36452_辽宁名校2011年领航高考预测试卷(4)数学[内部资料]
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辽宁名校2011年领航高考预测试卷(四)数学[内部资料]
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个
是正确的,将正确答案的代号涂在答题卡上.1
.设函数y =M ,集合{}
2|,N y y x x R ==∈,则M
N 等于()A .φ
B .N
C .[1,)+∞
D .M 2.已知x R ∈,i 为虚数单位,若(12)()43i x i i -+=-,则x 的值等于 ()A .-6
B .-2
C .2
D .63.已知函数()sin126sin(36)cos54cos(36),f x x x x x =-+-则()f x 是 ()A .单调递增函数 B .单调递减函数C .奇函数 D .偶函数4.若数列
{}n a 满足221n n a a d +-=(d 为正常数,n N +∈),则称{}n a 为“等方差数列”.甲:数列{}n a 为等方差数列;乙:数列{}n a 为等差数列,则甲是乙的
() A .充分不必条件 B .必不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件5.m n 、是不同的直线,αβ、是不重合的平面.下列命题为真命题的是 ()A .若m ∥α,m ∥n ,则n α∥ B .若,m n αβ⊥⊥、则
n m ⊥
C .若,,m m αβ⊥∥则αβ⊥
D .若,m αβα⊂⊥,则m β⊥6.若函数
1
()ax f x e b
=-的图象在0x =处的切线l 与圆22:1C x y +=相离,
则(,)Pab 与圆C 的位置关系是
()A .在圆外
B .在圆内
C .在圆上
D .不能确定7.已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)2
1()(x x f x x f x
,则)3log 2(2+f 的值为 ()
A .24
1
B .121
C .6
1
D .3
1
8.已知抛物线2
4y x =上一点,00(,)A x y ,F 是其焦点,若0[1,2]y ∈,则||AF 的范围是
()A .1[
,1]4 B .5[
,2]4
C .[1,2]
D .[2,3]9.设
2
1
(),(1)(2)(2009)f x M f f f x =
=++⋅⋅⋅+则下列结论正确的是 ()
A .1M <
B .4017
2009
M
=
C .M<2
D .4017
2009
M >
10.函数sin y x =和
cos y x =的图象在[0,8]π内的所有交点中,能确定的不同直线的条数是
()A .28
B .18
C .16
D .6
11.已知函数2
()2||f x x x =-,方程|()|f x a =有6个不同的实根.则实数a 的取值范围是
() A .1a <-
B .10a -<<
C .01a <<
D .1a >
12.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,
由下往上的六个点:l ,2,3,4,5,6的 横、纵坐标分别对应数列
{}()n a n N *∈
的前l2项(即横坐标为奇数项,纵坐标为 偶数项),按如此规律下去, 则200920102011a a a ++等于() A .1003 B .1005
C .1006
D .2011
二、填空题:本大题4个小题,每小题5分,共20分.
13.已知某个几何体的三视图如图所示.根据图中标出的尺寸(单位:cm ).可得这个几何体的
体积是3
cm .
14.若函数1
2
2
88
888()1(),f x c x c x c x x R =+++⋅⋅⋅+∈则2log (3)f =. 15.阅读左面的流程图,若输入a=6,b=1,则输出的结果是 16.在不等式组240
30x y x y +-≤⎧⎨
+-≤⎩
所表示的平面区域内,求点(,x y )落在x ∈[1,2]区域内的概率
是.
三、解答题:本大题共6个小题,满分70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演
步骤.
17.(本题满分12)
已知()f x m n =,其中(sin cos ),m x x x ωωω=+
(cos sin ,2sin )(0)n x x x ωωωω=->.若()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于
2
π
. (1)求ω的取值范围
(2)在
ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边.且3,()1a b c f A =+==,当ω最大
时.求
ABC 面积.
