高一数学上册第一章集合与简易逻辑精品教案

2019-2020年高中数学 第一章集合与简易逻辑教案8教学目的：（1）巩固与型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；（2）培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；（3）激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：（略）教学过程：一、复习引入：与型不等式与型不等式的解法与解集不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ;不等式的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或二、讲解范例：例1 解不等式 1 | 2x-1 | < 5.分析：怎么转化？怎么去掉绝对值？方法：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-<-112512512x x x ① 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-<-112512512x x x ②解①得：1x<3 ; 解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为 {x | -2< x 0或1x<3}方法2：原不等式等价于 12x-1<5或 –5<2x-1 -1即22x<6 或 –4<2x0.解得 1x<3 或 –2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}小结：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是 a| x |b axb 或 -bx-a (a0).练习：解下列不等式: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-627231|x x x 或 例2 解不等式：|4x-3|>2x+1.分析：关键是去掉绝对值 方法1：原不等式等价于⎩⎨⎧+>--<-⎩⎨⎧+>-≥-12)34(0341234034x x x x x x 或， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<⎪⎩⎪⎨⎧>≥3143243x x x x 或， ∴x>2或x<， ∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.方法2：整体换元转化法分析：把右边看成常数c ，就同一样∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1) x>2 或x<，∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1.分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）①当时，∴ ∴ 4<1②当时∴，∴③当时-4<1 ∴综上 原不等式的解集为也可以这样写：解：原不等式等价于①或②或 ③，解①的解集为φ，②的解集为{x|<x<3}，③的解集为{x|x3},∴原不等式的解集为{x|x>}.方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点∴原不等式的解集为{x|x>}.练习：解不等式：| x+2 | + | x | >4.分析1：零点分段讨论法解法1：①当x-2时，不等式化为 -（x+2）- x > 4 即x<-3. 符合题义②当 –2<x<0时，不等式化为x+2-x>x 即2>4.不合题义，舍去③当x0时，不等式化为x+2+x>4即x>1.符合题义综上：原不等式的解集为{x | x<-3或x>1}.分析2：从形的方面考虑，不等式| x+2 | + | x | >4表示数轴上到-2和0两点的距离之和大于4的点解法2：因取数轴上点1右边的点及点-3左边的点到点-2、0的距离之和均大于4∴原不等式的解集为 {x | x<-3或 x>1}.例4.解关于的不等式①,②解：∵，分类讨论如下① Ⅰ.Ⅱ },|{0a x a x a <<->时，解集为当① Ⅰ.Ⅱ },0|{0≠=x x a 时，解集为当Ⅲ },|{0a x a x x a >-<>或时，解集为当例5.解关于的不等式.解:原不等式化为：,在求解时由于a+1的正负不确定，需分情况讨论.①当a+10即a-1时，由于任何实数的绝对值非负，∴解集为.②当a+1>0即a> -1时，- (a+1)<2x+3< a+1 => < x <.综上得： ① ②}2224|{1-<<+-->a x a x a 时，解集为. 练习：课本第16页练习1、2备用例题例1.解下列不等式:(1) (2)解(1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-∈627231|x x R x 或(2) 例2．已知不等式的解集为，求的值.例3.解关于的不等式..三、课内练习课本第16页练习1、2四、小结：1.对含有绝对值的不等式的解法,通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推.2.对于含有绝对值的不等式,如果其中含有字母参数,则根据基本的绝对值不等式的解法进行分类讨论,讨论时,不重复,也不要遗漏.五、作业:课本第16页习题4，课本第42页复习参考题7六、板书设计（略）七、课后记：。

1高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想；4．数形结合思想．2【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。

1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§1.1集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度3洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。

