四省八校双教研联盟高考联考试题数学理科试题 (精品解析)

西安市八校2023~2024学年高三下学期联考试题数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R ，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A. {}B.C. {1,D. {2}N =2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 的共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π34. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40Pm2mmA. 120B. 160C. 200D. 2605. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+最大值为（ ）A 18B. 14C. 10D. 30-6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.7127. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）． A. 1B.C. 2D. 49. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A 48种B. 42种C. 36种D. 30种10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.的.的.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+D. ()lg(51)g x x =+第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．14. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．16. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设21log nn i i b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值．19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A CG B --的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．的（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A{}B.C. {1,D. {2}N =【答案】B 【解析】【分析】先求集合M ，然后由集合的运算可得. 【详解】由10x -≥解得(],1M ∞=-，所以()1,U M ∞=+ð，所以{()U M N ⋂=ð. 故选：B2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-， 所以13i 22z =-. 故选：A3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π3【答案】D 【解析】【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得..的【详解】将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m 个单位， 得()ππ2sin 22sin 2233y x m x m ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 因为π2sin 223y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称， 所以π2π,3m k k -=∈Z ，即ππ,62k m k =+∈Z ， 当3k =时，得5π3m =，使πππ623k m =+=，πππ62k m =+=，ππ4π623k m =+=的整数k 不存在.故选：D4. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40P m2mmA. 120B. 160C. 200D. 260【答案】C 【解析】【分析】根据概率和为1，求得m ，再根据分布列求()E X ，再求()D X 即可. 【详解】由题可知：21m m m ++=，解得14m =，则()040408020E X m m m m =⨯++==； 故()()()()222111020202040201000100200424D X =-+-+-=++=. 故选：C.5. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+的最大值为（ ）A. 18B. 14C. 10D. 30-【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，由图可以得到目标函数取最大值时的位置，求得点的坐标代入即可. 【详解】由约束条件作出可行域如图，目标函数36z x y =-+，即为1126y x z =+，作出直线12y x =， 由图可知，当直线12y x =平移至A 处时，z 取得最大值， 联立224x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得28(,)33A ，则目标函数z 的最大值为z =36148323-⨯+⨯=. 故选：B.6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 的方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.712【答案】D 【解析】【分析】利用韦达定理和判别式求出方程有两个负根时t 的范围，然后由区间长度比可得. 【详解】若方程22430x tx t ++-=有两个负根，则()2043044430t t t t ⎧-<⎪->⎨⎪-->⎩，解得314t <<或3t >，又(1,8)t ∈-，所以当314t <<或38t <<时，方程22430x tx t ++-=有两个负根， 故所求概率()3183741281P -+-==--. 故选：D7. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体即可由圆锥体积公式得解.【详解】由三视图可知，几何体左边为底面半径为3，高为4的圆锥的一半，右边为底面半径为3，高为6的圆锥的一半构成的组合体，如图，所以221111π34π3615π2323V =⨯⋅⨯+⨯⋅⨯=， 故选：A8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）．A. 1B.C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点P 坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设()1,0A x ，()2,0B x ，则1x 与2x 是方程()20x b a x ab -+-+=的两根，则12x x b a +=-，12x x ab =-，12AB x x a b =-==+，又2y x b a '=-+-，则函数()2y x b a x ab =-+-+在点()1,0A x 处的切线方程为()()112y x b a x x =-+--，同理函数()2y x b a x ab =-+-+在点()2,0B x 处切线方程为()()222y x b a x x =-+--，则()()()()112222y x b a x x y x b a x x ⎧=-+--⎪⎨=-+--⎪⎩，解得()()()12222121212224222x x b a x x x x x x x a b y +-⎧==⎪⎪⎨-++-+⎪===⎪⎩，即点()2,22a b b a P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，则311142244ABP P S AB y a b ab =⋅=+≥⋅⋅= ，当且仅当1a b ==时等号成立，故选：C.9. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A. 48种 B. 42种 C. 36种 D. 30种【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分三种分堆情况进行讨论，先分类再分步，即可求得结果. 【详解】先把5人分为3堆，根据题意，则有如下三种情况：第一种：第一堆除了,A B 之外，还有一名医生，第二堆是C ，第三堆是1名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；第二种：第一堆为,A B ，第二堆是C ，第三堆是剩余两名医生， 则此时选派方案有：2323C A 6⋅=种；第三种：第一堆为,A B ，第二堆是C 以及另外一名医生，第三堆是剩余的一名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；的综上所述，所有选派方案有：1261230++=种； 故选：D.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，又渐近线过点()3,9P -，即93b a-=-⨯，则3ba =，所以离心率c e a ====，故选：A.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【详解】由已知()()12f x f x +=-，则()()12f x f x =--，则()()22f x f x +=-， 可知函数()f x 为周期函数，最小正周期4T =，又当20x -≤≤时，()2xf x =-，可知函数()f x 的图象如图所示，且()f x 的值域为[]1,1-， 关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，可得函数()y f x =与函数()log 1a y x =+的图象至少有两个交点， 如图所示，可知当01a <<时，()1log 411log a aa +≥-=，解得15a ≤，即10,5a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当1a >时，()log 211log a a a +≤=，解得3a ≥，即[)3,a ∞∈+， 综上所述[)10,3,5a ∞⎛⎤∈⋃+ ⎥⎝⎦，故选：C.12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+ D. ()lg(51)g x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理求出1x 的范围，再求出各选项中函数的零点即可判断得解. 【详解】函数()4ln 2x f x x =+-定义域为(0,)+∞，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而1211(4ln 2ln 20,(1)2022f f =+-=-<=>，因此1112x <<，对于A ，由()0g x =，得(1)(1)(32)0x x x +--=，解得=1x -或23x =或1x =， 显然121||32x -<或11|1|2x -<，A 能；对于B ，由()0g x =，得211120422x x ⋅-⋅=，解得13x =，332233(2ln 22ln 2 2.5044f =+->+-=->，即11324x <<，1115163122x <-<<，B 能；对于C ，由()0g x =，得5πcos(012x +=，则5πππ,Z 122x k k +=+∈， 解得ππ,Z 12x k k =+∈，取π110,(,1243k x ==∈，11π16122x <-<，C 能； 对于D ，函数()lg(51)g x x =+在1(,)5-+∞上单调递增，(0)0g =，而1102x ->，D 不能.故选：D【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1 【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-=故1λ=. 故答案为：114. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________. 【答案】1023 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意求得k ，再通过赋值法先求0a ，再求目标即可.【详解】521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()52103155111C C 1,0,1,2,51010rrr r r r r T xx r x --+⎛⎫=-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭ ， 令3r =，则可得含x 项的系数()3351C 1110k =⨯⨯-=-，则()101kx -()101x =+， 对()101x +，令0x =，解得01a =；对()101x +，令1x =，解得10011021024a a a +++== ，故1210a a a +++= 102411023-=. 故答案为：1023.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．【答案】114 【解析】【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间[60,110)的频率为(0.010.0050.010.015)100.4+++⨯=，数学成绩在区间[60,120)的频率为0.40.025100.65+⨯=，因此数学成绩的中位数(110,120)m ∈，且(110)0.0250.1m -⨯=，解得114m =， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114. 故答案为：11416. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+，求出弦长,AB AC ，根据AB AC =整理可得()()221110k k a k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由方程有唯一实数解可得1a <≤，然后可得离心率.【详解】由椭圆2221(1)x y a a+=>可知()0,1A ，易知，直线AB 与AC 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+， 联立22221y kx x a y a=+⎧⎨+=⎩消元得()2222120a k x a kx ++=， 解得22221B a kx a k =-+，同理，联立222211y x k x a y a⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩可解得2222C a kx a k =+， 由题知，AB AC =，222222221a k a k a k a k=++， 整理得()()221110k k ak ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因为1k =为上述方程的根，所以，要使满足条件的△ABC 有且只有一个，方程()22110k a k +-+=没有实数解，或者有两个相等的根1k =.当()22Δ140a =--<时，解得1a <<，当()22Δ140a =--=时，解得a =()22110k a k +-+=的根为1.综上，1a <≤.所以，e ⎛= ⎝.故答案为：⎛ ⎝【点睛】求离心率的方法主要有：（1）定义法：根据题意求出a ，c ，然后由离心率公式直接求解；（2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得222,,a b c 的关系式，利用222b a c =-消去2b ，然后两边同时除以2a 转化为关于e 的方程或不等式即可求解.三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log nn ii b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 【答案】（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；（2）先根据等差数列求和公式求n b ，然后利用裂项相消法求n T 即可得证. 【小问1详解】记数列{}n a 的公比为q ，则211252611121632a a q a q a q a q⎧+=⎨⋅=⎩，解得112a q ==， 所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可得，221log log 2nn a n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()()2111log2nnn i i i n n b a i ==+==-=-∑∑，所以()122211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以22222222221223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为*n ∈N ，所以2011n <≤+， 所以22211n -<-≤-+，即21n T -<≤-. 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值． 【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简可得sin C ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解； （2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解. 【小问1详解】因为222ππ1ππsin sin sin()cos()sin sin 2sin 36226C B B B B B ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()22211113sin cos 2sin 12sin 22244B B B B ⎛⎫=++=+-+= ⎪⎝⎭，因为sin 0C >，所以sin C =由△ABC 为钝角三角形且a c <，b c <知，C 为钝角，所以1cos 2C =-，即tan C =，所以()tan()tan πtan A B C C +=-=-=【小问2详解】因为1sin 2ABC S ab C ===△， 所以48ab =，由余弦定理，222222cos 3144c a b ab C a b ab ab =+-=++≥=，当且仅当a b ==此时2c 的最小值为144，所以c 的最小值为12.19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A CG B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明AF ⊥平面ABCD ，再利用AF CE ∥即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角A CG B --的余弦值即可. 【小问1详解】证明： 四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形.AF AC ∴⊥，又AF BD ⊥，且AC 与BD 是平面ABCD 上的两条相交直线.AF ∴⊥平面ABCD .由ACEF 为正方形，得AF CE ∥，CE ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】由题意知，直线AB 、AD 、AF 两两互相垂直.分别以直线AB 、AD 、AF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐系A xyz -.设2AB =，则AC =，于是，有()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D，(2,2,E，(0,0,F，(1,1,G ，(1,1,BG ∴=- ，()0,2,0BC = ，()2,2,0DB =-.设平面BCG 的一个法向量为()111,,n x y z =，则11111110020y n BG x y x n BC y ⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅==⎪⎪⎩⎩，令11z =，得1x =所以()n =，AF DB ⊥ ，DB AC ⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACEF ，DB ∴⊥平面ACEF ，即DB ⊥平面ACG ()2,2,0DB ∴=-是平面ACG 的一个法向量.设二面角A CG B --的大小为α，结合图形，知α为锐角，2cos cos ,3n DB n DB n DBα⋅∴=====⋅，∴二面角A CG B --的余弦值为23. 20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =；（2）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义及给定弦长求出p 即得. （2）假设存在符合要求的两点，并设出两点坐标，再利用对称思想列式求解判断即得. 【小问1详解】抛物线2:2S x py =的焦点(0,)2p F ，直线l方程为2py x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222py x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y得：22330x p --=，则12x x p +=，12125)3y y x x p p +=++=，128||||||3AB AF BF y y p p =+=++=，于是81633p =，解得2p =，所以抛物线S 的方程为24x y =. 【小问2详解】 由（1）知直线l：1y x =+， 假设在抛物线S 上存在关于直线l 对称的相异两点，设这两点坐标为221212(,(,44x x M x N x ，于是直线MN的斜率22121212144()4MNx x k x x x x -==+=-，解得12+=-x x 线段MN的中点0()y -在直线l 上，则01y =-，而0()y -应在线段AB 上，必有00y >与01y =-矛盾，所以在抛物线S 上不存在关于直线l 对称的相异两点.【点睛】思路点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++（或12||AB y y p =++），若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . 【答案】（1）[)2,-+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）考查已知带参函数的单调性求参数取值范围的问题，根据导数正负与函数单调递增的关系：函数()f x 单调递增()0f x '⇒≥恒成立，令导数()0f x '≥，过程中对参数k 进行分离参数得()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，再将问题转化成研究具体函数()()()()22121x h x x x +=->-+的最值问题即可.（2）由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增得()2ln 12xx x +>+，再根据所需求证不等式的特征令22x a x =+不等式变成2ln2a a a +>-，再根据所需依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ 进行研究即可得到.小问1详解】由题()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()()2222221111212k x kx x k x x x f x x x x '+-+++=+=>-++++， ()f x ()1,-+∞上单调递增时，()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，得()()22210x k x +++≥在()1,-+∞恒成立，即()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，设()()()()22121x h x x x +=->-+，得()()()()()()()2222212212121x x x x x h x x x ++-++'=-⨯=-++，由()0h x '=，得0x =，或2x =-（舍去），当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在()1,0-上单调道增；当0x >时，()0h x '<，()h x 在()0,∞+上单调递增，()h x ∴在0x =处取得极大值也是最大值，即()()max 02h x h ==-⎡⎤⎣⎦， 2k ∴≥-，()f x \在其定义域上单调递增时，k 的取值范围为[)2,-+∞.【小问2详解】由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增.【在∴当2k =-，0x >时，()()()2ln 1002xf x x f x =+->=+，即()2ln 12x x x +>+.① 令22x a x =+，则22a x a =-，代入①，整理得2ln2a a a+>-.② 在②中，依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ . 顺次得到231ln 211n n n +>++，251ln 232n n n +>++，271ln 253n n n +>++，…，411ln 412n n n+>-. 将以上各不等式两边分别相加并整理，得1111411ln ln 2ln 212322121n n n n n n n +⎛⎫++++<=-< ⎪+++++⎝⎭.证毕. 【点睛】方法点睛：导数与单调性关系：（1）在函数定义域内，不等式'()0f x >的解即为函数()y f x =的增区间；不等式'()0f x <的解即为函数()y f x =的减区间.（2）若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递增，则'()0f x ≥对(),x a b ∈恒成立；若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递减，则'()0f x ≤对(),x a b ∈恒成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．【答案】（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=（2）AB =【解析】【分析】（1）利用消元法可得直线l 的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线Γ的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=，利用韦达定理和弦长公式，即可得到结果. 【小问1详解】直线l的参数方程为1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），相加消去t ，得其普通方程为30x y +-=， 曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，转化成直角坐标方程为()2224x y -+=.【小问2详解】设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入()2224x y -+=，得到210t ++=，12121t t t t +=-=， 故12AB t t =-==.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集． 【答案】（1）4（2）[]0,3 【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的性质及均值不等式求解即可； （2）分区间讨论去掉绝对值解不等式即可.【小问1详解】()244442222224f x x a x x a x x a x a a a a a a a =++-=++-≥++-=+=+≥, 当且仅当()42204x a x a a a ⎧⎛⎫+⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩时，即2a =±，11x -≤≤时等号成立，所以函数()f x 的最小值为4 【小问2详解】由（1）知，min [()]4a f x ==， 则2()24224124f x x x x x =++-=++-， 所以(1)2232f x x x -=++-25x ≤+，①当1x ≤-时，原不等式可化为：222325x x x ---+≤+， 即46x -≤，解得23x ≥-，又1x ≤-，故无解； ②当312x -<≤时，原不等式可化为：222325x x x +-+≤+， 即525x ≤+，解得0x ≥，又312x -<≤，所以302x ≤≤；③当32x <时，原不等式可化为：222325x x x ++-≤+，即26x ≤，解得3x ≤，又32x <，所以332x <≤.综上，不等式的解集为[]0,3.。

