2019春九年级数学下册 第二章 二次函数 小专题(四)二次函数的应用课时作业 (新版)北师大版

小专题(四)二次函数的应用
本专题包括求图形面积的最值问题、求抛物线形运动问题、求抛物线形建筑物问题、求销售中最大利润问题,是中考常考的题型,特别是利润问题,是近年考查的热点题型.
类型1求面积(体积)的最值问题
1.如图,有一块边长为6 cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,
再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是
cm2.
2.有一块直角三角形铁皮余料,BC=1 m,∠A=30°.李老师想在这块三角形剩料中挖取一块最
大矩形料做演示用.请你帮李老师计算所取得最大矩形料的面积为 m2,这时CE=
m,CF= m.
3.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体.其中,抽屉底面周长为180 cm,高为20 cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)
解:已知抽屉底面宽为x cm,则底面长为(90-x) cm.
由题意得y=x(90-x)×20=-20(x2-90x)=-20(x-45)2+40500,
当x=45时,y有最大值,最大值为40500.
答:当抽屉底面宽为45 cm时,抽屉的体积最大,最大体积为40500 cm3.
4.工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长为多少时,总费用最低,最低为多少?
解:(1)如图所示.
设裁掉的正方形的边长为x dm,
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,
即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去).
答:裁掉的正方形的边长为2 dm时,长方体底面面积为12 dm2.
(2)由题意得10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5,
设总费用为w元,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,
∵对称轴为直线x=6,开口向上,
∴当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,
∴当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元.
答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.
类型2求抛物线形运动问题
5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1 m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式
y=a(x-4)2+h,已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.
(1)当a=-时,①求h的值;②通过计算判断此球能否过网.
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m,离地面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.
解:(1)①当a=-时,y=-(x-4)2+h,
将点P(0,1)代入,得-×16+h=1,解得h=.
②把x=5代入y=-(x-4)2+,得y=-×(5-4)2+=1.625,
∵1.625>1.55,∴此球能过网.
(2)把(0,1),代入y=a(x-4)2+h,
得16a+h=1,9a+h=,
解得a=-.
6.李刚在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线y=-x2+x,其中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2 m.
(1)请写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴;
(2)请求出球飞行的最大水平距离;
(3)若李刚再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其表达式.
解:(1)y=-x2+x=-(x-4)2+,
∴抛物线y=-x2+x开口向下,顶点为,对称轴为直线x=4.
(2)令y=0,得-x2+x=0,解得x1=0,x2=8.
∴球飞行的最大水平距离是8 m.
(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10 m,
∴抛物线的对称轴为直线x=5,顶点为.设此时对应的抛物线的表达式为
y=a(x-5)2+,
又∵点(0,0)在此抛物线上,∴25a+=0,解得a=-,
∴此时球飞行路线应满足的抛物线的表达式为y=-(x-5)2+,即y=-x2+x.
类型3求抛物线形建筑物问题
7.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米.求校门的高.(结果精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)
解:以大门地面为x轴,它的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则抛物线过
(-4,0),(4,0),(-3,4)三点.
∵抛物线关于y轴对称,可设表达式为y=ax2+c,则解得a=-,c=,
∴表达式为y=-x2+.
∴顶点坐标为.∴校门的高为≈9.1(米).
8.图中是抛物线拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,从O,A两处观测P处,仰角分别为α,β,且tan α=,tan β=,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)求点P的坐标;
(2)水面上升1 m,水面宽多少?(取1.41,结果精确到0.1 m)
解:(1)过点P作PH⊥OA于点H,如图.
设PH=3x,在Rt△OHP中,
∵tan α=,∴OH=6x.
在Rt△AHP中,
∵tan β=,∴AH=2x,
∴OA=OH+AH=8x=4,∴x=,
∴OH=3,PH=,点P的坐标为.
(2)若水面上升1 m后到达BC位置,如图,
过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的表达式可设为y=ax(x-4),∵P在抛物线y=ax(x-4)上,
∴3a(3-4)=,解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-x(x-4).
当y=1时,-x(x-4)=1,
解得x1=2+,x2=2-,
∴BC=(2+)-(2-)=2≈2.8.
答:水面上升1 m,水面宽约为2.8 m.
9.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为 m,到墙边OA的距离分别为 m, m.
(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案?
解:(1)根据题意,得B,C,
把B,C的坐标代入y=ax2+bx,得
解得
∴拋物线的函数关系式为y=-x2+2x.
∴图案最高点到地面的距离为=1 m.
(2)令y=0,得-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,
∵10÷2=5,
∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线形图案.
类型4求销售中的最大利润问题
10.(黄石中考)小明同学在一次社会实践活动中,通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律:
①该蔬菜的销售价P(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)满足关系:P=9-x.
②该蔬菜的平均成本y(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)满足二次函数关系y=ax2+bx+10,已知4月份的平均成本为2元/千克,6月份的平均成本为1元/千克.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)请运用小明统计的结论,求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位:元/千克)最大?最大平均利润是多少?(注:平均利润=销售价-平均成本)
解:(1)将x=4,y=2和x=6,y=1代入y=ax2+bx+10,
得解得
∴y=x2-3x+10.
(2)根据题意,知L=P-y=9-x-x2-3x+10=-(x-4)2+3,
∴当x=4时,L取得最大值,最大值为3.
答:4月份的平均利润L最大,最大平均利润是3元/千克.
11.某企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关
系:y=
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?
解:(1)若7.5x=70,得x=>4,不符合题意,
∴5x+10=70,解得x=12.
答:工人甲第12天生产的产品数量为70件.
(2)由函数图象知,当0≤x≤4时,P=40;
当4<x≤14时,设P=kx+b,
将(4,40),(14,50)代入,得4k+b=40,14k+b=50,
解得k=1,b=36,∴P=x+36.
①当0≤x≤4时,W=(60-40)×7.5x=150x,
∵W随x的增大而增大,
∴当x=4时,W最大=600元;
②当4<x≤14时,W=(60-x-36)(5x+10)=-5x2+110x+240=-5(x-11)2+845,∴当x=11时,W最大=845,
∵845>600,
∴当x=11时,W取得最大值,最大值为845元.
答:第11天时,利润最大,最大利润是845元.。