. 令y ′=0,得x =20.∴当x ∈(0,20)时,y ′<0,此时函数单调递减,当x ∈(20,+∞)时,y ′>0,此时函数单调递增.∴当x =20时,y 取得最小值,∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小.1.下面求导运算正确的是( )A .(2x )′=2xlog 2eB .(x 3sin x )′=3x 2cos xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫x cos x ′=-1sin x D .(x +log 3x )′=1+1x ln 3解析:选D (2x )′=2x ln 2,(x 3sin x )′=3x 2sin x +x 3·cos x ,⎝ ⎛⎭⎪⎫x cos x ′=cos x +x sin x cos 2x ,(x +log 3x )′=1+1x ln 3,所以选D.2.已知函数f (x )=13x 3-12x 2+cx +d 有极值,则c 的取值范围为( )A .c <14B .c ≤14C .c ≥14D .c >14解析:选A 由题意得f ′(x )=x 2-x +c ,若函数f (x )有极值,则Δ=1-4c >0,解得c <14. 3.已知函数f (x )=2x 3+ax 2+36x -24在x =2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )A .(2,3)B .(3,+∞)C .(2,+∞)D .(-∞,3)解析:选B 因为函数f (x )=2x 3+ax 2+36x -24在x =2处有极值,又f ′(x )=6x 2+2ax +36,所以f ′(2)=0解得a =-15.令f ′(x )>0,解得x >3或x <2,所以函数的一个递增区间是(3,+∞).4.已知f (x )=3x 2+ln x ,则li m Δx →0 f 1+2Δx -f 1-Δx Δx=( ) A .7B.73 C .21 D .-21解析:选C ∵f ′(x )=6x +1x, ∴li m Δx →0 f 1+2Δx -f 1-Δx Δx=3li m 3Δx →0 f 1+2Δx -f 1-Δx 3Δx=3f ′(1)=21. 5.函数y =ln x -x 在x ∈(0,e]上的最大值为( )A .eB .1C .-1D .-e解析:选C 函数y =ln x -x 的定义域为(0,+∞),又y ′=1x -1=1-x x,令y ′=0得x =1,当x ∈(0,1)时,y ′>0,函数单调递增;当x ∈(1,e)时,y ′<0,函数单调递减.当x =1时,函数取得最大值-1,故选C.6.已知函数f (x )=-13x 3+2x 2+2x ,若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0,使得曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线与直线x +my -10=0垂直,则实数m 的取值范围是( )A .[6,+∞)B .(-∞,2]C .[2,6]D .[5,6]解析:选C f ′(x )=-x 2+4x +2=-(x -2)2+6,因为x 0∈[0,3],所以f ′(x 0)∈[2,6],又因为切线与直线x +my -10=0垂直,所以切线的斜率为m ,所以m 的取值范围是[2,6].7.曲线y =cos x x 在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,0处的切线方程为________. 解析:y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′=-x sin x -cos x x 2, ∴切线的斜率k =y ′⎪⎪⎪ x =π2=-2π. ∴所求切线的方程为y -0=-2π⎝⎛⎭⎪⎫x -π2, 即y =-2πx +1. 答案:y =-2πx +1 8.函数f (x )=12x -x 3在区间[-3,3]上的最小值是________. 解析:f ′(x )=12-3x 2.令f ′(x )=0,得x =2或x =-2.因为f (-3)=-9,f (-2)=-16,f (2)=16,f (3)=9, 所以函数f (x )在区间[-3,3]上的最小值是-16.答案:-169.设x 1,x 2是函数f (x )=x 3-2ax 2+a 2x 的两个极值点,若x 1<2<x 2,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意得f ′(x )=3x 2-4ax +a 2的两个零点x 1,x 2满足x 1<2<x 2,所以f ′(2)=12-8a +a 2<0,解得2<a <6.答案:(2,6)10.已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2+4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =2x -3.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极小值.解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x +4.∵曲线在点(0,f (0))处的切线方程为y =2x -3.∴f (0)=-3,f ′(0)=2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ b =-3,a +b +4=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ b =-3,a =1.(2)由(1)知f (x )=e x(x -3)-x 2+4x , f ′(x )=e x (x -2)-2x +4=(x -2)(e x -2).令f ′(x )=0,得x =ln 2或x =2.∴当x ∈(-∞,ln 2)∪(2,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(ln 2,2)时,f ′(x )<0,故f (x )在(-∞,ln 2),(2,+∞)上单调递增,在(ln 2,2)上单调递减.∴当x =2时,函数f (x )取得极小值,且极小值为f (2)=4-e 2.11.某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨,其中x ∈[20,100],需要投入的成本为C (x )(单位:万元),当x ∈[20,80]时,C (x )=12x 2-30x +500;当x ∈(80,100]时,C (x )=20 000x.若每吨商品售价为ln x x万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (x )(单位:万元)关于x 的函数关系式;(2)年产量为多少吨时,该厂所获利润最大?解:(1)由题意,知L (x )=1 000ln x -C (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1 000ln x -⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-30x +500,x ∈[20,80],1 000ln x -20 000x ,x ∈80,100]. (2)当x ∈[20,80]时,L ′(x )=-x -50x +20x ,∴L (x )在[20,50)上单调递增,在[50,80)上单调递减, ∴当x =50时,L (x )max =1 000ln 50-250;当x ∈(80,100]时,L (x )=1 000ln x -20 000x单调递增, ∴L (x )max =1 000ln 100-2 000.∵1 000ln 50-250-(1 000ln 100-2 000)=1 750-1 000ln 2>1 750-1 000>0,∴当x =50,即年产量为50 000吨时,利润最大,最大利润为(1 000ln 50-250)万元.12.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 的导函数为h (x ),f (x )的图象在点(-2,f (-2))处的切线方程为3x -y +4=0,且h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-23=0,又直线y =x 是函数g (x )=kx e x 的图象的一条切线.(1)求函数f (x )的解析式及k 的值;(2)若f (x )≤g (x )-m +1对于任意x ∈[0,+∞)恒成立,求m的取值范围.解:(1)由f (x )=ax 3+bx 2+cx ,可知h (x )=f ′(x )=3ax 2+2bx +c .由f (x )在(-2,f (-2))处的切线方程为3x -y +4=0可知,f (-2)=-8a +4b -2c =-2,①f ′(-2)=12a -4b +c =3,②又由h ′(x )=6ax +2b 可知,h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-23=-4a +2b =0,③ 由①②③,解得a =12,b =1,c =1, 所以f (x )的解析式为f (x )=12x 3+x 2+x . 由题意,g (x )=kx e x与y =x 相切可知函数在原点或(-ln k ,-ln k )处切线斜率为1.因为g ′(x )=k (e x +x e x ),所以g ′(0)=k =1或g ′(-ln k )=1,得k =1.综上可得k 的值为1.(2)若f (x )≤g (x )-m +1对任意x ∈[0,+∞)恒成立, 即12x 3+x 2+x ≤x e x -m +1恒成立, 则m -1≤x e x -12x 3-x 2-x 恒成立.设q (x )=x e x-12x 3-x 2-x =x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x -12x 2-x -1, 令p (x )=e x-12x 2-x -1, p ′(x )=e x -x -1,再令φ(x )=e x -x -1,φ′(x )=e x-1=0,解得x =0. 所以当x ∈[0,+∞)时,φ′(x )≥0,所以φ(x )在[0,+∞)上单调递增,所以φ(x )≥φ(0)=0,即p ′(x )≥0,所以p (x )在[0,+∞)上单调递增,所以p (x )≥p (0)=0, 所以当x ∈[0,+∞)时,q (x )≥0恒成立,且q (0)=0, 因此,m -1≤0即可,则m ≤1.故m 的取值范围为(-∞,1].一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“∃x 0∈R,2x 0-3>1”的否定是( )A .∃x 0∈R,2x 0-3≤1B .∀x ∈R,2x -3>1C .∀x ∈R,2x -3≤1D .∃x 0∈R,2x 0-3>1 解析:选C 由特称命题的否定的定义即知.2.函数y =-1x的图象在点(1,-1)处的切线的方程是( ) A .x -y -2=0B .2x -2y +3=0C .x +y =0D .x -y =0解析:选A ∵y ′=1x2,∴y ′| x =1=1,∴y =-1x在点(1,-1)处的切线的斜率为1,∴切线的方程为y -(-1)=x -1, 即x -y -2=0,故选A.3.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( ) A.18 B .-18C .8D .-8解析:选B 由y =ax 2得x 2=1a y , ∴1a=-8,∴a =-18.4.下列说法中正确的是( )A .一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B .“a >b ”与“a +c >b +c ”不等价C .“a 2+b 2=0,则a ,b 全为0”的逆否命题是“若a ,b 全不为0,则a 2+b 2≠0”D .一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真解析:选D 否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性,故选D.5.已知甲:a ,b ,c 成等差数列;乙:a b +cb=2.则甲是乙的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 若a b +cb=2,则a +c =2b ,由此可得a ,b ,c 成等差数列;当a ,b ,c 成等差数列时,可得a +c =2b ,但不一定得出a b +cb=2,如a =-1,b =0,c =1.所以甲是乙的必要不充分条件,故选A.6.双曲线x 2m -y 2n=1(mn ≠0)的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合,则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析:选A 抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),故双曲线x 2m -y 2n =1中,m >0,n >0且m +n =c 2=1.① 又双曲线的离心率e =cm=m +nm=2,②联立方程①②,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =14,n =34.故mn =316.7.下列命题的否定是真命题的是( )A .存在向量m ,使得在△ABC 中,m ∥AB ―→且m ∥AC ―→B .对所有正实数x ,都有x +1x≥2C .对所有第四象限的角α,都有sin α<0D .有的幂函数的图象不经过点(1,1)解析:选D A 中,当m =0时,满足m ∥AB ―→且m ∥AC ―→,所以A 是真命题,其否定是假命题; B 中,由于x >0,所以x +1x ≥2x ·1x=2,当且仅当x =1x,即x =1时等号成立,所以B 是真命题,其否定是假命题;C 中,由于第四象限角的正弦值是负数,所以C 是真命题,其否定是假命题;D 中,对于幂函数f (x )=x α,均有f (1)=1, 所以幂函数的图象均经过点(1,1),所以D 是假命题,其否定是真命题.故选D. 8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图,则函数y =ax 2+32bx +c3的单调递增区间是( )A .(-∞,-2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞C .[-2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98,+∞解析:选D 由题图可知d =0.不妨取a =1, ∵f (x )=x 3+bx 2+cx , ∴f ′(x )=3x 2+2bx +c .由图可知f ′(-2)=0,f ′(3)=0, ∴12-4b +c =0,27+6b +c =0,∴b =-32,c =-18.∴y =x 2-94x -6,y ′=2x -94.当x >98时,y ′>0,∴y =x 2-94x -6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98,+∞.故选D.9.已知F 1(-3,0),F 2(3,0)是椭圆x 2m +y 2n=1的两个焦点,点P 在椭圆上,∠F 1PF 2=α.当α=2π3时,△F 1PF 2面积最大,则m+n 的值是( )A .41B .15C .9D .1解析:选B 由S △F 1PF 2=12|F 1F 2|·y P =3y P ,知P 为短轴端点时,△F 1PF 2面积最大.此时∠F 1PF 2=2π3,得a =m =2 3,b =n=3,故m +n =15.10.已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1,F 2,点A 在C 上.若|F 1A |=2|F 2A |,则cos ∠AF 2F 1=( )A.14B.13C.24D.23解析:选A由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |-|F 2A |=2a ,|F 1A |=2|F 2A |,解得|F 2A |=2a ,|F 1A |=4a ,又由已知可得ca=2,所以c =2a ,即|F 1F 2|=4a ,∴cos ∠AF 2F 1=|F 2A |2+|F 1F 2|2-|F 1A |22|F 2A |·|F 1F 2|=4a 2+16a 2-16a 22×2a ×4a =14.故选A.11.若不等式2x ln x ≥-x 2+ax -3对x ∈(0,+∞)恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,0)B .(-∞,4]C .(0,+∞)D .