四省八校双教研联盟高考2019届高三联考试题数学(理)参考答案一、选择题1.考点：几何基本运算。

由1>x得20<x<，由022>-+x x 得1x>或2-x<，所以{}12|≤≤x -x B=C R ，故选B 。

2.考点：复数的基本运算，复数的模，复数相等等概念的认识，由()y=x+yi z+i 得⎩⎨⎧==yy x y 2所以52=+=+i i y x故选D 。

3.考点：等差数列性质及化归思想应用。

由10345113=a +a a -得10323573=a a +a -得1034553=a a +a -得1053=+a a 得54=a ，故选C 。

4.考点：对图表数据的认识，选D 。

显然对业务收入量2月对1月减少。

4月对3月减少整体不具备高速增加之说。

5.考点：简易逻辑，对充分性、必要性的理解，显然选A ，当m ⊥n 时n 在平面α可得平面α外。

6.考点：排列与组合。

根据题意组队形成只有2、4型和3、3型。

2、4型又只能一男一女和二男二女，此时有1313C C 种搭配。

3,3型又只能为二男一女和一男二女，此时有1323C C 种搭配。

故最终有()362213231313=+A C C C C 种派遣方式，故选A7.考点：简单几何体和三视图。

根据三视图画出直观图为(放在长方体中更直观) 三棱锥D -ABC 为所求几何体，则322212131=⋅⋅⋅⋅=D-ABC V ，故选B8.考点：程序框图，n =2时，n =4，5114=+S=⨯，n =6,35=5+65=S ⨯，n =8,315=35+835=S ⨯故选B9.考点：简单线性规划。

做出可行域()101---=+x y xy指可行域内动点()y x ,与定点()0,1-直线的斜率由⎩⎨⎧=--=-+033042y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5657y x 计算得1=z ，由⎩⎨⎧=--=-+02042y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3832y x 计算得516=z ，故选C10.平面向量基本定理应用，向量坐标量应用等和线定理应用。

2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。

四省八校双教研联盟高考联考试卷理科数学一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1、集合21A xx⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， B {}220x x x=+-，则UA CB =（）A、(0, 2)B、(0, 1]C、(0, 1)D、[0, 2]2、已知（2 +i）y =x +yi，x, y ∈R ，则xiy+=（）A2B3C、2 D53、在公差不为0 的等差数列{a n }中满足4a3 +a11 -3a5 =10 ，则15a4 =（）A、-1B、0C、1D、24、如图（1）为某省2016 年快递业务量统计表，图（2）某省2016 年快递业务收入统计表，对统计图下列理解错误的是（）A、2016 年1~4 月业务量最高3 月最低2 月，差值接近2000 万件B、2016 年1~4 月业务量同比增长率均超过50％，在3 月最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C、从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务的收入变化高度一致D、从1~4 月来看，业务量与业务收入量有波动，但整体保持高速增长5、m，n 是两不同直线，α是平面，n ⊥α，则m //α是m⊥n 的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分有不必要条件6、现有3 名男医生3 名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能全在同一组，则不同的派遣方法有（）第 1 页共 4 页第 2 页 共 4 页A 、36B 、54C 、24D 、60 7、某几何体三视图如右则该几何体体积为（ ） A 、13 B 、23 C 、1 D 、438、如图为程序框图，则输出结果为（ ）A 、105B 、315C 、35D 、59、设 x ，y 满足24020330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z =21y x +的范围（ ）A 、19[,]27B 、118[,]27C 、16[1,]5 D. 8[1,]510、已知在 Rt △ABC 中，A =2π，AB =3，AC =4，P 为 BC 上 任意一点(含 B ，C )，以 P 为圆心，1 为半径作圆，Q 为圆上 任意一点，设AQ x =AB y AC +，则 x +y 的最大值为 （ ） A 、1312B 、1512C 、1712D 、191211、已知椭圆与双曲线有公共焦点，F 1，F 2，F 1 为左焦点，F 2 为右焦点，P 点为它们 在第一象限的一个交点，且∠F 1PF 2=4π，设 e 1，e 2 分别为椭圆双曲线离心率，则1211e e +的最大值为（ ）A 、 2B 、 22C 、32D 、 4212、 f ( x ) =2222236()cos()33x x x xe e m e e x ππ-++-有唯一零点，则 m =（ ）A 、3B 、2C 、32D 、12二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、设随机变量 X ~ B (6，13 ) ，则 P （2＜X ＜4）=14、262(21)()x x x--展开式中 x 4的系数为第 3 页 共 4 页15、f (x ) =sin 2(13tan )12sin 2()24xx x π+--的最小正周期为 16、已知球内接三棱锥 P -ABC 中，PA ⊥平面 ABC ,，△ABC 为 等边三角形，且边长 3，又球的体积为323π，则直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值为三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）17、（12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， a n +1 =4121n S n --， a 1 = 1 且 n ∈ N .(1) 求{a n }的通项公式；(2) 设 a n b n n S {}n b 的前 n 项和为T n ，求证：T n < 32(n ∈ N * ).18、（12 分）四棱锥 P -ABCD 中平面 PAD ⊥平面 ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，M 为 AD 中点，PA =PD 5AD =AB =2CD =2. (1) 求证：平面 PMB ⊥平面 PAC ；(2) 求二面角 A -PC -D 的余弦值.19、（12 分）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症， 经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表其中(1) 作出散点图；(2) 根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = b ˆx + a ˆ (精确到 0.01)；(3) 根据经验观测值为正常值的 0.85~1.06 为正常，若 1.06~1.12 为轻度焦虑，1.12~1.20周数 x 6 5 4 3 2 1 正常值 y 55 63 72 80 90 99第 4 页 共 4 页为中度焦虑，1.20 及以上为重度焦虑。

