衡阳八中2018届高三年级实验班第一次模拟考试试卷理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次模拟考试试卷，分两卷.其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟.2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报.开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷.3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写.考试结束后，试题卷与答题卡一并交回.★预祝考生考试顺利★第I 卷选择题（每题5分，共60分）一、本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的.1.已知集合{}2|40?A x x x =-<，{}|?B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A. (]0,4B. ()8,4-C. [)4,+∞ D. ()4,+∞【答案】C 【解析】{}2|40A x x x =-<Q ，∴由240x x -<，解得04x <<，即{}|04A x x =<<，{}|B x x a =<，A B ⊆，4a ∴≥，故实数a 的取值范围是[)4,+∞，故选C，2.已知i 是虚数单位，()11213i z i +=+﹣，()10211z i =++，1z 、2z 在复平面上对应的点分别为A 、B ，则AB =（ ）A. 31B. 33C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算计算出12,z z ，得出对称点坐标，然后可计算出两点间距离．【详解】由已知2113(13i)(12i)123655112(12)(12)55i i i i iz i i i i -+-+--++-+=====+++-，∴(1,1)A ， 又22(1)122i i i i +=++=，∴521(2)132z i i =+=+，∴(1,32)B ，∴31AB ==． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查复数的乘方，考查复数的几何意义，掌握复数的乘除法运算法则是解题关键．3.已知实数,a b 满足32020360a b b a a b +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则当[0,]4πθ∈时，2sin cos cos 2b a b θθθ+-的最大值是A. 5B. 2【答案】C 【解析】 如图，可行域：211cos 2sin 22222b b asin cos bcos a b θθθθθ++-=+-n11sin 2cos 22222a b θθθθ⎫=+=+⎪⎭cos ϕ=sin ϕ=原式()2θϕ=+ 当()sin 21θϕ+=有20360b a a b -+=⎧⎨+-=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩代入原式2= 故选C4.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()32f x f x =+，当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为()*n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的取值范围是（ ）． A. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】由题得数列{}n a 是首项为1、公比为13的等比数列，再求{}n a 的前n 项和为n S 及其取值范围. 【详解】∵函数()f x 满足()()32f x f x =+， ∴()()123f x f x +=⋅，即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的13， 又∵当[0,2)x ∈时，()22f x x x =-+， ∴()111a f ==，∴数列{}n a 是首项为1、公比为13的等比数列， ∴11331,1213nn S ⎛⎫- ⎪⎡⎫⎝⎭=∈⎪⎢⎣⎭-． 故选A【点睛】本题主要考查函数的性质，考查等比数列的判定和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5.定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos x f x xωω=，0>ω）的图像向左平移2π3个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ， A.54B.14C.74D.34【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换，化函数()f x 为余弦型函数，根据三角函数的图象变换规律，得到对应的函数y ，由函数y 为偶函数，即可求出ω的最小值. 【详解】根据新定义运算，函数()sin 1cos x f x x ωω=sin 2cos (0)6x x x πωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭.，()f x 的图像向左平移2π3个单位 ∴所得图象对应的函数为222cos 2cos 3636y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦又∵函数y 为偶函数 ，2,36k k Z ωπππ+=∈，解得31,24k k Z ω=-∈. ∵0ω>∴当1k =时，ω的最小值是54. 故选A.【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S，且110024S x dx π⎫=-⎪⎭⎰，则56a a +=（ ） A.125B. 12C. 6D.15【答案】D 【解析】 【分析】根据微积分基本定理和定积分的几何意义计算出10S ，然后由等差数列的性质得出结论．【详解】⎰表示以原点为圆心1为半径的单位圆的在第一象限部分的面积．∴0⎰4π=，121(2)()10444x dx x x πππ-=-=-⎰，∴110024S x dx π⎫=-⎪⎭⎰＝0⎰+10(2)4x dx π-⎰1144ππ=+-=， 又{}n a 是等差数列，∴110105610()5()12a a S a a ⨯+==+=，∴5615a a +=．故选：D ．【点睛】本题考查微积分基本定理，考查等差数列的前n 项及其性质，解题关键是掌握定积分的几何意义． 7. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )A. 3465+B.C. 663413++D. 1765+【答案】A 【解析】考查三视图还原直观图的能力及表面积的计算．先由三视图还原几何体是一个底面是长方形、后侧垂直于底的四棱锥，8.若函数()()y f x x R =∈满足()()1f x f x +=-，且当[)1,0x ∈-时，()212x f x +=，则函数()y f x =的图象与函数3log y x =的图象的交点的个数是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由已知得函数为周期函数，作出函数图象可得交点个数． 【详解】∵()()1f x f x +=-，∴(2)(1)()f x f x f x +=-+=，∴()f x 是周期函数，周期为2，又当[)1,0x ∈-时，()212x f x +=，作出函数()y f x =的图象，与函数3log y x =的图象如下：由图可知，两函数图象交点个数为4． 故选：C ．【点睛】本题考查图象的交点问题，考查函数的周期性，考查学生的作图能力，数形结合思想． 9.