高二数学(理)正态分布人教实验版(A)知识精讲

高二数学（理）正态分布人教实验版（A ）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
正态分布
二. 重点、难点：
1. 正态分布密度曲线，简称，正态曲线
2
22)(21)(σμμσσ
πϕ--
⋅=
x e
x （x ∈R ）
2. 正态分布
⎰=≤<dx x b x a P b a )()(μσϕ
3. 特值
（1）P （σμσμ+≤<-x ）=68.26% （2）P （σμσμ22+≤<-x ）=95.44% （3）P （σμσμ33+≤<-x ）=99.74%
【典型例题】
[例1] 一台自动包装机向袋中装糖果，标准是每袋64克，但因随机性误差，每袋具体重量有波动、据以往资料认为：每袋糖果的重量q 服从正态分布)5.1,64(2
N 试问随机抽一袋糖果其重量超过65克的概率是多少？不到62克的概率是多少？
解：设5
.164
-=
q t )65(>q P )67.0()5
.164
65(>=->
=t P t P )67.0(1)67.0(1φ-=<-=t P 2514.07486.01=-=
)33.1()5
.164
62()62(-<=-<=<t P t P q P
)33.1(1<-=t P )33.1(1φ-=9082.01-=0918.0=
∴ 超过65克概率为25.14%，不足62克……9.18%。

[例2] q ～N ),(2
σμ045.0)5(=-≤q P 618.0)3(=≤q P ，求μ、σ？
解：)5(
)5()5(σ
μ
φσ
μ
--=--≤
=-≤t P q P
045.0)5(
1=+-=σ
μ
φ∴955.0)5(
=+σ
μ
φ
∴
7.15=+σ
μ
①
618.0)3(
)3()3(=-=-≤
=≤σ
μ
φσ
μ
t P q P
∴
3.03=-σ
μ
②
由①②⎩
⎨⎧==⇒48
.1σμ
[例3] q ～)2,1(2
N
（1）求)75(≤≤q P （2）若)(2)(b q P b q P <=≥ 解：
（1）)2
1
7215(
)75(-<<-=≤≤t P q P )2()3()32(φφ-=≤≤=P t P 0214.09772.09987.0=-=
（2）)(b q P >)(2b q P ≤=
∴)21(2)21(-≤=->b t P b t P ∴3
1
)21(=-<b t P ∵1<b ∴01<-b ∴667.03
2
)21(≈=-<b t P
∴667.0)43.0(=φ43.02
1=-b
14.0=b
[例4] 假设数学会考成绩q 近似服从正态分布)10,70(2
N 现知第100名学生的成绩为60分，试问第20名的学生成绩为多少分。

10
70
-=
q t )10
70
60(1)60(1)60(-<
-=<-=≥t P q P q P )1(1-<-=t P 8413.0)1()1(1==--=φφ
60分60分以上人占总体的84.13 %
∴ 总人数
1198413.0100
=人
前20名
1681.0119
20
≈ 设第20名成绩为m
∴1681.0)(=≥m q P ∴1681.0)(1=<-m q P
)710
()1070(8319.0-=-<
=m
m t P φ8319.0)96.0(=φ ∴
96.0710
=-m
6.79=m
[例5] 从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N （50，100），第二条线路沿环城路走，线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N （60，16），试计算
（1）若有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为：
9772.0)2()10
50
70(
)70(=Φ=-Φ=≤ξP 走第二条线路及时赶到的概率为
9938.0)5.2()4
60
70(
)70(=Φ=-Φ=≤ξP 所以，应走第二条线路
（2）只有65分钟可用时，走第一条线路及时赶到的概率为：
9332.0)5.1()10
50
65(
)65(=Φ=-Φ=≤ξP 走第二条线路及时赶到的概率为
8944.0)25.1()4
50
65(
)65(=Φ=-Φ=≤ξP 所以，应走第一条线路
[例6] 一台机床生产一种尺寸为10mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1。

如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式。

解析：依题意得)1.109.9107.93.109.98.9101.102.10(10
1
+++++++++=
u =10
2222)1010()101.10()102.10[(10
1
-+-+-=
σ 222222)109.9()1010()107.9()103.10()109.9()108.9(-+-+-+-+-+-+ 03.0])101.10(2=-+
即03.0,102
==σ
μ
所以η的概率密度函数为3
)10(502
610)(--
=
x e
x f π
[例7] 某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是
相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图。

（例如A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为10
1
，路段CD 发生堵车事件的概率为
15
1。

） （1）请你为其选择一条由A 到B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小； （2）若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E ξ。

解：（1）记路段MN 发生堵车事件为MN
因各路段发生堵车事件都是独立的，且同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以，路线A →C →D →B 中遇到堵车的概率P 1为：
⨯⨯-
=⋅⋅-=15141091)()()(11DB P CD P AC P P 10
365= 路线A →C →F →B 中遇到堵车的概率P 2为：
800
239
121120171091)()()(12=
⨯⨯-
=⋅⋅-=FB P CF AC P P 路线A →E →F →B 中遇到堵车的概率P 3为：
300
91
12112019541)()()(13=
⨯⨯-=⋅⋅-=FB P EF P AE P P 显然要使由A 到B 的路线中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。

因此，选择路线A →C →F →B 。

（2）路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3
800
561
12112017109)()0(=
⨯⨯=
⋅⋅==FB CF AC P P ξ )()()()1(FB CF AC P FB CF AC P FB CF AC P P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξ
⨯=
1012400
637
1212017109121120310912112017=
⨯⨯+⨯⨯+⨯ )()()()2(FB CF AC P FB CF AC P FB CF AC P P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξ
⨯⨯=
203101⨯⨯+201710112112400
77121203109121=⨯⨯+ 2400
3
121203101)()3(=⨯⨯=⋅⋅==AB CF AC P P ξ
∴⨯+⨯+⨯=2240063718005610ξE 24007731
240033=⨯+
所以，路线A →C →F →B 中遇到堵车次数的数学期望为
3
1 [例8] 有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8X 卡片，其中两X 写有数字0，三X 写有数字1，三X 写有数字2；乙盒中有8X 卡片，其中三X 写有数字0，两X 写有数字1，三X 写有数字2。