“四省八校”2022 届高三下学期开学考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若集合12xA x x ⎧⎫-=∈>⎨⎬⎩⎭R ，(){}2log 11B x x =+<，则A B =( ) A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知R a ∈，复数3i1iz a +=+（i 为虚部单位）为纯虚数，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知α，R β∈，则“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．设函数()1ln1f x x xx+=-，则函数的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）A ．156种B ．168种C ．172种D ．180种6．已知()()()515313212532log log log log log log log log log 0z y x ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎡⎤⎢⎣⎦⎥⎦⎣⎦，则下列关系中成立的是 A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．函数()()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭对于R x ∀∈都有()3πf x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()2π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭恒成立，在区间,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()f x 无最值.将()f x 横坐标变为原来的6倍，图象左移2π3个单位，上移3个单位得到()g x ，则下列选项正确的是（ ） A ．()g x 在4π11π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．当8π3x =-时()g x 取得最小值为-1 C ．()g x 的对称中心为()π2πZ 3x k k =+∈ D ．()g x 右移m 个单位得到()h x ，当2π3m =时，()h x 为偶函数 8．在△ABC 中，且BD BC λ=，AE AC μ=，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，3B π∠=，54AB BC =，则（ ）A ．当13λ=时，1233AD AB AC =+B ．当45λ=时，8AB BD ⋅=- C ．当12μ=时，21BE =D ．当49μ=时，6ABE π∠= 9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 内一动点，则下列命题正确的个数是( )△若MN =N 的轨迹长度为π.△若N 到平面11BB C C 与直线1AA 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线的一部分. △若N 在线段AC 上运动，则11D N DB ⊥.△若N 在线段AC 上运动，则1MN BD ∥. A ．1B ．2C ．3D ．410．在x 轴上方作圆与x 轴相切，切点为)D，分别从点()2,0A -､()2,0B ，作该圆的切线AM 和BM ，两切线相交于点M ，则点M 的横坐标的取值范围( )A ．((),2,-∞+∞B ．([),2,-∞+∞C ．((),3,-∞+∞D ．(),-∞⋃+∞11．已知函数()()ln 0xf e x a x a =≠，若[)3,x ∃∈+∞，()2ln f x x x a <+成立，则a 的取值范围是（ ） A ．33,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．330,e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．330,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左､右焦点，若椭圆E 上存在点P满足2122a PF PF ⋅=，则椭圆E 离心率的取值范围（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．12⎡⎢⎣⎦ C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题13．若一几何体三视图如图所示，则其内接长方体体积的最大值为___________.14．已知2⎛+⎝nx 的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为12，则展开式中二项式系数最大的项的系数为___________. 15．在ABC 中，已知22cos cos 1B A -=，则AB BC的取值范围为___________.16．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l 与y 轴及双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线的三个不同交点构成集合M ，且M 恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l 的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是，，，△以上结论正确的是___________. 三、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，()1*21223n n n n a a a n N ++++-=∈.(1)设12n nn na ab +-=，求证{}n b 是等差数列； (2)求{}n a 的通项.18．如图，多面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，上底面1111D C B A 为直角梯形，且111111122CC B C C D A D ====，111BB CC DD ∥∥，1CC ⊥平面ABCD ，F 为棱1CC 上的一个动点，设由点1A ，A ，F 构成的平面为α.(1)当F 为1CC 的中点时，在多面体中作出平面α截正方体的截面图形，并指明与棱的交点位置；(2)求当点D 到平面α的距离取得最大值时直线AD 与平面α所成角的正弦值. 19．某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率； (2)记该小组得分为X ，求X 的期望.20．如图，已知椭圆221:14x C y +=，曲线22:1C y x =-与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与相交于A 、B ，直线MA 、MB 分别与1C 交于点D 、E .(1)证明：以DE 为直径的圆经过点M ；(2)记MAB △、MDE 的面积分别为1S 、2S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.21．己知函数()2ln f x x ax x =+-.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间. (2)存在1≥x ，使得()3112f x x ≥+成立，求整数a 的最小值. 22．在平面直角坐标系中，曲线1C 经过伸缩变换32x xy y ''=⎧⎨=⎩得到曲线2C ，曲线2C 的方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线3C 是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形AOB ，其中2AOB π∠=.(1)请写出曲线1C 的普通方程和曲线3C 的极坐标方程.(2)已知点P 在曲线2C 上，OP AO 、BO 分别与曲线2C 交于点M 、N ，求PMN 的面积.23．已知函数()123f x x x =+-- (1)求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()f x 的最大值为m ，且4log 5a b m =-，求4a b +的最小值.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据分式不等式解法解出集合A ，根据对数的运算法则计算出集合B ，再根据集合交集运算得结果. 【详解】(){}113003A x x x x x ⎧⎫=-⋅>=<<⎨⎬⎩⎭，(){}{}{}2log 1101211B x x x x x x =+<=<+<=-<<， △10,3A B ⎛⎫⎪⎝=⎭.故选：C. 2．B 【解析】 【分析】根据复数的出发运算结合纯虚数的定义求出a ，从而可求出复数z ，即可得出答案. 【详解】 解：()()()()()23i 1i 331i 3i 1i 1i 1i 1a a a z a a a a +-+--+===++-+， 因为复数3i1iz a +=+（i 为虚部单位）为纯虚数， 所以30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-，所以i =z ，所以i z =-， 所以z 的共轭复数的虚部为1-. 故选：B. 3．D 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-时，则()cos ,2,cos cos (1)cos ,21,kk n n Z k k n n Z βαπββ=∈⎧=+-=⎨-=+∈⎩；即不能推出cos cos αβ=. (2)当cos cos αβ=时，2k αβπ=+或2k απβ=-，k Z ∈,所以对第二种情况，不存在k Z ∈时，使得()1kk απβ=+-成立，故“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-”的既不充分不必要条件. 故选：D 4．C 【解析】 【分析】判断f (x )的奇偶性和单调性即可判断图像. 【详解】()()()101101,11xx x x x +>⇒+-<⇒∈--， ()()()1lnln 1ln 11xf x x x x x x+⎡⎤==+--⎣⎦-， ()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x x x f x ⎡⎤⎤⎡-=--+=-+--=-⎦⎣⎣⎦，△f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数，图像关于原点对称，据此排除BD ； 又11ln3022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，△选C.故选：C. 5．A 【解析】 【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量. 【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有166C =种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有155C =种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有222422226C C A A ⨯=种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有14C 4=种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有133C =种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z 的大小关系． 【详解】由题意知，2122log log (log )0x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122log (log )1x ∴=，21log 2x ∴= 解得122x ==同理可解得133y ==155z ==比较x 和y ：取668x ==，669y == 66,x y x y <∴<比较x 和z ：取101032,25x z ==，1010,x z x z ∴>∴>比较y 和z ：取1515243,125y z ==，1515,y z y z ∴>∴>综上所述：z x y <<，故选C ． 【点睛】对数式特殊值有log 10,log 1a a a ==，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程．再构造同指数幂比较大小． 7．D 【解析】 【分析】根据已知条件求得()f x 的解析式，然后根据三角函数的的单调性、最值、对称性、三角函数图象变换、三角函数的奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】 由题意得△πππ4366T =-=，△223ππT ω==，则3ω=. △ππ2sin 2cos 062f ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ2k ϕ=+△()2cos3f x x =，则()1π2cos 323g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1π4π10π2ππ2π2π4π4π2333k x k k x k +≤+≤+⇒+≤≤+， ()f x 在4π10π4π,4π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增，当k =0时，增区间为4π10π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 错误； 4π4π3x k =+时，()g x 取得最小值为1，B 错误： 1ππππ,2π2323x k x k +=+=+，所以()g x 的对称中心为()2π2π,33k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，C 错误； ()1π2cos 3232m h x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，当()h x 为偶函数时，ππ32m k -=，2π2π3m k =-，D 正确.故选：D 8．D 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算可判断A;根据数量积的运算法则可求得AB BD ⋅，从而判断B;先表示出1()2BE BA BC =+，再根据向量模的计算求得BE ，可判断C;根据向量的夹角公式可求得ABE ∠，判断D. 【详解】当13λ=时，13BD BC =，则1121++()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ===+-=+,故A 错误； 当45λ=时，45BD BC =， 则24428||cos ||||55325AB BD AB AB BC BC BC π⨯=-⋅=⋅=⋅）（， 由于||BC 不定，故B 错误； 当12μ=时，1()2BE BA BC =+,故2222211141461||()2||222255BE BA BC BA BC BA BC BC BC BC =+=++⋅=+=由于||BC 不定，故C 错误；当49μ=时，49AE AC =， 4454())9999BE AE AB AC AB AB BC AB AB BC =-=-=+-=-+, 故25443||()||99BE AB BC BC =-+=, 故22545424()||999945BA BE BA AB BC AB AB BC BC ⋅=⋅-+=-⋅=所以224345=||||443cos ||||BCBA BE ABE BA BE BC BC ⋅∠==⋅⨯ , 由于03π<∠<ABE ,故6ABE π∠=，故D 正确，故选：D 9．C 【解析】 【分析】△连接DN 、MN ，求出DN ，根据圆的定义可求N 的轨迹，根据圆的周长可求轨迹长度； △根据几何关系可知N 到平面11BB C C 的距离即为N 到直线BC 的距离，N 到直线1AA 的距离即为NA ，根据抛物线的定义即可判断N 的轨迹； △连接11AD CD 、，证明1DB ⊥平面1ACD 即可；△连接连接AC 和BD 交于O ，连接MO ，则1BD △MO ，由此即可判断. 【详解】 △连接DN 、MN ，△DM △平面ABCD ，△DM DN ⊥，△2DN ， △点N 的轨迹是以D 为圆心，2为半径的圆的14，△点N 轨迹长度为圆的周长的14，为1224ππ⨯⨯=，故△正确；△如图，过N 作NE △BC 与E ，连接AN ：△平面ABCD △平面11BB C C 且两平面交于BC ，△NE △平面11BB C C ，△NE 即为N 到平面11BB C C 的距离；△1AA △平面ABCD ，△1AA △AN ，△AN 就是N 到直线1AA 的距离；若N 到平面11BB C C 与直线1AA 的距离相等，即NE ＝NA ，根据抛物线的定义可知N 的轨迹是以A 为焦点，BC 为准线的抛物线的一部分，故△正确； △连接111AD CD DC 、、：11CDD C 是正方形，11DC CD ∴⊥，△11B C ⊥平面1111111111,,,CDD C B C CD DC B C C CD ∴⊥⋂=∴⊥平面1111,DB C CD DB ∴⊥， 同理可证111111,,AD DB AD CD D DB ⊥⋂=∴⊥平面111,,ACD DB D N ∴⊥∴③正确；△连接AC 和BD 交于O ，连接MO ，△ABCD 时正方形，△OB ＝OD ，又M 是1DD 的中点，△在三角形1BDD 中，1BD △MO ， △若N 在线段AC 上运动，只有当N 为AC 中点O 才满足1MN BD ∥，故△错误. △正确的命题是：△△△，正确的个数为：3. 故选：C. 10．A 【解析】 【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M 的轨迹即可. 【详解】当M 在第一象限时，如图，设直线AM ，BM 与圆分别相切于点E ，F ，由题可知ME MF =，AE AD =，BF BD =， 又△AM AE ME =+，BM BF MF =+△()AM BM AE ME BF MF AD BD AB -=+-+=-=△根据双曲线的可知，M 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)，△此时M 恒坐标M x 当M 在第三象限时，如图，同理可得()()MA MB ME AE MF BF -=---ME MF BF AE BD AD =-+-=-=-△根据双曲线的定义可知，此时M 是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，△此时M 恒坐标M x <综上，M 点的横坐标的取值范围((),2,-∞+∞.故选：A. 11．D 【解析】 【分析】先将不等式()2ln f x x x a <+变形为ln ln xxae xxae ，再根据函数()ln xh x x=在[)3,+∞上为减函数即可得到x x ae >，然后分参即可求出． 【详解】因为()2ln f x x x a <+，得2ln ln xae x x x a <+，同时除以xxae 得：ln ln xxae xxae，[)3,x ∃∈+∞使该不等式成立．设()ln x h x x=，()21ln xh x x -'=，当3x ≥时，()0h x '<，所以()ln x h x x =在[)3,+∞为减函数，所以，由()()e xh x h a <得x x ae >，即maxx x a e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为333ln ln 3x x x x e e e e e e =≤=，所以，3max 3x x a e e ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即a 的取值范围是330,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D. 12．B 【解析】 【分析】利用2122a PF PF ⋅=列方程，整理得422220222a a b x a c c =+-，然后根据20x 的取值范围，求得离心率的取值范围. 【详解】 设()00,P x y ，由椭圆的方程可得()1,0F c -，()2,0F c ，2122a PF PF ⋅=， 则()()20000,,2a c x y c x y ---⋅--=，即2222002a x y c +=+，由P 在椭圆上可得2200221x y a b+=，所以2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以可得22222022c a x b c a ⋅+=+，所以422220222a a b x a c c =+-，由2200,x a ⎡⎤∈⎣⎦，所以422222422222222202 2a a b a cc a a b a a c c a b c ⎧+-≥⎪⎪⎪+-≤⎨⎪=+⎪⎪⎩，整理可得：224a c ≤，222a c ≥，可得：12e ⎡∈⎢⎣⎦.故选：B 13．1627 【解析】 【分析】根据题意该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2，故底面矩形的边长为,a b ，对角线长为c ，高为x ，进而长方体的体积为()222x xV abx -=≤，02x <<，在结合导数计算()32122,022f x x x x x =-+<<的最值即可. 【详解】解：根据三视图可判断该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2；其内接长方体如图，底面矩形的边长为,a b ，对角线长为c ，高为x ，根据轴截面图得出：2221cx -=，解得2c x =-，其中02x <<；因为2222a b c ab +=≥，所以()22222x c ab -≤=，当且仅当a b =时等号成立， 所以长方体的体积为()222x xV abx -=≤，02x <<，所以令()()2322122,0222x xf x x x x x -==-+<< 则()'23422f x x x =-+，令()'234202f x x x =-+=，解得23x =或2x =， 可判断20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递增，2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递减，所以()f x 的最大值为22221633227⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯.所以该长方体的最大值为1627，当且仅当底面边长为a b ==23x =，故答案为：1627. 14．280或560 【解析】 【分析】结合二项式展开式的通项公式以及已知条件列方程，化简求得n 的值，进而求得展开式中二项式系数最大项的系数. 【详解】因为2⎛ ⎝nx 的展开式通项为()522212kkn n k k k k k n n T C x C x--+=⋅⋅=⋅⋅， 所以，展开式中第4项系数为332n C ⋅，倒数第四项系数为332n n n C --⋅，则3363321222nn n n n C C ---⋅==⋅，即6-n =-1，所以n =7. 当k =3或k =4时，二项式系数最大.所以二项式系数最大的项为13133322472280T C x x =⋅=和4444572560T C x x ==；所以二项式系数最大的项的系数为280或560. 故答案为：280或560 15．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用二倍角公式分析得出2A B =，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出12cos 2cos AB B BC B =-，令cos B t =，则1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()122f t t t =-，利用函数()f t 的单调性可求得AB BC的取值范围.【详解】因为22cos cos 1B A -=，所以2cos 2cos 1cos 2A B B =-=， 因为A 、()0,B π∈，故()20,2B π∈，所以2A B =或22A B π+=. 因为B A B π<+<，故22A B π+<，故2A B =. 则由正弦定理得()sin sin sin 3sin 2cos cos 2sin sin sin sin 22sin cos AB A B C B B B B BA AB B BBC ++==== ()2222sin cos 2cos 1sin 4cos 112cos 2sin cos 2cos 2cos B B B BB B B BB B+--==-，因为()30,C B ππ=-∈，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设cos B t =，则1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则122AB t BC t =-， 设()122f t t t =-，1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()f t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()112f f t f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即302AB BC<<. 所以ABBC 的取值范围为30,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.16．△△△ 【解析】 【分析】设直线方程()0y x t t =-+>，可求出三个交点，结合条件列出等式进而可得a ,b 的关系式，【详解】设直线l 的方程为()0y x t t =-+>，令x =0，可得y =t ，设直线l 与y 轴的交点()0,A t ， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 与直线y =x +t 联立，可得,atbt B a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，,at bt C a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭ 由三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当A ，B ，C 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得12AB BC =，即为12at at at a b a b a b ⎛⎫=- ⎪+-+⎝⎭，化为a =2b ，c e a = 当A ，C ，B 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上， 可得12AC CB =，即为12at at at a b a b a b ⎛⎫=- ⎪-+-⎝⎭，化为a =－2b 不成立； 当B ，A ，C 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得12BA AC =，即为102at at a b a b ⎛⎫-=- ⎪+-⎝⎭，化为b =3a ，c e a =； 当C ，A ，B 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上， 可得12CA AB =，即为102at at a b a b ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，化为b =－3a 不成立； 当C ，B ，A 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得12CB BA =，即为12at at at a b a b a b -=-+-+，化为a =5b ，c e a == 当B ，C ，A 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得12BC CA =，即为12at at at a b a b a b-=--+-，化为a =－5b 不成立.故答案为：△△△. 17．(1)证明见解析(2)()223nn a n =-⋅+【解析】（1）式子变形后2111122n n n n n n a a a a ++++---=，可知{}n b 是首项211112a a b -==，公差为1的等差数列.（2）利用累加法和错位相减法即可得出结论. (1)解：由已知可得：()121122n n n n n a a a a ++++-=-+即2111122n n n nn na a a a ++++---= 即11n nb b +-=， 所以{}n b 是首项211112a a b -==，公差为1的等差数列. (2)由（1）知()11112n nn na ab n n +-==+-⋅= 则12nn n a a n +-=⋅()()()()12121321122212n n n a a a a a a n ---+-++-=⋅+⋅++-⋅得到()1211122212n n a a n --=⋅+⋅++-⋅△，()()2312122212n n a a n -=⋅+⋅++-⋅△-①②，得()223nn a n =-⋅+.18．(1)答案见解析【解析】 【分析】（1）取BC 的中点E ，取CE 的中点N ，连接1C E ，FN ，连接AN 并延长交DC 延长线于M ，连接MF 并延长交11C D 于Q ，连接1A Q ，从而可求出截面图形，（2）如图，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设CF =a ，（0≤a ≤2），求出平面α的一个法向量m ，然后表示出点D 到平面α的距离为d ，由其最大值可求出a ，再利用向量的夹角公式可求得结果 (1)取BC 的中点E ，取CE 的中点N ，则14CN CB =，连接1C E ，FN ， 由题意可得1C E △1AA ，因为F 为1CC 的中点，所以1C E △FN ， 所以FN △1AA ， 所以N α∈，连接AN 并延长交DC 延长线于M ， 连接MF 并延长交11C D 于Q ，连接1A Q ，则平面α截正方体的截面为五边形1AAQFN ，如图所示.因14CN CB =，所以14CM DM =， 所以13CM DC =，因为CMF △1C QF ， 所以1C Q CM =，因为11CD C D =，所以1113C Q CD = (2)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长1AA 与z 轴交于P 点，设CF =a ，（0≤a ≤2），则()2,0,0A ，()11,0,2A ，()0,2,F x △()11,0,2AA =-，()2,2,AF a =-，()2,0,0DA =， 设平面α的一个法向量为(),,m x y z =，则120220m AA x z m AF x y az ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，令2z =，则()4,4,2m a =-， 设点D 到平面α的距离为d ，则()28d =a =2时，max d =此时()4,2,2m =，设直线AD 与平面α所成角为θ，则sin cos ,2m DA m DA m DAθ⋅====所以直线AD 与平面α19．(1)89(2)1103【解析】【分析】（1）设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A ，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B . 根据超几何分布原理分别求得()P AB ，()P A ，直接利用条件概率的计算公式即可求得； （2）设恰有Y 人女生参加劳动学习，则男生2-Y 人参加劳动学习，求出Y 的分布列和数学期望，由405X Y =-即可求出()E X . (1)设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A ，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B . 根据超几何分布原理得：()114226C C P AB C =，()11242226C C C P A C += 有条件概率的计算公式得：()()()11421124228|9P AB C C P B A P A C C C ===+ 所以，在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为89； (2)根据题意女生参加劳动学习可获得：1110201522⨯+⨯=（分）； 男生参加劳动学习可获得：11110203020333⨯+⨯+⨯=（分）. 设恰有Y 人女生参加劳动学习，则男生2-Y 人参加劳动学习，则()2426205C P Y C ===；()1124268115C C P Y C ⋅===；()22261215C P Y C ===. 所以Y 的分布列为：则有：()2812012515153E Y =⨯+⨯+⨯=.又()15202405X Y Y Y =+-=-， △()211040533E X =-⨯=. 20．(1)证明见解析(2)25,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与曲线2C 的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出1MA MB k k =-，可得出MA MB ⊥，即可证得结论成立；（2）设MA 的斜率为()110k k >，则MA 的方程为11y k x =-，将直线MA 的方程分别与曲线2C 、1C 的方程联立，可求得点A 、D 的坐标，同理可得出点B 、E 的坐标，可求得1S 、2S ，进而可得出λ的表达式，利用基本不等式可求得λ的取值范围.(1)证明：若直线l 的斜率不存在，则该直线与y 轴重合，此时直线l 与曲线2C 只有一个交点，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则1x 、2x 是上述方程的两个实根， 于是12x x k +=，121x x =-. 又因为点()0,1M -，所以()()()22212121212121212121111111MA MBkx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x x x +++++++-++=⋅====-，所以MA MB ⊥，即90DME ∠=，所以DE 为直径的圆经过点M . (2)解：由已知，设MA 的斜率为()110k k >，则MA 的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为()211,1k k -，又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111,1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.所以21111111122k S MA MB k k k +=⋅=-=，由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得()22111480k x k x +-=，解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 则点D 的坐标为2112211841,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，于是()()()211112222211113218812144144k k k k S MD ME k k k k +=⋅==++++，因此()()221121122211144141254171764646464k k S k S k k ++⎛⎫⎛⎫==++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当212144k k =时，即当11k =时，等号成立， 所以2564λ≥，所以λ的取值范围为25,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.21．(1)增区间为()0,∞+，无单减区间 (2)2【解析】 【分析】（1）利用导数与函数的单调性之间的关系可求得结果； （2）由题意可知，存在1≥x ，使得2111ln 2x a x x x -≥++，构造函数()211ln 12x g x x x x+=+-，其中1≥x ，利用导数分析函数()g x 的单调性，求出()min g x 的取值范围，可求得整数a 的最小值. (1)解：当1a =时，()2ln f x x x x =+-，该函数的定义域为()0,∞+，则()121110f x x x '=+-≥=>，当且仅当x = 故函数()f x 的增区间为()0,∞+，无单减区间. (2)解：存在1≥x ，使得231ln 12x ax x x +-≥+成立，即2111ln 2x a x x x -≥++， 令()211ln 12x g x x x x +=+-，其中1≥x ，则()min a g x ≥， ()323312ln 3112ln 322x x x x g x x x x -+--'=-+=，令()312ln 32h x x x x =-+-，则()3232324122x x h x x x x-+'=-+=，令()3324m x x x =-+，()2920m x x '=->对任意的1≥x 恒成立，故函数()m x 在[)1,+∞上为增函数，则()()15m x m ≥=， 即()0h x '>对任意的1≥x 恒成立，则函数()h x 为增函数. 因为34532ln 02162h ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，()22ln 210h =->，所以存在3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()312ln 302h t g t t t t '==-+-=，当()1,x t ∈时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减， 当(),x t ∞∈+时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()()3333222min111131ln 1322224224t t t t t t t t t g x g t t t t +-++++--+-====，3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 设()2311422t t t t ϕ=+-，则()3233311324424t t t t t t ϕ-+'=-+=，令()3324p t t t =-+，则()2920p t t '=->对任意的3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，故函数()p t 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，则()302p t p ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即()0t ϕ'>对任意的3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，故函数()t ϕ在3,22⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故()()322t ϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()8913728t ϕ<<，即()min 8913728g x <<，因为a 为整数，所以整数a 的最小值为2. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 22．(1)()221:3141C x y -+=，()33:04C πθρ=≥和()504πθρ=≥ (2)12【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的普通方程，然后由变换1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩可得出曲线1C 的普通方程，求出xOA ∠，可得出曲线3C 的极坐标方程；（2）求出点M 、N 、P 的坐标，可求得MN ，直线MN 的方程，求出点P 到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得PMN 的面积. (1)解：将曲线2C 的参数方程化为普通方程可得()2211x y -+=，将曲线2C 经过变换1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩可得到曲线1C ，则()()223121x y ''-+=，因此，曲线1C 的普通方程为()223141x y -+=.曲线3C 是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形AOB ，其中2AOB π∠=.则23224xOA xOB πππ-∠=∠==，故曲线3C 的极坐标方程为()304πθρ=≥和()504πθρ=≥. (2)解：直线AO 的方程为y x =-，联立()2211y x x y =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，即点()1,1M -，同理可得点()1,1N ，则2MN =，且直线MN 的方程为1x =，设点(),P a b，则()2211OP a b ⎧==⎪⎨-+=⎪⎩32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点3,2P ⎛ ⎝⎭， 所以，点P 到直线MN 的距离为12d =， 因此，1122PMN S MN d =⋅=△. 23．(1)2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)3 【解析】 【分析】（1）由已知可得123x x +-≥，在不等式的两边同时平方可得出231480x x -+≤，解此不等式即可得解；（2）分析函数()f x 的单调性，可得出52m =，可得出21b a=，利用三元基本不等式可求得4a b +的最小值. (1)解：由()1230f x x x +=-≥-可得123x x +-≥，两边平方得22214129x x x x ++-+≥，整理得231480x x -+≤，解得243x ≤≤， 所以，不等式()0f x ≥的解集为2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)解：当1x ≤-时，()1234f x x x x =--+-=-，此时函数()f x 单调递增； 当312x -<<时，()12332f x x x x =++-=-，此时函数()f x 单调递增； 当32x ≥时，()()1234f x x x x =+--=-+，此时函数()f x 单调递减. 所以，()max 3522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故52m =，所以，4log 25a b m =-=-，因为0a >且1a ≠，则21b a=，由三元基本不等式可得22444322a a a b a a a +=+=++=≥， 当且仅当242a a =，即2a =时取到等号，故4ab +的最小值为3.。