[4,+∞)解析:选B 由2x ln x ≥-x 2+ax -3,得a ≤2ln x +x +3x,设h (x )=2ln x +x +3x(x >0),则h ′(x )=x +3x -1x 2.当x ∈(0,1)时,h ′(x )<0,函数h (x )单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,h ′(x )>0,函数h (x )单调递增, 所以h (x )min =h (1)=4.所以a ≤h (x )min =4. 故a 的取值范围是(-∞,4].12.定义在R 上的函数f (x )满足:f ′(x )>f (x )恒成立,若x 1<x 2,则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A .e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)B .e x 1f (x 2)<e x 2(x 1)C .e x 1f (x 2)=e x 2f (x 1)D .e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定 解析:选A 设g (x )=f xex,则g ′(x )=f ′x e x -f xex′ex2=f ′x -f xex,由题意g ′(x )>0,所以g (x )单调递增,当x 1<x 2时,g (x 1)<g (x 2),即f x 1e x 1<f x 2e x 2,所以e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知函数f (x )=(2x +1)e x,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(0)的值为________.解析:因为f (x )=(2x +1)e x,所以f ′(x )=2e x +(2x +1)e x =(2x +3)e x, 所以f ′(0)=3e 0=3. 答案:314.命题“∃x 0∈R,2x 20-3ax 0+9<0”为假命题,则实数a 的取值范围是________.解析:∵∃x 0∈R,2x 20-3ax 0+9<0为假命题, ∴∀x ∈R,2x 2-3ax +9≥0为真命题, ∴Δ=9a 2-4×2×9≤0,即a 2≤8, ∴-22≤a ≤2 2. 答案:[-22,2 2 ]15.若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线x 2=4y的准线所围成的三角形的面积为2,则该双曲线的离心率为________.解析:依题意,得双曲线的渐近线方程是y =±bax ,抛物线的准线方程是y =-1,因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫-a b ,-1,⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ,-1,(0,0), 该三角形的面积等于2×12×a b ×1=ab=2,因此该双曲线的离心率e =ca=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=52. 答案:5216.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p 元,销量Q (单位:件)与零售价p (单位:元)有如下关系:Q =8 300-170p -p 2,则该商品零售价定为______元时利润最大,利润的最大值为______元.解析:设商场销售该商品所获利润为y 元,则y =(p -20)(8 300-170p -p 2)=-p 3-150p 2+11 700p -166 000(p ≥20), 则y ′=-3p 2-300p +11 700. 令y ′=0得p 2+100p -3 900=0, 解得p =30或p =-130(舍去). 则p ,y ,y ′变化关系如下表:故当p =又y =-p 3-150p 2+11 700p -166 000在[20,+∞)上只有一个极值,故也是最值.所以该商品零售价定为每件30元,所获利润最大为23 000元.答案:30 23 000三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知命题p :方程x 22+y 2m=1表示焦点在y 轴上的椭圆;命题q :∀x ∈R,4x 2-4mx +4m -3≥0.若(綈p )∧q 为真,求m 的取值范围.解:p 真时,m >2.q 真时,4x 2-4mx +4m -3≥0在R 上恒成立. Δ=16m 2-16(4m -3)≤0,解得1≤m ≤3.∵(綈p )∧q 为真,∴p 假,q 真.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2,1≤m ≤3,即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2].18.(本小题满分12分)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)上一点M (m,4)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C 的方程;(2)若过点M 的双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)的一个顶点为抛物线C 的焦点,求该双曲线的渐近线方程.解:(1)由抛物线的定义可得4+p2=5,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y . (2)把M (m,4)代入x 2=4y 可得m =±4, 所以M 点的坐标为(±4,4),∵抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1),∴a =1,∴双曲线的方程为y 2-x 2b2=1(b >0),代入M (±4,4)得b 2=1615,b =415,∴双曲线的渐近线方程为y =±1415x ,即为y =±154x .19.(本小题满分12分)已知a <2,函数f (x )=(x 2+ax +a )·e x .(1)当a =1时,求f (x )的单调递增区间; (2)若f (x )的极大值是6e -2,求a 的值. 解:(1)当a =1时,f (x )=(x 2+x +1)e x, 则f ′(x )=(x 2+3x +2)e x. 由f ′(x )≥0得x 2+3x +2≥0,即x ≥-1或x ≤-2,所以函数的单调递增区间为(-∞,-2]和[-1,+∞). (2)f ′(x )=(2x +a )e x +(x 2+ax +a )e x=[x 2+(a +2)x +2a ]e x.由f ′(x )=0得x =-2或x =-a , 因为a <2,所以-a >-2.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如表所示:即(4-2a +a )e -2=6e -2,所以a =-2.20.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2+2y 2=4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在直线y =2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB ,求线段AB 长度的最小值.解:(1)由题意,得椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1,所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2.因此a =2,c = 2.故椭圆C 的离心率e =c a =22.(2)设点A ,B 的坐标分别为(t,2),(x 0,y 0),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA ―→·OB―→=0,即tx 0+2y 0=0,解得t =-2y 0x 0.又x 20+2y 20=4,所以|AB |2=(x 0-t )2+(y 0-2)2=⎝⎛⎭⎪⎫x 0+2y 0x 02+(y 0-2)2=x 20+y 20+4y 20x 20+4=x 20+4-x 202+24-x 2x 20+4=x 202+8x 20+4(0<x 20≤4).因为x 202+8x 20≥4(0<x 20≤4),当且仅当x 20=4时等号成立,所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.21.(本小题满分12分)设椭圆E :x 2a 2+y 21-a 2=1(a >0)的焦点在x 轴上.(1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(2)设F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线F 2P 交y 轴于点Q ,并且F 1P ⊥F 1Q ,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上.解:(1)因为a 2>1-a 2,2c =1,a 2=1-a 2+c 2,则a 2=58,所以椭圆E 的方程为8x 25+8y 23=1.(2)证明:设F 1(-c,0),F 2(c,0),P (x ,y ),Q (0,m ), 则F 2P ―→=(x -c ,y ),QF 2―→=(c ,-m ),F 1P ―→=(x +c ,y ),F 1Q ―→=(c ,m ).由F 2P ―→∥QF 2―→,F 1P ―→⊥F 1Q ―→, 得⎩⎪⎨⎪⎧m c -x =yc ,c x +c +my =0,所以(x -c )(x +c )=y 2,即x 2-y 2=c 2.由椭圆E 的方程可知,c 2=a 2-(1-a 2)=2a 2-1, 所以x 2-y 2=2a 2-1, 即y 2=x 2-2a 2+1. 将上式代入椭圆E 的方程,得x 2a 2+x 2-2a 2+11-a2=1, 解得x 2=a 4.因为点P 是第一象限内的点,所以x =a 2,y =1-a 2. 故点P 在定直线x +y =1上.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x+2x 2-3x . (1)求证:函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点. (2)当x ≥12时,若关于x 的不等式f (x )≥52x 2+(a -3)x +1恒成立,试求实数a 的取值范围.解:(1)证明:f ′(x )=e x+4x -3,∵f ′(0)=e 0-3=-2<0,f ′(1)=e +1>0, ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )=f ′(x )=e x +4x -3,则h ′(x )=e x+4>0, ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增, ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点, ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点. (2)由f (x )≥52x 2+(a -3)x +1,得e x+2x 2-3x ≥52x 2+(a -3)x +1,即ax ≤e x-12x 2-1,∵x ≥12,∴a ≤e x-12x 2-1x.令g (x )=e x-12x 2-1x,则g ′(x )=e xx -1-12x 2+1x2. 令φ(x )=e x(x -1)-12x 2+1,则φ′(x )=x (e x-1).∵x ≥12,∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞上单调递增.∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=78-12e>0.因此g ′(x )>0,故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞上单调递增,则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=e 12-18-112=2e -94, ∴a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,2e -94.。
《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 导数概念通过具体情境,感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题,体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义,理解导数的几何意义2. 导数运算(1)会用导数定义计算一些简单函数的导数;(2)会利用导数公式表求出给定函数的导数;(3)掌握求导的四则运算法则,掌握求复合函数的导数,并会利用导数的运算法则求出函数的导函数3. 体会研究函数的意义(1 )认识导数对于研究函数的变化规律的作用;(2)会用导数的符号来判断函数的单调性;(3)会利用导数研究函数的极值点和最值点.4•导数在实际问题中的应用(1)进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型;(2)联系实际生活和其他学科,进一步体会导数的意义;(3)从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题,并加以解决【知识网络】【要点梳理】要点一:导数的概念及几何意义导数的概念:函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f ‘X。
)表示,定乂为:一山y 「 f (Xo +^X)—f (Xo )f(x0尸lim ——=lim ------- ----------- ----- ---瘵T0也X 2°氐X要点诠释:(1)丄[_^= _j—X L,它表示当自变量x从x°变X i,函数值从 f x°变到 f X1时,.X X—X°. X函数值关于X的平均变化率•当X趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在X°点的导数.(2)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率•如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率.(3)对于不同的实际问题,平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中,位移S从时间1到t2的平均变化率即为t i到t2这段时间的平均速度.要点诠释:求曲线的切线方程时,抓住切点是解决问题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组.导数的物理意义:在物理学中,如果物体运动的规律是s=s t ,那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s t在t=t0时的导数,即v=s' t。
