高中数学人教A版必修四1.4.3正切函数的性质与图象 课件
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A 是奇函数 B在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支
所截线段相等
12
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z,
23
2
即 x 2k , k Z, 3
所以,函数的定义域是
)
内都是增
10
y
正切函数的主 要性质如下:
3 2
2
0
2
3
2
x
定义域 值域
x x k , k Z
2
周期性
T
奇偶性 奇函数(正切曲线关于原点对称)
单调性
在（ k， k），k Z内为增函数
2
2
对称性
对称中心（k ,0）(k Z )
11
基础练习
1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
(2) 作正切线 (3) 平移
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
7
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 y tan x, x R且x k , (k Z )的图象,并把它叫做正切曲线.
2 y
3
2
2
0
3180
4
tan 13 tan 3
又 ∵
又∵
y
3
tan x
3
，5在 390，270， 5函上数是 增y 函ta数n
∴ tan2167 4tan1753 2
x
，x
3
2
，
2
是增函数，
∴
tan
3
4
tan
3
5
即
tan
11
4
tan
13 5
．
15
五、小结：
（1）y
tan
3
3
因此,函数的单调递增区间是:
2
0
x
2
பைடு நூலகம்
2k
，2k 3
3
,
k
Z.
14
正切函数的图像和性质
例2．不求值，利用正切函数单调性比较下列各组中两个正切函数 值的大小：
（1）tan
167
与
tan
173
；（2）tan
11 4
与
tan 13 ．
5
解：（（2）1）∵∵ta9n0141167
t1a7n3
1、利用正切函数的定义(课本P12)，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
所以正切函数的定义域：{ | k (k z)}
2
4
周期性
2、正切函数是周期函数吗？ 思考 如何求出正切函数的周期呢？ 它的最小正周期和正弦函数一样是2π吗？
由诱导公式二得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
结论1：正切函数是周期函数，周期是 .
5
奇偶性
3、如何研究正切函数是的奇偶性呢？
由诱导公式三得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
f (x) f (x)
结论2：正切函数为奇函数.
6
利用正切线画出函数 y tan x ，x ， 的图像:
2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
x
的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
2
，
2
上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。
（2） y tan x 性质:
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对称中 心
R
x
x
k
，k
2
Z
奇 函
k
，k
2
2
数
kZ
k ，0
2 kZ
16
x
x
2k
3
,
k
Z.
y
由于
y
tan
2
x
3
tan
2
x
3
tan
2
x
2
3
f
(x
2),
2
0
x
2
因此函数的周期为2.
13
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
由 k ＜ x ＜k , k Z,
22 3
2
y
解得 2k ＜x＜2k , k Z.
1.4.3正切函数的性质与图象
y tan x
1
1.前面，我们研究了正弦函数的图像与性 质我们是如何画正弦函数图象的呢？
2. 我们是从哪些方面研究正弦函数的性质？ 定义域 值域 周期性 单调性 奇偶性
2
合作探究1 如何研究正切函数的性质？ 你能类比研究正弦函数的性
质，探索正切函数的性质吗？
3
定义域
2
3 2
x
从图中可以看出, 正切曲线是由被相互平行的 直线x k, k Z所隔开的无穷多支曲线组成的. 8
2
正切函数图象的简单画法：三点两线法（同学们跟着画）
“三点”: (0,0)、（ ，1）、 ，1 4 4
“两线”:x
2
和x
2
y
1
4
3
2
2
0
42
-1
3 2
x
9
思考
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y
3
2
2
0
2
3 2
x
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇函偶数性．① ② ⑤ 正⑥⑦④中和定值单切渐渐对奇x∴心单义域调函近近称偶正调对域：性数2线线性性切性:：在称R方：：：k函．每图程奇x数(个k形是函x是开：：数Z奇x2区对)．函间称且正kk数中切x，．t心曲ak2n(线，kk22Z关x,于0Zk),原(，kt2点anZOkx)对(称k ．Z
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支
所截线段相等
12
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z,
23
2
即 x 2k , k Z, 3
所以,函数的定义域是
)
内都是增
10
y
正切函数的主 要性质如下:
3 2
2
0
2
3
2
x
定义域 值域
x x k , k Z
2
周期性
T
奇偶性 奇函数(正切曲线关于原点对称)
单调性
在（ k， k），k Z内为增函数
2
2
对称性
对称中心（k ,0）(k Z )
11
基础练习
1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
(2) 作正切线 (3) 平移
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
7
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 y tan x, x R且x k , (k Z )的图象,并把它叫做正切曲线.