湖北省八校高三第二次联考数 学 试 题（理）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．若集合{|},(1,),A x x R B m ==∈=⊆若A B ，则m 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．22．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,9,11n S a a ==若，则9S 等于（ ）A ．180B ．90C ．72D ．103．在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的14，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为 （ ）A ．80B ．0.8C ．．0.24．若满足条件60,C AB BC a =︒==的ABC ∆有两个，那么a 的取值范围是（ ）A ．（1）B ．C．2)D ．（1，2）5．复数123i i++与复数在复平面上的对应点分别是A 、B ，则AOB ∠等于 （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π6．已知x ，y 满足约束条件220344,0x x y x y y ≥⎧⎪+≥+⎨⎪≥⎩则的最小值是（ ）A ．45B ．1625C ．43D ．17．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码。

公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为 （ ） A ． B ．4096 C ．5904 D ．83．有三个命题①函数()ln 2f x x x =+-的图像与x 轴有2个交点；②函数1(0)y x =≥ 的反函数是2(1)(1)y x x =-≥-；③函数y =的图象关于y 轴对称。

其中真命题是（ ） A ．①③ B ．② C ．③ D ．②③9．若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是 （ ）A ．点B ．线段C ．圆弧D ．抛物线的一部分10．已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．2(,1)3C ．3(1,)2D ．（1，2）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

四省八校2020届高三上学期第二次教学质量检测考试试题数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为A.{x|－2≤x<4}B.{x|x≤2或x≥4}C.{x|－2≤x≤－1}D.{x|－1≤x≤2}2.已知(1＋i)(1－ai)>0(i为虚数单位)，则实数a等于A.－1B.0C.1D.23.平面内到两定点A，B的距离之比等于常数λ(λ>0且λ≠1)的动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。