导数及其应用专项训练一. 选择题1.若函数f (x )可导,则lim Δx →0(1)(1)2f x f x∆∆--等于( )A .-2f ′(1) B.12 f ′(1) C .-12f ′(1) D .f ′12⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则( ) A .e 1a b ==-,B .a=e ,b =1C .1e 1a b -==,D .1e a -=,1b =-3.曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为( )A .10x y --π-=B .2210x y --π-=C .2210x y +-π+=D .10x y +-π+= 4.已知函数f (x )的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是( ) A .0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)-f (2) B .0<f ′(2)<f (3)-f (2)<f ′(3) C .0<f ′(3)<f (3)-f (2)<f ′(2) D .0<f (3)-f (2)<f ′(2)<f ′(3) 5.下列运算中正确的是( )A .(ax 2+bx +c )′=a (x 2)′+b (x )′B .(sin x -2x 2)′=(sin x )′-2′(x 2)′C. ()()222sin sin x x x x x '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭D .(cos x ·sin x )′=(sin x )′cos x +(cos x )′cos x 6.若函数f (x )=e x sin x ,则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B .0 C .钝角 D .锐角 7.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a 等于( ) A .2 B.12 C .-12D .-2 8. 函数2cos(2)3y x x π=-的导数为( )A .22cos(2)sin(2)33y x x x x ππ'=---B . 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---C .2cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---D . 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=-+-9.设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a 等于( ) A .0 B .1 C .2 D .310.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示,则函数y=f (x )的图象可能是( )11.已知函数y =f (x )的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示.x -1 0 4 5 f (x )1221①函数y =f (x )是周期函数; ②函数f (x )在[0,2]上是减函数;③如果当x ∈[-1,t ]时,f (x )的最大值是2,那么t 的最大值为4; ④当1<a <2时,函数y =f (x )-a 有4个零点. 其中正确说法的个数是( )A .4B .3C .2D .1 12.函数f (x )=3+x ·ln x 的单调递增区间是( ) A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(e ,+∞) C. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭13.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,若△ABC 为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( )A .f (cos A )<f (cosB ) B .f (sin A )<f (cos B )C .f (sin A )>f (sin B )D .f (sin A )>f (cos B )14.若函数f (x )=2x 2-ln x 在定义域内的一个子区间(k -1,k +1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是( )A. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C .(1,2]D .[1,2)15.设函数()2ln f x x x=+,则( ) A .12x =为f (x )的极大值点 B .12x =为f (x )的极小值点 C .x =2为f (x )的极大值点 D .x =2为f (x )的极小值点16.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x ),函数y =xf ′(x )的图象的一部分如图所示,则( )A .f (x )极大值为f (3),极小值为f (-3)B .f (x )极大值为f (-3),极小值为f (3)C .f (x )极大值为f (-3),极小值为f (3)D .f (x )极大值为f (3),极小值为f (-3)17.函数f (x )=x 3-3x +1在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是( )A .1,-1B .1,-17C .3,-17D .9,-1918.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P 元,销售量为Q 件,且销量Q 与零售价P 有如下关系:Q =8 300-170P -P 2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )A .30元B .60元C .28 000元D .23 000元 二. 填空题19.若f ′(x 0)=2,则lim Δx →000()()2f x f x x x∆∆-+ =________.20.一物体的运动方程为s (t )=7t 2-13t +8,则t 0=________时该物体的瞬时速度为1. 21.已知f (x )=ln x 且()0201f x x '=,则x 0= . 22.函数()2(1)21xf x f x x '=+-,则f ′(0)=________. 23.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 .24.若曲线y =e -x 上点P 处的切线平行于直线2x +y +1=0,则点P 的坐标是________.25.已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为______________. 26.函数f (x )=(x 2+2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________.27.若函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的单调递减区间为[-1,2],则b =________,c =________. 28.若函数f (x )的导函数为f ′(x )=x 2-4x +3,则函数f (x +1)的单调递减区间是________. 29.若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是________. 30.若函数343y x ax =-+有三个单调区间,则a 的取值范围是________. 31.若函数f (x )=(x -2)(x 2+c )在x =2处有极值,则函数f (x )的图象在x =1处的切线的斜率为________. 32.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,当正方形与圆形面积之和最小时,圆的周长为________ cm.33.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为313812800080y x x =-+,x ∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少. 34.已知,若对任意两个不等的正实数都有恒成立,则的取值范围是 .21()ln (0)2f x a x x a =+>12x x 、1212()()2f x f x x x ->-a三. 解答题35.已知曲线y =f (x )=x ,y =g (x )=1x,过两条曲线交点作两条曲线的切线,求两切线与x 轴所围成的三角形面积.36.已知函数f (x )=ax 2+bx +3(a ≠0),其导函数为f ′(x )=2x -8. (1)求a ,b 的值;(2)设函数g (x )=e x sin x +f (x ),求曲线g (x )在x =0处的切线方程.37.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的图象经过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为6x -y +7=0.(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)求函数y =f (x )的单调区间.38.已知函数f (x )=ax 2+ln(x +1). (1)当a =-14时,求函数f (x )的单调区间; (2)若函数f (x )在区间[1,+∞)上为减函数,求实数a 的取值范围.61.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应提高的比例为0.7x ,年销售量也相应增加,年销售量y 关于x 的函数为y =3 240⎝⎛⎭⎫-x 2+2x +53,则当x 为何值时,本年度的年利润最大?最大利润为多少?(年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量)55.讨论函数f (x )=12ax 2+x -(a +1)ln x (a ≥0)的单调性.。
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1.在求平均变化率时,自变量的增量为( )A .0x ∆>B .0x ∆<C .0x ∆=D . 0x ∆≠ 【答案】D2.函数f (x )=2x 2-1在区间[1,1+Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A .4B .4+2ΔxC .4+2(Δx )2D .4x 变式.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是__________.3. 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.(x+x 1)′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=-2xsinx4.下列说法正确的是( )A .若)(0x f '不存在,则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线;B .若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线,则)(0x f '必存在;C .若)(0x f '不存在,则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在;D .若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在,则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5.设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值,则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰,由上述估值定理,估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 .【解析】:因为当12x -≤≤ 时,204x ≤≤ ,所以,212116x -≤≤所以由估值定理得:()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰, 即22132316x dx --≤≤⎰,所以答案应填:3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 6.211dx x +=⎰⎰.【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则曲线在点A 处的切线斜率为( )A .4B .16C .8D .2 8.求过点P (-1,2)且与曲线y =3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线平行的直线.变式1.已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________.变式2.已知函数f (x )=-13x 3+2x 2+2x ,若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0,使得曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线与直线x +my -10=0垂直,则实数m 的取值范围是( )A .[6,+∞)B .(-∞,2]C .[2,6]D .[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16,则实数m 的值为 .9.已知抛物线y =x 2,直线l :x -y -2=0,则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 . 变式.点P 是曲线2ln y x x =-,则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 .题型三、导数的综合应用 类型1:导数的运算性质10.设()f x ,()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,且(3)0f -=,则不等式()()0f x g x <的解集是( )A .(3,0)(3,)-+∞ B .(3,0)(0,3)- C .(,3)(3,)-∞-+∞ D .(,3)(0,3)-∞-变式1.函数f (x )在定义域R 内可导,若f (x )=f (2-x )且当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0.设a =f (0),b =f ⎝⎛⎭⎫12,c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系是______ .变式2.设函数F (x )=f (x )e x 是定义在R 上的函数,其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立,则( )A .f (2)>e 2f (0),f (2 016)>e 2 016f (0)B .f (2)<e 2f (0),f (2 016)>e 2 016f (0)C .f (2)<e 2f (0),f (2 016)<e 2 016f (0)D .f (2)>e 2f (0),f (2 016)<e 2 016f (0)变式3.已知函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2,则f (x )>2x +4的解集为____________. 变式4.定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x ',若对任意的实数x ,都有()()22f x xf x '+<恒成立,则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为( )A .{}1x x ≠±B .()(),11,-∞-+∞C .()1,1-D .()()1,00,1-【解析】:当0x >时,由()()220f x xf x +'-<可知:两边同乘以x 得: ()()2220xf x x f x x -'-< 设:()()22g x x f x x =-,则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<,恒成立:∴()g x 在(0)+∞,单调递减,由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-,即()()1g x g <,即1x >;当0x <时,函数是偶函数,同理得:1x <-;综上可知:实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞,,,故选:B变式5.函数()f x 的定义域是R ,(0)3f =,对任意,()()1x R f x f x ∈+>/,则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为( )A .{|0}x x <B .{|0}x x >C .{|1,}x x x <->或1D .{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/,∴()()0xxxe f x e f x e +>>/,∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/,即{[()1]}0x e f x '->,∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增,且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->,∴x>0,故选B类型2:单调性问题11.