[毕业论文]流体覆盖薄层对无限大弹性板中声表面波波速的影响

流体覆盖薄层对无限大弹性板中声表面波波速的影响
摘要
压电声表面波器件有频率高、体积小、功能多、稳定性好、易于批量生产等特点，以其独特的性能在移动通信、航空航天、电子对抗等军用和民用领域得到了成功的应用。

新兴的声表面波流体传感器，更是以其灵敏度高和功耗低的特点，广泛应用于生物和化学试样的检测，是传感领域拥有巨大发展潜力的新方向。

本文首先从覆盖理想流体层的各向同性半无限大弹性体中的声表面波分析开始，求得了表面波速度与理想流体层厚度的关系，得到的结果与早期的研究和实验结果一致。

当基体是各向同性无限大弹性板的情况时，发现随着流体层厚度的不断减小，弹性板的振动开始表现为显著的对称和反对称模态，这一结果与没有覆盖流体层的弹性板振动研究结果相吻合。

由于实际的声表面波器件都是由各向异性材料制造的,为了能更精确地分析流体试样对声表面波的影响，我们分析了基体是半无限大ST切石英晶体和无限大ST切石英晶体板的情形。

由于弹性板与流体层的相互作用，实际振动会出现多个声表面波模态和相应的波速。

接着本文对覆盖粘性流体层的各向同性以及各向异性无限大弹性板中的声表面波传播特性进行了分析，求得了覆盖粘性流体层的无限大弹性板中的声表面波波速方程。

数值计算表明，由于弹性板和粘性流体层的驻波共振，板中声表面波的对称和反对称模态随着波速不同而进行着转换。

并且发现当粘性流体层厚度为零时，我们所求得的波速与没有覆盖粘性流体层相对应的无限大弹性板中的声表面波波速相同；当粘性流体层的厚度不断增加时，求得的声表面波波速接近于粘性流体层中的波速。

最后，本文把覆盖层材料扩展到粘弹性材料。

在考虑粘弹性材料的复材料常数的情况下，求得了覆盖粘弹性层的无限大弹性体和弹性板中的声表面波波速方程。

由于我们现行的研究模型更接近实际的声表面波流体传感器，并且充分考虑了覆盖流体层的厚度、密度以及粘性影响，因此本文的研究方法以及得到的结果对于声表面波流体传感器的分析和设计具有重要的实用价值。

