上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十PDF版含答案

参考答案：一、填空题：1.(,0)-∞ 2.32 3.83π 4.25 5.7 6.7267.2108.(2,4)9.2π10.12b c b +=-⎧⎨<-⎩（或11b c c +=-⎧⎨>⎩）11.312.33-二.选择题13.B14.D 15.A 16.D 三.解答题17、（1）π96；（2）196，7.6；18、（1）123；（2）3max =y ，此时()Z k k x ∈+=6ππ；19、（1）联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧=-=x y x y 4422，解得6=-B A y y ，827=∆AOB S ；（2）设点D 、M 、N 的纵坐标分别为321,,y y y ，AD 为抛物线px y 22=的一条弦，M 是AD 中点，且D A ,两点纵坐标之差为定值，即()021>=-a a y y A ，由已知的结论，得p a p a S AMD 168116233⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆，同理，可得p a p a S BND168116233⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆；20．(1)解设数列{}n a 的公差为d ，由113615511a d a d +=⎧⎨+=⎩，………………………………2分得112a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，n ∈N *；……………………4分(2)对任意m ∈N *，若1212212m m n ++<-<，则2112222m m n +<<+，故222m m m b =-,m ∈N *，…………………………………………………………6分S m =b 1+b 2+…+b m =(22+24+26+…+22m )–(2+22+23+…+2m )=21)21(241)41(4-----m m =322644+⨯-⨯m m ，………………………………8分令4462220183m m ⨯-⨯+>，解得23l 5.34og m +>≈，故所求最小整数m 为6；…………………………………………………………10分(3)1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+，22(21)111(21)(21)(21)n n n n λ-+≤≤+-++，…12分记2(21)1(21)(21)n n A n n -+=-+，211(21)n B n =++，n ∈N *，由221(21)1(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(21)(21)(23)n n n n n A A n n n n n n n +++-+--=-=++-+-++，知12A A =，且从第二项起，{}n A 递增，即1234A A A A =<<< 而211(21)n B n =++递减，故实数λ的范围为[]11,A B ,即210,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………18分【注】求出A 1给3分，求出B 1给2分，结论1分21、解(1)依据题意，知()21f x x =-，若(2)()f a x k f x -=⋅，即2(2)1(21)a x k x --=-.化简得2412x a kx k -+-=-，此等式对R x ∈都成立，则22,41.k a k =-⎧⎨-=-⎩解得1,1.2k a =-⎧⎪⎨=⎪⎩于是，函数()21f x x =-有理想数对1(,1)2-.所以，函数()f x M ∈.证明(2)用反证法证明()g x M ∉.假设()g x M ∈，则存在实数对(,)(0)a k k ≠使得(2)()g a x k g x -=⋅成立.又()2x g x =，于是，222a x x k -=⋅，即2222a x k =⋅.一方面，此等式对R x ∈都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随x 变化而变化的实数.这是矛盾！故假设不成立.因此，函数()g x 不存在理想数对(,)(0)a k k ≠，即()g x M ∉.解(3) 数对(2,1)(1,1)-和都是函数()h x 的理想数对，(4)(),(2)(),R h x h x h x h x x ∴-=-=-∈.(4)(4(4))(2(2))(2)(4(2))(2)().h x h x h x f x h x h x h x ∴+=-+=-+=-+=---=--=∴函数()h x 是以4为周期的周期函数.由(2)(),(2)()0,R h x h x h x h x x -=--+=∈，可知函数()h x 的图像关于点(1,0)成中心对称图形.又11x -≤≤时，2()1h x x =-.13121x x ∴<≤-≤-<时，，则2()(2)(2)1h x h x x =--=--.先画出函数()h x 在[1,3]-上的图像，再根据周期性，可得到函数()h x的图像如下：221(2),2121,()(2)1,212 1.x k k k x k h x x k k k x k ⎧---≤<+⎪∴=⎨---≤<+⎪⎩为偶数，为奇数，2()1(8),79h x x x ∴=--≤≤；2()1(12),1113h x x x =--≤≤.由2()1(8),(79)h x x x y mx ⎧=--≤≤⎨=⎩有且仅有一个交点，解得1616)m m =-=+.由2()1(12),(1113)h x x x y mx ⎧=--≤≤⎨=⎩有且仅有一个交点，解得2424)m m =-=+.∴函数(0)y mx m =>的图像与函数()h x 的图像在区间[0,12]上有且仅有5个交点时，实数m的取值范围是2416m -<<-。

2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为〔结果用数值表示〕．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立 24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔 〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．26．函数，求f 〔x 〕的最小正周期及最大值，并指出f 〔x 〕取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．数列{a n }是公差为2的等差数列． 〔1〕a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；〔2〕设a 1=﹣19，数列{a n }的前n 项和为S n ．数列{b n }满足，记〔n ∈N *〕，求数列{c n }的最小项〔即对任意n ∈N *成立〕．29．对于函数f 〔x 〕，g 〔x 〕，记集合D f ＞g ={x|f 〔x 〕＞g 〔x 〕}．〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3．【考点】复数的根本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3，故答案为：3．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法那么化简求解即可．【解答】解：log2〔x+1〕=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞〕．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞〕．故答案为[2，+∞〕．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号〔﹣1〕i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：〔﹣1〕1+3||=〔4×2+1×0〕=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，可得函数的图象经过点〔1，2〕，即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，∴函数的图象经过点〔1，2〕，∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24〔结果用数值表示〕．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+〔2﹣i〕=﹣a，解得a=﹣4．那么a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f〔x〕=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴对称轴x=1，∴f〔1〕=0，f〔2〕=1，f〔0〕=1，∵f〔x〕=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法那么．【分析】此题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到此题答案．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB中点M〔x′，y′〕．∵x′=，y′=，∴=〔x1+x2，y1+y2〕=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴〔x﹣3〕2+y2=4，圆心C〔3，0〕，半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=〔AB〕2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，那么角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．应选择B．14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π【考点】球的体积和外表积．【分析】利用球的外表积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的外表积为4π×12=4π，应选：D．15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：〔1+x〕6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．应选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕，可排除A，B；值域为〔0，+∞〕可排除D，应选：C．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．应选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，应选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，那么当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，∴从“k→k+1〞需增添的项是2k+1+2〔k+1〕，∴1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕．应选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为〔±，0〕，即为〔±2，0〕，渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为〔0，±2〕，渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．应选：B．21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．∴“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的必要不充分条件．