执行右边程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ） ．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【详解】因为1110.8248++>，所以输出.4=n 10.已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，的则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A. ()1,-+∞ B. (]1,1-C. (),1-∞D. [)1,1-【答案】B 【解析】 【分析】作出函数图象，得出1x ，2x ，3x ，4x 的性质，从而可化简()3122341x x x x x ++，然后利用函数单调性得出取值范围．【详解】作出函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下：由图象知若()f x a =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则122x x +=-，341x x =，3112x ≤<， ∴()31232343112x x x x x x x ++=-+，其中3112x ≤<，这是关于3x 的减函数， ∴331121x x -<-+≤． 故选：B ．【点睛】本题考查方程根的分布问题，解题关键是作出函数图象，通过图象得出根的性质，从而达到化简表达式的目的．11.已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点，若1ABF V 是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A. 1e >B. 01e <<11e <<11e <<【答案】C 【解析】试题分析：依题意可知，124AF F π∠<，即222212tan 1,2,202b a AF F b ac a c ac c∠=<<--<，两边除以2a 得2120e e --<11e <<． 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆离心率. 12.已知函数321()3f x x a x =-，若对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有12()()1f x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [33-B. (33-C. [,0)(0,33-UD. ((0,)33-U 【答案】A 【解析】利用排除法，当0a =时，31()3f x x =，2()0f x x '=≥，函数在定义域上单调递增，121()()(1)(0)13f x f x f f -≤-=≤，满足题意，排除CD选项，当a =314()33f x x x =-，24()03f x x -'=<，函数在定义域上单调递减，12()()(0)(1)11f x f x f f -≤-=≤， 满足题意，排除B 选项， 故选A第II 卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.919⎫⎪⎭的二项展开式中的常数项的值为______，【答案】919- 【解析】919⎫⎪⎭的二项展开式中的通项公式为：91919rr rrT C-+⎛⎫=-⎪⎝⎭n n.令90r-=，解得9r=.可得常数项为：9910991199T C⎛⎫=-=-⎪⎝⎭n.故答案为919-.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14.平面直角坐标系xOy中，双曲线()22122:10,0x yC a ba b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p=>交于点,,O A B.若OAB∆的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为_______________【答案】32【解析】设OA所在的直线方程为by xa=,则OB所在的直线方程为by xa=-,解方程组2{2by xax py==得：222{2pbxapbya==，所以点A的坐标为2222,pb pba a⎛⎫⎪⎝⎭,抛物线的焦点F的坐标为:0,2p⎛⎫⎪⎝⎭.因为F是ABC∆的垂心，所以1OB AFk k⋅=-,所以，2222252124pb pb bapba aa⎛⎫-⎪-=-⇒=⎪⎪⎪⎝⎭.所以，2222293142c be ea a==+=⇒=.考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质. 的15.我国南宋著名数学家秦久韶发现了由三角形三边长求三角形的面积“三斜求积”公式：设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =若2sin 4sin a C A =，22()12a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为___．【解析】由正弦定理得，由2sin 4sin a C A =得4ac =，则由()2212a c b +=+得2224a c b +-=，则ABC S ∆==16.体积为A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．【答案】[8,16]ππ 【解析】设2,3(0)R k BC a k k ===>，如图，设BCD ∆的中心为1O ，连接1O D .设三棱锥A BCD -的高为h ,在中，由勾股定理可得22211OD OO O D =+，即222()R h R =+-，即22430h kh k -+=又2,h k >，所以3,h k =所以2211(3)33434A BCD V a h k k -=⨯=⨯⨯=，解得2k =，故4,6R a ==易得12O E =，所以OE =，当截面与OE 垂直时，截面圆的面积有最大值，此时截面圆的半径r ==，此时截面圆的面积为8π，当截面经过平均发展速度时，截面圆的面积最大 ，且最大值为16π.点晴:本题考查的是球的组合体问题. 解决本题的关键是在三棱锥A BCD -中，引入变量利用勾股定理22211OD OO O D =+，找到边和高的关系3,h k =表示出2211)333A BCD V h k k -==⨯=，解得2k =，求得OE =OE 垂直时，截面圆的面积有最大值.三.解答题（共8题，共70分）17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+， （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值；，2）若b =ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；【答案】，1，52，，2，L a b c =++= 【解析】试题分析：(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得cos sin B B = ，解得B,代入()()sin sin cos cos A B A A A B +++- )sin cos sin cos A A A A ++，根据三角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法，(2)先根据余弦定理得222a c =+，再根据基本不等式求ac 最大值，此时ABC ∆的面积取最大，根据最大值等号取法确定a c ，值，即得三角形周长. 