一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。

当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。

判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。

正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。

举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。

对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-
1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。

对于方程2x²-(4m-
1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。

对于方程
4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。

解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号
情况，得出结论。

对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。

在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。

当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。

例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：
1)有两个不相等实根，求m的范围。

2)有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根。

3)有实根，求m的最大整数值。

解：Δ=-(m-2)^2+4m^2=2m-4.当Δ>0时，方程有两个不相
等的实根，解得m<1.因此，当m<1时，方程有两个不相等实根。

当Δ=0时，方程有两个相等实根，解得m=1.因此，当
m=1时，方程有两个相等实根，为x1=x2=-2/(2m-3)。

当Δ≥0时，方程有实根，解得m≤1，其最大整数值为1.因此，方程有实根m的最大整数值为1.
说明：含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由Δ的不同情况求得。

例3已知m为非负整数，且关于x的方程m(x-
1)^2+3x+2=2x^2有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。

分析：首先要把方程整理成一般形式，注意应保证二次项系数不等于零。

因为已知方程有两个实数根，所以Δ=b^2-
4ac≥0，由此可求出m的取值范围，再由m是非负整数来确定m的值，从而使问题得解。

解：整理原方程，得：(m-2)x^2-(2m-3)x+(m+2)=0.因为方程有两个实数根，所以Δ≥0，解得m≤1/2或m≥2.
因为m是非负整数，所以m=2.此时，方程化为x^2-2x-
3=0，解得x1=3，x2=-1.
例4证明：当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一
元二次方程ax^2+bx+c=0总有实数根。

证明：设方程的两个根为x1和x2，由求根公式可知，
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

因为b=a+c，所以x1+x2=-c/a。

因此，-c/a=x1+x2，即方程有实数根。

证毕。

要证明一元二次方程有实数根，只需证明它的判别式大于或等于零。

证明方法如下：由b=a+c，a≠0可得，判别式
⊿=b2－4ac=(a+c)2－4ac=(a－c)2，因为(a－c)2≥0，所以⊿=b2
－4ac≥0.因此，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。

已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，要证明方程
x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。

我们可以先得到一个关于n的关系式，再以此为基础证明方程x2+nx+2n－1=0
的根的判别式⊿=b2－4ac＞0.具体证明过程如下：已知方程
x2+2x－n+1=0没有实数根，可得到22－4(－n+1)＜0，即n＜
3.而x2+nx+2n－1=0的判别式为⊿=n2－4(2n－1)=n2－8n+
4.
由于n＜3，所以n2＞8n，进而n2－8n+4＞0，即⊿＞0.因此，方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。

已知关于x的方程(m+2)x2－2(m－1)x+m+1=0有两个不
相等的实数根，并且一次项系数不小于零，要求m的取值范围。

根据已知条件，可得不等式组：m+2≠0，[–2(m–1)]2–
4(m+2)(m+1)＞0，–2(m–1)≥0.解这个不等式组，得到m的取值范围为：m≠–2，m＜–1/5，m≤1.因此，m的整数解为－1或1.
当什么整数m使得关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0
与x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数？因为两个方程的
根都是整数，所以两个方程都有实数根。

我们可以先求出使两个方程都有实数根的m的值，然后从中筛选出使两个方程的
根都是整数的整数m的值。

根据方程mx2－4x+4=0有实数根
的条件，可得－1≤m≤1且m≠0.根据方程x2－4mx+4m2－4m
－5=0有实数根的条件，可得m≥－5/4.因此，－5/4≤m≤1且
m≠0，m的整数解为－1或1.但当m=－1时，方程mx2－
4x+4=0的根不是整数，不符合题意，所以m的整数解只有1.
根据题目要求，我对文章进行了修改：
根据方程有整数根，可以得出 9-4a≥0，即a≤9/4.因为 a 是
非负整数，所以 a 的取值只能是 0，1，2.当 a=0 时，方程变为
x2+3x=0，解得 x1=0，x2=-3.当 a=1 时，方程变为 x2+3x+1=0，解得 x=(-3±5)/2，不是整数根。

当 a=2 时，方程变为
x2+3x+2=0，解得 x1=-1，x2=-2.。