函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是( )DA .(-∞,2)B .(0,3)C .(1,4)D .(2,+∞) 变式1.已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调,实数a 的取值范围是( ) A .()()2,00,2- B .()()4,00,4- C .()0,2 D .()0,4【答案】D变式2.已知函数()f x 的导函数图象如图所示,若ABC ∆为锐角三角形,则下列结论一定成立的是( )A .()()sin cos f A fB > B .()()sin cos f A f B <C .()()sin sin f A f B >D .()()cos cos f A f B < 12.(全国Ⅱ卷)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)内单调递增,则k 的取值范围是( )A .(-∞,-2]B .(-∞,-1]C .[2,+∞)D .[1,+∞)变式1.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是_____________.变式2.已知a ≥0,函数f (x )=(x 2-2ax )e x .设f (x )在区间[-1,1]上是单调函数,求a 的取值范围.变式3.函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增,在()1,2-上单调递减,在()2,+∞上递增,则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4.若函数y =a (x 3-x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫-33, 33,则a 的取值范围是( )A .(0,+∞)B .(-1,0)C .(1,+∞)D .(0,1)13.已知f(x)=e x -ax-1.(1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x )在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.【答案】解 : f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0,f ′(x)= e x -a ≥0恒成立,即f(x)在R 上递增. 若a >0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为(lna ,+∞).(2)∵f (x )在R 内单调递增,∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0,即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤(e x )min ,又∵e x >0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] (3)由题意知e x -a ≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a ≥e x 在(-∞,0]上恒成立. ∵e x 在(-∞,0]上为增函数. ∴x=0时,e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a ≤e x 在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤1,∴a=1.14.设函数2e (),1axf x a x R =∈+. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数)(x f 单调区间. 【答案】解:因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.(Ⅰ)当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分(Ⅱ)因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++, ……………5分 (1)当0a =时,由()0f x '>得0x <;由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 (2)当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+,方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时,此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->;由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时,此时0∆≤.所以()0f x '≥,所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时,此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<; 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤,()0f x '≤,所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3:图像问题15.如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )A .B .C . D.【解析】:由三视图可知该几何体是圆锥,顶点朝下,底面圆的上面,随之时间的推移,注水量的增加高度在增加,所以函数是增函数,刚开始时截面面积较小,高度变化较快,随着注水量的增加,高度变化量减慢,综上可知B 正确16.函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示, 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有( )BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图,那么导函数()y f x '=的图象可能( )O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如图所示,则y =f (x )的图象最有可能的是( )类型4:极值(最值)问题17.已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1,且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. (1)曲线在P 点处的切线方程; (2)求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解:(1)因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1,所以1b = 又'2y x a =-,所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=(2)由题意可得,令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下:x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭, 极小值为661f =⎝⎭18.已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3,其中c b a ,,为常数.(1)求b a ,的值; (2)求函数)(x f 的单调区间;(3)若对任意0>x ,不等式02)(2≥+c x f 恒成立,求c 的取值范围.解:(1))4ln 4()(3/b a x a x x f ++=,0)1(='f ,∴04=+b a ,又c f --=3)1(,∴3,12-==b a ; 经检验合题意;………4分(2)x x x f ln 48)(3/=()0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ,当0)(/<x f 时,10<<x ,)(x f 单调递减;当0)(/>x f 时,1>x ,)(x f 单调递增;∴)(x f 单调递减区间为)1,0(,单调递增区间为),1(+∞ ……8分 (3)由(2)可知,1=x 时,)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(,列表略 依题意,只需0232≥+--c c ,解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. (1)求()f x 的单调区间; (2)求()f x 在区间]2,1[上的最小值;(3)设)(')()(x f x f x g +=,当2523≤≤k 时,对任意]1,0[∈x ,都有λ≥)(x g 成立,求实数λ的范围。
2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+5,则f(5)与f′(5)分别为() A.5,-1B.-1,5C.-1,0D.0,-1答案D解析由题意可得f(5)=-5+5=0,f′(5)=-1,故选D.2.已知函数f(x)=x sin x+ax,且f1,则a等于()A.0B.1C.2D.4答案A解析∵f′(x)=sin x+x cos x+a,且f1,∴sin π2+π2cosπ2+a=1,即a=0.3.若曲线y=mx+ln x在点(1,m)处的切线垂直于y轴,则实数m等于() A.-1B.0C.1D.2答案A解析f(x)的导数为f′(x)=m+1x,曲线y=f(x)在点(1,m)处的切线斜率为k=m+1=0,可得m=-1.故选A.4.已知f1(x)=sin x+cos x,f n+1(x)是f n(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,f n+1(x)=f n′(x),n∈N*,则f2020(x)等于()A.-sin x-cos x B.sin x-cos xC.-sin x+cos x D.sin x+cos x答案B解析∵f1(x)=sin x+cos x,∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x,∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x,∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x=f1(x),∴f n(x)是以4为周期的函数,∴f2020(x)=f4(x)=sin x-cos x,故选B.5.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+ln x(其中e为自然对数的底数),则f′(e)等于()A .1B .-1C .-eD .-e -1答案D解析已知f (x )=2xf ′(e)+ln x ,其导数f ′(x )=2f ′(e)+1x,令x =e ,可得f ′(e)=2f ′(e)+1e ,变形可得f ′(e)=-1e ,故选D.6.函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为()A .(-1,1]B .(0,1]C .[1,+∞)D .(0,+∞)答案B解析由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由y ′=x -1x≤0,解得0<x ≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1].7.(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )=x 2+m ,g (x )=6ln x -4x ,设两曲线y =f (x )与y =g (x )在公共点处的切线相同,则m 值等于()A .5B .3C .-3D .-5答案D解析f ′(x )=2x ,g ′(x )=6x -4,令2x =6x-4,解得x =1,这就是切点的横坐标,代入g (x )求得切点的纵坐标为-4,将(1,-4)代入f (x )得1+m =-4,m =-5.故选D.8.(2019·新乡模拟)若函数f (x )=a e x +sin x 在-π2,0上单调递增,则a 的取值范围为()B .[-1,1]C .[-1,+∞)D .[0,+∞)答案D解析依题意得,f ′(x )=a e x +cos x ≥0,即a ≥-cos xe x 对x ∈-π2,0恒成立,设g (x )=-cos xe x ,x ∈-π2,0,g ′(x )g ′(x )=0,则x =-π4,当x ∈-π2,-g ′(x )<0;当x -π4,0时,g ′(x )>0,故g (x )max =g (0,则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C .81πD .128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分,上部分同大圆柱一样为5,下部分深入底部半球内设为h (0<h <5),小圆柱的底面半径设为r (0<r <5),由于r ,h 和球的半径5满足勾股定理,即r 2+h 2=52,所以小圆柱体积V =πr 2(h +5)=π(25-h 2)(h +5)(0<h <5),求导V ′=-π(3h -5)·(h +5),当0<h ≤53时,体积V 单调递增,当53<h <5时,体积V 单调递减.所以当h =53时,小圆柱体积取得最大值,V max ==4000π27,故选B.10.(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1-x 1ln x 2<x 1-x 2成立,则a 的最大值为()A.12B .1C .eD .2e答案B解析原不等式可转化为1+ln x 1x 1<1+ln x 2x 2,构造函数f (x )=1+ln x x ,f ′(x )=-ln xx2,故函数在(0,1)上导数大于零,单调递增,在(1,+∞)上导数小于零,单调递减.由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2),故x 1,x 2在区间(0,1)上,故a 的最大值为1,故选B.11.(2019·洛阳、许昌质检)设函数y =f (x ),x ∈R 的导函数为f ′(x ),且f (x )=f (-x ),f ′(x )<f (x ),则下列不等式成立的是(注:e 为自然对数的底数)()A .f (0)<e -1f (1)<e 2f (2)B .e -1f (1)<f (0)<e 2f (2)C .e 2f (2)<e -1f (1)<f (0)D .e 2f (2)<f (0)<e -1f (1)答案B解析设g (x )=e -x f (x ),∴g ′(x )=-e -x f (x )+e -x f ′(x )=e -x (f ′(x )-f (x )),∵f ′(x )<f (x ),∴g ′(x )<0,∴g (x )为减函数.∵g (0)=e 0f (0)=f (0),g (1)=e -1f (1),g (-2)=e 2f (-2)=e 2f (2),且g (-2)>g (0)>g (1),∴e -1f (1)<f (0)<e 2f (2),故选B.12.(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )=-13x 3-12x 2+ax -b 的图象在x =0处的切线方程为2x -y -a =0,若关于x 的方程f (x 2)=m 有四个不同的实数解,则m 的取值范围为()A.-323,-B.-2-323,-2答案D解析由函数f (x )=-13x 3-12x 2+ax -b ,可得f ′(x )=-x 2-x +a ,则f (0)=-b =-a ,f ′(0)=a =2,则b =2,即f (x )=-13x 3-12x 2+2x -2,f ′(x )=-x 2-x +2=-(x -1)(x +2),所以函数f (x )在(-2,1)上单调递增,在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减,又由关于x 的方程f (x 2)=m 有四个不同的实数解,等价于函数f (x )的图象与直线y =m 在x ∈(0,+∞),上有两个交点,又f (0)=-2,f (1)=-56,所以-2<m <-56,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )=ln x +2x 2-4x ,则函数f (x )的图象在x =1处的切线方程为________________.