第一章 集合与简易逻辑第 1课时 集合的概念一．课题：集合的概念二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：集合中元素的 3个性质，集合的 3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的 3个性质，集合的 3种表示方法；3．若有限集 A 有n 个元素，则 A 的子集有 2个，真子集有 21，非空子集有 2 1个，非空真n n n子集有2n 2个．（二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的 3个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析： 例 1．已知集合P {y x G {x | x 1}，则(A) P F 21}，Q {y | y x 2 1}， E{x| y x 1}， F{(x,y)| y x 1}， 2 2（ D ） (B) QE(C) EF(D) Q G解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简． 例 2．设集合Px y,x y,xy，Qx解：∵ P Q 且0Q ，∴0P ． 2y 2 ,x 2 y 2,0，若 P Q ，求 x, y 的值及集合 P 、Q ．（1）若 xy 0或 x y 0，则 x2 y 2 0，从而Q x y ,0,0，与集合中元素的互异性2 2 矛盾，∴ x y 0且 x y 0； （2）若xy 0，则 x 0或 y 0． 当 y 0时， P x,x,0，与集合中元素的互异性矛盾，∴ y 0；当 x 0时， P{y, y,0}，Q {y 2 ,y 2,0}，2 2 y y y y y 0 2y y 2由 P Q 得y y ① 或 ②y 0 由①得 y 1，由②得 y 1， x 0 ∴y 1或xy 10，此时 P Q {1,1,0}．例 3．设集合 M {x | x k 1,k Z}， N {x | xk 1,k Z}，则2 4 4 2（ B ）(A) M N(B) M N (C) M N (D) M N解法一：通分；解法二：从 1 开始，在数轴上表示．4例 4．若集合 Ax | x 2ax 10,x R ，集合 B 1,2，且 A B ，求实数a 的取值范围． 40，解得 2 a 2；a 10，解得 a 2，此时 A {1}，适合题意； 2a 10，解得 a 5，此时 A {2, 5}，不合题意；2解：（1）若 A ，则a （2）若1A ，则1 2 2（3）若2A ，则22 2综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)． 例 5．设 f (x)xpx q ， A {x | x f (x)}， B {x | f [ f (x)]x}，2（1）求证： A B ； （2）如果 A {1,3}，求 B ． 解答见《高考 A 计划（教师用书）》第 5页． （四）巩固练习：1．已知M {x | 2x2 5x3 0}，N {x |mx 1}，若N M ，则适合条件的实数m 的集合 P 为{0,2,1}； P 的子集有8 个； P 的非空真子集有 6 个． 32．已知： f (x) x2ax b ， A x | f (x) 2x 2，则实数a 、b 的值分别为2,4． 3．调查 100名携带药品出国的旅游者，其中 75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又75，最小值为 带胃药的人数的最大值为 55 ．4．设数集 M {x |m x m 3}，N {x |n 1 x n}，且M 、N 都是集合{x |0 x 1}的43子集，如果把 ba 叫做集合x | axb 的“长度”，那么集合MN 的长度的最小值是 1 ．12五．课后作业：《高考 A 计划》考点 1，智能训练 4，5，6，7，8，9，11，12．第 2 课时集合的运算一．课题：集合的运算二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．交集、并集、全集、补集的概念；2． A B A A B ， A B A A B ；3．C U A C U B C U (A B)，C U A C U B C U (A B)．（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． （三）例题分析： 例 1．设全集U x|0x 10,xN，若 AB 3，AC U B 1,5,7，C U A C U B 9，则 A1,3,5,7， B2,3,4,6,8． 解法要点：利用文氏图．例 2．已知集合 Ax | x 3x2x， Bx | x axb，若 A Bxx 2，3 2 2ABx | x 2，求实数a 、b 的值．解：由 x 3x 2x 0得 x(x 1)(x 2) 0，∴ 2 x 1或 x0， ∴ A (2,1)(0,)，又∵ A B x |0 x 2，且 ABx | x2，32∴ B [1,2]，∴1和2是方程 x ax b 0的根， 21 2 a a 1． ，∴b2 由韦达定理得：1 2 b 说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用． 例 3．已知集合 A {(x, y)| x 2y 0}， B {(x, y)| y 1 0}，则 A B ；x 2A B {(x, y)|(x2y)(y1)0}；（参见《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 6题）．解法要点：作图．注意：化简 B {(x, y)| y1,x 2}，(2,1)A ．例 4．（《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 15题）已知集合 A{y| y 22 2(a a 1)ya(a 1)0}，B {y | y1 x x 5,0 x 3}，若 A B，求实数a 的取值范围． 222解答见教师用书第 9页．例 5．（《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 16题）已知集合 A (x, y)| x mx y 20,x R ， 2B (x, y)| x y 10,0 x 2，若 A B ，求实数m 的取值范围． 分析：本题的几何背景是：抛物线 y x2mx 2与线段 yx 1(0 x 2)有公共点，求实数m的取值范围． 解法一：由x 2mx y 2 0得 x 2 (m 1)x 1 0xy1①∵ A B，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，首先，由(m 1)24 0，解得：m 3或m1．设方程①的两个根为 x 1、 x 2，（1）当m 3时，由 x 1 x 2 (m 1) 0及 x 1 x 2 1知 x 1、 x 2都是负数，不合题意；（2）当m 1时，由 x 1 x 2 (m 1)0及 x 1 x 2 10知 x 1、 x 2是互为倒数的两个正数，故 x 1、 x 2必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]． 解法二：问题等价于方程组yx1mx2在[0,2]上有解，即 x 令 f (x)x ∴抛物线 yf (x)在[0,2]上与 x 轴有交点等价于 f (2) 2 2(m 1)x 10在[0,2]上有解，(m 1)x 1，则由 f (0) 1知抛物线 yf (x)过点(0,1)， 2(m1)10 22①(m 1) 240 或01m 2 ②2 f (2) 2 2 2(m 1) 1 0由①得m 3，由②得 3 m1， 2 2 ∴实数m 的取值范围为(,1]．（四）巩固练习：1．设全集为U ，在下列条件中，是 BA 的充要条件的有 （ D ）① A B A ，②C U A B ，③C U A C U B ，④ A C U B U ， (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2．集合 A {(x, y)| y a | x |}， B{(x, y)| yxa}，若 AB 为单元素集，实数a 的取值范围为[1,1]．五．课后作业：《高考 A 计划》考点 2，智能训练 3，7， 10，11，12，13．第 3课时 含绝对值的不等式的解法一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间 的交、并等各种运算．四．教学过程： （一）主要知识：1．绝对值的几何意义：| x |是指数轴上点 x 到原点的距离；| x 1x 2 |是指数轴上 x 1,x 2两点间的距离2．当c 0时，| ax b | c ax b c 或axb c ，| ax b |c c ax bc ；当c 0时，| axb |cxR ，| axb |cx．（二）主要方法： 1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式 （组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有： （1）公式法：| x | a (a 0) a x a ，| x | a (a 0) x a 或 x a ． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例 1．解下列不等式： （1）4 | 2x 3|7；（2）| x 2 || x 1|；（3）| 2x 1| | x2 |4． 解：（1）原不等式可化为 4 2x 37或7 2x3 4，∴原不等式解集为[2,1)(7 ,5]．2 2（2）原不等式可化为(x 2) 2(x 1)，即 x 1 2 ，∴原不等式解集为[1 ,)． 2 2 （3）当 x 1时，原不等式可化为2x 12x 4，∴ x 1，此时 x 1； 2当 1 x 2时，原不等式可化为 2x 12x 4，∴ x 1，此时1x 2； 2当 x 2时，原不等式可化为 2x 1x 2 4，∴ x 5，此时 x 2． 3 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)．例 2．（1）对任意实数 x ，| x1| | x 2 |a 恒成立，则a 的取值范围是(,3)； （2）对任意实数 x ，| x 1| | x 3|a 恒成立，则a 的取值范围是(4,)．解：（ 1）可由绝对值的几何意义或 y| x 1| | x 2 |的图象或者绝对值不等式的性质 | x 1| | x2 || x1|| 2x || x 12x |3得| x 1| | x 2 |3，∴a3；（2）与（1）同理可得| x 1| | x 3|4，∴a 4．例 3．（《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 13题”）设a 0,b 0，解关于 x 的不等式：| ax2 |bx ．2解：原不等式可化为ax 2 bx 或ax 2 bx ，即(a b)x2①或(a b)x 2 x②， a b 2 2 2当a b 0时，由①得 x，∴此时，原不等式解为： x 或 x ；a b a b a b 2当a b 0时，由①得 x ，∴此时，原不等式解为： x ；a b2 2当0 a b 时，由①得 x，∴此时，原不等式解为： x ．a b a b 2 2综上可得，当a b 0时，原不等式解集为(, ][ ,)，a b a b2当0 a b时，原不等式解集为(, ]．a b例4．已知A {x || 2x 3|a}，B {x || x |10}，且A B，求实数a的取值范围．解：当a 0时，A ，此时满足题意；当a 0时，| 2x 3| a 3 a x 3 a ，∵ A B，223 a10 23 a 10∴ a 17，2综上可得，a的取值范围为(,17]．例5．（《高考A计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t货物，二号仓库存20t，五号仓库存40t，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？一二三四五解：以一号仓库为原点建立坐标轴，则五个点坐标分别为A1 :0, A2 :100, A3 :200, A4 :300, A5 :400，设货物集中于点B: x，则所花的运费y 5| x | 10| x 100| 20| x 200|，当0 x 100时，y 25x 9000，此时，当x 100时，y min 6500；当100 x 400时，y 5x 7000，此时，5000 y 6500；当x 400时，y 35x 9000，此时，当x 400时，y min 5000．综上可得，当x 400时，y min 5000，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．（四）巩固练习：xx 的解集是(1,0)；| 2x 3|3x的解集是(, 3)；1．| |1x 1 x 52．不等式| a b|| a | |b| 1成立的充要条件是| a ||b|；3．若关于x的不等式| x 4| | x 3|a的解集不是空集，则a(7,)；4．不等式| 2x log2 x|2x|log2 x|成立，则x(1,)．五．课后作业：《高考A计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．第4课时一元二次不等式的解法一．课题：一元二次不等式的解法二．教学目标：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式．三．教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法．四．教学过程：（一）主要知识：1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零； 3．高次不等式要注重对重因式的处理． （二）主要方法：1．解一元二次不等式通常先将不等式化为axbx c 0或ax bx c 0 (a 0)的形式，然后 2 2求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）例题分析：例 1．解下列不等式：（1） x 2 x 6 0；（2）x23x 10 0；（3） x(x 1)(x 2) 0．