关键词：声表面波，传感器，理想流体，粘性流体，波速
Surface Acoustic Waves in
An Infinite Plate Covered by a Fluid Layer
Abstract
Due to its unique advantages such as high frequency, small size, versatility, stability and mass production, surface acoustic wave (SAW) devices are successfully used in military and civilian fields including aerospace, mobile communication, electronic warfare and other applications. The recent arising SAW fluid sensor is promising and gaining more and more attention for its high sensitivity and low power consumption, and SAW fluid sensor will be widely used in high sensitivity detection of biological and chemical samples.
This study starts from the interaction of a thin fluid layer and surface acoustic waves in an isotropic semi-infinite substrate, and we obtain the relationship between wave velocity and the thickness of ideal fluid layer. This result is similar to earlier experimental and research results. We further extend the substrate to a semi-infinite isotropic plate, at which both symmetric and anti-symmetric modes of a plate can be captured as the thickness of liquid layer becomes extremely thin. This result is very close to plate vibrations without the fluid layer. Since practical piezoelectric sensors are made of anisotropic materials, considerations as such will enable us to make precise analysis of SAW and the effect in such a sensor structure for fluid sensor applications. It is observed from an ST-cut quartz crystal substrate that there are many displacement modes and corresponding velocities due to the interaction of waves in the plate and liquid layer.
Then we analyze the characteristics of surface acoustic waves propagating in an infinite isotropic or anisotropic plate covered by a viscous fluid layer, and obtain wave velocity equations. Numerical calculation shows that resonance vibration of the fluid layer and the plate may cause the change of wave modes due to asymmetrical fluid layer loading. When the thickness of the fluid layer is zero, surface acoustic waves will have the same velocity with the corresponding infinite plate case; with the increase of the thickness of the fluid layer, wave velocity will be similar to the velocity with a viscous fluid layer.
Last, we further extend the fluid layer to a viscoelastic material, and obtain the wave velocity equations of infinite plate by considering complex material constants of the material. The analytical models we use are closer to the actual resonators, and at the same time the fluid layer’s thickness, density and viscosity are considered. The theory and method from this study will have practical applications in the analysis of SAW fluid sensor for modeling and design.
Key Words：surface, wave, sensor, ideal fluid, viscous fluid, wave velocity
目录
1 绪论1
1.1 声表面波传感器的应用及其工作原理1
1.2 国内外研究现状及分析2
1.3 本文的主要工作3
2 覆盖理想流体层的各向同性无限大弹性板中的声表面波波速计算5
2.1 半无限大弹性体和理想流体层中声表面波理论介绍和推导5
2.2 算例1 11
2.3 覆盖理想流体层的各向同性无限大弹性板中声表面波分析 12
2.4 算例2 14
2.5 本章小结 18
3 覆盖理想流体层的无限大ST切石英晶体板中声表面波波速计算 19
3.1 覆盖理想流体层的半无限大ST切石英晶体中的声表面波分析 19
3.2 算例1 21
3.3 覆盖理想流体层的无限大ST切石英晶体板中的声表面波分析 22
3.4 算例2 25
3.5 本章小结 27
4 覆盖理想流体层的各向同性无限大弹性板中的声表面波波速计算 28
4.1 粘性流体层中声表面波理论推导 28
4.2覆盖粘性流体层的各向同性基体中声表面波分析及算例 29
4.3 覆盖粘性流体层的各向异性基体中声表面波分析及算例 37
4.4 本章小结 42
5 覆盖粘弹性薄层的无限大弹性板中的声表面波波速计算 43
5.1 粘弹性覆盖层中声表面波理论推导 43
5.2 覆盖粘弹性层的各向同性基体中声表面波分析及算例 44
5.3覆盖粘弹性层的各向异性基体中声表面波分析及算例 49
5.4 本章小结 53
6 总结与展望 54参考文献 55
在学研究成果 58致谢 59
1绪论
1.1声表面波传感器的应用及其工作原理
声表面波(Surface Acoustic Wave, SAW)技术是六十年代末期发展起来的一门科学技术，它是声学、电子学、光学、压电材料和半导体平面工艺相结合的一门交叉学科[1]。

1855年，瑞利(Rayleigh)根据对地震波的研究，最早从理论上阐明了声表面波的存在。

但直到20世纪60年代，随着以硅微机械加工技术和大规模集成电路为代表的微电子技术和计算机技术的迅猛发展，为SAW 技术研究提供了坚实的技术基础；而半导体平面工艺和激光技术的发展，使人造压电晶体大量的出现，为SAW技术的发展提供了必要的物质基础。

经过三十多年的发展，声表面波技术日臻成熟，其应用领域也不断扩大，发展越来越快，从卫星通信、雷达制导、无线遥控、广播电视到移动通信到各类家用电器等，都广泛的采用声表面波器件[2-4]。

SAW传感器是SAW器件的一个新的应用分支，具有许多独特的优点，如高精度、高分辨、数字输出、重量轻、体积小、功耗低、抗干扰、牢固可靠等。

它出现于上个世纪的70年代，但真正作为一种新型传感器而受到重视则始于80年代，在这之后的20多年的时间里，美国、欧洲、日本等国投入了大量的人力和物力进行积极开发，取得了长足的进步，部分产品取得了实用化[5-6]。

随着科学技术的发展，越来越多的场合要求对微量流体进行准确的鉴定。

声表面波流体传感器将在化工、医学与国家安全等领域发挥巨大作用。

图1.1 声表面波流体传感器的基本构造
声表面波流体传感器的基本构造如图1.1所示，主要由压电基片、叉指结构的发射和接收换能器以及吸声材料等构成。

每个换能器的各叉指分别向两边连到两个汇流条，发射换能器的两个汇流条上外加信号电压，使叉指获得正负相间的激励电压；接收换能器的两个汇流条则作为声表面波器件的输出端，外接负载。