答案x -y -3=0解析∵f (x )=ln x +2x 2-4x ,∴f ′(x )=1x +4x -4,∴f ′(1)=1,又f (1)=-2,∴所求切线方程为y -(-2)=x -1,即x -y -3=0.14.已知函数f (x )=(x -a )ln x (a ∈R ),若函数f (x )存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是________.答案-1e2,解析f ′(x )=ln x +1x (x -a )=ln x +1-ax,函数f (x )=(x -a )ln x (a ∈R ),若函数f (x )存在三个单调区间,则f ′(x )有两个变号零点,即f ′(x )=0有两个不等实根,即a =x (ln x +1)有两个不等实根,转化为y =a 与y =x (ln x +1)的图象有两个不同的交点.令g (x )=x (ln x +1),则g ′(x )=ln x +2,令ln x +2=0,则x =1e 2,即g (x )=x (ln x +1)[g (x )]min =-1e 2,当x →0时,g (x )→0,当x →+∞时,f (x )→+∞,所以结合f (x )的图象(图略)可知a -1e 2,15.(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )=x 3-2x +e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数,f (a -1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________.答案-1,12解析由函数f (x )=x 3-2x +e x -1e x f ′(x )=3x 2-2+e x +1e x ≥-2+e x +1ex ≥-2+2e x ·1e x=0,当且仅当x =0时等号成立,可得f (x )在R 上递增,又f (-x )+f (x )=(-x )3+2x +e -x -e x +x 3-2x +e x -1e x 0,可得f (x )为奇函数,则f (a -1)+f (2a 2)≤0,即有f (2a 2)≤0-f (a -1)=f (1-a ),即有2a 2≤1-a ,解得-1≤a ≤12.16.(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=f (x ),且对任意的不相等的实数x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,若关于x 的不等式f (2mx -ln x-3)≥2f (3)-f (-2mx +ln x +3)在x ∈[1,3]上恒成立,则实数m 的取值范围是______________.答案12e ,1+ln 36解析∵函数f (x )满足f (-x )=f (x ),∴函数f (x )为偶函数.又f (2mx -ln x -3)≥2f (3)-f (-2mx +ln x +3)=2f (3)-f (2mx -ln x -3),∴f (2mx -ln x -3)≥f (3).由题意可得函数f (x )在(-∞,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减.∴|2mx -ln x -3|≤3对x ∈[1,3]恒成立,∴-3≤2mx -ln x -3≤3对x ∈[1,3]恒成立,即ln x2x ≤m ≤ln x +62x对x ∈[1,3]恒成立.令g (x )=ln x2x ,x ∈[1,3],则g ′(x )=1-ln x 2x 2∴g (x )在[1,e ]上单调递增,在(e,3]上单调递减,∴g (x )max =g (e)=12e .令h (x )=ln x +62x ,x ∈[1,3],则h ′(x )=-5-ln x2x 2<0,∴h (x )在[1,3]上单调递减,∴h (x )min =h (3)=6+ln 36=1+ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ,1+ln 36.三、解答题(本大题共70分)17.(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )=x 3+mx 2-m 2x +1(m 为常数,且m >0)有极大值9.(1)求m 的值;(2)若斜率为-5的直线是曲线y =f (x )的切线,求此直线方程.解(1)f ′(x )=3x 2+2mx -m 2=(x +m )(3x -m )=0,令f ′(x )=0,则x =-m 或x =13m ,当x 变化时,f ′(x )与f (x )的变化情况如下表:f ′(x )+0-0+f (x )增极大值减极小值增从而可知,当x =-m 时,函数f (x )取得极大值9,即f (-m )=-m 3+m 3+m 3+1=9,∴m =2.(2)由(1)知,f (x )=x 3+2x 2-4x +1,依题意知f ′(x )=3x 2+4x -4=-5,∴x =-1或x =-13,又f (-1)=6,=6827,所以切线方程为y -6=-5(x +1)或y -6827=-即5x +y -1=0或135x +27y -23=0.18.(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )=x sin x +2cos x +ax +2,其中a 为常数.(1)若曲线y =f (x )在x =π2处的切线斜率为-2,求该切线的方程;(2)求函数f (x )在x ∈[0,π]上的最小值.解(1)求导得f ′(x )=x cos x -sin x +a ,由f a -1=-2,解得a =-1.此时2,所以该切线的方程为y -2=-2x +y -2-π=0.(2)对任意x ∈[0,π],f ″(x )=-x sin x ≤0,所以f ′(x )在[0,π]内单调递减.当a ≤0时,f ′(x )≤f ′(0)=a ≤0,∴f (x )在区间[0,π]上单调递减,故f (x )min =f (π)=a π.当a ≥π时,f ′(x )≥f ′(π)=a -π≥0,∴f (x )在区间[0,π]上单调递增,故f (x )min =f (0)=4.当0<a <π时,因为f ′(0)=a >0,f ′(π)=a -π<0,且f ′(x )在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x 0∈(0,π),使得f ′(x 0)=0,且f (x )在[0,x 0]上单调递增,在[x 0,π]上单调递减.故f (x )的最小值等于f (0)=4和f (π)=a π中较小的一个值.①当4π≤a <π时,f (0)≤f (π),故f (x )的最小值为f (0)=4.②当0<a <4π时,f (π)≤f (0),故f (x )的最小值为f (π)=a π.综上所述,函数f (x )的最小值f (x )min,a ≥4π,π,a <4π.19.(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )=4ln x -mx 2+1(m ∈R ).(1)若函数f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线2x -y -1=0平行,求实数m 的值;(2)若对于任意x ∈[1,e ],f (x )≤0恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)∵f (x )=4ln x -mx 2+1,∴f ′(x )=4x -2mx ,∴f ′(1)=4-2m ,∵函数f (x )在(1,f (1))处的切线与直线2x -y -1=0平行,∴f ′(1)=4-2m =2,∴m =1.(2)∵对于任意x ∈[1,e ],f (x )≤0恒成立,∴4ln x -mx 2+1≤0,在x ∈[1,e ]上恒成立,即对于任意x ∈[1,e ],m ≥4ln x +1x 2恒成立,令g (x )=4ln x +1x 2,x ∈[1,e ],g ′(x )=2(1-4ln x )x 3,令g ′(x )>0,得1<x <14e ,令g ′(x )<0,得14e <x <e ,当x 变化时,g ′(x ),g (x )的变化如下表:x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )+0-g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1,e ]上的最大值g (x )max =g (14e )=141244ln e 1(e )+=2e e ,∴m ≥2ee,即实数m 的取值范围是2ee ,+20.(12分)已知函数f (x )=ln x -ax (ax +1),其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点,求实数a 的取值范围.解(1)依题意知,函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f ′(x )=1x -2a 2x -a =2a 2x 2+ax -1-x =(2ax -1)(ax +1)-x,当a =0时,f (x )=ln x ,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,由f ′(x )>0,得0<x <12a,由f ′(x )<0,得x >12a,函数f (x )当a <0时,由f ′(x )>0,得0<x <-1a ,由f ′(x )<0,得x >-1a ,函数f (x )-1a,+.(2)①当a =0时,函数f (x )在(0,1]内有1个零点x 0=1;②当a >0时,由(1)知函数f (x )若12a ≥1,即0<a ≤12时,f (x )在(0,1]上单调递增,由于当x →0时,f (x )→-∞且f (1)=-a 2-a <0知,函数f (x )在(0,1]内无零点;若0<12a <1,即当a >12时,f (x )1上单调递减,要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点,只需满足0,即ln 12a ≥34,又∵a >12,∴ln 12a <0,∴不等式不成立.∴f (x )在(0,1]内无零点;③当a <0时,由(1)知函数f (x )-1a,+若-1a ≥1,即-1≤a <0时,f (x )在(0,1]上单调递增,由于当x →0时,f (x )→-∞,且f (1)=-a 2-a >0,知函数f (x )在(0,1]内有1个零点;若0<-1a <1,即a <-1时,函数f (x )-1a,1上单调递减,由于当x →0时,f (x )→-∞,且当a <-1时,,知函数f (x )在(0,1]内无零点.综上可得a 的取值范围是[-1,0].21.(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中,对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件,现有一边长为3(单位:米)的正三角形钢板(如图),沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去,得到所需的梯形钢板BCED ,记这个梯形钢板的周长为x (单位:米),面积为S (单位:平方米).(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式;(2)若在生产中,梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时,该零件才可以在生产中使用?解(1)∵DE ∥BC ,△ABC 是正三角形,∴△ADE 是正三角形,AD =DE =AE ,BD =CE =3-AD ,则DE +2(3-AD )+3=9-AD =x ,S =(3+AD )·(3-AD )·sin 60°2=3(12-x )(x -6)4(6<x <9),化简得S =34(-x 2+18x -72)(6<x <9).故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S =34(-x 2+18x -72)(6<x <9).(2)∵由(1)得S =34(-x 2+18x -72)(6<x <9),令f (x )=S x =x -72x +x <9),∴f ′(x )1令f ′(x )=0,得x =62或x =-62(舍去),f (x ),f ′(x )随x 的变化如下表:x(6,62)62(62,9)f ′(x )+0-f (x )单调递增极大值单调递减∴当x =62时,函数f (x )=S x有最大值,为f (62)=923-36.∴当x =62米时,该零件才可以在生产中使用.22.(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )=k e x -x 2(其中k ∈R ,e 是自然对数的底数).(1)若k =2,当x ∈(0,+∞)时,试比较f (x )与2的大小;(2)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),求k 的取值范围,并证明:0<f (x 1)<1.解(1)当k =2时,f (x )=2e x -x 2,则f ′(x )=2e x -2x ,令h (x )=2e x -2x ,h ′(x )=2e x -2,由于x ∈(0,+∞),故h ′(x )=2e x -2>0,于是h (x )=2e x -2x 在(0,+∞)上为增函数,所以h (x )=2e x -2x >h (0)=2>0,即f ′(x )=2e x -2x >0在(0,+∞)上恒成立,从而f (x )=2e x -x 2在(0,+∞)上为增函数,故f (x )=2e x -x 2>f (0)=2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,则x 1,x 2是f ′(x )=k e x -2x =0的两个根,即方程k =2x ex 有两个根,设φ(x )=2x e x ,则φ′(x )=2-2x ex ,当x <0时,φ′(x )>0,函数φ(x )单调递增且φ(x )<0;当0<x <1时,φ′(x )>0,函数φ(x )单调递增且φ(x )>0;当x >1时,φ′(x )<0,函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示,要使方程k =2x e x 有两个根,只需0<k <φ(1)=2e,故实数k f (x )的两个极值点x 1,x 2满足0<x 1<1<x 2,由f ′(x 1)=1e x k -2x 1=0得k =112e x x ,所以f (x 1)=1e x k -x 21=112e x x 1e x -x 21=-x 21+2x 1=-(x 1-1)2+1,由于x 1∈(0,1),所以0<-(x 1-1)2+1<1,所以0<f (x 1)<1.。
导数及其应用基本知识点1,导数:当x ∆趋近于零时,x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。
可用符号“→”记作:当0→∆x 时,x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000,符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率,通常称作)(x f 在0x x =处的导数,并记作)(0x f '。
即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率;导数的物理意义,通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点,则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数,表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率,因此,曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得:(1)求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数,即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为:))((00'0x x x f y y -=-,如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为0x x =,故过点),(00y x P 的切线的方程为:))((00'0x x x f y y -=- 3,导数的四则运算法则:(1))()())()((x g x f x g x f '±'='± (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='(3))()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,几种常见函数的导数:(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-)( (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5,函数的单调性:在某个区间),(b a 内,如果0)('>x f ,那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增;如果0)('<x f ,那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