应选：B．22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的根本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=〔a﹣b〕2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=〔a+b〕2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；应选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，那么=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x1x2+y1y2+〔x2y1+x1y2〕=〔x2y1+x1y2〕，无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，那么=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x 1x 2+y 1y 2+〔x 2y 1+x 1y 2〕=〔x 2y 1+x 1y 2〕，无法得到=0，因此不一定正确．应选：A ．24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔 〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上， 那么=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 应选：B ．三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．函数，求f〔x〕的最小正周期及最大值，并指出f〔x〕取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f〔x〕的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如下图：那么：设抛物线方程为y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．数列{a n}是公差为2的等差数列．〔1〕a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；〔2〕设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记〔n∈N*〕，求数列{c n}的最小项〔即对任意n∈N*成立〕．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】〔1〕利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能求出〔2〕由利用累加法能求出b n=2﹣〔〕n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1数列{c n}的最小项．【解答】解：〔1〕∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8〕〔2〕b n=b1+〔b2﹣b1〕+〔b3﹣b2〕+…+〔b n﹣b n﹣1=1+==2﹣〔〕n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f〔x〕＞g〔x〕}．29．对于函数f〔x〕，g〔x〕，记集合D f＞g〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】〔1〕直接根据新定义解不等式即可，〔2〕方法一：由题意可得那么在R上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：〔1〕由2|x|＞x+3，得D f＞g〔2〕方法一：，，由，那么在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，〔a＜0〕又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二〔2〕，，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，即sin〔﹣x+φ〕=sin〔x+φ〕，∴〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．应选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，那么|x+yi﹣1|==4，∴〔x﹣1〕2+y2=16，∴运动轨迹是圆，应选：D．32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f〔x〕图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，那么k BE=，直线BE与f〔x〕图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f〔x〕图象最多交于三点，即直线y=与f〔x〕图象最多交于三点，∴k≠．排除D．应选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】〔1〕利用“并数列〞的定义即可得出．〔2〕利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：〔1〕〔1，2，3〕，〔1，2，5〕，〔1，3，3〕，〔1，3，5〕；〔2〕a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．2021年7月25日。

2021年上海市高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2021•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（4分）（2021•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（4分）（2021•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（4分）（2021•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=1．【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系得到4x﹣2x+1=0，求解x的值得答案．【解析】：解：由4x﹣2x+1=0，得（2x）2﹣2•2x=0，即2x=0（舍）或2x=2，解得x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系，是基础题．6．（4分）（2021•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，由此能求出“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率．【解析】：解：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（4分）（2021•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画出图形，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径，则当且同向时，则取得最大值．【解析】：解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×=，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；故答案为：．【点评】：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（4分）（2021•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：y=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．对x分类讨论：当x≥1时，f（x）=1+2log2x；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x；当时，f（x）=1，即可得出．【解析】：解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；当时，f（x）=1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5﹣x的交点，结合图求解即可．【解析】：解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，12．（4分）（2021•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（4分）（2021•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是①②④．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：解三角形．【分析】：由题意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是锐角，从而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及两角和的余弦公式结合三角函数值的符合即可判断得解．【解析】：解：∵2SsinA＜（•）sinB，∴2×bcsinA×sinA＜cacosBsinB，∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，则cosB＞sinA＞0，可得：A、B均是锐角，而cosB=sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sinA，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C=＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A=＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA＜0，故③不正确；故答案为：①②④．【点评】：本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的余弦公式等知识的应用，借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，属于中档题．14．（4分）（2021•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p ﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣29}．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：从{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}中任取两值作为a2，a3的值，求出p．从而求出a4，a5，由此能求出a1所有可能值的集合．