深圳罗湖区明珠学校九年级上册期末精选试卷检测题

深圳罗湖区明珠学校九年级上册期末精选试卷检测题
一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）
1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒
（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积
的7
9
，求t的值；
（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．
【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 4
7
7
58．
【解析】
【分析】
（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD
的面积和是△ABC的面积的7
9
，列出方程、解方程即可解答；
（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】
（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝1
2
×6×6＝18，
∵AP＝t，CP＝6﹣t，
∴△PBC与△PAD的面积和＝1
2t2+
1
2
×6×（6﹣t），
∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的7
9
，
∴1
2t2+
1
2
×6×（6﹣t）＝18×
7
9
，
解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，
①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣1
2
t2＝
7
2
t2＝8，
解得：t1＝4
7
7
，t2＝﹣
4
7
7
（不合题意，舍去），
②如图2，当2≤t≤3时，S＝1
2
×6×6﹣
1
2
t2﹣
1
2
（6﹣2t）2＝12t﹣
2
5
t2＝8，
解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝4
5
（不合题意，舍去），
③如图3，当3≤t≤6时，S＝1
2
6×6﹣
1
2
t2＝8，
解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），
综上，t的值为4
7
7或25时，重叠面积为8．
【点睛】
本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.
2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.
【详解】
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，
()2
517.2x +=，
解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：
5 5.6%0.44
100%10%7.2
⨯+⨯=，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.
3．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？
【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】
（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】
（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+
10
x
×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0． 解得：x 1=30，x 2=80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：400﹣80=320（元），320
100%80%400
⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．4．计算题
（1）先化简，再求值：
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
）
=
22
2
11 11 x x
x x
-+
÷
--
=
()() 2
2
11 1
x x
x
x x
+-
⋅
-
=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
1
2a b c c b
a
++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-=，∴二次函数的
解析式为2
23y x x =--+=2
(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2
230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作
PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =
12OB•OC+12AD•PD+1
2(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222
x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222
x y -+ =
2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-
时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，2
23y x x =--+=154，此时P
（32
-
，15
4）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
6．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2
0x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣
2
b ＜0． 【解析】 【分析】
（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；
（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】
解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，
即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，
∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，
即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），
∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣
b a
， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122
x x
+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a
-）， ∵直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线，
∴点（2b a -，2b
a -）在直线y ＝﹣x+2121
a +上， ∴2b
a -
＝21221
b a a ++
∴﹣b ＝
2
21
a a ≤
+4，（当a ＝2
时取等号）
∴0＜﹣b ≤
4
，
≤b ＜0，
即b的取值范围是﹣
2
4
≤b＜0．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；
(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
（探究）
（1）证明：OBC≌OED；
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）x=4，16
【解析】
【分析】
（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明
OBC≌OED即可；
（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】
（1）证明：连接EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°
由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE
∴∠DEF＝90°
又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，
∴四边形ADEF是矩形
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形
∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°
∵AD＝BC，
∴BC＝DE
由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°
∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．
∴OC＝OD．
在△OBC与△OED中，
BC DE
BCO FDE
OC OD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
，
，
∴△OBC≌△OED（SAS）；
（2）连接EF、BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8．
由（1）知，BC＝DE
∵BC＝x，
∴DE＝x
∴CE＝8－x
由（1）知△OBC≌△OED
∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．
∵∠OED＋∠OEC＝180°，
∴∠OBC＋∠OEC＝180°．
在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．
在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．
在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．
∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．
∴y＝x2－8x＋32
∴当x=4时，y有最小值是16．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
8．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.
例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)
(0)x x y x x ≥⎧=⎨
-<⎩
. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2
1
42
y x x =-+-
. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2
1
42
y x x =-+-
的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-
⎪⎝⎭、9,12⎛⎫
⎪⎝⎭
，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数2
4y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.