在发射换能器上外加激励电压时会沿基片的长度方向两方发射声表面波。

其中一端被吸声材料吸收，另一端则被接收换能器所接受。

在发射端从输入电信号到输出电信号有一个电-声转换，在接收端从声表面波信号到电信号有一个声-电转换。

这两个转换合在一起就是这个声表面波器件的信号处理功能[7]。

从发射端发出的声表面波在经过流体覆盖层时，由于流体层的质量负载效应和粘性效应的影响，会引起声表面波波速的变化。

我们研究的主要工作就是基于利用声表面波波速的改变来实现流体样品性质测定的这个思路。

1.2国内外研究现状及分析
我国对声表面波技术的研究始于70年代，在压电材料、器件设计、制作工艺等方面都取得了可喜成绩，并发表了很多关于声表面波技术的文章。

但是关于覆盖流体层的声表面波传感器研究是90年代初才开始的。

邓明晰就有流体层负载条件下压电薄板中兰姆波的传播问题进行了实验分析，得到了一定晶体切型的流体层-压电薄板结构中兰姆波的色散关系曲线[8]。

童筱钧和章德分析了石英材料上可用于流体传感的准纵漏声表面波模式的传播方向，对该传播方向上准纵漏声表面波在流体传感方面的应用做了初步研究[9]。

叶学松等用36º-YXLiTaO3基底的双通道声表面波(SH-SAW)传感器检测了含液相金属离子的溶液。

结果表明，传感器的瞬态响应反映了待测溶液中所含的离子成份，采用相关算法可以有效识别待测溶液中离子成份的比例[10]。

吕霞付等设计了声表面波流体密度传感器的结构，并做了大量的初步实验[11-12]。

在国外, Victorov在50年代就分析了各向同性半无限大弹性体上覆盖流体层情况下的声表面波，并且与实验结果做了比较[13]。

Lee分析了覆盖流体层的AT切割石英板的振动问题，把三维问题很好的简化为二维问题，得到的计算结果与实验结果十分接近[14]。

日本学者在1987年就提出了采用36º-YXLiTaO3激发水平剪切表面波(SH-SAW)进行流体传感。

通过测量流体的复介电系数，研制了识别多种金属离子浓度的化学传感器，还可用于监测金属薄膜上的电沉积、非电沉积以及金属墨的腐蚀性。

Martin等人研究了使用声板波
(APM)传感器来测量流体密度，这种传感器只考虑待测流体和声板器件的界面作用，测量精度高，但要求晶体两面抛光，且两面必须有极其严格的平行度，同时，APM的频率一般比SAW的频率要高的多，因此，APM流体传感器制作比较困难，电路结构复杂[15-16]。

Moriizumi提出了声表面漏声波(L-SAW)器件可用于液相环境下测量，但一般的L-SAW在传感方向上的有效传播路径非常小，因此，用做流体密度传感器也不太适合[17]。

相对于声表面波流体传感器研制困难，声表面波传感器在其他领域已经开始进入了产品化的应用阶段。

美国国家环境保护组织已经把SAW气体传感器作为环境监测的手段之一。

美国Sandia国家实验室在研究工作中把SAW传感器作为气相色谱的检测仪器实现了对空气中神经毒气的在线检测。

美国Microsensor是专门从事SAW化学传感器的公司，该公司Eagle系列SAW仪器可以实现对气体、湿度各种环境参数的检测，并应用在工业现场当中。

Tortoli等人用有源声表面波器件构造的多普勒系统测量血液的流动情况[18]。

特别是在9.11以后，美国的安全部门和科研单位加大了对微量流体和粉末测试技术和设备的研究，并取的了一系列的成果。

综合国内外的研究，发现目前声表面波流体传感器研制主要还是处于实验探索阶段，还没有提出详细和精确的理论分析。

本文首先用一个包含流体层的双层结构模型来简化典型的声表面波流体传感器，并用声表面波理论、理想流体模型和粘性流体模型来精确分析声表面波在弹性板和流体层中的传播。

由于我们现行的研究模型更接近实际的声表面波传感器，并且充分考虑了覆盖流体层的厚度，密度以及粘性影响，因此本文的研究方法以及得到的结果对于声表面波流体传感器的分析和设计具有重要的实用价值。