18.(本题满分12分)
如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱1111ABCD A B C D -,经平面AEFG 所截后得到的
图形.其中45BAE GAD ∠=∠=,22AB AD ==,60BAD ∠=. (1)求证:BD ⊥平面ADG ;
(2)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 19.(本题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.记录如下: 甲:8281797895889384 乙:9295807583809085
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数.并说明它在乙组数据中的含
义;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合
适?请说明理由;
(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于
80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.E ξ
20.(本题满分12分)
设椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上,1C 的中心和2C 的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求12C 的标准方程;
(2)设直线l 与椭圆1C 交于不同两点,M N 、且0OM ON =,请问是否存在这样的
直线l 过抛物线2C 的焦点F ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
21.(本题满分12分)
已知函数()x
f x e x =-(e 为自然对数的底数). (1)求()f x 的最小值;
(2)不等式()f x ax >的解集为P ,若1|
22M x x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
且M P ≠∅求实数a 的取值范
围;
(3)已知n N *∈,且0()n
n S f x dx =⎰,是否存在等差数列{}n a 和首项为(1)f 公比大于0的等
比数列
{}n b ,使得n n n a b S +=?若存在,请求出数列{}{}n n a b 、的通项公式.若不存在,请说
明理由.
22.选修4—1:几何证明选讲
如图:在Rt ∠ABC 中,AB=BC ,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,连接AE 交⊙O 于点F ,求证:BE CE EF EA ⋅=⋅。
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.
已知曲线C :θ⎩⎨
⎧θ
+=θ
+=(sin 21cos 23y x 为参数,0≤θ<2π),
(Ⅰ)将曲线化为普通方程;
(Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.
24.选修4—5:不等式选讲
若关于x 的不等式1x x a +
-≤有解,求实数a 的取值范围。
参考答案
一、选择题DCDDCBABCBCB 二、填空题 13.
3
414.1615.216.27
三、解答题
17.解:(1)x x x x x f ωωωωsin cos 32sin cos
)(22
+-=
x x ωω2sin 32cos +=)6
2sin(2π
ω+
=x ……………………3分
由题意知
0,2
2>≥ωπ
ωπ.10≤<∴ω……………………6分 (2)由于
=+
=)6
2sin(2)(π
ωA A f 1,由于(1)知ω的最大值为1,
,21)4
2sin(=
+
∴π
A 又,613626πππ<+<A ,6562ππ=+∴A 3
π=∴A 由余弦定理得322
=-+bc c b
,又3=+c b 33)(=-+∴2bc c b
,2=∴bc 2
3
sin 21==
∴∆A bc S ABC ……………………12分 18.(1)证明:在△BAD 中,AB=2AD=2,∠BAD=60°,
由余弦定理得,
BD=3 ∴AD ⊥BD ……………………2分 又OD ⊥平面ABCD
∴GD ⊥BD ,GD AD=D ,∴BD ⊥平面ADG ……………………4分 (2)解:以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz 则有A (1,0,0),B (0,3,0),G (0,0,1),E (0,2,3)
)2,3,1(),1,0,1(-=-=………………6分
设平面AEFG 法向量为),,(z y x m =
则,0
230⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅z y x AE m z x m 取)1.3
3
,1(-
=m …………………………9分 平面ABCD 的一个法向量)1,0,0(==n ………………10分
设面ABFG 与面ABCD 所成锐二面角为θ, 则7
21
||||||cos =
⋅⋅-
n m n m θ
……………………12分 19.解:(1)茎叶图如下:
………………2分
学生乙成绩中位数为84,它是这组数据最中位位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数,中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中。
…………4分 (2)派甲参加比较合适,理由如下:
)535353904801710(81
+++++⨯+⨯+⨯=乙x =85………………5分
])8595()8592()8590(222-+-+-+=35.5
])8595()8592()8590(222-+-+-+=41……………………7分
∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适……………………8分 (3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A , 则4
3
86)
(==
A P ……………………9分 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3, 且ξ服从
B (4
3,3) k=0,1,2,3
ξ的分布列为
4
9642736427264916410=⨯+⨯+⨯+⨯
=∴ξE 12分
(或4
9433=⨯
==np E ξ) 20.解:(1)设抛物线)0(2:2
2≠=p px y C ,则有)0(22
≠=x p x
y ,据此验证5个点知只有(3,32-)、(4,-4)在统一抛物线上,易求x y C 4:2
2= 2分
设)0(:22222>>=+b a b
y a x C ,把点(-2,0)(2,22)代入得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=121214
222b a
a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==14
2
2b a
∴2C 方程为14
22
=+y x
5分
(2)假设存在这样的直线l 过抛物线焦点F (1,0) 设其方程为,1my x =-设),(),,(2211y x N y x M ,
由0=⋅ON OM 。
得(*)02121=+y y x x
7分
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-14
122y x my x 消去x ,得,032)4(22=-++my y m △048162>+=m
∴4
3
,4222
1221
+-=+-=
+m y y m m y y ①
4
44434212222
2+-=+-⋅++-⋅+=m m m m m m m ②9分
将①②代入(*)式,得0434442
22=+-++-m m m ,解得2
1
±=m 11分 ∴ 假设成立,即存在直线l 过抛物线焦点F ,l 的方程为:022=-±y x 12分
21.解:(1)1)(-=x
e x
f 1分 由.0,0)(==x x f 得当0)(,0>>x f x 时;当.0)(,0<<x f x 时
上减在上增在)0,(,),0()(-∞+∞∴x f 1)0()(min ==∴f x f 4分
(2)φ≠⋂P M ,]2,2
1
[)(在区间ax x f >∴
有解
由ax x e ax x f x
>->得,)(即]2,2
1
[1在-<x e a x 上有解6分
① ②
令]2,21[,1)(∈-=x x e x g x 2)1()(x e x x g x -= ,]1,21[)(在x g ∴上减,在[1,2]上增
又12)2(,12)21(2-=
-=e g e g ,且)2
1
()2(g g >12)2()(2max -==∴e g x g
12
2
-<∴e a 8分
(3)设存在公差为
d 的等差数列}{n a 和公比0>q 首项为)1(f 的等比数列}{n b ,使
n n n S b a =+
⎰⎰--=+-
=-==12
1|)21()()(20200n e c x e dx x e dx x f S x n
x x n
n n 10分
211-=
∴a 又2≥n 时,2
1)1(1
1+--=-=+--n e e s s b a n n n n n
故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-++---=-++-=25)1()1(22
12
3)1()1(21
3,222e e q e d e e q e d n 时有
②-①×2得,e e q q 222
2
-=-解得e q e q -==2或(舍) 故1,-==d e q 12分此时n n a n
-=--+-=2
1
)1)(1(21
∴存在满足条件的数列n n n n n s b a b a =+使和},{}{14分
22.选修4-1:几何证明选讲 证明:(方法一)因为︒=∠∆90,ABC ABC Rt 中 所以CB OB ⊥
所以CB 为⊙O 的切线2分 所以EB 2=EF ·FA5分
连结OD ,因为AB=BC 所以︒=∠45BAC 所以︒=∠90BOD
在四边形BODE 中,︒=∠=∠=∠90BED OBE BOD 所以BODE 为矩形7分 所以.2
1
21BC AB OB OD BE ==== 即.CE BE =
所以.EA EF CE
BE ⋅=⋅10分
(方法二)因为︒=∠∆90,ABC ABC Rt 中 所以CB OB ⊥,所以CB 为⊙O 的切线2分 所以EB 2=EF ·FA5分
连结BD ,因为AB 是⊙O 的直径, 所以.AC BD ⊥
又因为AB=BC , 所以AD=BD=DC 。
7分 因为⊥DE BC ,所以BE=CE 。
所以.EA EF CE
BE ⋅=⋅10分
23.(Ⅰ)02322
2
=--+y x y x
…5分 (Ⅱ)(
)
θ+θ=ρsin cos 32
…10分
24.选修4-5:不等式选讲
解:(方法一)当x ≥1时,不等式化为x +x -1≤a ,即x ≤2
1a
+.……………2分 此时不等式有解当且仅当1≤
2
1a
+,即a ≥1.………………………………………4分
当x <1时,不等式化为x +1-x ≤a ,即1≤a .…………………………………………6分
此时不等式有解当且仅当a ≥1.………………………………………………………8分 综上所述,若关于x 的不等式1-+
x x ≤a 有解,
则实数a 的取值范围是[
)+∞,1.……………………………………………………10分 (方法二)设)1)(-+=x x x f ,则()⎩
⎨⎧≥-=.1,1),
1(,12)( x x x x f ………………………5分
)(x f 的最小值为1。
……………………………………………………………………7分
因为1-+
x x ≤a 有解,即)(x f ≤a 有解,所以a ≥1。
…………………………10分。