【答案】（1）1；（2）①2225- ；②max 432y =
，min 1
2
y =-；（3）31n -<≤-，5
14
n <≤
【解析】 【分析】
（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；
（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+
1
2
，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-
1
2
，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】
解：（1）根据题意，
一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)
5,(0)
ax x y ax x -≥⎧=⎨
-+<⎩，
∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则
(5)510a -⨯-+=，
∴1a =；
（2）根据题意，二次函数2
142y x x =-+-的相关函数为2
214,(0)214,(0)
2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩
，
①当m ＜0时，将B （m ，
32）代入y=x 2-4x+1
2得m 2-4m+1322
=，
解得：
m=2 当m≥0时，将B （m ，
32
）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=3
2，
解得：
或
m=2．
综上所述：
m=2-或
m=2+或
m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+
1
2
，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2
143(3)4(3)22
y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为
432
． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 1
2-
，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-
， 当x=2时，有最大值，最大值y=
72
． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-
的相关函数的最大值为43
2，最小值为12
-；
（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．
∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （1
2
-，1）， ∴
14+2-n=1，解得：n=54
． ∴1＜n≤
5
4
时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54
． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．
9．如图，已知抛物2
(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且
OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12
x =
． (1)求抛物线的解析式；
(2) 在x 轴上方有一点P ， 连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠， 记PBC ∆的面积为S ， 求当10.5S =时点P 的坐标
(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的
10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点
,,C B P ''为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．
【答案】（1）211
322
y x x =--（2）(2,6)（3）19或32 【解析】 【分析】
（1）确定点A 的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；
（2）确定直线AP 的解析式，用m 表示点P 的坐标，由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解；
（3）先确定点P 的坐标，当'''90B PC ∠=，利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标，利用''2B C PE =建立方程求解，当''''90PC B ∠=时，确定点G 的坐标，进而求出直线''C G 的解析式，得出点''C 的坐标即可得出结论． 【详解】
（1）∵OC OB =，且B 点坐标为(3,0)， ∴C 点坐标为(0,3)-．
设抛物线解析式为2
1
()2
y a x k =-+．
将B 、C 两点坐标代入得2504
134a k a k ⎧
=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得12258a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
．
∴抛物线解析式为22112511
()-322822
y x x x =
-=--． （2）如图1，设AP 与y 轴交于点'C ．
∵PAB CAB ∠=∠，OA OA =，90AOC AOC ∠'=∠=︒， ∴AOC ∆≌AOC ∆'， ∴3OC OC ='=， ∴(0,3)C '． ∵对称轴l 为直线12
x =
，
∴(2,0)A
-， ∴直线AP 解析式为3
32
y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ， ∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴31
3(3)622PF x x x =
+--=+， ∴13
924
PBC S OB PF x ∆=
⨯⨯=+， ∵10.5S =，∴3
910.54
x +=， ∴2x =．
此时P 点的坐标为(2,6)．
（3）如图2，由211
-322
3
32
y x x y x ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩得6,12P （），
当90C PB ∠=''︒时，取''B C 的中点E ，连接PE ． 则2B C PE ''=,即224B C PE =''． 设1122(,),(,)B x y C x y ''．
由211-322y x x y x t
⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t --+=， ∴12123,(26)x x x x t +==-+， ∴点33
(,
)22
E t +，
22222
1212121212
()()2()2()41666
B C x x y y x x x x x x t
⎡⎤
=-+-=-+-=+
⎣
=⎦
''，2222
33261
(6)(1221
222
PE t t t
=-+-=-+
），
∴2
261
16664(21)
2
t t t
+=-+，
解得：19
t=或6（舍去），
当90
PC B''''
∠=︒时，延长C P''交BC于H，交x轴于G．
则90,45
BHG PGO
∠=︒∠=︒，
过点P作PG x
⊥轴于点Q，则12
GQ PQ
==，
∴(18,0)
G，
∴直线C G
''的解析式为18
y x
=-+，
由
2
11
-3
22
-18
y x x
y x
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=+
⎩
得
7
25
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
6
12
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
（舍去），
∴(7,25)
C'-
'，
将(7,25)
C'-
'代入y x t
=+中得32
t=．
综上所述，t的值为19或32．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣
1
2
x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣
1
2
x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN
与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN ＝7．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求点N的坐标．
（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝
1
2
时，求点F的坐标．
（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．
【答案】（1）y＝﹣
1
2
x2+
3
2
x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（
17
3
，﹣
50
9
）；（4）
2
535
,0
45
3593535
,(
4
35935
5)
4
t t
S t
t
⎧⎛⎫
≤≤
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
=-<≤
+<≤
．
【解析】
【分析】
（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）抛物线的对称轴为：x＝
3
2
，点N的横坐标为：
37
5
22
+=，即可求解；
（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；
（4）分0≤t
3535
＜t
3535＜t5