1.3本文的主要工作
本文主要对声表面波在覆盖流体层的半无限大弹性体和无限大弹性板中的传播特性进行分析，并求得了不同流体层厚度下的声表面波波速。

这项研究的主要内容包括：
1) 首先介绍了声表面波在各向同性半无限大弹性体和无限大弹性板中的传播特性，接着分析了声表面波在理想流体层中的传播形式，求得了表面波速度与理想流体层厚度之间的关系。

2) 运用声表面波理论研究了声表面波在覆盖有理想流体层的无限大ST切石英晶体板中的传播特性，求得了不同理想流体层厚度下的声表面波波速。

3) 在考虑流体覆盖层粘性影响的情况下，分析了覆盖粘性流体层的各向同性以及各向异性无限大弹性板中的声表面波传播特性，求得了不同粘性流体层厚度的下的声表面波波速。

4) 在考虑粘弹性覆盖层复材料常数的情况下，分析了声表面波在覆盖粘弹性层的半无限大弹性体和无限大弹性板中的传播特性，求得了不同粘弹性层厚度下的声表面波波速。

2 覆盖理想流体层的各向同性无限大弹性板中的声表面波波速计算
Victorov 通过具体实验，对覆盖有理想流体层的半无限大弹性体中声表面波的传播特性进行了初步的分析，求得了声表面波波速与流体层厚度之间的关系，并用势函数法从理论上推导了声表面波在固体和流体中的传播。

但是由于没有给出详细的理论推导过程，并且理论结果和实验结果相差较大。

因此，精确的分析覆盖有理想流体层的半无限大弹性体中声表面波的传播特性对于声表面流体传感器的分析和设计是十分必要的。

本章首先对声表面波在覆盖理想流体层的各向同性半无限大弹性体中的传播特性进行分析，接着推导了Victorov 势函数法求声表面波在无限大弹性体和流体中传播，并且将这两种不同理论得到的结果与实验结果做了比较，发现我们的理论结果更加接近于实验结果。

最后分析了声表面波在覆盖理想流体层的无限大弹性板中的传播特性，这个模型使我们的研究更加接近于实际的声表面波流体传感器。

2.1 半无限大弹性体和理想流体层中声表面波理论介绍和推导
覆盖理想流体层的各向同性半无限大弹性体如图2.1所示，我们来介绍分析声表面波在半无限大弹性体中的传播特性[19-21]。

图2.1 覆盖理想流体层的半无限大弹性体
在半无限大弹性体中传播的声表面波的位移沿弹性体的厚度方向是呈指数衰减的，因此我们假设位移表达形式如下
(),2,1,2==−j e e A u ct x ik x k j j β (2.1)
其中c k A u j j ,,,,β和分别是位移、振幅、衰减指数、波数、波速和时间。

t 由(2.1)式得到的应变表示为
()()()().
0,,
,
5432162211121212===+===−−−S S S e e
iA A k S e e A k S e e ikA S ct x ik x k ct x ik x k ct x ik x k βββββ (2.2)
对各向同性基体，由(2.2)式可以得到应力为
()[]()()[]()()(),
,2,
2121212216212211ct x ik x k ct x ik x k ct x ik x k e e iA A k T e e A iA k T e e A iA k T −−−+=++=++=ββββμβμλλλβμλ
(2.3)
式中λ和μ是材料的拉梅常数。

以应力表示的运动方程是 ,,22,21,612,61,1u T T u
T T &&&&ρρ=+=+ (2.4)
式中ρ是固体材料的密度。

将式(2.3)代入(2.4)，我们可以得到 ()[]()()()[],0,02222212222212222
=−++−=−+−+A c c c A c
c i A c c i A c c c T L T L T L L T ββββ (2.5)
式中ρ
μρμλ=+=22,2T L c c 分别为纵向和横向波速。