(x 2)(x 1)解：（1） 2x 3；（2） x 5 or x2；x(x 1)(x 2)(x 2)(x 1)0 2 x 1 or 0 x 1 or x2．（3）原不等式可化为(x 2)(x 1) 0例 2．已知 A {x | x 3x 2 0}， B {x | x(a 1)x a0}，2 2 （1）若 A B ，求a 的取值范围； （2）若 B A ，求a 的取值范围．解： A {x |1 x 2}， 当 a1时， B{x |1 x a}；当 a 1时， B {1}；当 a 1时， B {x | a x1}．a 1 （1）若 A B ，则 a 2； a 2（2）若 B A ，当 a 1时，满足题意；当 a 1时， a 2，此时1 a 2；当 a 1时，不合题意． 所以，a 的取值范围为[1,2)．例 3．已知 f (x)x2 2(a 2)x 4，（1）如果对一切 x R ， f (x) 0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对 x [3,1]， f (x) 0恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）4(a 2)216a4； (a 2) 3 3(a2) 1 (a 2) 1 （2）f (3) 0 或0 或f (1) 0，解得a 或1 a 4或 1 a 1，∴a 的取值范围为(1 ,4)．2 2 例 4．已知不等式ax 2 bx c 0的解集为{x | 2 x 4}，则不等式cx 2bx a 0的解集为 ．解法一：∵(x 2)(x 4) 0即x26x 8 0的解集为{x | x 1 or x 1}， 2 4 ∴不妨假设 a 1,b 6,c 8，则cx bx a 0即为8x2 26x 10，解得{x | 1 x1}．4 2a 0c 0解法二：由题意：63b b ，a c 4 c 8 a 1c a 8 b a 3 x 1 0，解得{x | x1 or x1}． ∴cx2bxa 0可化为 x2 x 0即 x 2c c4 824例 5．（《高考 A 计划》考点 4“智能训练第 16题”）已知二次函数 f (x) ax 2bx c 的图象过点(1,0)，问是否存在常数a,b,c ，使不等式 xf (x) 1 (1 x )对一切 xR 都成立？22解：假设存在常数a,b,c 满足题意， ∵ f (x)的图象过点(1,0)，∴ f (1) a b c0 ① 又∵不等式 x f (x) 1 (1x )对一切 x R 都成立， 2 2∴当 x 1时，1 f (1) 1 (1 1 )，即1 a b c 1，∴ a b c 11 x (1 a)， ② 22 由①②可得： a c 1 ,b 1 ，∴ f (x) ax 22 2 22 由 x f (x) 1 (1 x )对一切 x R 都成立得： x ax 1 x (1 a) 1 (1 x )恒成立， 2 22 2 2 2 21 x (1 a) 0 ax 2∴ 22 的解集为 R ， (2a 1)x 2 x 2a 0a0 a 1 2a 1 0 a 0∴ 1 4 4a(1 a) 0且18a(2a 1) 0，即(14a) 且 2 ， 20 (14a) 022∴ a 1，∴ c 1，4 4 ∴存在常数 a 1 ,b 1 ,c 1 使不等式 x f (x) 1 (1x )对一切 x R 都成立． 2 4 2 4 2 （四）巩固练习： 1．若不等式(a2)x 222(a 2)x 4 0对一切 x R 成立，则a 的取值范围是(2,2]．ax a10有一正根和一负根，则a(1,1)．2．若关于 x 的方程 x 23．关于 x 的方程m(x3)3m 2x 的解为不大于 2的实数，则m 的取值范围为(,3](0,1)(1,)．24．不等式 (x 1)2(2 x) 0的解集为(,4)(0,2] or x 1．x(4 x)五．课后作业：《高考 A 计划》考点 4，智能训练 3，4，5，9，13，14，15．第 5课时 简易逻辑一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系． 四．教学过程： （一）主要知识：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题； 2．由真值表判断复合命题的真假； 3．四种命题间的关系． （二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 2．通常复合命题“ p 或q ”的否定为“p 且q ”、“ p 且q ”的否定为“p 或q ”、“全为” 的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若 p ，则q ”的形式； 4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、 公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾． （三）例题分析：例 1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假： （1）菱形对角线相互垂直平分． （2）“ 2 3”解：(1)这个命题是“ p 且q ”形式， p:菱形的对角线相互垂直；q:菱形的对角线相互平分， ∵ p 为真命题，q 也是真命题∴ p 且q 为真命题．（2）这个命题是“ p 或q ”形式， p: 2 3；q: 2 3， ∵ p 为真命题，q 是假命题∴ p 或q 为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假， 再由真值表判断复合命题的真假． 例 2．分别写出命题“若 xy0，则 x, y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．2解：否命题为：若 x y 0，则 x, y 不全为零逆命题：若 x, y 全为零，则 xy 0逆否命题：若 x, y 不全为零，则 x y2 222 2 22 0注：写四种命题时应先分清题设和结论． 例 3．命题“若m0，则 xx m 0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．2解：方法一：原命题是真命题，∵m 0，∴14m 0， 因而方程 x 2 x m 0有实根，故原命题“若m 0，则 x 2x m 0有实根”是真命题； x m 0有实根”的逆否命题是又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若m0，则 x 2真命题．方法二：原命题“若m0，则 xx m 0有实根”的逆否命题是“若 x x m 0无实根，2 2则m 0”．∵ x x m 0无实根2∴14m 0即m10，故原命题的逆否命题是真命题．4例4．（考点6智能训练14题）已知命题 p ：方程 x 2mx10有两个不相等的实负根，命题q ：4(m 2)x 10无实根；若 p 或q 为真， p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 分析：先分别求满足条件 p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．方程4x2m2 4 0 解：由命题 p 可以得到：m 0∴m 216 0∴ 2m 6由命题q 可以得到：[4(m 2)] 2∵ p 或q 为真， p 且q 为假 ∴ p,q 有且仅有一个为真 当 p 为真，q 为假时，m 2 m2,orm6 m 6 当 p 为假，q 为真时，m2 2 m 2 2 m6 所以，m 的取值范围为{m| m 6或 2 m 2}．例 5．（《高考 A 计划》考点 5智能训练第 14题）已知函数 f (x)对其定义域内的任意两个数a,b ， 当 a b 时，都有 f (a) f (b)，证明： f (x) 0至多有一个实根． 解：假设 f (x)0至少有两个不同的实数根 x 1,x 2，不妨假设 x 1x 2，由方程的定义可知： f (x 1) 0, f (x 2) 0 即 f (x 1) f (x 2)①由已知 x 1 x 2时，有 f (x 1) f (x 2)这与式①矛盾因此假设不能成立 故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例 6．（《高考 A 计划》考点 5智能训练第 5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程： ax2bx c 0(a 0)有有理根，那么a,b,c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设a,b,c 都是偶数B.假设a,b,c 都不是偶数C.假设a,b,c 至多有一个是偶数D.假设a,b,c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若 p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ （）A ．若q 不正确，则 p 不正确 C.若 p 正确，则q 不正确B.若q 不正确，则 p 正确 D.若 p 正确，则q 正确2．“若b A.若b C.若b 24ac 0，则ax 2bx c 0没有实根”，其否命题是）2 4ac 0，则ax 2 bx c 0没有实根 B.若 b bx c 0有实根 D.若b2 4ac 0，则ax 4ac 0，则ax 22 bxc0有实根 2 4ac 0，则ax 2 2bxc 0没有实根五．课后作业：《高考A计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．第6课时充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC中，p : A B，q :sin A sin B（2）对于实数x, y，p : x y 8，q : x 2或y 6（3）在ABC中，p :sin A sin B，q:tan A tan B（4）已知x, y R，p:(x 1) (y 2) 0，q :(x 1)(y 2)2 2 a b解：（1）在ABC中，有正弦定理知道：sin A sin B∴sin A sin B a b又由a b A B所以，sin A sin B A B即p是q的的充要条件．（2）因为命题“若x 2且y 6，则x y 8”是真命题，故p q，命题“若x y 8，则x 2且y 6”是假命题，故q不能推出p，所以p是q的充分不必要条件．（3）取A 120,B 30，p不能推导出q；取 A 30,B 120，q不能推导出p所以，p是q的既不充分也不必要条件．（4）因为P {(1,2)}，Q {(x, y)| x 1或y 2}，PQ，所以，p是q的充分非必要条件．例2．设x, y R，则x 2 y 2 2是| x | | y |2的（）、是| x | | y |2的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B，D．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，D.既不充分也不必要条件因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙， 因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ． 例 4．设 x, y R ，求证：| x y || x | | y |成立的充要条件是 xy 0．证明：充分性：如果 xy0，那么，① x 0, y 0② x 0, y0③ x 0, y0于是| x y||x|| y| 如果 xy 0即 x 0, y 0或 x 0, y 0， 当 x 0, y 0时，| x y |x y | x | | y |， 当 x 0, y 0时，| x y |x y (x)(y) | x || y |， 总之，当 xy 0时，| x y || x | | y |． 必要性：由| x y || x | | y |及 x, y R 得(x y) 2 (| x | | y |) 2 即 x 2 2xy y 2 x 2 2| xy | y2 得| xy |xy 所以 xy 0故必要性成立，综上，原命题成立． 111 (t 1)11 20例 5．已知数列{a n }的通项a n，为了使不等式a n log t 2log 2(t 1) t n3 n 42n 3 对任意nN*恒成立的充要条件． 解：∵a n 1 a n 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )0，2n 5 2n 62n 4 2n 5 n 3 2n 4 2n 6 则a n a n 1 a n 2 a 2 a 1， 欲使得题设中的不等式对任意n N 恒成立，* 只须{a }的最小项a 1 logt2(t1)11log 2(t 1)t 即可， n 201 1 9，又因为a 14 5 20即只须t11且log t 2(t 1)9 log t 2 (t1) 11 0， 20 20 解得1log t (t 1) t(t1)， 1 即0 t 1t(t2)， t解得实数t 应满足的关系为t 15且t 2．2例 6．（1）是否存在实数m ，使得2xm 0是 x 2x 3 0的充分条件？ 2（2）是否存在实数m ，使得2x m 0是 x解：欲使得2x m 0是 x 2x 3 0的充分条件，则只要{x| x }{x| x1或 x3}， m 2 2x 3 0的必要条件？m 22则只要1即m2，2 故存在实数m 2时，使2x m 0是x 22x 3 0的充分条件．m （2）欲使2x m 0是 x 2x 3 0的必要条件，则只要{x| x } {x| x1或 x3}，22则这是不可能的，故不存在实数m时，使2x m 0是x 2x 3 0的必要条件．2（四）巩固练习：1．若非空集合M N，则“a M或a N”是“a M N”的2．0 x 5是| x 2|3的3．直线a,b 和平面,，a //b的一个充分条件是（条件．条件．）A.a //,b//B.a //,b// ,//C. a ,b ,//D. a ,b ,五．课后作业：《高考A计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．。