【详解】
解：（1）直线y＝﹣
1
2
x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），
则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣
1
2
x2+bx+2，
将点C坐标代入上式并解得：b＝3 2
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣
1
2
x2+
3
2
x+2…①；
（2）抛物线的对称轴为：x＝
3
2
，
点N的横坐标为：
37
5
22
+=，
故点N的坐标为（5，-3）；
（3）∵tan∠ACO＝
21
42
AO
CO
==＝tan∠FAC＝
1
2
，
即∠ACO＝∠FAC，
①当点F在直线AC下方时，
设直线AF交x轴于点R，
∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，
设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝
3
2
，
即点R的坐标为：（
3
2
，0），
将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：
2
3
2
n
m n
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得：
4
3
2
m
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
故直线AR的表达式为：y＝﹣
4
3
x+2…②，
联立①②并解得：x＝
17
3
，故点F（
17
3
，﹣
50
9
）；
②当点F在直线AC的上方时，
∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，
则点F ′（3，
2）；
综上，点F 的坐标为：（3，2）或（
173，﹣509
）； （4）如图2，设∠ACO ＝α，则tanα＝1
2
AO CO =，则sinα＝5，cosα＝5；
①当0≤t ≤
35
时（左侧图）， 设△AHK 移动到△A ′H ′K ′的位置时，直线H ′K ′分别交x 轴于点T 、交抛物线对称轴于点S ，
则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ， 则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，
则DT ＝'5
2co 5
c s os L HH T t αα===，DS ＝tan DT α
， S ＝S △DST ＝12⨯DT ×DS ＝2
54
t ； 35＜t 35
时（右侧图），
同理可得：
S ＝''DGS T S 梯形＝12
⨯DG ×（GS ′+DT ′）＝12⨯3+（52t +52t ﹣32）＝35924
-； 35
＜t 53594
+； 综上，S ＝2535,023593535,(245435935(5)10
44t t t t t t ⎧⎛≤≤⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎪
⎨-<≤⎪⎪
⎪+<≤⎪⎩．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．
三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
11．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2
y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与
OAB ∆的边分别交于M ，N 两点，将AMN ∆以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '∆． 设点P 的纵坐标为m ．
①当A MN '∆在OAB ∆内部时，求m 的取值范围；
②是否存在点P ，使'
5
6
A MN OA
B S S ∆'∆=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】()2
1y x 22x =-++；（2）①433
m <<；②存在，满足m 的值为619-或
639
-． 【解析】 【分析】
（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】
解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后得到OB ，
∴OA=OB ，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠BOE ，
∴△AOD ≌△BOE ，
∴AD=BE ，OD=OE ，
∵顶点A 为（1，3），
∴AD=BE=1，OD=OE=3，
∴点B 的坐标为（3，1-），
设抛物线的解析式为2
(1)3=-+y a x ，
把点B 代入，得 2(31)31a -+=-，
∴1a =-，
∴抛物线的解析式为2
(1)3y x =--+，
即222y x x =-++；
（2）①∵P 是线段AC 上一动点，
∴3m <，
∵当A MN '∆在OAB ∆内部时，
当点'A 恰好与点C 重合时，如图：
∵点B 为（3，1-），
∴直线OB 的解析式为13y x =-
， 令1x =，则13
y =-， ∴点C 的坐标为（1，1
3-），
∴AC=1103()33
--=
， ∵P 为AC 的中点，
∴AP=1105233⨯=， ∴54333
m =-=， ∴m 的取值范围是
433m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：
∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），
∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3），
∴'3A P m =-，18'(23)233
A C m m =-+=-， 设直接OA 为y ax =，直线A
B 为y kx b =+，
分别把点A ，点B 代入计算，得
直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+， 令y m =，
则点M 的横坐标为3m ，点N 的横坐标为52m --， ∴5552326
m m MN m -=-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224A MN S MN A P m m m m ∆=
•=•-•-=-+； '138'3(2)34223
OA B S A C m m ∆=••=•-=-； 又∵'56A MN OA B S S ∆'∆=
， ∴255155(34)12246
m m m -+=⨯-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）；
当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：
把y m =代入13y x =-
，则3x m ， ∴5553222m MN m m -=+=+-，18'(23)233
A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424A MN S MN A P m m m m ∆=
•=•+•-=-++， '138'3(2)43223
OA B S A C m m ∆=••=•-=-， ∵'56A MN OA B S S ∆'∆=
，
∴255155(43)4246
m m m -++=⨯-， 解得：6393m -=
或6393m +=（舍去）； 综合上述，m 的值为：619m =-或6393
m -=
． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P 的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．
12．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转
(090)αα<<角度，如图2所示．
()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥；
()2当BD 与CD 在同一直线上（如图3）时，求AC 的长和α的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）7，
725
． 【解析】
【分析】 (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明AOC BOD ≅，得出AC=BD ， 延长BD 交AC 于E ，证明∠AEB=90︒，从而得到BD AC ⊥.
(2) 如图3中，设AC=x ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出x ，再根据sinα=sin ∠ABC=AC AB
即可解决问题
【详解】 ()1证明：如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ．
∵90AOB COD ∠=∠=，
∴AOC DOB
∠=∠，
在AOC和BOD中，
OA OB
AOC BOD
OC OD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴AOC BOD
≅，
∴AC BD
=，CAO DBO
∠=∠，
∵90
DBO GOB
∠+∠=，
∵OGB AGE
∠=∠，
∴90
CAO AGE
∠+∠=，
∴90
AEG
∠=，
∴BD AC
⊥．
()2解：如图3中，设AC x=，
∵BD、CD在同一直线上，BD AC
⊥，
∴ABC是直角三角形，
∴222
AC BC AB
+=，
∴222
(17)25
x x
++=，
解得7
x=，
∵45
ODC DBO
α
∠=∠+∠=，45
ABC DBO
∠+∠=，
∴ABC
α
∠=∠，
∴
7
sin sin
25
AC
ABC
AB
α=∠==．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.