通过(2.5)我们可以得到衰减系数β为
.1,122
2222
21T L c c c c −=−=ββ (2.6)
相应的振幅比为
.1,22
121112ββi A A i A A =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
(2.7)
利用式(2.6)和(2.7)可以得到新的两个振幅，为方便简记为，相应的位移和应力解为
(2,1=m A m )
()
()()
()[]()()[]()()().
)1(1
2,
22,22,1,
1222112212
11221211222112221222211621
21
2
)(2121122112211ct x ik x k x k ct x ik x k ct x ik x k ct x ik x k ct x ik x k ct x ik x k x k ct x ik x k x k e e A e A k T e e A ik e e
A ik T e e A ik e e A ik T e e A i e A i u e e A e A u −−−−−−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=−+−=+−+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+−=+=βββββββββββββμμβμλλμλβμλββ (2.8)
我们接着分析理想流体层中的传播的声表面波。

在线性近似下,理想弹性流体的运动方程为[26]
u
u &&ρλ=∇∇ (2.9)
式中λ为理想流体的拉梅常数。

引入标量速度势函数ϕ可以得到
.ϕ∇=u
& (2.10)
显然，由式(2.10)我们有
,1
2
2ϕϕ&&F
c =
∇ (2.11)
式中ρ
λ=2
F c ，ρ为理想流体的密度。

最后我们可以得到理想流体应力表达式为
.ϕ
ρλ&−=∇−=u p (2.12)
假设势函数ϕ为
()().1
2ct x ik e x −=ψϕ
(2.13)
把(2.13)代入(2.11)，我们可以得到
()()().222
2222
222x c c k x k dx x d F
ψψψ−=− (2.14)
进一步假设
,)(2
12x k e M x βψ=
(2.15)
这里是系数。

把(2.15)代入(2.14)可以得到
1M
.1,122
222
−±=−=F
F c c i c c ββ
(2.16)
把β代入ϕ函数，再代入(2.12)和(2.13)可以得到流体层内的位移和应力为
()()()()()()()()()()()(),
cos sin ),0(sin cos ),0( cos sin 1
,sin cos ,cos sin ,
cos sin 111111
23423322342333
212342331234233322342331234233ct x ik ct x ik ct x ik ct x ik ct x ik ct x ik e x k A x k A c ik p t U e x k A x k A c
i u t U e x k A x k A c u e x k A x k A k u
e x k A x k A ik u
e x k A x k A −−−−−−+==+−==++−=−=+=+=ββρββββββββββββϕ&&
(2.17)
式中，1223−±=F
c c β。

对于图2.1所示的理论模型，我们可以得到相应的边界条件为
()
()(()())(),
00,
00,00,
022********==========x u x u x T x p x T h x p (2.18)
式中h 是流体层的厚度。

将式(2.8)和(2.17)的应力和位移代入边界条件(2.18)，就得到振幅的4个方程为
(
)()
()
()[]().01,
022,
0112,0cos sin 233
22
1142
1
21
2222
1
13433==−
+
−=−−+−=++=+t U A c
i A i A i cA A
A A A h k A h k A βββρμβμλλββ
βββ (2.19)
通过求系数行列式值为零求得与流体层厚度相应的波速方程为
4321,,,A A A A
()()[].0)2(141tan 212221322321=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+−+−+−βμλλββμββββββρc h k c (2.20)
覆盖一定理想流体层厚度的半无限大弹性体的声表面波波速求解过程：首先给定的一个波速，求出覆盖一定流体层厚度的半无限大弹性体中的声表面波的衰减系数c (2,1=n n )β与流体层中的衰减系数3β，然后把求得的衰减系数
3,ββn 和给定的波速以及流体层厚度和材料常数代入到波速方程(2.20)中，如
果波速方程为零，那前面给定的波速c 就是所求的声表面波的波速，否则，另选一个c ，直至波速方程的值为零。