试题解析： （1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=， cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=，由()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++，令sin cos t A A =+，原式21122t =-， 当且仅当4A π=时，上式的最大值为52，，2，2221sin ,2cos 24S ac B ac b a c ac B ===+-，即(2222,2a c ac ac =+≥≤+当且仅当a c =12MAX S =，周长L a b c =++=点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =.某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X 为该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值. 【答案】（1）详见解析（2）①2732②50万元 【解析】 【分析】（1）由题意可知X 可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a .由统计数据可得各概率，得分布列，然后可计算出期望；（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为14，三辆车中至多一辆包含没有事故车和恰好有一辆事故车，由此可计算出概率；②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为4000-，8000.，由此求出Y 的概率分布列和期望，用这个期望值乘以100即得结论．【详解】（1）由题意可知X 可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a . 由统计数据可知：()10.94p X a ==，1(0.8)8p X a ==，()10.78p X a ==， ()14p X a ==，()31.116p X a ==，()11.316p X a ==所以X 的分布列为：所以1111310.90.80.7 1.1 1.390348841616EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈ （2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为14，三辆车中至多有一辆事故车的概率为321311327144432P C ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为4000-，8000. 所以Y 的分布列为：所以.()1340008000500044E Y =-⨯+⨯= 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y ⨯=万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望，考查学生的数据处理能力，属于中档题． 19.在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，2BAD ADC π∠=∠=,平面ADE ⊥平面ABCD ，244,//EF DC AB EF CD ===，ADE ∆是边长为2的正三角形.（1）证明：BE ⊥平面ACF ； （2）求二面角A BC F --的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 4- 【解析】试题分析：（1）取AD 的中点N ，连接,NB NE ，根据条件证明出AC BE ⊥和BE AF ⊥即可； （2）分别以直线,NA NE 为x 轴和z 轴，N 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面BCF 和平面ABC 的法向量，即可求得二面角A BC F --的余弦值.试题解析：（1）取AD 的中点N ，连接,NB NE ，依题意易知NE AD ⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD NE ⇒⊥平面ABCD NE AC ⇒⊥. 又4ANB NAC π∠=∠=AC BN ⇒⊥，所以AC ⊥平面BNE ，所以AC BE ⊥.在Rt AEF ∆和Rt ABE ∆中，1tan tan 2AEB AFE ∠=∠=BE AF ⇒⊥. 因为AF AC A ⋂=，,AF AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF . （2）分别以直线,NA NEx 轴和z 轴，N 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，依题意有：()1,1,0B ，()1,2,0C -，(F ，设平面BCF 的一个法向量()1,,n x y z =u r ，由1n BC ⊥u r u u u r，得2y x =，由1n BF ⊥u r u u u r，得30x y -++=，令1x =-，可得11,2,3n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u r .又平面ABC一个法向量()20,0,1n =u u r，所以22cos ,n n u u r u u r ==.所以二面角A BC F --的余弦值为. 注：用其他方法同样酌情给分.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”20.如图，椭圆1C ，22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率为2，过抛物线2C ，24x by =焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接,)NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，设λ=OMNOABS S ∆∆.，1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； ，2）求λ的取值范围.【答案】，I， 2214x y +=，24x y =，，II， [)2,+∞，【解析】试题分析：（Ⅰ ）由题意得得7,4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点M 在抛物线上得2744c b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由2c a =，得 223c b =，可得277b b =，解得1b =，从而得2c a ==，可得曲线方程．（Ⅰ ）设ON k m =，'OM k m =，分析可得1'4m m =-，先设出直线ON 的方程为y mx = (0)m >，由24y mx x y=⎧⎨=⎩，解得4N x m =，从而可求得4ON =,,OM OA OB ,故可将=OMN OAB ON OMS S OA OBλ∆∆⋅=⋅化为m 的代数式，用基本不等式求解可得结果． 试题解析，（Ⅰ）由抛物线定义可得7,4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵点M 在抛物线24x by =上， ∴2744c b b ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即2274c b b =- ①又由2c a =，得 223c b = 将上式代入，，得277b b = 解得1,b =∴c =2a ∴=，所以曲线1C 的方程为2214x y +=，曲线2C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设直线MN 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2440x kx --=， 设11,)Mx y （，()2,2N x y . 