一、考试地位:导数知识及其应用,每年必考,属于考点中的重难点.二、考查题型、题量:一般是1—2道小题和1道解答题.分值在18—23分左右.三、考查内容:导数作为研究函数的工具,在函数习题中考查.1.导数的运算:(1)求导,其中复合函数求导为理科.(2)切线斜率相关的问题.2.利用导数判断函数的单调区间,求函数极值、最值,处理函数零点问题等.3.导数与不等式相结合考查.4.理科还考察定积分的基本运算或利用定积分求面积.四、难度:中等或偏难.1.小题考查中等题或压轴题.2.解答题:在历年新课标卷中,导数解答题都作为最后一题,习题的后几问属于难题,有一定的区分度.在个别地区的自主命题中,导数解答题有时作为压轴解答题,有时也放在前几个解答题中,难度基础或中等.以下为近三年高考真题中部分导数相关的习题.导数基础或中等习题的类型:1.小题题号靠前的习题,解答题的第一问.2.考查导数的几何意义:与切线方程、切线斜率相关的求解.3.求简单的含参函数的单调区间.4.求函数的极值点、极值.5.定积分的基本运算或利用定积分求面积(理科).1.【2016新课标Ⅰ理,7】函数22x y x e =-在[–2,2]的图象大致为( )A. B.C. D.2.【2014山东理,6】 直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 43.【2014江西理,8】 若f (x )=x 2+2⎠⎛01f (x )d x ,则⎠⎛01f (x )d x =( )A.-1B.-13C.13 D.14.【2014新课标Ⅱ理,8】设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( )A.0B.1C.2D.35.【2015天津理,11】曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 .6.【2015湖南理,11】20(1)x dx ⎰-= .7.【2014广东理,10】 曲线y =e - 5x +2在点(0,3)处的切线方程为 .8.【2014江西理,13】若曲线y =e -x 上点P 处的切线平行于直线2x +y +1=0,则点P 的坐标是 .9.【2016北京理,18】 设函数()a x f x xe bx -=+,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+,(1)求a ,b 的值; (2)求()f x 的单调区间.10.【2016山东理,20】已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)当1a =时,证明()3()'2f x f x +>对于任意的[]1,2x ∈成立.11.【2014江西理,18】已知函数f (x )=(x 2+bx +b )1-2x (b ∈R ).(1)当b =4时,求f (x )的极值;(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,13上单调递增,求b 的取值范围.1-8题答案供参考:1.D2.D3.B4.D5.166.07.y =-5x +38.(-ln 2,2)。
第1讲 导数及其应用(知识点串讲)知识整合考点1.导数的概念(1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数: 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即 f ′(x 0)=lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点P (x 0,y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数).相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0).(3)函数f (x )的导函数:称函数f ′(x )=lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数. 例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )=x 2-3x +2ln x 在x =1处的切线方程为____________.【答案】x -y -3=0 [f ′(x )=2x -3+2x ,f (1)=-2,f ′(1)=1,故切线方程为y +2=x -1,即x -y -3=0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y =x +1与曲线y =ln(x +a )相切,则a 的值为( ) A .1 B .2 C .-1D .-2【答案】B [设直线y =x +1与曲线y =ln(x +a )的切点为(x 0,y 0),则y 0=1+x 0,y 0=ln(x 0+a ). 又y ′=1x +a ,所以y ′|x =x 0=1x 0+a =1,即x 0+a =1. 又y 0=ln(x 0+a ), 所以y 0=0,则x 0=-1,所以a =2.]考点2.基本初等函数的导数公式考点3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0).考点4.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y x′=y u′·u x′,即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积.例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1),则f′(2)的值为()A.-2B.0C.-4D.-6【答案】D[由题意f(1)=f′(1)+2+2f(1),化简得f(1)=-f′(1)-2,而f′(x)=2f′(1)x+2,所以f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,f(x)=-2·x2+2x+2f(1).所以f′(x)=-4·x+2.所以f′(2)=-4×2+2=-6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0,+∞)可导,其导函数为f′(x),若f(ln x)=x2-ln x,则f′(1)=________.【答案】2e2-1[设ln x=t,则x=e t,∵f(ln x)=x2-ln x,∴f(t)=e2t-t,∴f(x)=e2x-x,∴f′(x)=2e2x -1,∴f′(1)=2e2-1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.(2)[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x).(3)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.考点6.函数的单调性(1)在(a ,b )内函数f (x )可导,f ′(x )在(a ,b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ,b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ,b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.(3)可导函数f (x )在(a ,b )上是增(减)函数的充要条件是:对∀x ∈(a ,b ),都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ,b )上的任何子区间内都不恒为零.例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )=x 2+ax ,若函数f (x )在x ∈[2,+∞)上是单调递增的,则实数a的取值范围为( )A .(-∞,8)B .(-∞,16]C .(-∞,-8)∪(8,+∞)D .(-∞,-16]∪[16,+∞)【答案】B[f (x )=x 2+a x 在x ∈[2,+∞)上单调递增,则f ′(x )=2x -a x 2=2x 3-ax2 ≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2,+∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且f ′(x )<f (x )对任意的x ∈R 恒成立,则下列不等式均成立的是( )A .f (ln 2)<2f (0),f (2)<e 2f (0)B .f (ln 2)>2f (0),f (2)>e 2f (0)C .f (ln 2)<2f (0),f (2)>e 2f (0)D .f (ln 2)>2f (0),f (2)<e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =,则()()()2''x x x e f x e f x g x e -==()()'x f x f x e -.∵f ′(x )<f (x ),∴g ′(x )<0,∴g (x )是减函数,则有g (ln 2)<g (0),g (2)<g (0),即()ln 2ln 2f e <()00f e,()()2020f f e e <,所以f (ln 2)<2f (0),f (2)<e 2f (0).]考点7.函数的极值 (1)函数的极小值:函数y =f (x )在点x =a 的函数值f (a )比它在点x =a 附近其他点的函数值都小,f ′(a )=0;而且在点x =a 附近的左侧f ′(x )<0,右侧f ′(x )>0,则点a 叫做函数y =f (x )的极小值点,f (a )叫做函数y =f (x )的极小值.(2)函数的极大值:函数y =f (x )在点x =b 的函数值f (b )比它在点x =b 附近的其他点的函数值都大,f ′(b )=0;而且在点x =b 附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0,则点b 叫做函数y =f (x )的极大值点,f (b )叫做函数y =f (x )的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.(3)对于可导函数f (x ),f ′(x 0)=0是函数f (x )在x =x 0处有极值的必要不充分条件. 例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x =-2是函数f (x )=(x 2+ax -1)e x -1的极值点,则f (x )的极小值为( )A .-1B .-2e -3 C .5e -3D .1【答案】A [函数f (x )=(x 2+ax -1)e x -1,则f ′(x )=(2x +a )e x -1+(x 2+ax -1)·e x -1=e x -1·[x 2+(a +2)x +a -1].由x =-2是函数f (x )的极值点得f ′(-2)=e -3·(4-2a -4+a -1)=(-a -1)e -3=0,所以a =-1. 所以f (x )=(x 2-x -1)e x -1,f ′(x )=e x -1·(x 2+x -2).由e x -1>0恒成立,得x =-2或x =1时,f ′(x )=0,且x <-2时,f ′(x )>0; -2<x <1时,f ′(x )<0;x >1时,f ′(x )>0. 所以x =1是函数f (x )的极小值点. 所以函数f (x )的极小值为f (1)=-1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,则实数c 的取值范围为( ) A .⎣⎡⎭⎫32,+∞ B .⎝⎛⎦⎤-∞,-32∪⎣⎡⎭⎫32,+∞C .⎝⎛⎭⎫32,+∞D .⎝⎛⎭⎫-∞,-32∪⎝⎛⎭⎫32,+∞ 【答案】D [因为f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,f ′(x )值有正有负,所以f ′(x )=3x 2-4cx +1=0有两个不同的根,Δ=(4c )2-12>0,解得c <-32或c >32.]考点8.函数的最值(1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值.例5、已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x =2处取得极值,若m ,n ∈[-1,1],则f (m )+f ′(n )的最小值是________.【答案】-13 [f ′(x )=-3x 2+2ax ,根据已知2a3=2,得a =3,即f (x )=-x 3+3x 2-4.根据函数f (x )的极值点,可得函数f (m )在[-1,1]上的最小值为f (0)=-4,f ′(n )=-3n 2+6n 在[-1,1]上单调递增,所以f ′(n )的最小值为f ′(-1)=-9.[f (m )+f ′(n )]min =f (m )min +f ′(n )min =-4-9=-13.]。
第二讲 函数的定义域、值域知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y =f(x)的定义域1.求定义域的步骤:(1)写出使函数式有意义的不等式(组); (2)解不等式(组);(3)写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出) 2.求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0.(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R . (5)函数f(x)=x 0的定义域为{x|x≠0}. (6)指数函数的定义域为R . (7)对数函数的定义域为(0,+∞). 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域:1.y =kx +b(k≠0)的值域是R .2.y =ax 2+bx +c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac -b 24a ;当a<0时,值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac -b 24a . 3.y =kx (k≠0)的值域是{y|y≠0}.4.y =a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). 5.y =log a x(a>0且a≠1)的值域是R .重要结论1.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集. 3.函数f(x)与f(x +a)(a 为常数a≠0)的值域相同.双基自测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( × ) (2)函数y =xx -1定义域为x>1.( × ) (3)函数y =f(x)定义域为[-1,2],则y =f(x)+f(-x)定义域为[-1,1].( √ ) (4)函数y =log 2(x 2+x +a)的值域为R ,则a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,14.( √ ) (5)求函数y =x 2+3x 2+2的值域时有以下四种解法.判断哪种解法是正确的.[解法一](不等式法):y =x 2+3x 2+2=x 2+2+1x 2+2≥2,∴值域为[2,+∞).( × ) [解法二](判别式法):设x 2+2=t(t≥2),则y =t +1t ,即t 2-ty +1=0,∵t∈R,∴Δ=y 2-4≥0,∴y≥2或y ≤-2(舍去).( × )[解法三](配方法):令x 2+2=t(t≥2),则y =t +1t =⎝ ⎛⎭⎪⎫t -1t 2+2≥2.( × )[解法四](单调性法):易证y =t +1t 在t≥2时是增函数,所以t =2时,y min =322,故y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322,+∞.( √ ) [解析] (4)y =log 2(x 2+x +a)值域为R 应满足Δ≥0,即1-4a≥0,∴a≤14.