已知A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝12|PB|，则点P的轨迹围成的平面图形的面积为A.2πB.4πC.94πD.32π4.a，b是单位向量，“(a＋b)2<2”是“a，b的夹角为钝角”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S11＝55，则a6＝A.6B.5C.4D.36.已知131311log,5,644ba c===，则A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a7.已知4sin()45πα+=，则sin2α＝A.－725B.－15C.15D.7258.已知a＝(1，x)，b＝(y，1)(x>0，y>0)。

若a//b，则xyx y+的最大值为A.12 B.1 C.2 D.2 9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为A.50π2π C.100π210.某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2019年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有A.120种B.156种C.188种D.240种1l.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为52，A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1∈[1，2]，则k 2的取值范围为A.[18，14]B.[14，12]C.[－14，－18]D.[－12，－14] 12.已知11ln x x e x e a x-->+对任意x ∈(0，1)恒成立，则实数a 的取值范围为 A.(0，e ＋1) B.(0，e ＋1] C.(－∞，e ＋1) D.(－∞，e ＋1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届“四省八校”高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．若集合{}2|log (1)1M x x =-…，则下列结论正确的是（） A.(,3]M =-∞MC.M ∈D.M ⊆【答案】D【解析】化简集合{}13M x x =<≤，判断选项即可. 【详解】化简集合{}{}2|log (1)113M x x x x =-=<≤…，判断选项得M ⊆. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的解法、元素与集合的关系、集合与集合的关系，属于基础题．2．设函数2,1()(2),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，则(3)f -的值为（）A.12B.2C.18D.8【答案】B【解析】根据分段函数，得(3)=(3+2)=(1)=(1+2)=(1)=2f f f f f ----. 【详解】∵函数2,1()(2),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，∴1(3)=(3+2)=(1)=(1+2)=(1)=2=2f f f f f ----. 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数解析式求值的问题，关键在于正确理解，属于基础题． 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1111S =，则（） A.1a = B.1a =C.a a >D.a a >【解析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式即可求出． 【详解】由等差数列的性质与前n 项和公式可得：1111S =＝()111611112a a a +=，解得61a =．故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属于基础题． 4．已知3log 2a =，4log 5b =，ln 2c =，则,,a b c 的大小关系为（） A.a c b << B.c a b << C.a b c << D.c b a <<【答案】A【解析】利用对数函数的单调性直接求解. 【详解】利用对数函数的单调性可得:44log 541log b =>=，且2231log ln 2log log e e e c a =>==>=，∴a c b <<．故选：A ． 【点睛】本题考查三个数大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，属于基础题． 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点(1,3)P -，则2cos2cos ()4πθθ++=（）A.0B.25C.35D.45【答案】A【解析】根据三角函数的定义，求出cos ,sin θθ，进而求出cos 2,sin 2θθ，化简21sin 2cos 2cos ()cos 2422πθθθθ++=+-代入计算即可.【详解】角θ终边上一点(1,3)P -，根据三角函数的定义，得OP ==∴cos θ＝x OP10=，进而得sin 10θ==-， ∴224cos 2cos sin θθθ=-=-，3sin 22sin cos θθθ==-，化简21cos(2)1sin 22cos2cos ()cos2cos24222πθπθθθθθ++++=+=+- 341413505225210-=-+-=-++=. 故选：A ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，正余弦二倍角的化简求值，考查计算能力，属于基础题． 6．若13a t =-，23b t =+（t R ∈且2133t -<<），则11a b+的最小值为（） A.1 B.2C.3D.4【答案】D【解析】由,a b 的式子得0,0,1a b a b >>+=，展开()121a b a b b a a b ⎛⎫+=+⎝+⎪+ ⎭，利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出. 【详解】13a t =-，23b t =+（t R ∈且2133t -<<），∴0,0a b >>，且1a b +=， 所以()1111422a b a b a b a a b b +=+⎛⎫+=+ ⎪⎝+≥+=⎭， 当且仅当12a b ==取等号. 故选：D 【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于基础题． 7．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递减，若(2)(1)f a f a >-，则a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】结合题意,大致绘制函数图像,利用数形结合思想,建立不等式,计算范围,即可.结合题意,()f x 为偶函数,则该函数关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递减，根据大致绘制函数图像,要满足()()21f a f a >-,则要求121a a a -+<<-,解得11,3a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故选C. 【点睛】考查了偶函数的性质,考查了函数单调性,考查了数形结合思想,难度中等. 8．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（） A.1233AB AC -+ B.2133AB AO - C.1233AB AC -D.2133AB AC -+【答案】A【解析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可． 【详解】ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，如图所示：由22AO DO OD =-=，且D 为BC 的中点，所以O 为AD 的三等分点靠近点D ，且2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()2133AO AD AB AC ==+，又2133BO BD BA =+， 从而2OD OB OC =+，即AO OB OC =+， 所以()1AB AC ++21BD BA +=()()111123333333BC AC AB AC ABAB AC BA AB AC AB --+++=++-=. 故选：A 【点睛】本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题．9．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos )0b c A A +-=，b =，2c =，则A =（） A.12πB.512π C.4π D.3π 【答案】A【解析】由已知条件和正弦定理得sin cos sin sin 03A C A C +=，进而得tan C =C，再由正弦定理得sin B =B ，即可求出角A . 【详解】由cos )0b c A A +-=及正弦定理得：sin sin cos )0B C A A +-=， 且A B C π++=，所以sin()sin cos sin 0A C A C A C ++-=，即sin cos sin 0A C A C +=，因为sin 0A >，tan C =23C π∴=，由3sin sin sin b c B C B =⇒=，sin 2412B B A BC πππ⇒=⇒=⇒=--=． 故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，三角形内角和的性质，考查了计算能力，属于基础题. 10．定义在R 上的奇函数()f x 满足：函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，当[0,1]x ∈时，A.()f x 的图象关于y 轴对称B.()f x 的最小正周期为2C.当[2,3]x ∈时，2()(2)f x x =-D.()f x 在[2,1]--上是减函数【答案】C【解析】由已知条件得()f x 的图象关于1x =对称，且()f x 为奇函数，得周期为4，又[0,1]x ∈时，2()f x x =-，对选项判断即可.【详解】函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于1x =对称，故A 错误；(1)(1)f x f x ∴+=-，进而得(2)()f x f x +=-.又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， (2)()f x f x ∴+=-，进而得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以周期为4，故B 错误；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,3]x ∈时，则2[0,1]x -∈，()2(2)2()f x x f x -=--=-，所以()2()2f x x =-，故C 正确；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,1]x ∈--时，则2[0,1]x +∈，()2(2)2()f x x f x +=-+=-，所以()2()2f x x =+在[2,1]--上是增函数，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了函数的基本性质：奇函数和对称性，函数解析式的综合应用，属于中档题. 11．已知下列四个命题，其中正确的个数有（）①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln xa x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2= A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可. 【详解】①'(2)2ln x x x =⋅，所以①错误； ②'(sin 2)2cos 2x x =，所以②错误； 1④'(ln 2)0=，所以④错误. 故选：A 【点睛】本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题. 12．将函数2()2sin(0)4x f x ϕϕπ+=<<的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()(2)2g x g x π=--+，则ϕ的值为（）A.23πB.3π C.6π D.2π 【答案】B【解析】化简2()2sin1cos()422x x f x ϕϕ+==-+，利用三角函数图象平移规律得()1cos()262x g x πϕ=--+，由()(2)2g x g x π=--+，得()g x 关于(,1)π对称，进而求出ϕ. 【详解】化简2()2sin1cos()422x x f x ϕϕ+==-+，函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得()1cos()262x g x πϕ=--+，由()(2)2g x g x π=--+，得()(2)2g x g x π+-=，所以()g x 关于(,1)π对称，进而2622k ππϕππ-+=+，k Z ∈.2()3k k Z πϕπ∴=+∈，又(0,)3πϕπϕ∈⇒=．故选：B 【点睛】本题考查了三角函数图象平移规律的应用，余弦函数图象和对称中心的应用，属于基础题.二、填空题13．已知向量(sin ,cos )a θθ=，()R θ∈，且()a b a +⊥，则b 在a 的方向上的投影为_______． 【答案】1-【解析】由已知条件得1a =，且()0a b a +⋅=，得1a b ⋅=-，再由投影公式a ba⋅r r r 计【详解】已知向量(sin ,cos )a θθ=，()R θ∈，得2sin 1a θ==，且()a b a +⊥，所以2()0a b a a a b +⋅=+⋅=，得1a b ⋅=-， 则b 在a 的方向上的投影为111a b a⋅-==-. 故答案为：-1 【点睛】本题考查了平面向量数量积和模长的的运算，向量的投影公式的应用，属于基础题.14．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是____【答案】10【解析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20xy +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：()2,4A ，max 10z ∴=. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基15．在数列{}n a 中，12a =，当2n …时，1lg 1n n na a n -=+-，则10a =_____． 【答案】3【解析】由1lg1n n na a n -=+-，2n …，用累加法求出2lg n a n =+()2n …，当1n =时，12a =符合，即可求出10a .【详解】在数列{}n a 中，当2n …时，1lg 1n n n a a n --=-，∴121lg 2n n n a a n ----=-，212lg 1a a -=，以上1n -个累加，得()112lg()lg 2121n n n a a n n n n --==--…， 即：2lg n a n =+()2n …，验：当1n =时，12a =符合. 所以：2lg n a n =+，即102lg103a =+= 故答案为：3 【点睛】本题考查了数列的递推式，累加法求数列的通项公式，注意检验，属于基础题. 16．定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x '，若'()2()f x f x <，则不等式48()(32)x e f x e f x -->+的解集是_______．【答案】12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件得函数2()()exf xg x =在R 上单调递减，由不等式48e ()e (32)x f x f x -->+，得264()(32)e ex x f x f x -+-+>，从而32x x -<+成立，解出x 的范围即可. 【详解】由于'()2()f x f x <，且20x e >，即2'2()2()0xx ef x e f x -<．令2()()ex f x g x =，则'22'22()e 2e ())()0e (x x x f x f x g x -=<，所以()g x 在R 上单调递减， 由不等式48e ()e(32)xf x f x -->+，得264()(32)e ex x f x f x -+-+>成立，即()(32)g x g x ->+．由于()g x 在R 上单调递减，所以32x x -<+，解得12x >-． 故答案为：12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了构造函数，利用导数研究函数的单调性，也考查了不等式的计算，属于中档题.三、解答题17．已知在ABC ∆中，222a c b +=． （1）求角B 的大小；（2）b =BD 为AC 边上的高，求BD 的取值范围．【答案】（1）4B π=；（2）(0,1+【解析】（1）由已知条件和余弦定理得cos 2B =，即可求出角B ；（2）由11sin 22S ac B b BD ==⋅，得12BD ac =，由222a c +=和基本不等式得2ac +…BD 的取值范围. 【详解】（1）在ABC ∆中，且222a c b +-，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-===， 0B π<<，∴4B π=（2）1111sin 22222S ac B b BD ac BD ac ==⋅⇒=⇒=，由余弦定理：222222222a c ac a c ac =+-⋅⇒+=+…，当且仅当a c =取等号，2ac ⇒=+…1(0,1BD ac =∈+.本题考查了正余弦定理的应用，也考查了基本不等式求最值，考查了计算能力，属于基础题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12(1)(2)n n S S n -=+…． （1）求n S ；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．【答案】（1）122n n S +=-；（2）2242n n T n +--=【解析】（1）由12(1)(2)n n S S n -=+…①，得122(1)(3)n n S S n --=+…②，①-②得，12(3)n n a a n -=…，把12a =，代入①得24a =，满足212a a =，得{}n a 是等比数列，即可得n S ；（2）由（1）得122n n S +=-，利用分组求和即可求得n T .【详解】（1）由12(1)(2)n n S S n -=+…①，∴122(1)(3)n n S S n --=+…②， 由①-②得，12(3)n n a a n -=…，∴数列234,,,a a a 为等比数列，在①中，令2n =，有212(1)S S =+，即1212(1)a a a +=+，又12a =， ∴24a =，满足212a a =，∴{}n a 是以12a =为首项，公比为2q =的等比数列，其前n 项和12(12)2212n n n S +-==--.（2）因为n T 为数列{}n S 的前n 项和，所以23112222222n n n T S S S +=+++=-+-++-2314(12)2222212n n n n +-=+++-=--2242n n +=--．【点睛】本题考查了由数列的递推式证明数列是等比数列，注意n 的取值范围，也考查了数列的分组求和，属于中档题.19．设(2,c o s ())4412xx a tan π=+，2(cos ,2cos())4412x x b π=-+，函数()1f x a b =⋅-．（1）求()f x 的定义域及单调增区间； （2）若将图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当[0,]x π∈时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）定义域为{|24,}x x k k Z ππ≠+∈，增区间为410(4,24),(24,4),33k k k k k Z ππππππππ++++∈；（2）[2【解析】（1）由正切函数的定义得函数()f x 的定义域，由平面向量数量积的坐标运算和正余弦的倍角公式化简得()f x sin()26x π=-，再由正弦函数的单调性得()f x 的单调增区间；（2）由()sin y A ωx φ=+的伸缩变化规律得())6g x x π=-，当[0,]x π∈，进而得5[,]666x πππ-∈-，即可求函数()g x 的值域. 【详解】（1）已知(2,cos())4412x x a tanπ=+，2(cos ,2cos())4412x x b π=-+，且()1f x a b =⋅-，由42x k ππ≠+，得函数()f x 的定义域为：{|24,}x x k k Z ππ≠+∈， 所以22()12cos 2cos ()144412x x x f x a b tan π=⋅-=-++- 2sin cos 1cos()14426x x x π=-+++-13sinsin sin 2222222x x x x x =-+-=-+1cos )sin()222226x x x π=-=- 由3(2,2),2622x k k k Z πππππ-∈++∈，得()f x 的增区间为410(4,4),33k k k Z ππππ++∈， 综合()f x 的定义域，得到()f x 的增区间为410(4,24),(24,4),33k k k k k Z ππππππππ++++∈.（2）函数()f x sin()26x π=-图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得())6g x x π=-，当[0,]x π∈，5[,]666x πππ-∈-，得1s i n ()[,1]62x π-∈-所以()g x的值域为[． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算和正余弦倍角公式的应用，正切函数的定义，也考查了()sin y A ωx φ=+的伸缩变化规律及正弦函数的值域等问题，属于中档题. 20．已知函数321()313f x x ax x =+++ （1）若()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；（2）若2a =，且42m -≤≤-，求()f x 在区间[,1]m m +内的最大值()g m ．【答案】（1）a >a <（2）321,43()1231,323m g m m m m m --⎧⎪=⎨+++-<-⎪⎩剟… 【解析】（1）先求导'2()23f x x ax =++，根据题意得'()0f x =有两个不同的解，则24120a ∆=->，解出a 的范围即可；（2）当2a =时，'2()43(3)(1)f x x x x x =++=++，得()f x 在区间(,3),(1,)-∞--+∞上单调递增，区间(3,1)--上单调递减，按3113m m -+-⎧⎨-⎩剟…或31131m m -+-⎧⎨-<-⎩剟…分类讨论求出()max f x 即可. 【详解】（1）已知函数321()313f x x ax x =+++，则'2()23f x x ax =++， 要使()f x 有2个极值点，即'()0f x =有两个不同的解，则24120a ∆=->，解得a >a <（2）当2a =时，函数321()2313f x x x x =+++，则'2()43(3)(1)f x x x x x =++=++，所以()f x 在区间(,3),(1,)-∞--+∞上单调递增，区间(3,1)--上单调递减，①若3113m m -+-⎧⎨-⎩剟…，解得43m --剟，()f x 在[,3)m -上单调递增，(3,1]m -+单调递减，所以max ()(3)1f x f =-=； ②若31131m m -+-⎧⎨-<-⎩剟…，解得32m -<-…，()f x 在[,1]m m +上单调递减，所以32max 1()()2313f x f m m m m ==+++； 综上：321,43()()1231,323maxm f x g m m m m m --⎧⎪==⎨+++-<-⎪⎩剟…. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，以及函数在某个区间上的最大值等问题，也考查了分类讨论思想，属于中档题.21．已知函数22()ln f x x ax a x =--． （1）求()f x 的单调性；（2）若对定义域内任意的x ，()0f x …都恒成立，求a 的取值范围； （3）记()()h x f x ax =+，若()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）34[2e ,1]a ∈-；（3）[e,(2e,e]a ∈-【解析】（1）先求导得'(2)()()x a x a f x x+-=，按0a =，0a >，0a <分类讨论即可；（2）由（1）得函数()f x 的最小值，只要最小值不小于0即可解出a 的范围；（3）化简得22()ln h x x a x =-，求导得22'2()x a h x x-=，按0a =，0a >，0a <分类讨论得()h x 的单调性，根据题意即可求出a 的范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222'2(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-=--==当0a =时，'()20f x x =>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增. （2）由（1）知：当0a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以2()0f x x =…恒成立；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增，所以2min ()()ln 0f x f a a a ==-…，解得01a <…； 当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增， 所以222min()()ln()02422a a a a f x f a =-=+--…，解得342e 0a -<…综上：34[2e ,1]a ∈-（3）记()()h x f x ax =+，化简得22()ln h x x a x =-，1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222'2()2a x a h x x x x-=-=； 当0a =时，'()20h x x =>，所以()h x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，不符合题意，舍去；当0a >时，()h x在上单调递减，)+∞上单调递增，要使()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，1,01()0()0e e h h e h e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎪<⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩……，解得a ∈； 当0a <时，()h x在(0,上单调递减，()+∞上单调递增，要使()h x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有2个零点，1,e e (01()0e (e)0h h h ⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪<⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩……，解得[e,a ∈-；综上：[e,(2e,e]a ∈-．【点睛】本题考查了利用导数研究含参函数的单调性，以及由函数的最小值和零点等问题求参数的范围，利用了分类讨论思想，属于中档题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线C 分别交于A ，B 两个不同的点． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若点P 坐标为(1,0)，求11||||PA PB +的取值范围． 【答案】（1）曲线22:40C x y x +-=，直线l ：若2πα=，1x =；若2πα≠，tan (1)y x α=-；（2）4]3【解析】（1）由4c o s ρθ=，得24c o s ρρθ=，化简得2240x y x +-=，直线l ：按2πα=和2πα≠分别求出直线l 即可；（2）设A ，B 参数分别为12,t t ，把将直线l 参数方程代入曲线C 得22cos 30t t α--=，得12122cos ,3t t t t α+==-，化简121211||||t t t PA PB t -+=代入即可. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得24c o s ρρθ=，所以22:40C x y x +-=，直线l ：若2πα=，1x =，若2πα≠，tan (1)y x α=-.（2）点P 坐标为(1,0)，∴点P 在直线l 上，设A ，B 参数分别为12,t t ，将直线l ：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入曲线22:40C x y x +-=，得22cos 30t t α--=，所以12122cos ,3t t t t α+==-，∴1212114[]||||333t t PA PB t t -+==． 【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和直角坐标方程的转化，也考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.23．已知函数()|2||1|,R f x x a x a =-+-∈． （1）当1a =时，求满足()1f x …的x 的取值范围；（2）若不等式()4|1|f x x --…有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1[,1]3；（2）26a -剟 【解析】（1）当1a =时，按1x …，112x <<，12x …分类讨论求满足()1f x …的x 的范围；（2）由题意得|1|22a x x -+-…有解，又|1|122a a x x -+--…，所以122a-…成立解出a 的范围即可. 【详解】（1）当1a =时，函数()|21||1|f x x x =-+-当1x …时，321,1x x -≤≤，即1x =； 当112x <<时，1x …，即112x <<； 当12x …时，231x -…，13x …，即1132x 剟. 综上：1[,1]3（2）若不等式()4|1|f x x --…有解，则|2||1|4|1||1|22ax a x x x x -+---⇔-+-剟， 又|1|122a a x x -+--…，∴|1|22a x x -+-…有解122a⇔-…， ∴26a -剟． 【点睛】本题考查了含绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法，函数的有解问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

