2015年安徽高考理科数学试卷及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
参考公式:
如果事件A 与B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+; 标准差
:s =
,其中121
()n x x x x n
=
+++.
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1.设i 是虚数单位,则复数
21i
i
-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B
2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是（ ）
（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）2
1y x =+ 【答案】A.
3.设:12p x <<,:21x
q >,则p 是q 成立的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A.
4.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）
（A ）22
14y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）22
14
x y -= 【答案】C
5.已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是（ ）
（A ）若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 （B ）若m ,n 平行于同一平面,则m 与n 平行
（C ）若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ,n 不平行,则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D
6.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8,则数据
121x -,221x -,⋅⋅⋅,1021x -的标准差为（ ）
（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32
【答案】C
7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（ ） （A
）1+ （B
）2+ （C
）1+ （D
）【答案】B.
8.C ∆AB 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足2a AB =,C 2a b A =+,则下列结论正确的是（ ）
（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()
4C a b -⊥B 【答案】D.
侧(左)视图
俯视图
9.函数()()
2
ax b
f x x c +=
+的图象如图所示,则下列结论成立的是（ ）
（A ）0a >,0b >,0c < （B ）0a <,0b >,0c > （C ）0a <,0b >,0c < （D ）0a <,0b <,0c < 【答案】C
10.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(A ,ω,ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当
23
x π
=
时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-
【答案】A
二、填空题:本大题共5小题.每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置
11.3
71()x x
+的展开式中5x 的系数是 （用数字填写答案）
【答案】35
12.在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3
R π
θρ=
∈距离的最大值是
【答案】6
13.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n 为 【答案】4
14.已知数列{}n a 是递增的等比数列,14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前n 项和等于
【答案】21n
-.
15. 设3
0x ax b ++=,其中,a b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）
(1)3,3a b =-=-;(2)3,2a b =-=;(3)3,2a b =->;(4)0,2a b ==;(5)1,2a b ==. 【答案】(1)(3)(4)(5)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内
16. (本小题满分12分)在ABC ∆中
,3,6,4
A A
B A
C π
∠=
==点D 在BC 边上,AD BD =,求AD 的长. 解:在ABC ∆中
,2222cos 183626(90BC AC AB AC AB A =+-⋅∠=+-⨯⨯=,
即BC =从而2222cos AC BC AB BC AB B =+-⋅∠
,cos 10
B ∠=;
又AD BD =,
所以cos 3BD B BD ⋅∠==,
所以AD BD ==17.(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值.
解:(1)233
)5410
(P ⨯=
=⨯第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品; (2)X 的可能取值为200,300,400200X =表示前2次取出的是次品;
300X =表示前2次取出的是1件次品和1件正品,第三次取出的是次品;或前3次取出的都是正品;
400X =表示前3次取出的是1件次品和2件正品,第四次取出的是1件次品;前3次取出的是1件次品和2
件正品,第四次取出的是1件正品.
22251(200)10A P X A ===,1132333
523(300)10C C A P X A +===;3123234526(400)10
A C C P X A ===.
136
()200300400350101010
E X =⨯+⨯+⨯=.
18.(本小题满分12分)设*n N ∈,n x 是曲线22
1n y x +=+在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标. (1)求数列{}n x 的通项公式;
(2)记22
21321n n T x x x -=⋅⋅
⋅,证明:14n T n
≥
. 解:(1) 21
(22)n y n x
+'=+,当1x =时,22y n '=+,所以曲线22
1n y x +=+在点(1,2)处的切线为
2(22)(1y n x -=+-;因此曲线221n y x +=+在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标1
n n
x n =+; (2)由(1)知2122
22
21(21)()24n n n x n n
---==,令222
1321()44n n f n nT nx x x -==⋅⋅⋅,则()0f n >; 因为222222132121
2222
13214(1)(1)121441()1()42244n n n n x x x x f n n n n n f n nx x x n n n n
-+-+⋅⋅⋅⋅+++++==⋅=>⋅⋅⋅++ 所以()f n 在*
n N ∈
单调递增的,因此221
1()(1)44()12f n f x ≥==⨯=,所以()1f n ≥,即1
4n T n
≥.
19.(本小题满分13分)如图所示,在多面体111A B D DCBA 中,四边形11AA B B , 11,ADD A ABCD 均为正方形,E 为11B D 的中点,过1A ,,D E 的平面交1CD 于F .
(1)证明:1EF B C <;
(2)求二面角11E A D B --的余弦值.
(1)证明:因为11AA B B ,ABCD 均为正方形,所以11A B CD ∥,因此四边形11
A B CD 是,所
以11A D B C <;而11B C A DE ⊄面,11A D A DE ⊂面,所以11B C A DE 面<,又因为过11,,B C D 平面交1A DE 面于EF ,所以1EF B C <.