c 为了和前人的理论和实验结果做比较，我们有必要对Victorov 的理论工作进行重新推导[13]。

理论模型如图2.1，位移和应力表达式为
,,1
222
11x x u x x u ∂∂+
∂∂=∂∂−
∂∂=
ψ
ϕψ
ϕ
,221221
22222121⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂−∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂=x x x x x T ψϕμϕϕλ (2.21)
,2,
22
22212212621222
22
2
22122⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂−∂∂+∂∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂+∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂=x x x x T x
x x x x T ψψϕμψ
ϕμϕ
ϕλ
其中()λψϕ,,,2,1=j u j 和μ分别是位移、势函数和材料的拉梅常数。

这里我们可以取势函数为
()(,
,
12
1
2
65t kx i sx t kx i qx e
e
A e e A ωω)
ψϕ−−−−== (2.22)
式中()μρωμλρω/2/2222
22=+=−=−=T L T L k k k k s k k q ，，，，ω是为角频
率，ρ是固体的密度。

将(2.22)代入(2.21)，可以得到弹性体的位移和应力为
()
()()()
()[]()
()[](
)
()[]()
.
2222212
2
12
2
12
2
122
12262
2
56
652
2
2
26
5
2
2
2
1652651t
kx i sx qx t kx i sx qx t kx i sx qx t kx i sx qx t kx i sx qx e e A k s e qikA T e e skA i e A q q k T e e skA i e A k q k T e e ikA e qA u e e sA e ikA u ωωωωωμμμλλμμλλ−−−−−−−−−−−−−−−+−−=−++−=+−+−=+−=−=，
，，， (2.23)
对于理想流体层，我们可以取流体中的势函数为
,)(21
2
4t kx i x i L e e M ωβψ−= (2.24)
式中是系数，2M 224k k L −±=β，L L c k /ω=，ρλ/=L c ，λ和ρ是流体的拉
梅常数和密度。

可以将(2.24)进一步写为
()().cos sin 1
248247t kx i L e x A x A ωββψ−+=
(2.25)
令0,===ϕϕψψL L ，将(2.25)代入(2.21)式，可以得到流体中的位移和应力为
()()()()()()
()(),sin cos 2,
sin cos 2,cos sin ,sin cos 11112482474224824741248247224824741t kx i t kx i t kx i t kx i e x A x A k i p e
x A x A k i p e x A x A ik u e x A x A u ωωωωβββμβββμβββββ−−−−−=−−=+=−−= (2.26)
式中μ是流体的拉梅常数。

将固体和流体的位移和应力表达式(2.23)和(2.26)代入边界条件(2.18)，就可以得到振幅的4个方程为
()
()
(
)
.
02,
222,
0sin cos ,
62257465222
4847865=++=−+−=−=+−A k s iqkA A k i A isk A q k q
h A h A ikA ikA qA βμμμλββ (2.27)
通过求系数行列式值为零求得与流体层厚度相应的波速方程为
8765,,,A A A A
()
.tan 2
442422
2
2
h qk qs k s k
t ββμ
μ
=−+ (2.28)
求解过程：首先给定的一个波速，求出覆盖一定流体层厚度的半无限大弹性体中的声表面波系数与流体层中的衰减系数c s q ,4β，然后把求得的系数
4,,βs q 和给定的波速以及流体层厚度和材料常数代入到波速方程(2.28)中，如果波速方程为零，那前面给定的波速c 就是所求的声表面波的波速，否则，另选一个c ，直至波速方程的值为零。