13．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________；
问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
【答案】（17；（25
【解析】
试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.
(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.
（17
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′2；
连接PP′，在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′2，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP5
∵2
22
125
+，即AP′2+PP′2=AP2；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠B PC=∠AP′B=135°．
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB5
∴∠BPC=135°5
点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.
14．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,
(1)在图1中证明小胖的发现；
借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：
(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =1
2 m°.
【解析】
分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；
（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明
△ABD≌△CBE即可解决问题；
（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到
M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=1
2 m°.
详（1）证明：如图1中，
∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠DAB=∠EAC ，
在△DAB 和△EAC 中，
AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ，
∴BD=EC ．
（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE
．
∵DB=DE ，∠BDC=60°，
∴△BDE 是等边三角形，
∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBE ，
∵AB=BC ，
∴△ABD ≌△CBE ，
∴AD=EC ，
∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ．
∴AD+CD=BD ．
（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．
由（1）可知△EAB ≌△GAC ，
∴∠1=∠2，BE=CG ，
∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ，
∴△EDB ≌△MDC ，
∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，
∵∠EBC=∠ACF ，
∴∠MCD=∠ACF ，
∴∠FCM=∠ACB=∠ABC ，
∴∠1=3=∠2，
∴∠FCG=∠ACB=∠MCF ，
∵CF=CF ，CG=CM ，
∴△CFG ≌△CFM ，
∴FG=FM ，
∵ED=DM ，DF ⊥EM ，
∴FE=FM=FG ，
∵AE=AG ，AF=AF ，
∴△AFE ≌△AFG ，
∴∠EAF=∠FAG=12
m°． 点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．
15．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，以点A 为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD ，旋转角为(0180)αα<<，得到矩形AEFG ，点B 、点C 、点D 的对应点分别为点E 、点F 、点G ．
()1如图①，当点E 落在DC 边上时，直写出线段EC 的长度为______；
()2如图②，当点E 落在线段CF 上时，AE 与DC 相交于点H ，连接AC ，
①求证：ACD ≌CAE ；
②直接写出线段DH 的长度为______．
()3如图③设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，在矩形ABCD 旋转过程中，BEP 的面
积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）23；（2）①见解析；34
②
；（3）存在，PBE 的面积的最大值为21，
理由见解析 【解析】 【分析】 ()1如图①中，在Rt ADE 中，利用勾股定理即可解决问题；
()2①证明：如图②中，根据HL 即可证明ACD ≌CAE ；
②如图②中，由ACD ≌CAE ，推出ACD CAE ∠∠=，推出AH HC =，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，根据222AD DH AH +=，构建方程即可解决问题； ()3存在.如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M.由题意：PF PC 1==，由AG EF 1==，G F 90∠∠==，推出PA PE 2==PBE 12S PE BM 22
=⋅⋅=，推出当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，求出BM 的最大值即可解决问题；
【详解】 ()1四边形ABCD 是矩形，
AB CD 2∴==，BC AD 1==，D 90∠=， 矩形AEFG 是由矩形ABCD 旋转得到，
AE AB 2∴==，
在Rt ADE 中，22DE 213=-=
CE 23∴=，
故答案为23．
()2①当点E 落在线段CF 上，
AEC ADC 90∠∠∴==，
在Rt ADC 和Rt AEC 中，
{AC CA CD AE ==， Rt ACD ∴≌()Rt CAE HL ；
ACD ②≌CAE ，
ACD CAE ∠∠∴=，
AH HC ∴=，设AH HC m ==，
在Rt ADH 中，222AD DH AH +=，
2221(2m)m ∴+-=，
5m 4
∴=， 53DH 244∴=-
=， 故答案为34
； ()3存在．理由如下：
如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M ，
由题意：PF PC 1==，
AG EF 1==，G F 90∠∠==，
PA PE 2∴==
PBE 12S PE BM BM 22
∴=⋅⋅=， ∴当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，
BM PB ≤，PB AB PA ≤+，
PB 22∴≤，
BM 22∴≤
BM ∴的最大值为22+
PBE ∴21．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
四、初三数学圆易错题压轴题（难）
16．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．
（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．
（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．
（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．
【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；
（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；
（3）点D、E均在抛物线上；
（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．
【解析】
试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；
（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；
（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．
试题分析：（1）∵⊙C经过原点O
∴AB为⊙C的直径。