《3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数》教案

适用学科适用区域
知识点教学目标
任意角和弧度制及任意角的三角函数
数学适用年级高三新课标课时时长（分钟）60任意角的概念；象限角的概念及表示；同终边角的概念及表示
弧度的概念；角度与弧度的互化；扇形的弧长和面积公式
任意角的三角函数的定义；任意角的三角函数的的求法
三角函数值在各个象限的符号；诱导公式一（同终边角）；有向线段与三角函数线
1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
教学重点教学难点三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定三角函数的定义及应用
教学过程
一、课堂导入
在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．
我们利用以前学的角的范围是0°≤α≤180°，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？
二、复习预习
1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是________________．
2．角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角．锐角的范围为________，钝角的范围为 ________，直角的度数为________．
三、知识讲解
考点 1角的有关概念
角的特点角的分类
从运动的角度看角可分为正角、负角和零角
从终边位置来看可分为象限角和轴线角
β＝α＋k·360°(k∈Z ) (或β＝α＋ k· 2，πk∈
α与β角的终边相同
Z )
考点 2弧度的概念与公式在半径为 r 的圆中
分类
1 弧度的角
角α的弧度数公式角度与弧度的换
算
弧长公式
扇形的面积公式
定义 (公式 )
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角，用符号 rad 表示
l
|α|＝r (弧长用 l 表示 )
π180
①1°＝180rad② 1 rad＝π°
弧长 l＝ |α|r
112
S＝2lr ＝2|α| r·
考点 3任意角的三角函数
三角函数正弦余弦正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
定义y 叫做α的正弦，记x 叫做α的余y
x
叫做α的正切，记
作
作 sin α弦，记作 cos αtan αⅠ正正正
Ⅱ正负负
各象限
负负正Ⅲ
符号
负正负Ⅳ
口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线
有向线段 MP 为正弦有向线段 OM有向线段 AT 为正切
线为余弦线线
四、例题精析【例题 1】
【题干】(1)已知角α＝ 2kπ－π，若角θ与角α的终边相同，
则＝
sin θ
＋
|cos θ|tan θ∈
Z )
＋的值为() 5(k y|sin θ|cos θ|tan θ|
A ．1B．－ 1
C．3D．－ 3
(2)已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在()
A ．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
π
【解析】 (1)选 B由α＝2kπ－5(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角
θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
因此， y＝－ 1＋1－1＝－ 1.
(2)选 B∵点P(tanα，cosα)在第三象限，
tan α＜0，
∴∴α是第二象限角 .
cos α＜0，
【例题 2】
【题干】已知角α的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，tan α的值．
【解析】 ∵角 α的终边在直线 3x ＋4y ＝ 0 上，
∴在角 α的终边上任取一点 P(4t ，－ 3t)(t ≠ 0)，则 x ＝ 4t ，y ＝－ 3t ， r ＝ x 2
＋y 2
＝ 4t 2
＋ －3t 2
＝5|t|.
当 t ＞ 0 时，即 x>0 时， r ＝5t ， sin α＝ y
＝ －3t ＝－
3
，cos α＝ x ＝4t ＝ 4
， tan α＝ y
＝ －3t ＝－ 3； r
5t
5 r 5t 5 x 4t 4 y －3t
3 x 4t 4
y －3t 3 当 t ＜ 0 时，即 x<0 时， r ＝－ 5t ，sin α＝ r ＝－5t ＝5，cos α＝ r ＝－ 5t ＝－ 5，tan α＝x ＝ 4t ＝－ 4
.
综上可知，当角 α的终边在直线
3x ＋4y ＝0 的 x>0 部分时， sin α＝－ 3，cos α＝4
，tan α＝－ 3；
5 5 4 3 4 3 当角 α的终边在直线 3x ＋4y ＝0 的 x<0 部分时， sin α＝5，cos α＝－
5， tan α＝－ 4.
【例题 3】
【题干】已知在半径为10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10，
(1)求弦 AB 所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S.
【解析】
(1)如图所示，过 O 作 OC ⊥AB 于点 C ，则 AC ＝ 5，在 Rt △ACO 中，
AC 5 1
sin ∠AOC ＝