湖北省八校高三数学第二次联考理科试题（扫描版）理科数学参考答案一、AABBA DCDBC , 二、11.]310,2[ 12. 18 13.23π-或2π或25π14.26 15.2009 三．解答题：16. 解：（1）22)()()()()(b a b a b a x f -=-⋅+=22||||b a -=)(cos 14)(sin 22φωφω+--++=x x3)22cos(++-=φωx ……………………………………………………………3分由题意得周期422==ωπT ，故4πω=…………………………………………4分又图象过点)27,1(M ，所以)22cos(327φπ+-=即212sin =φ，而40πφ<<，所以62πφ=∴)62cos(3)(ππ+-=x x f ……………………………………………………6分（2）当11≤≤-x 时，32623ππππ≤+≤-x∴当0623≤+≤-πππx 时，即]31,1[--∈x 时，)(x f 是减函数当32620πππ≤+≤x 时，即]1,31[-∈x 时，)(x f 是增函数∴函数)(x f 的单调减区间是]31,1[--，单调增区间是]1,31[-………………12分17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ，则43)(=A P ，且有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅41)()(121)()(C P B P C P A P ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=-⋅-41)()(121)](1[)](1[C P B P C P A P ∴32)(,83)(==C P B P ……………………………………………………………………6分（2）由（1）41)(1)(=-=A P A P ,31)(1)(=-=B P B P .ξ的可能取值为：0,1,2,3，则965853141)()0(=⋅⋅=⋅⋅==C B A P P ξ247328543328341318543)()()()1(=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==C B A P C B A P C B A P P ξ3215)()()()2(=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==C B A P C B A P C B A P P ξ163)()3(=⋅⋅==C B A P P ξ………………………………………………………………9分∴ξ的分布列为学期望.244316333215224719650=⋅+⋅+⋅+⋅=ξE …………………………………………………12分18. 解法一 公理化法（1）当PC AB ⊥时，过P 作PD AB ⊥于D .连结CD ,则AB ⊥平面PCD ,,AB CD ∴⊥D ∴是AB 的中点，又1PD AA ∥,所以P 也是1A B 的中点，即11A PPB=， 反之当11=PBPA 时，取AB 的中点D '，连接D P DC '',，因为ABC ∆为正三角形，则AB D C ⊥'，由于P 为B A 1的中点时，A A D P 1//'∵⊥A A 1平面ABC ,∴⊥'D P 平面ABC ,∴AB PC ⊥.………………………………………………4分（2）当123A P PB =时，过P 作PD AB ⊥于D ,如图所示，则PD ⊥底面ABC ,过D 作DE AC ⊥于E ,连结PE ，则PE AC ⊥,DEP ∠∴为二面角P AC B --的平面角，又1PD A A ∥,132,,25BD BP AD a DA PA ∴==∴= 3sin 60,5DE AD ∴=⋅=又13,5PD AA =35PD a ∴=， tan PDPED DE∴∠==60PED ∴∠=,即二面角P AC B --的大小为60.…………………………………………………8分(3)设1C 到面PAC 的距离为d ，则11,C PAC P ACC V V --=1PD A A ∥,PD ∴∥平面1A C ,DE ∴即为P 点到平面1A C 的距离，又5PE a ===， 111,33PAC ACC S d S DE ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅即21111,3232a d a ⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭解得2ad =， 即1C 到平面PAC的距离为12a .…………………………………………………………………………12分解法二 向量法以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，设(),0,P x z ，则()()1,0,0,0,0,,,,022a B a A a C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（1）由0,CP AB ⋅=得(),,,0,0022a x z a ⎛⎫--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即02a x a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，12x a ∴=，即P 为1A B 的中点，也即11=PB P A 时，AB PC ⊥……………4分 （2）当123A P PB =时，P 点的坐标是23,0,55aa ⎛⎫ ⎪⎝⎭设平面PAC 的一个法向量(),,x y z =n ，则00AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()()23,,,0,055,,,,0022a a x y z a x y z ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩23055102ax az ax ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩取3x =，则2y z ==-，()3,2∴=-n 又平面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m1cos ,2⋅∴==-⋅m n m n m n又由于二面角P AC B --是一个锐角，则二面角P AC B --的大小是60.……………………8分（3）设1C 到面PAC 的距离为d ，则12C C a d ⋅==n n ∴1C 到平面PAC的距离为12a .………………………………………………………………………12分 19.解（1）222222)1()]32([)]32([)1()1)(12()1(2)(x x x x x x x x x x x x f ++---⋅+---=++-+-++-=' 由此可知)(x f 的单调增区间为)32,32(+---，单调减区间为)32,(---∞和),32(+∞+-；极大值为332，极小值为.332-…………………………………………………………………………………4分 （2）原不等式可化为,1)1(222x x x e t++-≥由（1）知，1||≤x 时，)(x f 的最大值为332，所以221)1(2x x x ++-的最大值为334，由恒成立的意义知道≥te 334，从而334ln ≥t ………………………………………8分（3）构造函数)0(11)()(22>-++-=-=x x x x x x x f x g 则22234222)1(26421)1()14(1)()(x x x x x x x x x x x f x g ++++++-=-++++-=-'='， 所以当0>x 时，0)(<'x g ，故)(x g 在),0(+∞上是减函数，又当μλ,,,b a 是正实数时，0)()()(22222≤+--=++-++μλλμμλμλμλμλb a b a b a∴μλμλμλμλ++≤++222)(b a b a ，由)(x g 的单调性有.)()(])[(222222μλμλμλμλμλμλμλμλ++-++≥++-++b a b a f b a b a f 即μλμλμλμλμλμλμλμλ++-++≥++-++222222)()(])[(b a b a b a f b a f .…………………………12分 20. 解（1）设点A 的坐标为),(00y x ，由)0,1(12222≥>>=+y a b b y a x 得22x a ab y -= 则22x a a bx y --='，所以01|x x k y ='==2分由)0(22>=p py x 得221x py = 则pxy k x x 020|='==，…………………………………………………………………………4分∴2022021xa pa bx k k --=⋅又因为1,2220220020=+=b y a x py x ，所以a pbx a x 220220=-∴2220220212a b x a pa bx k k -=--=⋅为定值.………………………………………………6分 （2）如图设A 点的坐标为)2,(20p x x ，则)0,(0a x -∈， 由)1(知px k 02=，则直线,2)(:20002p x x x p x y l +-= 因为2l 过点)2,0(-D ，则p x 420=，即p x 20-=，所以点)2,2(p A -…………8分将)2,2(p A -代入曲线1C 的方程得,14422=+ba p∴22222222224444)44()(apb b a p b a p b a b a +++=+⋅+=+ 由重要不等式得,48422++≥+p p b a ………………………………………………10分当且仅当“=”成立时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==++144449484222222b ap b a a pbp p ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===634122b a p 所以)0(63:221≥+y y x C ，222:x y C =.……………………………………………13分 21. 解：(1)由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥……1分()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+122122222522221221n n n n n ----=++++=++++++=+()3n ≥……2分检验知1,2n =时，结论也成立故21nn a =+.………………………………………………………………………………3分(2)由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n n n n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ 故()()()1212n n T b f b f b f n =+++223111111112121212122121n n +⎛⎫=-+-++- ⎪++++++⎝⎭ 1111111.212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭………………………………………………………6分（3）①当2a =时， 一方面：由（2）知 16n T <另一方面：若n T m >，其中10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则有111121221n m +⎛⎫-> ⎪++⎝⎭，则132116n m+>--， 故23log 11016n m ⎛⎫>-->⎪-⎝⎭，取02233log 111log 11616n m m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则当0n n ≥时，n T m >.…………………………………………………………………………………………9分②当2a >时，()1222nn n a a a n ⎛⎫=≥≥ ⎪⎝⎭，则()212nn a a n ≥⋅≥2222n n n n n n a ab a b b ⋅≥⋅⋅=⋅⋅()()231121112312122222n n n n n aT b a b a b a b a b b b ---∴=++++≥⋅+⋅++⋅1111221221n a +⎛⎫=⋅- ⎪++⎝⎭由①知存在0n N *∈，当0n n ≥时，11111212213n a +⎛⎫-> ⎪++⎝⎭，故存在0n N *∈，当0n n ≥时，111111*********n n a a T a +⎛⎫=⋅->⋅=⎪++⎝⎭，不满足条件. …………………………………………………………………………………………………12分③当02a <<时，()1222nn n a a a n ⎛⎫=≤≥ ⎪⎝⎭，则()212nn a a n ≤⋅≥2222n n n n n n a ab a b b ∴⋅≤⋅⋅=⋅⋅()()2311211123121111122222221221n n n n n n a a T b a b a b a b a b b b ---+⎛⎫∴=++++≤⋅+⋅++⋅=⋅- ⎪++⎝⎭取10,126a m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >，则111122122112n a a +⎛⎫⋅->⎪++⎝⎭ 1111.12213n +∴->++矛盾.也既是说不存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >.不满足条件. 综上所述：只有2a =时满足条件，故2a =.………………………………………………………14分。