则124x x =-，设ON k m =，'OM k m =， 则21122111'164y y mm x x x x =⋅==-， 所以1'4m m=-， ， 设直线ON 的方程为y mx = (0)m >，由24y mx x y=⎧⎨=⎩，解得4N x m =，所以4N ON ==由，可知，用14m-代替m ，可得M OM == 由2214y mxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得Ax =，所以A OA ==用14m-代替m，可得B OB ==所以=OMN OABON OM S S OA OB λ∆∆⋅==⋅==1222m m=+≥，当且仅当1m =时等号成立． 所以λ的取值范围为[)2,+∞.点睛，解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ，利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数g （x ）＝（2﹣a ）lnx ，h （x ）＝lnx +ax 2（a ∈R ），令f （x ）＝g （x ）+h ′（x ），其中h ′（x ）是函数h （x ）的导函数．（Ⅰ）当a ＝0时，求f （x ）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a ＜﹣2时，若存在x 1，x 2∈[1，3]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|＞（m +ln 3）a ﹣2ln 323+ln （﹣a ） 恒成立，求m 的取值范围． .【答案】(，) 极小值1f()=22ln22－，无极大值；(，)22(4,)3e-+∞. 【解析】【详解】：（I ）依题意h ′（x ）12ax x =+，则()()122f x a lnx ax x =-++，x ∈（0，+∞）， 当a ＝0时，()12f x lnx x =+，()222121x f x x x x ='-=-， 令f ′（x ）＝0，解得12x =．当0＜x 12＜时，f ′（x ）＜0，当12x ＞时，f ′（x ）＞0．∴f （x ）的单调递减区间为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． ∴12x =时，f （x ）取得极小值12222f ln ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值； （II ）()()22121212a x x a a f x a x x x ⎛⎫-+' ⎪-⎝⎭=-+=，x ∈[1，3]． 当﹣8＜a ＜﹣2，即11182a -＜＜时，恒有f ′（x ）＜0成立， ∴f （x ）在[1，3]上是单调递减．∴f （x ）max ＝f （1）＝1+2a ，()()1()32363min f x f a ln a ==-++， ∴|f （x 1）﹣f （x 2）|max ＝f （1）﹣f （3）()24233a a ln =-+-， ∵x 2∈[1，3]，使得()()()()1223233f x f x m ln a ln ln a -+-+-＞恒成立，∴()()()2242332333a a ln m ln a ln ln a -+-+-+-＞，整理得()22433ma a ln a ---＜， 又a ＜0，∴()22433ln a m a a---＞， 令t ＝﹣a ，则t ∈（2，8），构造函数()22433lntF t t t=-+-， ∴()()2223lnt F t t-'=，当F ′（t ）＝0时，t ＝e 2，当F ′（t ）＞0时，2＜t ＜e 2，此时函数单调递增， 当F ′（t ）＜0时，e 2＜t ＜8，此时函数单调递减． ∴()222()43max F x F ee==-， ∴m 的取值范围为2243e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，． 【方法点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，训练了恒成立问题的求解方法，合理构造函数并正确求导是解题的关键，是压轴题；利用导数求函数()f x 的极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格.考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是x=2，曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线OM ：θ=β（其中02＜＜πβ）与曲线C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，求OP OM的取值范围．【答案】（Ⅰ）ρcosθ=2，ρ=2sinθ（Ⅱ）102⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】试题分析：，I，直线l 的方程是2x =，利用cos y ρθ= 可得极坐标方程．圆C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），利用221cos sin αα+= 可得普通方程，进而化为极坐标方程． ，II，将θβ=分别带入2sin ρθ=，cos 2ρθ=得2sin OP β=，2cos OM β=∴1sin cos sin22OP OM βββ== 试题解析：（Ⅰ）∵x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴直线:2l x =的极坐标方程是cos 2ρθ= 由1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩消参数得()2211x y +-= ∴曲线C 极坐标方程是2sin ρθ=（Ⅱ）将θβ=分别带入2sin ρθ=，cos 2ρθ=得2sin OP β=，2cos OM β=∴1sin22OP OM β=，讨论β，2β的范围，可得OP OM的取值范围 ，02πβ<<，∴02βπ<< ∴110sin222β<≤ ∴OP OM 的取值范围是102⎛⎤ ⎥⎝⎦，23.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|.(1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围. 【答案】(1)304x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；(2)11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.（2）由题意可知f (x )≤|2x ＋1|在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，可去掉绝对值|x ＋m |≤2，解绝对值不等式，结合不等式的解集即可求解.【详解】(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|，当x ≥1时，f (x )＝3x －2≤2，所以1≤x ≤43； 当12<x <1时，f (x )＝x ≤2，所以12<x <1； 的当x≤12时，f(x)＝2－3x≤2，所以0≤x≤12，综上可得原不等式f(x)≤2的解集为34 x x⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)由题意可知f(x)≤|2x＋1|在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当x∈3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|＝|x＋m|＋2x－1≤|2x＋1|＝2x＋1，所以|x＋m|≤2，即－2≤x＋m≤2，则－2－x≤m≤2－x，且(－2－x)max＝－114，(2－x)min＝0，因此m的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.。