AO ＝10＝ 2，
∴∠ AOC ＝ 30°，∴α＝2∠AOC ＝60°.
π
(2)∵60°＝3
，
10π
∴ l ＝|α|r ＝
3 .
1 1 10π 50π
S 扇 ＝ 2lr ＝2× 3 ×10＝ 3 . 1 π
又 S △AOB ＝2×10× 10sin 3＝25 3，
∴S ＝S －S AOB ＝ 50π 3＝50 π
3
弓形 扇3 － 25
3－ 2 .
△
【例题 4】
【题干】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 (2,1)时，OP的坐标为 ________．
【答案】 (2－sin 2,1－ cos 2)
π π
【解析】因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧 PA ＝2，即∠ PCA ＝2，则∠ PCB ＝2－2，所以 PB ＝sin 2－2 ＝－ cos 2，
CB ＝ cos 2－ π
2 ＝sin 2，所以 x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝ 1＋ PB ＝1－cos 2，所以 OP ＝ (2－sin 2，1－ cos 2)．
五、课堂运用
【基础】
1．若α＝ k·180°＋ 45°(k∈Z )，则α在()
A ．第一或第三象限B．在第一或第二象限
C．第二或第四象限D．在第三或第四象限
解析：选 A当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k 为奇数时，α的终边与
45 °
角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．
2．已知角α的终边经过点 (3a－ 9，a＋2)，且 cos α≤0， sin α＞ 0，则实数 a 的取值范围是 () A．(－2,3]B．(－2,3)
C．[－2,3)D．[－2,3]
3a－ 9≤0，解析：选 A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有
a＋2＞0，即－ 2＜ a≤ 3.
2π
3．点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动3弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 () 1331
A. －2，2
B.－2，－2
1331
C. －2，－2
D.－2，2
2π12πx＝cos 3 ＝－ 2，y＝sin 3 ＝
3 2 .
解析：选A由三角函数定义可知Q 点的坐标(x，y)满足
【巩固】
y
4．若点 P(x，y)是 300°角终边上异于原点的一点，则x的值为________．
y
解析： x＝tan 300 ＝ tan(360°－°60 °)＝－ tan 60＝－° 3.答案：－3
4
5．已知角α的终边过点 P(－8m，－ 6sin 30 )，°且 cos α＝－5，则 m 的值为 ________．
解析： ∵r ＝ 64m 2＋ 9， ∴cos α＝
－8m 4 2 ＝－ 5， 64m ＋9
∴m ＞ 0， ∴ 4m 2 1 1 ＝ ， ∴m ＝± .
64m 2＋9 25 2
1 ∵m ＞ 0，
∴m ＝2. 答案： 1
2
【拔高】
6．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C＞ 0)，当α为多少弧度时，该扇
形有最大面积？
解：∵扇形周长 C＝2R＋ l＝2R＋αR，
∴R＝
C
，2＋α
∴S 扇1α·21α·C
2
＝2R＝22＋α
C2
α·1C
2
1C2
＝22＝
2·≤ 4 16，
4＋4α＋α
4＋α＋α
2
C2当且仅当α＝4，即α＝ 2 时，扇形面积有最大值16.
7．角α终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称 (a＞ 0)，角β终边上的点 Q 与 A 关于直线 y＝x 对称，求 sin α·cos α＋
sin β·cos β＋ tan α·tan β的值．
解：由题意得，点P 的坐标为 (a，－ 2a)，点 Q 的坐标为 (2a，a)．
所以， sin α＝
－ 2a
＝－2，2
－2a
25
a ＋
cos α＝a＝1，
5
a2＋－ 2a2
tan α＝－2a
＝－，a2
sin β＝a＝1，
a2＋a25
cos β＝2a＝2，
a2＋a25
a 1
tan β＝2a＝2，
故有 sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ
－ 21121
＝· ＋·＋(－2) ×＝－ 1.
55552
课程小结
1.对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“ 锐角”“ 0°～90°的角” 不等同于“ 第一象限的角
” ．其实锐角的集合是
{ α|0 °<α<90°}，第一象限角的集合为 { α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z } ．
(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
2．三角函数定义的理解
三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝ y， cos α＝ x， tan
y
α＝ x，但若不是单位圆时，如圆的半
径为r ，则
y x y sin α＝r ， cos α＝ r ， tan α＝x.
这就像我们身处喧嚣的闹市，却在渴望山清水秀的僻静之地。