（1）如果从甲盒子中取两X 卡片，从乙盒子中取一X 卡片，那么取出的3X 卡片都写有1的概率是多少？
（2）如果从甲、乙两个盒子中各取一X 卡片，设取出的两X 卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望值。

解：（1）从甲盒子中取2X 卡片是写1的概率28
3
2823==C C ；
从乙盒子中取1X 卡片是写1的概率==18
12C C 41
；所以取出的3X 卡片都是写1的概率
112
3
41283=
⨯=
（2）当ξ=0时，323
83820=
⨯=P ； 当ξ=1时，64
13
838382821
=⨯+⨯=P ； 当ξ=2时，+⨯=83822P 6421
83838283=⨯+⨯；
当ξ=3时，6415
828383833=⨯+⨯=P
当ξ=4时，64
9
83834=⨯=P
∴ξ的分布列为
8
644643642641640323=
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
[例9] 一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。

（1）求前两次取出的都是二等品的概率； （2）求第二次取出的是二等品的概率；
（3）用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数，求ξ的分布列及数学期望。

解：（1）四件产品逐一取出排成一列共有4
4A 种方法，前两次取出的产品都是二等品的
共有1
212C
C ⨯种方法，∴
前两次取出的产品都是二等品的概率为61
4
4
1212=⨯A C C （2）四件产品逐一取出排成一列共有4
4A 种方法，第二次取出的产品是二等品的共有
33
1
2
A C ⨯，∴ 第二次取出的是二等品的概率为21
4
43
312=⨯A A C （3）ξ的所有可能取值为2，3，4 ∴ξ的概率分布为：
∴ξE ⨯+⨯+⨯=46236123
6=
[例10] 甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题，已知甲做对这道题的概率是4
3
，甲、丙两人都做错的概率是
121，乙、丙两人都做对的概率是4
1。

（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（2）求做对该题的人数的随机变量ξ的分布列和E ξ。

解：（1）记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A ，B ，C
依题设条件得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧==⋅=--=⋅=41)()()(121)](1)][(1[)(43)(C P B P C B P C P A P C A P A P ，解得32)(,83)(==C P B P
所以，乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为3
2
,83 （2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，则：
96
5
)321)(831)(431()()()()0(=---===C P B P A P P ξ
P （ξ=1）=P （A ）247
)()()()()()()()(=
++C P B P A P C P B P A P C P B P P （ξ=2）=96
45
)()()()()()()()()(=++B P C P A P C P B P A P C P B P A P
P （ξ=3）=16
3
)()()(=C P B P A P
所以ξ的分布列为
24
1639622419650=
⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
【模拟试题】
1. 设离散型随机变量ξ的概率分布如下
则p 的值为（A.
21 B. 61 C. 31 D. 4
1 2. 在正态分布总体N （2
,σμ）中，其参数σμ,分别是这个总体的（ ）
A. 方差与标准差
B. 期望与方差
C. 平均数与标准差
D. 标准差与期望
3. 从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为（ ） A. 1+1+1=3 B. 3+4+2=9 C. 3×4×2=24 D. 以上都不对
4. 12
3)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）
A. 4项
B. 3项
C. 2项
D. 1项
5. 从集合{1，2，3，……，10}中选出5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 32
6. 四位同学争夺三个运动项目的金牌，则不同的结果种数是（ ） A. 3！ B. 4！ C. 34 D. 43
7. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 36种 D. 52种 8. 某篮球运动员在罚球线投中球的概率为3
2
，在某次比赛中只罚3球命中2球的概率为（ ） A.
32 B. 92 C. 1 D. 9
4 9. 随机变量ξ的分布列为
则=+)45(ξE （ ）
A. 13
B. 11
C. 2.2
D. 2.3
10.设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ）
A. 15
B. 10
C. 20
D. 5
11. 一批产品中，次品率为
3
1
，现连续抽取4次，其次品数记为ξ，则D ξ的值为（ ） A. 34 B. 38 C. 98 D. 9
1
12. 袋中有6只乒乓球，球上分别写有1，2，3，4，5，6，从中任取4球。

若以ξ表示取到的球中的最小。

（1）写出ξ的分布列； （2）求E ξ，D ξ。

13. 已知盒中有10件产品，其中8件正品2件次品，连续抽取三次，每次抽取一件。

放回抽取时，
（1）求抽到3件次品的概率；
（2）求抽到次品数的分布列及数学期望。

【试题答案】
1. C
2. C
3. B
4. B
5. D
6. D
7. A
8. D
9. A 10. B 11. C
12. 解：（1）依题意，ξ的取值只能是3，
2，1，而P （ξ=3）=151146=C ，P （ξ=2）=15
4
4634=C C ，P （ξ=1）=3
2
15104645==C C
∴ 其分布列为
（2）ξE 715311521513==⨯+⨯+⨯=，75
2822584)(2
2==-=ξξξE E D
13. 解：（1）抽到的次品数ξ的可取值k=0，1，2，3
由ξ~B （3，0.2），得P （ξ=k ）=k
k k C -⨯⨯338.02.0（k=0，1，2，3） 抽到3件次品的概率为 P （ξ=3）=3333
30.20.8C -⨯⨯=0.008
（2）抽到的次品数ξ的分布列是
数学期望6.02.03=⨯=ξE。