第一章 集合与简易逻辑教案一．集合的有关概念 1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。

②表示方法列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}.如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质 确定性：A a A a ∉∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集*N （或N +） 有理数集Q 3．元素与集合的关系：A a A a ∈∉或 4．集合与集合的关系：①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。

记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,②真子集：若B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。

记作：AB[或“B A B A ≠⊆且”] A B ，B CA C③B A A B B A =⇔⊆⊆且④空集：不含任何元素的集合，用φ表示，对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φ A注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a 5．子集的个数若},,{21n a a a A =，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n-1个和2n-2个。

二．集合的运算 1．有关概念①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且A BA BA BA B ABA BAU C U A2．常用运算性质及一些重要结论 ①A B B A A A A A ===φφ ②A B B A AA AA A ===φ③C B A C B A C B A ==)()( C B A C B A C B A ==)()( ④)()()(C A B A C B A = )()()(C A B A C B A = ⑤U A C A A C A U U == φ⑥B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=⑦)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U ==⑧)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=三．含有绝对值不等式1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法；(如讨论a x x =--122的解有个数) （5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。

第一章集合与简易逻辑第一章集合与简易逻辑本章概述1.教学要求[1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法；熟练掌握一元二次不等式的解法.[3]理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件.2.重点难点重点：有关集合的基本概念；一元二次不等式的解法及简单应用；逻辑联结词“或”、“且”、“非” 与充要条件.难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系；“四个二次”之间的关系；对一些代数命题真假的判断.3. 教学设想利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念；突出一种数学方法——元素分析法；渗透两种数学思想——数形结合思想与分类讨论思想；掌握三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的转译.1.1 集合（2课时）目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。

教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合教学过程：第一课时一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”、“不等式2x-1>3的解集”如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

集合与元素：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示：用大括号表示集合{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}用拉丁字母表示集合如：a={我校的篮球队员} ，b={1，2，3，4，5}常用数集及其记法：1.非负整数集（即自然数集）记作：n 2.正整数集 n*或 n+ 3.整数集 z4.有理数集 q 5.实数集 r集合的三要素： 1。

《集合与简易逻辑》数学教学教案第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的定义与性质引导学生理解集合的基本概念，如集合、元素、子集等。