c 比较(2.20)和(2.28)可以发现，当流体层厚度为零时，这两个波速方程都可以转化为各向同性半无限大弹性体的标准瑞利波波速方程。

两个波速方程的不同之处在于：考虑理想流体对声表面波影响时，(2.20)是从理想流体运动方程推导而来，而(2.28)是通过势函数法推导得出的。

2.2 算例1
为了更好与实验结果进行比较，我们以纯铁为弹性体材料和水为流体覆盖层材料，求解了两种不同理论推导下的覆盖流体层的半无限大弹性体中的声表面波波速。

为了简单起见，对流体层厚度作归一化处理
,2,2,H h k k h
H ππξξ
===
(2.29)
其中ξ是波长，是波数。

材料参数为
k
.
kg/m 998,Pa 105,kg/m 7800,Pa 1093.4,Pa 1002.53831010=×==×=×=ρλρμλ (2.30)
我们求得的声表面波波速与理想流体层的厚度之间的关系如图 2.2，这里横坐标为归一化的流体层厚度ξ/h ，纵坐标为归一化的声表面波波速。

1＇为铁基体-水覆盖层的实验结果，2为
Victorov 的理论结果， 3
为我们的理论结果，1为铁基体-油的实验结果。

()T T c c c /−
图2.2 半无限大各向同性弹性体中声表面波波速与理想流体覆盖层厚度之
间的关系
2.3 覆盖理想流体层的各向同性无限大弹性板中声表面波分析
覆盖理想流体层的各向同性半无限大弹性板如图2.3所示
图2.3 覆盖理想流体层的半无限大弹性板
利用式(2.5)和(2.6)得到的两个衰减系数和振幅比，重写振幅，可以得到半无限大弹性板中的位移模式为
()2,1,=j i A ij
()
.,
)(22221112211
12)(22211211112
12221122212221ct x ik x k x k x k ct x ik x k x k x k x k e A i e A i e A i e A i u e e A e A e A e A u −−−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−−++=+++=βββββββββββ (2.30)
由(2.30)式得到的应变表示为
(
)
(
)
.1212,
,)(2222
2211122221116)(2221211211212)(222112111122212221122212221122212221⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++−−=+++−=+++=−−−−−−−−−ct x ik x k x k x k x k ct x ik x k x k x k x k ct x ik x k x k x k x k e e A e A e A e A k s e e A e A e A e A ik s e e A e A e A e A ik s ββββββββββββββββββββ
(2.31)
通过(2.31)我们可以求出应力的表达式为
()
[]()
()[](),22 2212
22
11222122
21
21
1211211ct
x ik x k x k ct x ik x k x k e e
A e A ik e e A e A ik T −−−−+−+++−+=ββββμλβμλμλβμλ()[]()
()[()
,
22 2212
22
11222
122
21
21
2112
11
21
2
1
2
ct x ik x k x k ct x ik x k x k e e
A e A ik e e A e
A ik T −−−−−−−+−−−=ββββμλβμβλμλβμβλ] (2.32)
().
1
2 12)(2222
2211122221116122211222
1ct x ik x k x k ct x ik x k x k e e A e A k e e A e A k T −−−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+−
−=βββββββμβββμ
对于图2.3所示的双层结构模型，我们可以得到相应的边界条件为
()()()()()()(())(),0,00,
000,00,0,0226222222222622=====+=======−==−=h x p x T t U x u x u x p x T h x T h x T (2.33)
其中h 和h 分别是弹性板的厚度和流体层的厚度。

将(2.17)，(2.30)和(2.32)的应力和位移代入边界条件式(2.33)，我们可以得到振幅的6个方程为
()()()
()
,
01212,
02222,
01212,
2222,
1
1
,
0cos sin 21212121222
2
2211122
2
2111222121211211212
1222
2
2211122
2
211122212121121121213222
211122
11133
3433=++
++−
−=−−−+−−−=++
++−
−−−−+−−−=−
−+
==+−−−−h k h
k h
k h
k h k h k h k h k e A e
A e
A e
A e A e A e A e A A A A A A A A A cA A A A A A c
h k A h k A ββββββββββββββμμβλβλμμβλβ
λββββββμμβλβλμμβλβλρβββββββ (2.34)
通过求系数行列式值为零求得与流体层厚度相应的波速。

具体求解过程类似半无限大弹性体的情形。

2221121143,,,,,A A A A A A
2.4 算例2
同样我们也对板厚和流体层厚度作归一化处理
2,2,,2,2,H h k k h
H H kh k h
H ππξξ
ππξξ
===
===
(2.35)
式中ξ是波长，是波数。