题组二 走进教材2.(必修1P 17例1改编)函数f(x)=2x-1+1x -2的定义域为( C )A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x-1≥0x -2≠0,解得x≥0且x≠2,故选C .3.(必修1P 32T5改编)函数f(x)的图象如图,则其最大值、最小值分别为( B )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32B .f(0),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,f(0) D .f(0),f(3)4.(必修1P 39BT1改编)已知函数f(x)=x +9x ,x∈[2,4]的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6,132.[解析] 当x =3时取得最小值6,当x =2取得最大值132,值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6,132.题组三 走向高考5.(2020·北京,11,5分)函数f(x)=1x +1+ln x 的定义域是(0,+∞).[解析] 要使函数f(x)有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠0,x>0,故x>0,因此函数f(x)的定义域为(0,+∞).6.(2016·北京,5分)函数f(x)=xx -1(x≥2)的最大值为2.[解析] 解法一:(分离常数法)f(x)=x x -1=x -1+1x -1=1+1x -1,∴x≥2,∴x-1≥1,0<1x -1≤1,∴1+1x -1∈(1,2],故当x =2时,函数f(x)=xx -1取得最大值2.解法二:(反解法)令y =x x -1,∴xy-y =x ,∴x=y y -1.∵x ≥2,∴y y -1≥2,∴y y -1-2=2-yy -1≥0,解得1<y≤2,故函数f(x)的最大值为2.解法三:(导数法)∵f(x)=x x -1,∴f′(x)=x -1-x (x -1)2=-1(x -1)2<0,∴函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,故当x =2时,函数f(x)=xx -1取得最大值2.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 求函数的定义域——多维探究 角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y =ln (1-x )x +1+1x 的定义域是( D )A .[-1,0)∪(0,1)B .[-1,0)∪(0,1]C .(-1,0)∪(0,1]D .(-1,0)∪(0,1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y =-x 2+2x +3lg (x +1)的定义域为( B )A .(-1,3]B .(-1,0)∪(0,3]C .[-1,3]D .[-1,0)∪(0,3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1-x>0,x +1>0,x≠0,解得-1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).(2)要使函数有意义,x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +3≥0,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x<0或0<x≤3,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3]. 角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为( B ) A .(-1,1) B .⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12C .(-1,0)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1[解析] 由函数f(x)的定义域为(-1,0),则使函数f(2x +1)有意义,需满足-1<2x +1<0,解得-1<x<-12,即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12. [引申1]若将本例中f(x)与f(2x +1)互换,结果如何? [解析] f(2x +1)的定义域为(-1,0),即-1<x<0, ∴-1<2x +1<1,∴f(x)的定义域为(-1,1).[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x -1)定义域改为[0,1],求y =f(2x +1)的定义域,又该怎么办? [解析] ∵y=f(2x -1)定义域为[0,1].∴-1≤2x-1≤1,要使y =f(2x +1)有意义应满足-1≤2x +1≤1,解得-1≤x≤0, 因此y =f(2x +1)定义域为[-1,0]. 名师点拨 MING SHI DIAN BO函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a ,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出; ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域. 〔变式训练1〕(1)(角度1)函数f(x)=1ln (x +1)+4-x 2的定义域为( B )A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)=ln(-2x +a)的定义域为(-∞,1),那么实数a 的值为( D )A .-2B .-1C .1D .2(3)(角度2)已知函数y =f(x 2-1)的定义域为[-3,3],则函数y =f(x)的定义域为[-1,2]. [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln (x +1)≠0,4-x 2≥0,得-1<x≤2,且x≠0.故选B .(2)因为-2x +a>0,所以x<a 2,所以a2=1,得a =2.故选D .(3)因为y =f(x 2-1)的定义域为[-3,3],所以x∈[-3,3],x 2-1∈[-1,2],所以y =f(x)的定义域为[-1,2].考点二,求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域. (1)y =1-|x|1+|x|;(2)y =-2x 2+x +3; (3)y =x 2+x +1x ;(4)y =x -1-2x ; (5)y =x +1-x 2;(6)y =|x +1|+|x -2|.[解析] (1)解法一:分离常数法: y =1-|x|1+|x|=-1+21+|x|, ∵|x|≥0,∴|x|+1≥1,∴0<2|x|+1≤2.∴-1<-1+21+|x|≤1.即函数值域为(-1,1].解法二:反解法:由y =1-|x|1+|x|,得|x|=1-y 1+y.∵|x|≥0,∴1-y 1+y ≥0,∴-1<y≤1,即函数值域(-1,1].(2)解法一:配方法:y =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -142+258,∴0≤y ≤524,∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,524.解法二:复合函数法: y =t ,t =-2x 2+x +3, 由t =-2x 2+x +3,解得t≤258,又∵y=t 有意义,∴0≤t≤258,∴0≤y ≤524,∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,524.(3)y =x 2+x +1x =x +1x +1解法一:基本不等式法由y =x +1x +1(x≠0),得y -1=x +1x.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1x =|x|+⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x =2,∴|y -1|≥2,即y≤-1或y≥3.即函数值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)解法二:判别式法由y =x 2+x +1x ,得x 2+(1-y)x +1=0.∵方程有实根,∴Δ=(1-y)2-4≥0.即(y -1)2≥4,∴y-1≤-2或y -1≥2.得y≤-1或y≥3.即函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 解法三:导数法(单调性法)令y′=1-1x 2=(x +1)(x -1)x 2<0, 得-1<x<0或0<x<1.∴函数在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,此时y≥3; 函数在(-1,0)上递减,在(-∞,-1)上递增,此时y≤-1. ∴y ≤-1或y≥3.即函数值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). (4)解法一:换元法设1-2x =t(t≥0),得x =1-t22,∴y =1-t 22-t =-12(t +1)2+1≤12(t≥0),∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12.即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12.解法二:单调性法∵1-2x≥0,∴x≤12,∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12.又∵函数y =x ,y =-1-2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12上均单调递增,∴y≤12-1-2×12=12,∴y∈⎝⎛⎦⎥⎤-∞,12. (5)三角换元法:设x =sin θ,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,y =sin θ+cos θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4, ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,∴θ+π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-22,1,∴y∈[-1,2].(6)解法一:绝对值不等式法:由于|x +1|+|x -2|≥|(x+1)-(x -2)|=3, 所以函数值域为[3,+∞).解法二:数形结合法: y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1(x<-1),3(-1≤x≤2),2x -1(x>2).画出此分段函数的图象如图,可知值域为[3,+∞). 名师点拨 MING SHI DIAN BO求函数值域的一般方法(1)分离常数法:形如y =cx +d ax +b(a≠0)的函数;如例3(1).(2)反解法:形如y =cf (x )+daf (x )+b (a≠0,f(x)值域易求)的函数;如例3(1).(3)配方法:形如y =af 2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数;如例3(2). (4)不等式法;如例3(3).(5)单调性法:通过研究函数单调性,求出最值,进而确定值域.(6)换元法:形如y =ax +b±cx +d (c≠0)的函数;如例3(4);形如y =ax +b±c 2-x 2(c≠0)的函数采用三角换元,如例3(5).(7)数形结合法:借助函数图象确定函数的值域,如例3(6). (8)导数法. 〔变式训练2〕 求下列函数的值域: (1)y =1-x 21+x 2;(2)y =x +41-x ;(3)y =2x 2-x +12x -1⎝ ⎛⎭⎪⎫x>12.[解析] (1)解法一:y =1-x 21+x 2=-1+21+x 2,因为x 2≥0,所以x 2+1≥1,所以0<21+x 2≤2.所以-1<-1+21+x 2≤1.即函数的值域为(-1,1].解法二:由y =1-x 21+x 2,得x 2=1-y 1+y . 因为x 2≥0,所以1-y 1+y≥0.所以-1<y≤1,即函数的值域为(-1,1]. (2)设t =1-x ,t≥0,则x =1-t 2,所以原函数可化为y =1-t 2+4t =-(t -2)2+5(t≥0), 所以y≤5,所以原函数的值域为(-∞,5]. (3)y =2x 2-x +12x -1=x (2x -1)+12x -1=x +12x -1=x -12+12x -12+12, 因为x>12,所以x -12>0,所以x -12+12x -12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12·12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12=2, 当且仅当x -12=12x -12,即x =1+22时取等号.所以y≥2+12,即原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2+12,+∞. 导数法:y′=4x 2-4x +1(2x -1)2,∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1+22递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1+22,+∞递增,∴y ≥2+12.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f(x)=lg [(a 2-1)x 2+(a +1)x +1].(1)若f(x)的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若f(x)的值域为R ,求实数a 的取值范围.[分析] (1)由f(x)的定义域为R 知(a 2-1)x 2+(a +1)·x +1>0的解集为R ,即(a 2-1)x 2+(a +1)x +1>0恒成立;(2)由f(x)的值域为R 知(a 2-1)x 2+(a +1)x +1能取所有正数,即y =(a 2-1)x 2+(a +1)x +1图象的开口向上且与x 轴必有交点.[解析] (1)依题意(a 2-1)x 2+(a +1)x +1>0,对一切x∈R 恒成立,当a 2-1≠0时,其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0,Δ=(a +1)2-4(a 2-1)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<-1,a>53或a<-1. ∴a<-1或a>53.又a =-1时,f(x)=1>0,满足题意.∴a ≤-1或a>53.(2)依题意,只要t =(a 2-1)x 2+(a +1)x +1能取到(0,+∞)上的任何值,则f(x)的值域为R ,故有a 2-1>0,Δ≥0,解得-1≤a≤53,又当a 2-1=0,即a =1时,t =2x +1符合题意;a =-1时不合题意,∴-1<a≤53.名师点拨 MING SHI DIAN BO已知函数的定义域,等于是知道了x 的范围,(1)当定义域不是R 时,往往转化为解集问题,进而转化为与之对应的方程解的问题,此时常利用代入法或待定系数法求解;(2)当定义域为R 时,往往转化为恒成立的问题,常常结合图形或利用最值求解.〔变式训练3〕(1)已知函数y =mx 2-6mx +m +8的定义域为R ,则实数m 的取值范围为[0,1].(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254,-4,则实数m 的取值范围是( C )A .(0,4]B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,4C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,3D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ [解析] (1)①当m =0时,y =8,其定义域为R. ②当m≠0时,由定义域为R 可知, mx 2-6mx +m +8≥0对一切实数x 均成立,于是有⎩⎪⎨⎪⎧m>0,Δ=(-6m )2-4m (m +8)≤0, 解得0<m≤1,∴m 的取值范围是[0,1].(2)由x 2-3x -4=-254得x =32;由x 2-3x -4=-4,得x =0或x =3,又函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254,-4,∴32≤m≤3. 另:由y =x 2-3x -4=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322-254,∴32≤m ≤3.。