心若静，何处都是水云间，都是世外桃源，都是僻静之所，心若浮躁，不管你居所何处，都难宁静。

其实，很多人惧怕喧嚣，却又怕极了孤独，人实在是矛盾的载体。

然而，人的最高境界，就是孤独。

受得了孤独，忍得了寂寞，扛得住压力，才能成为生活的强者，才不会因为生活的暗礁而失去对美好事物的追求。

常常喜欢静坐，没有人打扰，一个人，也有一个人的宿醉。

面对这喧嚣尘世，安静下来的时光，才是最贴近心底的那一抹温柔，时光如水，静静流淌。

即便独自矗立夜色，不说话，也很美。

这恬淡时光，忘却白日的伤感，捡起平淡，将灵魂在宁静的夜色里放空。

回头看看曾经走过的路，每一个脚印，都是丰富而厚重的，是对未来的希望，是对生活的虔诚。

我们都是生活里的平凡之人，不管一天中多么努力，多么辛苦，老天总是会给你时不时的开个玩笑，可能有些玩笑，来的有点猛，有点不知所措，但是又怎么样呢？
你要知道，人的能力和智慧是无穷的。

面对生活的暗礁，我们只能用坦然的心态去接受它，然后尽量去改变它，让它激起生命的浪花。

即使改变不了，只要努力了，就不言后悔。

有时候，难过了，想哭就哭出来，哭又不是罪，哭完了继续努力，总有一天，时间会告诉你，你的眼泪是不会白流的。

没有苦难的人生，它一定是不完美的。

生命里，没有一帆风顺，总有一些看不见的暗礁等着你，既然注定要撞上，那就努力寻找岸的方向。

只要不放弃，一定有抵达岸边的希望，若选择放弃，那么岸依然是岸，死神只会离你越来越近。

能和灾难抗衡，能珍惜生命的人，那么他的人生一定不会太灰暗。

只要你不放弃自己，生活就不会放弃你，成功的希望就会被实现。

凡事成功的人，经历生活的暗礁，那是必然途径。

生命路上的灾难和创伤，会让你更好的前进。

行走尘世间，保持好心态，一切都有可能被改变，当别人在为你呐喊助威时，自己千万不要放弃，不要半途而废，前功尽弃。

只要坚持，生命一定会被你改写。

人生何其短，千万不要让过往和未来，羁绊住今天的心情，应该尊重生命，珍惜时光，活好每一天。

林清玄说：“ 今天扫完今天的落叶，明天的树叶不会在今天掉下来，不要为明天烦恼，要努力地活在今天这一刻。

” 还有一句话叫，昨天的太阳晒不干今天的衣裳。

假若有人问，你的一生有多长？请告诉他，只有三天，昨天，今天和明天。

在这三天的生命里，昨天我们已经浪费掉了，明天不一定属于你，那你的时间就只有今天，所以不珍惜今天的人，就不配拥有明天。

这就像我们身处喧嚣的闹市，却在渴望山清水秀的僻静之地。

心若静，何处都是水云间，都是世外桃源，都是僻静之所，心若浮躁，不管你居所何处，都难宁静。

其实，很多人惧怕喧嚣，却又怕极了孤独，人实在是矛盾的载体。

然而，人的最高境界，就是孤独。

受得了孤独，忍得了寂寞，扛得住压力，才能成为生活的强者，才不会因为生活的暗礁而失去对美好事物的追求。

常常喜欢静坐，没有人打扰，一个人，也有一个人的宿醉。

面对这喧嚣尘世，安静下来的时光，才是最贴近心底的那一抹温柔，时光如水，静静流淌。

即便独自矗立夜色，不说话，也很美。

这恬淡时光，忘却白日的伤感，捡起平淡，将灵魂在宁静的夜色里放空。

回头看看曾经走过的路，每一个脚印，都是丰富而厚重的，是对未来的希望，是对生活的虔诚。

我们都是生活里的平凡之人，不管一天中多么努力，多么辛苦，老天总是会给你时不时的开个玩笑，可能有些玩笑，来的有点猛，有点不知所措，但是又怎么样呢？你要知道，人的能力和智慧是无穷的。

面对生活的暗礁，我们只能用坦然的心态去接受它，然后尽量去改变它，让它激起生命的浪花。

即使改变不了，只要努力了，就不言后悔。

有时候，难过了，想哭就哭出来，哭又不是罪，哭完了继续努力，总有一天，时间会告诉你，你的眼泪是不会白流的。

没有苦难的人生，它一定是不完美的。

生命里，没有一帆风顺，总有一些
看不见的暗礁等着你，既然注定要撞上，那就努力寻找岸的方向。

只要不放弃，一定有抵达岸边的希望，若选择放弃，那么岸依然是岸，死神只会离你越来越近。

能和灾难抗衡，能珍惜生命的人，那么他的人生一定不会太灰暗。

只要你不放弃自己，生活就不会放弃你，成功的希望就会被实现。

凡事成功的人，经历生活的暗礁，那是必然途径。

生命路上的灾难和创伤，会让你更好的前进。

行走尘世间，保持好心态，一切都有可能被改变，当别人在为你呐喊助威时，自己千万不要放弃，不要半途而废，前功尽弃。

只要坚持，生命一定会被你改写。

人生何其短，千万不要让过往和未来，羁绊住今天的心情，应该尊重生命，珍惜时光，活好每一天。

林清玄说：“ 今天扫完今天的落叶，明天的树叶不会在今天掉下来，不要为明天烦恼，要努力地活在今天这一刻。

” 还有一句话叫，昨天的太阳晒不干今天的衣裳。

假若有人问，你的一生有多长？请告诉他，只有三天，昨天，今天和明天。

在这三天的生命里，昨天我们已经浪费掉了，明天不一定属于你，那你的时间就只有今天，所以不珍惜今天的人，就不配拥有明天。