2025版高考数学一轮复习核心素养测评三十九等比数列理北师大版

- 1 - 核心素养测评三十九 等比数列

(30分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满意的条件是 ( )

A.{a|a≠1} B.{a|a≠0或a≠1}

C.{a|a≠0} D.{a|a≠0且a≠1}

【解析】选D.由等比数列定义可知a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.

【变式备选】

数列{an}满意:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于 ( )

A.1 B.-1 C. D.2

【解析】选D.由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ(an-).由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.

2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了闻名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处起先,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当竞赛起先后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍旧领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍旧领先他1米……所以阿基里斯恒久追不上乌龟.依据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为

( ) A. B. C. D.

【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5= ==. - 2 - 3.已知各项不为0的等差数列{an}满意a6-+a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2·b8·b11= ( )

A.1 B.2 C.4 D.8

【解析】选D.由等差数列的性质得a6+a8=2a7.由a6-+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12==23=8.

【变式备选】

已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于

( ) A. B.或 C. D.以上都不对

【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设a

4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,则= ( )

A.-3 B.-1 C.1 D.3

【解析】选A.因为等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,

所以a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,

a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,

因为等比数列{an}中,=a1a3,

所以(2a)2=(a+b)×6a,解得=-3.

5.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能值为 ( ) A. B. C. D.

【解析】选C.设三角形的三边分别为a,aq,aq2,

其中q>0.则由三角形三边不等关系知:

当q>1时.a+aq>a·q2,即q2-q-1<0 所以

aq+a·q2>a,则q2+q-1>0,

所以q>或q<-, 所以

当q=1时,满意题意,

综上知,C满意题意.

【变式备选】

在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n项和Sn=42,则n等于

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选A.因为{an}为等比数列,

所以a3·an-2=a1·an=64.又a1+an=34,

所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根, 解得或

又因为{an}是递增数列,所以

由Sn===42,

解得q=4.由an=a1qn-1=2×4n-1=32,

解得n=3.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=________________.

【解析】设{an}的公比为q,因为所以 - 4 - 由①②可得=2,所以q=,将q=代入①得a1=2,

所以an=2×=,所以Sn==4,所以==2n-1.

答案:2n-1

【变式备选】

在等比数列{an}中,已知a1=-1,a4=64,则q=________________,

S4=________________.

【解析】因为a4=a1·q3,所以q3=-64,q=-4,S4===51.

答案:-4 51

7.(2024·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=________________.

【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,=a6,所以=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.

答案:

【变式备选】

等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________________.

【解析】设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,

则S3==,S6==,解得q=2,a1=,则a8=a1q7=×27=32.

答案:32

8.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________________.

【解析】因为数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,所以a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5,所以ln a1+ln

a2+…+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.

答案:50

三、解答题(每小题10分,共20分) - 5 - 9.(2024·全国卷Ⅲ)等比数列中,a1=1,a5=4a3.

(1)求的通项公式.

(2)记Sn为的前n项和.若Sm=63,求m.

【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.

由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.

故an=(-2)n-1或an=2n-1.

(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.

由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.

若an=2n-1,则Sn=2n-1.

由Sm=63得2m=64,解得m=6.

综上,m=6.

10.(2024·郑州模拟)已知等比数列{an}的公比q>0,其前n项和为Sn,且S5=62,a4,a5的等差中项为3a3.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)因为a4+a5=6a3,所以a1q3+a1q4=6a1q2,

即q2+q-6=0,

解得q=2或q=-3(舍去).

所以S5==31a1=62,a1=2,

所以an=2·2n-1=2n.

(2)因为bn== =,

所以Tn=b1+b2+…+bn - 6 - =

= ==-.

(15分钟 35分)

1.(5分)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主子要求赔偿5斗粟.羊主子说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主子说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”准备按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主子各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列推断正确的是 ( )

A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=

B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=

C.a,b,c成公比为的等比数列,且a=

D.a,b,c成公比为的等比数列,且c=

【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为的等比数列,b=a,c=b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=.

【变式备选】

已知等比数列{an}的公比q=2,前100项和为S100=90,则其偶数项a2+a4+…+a100为

( )

A.15 B.30 C.45 D.60

【解析】选D.S100=a1+a2+…+a100=90,设S=a1+a3+…+a99,则2S=a2+a4+…+a100,

所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60. - 7 - 2.(5分)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,则= ( ) A.- B.- C. D.-或

【解析】选D.由题意可得a2a16=2,又由等比数列的性质可知a2a16==2,所以a9=±,所以==a9=±.

【变式备选】

在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则= ( ) A.2 B.2 C.1 D.-2

【解析】选A.由题知,a3+a15=6>0,a3a15=8>0,则a3>0,a15>0,由等比数列的性质知a1a17=a3a15=8=⇒a9=±2.设等比数列{an}的公比为q,则a9=a3q6>0,故a9=2,故==2.

3.(5分)(2024·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=________________.

【解析】设等比数列的公比为q,由已知

S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,

解得q=-,所以S4===.

答案:

【变式备选】

设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q为________________.

【解析】若q=1,则Sn=na1,所以{Sn}是等差数列;

若q≠1,则当{Sn}是等差数列时,肯定有2S2=S1+S3,

所以2·=a1+,