介绍集合的性质，如确定性、互异性、无序性等。

1.2 集合的表示方法介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等。

练习如何用不同的方法表示给定的集合。

第二章：集合的关系与运算2.1 集合的关系介绍集合之间的关系，如子集、真子集、并集、交集等。

练习判断给定的集合之间的关系。

2.2 集合的运算介绍集合的运算规则，如并集、交集、补集等。

练习运用集合的运算解决实际问题。

第三章：逻辑推理与命题3.1 逻辑推理的基本概念引导学生理解逻辑推理的基本概念，如前提、结论、推理等。

介绍演绎推理和归纳推理的定义和特点。

3.2 命题与命题公式介绍命题的概念，如简单命题、复合命题等。

练习判断给定的语句是否为命题，并分析命题之间的关系。

第四章：简易逻辑4.1 简易逻辑的基本规则介绍简易逻辑的基本规则，如蕴含式、逆否式、充要式等。

练习运用简易逻辑的规则进行推理。

4.2 逻辑推理的应用练习运用逻辑推理解决实际问题，如判断真假命题、解决逻辑谜题等。

巩固集合与逻辑的基本概念和运算规则。

5.2 提高解题能力提供一些提高解题能力的练习题，让学生进一步巩固所学知识。

分析解题思路，培养学生的逻辑思维和解题技巧。

第六章：不等式与不等式组6.1 不等式的概念与性质引导学生理解不等式的基本概念，如不等号、不等式等。

介绍不等式的性质，如同向相加、反向相减等。

6.2 不等式组的解法介绍不等式组的解法，如图形法、代数法等。

练习运用不同的方法解给定的不等式组。

第七章：函数的概念与性质7.1 函数的定义与表示方法引导学生理解函数的基本概念，如函数、自变量、因变量等。

介绍函数的表示方法，如解析式、图像等。

7.2 函数的性质介绍函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

练习判断给定的函数具有哪些性质。

第八章：指数函数与对数函数8.1 指数函数的概念与性质引导学生理解指数函数的基本概念，如指数函数、底数、指数等。

2019-2020年高中数学 第一章集合与简易逻辑教案5教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法 教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + ，（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,（5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… （2）“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写二、讲解新课： （二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} 注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式的解集可以表示为：或所有直角三角形的集合可以表示为： 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合；集合{1000以内的质数} 例 集合与集合是同一个集合吗？答：不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合= 是函数的所有函数值构成的数集 （三） 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合2、 无限集：含有无限个元素的集合3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如： 三、练习题：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且 ②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且 2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2} ③④ {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）} ⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）} 3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ; (2) { 0,±, ±, ±, ±, ……}=四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图 五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、课后记：2019-2020年高中数学第一章集合与简易逻辑教案6教学目的：巩固集合、子、交、并、补的概念、性质和记号及它们之间的关系教学重点、难点：会正确应用其概念和性质做题教具：多媒体、实物投影仪教学方法：讲练结合法授课类型：复习课课时安排：1课时教学过程：1.基本概念集合的分类：有限集、无限集、空集；元素与集合的关系：属于，不属于集合元素的性质：确定性，互异性，无序性集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图子集、空集、真子集、相等的定义、数学符号表示以及相关性质.全集的意义及符号集合单元小结基础训练一、选择题1、下列六个关系式：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 其中正确的个数为( )(A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ） （A ）与1非常接近的全体实数（B ）某校xx 学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数相差很小的全体实数 3、已知集合满足，则一定有（ ） (A) (B) (C) (D)4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ）(A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个 5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（CM ）∪（CN ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x ≥5} （C ）{x|x ≤1或x ≥5} （D ）{x| x 〈0或x ≥5 } 6．设集合，，且，则满足条件的实数的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个. 7．已知集合M{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, xU}, 则CA ＝（ ）（A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 } 9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8} 10、满足条件的所有集合A 的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ） (A) (B) (C) (D)12．定义A －B={x|xA 且xB}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B) (C) (D) 二．填空题 13．集合P= ，Q= ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是15．已知集合A= 用列举法表示集合A= 16 已知U=则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围；2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A= ，试用列举法表示集合A19．已知全集U={x|x-3x+2≥0}，A={x||x-2|>1}，B=，求CA ，CB ，A ∩B ，A ∩（CB ），（CA ）∩B20．关于实数x的不等式与x-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(a∈R)的解集依次为A，B求使成立的实数a的取值范围集合单元小结基础训练参考答案1．C；2．B；3.B；4.D；5.B；6.C；7.D；8.B ；9.C；10.D；11.C；12.B;13. ; 14.R; 15. ; 1617.1)a> ; 2）a=0或a=；3）a=0或a≥18.19．C U A=C U B=A∩B=AA∩（C U B）=（C U A）∩B=20．a=－1或2≤a≤3.。

课 题：1.1集合－集合的概念（1）教学过程：一、复习引入：1．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；2．“物以类聚”，“人以群分”；二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。

记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集N *或N +{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合。

记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合。

记作R{}数轴上的点所对应的数=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作N *或N +Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

