高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性与周期性课时作业文(含解析)

第三节函数的奇偶性与周期性
1. (2013 •广东卷)定义域为R的四个函数y = x3, y= 2x, y= x2+ 1, y = 2sin x 中，奇函数的个数是()
A. 4 B . 3 C . 2 D . 1
3
解析：四个函数中，y = x和y= 2sin x是奇函数.故选 C.
答案：C
sin x
2.
(2013 •山东滨州一模)函数y = ——,x € ( -n, 0) U (0 ,n )的图象大致是()
x
sin x
解析：函数y= ----------- ,x€ (-n, 0) U (0 ,n )为偶函数，所以图象关于y轴对称，排
x
sin x
除B, C.当x^n 时，y =------------- 0,故选 A.
x
答案：A
3. (2013 •辽宁辽源模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x) + g(x)
=a - a x+ 2(a>0 且1)，若g(2) = a，则f(2)等于()
17 15
A. 1 2
B. -
C. 7 D . a
解析：将f(x) + g(x) = a x- a-x+ 2 中的x 用一x 代替得f( —x) + g( —x) = a-x- a x+ 2, 由函数的奇偶性可得—f(x) + g(x) = a-x- a x+ 2,将两式相加和相减可得g(x) = 2, f(x) = a x —a %,因为g(2) = a,所以a= 2,则有f(2) = 2 —2 2=厶.
答案：C
x
1 2 3
A. 2
B. 3
C. 4 D . 1
解析：方法一由已知得，f(x)的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为
1 1
2且x^a ,••• a= 2故选A.
4. 若函数f(x)= 为奇函数，则a=( )
(2x + 1) (x - a)
方法二•/f(x)是奇函数，••• f( —X)=- f(x).
X —X —X
又f(x) =2X2+( 1 —2a) x—a，贝"2x2—( 1 —2a) x—a=2x'+( 1 —2a) x—a在函数的
1
定义域内恒成立，可得a=空故选A.
答案：A
5. 已知函数f(x) = lg(1 —x) + lg(1 + x) , g(x) = lg(1 —x) —lg(1 + x)，则()
A. f(x)与g(x)均为偶函数
B. f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C. f(x)与g(x)均为奇函数
D. f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
解析：两个函数的定义域均为(一1, 1)，贝U f( —x) = lg(1 + x) + lg(1 —x) = f(x)，所以函数f(x)为偶函数；又g( —X) = lg(1 + X) —lg(1 —X) =—g(x)，所以函数g(x)为奇函数，故选D.
答案：D
6. (2013 •浙江重点中学协作体摸底测试)函数f(x) = |x3+ 1| + |x3—1|，则下列坐标表
示的点一定在函数f(x)图象上的是()
A. (—a，一f(a)) B . (a , f( —a))
C. (a ,—f(a)) D . (一a，—f(一a))
解析：函数的定义域为R,且满足f(x) = f( —x),
• f(x)为偶函数.
• f(a) = f( —a).而点(a , f(a))在函数图象上，
• (a , f( —a))也在函数图象上.故选 B.
答案：B
7. (2014 •湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = x2—3x，则函
数g(x) = f(x) —x + 3的零点的集合为()
A. {1 , 3} B . {—3,—1, 1 , 3}
C. {2 —.7, 1, 3} D . { —2—.7, 1 , 3}
解析：设x v 0，则一x> 0.所以f(x) =—f( —x) =—[( —x) —3( —x)] = —x —3x.求函数g(x) = f(x) —x + 3的零点等价于求方程f(x) = —3+ x的解，当x》0时，x2—3x =—3 + x, 解得X1= 3, X2= 1 ；当x v 0 时，一x2—3x=—3+ x，解得X3=— 2 —7,故选 D.
答案：D
点评：求函数的零点等价于求方程的根，等价于求两个函数图象的交点的横坐标，此题还可以通过画图求解.注意“零点”不是“点”，是一个数值.
&已知定义在 R 上的奇函数f(x)满足f(x + 2) = - f(x)，则f(6)的值为 _________________ .
解析：由已知等式得f(x + 4) =- f(x + 2) = f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所 以 f(6) =
f(2)，由 f(x + 2) =- f(x)得 f(2) =- f(0)，因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0) =0,所以 f(6) = 0.
答案：0 1
9.
函数f(x)对于任意实数 x 满足条件f(x + 2) = ^-x —，若f(1) =- 5,
贝U f(f(5))
T -
X 丿
1
答案：-
5
2a — 3
10. 设f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若 f(1)>1 , f(2 015)= ，则实 a 十1
数a 的取值范围是 __________ .
解析：•/f(2 015) = f(2) = f( — 1) =-f(1)< — 1, 2a - 3 — 2
••• ------- <- 1,解得—1<a< . a 十1 3
• 1< a < 3.故实数a 的取值范围是(1 , 3].
12. (2 013 •四川泸州模拟)设f(x)是(—8,十8 )上的奇函数，f(x 十2) =— f(x)，当 0< x wi 时，f(x) = x.
(1)求f( n )的值；
⑵ 当一4W X W4时，求f(x)的图象与x 轴所围图形的面积.
解析：⑴由f(x 十2) =— f(x)，得 f (x + 4) = f[(x + 2) + 2] =-f(x + 2) = f(x), 所以f(x)是以4为周期的函数，从而得
f( n ) = f( — 1 X 4+n ) = f( n — 4) = — f(4 —n ) =— (4 — n ) = n — 4.
⑵ 由 f(x)是奇函数与 f(x + 2) =— f(x),得 f[(x — 1) + 2] =— f(x — 1) = f[ — (x — 1)], 即 f(1
+ x) = f(1 — x).
故知函数y = f(x)的图象关于直线x = 1对称.
又O w x wi 时，f(x) = x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)的图象如图所示.
期的函数, f(5) = f(1)
=-5, f( — 5) = f(
1 1)
= f (- 1十 2)
1 f ( 1)
结合f(x)的图象知
a — 2>—
1,
a — 2< 1.
1
则 S = 4S\OAB = 4X 2X 2X1 = 4.
1 1
解析：由f(x + 2) = f (—,得f(x + 4) = f (丄2 — = f(x),所以函数f(x)是以4为周
T - x
丿
T -
x 十1 2丿
2 答案：—1, 3
11. 已知函数 f(x) = { — x 2+ 2x , x>0, 0, x = 0, x 2 十 mx x<0是奇函数. (1) 求实数m 的值；
(2) 若函数f(x)在区间［—1, a — 2］上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解析：⑴ 易知 f(1) = 1, f( — 1) = 1-m,又T f(x)是奇函数，• f( —
1) =-f(1) .•I
—m= — 1. • m= 2.
(2)要使f(x)在［—1, a - 2］上单调递增，
当—4w x <4 时,。