合用优选文件资料分享高三第二次“八校联考”期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50）1、“”是“”的（）A、充足不用要条件 B 、必要不充足条件C、充要条件D、既不充足也不用要条件2、已知函数的图象经过点，则该函数的一条对称轴方程为（）A、 B、 C、 D、3、设等差数列的前n 项和是，且，那么以下不等式中成立的是（）A、 B、 C、 D、4、在小时候，我们就用手指练习过数数 . 一个小朋友按以以下列图的规则练习数数，数到 2007 时对应的指头是（）A、大拇指 B 、食指 C、中指 D、无名指5、设双曲线的两条渐近线与右准线的三角地区（包含界线） D，P （x，y）为 D内一个动点，则目标函数的最小值为 ( )A、-2 B 、 C、0 D、6、已知直线 a，若是直线 b 同时知足条件① a 与 b 异面；②a与b 成定角；③a 与 b 的距离为定值。

则这样的直线 b （）A、唯一确定 B 、有 2 条 C、有 4 条 D、有无数条7、已知 O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），点 P 在线段 AB上，且的最大值为（）A、3B、6C、9D、128、已知是定义在上的偶函数，对随意，都有，若，则等于A、 2007 B 、 2 C 、2006 D、09、在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即市价钱曲线（实线表示），另一种是平均价钱曲线（虚线表示） ( 如 f (2) = 3 是指开始买卖后二个小时的即市价钱为 3 元； g (2) = 3 表示二个小时内的平均价钱为 3 元) ，以下列图给出的四个图像中，其中可能正确的选项是10、已知两个实数集。

若从 A 到 B 的照射 f 使得 B 中的每一个元素都有原像，且，则这样的照射共有（）A、 B、 C、 D、第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：（本大题共 7 小题，每题 4 分，共 28 分）11、复数 =12、若且，那么的值是13、设随机变量遵照正态散布N（0，1），记，给出以下结论：①；②；③；④其中正确的序号是14、2007 年 10 月 24 日 18 时 05 分，在西昌卫星发射中心，“嫦娥一号”卫星顺利升空， 24 分钟后，星箭成功分别，卫星首次进入以地心为焦点的椭圆形调相轨道，卫星近地址为约 200 公里，远地址为约51000 公里。

卜人入州八九几市潮王学校五十校教研教改一共同体2021届高三12月联考理科数学本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效。

3.考试结朿后，将本套试卷和答题卡一起交回。

一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1.是虚数单位，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分子分母同乘分母的一共轭复数，化简得到的代数形式【详解】，应选择B【点睛】复数除法的运算方法是分子分母同乘分母的一共轭复数，解题中要注意把的幂写出最简形式，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解分式不等式，得集合A，再计算函数的定义域，得集合B，求集合A与集合B的交集可得答案【详解】因为，即，得，令，得，所以，选择D【点睛】用描绘法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，常借助数轴来解决数集间的关系，满足，，，〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为，，所以，所以，由，解得【详解】因为，，所以，所以，那么，所以，选择A【点睛】求解平面向量模的方法：1.写出有关向量的坐标，利用公式；2.利用向量的线性运算和向量的数量积公式进展求解，满足，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由数列满足得数列为等差数列，又由，及等差数列的性质可得，，所以得【详解】由数列满足得数列为等差数列，所以，即，同理,即，所以，选择B【点睛】等差数列，假设，那么，特别的，假设，那么，其中000005.，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，那么异面直线与所成的角为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取AC中点D，连接ED，FD，那么直线DE与直线DF所成的角即异面直线与所成的角，在中，由余弦定理计算,可得异面直线与所成的角【详解】取AC中点D，连接ED，FD，因为，分别是三棱锥的棱，的中点，所以，,那么直线DE与直线DF所成的角即异面直线与所成的角，又因为，，，所以在中，,即，所以异面直线与所成的角为，选D【点睛】用平移法求异面直线所成的角的步骤：1.根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；2.证明作出的角是异面直线所成的角；3.解三角形，求出所作的角6.—只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁间隔三角形的任意一个顶点的间隔不超过的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】间隔三角形的任意一个顶点的间隔不超过的局部是以三角形三个角分别为圆心角，1为半径的的扇形区域，三个扇形面积之和与三角形面积之比即某时刻该蚂蚁间隔三角形的任意一个顶点的间隔不超过的概率【详解】因为三角形三边长分别为，，，由勾股定理，该三角形为直角三角形，且面积为，间隔三角形的任意一个顶点的间隔不超过的局部是以三角形三个角分别为圆心角，1为半径的的扇形区域，因为三个圆心角之和为，所以三个扇形面积之和为，所以某时刻该蚂蚁间隔三角形的任意一个顶点的间隔不超过的概率为，选择B【点睛】求解概率问题时要区分是古典概率类型还是几何概率类型，区分方法是看根本领件个数是有限还是无限个，古典概型问题的根本领件个数有限，几何概型的问题根本领件个数无限，几何概型问题又分为长度型，角度型，面积型，体积型，关键是弄清某事件对应的图形中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意画出图形，根据题意可得为等边三角形，继而可得与R的位置关系，得FR长度【详解】由抛物线，所以焦点,准线方程，因为，分别为，的中点，所以,所以四边形QMRF为平行四边形，FR=QM，又由垂直于点，所以PQ=PF，因为，所以为等边三角形，所以，所以，选择A【点睛】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此的局部图象大致为A. B.C. D.【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据与的性质，确定函数图象【详解】，定义域为，，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，，且，所以，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象9.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如下列图程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒〞问题，执行该程序框图，假设输入的的值是，那么输出的的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将代入框图，根据循环构造，得到输出的的值【详解】由题，，，，，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；第四次循环，，；所以输出，选择C【点睛】对算法初步的考察主要是对程序框图含义的理解与运用，重点放在条件构造与循环构造，对于循环构造要搞清楚进入或者退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键，，满足，那么当获得最大值时，的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正实数，，满足，得，由根本不等式得当且仅当时，取最大值，此时，所以，最大值为1【详解】由正实数，，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以，故最大值为1【点睛】在利用根本不等式求最值时，要根据式子特征灵敏变形，然后再利用根本不等式，要注意条件：一正二定三相等11.，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，假设，且，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】如图，因为，所以四边形为矩形，设，那么，又，所以，，所以，得，所以，又因为，即，所以得离心率，选择A【点睛】双曲线的几何性质是高考考察的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是纯熟掌握各性质的定义，及相关参数间的联络，掌握常用变形技巧，有助于进步解题准确度是奇函数的导函数，当时，，那么使得成立的的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】因为当时，，构造函数，探究在上单调递性，又因为且为奇函数，得时，，当时，，解，得不等式解集【详解】因为当时，，构造函数，当时，，即在上单调递减，又因为，所以当，，，，当，，，，又因为为奇函数，所以当时，，由，得或者，解得，选择C【点睛】构造函数解决不等式问题将不等式问题转化为函数问题，要求从被解的不等式或者条件特点入手，发生联想，合理的构造函数模型，解决不等式问题二、填空题。