（2）互异性：集合中的元素没有重复。

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。

第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念 .............................................................................................................. - 1 -1.2 集合间的基本关系................................................................................................... - 6 -1.3 集合的基本运算..................................................................................................... - 10 -1.4.1 充分条件与必要条件.......................................................................................... - 15 -1.4.2充要条件 .............................................................................................................. - 20 -1.5.1 全称量词与存在量词.......................................................................................... - 25 -1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定.............................................................. - 27 -1.1 集合的概念一、教学目标1. 了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系，熟记常用数集专用符号；2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性，能够用其解决有关问题；3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合，感受集合语言的意义和作用.二、教学重难点1. 教学重点集合的含义与表示方法，元素与集合的关系.2. 教学难点元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合.三、教学过程（一）新课导入探究下列问题：（1）1~10之间的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；（5）方程2320-+=的所有实数根；x x（6）地球上的四大洋.思考：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？（二）探索新知探究一：集合的概念1. 集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.问题1 “较小的数”能否构成一个集合？答案：不能，组成它的元素不确定.结论：集合中的元素是确定的.问题2 由1，2，0，2-这些数组成的一个集合中有几个元素？-，|2|答案：集合中有4个不同元素1，2，0，2-.结论：集合中的元素是互异的.若构成两个集合的元素是一样的，则称这两个集合相等.问题3 高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？答案：集合没有变化.结论：集合中的元素是没有顺序的.问题4 小组讨论，归纳集合中元素的特性.归纳：确定性、互异性、无序性.2. 集合与元素的表示通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素. 探究二：元素和集合的关系问题5 已知下面的两个实例：（1）用A表示高一（1）班全体女生组成的集合；（2）用a表示高一（1）班的一位女学生，b表示高一（1）班的一位男学生.思考：那么a，b与集合A分别有什么关系？解：a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素.概念：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A∈；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A∉.常用的数集及其记法：非负整数集（自然数集）：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q ；实数集：R .探究三：集合的表示方法1. 列举法思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？答案：可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.思考2：方程2320x x -+=的所有实数根组成的集合，如何表示？答案：可以表示为{1，2}.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么A ={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.（2）设方程2x x =的所有实数根组成的集合为B ，那么B ={1，0}.注意：由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）还可以表示为A ={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}等；2. 描述法问题8 能否用列举法表示不等式37x -<的解集？该集合中的元素有什么特征？解析：不能，但是可以看出，这个集合中的元素满足特征：（1）集合中的元素都小于10；（2）集合中的元素都是实数.这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，写作：10{|}x x x <∈R ，.问题9 奇数集怎么表示？偶数集怎么表示？有理数集怎么表示？奇数集可以表示为2{}1|x x k k ∈=+∈Z Z ，，偶数集可以表示为2{|}x x k k ∈=∈Z Z ，， 有理数集可以表示为|0{}q x x p q p p∈=≠=∈R Q Z ，，，.问题10 通过以上问题总结归纳出描述法的概念.描述法：一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征()P x 的元素x 所组成的集合表示为{|()}x A P x ∈，这种表示集合的方法称为描述法.显然，对于任何{|()}y x A P x ∈∈，都有y A ∈，且()P y 成立.例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程220x -=的所有实数根组成的集合A ；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B .解：（1）设x A ∈，则x 是一个实数，且220x -=.因此，用描述法表示为2{|20}A x x =∈-=R .方程220x -=-A =-. （2）设x B ∈，则x 是一个整数，即x ∈Z ，且1020x <<.因此，用描述法表示为{|1020}B x x =∈<<Z .大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.问题11 列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？答案：列举法是把每个元素一一列举出来，非常直观明显地表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.（三）课堂练习1.下列对象不能构成集合的是（ ）①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体.A.①②B.②③C.①②③D.①③答案：D解析：研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限，故选D.2.R ；②14∉Q ；③0∈Z .其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.0答案：B 解析：①正确；②因为14∈Q ，错误；③0∈Z ，正确. 故选B. 3.a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，那么以 a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是（ ）A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形答案：D解析：由于集合中的元素具有“互异性”，故 a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. 故选D.4.设集合{}230|A x x x a =-+=，若4A ∈，则集合A 用列举法表示为___________.答案：{-1，4}解析：∵4A ∈，∴16120a -+=，∴4a =-，∴{}234014|{}A x x x =--==-，.（四）小结作业小结：1.集合的概念；2.元素和集合的“属于”关系；3.常见数集的专用符号；4.集合的表示方法.作业：四、板书设计1.1集合的概念1. 集合的概念2. 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性3. 元素和集合的关系：a 属于集合A ，记作a A ∈；a 不属于集合A ，记作a A ∉.4. 常见数集的专用符号5. 集合的表示方法：列举法和描述法.1.2 集合间的基本关系一、教学目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集、空集的概念；3. 能使用Venn 图表达集合间的关系，体会数形结合的思想.二、教学重难点1. 教学重点集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念，空集的概念.2. 教学难点元素与子集，即属于与包含之间的区别.三、教学过程（一）新课导入实数有相等、大小关系，如5=5，5<7，5>3等等，类比实数之间的关系，思考两个集合之间是否也有类似的关系呢？要求：学生自由发言，教师引导学生进一步探究.（二）探索新知探究一：子集1. 观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：①A ={l，2，3}，B ={1，2，3，4，5}；②C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素.这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.同样，在（2）中，集合C包含于集合D，集合D包含集合C.2. 子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作：A B⊇.⊆或B A读作：“A包含于B”（或“B包含A”）3. 韦恩图（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部来代表集合的图称为韦恩图（Venn图）.练习1：下图中，集合A是否为集合B的子集？练习2：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A ={1，3，5}，B ={1，2，3，4，5，6}（√）②A={1，3，5}，B={1，3，6，9}（×）③A ={0}，B ={x | x2+2=0}（×）④A ={a，b，c，d}，B ={d，b，c，a}（√）探究二：集合相等1. 观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系.A = {x | x是两条边相等的三角形}，B = {x | x是等腰三角形}.集合A中的元素和集合B中的元素相同.2. 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A = B.也就是说，若A B⊆，则A = B.⊆，且B A牛刀小试3：.集合A与B什么关系？答案：A = B.探究三：真子集1. 观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：（1）A ={1，3，5}，B ={1，2，3，4，5，6}；（2）A ={四边形}，B ={多边形}.2. 定义：如果集合A B⊆，但存在元素x B∉，就称集合A是集合B的真子集.∈，且x A记作：A B（或B A）.韦恩图表示：探究四空集1. 方程x2 + 1 = 0没有实数根，所以方程x2 + 1 = 0的实数根组成的集合中没有元素.2. 定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集.问题：你还能举几个空集的例子吗？探究五1. 包含关系{}a A⊆与属于关系a A∈有什么区别？答案：前者为集合之间的关系，后者为元素与集合之间的关系.2. 由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A A⊆.（2）对于集合A，B，C，如果A B⊆.⊆，那么A C⊆，且B C例1 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.解：集合{a，b}的所有子集：∅，{a}，{b}，{a，b}.真子集：∅，{a}，{b}.例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：（1）A ={1，2，3}，B ={x | x是8的约数}；（2）A ={ x | x是长方形}，B ={ x | x是两条对角线相等的平行四边形}.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.（2）因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集.规律总结：1. 写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.2. 写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.3. 一般地，集合A 含有n 个元素，则A 的子集共有2n 个，A 的真子集共有21n -个.（三）课堂练习1.集合A ={-1，0，1}，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ）A.2个B.4个C.6个D.8个答案：B解析：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，-1}，{-1，0，1}四个，故选B.2.设集合A ={x | 1< x <2}，B ={x | x < a }，若A B ⊆，则a 的取值范围是（）A. {|2}a a ≤B.{|1}a a ≤C.{|1}a a ≥D.{|2}a a ≥答案：D解析：由{|12},{|},A x x B x x a A B =<<=<⊆，则{|2}a a ≥.故选D.3.已知集合){}(2A x y x y x y =+=∈N ，，，，试写出A 的所有子集.解：因为){}(2A x y x y x y =+=∈N ，，，，所以A ={(0，2)，(1，1)，(2，0)}.所以A 的子集有：,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)}∅，{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.（四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.集合间的基本关系有哪些？3.本节课主要用到了哪些数学思想方法？作业：四、板书设计1.2集合间的基本关系1. 子集的定义2. Venn图3. 集合的相等4. 真子集的定义5. 空集的定义6. 结论1.3 集合的基本运算一、教学目标1. 理解并集、交集、补集的概念，掌握其基本运算；2. 正确掌握并熟练运用集合的运算性质进行综合运算；3. 能利用补集的思想，数形结合的思想与方法解题.二、教学重难点1. 教学重点理解两个集合的并集与交集的含义，会用集合语言表达数学对象或数学内容.2. 教学难点区别交集与并集的概念及符号表示.三、教学过程（一）新课导入实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算，类比实数的运算，集合是否也有类似的运算呢？（二）探索新知探究一并集思考1：观察下面的集合，类比实数的加法运算，说出集合C与集合A，B之间的关系.（1）A ={1，3，5}，B ={2，4，6}，C ={1，2，3，4，5，6}；（2）A ={x | x是有理数}，B ={x | x是无理数}，C ={x | x是实数}.