2 y
3
2
2
0
3180
4
tan 13 tan 3
又 ∵
又∵
y
3
tan x
3
，5在 390，270， 5函上数是 增y 函ta数n
∴ tan2167 4tan1753 2
x
，x
3
2
，
2
是增函数，
∴
tan
3
4
tan
3
5
即
tan
11
4
tan
13 5
．
15
五、小结：
（1）y
tan
3
3
因此,函数的单调递增区间是:
2
0
x
2
பைடு நூலகம்
2k
，2k 3
3
,
k
Z.
14
正切函数的图像和性质
例2．不求值，利用正切函数单调性比较下列各组中两个正切函数 值的大小：
（1）tan
167
与
tan
173
；（2）tan
11 4
与
tan 13 ．
5
解：（（2）1）∵∵ta9n0141167
t1a7n3
1、利用正切函数的定义(课本P12)，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
所以正切函数的定义域：{ | k (k z)}
2
4
周期性
2、正切函数是周期函数吗？ 思考 如何求出正切函数的周期呢？ 它的最小正周期和正弦函数一样是2π吗？
由诱导公式二得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
结论1：正切函数是周期函数，周期是 .
5
奇偶性
3、如何研究正切函数是的奇偶性呢？
由诱导公式三得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
f (x) f (x)
结论2：正切函数为奇函数.
6
利用正切线画出函数 y tan x ，x ， 的图像:
2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
x
的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
2
，
2
上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。
（2） y tan x 性质:
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对称中 心
R
x
x
k
，k
2
Z
奇 函
k
，k
2
2
数
kZ
k ，0
2 kZ
16
x
x
2k
3
,
k
Z.
y
由于
y
tan
2
x
3
tan
2
x
3
tan
2
x
2
3
f
(x
2),
2
0
x
2
因此函数的周期为2.
13
例1 求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
由 k ＜ x ＜k , k Z,
22 3
2
y
解得 2k ＜x＜2k , k Z.
1.4.3正切函数的性质与图象
y tan x
1
1.前面，我们研究了正弦函数的图像与性 质我们是如何画正弦函数图象的呢？
2. 我们是从哪些方面研究正弦函数的性质？ 定义域 值域 周期性 单调性 奇偶性
2
合作探究1 如何研究正切函数的性质？ 你能类比研究正弦函数的性
质，探索正切函数的性质吗？
3
定义域
2
3 2
x
从图中可以看出, 正切曲线是由被相互平行的 直线x k, k Z所隔开的无穷多支曲线组成的. 8
2
正切函数图象的简单画法：三点两线法（同学们跟着画）
“三点”: (0,0)、（ ，1）、 ，1 4 4
“两线”:x
2
和x
2
y
1
4
3
2
2
0
42
-1
3 2
x
9
思考
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y
3
2
2
0
2
3 2
x
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇函偶数性．① ② ⑤ 正⑥⑦④中和定值单切渐渐对奇x∴心单义域调函近近称偶正调对域：性数2线线性性切性:：在称R方：：：k函．每图程奇x数(个k形是函x是开：：数Z奇x2区对)．函间称且正kk数中切x，．t心曲ak2n(线，kk22Z关x,于0Zk),原(，kt2点anZOkx)对(称k ．Z