2022年江西省八校高考数学第一次联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则的虚部为( )A. 1B. iC.D.3. 函数与均单调递减的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.4. 江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学生参加，已知该校上次测试中，成绩满分150分服从正态分布，已知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信息推测这次数学成绩优异的人数为成绩140分以上者为优异( )，，A. 20B. 25C. 30D. 405. 已知实数x，y满足，求的最小值( )A. B. C. D.6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为，则该“阳马”最长的棱长为( )A. 5B.C.D.7. 若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 88. ，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是( )A. B. 在上单调递减C. 关于直线对称D. 的最小值为19. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使为坐标原点，且，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.10. 在平行四边形ABCD中，，现沿着AC将平面ADC折起，E，F 分别为AC和BD的中点，那么当四棱锥的外接球球心不在锥体内部时，EF的最大值为( )A. 1B.C.D.11.设椭圆的左、右焦点分别为，，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为( )A. B. C. D. 112. 已知函数的三个零点分别为，，，其中，则的取值范围为( )A. B. C. D.13. 若为常数的展开式中第三项为常数项，则该常数项为______.14. 已知，其中，，为的一个零点，且恒成立，则满足条件的整数取值集合为______.15. 校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有______种用数字作答16. 在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，点P是其外接圆O上的任意一点，若，则的最大值为______.17. 已知数列满足：，，，数列的前n项和满足：求数列和的通项公式；求数列的前n项和18. 2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民以下称为“返赣人员”人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄单位：岁分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为请根据样本数据补充完成列联表，并判断是否有的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；据了解，该地区今年返赣人员占现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中参考数据：19. 在中，已知，，，D为线段AB的中点，是由绕直线AO旋转而成，记二面角的大小为当平面平面AOB时，求的值；当时，求二面角的余弦值.20. 已知A是抛物线C：上一点，是x轴上的点，以A为圆心且过点B的圆与y轴分别交于点E、F，且当圆A与x轴相切时，A到抛物线焦点的距离为求抛物线C的标准方程；设线段BE、BF长度分别为、，求的取值范围．21. 已知函数求在点处的切线方程；若方程有两个实数根，，且，证明：22. 在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线求曲线的极坐标方程；若曲线的切线交曲线于不同两点M，N，切点为T，求的取值范围．23. 已知函数当时，求不等式的解集；若，，求a的取值范围，答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，故选：利用交集运算求解即可．本题考查了交集及其运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，，的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：与均单调递减，，，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是故选：根据函数的性质求出，是减函数的充要条件，再根据集合的包含关系判断即可．本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，考查充分必要条件以及集合的包含关系，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：成绩满分150分服从正态分布，又分及以上的人数为160人，分及以下的人数也为160人，，由此可知，，即，，故140分及以上的人数为故选：根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，考查计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示：因为，设，则，平移目标函数，当过点A时，z取得最小值，由，解得，所以z的最小值为，此时取得最小值为故选：画出不等式组表示的平面区域，由，求出的最小值，即可得出答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中平面ABCD，，，，，，该几何体最长棱的棱长为：故选：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键．7.【答案】B【解析】解：圆上存在两点关于直线对称，直线经过圆心，即，即，，，当且仅当，即，时，等号成立，故最小值为故选：根据已知条件，结合圆的对称性，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：因为，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，所以，所以，则，A正确；，，则，显然B错误；由为偶函数，图象关于对称可知的图象关于对称，C正确；由基本不等式得，，当且仅当时取等号，此时函数取得最小值1，D正确．故选：由已知结合函数奇偶性定义先求出，然后结合单调性及对称性，及基本不等式分别检验各选项即可判断．本题主要考查了利用函数奇偶性求解函数解析式，还考查了函数单调性，对称性的应用及利用基本不等式求解函数的最值，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：，，，，，中，，由双曲线的定义得，，，，，故选：利用向量的加减法可得，故有，可得，由条件可得，由求出离心率．本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断是直角三角形是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：平行四边形ABCD中，，与都是边长为的正三角形，当折起平面ADC时，四棱锥的外接球球心是过的中心平面ADC的垂线与过的中心平面ABC的垂线的交点，，F分别为AC与BD的中点，由对称性可知球心在EF或其延长线上，四棱锥的处接球球心不在锥体内部，若球心与点F重合，连接BE，DE，AF，CF，根据题设可知，，，，，根据勾股定理有，，，，排除故选：由题意可知，当折起平面ADC时，四棱锥的外接球球心在EF或其延长线上，当外接球球心与点F重合时，求出EF的值，再利用排除法求解．本题考查了球的内接多面体和四棱锥的性质，是较难题．11.【答案】C【解析】解：设，，因为的面积，所以，即，所以，设直线AB的方程为，联立，得，所以，，所以，令，则，当且仅当时，等号成立，所以故选：由，结合椭圆的定义，推出，设出直线AB的方程，将其与椭圆方程联立，求出的最大值，即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，三角形的面积与内切圆半径之间的关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：，显然，令，，即，令，，则，，，令，，要想除1外再有两个零点，则在上不单调，则，解得：或，当时，在恒成立，则在单调递增，不可能有两个零点，舍去；当时，设即的两根为a，b，且，则有，故，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，因为，所以，又因为，若，则，因为，所以，所以，因为，所以，故检验：当时，，，此时在上单调递增，又，即，此时为临界情况，，综上，的取值范围为故选：对函数进行整理，构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案．本题考查了利用函数的零点求参数的取值范围和基本不等式的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．13.【答案】24【解析】解：由已知得，令得，所以该常数项为故答案为：利用通项表示出展开式的第三项，令x的指数为0，求出k的值，即可获解．本题考查二项式展开式通项的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：为的一个零点，且恒成立，，①，，，②，，①+②可得，，，，或，解得或，当时，，，，，解得，，，当时，，，，，解得，，，故满足条件的整数取值集合为故答案为：结合的零点，最值列出不等式，再分类讨论，即可求解．本题主要考查正弦图象的性质，考查分类讨论的思想，属于难题．15.【答案】528【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①，若三辆汽车互不相邻，有种情况，又由车头朝向不限，则有种情况，此时有种停车方法；②，若三辆汽车中有2辆相邻，种情况，车头朝向有种情况，此时有种停车方法；③，若三辆汽车全部相邻，有种情况，又由车头必须同向，有2种情况，此时有种停车方法；则一共有种停车方法；故答案为：528，根据题意，分3种情况讨论：①，若三辆汽车互不相邻，②，若三辆汽车中有2辆相邻，③，若三辆汽车全部相邻，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：以BC的中点为原点，以所在方向为x轴的正方向，所在的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则：，，，可得外接圆的圆心为：，半径为：，所以圆O的方程为：，设，则：，，，所以：故答案为：以BC的中点为原点，以所在方向为x轴的正方向，所在的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，可求坐标，，，进而可求圆O的方程为：，设，则可求，，的坐标，进而运算即可得解．本题主要考查了平面向量的运算，把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以是等差数列，设其公差为d ，则，解得，所以，当时，，所以，当时，，所以，即，所以，所以…，…，两式相减得，…，故【解析】由等差中项的性质知，是等差数列，先求得公差d，再得其通项公式；利用，可证数列是等比数列，进而得解；根据错位相减法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，利用求通项公式，错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由频率分布直方图可知年龄在上的占比为，根据已知人数为10计算可得总人数为80，列联表如下：返赣人员本地人员合计男251540女103040合计354580，有的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关．由题意可得，X的取值可为0，1，2，3，，，，，故分布列为：X0123P故【解析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，可补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．由题意可得，X的取值可为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.【答案】解：如图，在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，平面平面AOB，平面平面，又，平面AOB，则平面又由平面COD，，又，BH和OA相交，平面又平面AOB，从而，即；在平面BOC中，过O作，以O为原点建立如图所示的空间坐标系，则，，，求得：，设平面OCD的一个法向量为，由，得，令，得，又平面OBD的一个法向量为，二面角的余弦值为【解析】在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，证明平面COD，可得，再由，BH和OA相交，可得平面AOB，从而证明；在平面BOC中，过O作，以O为原点建立如图所示的空间坐标系，求出平面OCD 的一个法向量，由图直接得到平面BOD的一个法向量，然后利用两平面法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值．本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何问题，平面与平面垂直的性质，考查利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题．20.【答案】解：当轴时，圆A与x轴相切，由题意可知此时点A的横坐标为1，到抛物线焦点的距离为，到抛物线准线的距离为，故准线与y轴之间的距离为，解得：，抛物线C的标准方程为；设A的坐标，由垂径定理可知，设，，，，当时，则；当时，则，，，此时综上所述，【解析】由题意圆A与x轴相切，A到抛物线焦点的距离为，得到A到抛物线准线的距离为，从而求出p及抛物线方程；设A的坐标，由垂径定理可知EF，设，，求得，，，分、讨论可得答案．本题考查了抛物线的定义及性质、分类讨论思想及利用基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：，则，由点斜式可得切线方程为；证明：由知在点处的切线方程为，设，构造函数，则，在上单调递减，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，方程的根，又，由在R上单调递减，所以，另一方面，在点处的切线方程为，设，构造函数，则，，在上单调递减，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，方程的根为，又，在R上单调递增，，，即得证．【解析】求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即可求得切线方程；利用切线放缩思想求证即可．本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义及利用导数证明不等式，考查逻辑推理能力及运算能力，综合性强，难度大．22.【答案】解：曲线的方程是，即，化为，将向上平移1个单位得到曲线：，展开为则曲线的极坐标方程为，即设，切线的参数方程为：为参数，代入的方程化为：，，，，，当时，；当或时，的取值范围是【解析】曲线的方程是，即，利用，即可化为直角坐标方程：再向上平移1个单位得到曲线：，展开利用即可得到曲线的极坐标方程．设，切线的参数方程为：为参数，代入的方程化为：，利用及其三角函数的单调性即可得出．本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：函数，当时，，不等式的解集为R；由，得，两边平方得，解得；不等式的解集为；当，时，，则，解得；当，时，，解得；当，时，；当且仅当时取等号，则，又，解得；综上，a的取值范围是【解析】根据时，求不等式的解集即可；讨论、和时，结合化简函数，求出不等式时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合题．。

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第一学期高三数学理科四校联考期末试卷本套试卷分选择题和非选择题两局部，一共5页，总分值是为150分，考试时间是是120分钟。

一、选择题：〔本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

〕 1．假设dx x a⎰=22，dx x b ⎰=23，dx x c ⎰=2sin ，那么a 、b 、c 大小关系是A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<2．给出下面的程序框图，那么输出的数是 A ．2450 B ．2550C ．4900D ．5050i ≥100是 输出sum开始否3．数列{}n a 的前n 项和2)0(2≥<+=，n，a bn an S n 那么时，以下不等式成立的是A ．)2()(b a an n S b a n n +-<<+B ．)()2(b a n S b a an n n +<<+-C ．n S b a an n b a n <+-<+)2()(D ．)()2(b a n b a an n S n+<+-<4．函数21log )(=x f )1(x x +，那么以下正确的选项是①)(x f 的定义域为),0(∞+②)(x f 的值域为[)∞+-,1③)(x f 是奇函数④)(x f 在〔0，1〕上单调递增A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 5．函数x x x f lg sin )(-=的零点个数是A ．3B ．2C ．1D ．0 6．点Q b a p 与点),(〔1，0〕在直线0132=+-y x 的两侧，那么以下说法正确的选项是①0132>+-b a ②0≠a 时，ab有最小值，无最大值 ③M b a R M >+∈∃+22,使恒成立④且0>a 1≠a ,时0>b ,那么1-a b 的取值范围为〔-),32()31,∞+⋃-∞ A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 7．曲线032)12ln(=+--=y x x y 上的点到直线的最短间隔等于A ．5B ．2 C ．2D ．18．程度地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角︒45的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，假设测得PA=5cm ，那么球的半径等于 A ．5cmB ．cm 25C ．cm )12(5+D ．6cm二、填空题：〔每一小题5分，一共30分。

2021年四省名校高考数学第三次大联考试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x∈N|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，3，4}，则集合A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，2}C．{2}D．{1，2}2．已知复数，则它的共轭复数等于（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．设随机变量X，Y满足Y＝2X+b（b为非零常数），若E（Y）＝4+b，D（Y）＝32，则E （X）和D（X）分别等于（）A．4，8B．2，8C．2，16D．2+b，164．已知向量＝（﹣1，2），＝（3，2），则cos＜，＞为（）A．B．﹣C．D．5．已知等比数列{a n}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比q＝（）A．9或﹣11B．3或﹣11C．3或D．3或﹣36．设O为坐标原点，直线l过定点（1，0），且与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B 两点，若OA⊥OB，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝﹣1D．x＝﹣27．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）为奇函数，且存在x0∈（0，），使得f（x0）＝2，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A．1B．2C．D．9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L （单位：dB）与声强I的函数关系式为L＝10•lg（aI）．已知I＝1013W/m2时，L＝10dB．若整改后的施工噪音的声强为原声强的10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）A．50dB B．40dB C．30dB D．20dB10．已知（）m＝log3m，（）n＝log n，p＝cosα+，α∈[0，），则m，n，p 的大小关系为（）A．n＜p＜m B．n＜m＜p C．m＜n＜p D．m＜p＜n11．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为﹣的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若（+）•＝0，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x12．设函数f（x）＝e x﹣2x，直线y＝ax+b是曲线y＝f（x）的切线，则2a+b的最大值是（）A．e﹣1B．﹣1C．2e﹣4D．e2﹣4二、填空题：本题共4小题，毎小题5分。