要求：学生分小组讨论，每组选出代表回答，教师引导学生进一步探究.可以看出，集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.并集定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A B，读作“A并B”，即{|}，或.=∈∈A B x x A x B用Venn图表示为在思考1中，集合A与B的并集是C，即A B C=.例1 设A = {4，5，6，8}，B = {3，5，7，8}，求A B.解：A B= {4，5，6，8} ∪ {3，5，7，8}= {3，4，5，6，7，8}.例2 设集合A = {x | -1 < x < 2}，集合B = {x | 1 < x < 3}，求A B.解：法一：A B= {x | -1 < x < 2}{x | 1 < x < 3} = {x | -1 < x < 3}.法二：利用数轴直观表示.根据并集的概念及Venn图，得出并集的运算性质：（1）A A A=，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；（2）A A∅=，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.探究二交集思考2：观察下面的集合，说出集合A，B与集合C之间的关系.（1）A ={ 2，4，6，8，10 }，B ={ 3，5，8，12 }，C ={8}；（2）A ={x | x是立德中学今年在校的女同学}，B ={x | x是立德中学今年在校的高一年级同学}，C ={x | x是立德中学今年在校的高一年级女同学}.要求：学生分小组讨论，每组选出代表回答，教师引导学生进一步探究.可以看出，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.交集定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A B，读作“A交B”，即{|}，且.A B x x A x B=∈∈用Venn 图表示为在思考2中，集合A 与B 的交集是C ，即AB C =.例3 某中学开运动会，设A ={x | x 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}， B ={x | x 是该中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求AB .解：A B 就是该中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以AB ={x | x 是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.例4 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试用集合的运算表示1l ，2l 的位置关系.解：平面内直线1l ，2l 可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合. （1）直线1l ，2l 相交于一点P 可表示为12{}L L P =点；（2）直线1l ，2l 平行可表示为12L L =∅； （3）直线1l ，2l 重合可表示为1212L L L L ==.交集的运算性质： （1）AA A =，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；（2）A ∅=∅，即任何集合与空集的交集等于空集.探究三 补集思考3：求方程2(2)(3)0x x --=在有理数范围内的解集，在实数范围内的解集. 要求：学生自行作答，教师总结答案.答：方程在有理数范围内只有一个解2，解集为2{|(2)(3)0}{2}x x x ∈--==Q ， 在实数范围内有三个解：233-，，解集为2{|(2)(3)0}{233}x x x ∈--==R ，. 全集定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U .补集定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作UA ，即{|}UA x x U x A =∈∉，且.用Venn 图表示为例5 设U = {x | x 是小于9的正整数}，A ={ 1，2，3 }，B ={ 3，4，5，6 }，求UA ，UB .解：根据题意可知，U = { 1，2，3，4，5，6，7，8 }，所以UA = { 4，5，6，7，8 }，UB ={ 1，2，7，8 }.例6 设全集U = {x | x 是三角形}，A = {x | x 是锐角三角形}，B = {x | x 是钝角三角形}，求AB ，()UA B .解：根据三角形的分类可知，AB =∅，A B = {x | x 是锐角三角形或钝角三角形}，()UA B = {x | x 是直角三角形}.（三）课堂练习1. 已知全集{}0123U =，，，，集合{}{}0113A B ==，，，，则()U A B =C ( )A.{}02，B.{}03，C.{}012，，D.{}013，， 答案：C解析：因为{}{}012313U B ==，，，，，，所以{}02U B =，C ，又{}01A =，，所以(){}012U AB =，，C .故选C. 2. 已知集合{|2}{|111}M x x N x x =<=-<-<，，则( ) A.M N = B.M N N = C.M N =R D.M N N =答案：D解析：由题知，集合{}02|N x x =<<，所以|02}{MN x x =<<.故选D.3. 已知集合{}{}123456{123567}8U A B ===，，，，，，，，，，，，，则UB A 中元素的个数为( )A.4B.5C.6D.7答案：B 解析：{456}{45678}UUA BA ==，，，，，，，，所以UBA 中元素的个数为5.故选B.4. 已知集合{}1236A =-，，，，{}|23B x x =-<<，则A B =________.答案：{}12-，解析：{}{}1236{|23}12AB x x =--<<=-，，，，.5. 已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}124B =，，，则()UA B =________.答案：{}35，解析：{}124A B =，，，(){35}U AB ∴=，.（四）小结作业 小结：1. 并集、交集、补集的概念及Venn 图表示；2. 集合的运算性质及其相关运算. 作业： 四、板书设计1.3 集合的基本运算1. 并集的定义及Venn 图表示； 并集的运算性质；2. 交集的定义及Venn 图表示； 交集的运算性质；3. 全集的定义；补集的定义及Venn 图表示.1.4.1 充分条件与必要条件一、教学目标1. 理解充分条件、必要条件的意义；2. 会判断充分条件、必要条件.二、教学重难点1. 教学重点充分条件、必要条件的概念及判断方法.2. 教学难点必要条件的理解和判断.三、教学过程（一）新课导入在初中的时候我们学习过命题，会判断一个命题的条件和结论，并能判断其真假.下面我们来复习一下（老师引导学生回答）：两个面积相等的三角形全等，它的条件是三角形的面积相等；结论是三角形全等；这个命题是假的.下面我们来看一下课本P17中的思考，并依次说出它们的条件，结论及真假.要求：学生自由发言，教师引导学生进一步探究.（二）探索新知探究：充分条件、必要条件1. 前提（要牢记）：p是条件，q是结论.⇒；“若p，则q”为假命题，记作p⇒q.2. 命题“若p，则q”为真命题，记作p q⇒，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.3. 充分条件、必要条件：若p q4. 由刚才的讨论，我们已经知道命题（1）（4）是真命题，所以p是q的充分条件，q是p 的必要条件；（2）（3）是假命题，所以p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4） 若21x =,则1x =； （5） 若a b =，则ac bc =；（6） 若x ，y 为无理数，则xy 为无理数.解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（4）由于2=1（-1），但11-≠，p ⇒q ，所以p 不是q 的充分条件. （5）由等式的性质知，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（62=为有理数，p ⇒q ，所以p 不是q 的充分条件. 那同学们在想一下，q 是p 的什么条件？（1）必要条件； （2）必要条件； （3）必要条件； （4）不必要条件； （5）必要条件； （6）不必要条件. 思考1例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？答：不唯一.初中的时候我们还学过其它的平行四边形的判定定理，也就是判断四边形是平行四边形的其它条件：①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件.因此，一般来说，对给定结论q ，使得q 成立的条件p 是不唯一的.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若1x =，则21x =； （5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则,x y 为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件.（3）如图1.4-1，四边形ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q ⇒，所以，q 不是p 的必要条件.（4）显然，p q ⇒，所以，q 是p 的必要条件.（5）由于(1)010-⨯=⨯，但11-≠，p q ⇒，所以，q 不是p 的必要条件. （6）由于122=2不全是无理数，p q ⇒，所以q 不是p 的必要条件.一般地，要判断“若p ，则q”形式的命题中q 是否为p 的必要条件，只需判断是否有“p q ⇒”，即“若p ，则q”是否为真命题.说明：（1）p q ⇒，q 是p 的必要条件（p 是q 的充分条件）；（2）p q ⇒，q 不是p 的必要条件（p 不是q 的充分条件）.思考2例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？答：不唯一.例如，下列命题都是真命题：①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； ②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.因此，一般来说，给定条件p ，由p 可以推出的结论q 是不唯一的.一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 规律总结：1. 在命题“若p ，则q”中，要判断p 是否为q 的充分条件，关键是判断“若p ，则q”的真假，即p q ⇒或p q ⇒.2. 在命题“若p ，则q”中判断q 是否为p 的必要条件，实质上仍是判断“若p ，则q”的真假，即p q ⇒或p q ⇒.（三）课堂练习1. 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若平面内点P 在线段AB 的垂直平分线上，则PA=PB ；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解：（1）线段垂直平分线的性质，p q ⇒，p 是q 的充分条件；（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，p q ⇒，p 不是q 的充分条件；（3）相似三角形的性质，p q ⇒，p 是q 的充分条件.2. 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若直线l 与⊙O 有且仅有一个交点，则l 为⊙O 的一条切线； （2）若x 是无理数，则x 2也是无理数.解：（1）这是圆的切线定义，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件；（2是无理数，但22=不是无理数，p q ⇒，所以q 不是p 的必要条件.3. 如图，直线a 与b 被直线l 所截，分别得了∠1，∠2，∠3和∠4.请根据这些信息，写出几个“a ∥b ”的充分条件和必要条件.解：“a∥b”的充分条件：∠1=∠2，∠1=∠4，∠1＋∠3=180°；“a∥b”的必要条件：∠1=∠2，∠1=∠4，∠1+∠3=180°.（四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.充分条件和必要条件是如何判断的？作业：四、板书设计1.4.1充分条件与必要条件1. “若p，则q”的形式2. 充分条件和必要条件的定义3. 充分条件和必要条件的判定方法1.4.2充要条件一、教学目标1. 理解充要条件的意义；2. 会判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件.二、教学重难点1. 教学重点对充分、必要、充要条件的判断与证明.2. 教学难点对充分、必要、充要条件的判断与证明，并根据不同条件求参数的值或范围.三、教学过程（一）新课导入在上节课的时候我们学习了命题的充分条件和必要条件，那我们在学习充要条件之前先复习一下上节课所学的内容.“如果p可以推出q，那p是什么条件，q又是什么条件?”老师引导学生回答.接下来我们在看书中的思考，其中提到了逆命题，那我们先来回想一下，什么是逆命题，老师引导学生发言，并总结（命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”）.同学们要记住，将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.（二）探索新知思考下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.先引导学生回答出四个逆命题分别是什么，在判断真假.(1)若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)若ac<0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；(4)若A 与B 均是空集，则A ∪B 是空集.不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.探究一：充要条件1. 定义：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，此时既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔.此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们就说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件.此时p 与q 互为充要条件.2. p 与q 互为充要条件时，也称“p 等价于q ”“q 当且仅当p ”等.3. 根据充要条件的定义可知，若原命题“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”都是真命题，则p 与q 互为充要条件.例3 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？(1) p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分；(2) p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例；(3) p ：xy>0，q ：x>0，y>0；(4) p ：x =1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根，q ：a+b+c=0（a ≠0）.解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（也可能是菱形），所以q p ⇒，所以p 不是q 的充要条件.(2)因为“若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.(3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立（因为xy>0时，也可能x<0，y<0），所以p q ⇒，所以p 不是q 的充要条件.(4)因为“若p ，则q ”与“若q ，则p ”均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.小结：在命题中“若p ，则q ”中，如何判断p 与q 互为充要条件？只要判断出p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔即可，其实质都是判断命题“若p ，则q ”与它的逆命题的真假，若都为真，则p 与q 互为充要条件.探究二：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？(1)两组对边分别平行；。