这里我们取同(2.30)相同的材料常数，并且弹性板厚度取3个波长。

我们求得的无限大弹性板中声表面波波速与理想流体层的厚度之间的关系如图 2.4，这里横坐标为归一化的流体层厚度k ξ/h ，纵坐标为归一化的表面波波速。

T c c /
图2.4 无限大各向同性弹性板中声表面波波速与理想流体覆盖层厚度之间的
关系
为了更好地了解板的振动模态，我们可以求出弹性板内的位移图，如图
2.5-2.8。

从图中我们可以发现，当基体是各向同性无限大弹性板(3个波长厚度)的情况时，随着流体层厚度的不断减小，弹性板的振动开始表现为对称和反对称模态，这一结果与没有覆盖流体层的弹性板振动研究结果相吻合。

图2.5 弹性板厚度为3个波长，流体层厚度为0.01个波长时，方向的位移
图(波速1x 919290502.0=c )
图2.6 弹性板厚度为3个波长，流体层厚度为0.01个波长时，方向的位移
图(波速2x 919290502.0=c )
图2.7 弹性板厚度为3个波长，流体层厚度为0.01个波长时，方向的位移
图(波速1x 92068482.0=c )
图2.8 弹性板厚度为3个波长，流体层厚度为0.01个波长时，方向的位移
图(波速2x 92068482.0=c )
2.5本章小结
本章主要分析了声表面波在覆盖理想流体层的各向同性半无限大弹性体和无限大弹性板中传播特性，并求得不同流体层厚度下的声表面波波速。

同时重新推导了Victorov势函数法求覆盖理想流体层的半无限大弹性体中声表面波的传播的过程。

我们将这两种不同理论得到的结果与实验结果做了比较，发现本文的理论结果更加接近于实验结果。

从图2.2中可以看出，对于典型固体材料而言，流体层对声表面波波速的影响在0.25个波长达到最大。

当基体是各向同性无限大弹性板时，从图2.4可以发现随着流体层厚度的增加，声表面波波速有减小的趋势。

当流体层厚度越来越小时，板的振动模态越来越接近于无流体层覆盖时弹性板振动的对称和反对称模态，波速也与没有覆盖流体层相对应的无限大弹性板中的声表面波波速越来越接近。

本章的分析也为后面研究基体为各向异性材料时做好了准备。

3 覆盖理想流体层的无限大ST 切石英晶体板中声表面波波速计算
由于实际的声表面波传感器都是由各向异性材料制造的，因此研究声表面波在覆盖理想流体薄层的半无限大ST 切石英晶体和无限大石英板中的传播特性对于声表面波流体传感器的设计很有实用价值。

与各向同性基体材料的情况相比，各向异性将使得问题的分析与求解变的更加复杂。

我们首先对覆盖有理想流体层的半无限大ST 切石英晶体中的声表面波的传播特性进行分析。

3.1 覆盖理想流体层的半无限大ST 切石英晶体中的声表面波分析
在本章中，我们考虑基体为各向异性材料的石英晶体，同时假定声表面波沿1x 方向传播。

对于基体，设其位移的表达形式为[26]
()()(),,,
121212321ct x ik x k ct x ik x k ct x ik x k e Ce u e Be u e Ae u −−−===βββ (3.1)
这里是基体的振幅，C B A ,,t c k ,,,β分别是波数，基体的衰减系数，波速和时间。

根据给定的位移(3.1)我们得到基体中相应的应变为
.,,,0,,216353432211iku u k S iku S u k S S u k S iku S +======βββ (3.2)
根据(3.2)中的应变，我们得到基体中的应力为
.6,5,4,3,2,1,6655442211=++++=p S c S c S c S c S c T p p p p p p (3.3)
运动方程为
.
,,
3222,41,52222,21,61222,61,1u c k T T u c k T T u c k T T ρρρ−=+−=+−=+ (3.4)。