用特殊法巧解一类抽象函数问题
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用特殊法巧解一类抽象函数问题
总结出一般性的结论,这一过程体现的是从“特殊到一般”的思维过程.抽象函数体现的即为一类函数的一般性特征,在解决有关抽象函数的问题时,若能将其转变为具体的函数,实现“一般到特殊”的思维逆转,进而对其解析式研究,则可使问题简化.下面举例说明.
例1 (2022年东北三省三校联合模拟)设函数f(x)的导函数为f ′(x),若对任意x∈R都有f ′(x)>f(x)成立,则正确的结果是().
A.f(ln2022)<2022f(0)
B.f(ln2022)=2022f(0)
C.f(ln2022)>2022f(0)
D.以上结论不确定
分析^p 与解答函数f(x)为满足对任意x∈R都有f ′(x)>f(x)的抽象函数,而题目结论是f(ln2022)与2022f(0)的大小关系,此时若是能求出f(ln2022)与2022f(0)的值,则可以得出结论,即若能知道函数f(x)的解析式,便可解决此题.由于要满足f ′(x)>f(x),而对于常值函数f(x)=a(a为常数),恒有f ′(x)=0.若a<0,则有f ′(x)=0>f(x)=a,此时便可得到结论.所以不妨令f(x)=-1,则对任意x∈R都有f ′(x)>f(x),
则f (ln2022)=-1,2022f(0)=-2022.因为-1>-2022,所以f(ln2022)>2022f(0),故答案选C.
评注此题存在f(ln2022),结合题目中的条件可令f (x)=-e-x,有f ′(x)=e-x,满足f ′(x)>f(x).此时f(ln2022)=-12022,2022f(0)=-2022.因为-12022>-2022,所以f(ln2022)>2022f(0).由此可得,特殊化的形式并不一定是唯一的,通常若抽象函数能具体为常值函数,就将其特殊成为常值函数,可使运算变简便.
例2 (2022年全国)设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf ′(x)-f (x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是().
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B. (-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D. (0,1)∪(1,+∞)
分析^p 与解答由于f(x)是奇函数,则不能考虑常值函数,若将函数具体成三角函数比较困难,所以可以考虑将函数具体成多项式.若考虑一次函数,则不满足条件:当x>0时,xf ′(x)-f(x)<0,结合已知条件,函数的每一项的次数应该为奇数,则可令f(x)=-x3+x.解f(x)=-x3+x>0易得x<-1或0<x<1,故选A.
评注当抽象函数无法具体成常值函数时,要结合题目中的已知条件,选择合适的函数模型.
例3 (2022年全国)已知偶函数f(x)在A.a>b>c
B.c>a>b
C.c>b>a
D. a>c>b
分析^p 与解答此题函数y=f(x)在R上满足f ′(x)-f(x)>0,但由于函数为奇函数,所以无法将其特殊为常值函数.但观察到题目中存在f(ln2)与f(ln3),结合函数的性质,则可令f(x)=ex-e-x,所以a=f(ln3)3=3-
1/33=89,b=f(ln2)2=2-122=34,
c=-ef(1)=-e(e-1e)=1-e2.因为89>34>1-e2,则
a>b>c,故答案选A.
例5 定义在R上的函数f(x)关于点(1,1)中心对称,又是偶函数,那么在区间内,方程f(x)=1至少有实数根.
分析^p 与解答此题中的函数f(x)既是中心对称函数,又是偶函数,显然不能化为常值函数模型,但可联系到正、余弦函数模型.由于函数f(x)是关于点(1,1)中心对称的偶函数,不妨令f(x)=cosπx2+1,而f(x)=1即f (x)=cosπx2+1=1,有cosπx2=0,又x∈,则x=1,3,5,7,9,即有五个实数根.
当在选择题与填空题中遇到有关抽象函数的问题时,可以根据题目中的已知条件将其特殊为具体的函数,通常先观察函数能否化为常值函数.若能,则将其具体为一个常值函数,若
不能,则可根据题目中的条件确定合适的函数模型,将其解析式确定下来,再对其进行研究.。