(2) 取1B C 中点M ,取1A D 中点H ,连HM ,1HD ,则HM CD <,由四边形11AA B B ,11,ADD A ABCD 均为正方形知1CD A D ⊥,11HD A D ⊥,因此11A D MHD ⊥面,设1MHD 面交EF 于N .连HN ,则
11,A D HN A D HM ⊥⊥,所以MHN ∠为二面角11E A D B --的平面角.
由(1)知1EF B C <,又E 为11B D 的中点,所以N 为1MD 的中点. 设四边形11AA B B ,11,ADD A ABCD 的边长为2,在1Rt MHD 中
,
1112,2MH HD HN MN MD ====
=
. 在MHN 中
,222cos 22HN MH MN MH MHN HN MH HN +-∠===
⋅. 所以二面角11E A D B --
20.(本小题满分13分)设椭圆E 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,点O 为坐标原点,点A 的坐标为(,0)a ,点
B
B D 1
D 1
B D
B
B 的坐标为(0,)b ,点M 在线段AB 上,满足||2||BM MA =,直线OM
的斜率为
10
. (1)求E 的离心率e ;
(2)设点C 坐标为(0,)b -,N 为线段AC 中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7
2
,求E 的方程. 解:(1)由点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为(0,)b ,点M 在线段AB 上,满足||2||BM MA =,知2BM MA =,
即点M 分线段BA 的比为2,所以点2(
,)33
a b
M ;又直线OM
,
所以2b a =,
即a =,由222a b c =+得24
5
e =
,e =.
(2)因为
N 为线段AC 中点,所以(,)2
2
a b N -
即)2
b N -,而直线AB 的方程为1x y
a
b
+=,
即
x +=;
而点N 关于直线AB
的对称点纵坐标为
)
7222
66
b b --=;又点N 关于直线AB 的对称点的
纵坐标为7
2
,所以2b =,因此
, a ==所以
221204x y +=为所求. 21. (本小题满分13分)设函数2
()f x x ax b =-+.
(1)讨论函数(sin )f x 在(,)22
ππ
-
内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; (2)记2
000()f x x a x b =-+,求函数0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22
ππ
-
上的最大值D; (3)在(2)中.取000a b ==,求2
4
a z
b =-满足条件1D ≤时的最大值.
解: (1)令sin ,(,),(1,1)22
t x x t ππ
=∈-∈-, 2()f x x ax b =-+开口向上,对称轴为2a
x =;
1)当
12a ≤-,即2a ≤-时, (sin )f x 在(,)22
ππ
-内是单调递增的; 2)当12
a -<<,即22a -<<时,函数(sin )f x 在2a
t =处取得极小值, 2(sin )4a f x b =-+极小; 3)当12a ≤,即2a ≥ 时, (sin )f x 在(,)22
ππ
-内是单调递减的;
另:2
(sin )sin sin f x x a x b =-+,(sin )2sin cos cos cos (2sin )f x x x a x x x a '=-=-,因为(,)22
x ππ
∈-,
所以cos 0x >,由(sin )cos (2sin )0f x x x a '=-≤得sin 2
a x ≤
. 1)当12a -<<,即22a -<<时,函数(sin )f x 在sin 2
a
x =处取得极小值, 2(sin )4a f x b =-+极小; 2)当2a ≤-时,(sin )f x 在(,)22
ππ
-内是单调递增的;
3)当2a ≥时,(sin )f x 在(,)22
ππ
-
内是单调递减的;
(2) 令sin ,[,],[1,1]22
t x x t ππ
=∈-
∈-, 000000|(sin )(sin )||()()||()||()()|f x f x f t f t a a t b b a a t b b -=-=--+-=---,
所以0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22
ππ-上的最大值0000max{|()()|,|()()()|}2
2
D a a b b a a b b ππ=-------
因为22000000|()
()||()()()|2()()22a a b b a a b b a a b b ππ
π--------=---
所以当00a a b b ≥⎧⎨≥⎩或00a a b b <⎧⎨<⎩时,00|()()|2D a a b b π=-+-;
(3)在(2)中,000a b ==时, max{||,|()22D a b a ππ=--22||||222a a b b ab πππ--+=-;所以当00a b ≥⎧⎨≥⎩或00a b <⎧⎨<⎩因此,当00a b ≥⎧⎨≥⎩或00a b <⎧⎨<⎩时, 由||12a D b π=-≤;当a b <⎧⎨≥⎩如图,当24a z b =-与直线12a b π-=-或12a b π+=把12a b π+=代入24a z b =-得2
2440a a z π-+-=,244(44)0z π--=得244z π+=,因此24a z b =-最大值为244π+.。