【
数值计算方法试题一
一、 填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211
0)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，
则
a =( )，
b =（ ），
c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
0)(( )，
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((
)，当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n k k
( )。
；
5、设1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f
和=∆07
f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞
=0)(k k
x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=
1
4)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨
⎧=+-=-2211
21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题
00
(,)()y f x y y x y '=⎧⎨
=⎩的改进欧拉法
⎪⎩⎪
⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]
0[111]
0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是
阶方法。
10、设
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）
条件时，这种分解是唯一的。 二、 $
三、 二、选择题（每题2分）
1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x
k k +=+)()
1(收敛的充要条件是
（ ）。
（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
⎰∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中，当系数
)
(n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）
时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
4、若用二阶中点公式))
,(4,2(1n n n n n n y x f h
y h x hf y y +++=+求解初值问题
1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为
（ ）。
(1)20≤三、1、（8分）用最小二乘法求形如2
bx a y +=的经验公式拟合以下数据：
2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx
e x ⎰-1
0时，
(1) (1) 试用余项估计其误差。
（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种
不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)
x
x 1
1+
=对应迭代格式
n n x x 1
11+
=+；（3）13-=x x 对应迭代格式
131-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，
精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组f AX =，其中 《
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f
（1） （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR
迭代法。
五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪
⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dx
dy
用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。
2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足
)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =
六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如 《
⎰'+'++=≈1
)
1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf
（1） （1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽
量高；（2）设]1,0[)(4
C x f ∈，推导余项公式
⎰-=1
)
()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。
2、 2、 用二步法
)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα
求解常微分方程的初值问题⎩⎨
⎧=='00)()
,(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方