考向14 导数的概念及应用【2022·全国·高考真题】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________,____________.【2022·全国·高考真题】若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是________________.1.求函数导数的总原则:先化简解析式,再求导.注意以下几点:连乘形式则先展开化为多项式形式,再求导;三角形式,先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;分式形式,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;复合函数,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元2.利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下三点:(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率,即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点坐标.(2)切点既在曲线上,又在切线上,切线还有可能和曲线有其它的公共点. (3)曲线()y f x =“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别:曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点,若切线斜率存在,切线斜率为()0k f x '=,是唯一的一条切线;曲线()y f x =过点00(,)P x y 的切线,是指切线经过点P ,点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.3.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.4.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围; (2)谨记切点既在切线上又在曲线上.1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算:函数()y f x =在点00(())A x f x ,处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-,抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩.2.过点的切线方程设切点为00()P x y ,,则斜率0()k f x '=,过切点的切线方程为:000()()y y f x x x '-=-, 又因为切线方程过点()A m n ,,所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值.(0x 有几个值,就有几条切线)注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.一、导数的概念和几何性质1.概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='.诠释:①增量x ∆可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0.0x ∆→的意义:x ∆与0之间距离要多近有多近,即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数;②当0x ∆→时,y ∆在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数,即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近; ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率,即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆. 2.几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ,处的切线的斜率.3.物理意义函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ,即)(0t s v '=;)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ,即)(0t v a '=.二、导数的运算 1.求导的基本公式 基本初等函数 导函数 ()f x c =(c 为常数) ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠, ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠, 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-2.导数的四则运算法则(1)函数和差求导法则:[()()]()()f x g x f x g x '''±=±; (2)函数积的求导法则:[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+; (3)函数商的求导法则:()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=. 3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =,()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=:1.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))曲线2e x y x -=在2x =处的切线方程为( ) A .34y x =+ B .43y x =+ C .34y x =-D .43y x =-2.(2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测)函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α,则sin2α=( ) A .310 B .±310C .35D .±353.(2022·湖南·模拟预测)已知P 是曲线()2:ln 3C y x x a x =++-上的一动点,曲线C 在P点处的切线的倾斜角为θ,若32ππθ≤<,则实数a 的取值范围是( )A .)23,0⎡⎣B .)22,0⎡⎣C .(,23⎤-∞⎦D .(,22⎤-∞⎦4.(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测(文))曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=,则k 的值为( )A .1-B .23-C .12D .11.(2022·广东·模拟预测)如图是网络上流行的表情包,其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系.根据该表情包的说法,()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.(2022·湖北·模拟预测)若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线,则( ) A .30n m <<-B .3n m >-C .0n <D .30n m <=-3.(2022·全国·模拟预测(理))过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线,当240e b -<<时,切线的条数是( ) A .0B .1C .2D .34.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知a ,b 为正实数,直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切,则14a b+的最小值为( )A .8B .9C .10D .135.(2022·四川省内江市第六中学模拟预测(理))若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线,则实数a 的最大值为( ) A .e 2B .eC eD .2e6.(2022·云南师大附中模拟预测(理))若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点A ,B ,使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合,则称函数()y f x =为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数的是( ) A .ln y x x =+ B .3y x = C .cos y x x =-D .sin y x x =+7.(2022·山东潍坊·三模)过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e x f x x =的图像相切,当n 取最大值时,m 的取值范围为( )A .25e e m -<< B .250e m -<< C .10em -<<D .e m <8.(多选题)(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测)已知0a >,0b >,直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切,则下列不等式一定成立的是( ) A .219ab+≥B .19ab ≤C 225a b +D 22a b ≤9.(多选题)(2022·山东潍坊·模拟预测)过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ,切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合),设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ,B ,则下列结论正确的是( )A .P 1、P 2两点的横坐标之积为定值B .直线P 1P 2的斜率为定值C .线段AB 的长度为定值D .三角形ABP 面积的取值范围为(0,1]10.(多选题)(2022·江苏·模拟预测)设函数()()()2e R x f x x ax a a -=++∈的导函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >,当a 变化时,记点()()11,x f x 构成的曲线为1C ,点()()22,x f x 构成的曲线为2C ,则( ) A .曲线1C 恒在x 轴上方 B .曲线1C 与2C 有唯一公共点C .对于任意的实数t ,直线y t =与曲线1C 有且仅有一个公共点D .存在实数m ,使得曲线1C 、2C 分布在直线y x m =-+两侧 11.(2022·全国·南京外国语学校模拟预测)己知函数22f xx ,()3ln g x x ax =-,若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同,则实数=a ________. 12.(2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测)已知0a >,0b >,直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切,则21a b+的最小值为___________. 13.(2022·山东泰安·模拟预测)已知函数32()f x x ax =-+,写出一个同时满足下列两个条件的()f x :___________.①在[1,)+∞上单调递减;②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.14.(2022·山东潍坊·模拟预测)已知()e 1x f x =-(e 为自然对数的底数),()ln 1g x x =+,请写出()f x 与()g x 的一条公切线的方程______.15.(2022·山东师范大学附中模拟预测)已知函数()()2e ,x f x g x x a==,若存在一条直线同时与两个函数图象相切,则实数a 的取值范围__________.16.(2022·广东佛山·模拟预测)已知函数()()211ln 21,4212,2x x f x x x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪++≤⎪⎩,函数在1x =处的切线方程为____________.若该切线与()f x 的图象有三个公共点,则a 的取值范围是____________.1.(2021·全国·高考真题)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则( )参考答案 A .e b a < B .e a b < C .0e b a <<D .0e a b <<2.(2020·全国·高考真题(理))若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切,则l 的方程为( )A .y =2x +1B .y =2x +12C .y =12x +1D .y =12x +123.(2020·全国·高考真题(理))函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ,处的切线方程为( ) A .21y x =-- B .21y x =-+ C .23y x =-D .21y x =+4.(2022·全国·高考真题)已知函数3()1f x x x =-+,则( ) A .()f x 有两个极值点B .()f x 有三个零点C .点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D .直线2y x =是曲线()y f x =的切线5.(2022·全国·高考真题)曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________,____________.6.(2022·全国·高考真题)若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是________________.7.(2021·全国·高考真题)已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-,函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直,且分别交y 轴于M ,N 两点,则||||AM BN 取值范围是_______.8.(2021·全国·高考真题(理))曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________. 9.(2020·全国·高考真题(文))曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为______________.10.(2022·全国·高考真题(文))已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+,曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线.(1)若11x =-,求a ; (2)求a 的取值范围.11.(2021·全国·高考真题(文))已知函数32()1f x x x ax =-++. (1)讨论()f x 的单调性;(2)求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标.12.(2020·北京·高考真题)已知函数2()12f x x =-. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程;(Ⅱ)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求()S t 的最小值.。