集合与简易逻辑教案教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。

2. 学会运用集合的基本运算。

3. 理解简易逻辑的定义和性质。

4. 学会运用简易逻辑解决问题。

教学内容：第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的概念1.2 集合的表示方法1.3 集合的性质第二章：集合的基本运算2.1 集合的并集2.2 集合的交集2.3 集合的补集2.4 集合的幂集第三章：简易逻辑的基本概念3.1 简易逻辑的定义3.2 简易逻辑的性质3.3 简易逻辑的判定方法第四章：简易逻辑的应用4.1 简易逻辑在几何中的应用4.2 简易逻辑在代数中的应用4.3 简易逻辑在概率中的应用第五章：集合与简易逻辑的综合应用5.1 集合与简易逻辑的结合5.2 集合与简易逻辑在实际问题中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合与简易逻辑的基本概念、性质和应用。

2. 利用案例分析，让学生通过具体例子理解集合的基本运算和简易逻辑的判定方法。

3. 引导学生运用集合与简易逻辑解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力。

教学评估：1. 课堂练习：每章结束后，安排课堂练习，巩固所学知识。

2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

3. 课后作业：布置课后作业，检验学生对知识的掌握程度。

4. 期中期末考试：评估学生对整个课程的学习效果。

教学资源：1. 教材：《集合与简易逻辑》2. 课件：教师自制课件3. 案例分析：相关实际问题案例4. 练习题库：相关习题和解答教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时集合与简易逻辑教案教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。

2. 学会运用集合的基本运算。

3. 理解简易逻辑的定义和性质。

4. 学会运用简易逻辑解决问题。

教学内容：第六章：集合的分类6.1 集合的分类标准6.2 有序集合与无序集合6.3 集合的划分与覆盖第七章：集合与函数7.1 函数的定义与性质7.2 函数的图像与特征7.3 函数与集合的关系第八章：集合与数系8.1 自然数系8.2 整数系8.3 有理数系8.4 实数系第九章：集合与逻辑推理9.1 逻辑推理的基本形式9.2 集合与逻辑推理的关系9.3 集合逻辑推理的应用第十章：集合与简易逻辑的综合应用10.1 集合与简易逻辑在科学研究中的应用10.2 集合与简易逻辑在日常生活中的应用10.3 集合与简易逻辑在其它学科中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合与简易逻辑的基本概念、性质和应用。

高一开学第一课数学教案：集合与逻辑推理一、教学内容1.集合的定义和表示（1）集合是什么？（2）元素和属于关系（3）空集和全集（4）特殊集合2.集合的运算（1）交集（2）并集（3）差集（4）补集3.逻辑推理（1）命题和命题联结词（2）命题的真值表（3）命题的等价与蕴含（4）命题的否定、充分必要条件及其证明二、教学目标1.了解集合的定义和表示，掌握元素和属于关系；2.了解特殊集合的特点，如空集和全集等；3.掌握集合的运算，如交集、并集、差集和补集；4.了解命题和命题联结词，能够列出命题的真值表；5.能够判断命题的等价性和蕴含性，以及命题否定、充分必要条件及其证明。

三、教学内容详细介绍1.集合的定义和表示（1）集合是什么？集合是一组元素的总称。

元素可以是任何事物，如数字、字母、人、动物等等。

（2）元素和属于关系元素是集合中的一个个体，用小写字母表示，例如a、b、c等。

元素所在的集合用大写字母表示，例如A、B、C等。

当一个元素a属于集合A时，用符号“∈”表示：“a∈A”，称为“a属于A”，读作“a是A的元素”。

（3）空集和全集不包含任何元素的集合称为空集，用符号“∅”表示。

包含所有元素的集合称为全集，用符号“U”表示。

（4）特殊集合集合中的元素可以有特殊的性质和规律，如有限集、无限集、有序对和函数等，这些特殊的集合分别称为有限集、无限集、有序对和函数。

2.集合的运算（1）交集交集是集合的一种基本运算，表示两个集合中共同存在的元素组成的集合，用符号“∩”表示。

例如：A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B={2，3}。

（2）并集并集是集合的一种基本运算，表示两个集合中所有元素组成的集合，用符号“∪”表示。

例如：A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B={1，2，3，4}。

（3）差集差集是集合的一种基本运算，表示两个集合中不能同时存在的元素组成的集合，用符号“-”表示。

例如：A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A-B={1}。

第一章“集合与简易逻辑”教材分析本章安排的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点．本章共编排了8小节，教学时间约需22课时：1 1 集合约2课时1 2 子集、全集、补集约2课时1 3 交集、并集约2课时1 4 绝对值不等式的解法约2课时1 5 一元二次不等式的解法约4课时1 6 逻辑联结词约2课时1 7 四种命题约2课时1 8 充分条件与必要条件约2课时小结与复习约4课时说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素．一内容与要求大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节．第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料．这一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念．这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系．学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍．。