【解析】：解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，=﹣4，不成立；（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（3）取a2=﹣19，a3=5时，5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=5×=﹣7，a5=﹣7×=﹣1，不成立；（4）取a2=﹣19，a3=10时，10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=10×=﹣，不成立；（5）取a2=﹣19，a3=29时，29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（7）取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；（8）取a2=﹣7，a3=10时，10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，=，不成立；（9）取a2=﹣7，a3=29时，29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2=﹣3，a3=5时，5=﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2=﹣3，a3=10时，10=﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2=﹣5，a3=29时，29=﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2=5，a3=﹣19时，﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（17）取a2=5，a3=﹣7时，﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣1，不成立；（18）取a2=5，a3=﹣3时，﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（19）取a2=5，a3=10时，10=5p+3p﹣3，解得p=，=，不成立；（20）取a2=5，a3=29时，29=5p+3p﹣3，解得p=4，a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；（21）取a2=10，a3=﹣19时，﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣，不成立；（22）取a2=10，a3=﹣7时，﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×=﹣，不成立；（23）取a2=10，a3=﹣3时，﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（24）取a2=10，a3=5时，5=10p+3p﹣3，解得p=，a4=5×﹣3=，不成立；（25）取a2=10，a3=29时，29=10p+3p﹣3，解得p=，a4=29×+3×=，不成立；（26）取a2=29，a3=﹣19时，﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，=5，，29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；（27）取a2=29，a3=﹣7时，﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；（28）取a2=29，a3=5时，5=29p+3p﹣3，解得p=，a4==1，不成立；（29）取a2=29，a3=10时，10=29p+3p﹣3，解得p=，a4=10×=，不成立；（30）取a2=29，a3=﹣3时，﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）（2021•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（5分）（2021•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B．1 C．256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解析】：解：令二项式（2﹣）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（5分）（2021•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（5分）（2021•闵行区一模）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2021的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（）A．k=4．B．k=2．C．k=1．D．k的值与公差d的大小有关．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2021的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2021﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2021﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以k==2，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2021•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：解法一：利用线面垂直的判定定理可得：A1C1⊥平面BB1C1C，因此∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．利用tan∠A1BC1=即可得出．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，利用线面角公式：即可得出．【解析】：解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1=y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的向量计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2021•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（14分）（2021•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）代入点P，求得a2=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．【解析】：解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2=2，又•=0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0得c=1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2=2，y1+y2=1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2=2得，即有x1+x2=2，x1x2=．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2=2得，则有．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和点差法、弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（16分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．【解析】：解：（1）=，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．23．（18分）（2021•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=2022成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：（1）法1、求数列{a n}、{b n}的通项公式，在于求等差数列的公差和等比数列的首项和公比，设出等差数列{a n}的公差d和等比数列{b n}的公比为q．在已知数列递推式中令n=1，2，3分别得到关于待求量的关系式，然后求解公差和公比，则等差数列的公差和等比数列的公比可求；法2：由已知数列递推式取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后得到，由数列{a n}为等差数列，可令a n=kn+b，得，由，得（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，由系数为0求得q，b，k的值得数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，由（4p+4）2﹣2q=2022，得4p2+8p﹣501为奇数，进一步得到2q﹣2为奇数，求得q=2，进一步求出，这与p∈N*矛盾；（3）把数列{a n}的通项公式代入λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos整理，设，可得数列{b n}单调递增．则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n，然后假设存在实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，分n为奇数和n为偶数求得，结合λ是非零整数可求得满足条件的λ．【解析】：解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得：或．经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1=4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n=kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，∴q=2，b=0，又a1=2，∴k=2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2022，化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q=2．得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n=2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化、分类讨论、分离参数等数学思想方法，属难题．。

2021年上海市金山区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 在(1+2x)4的二项展开式中，二项式系数的和为( )A. 8B. 16C. 27D. 812. “|x −1|<2成立”是“x(x −3)<0成立”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x +3)=f(x)，f(1)=−3，数列{a n }满足S n =2a n +n(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f(a 5)+f(a 6)=( )A. −3B. −2C. 3D. 24. 已知△ABC 的外接圆圆心为O ，∠A =120°，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，则x +y 的最小值为( )A. 12B. 23C. 32D. 2二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 若函数y =sin(2x +π4)，则它的最小正周期T =______． 6. 若复数z =2+i1−2i (i 为虚数单位)，则z 的模|z|=______． 7. 若矩阵A =(sinθm ncosθ)，B =(m sinθcosθn)，且A =B ，则m 2+n 2=______． 8. 若函数y =log 2(x −m)+1的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m =______． 9. 已知集合M ={y|y =3sinx,x ∈R}，N ={x||x|<a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是______． 10. 已知F 1、F 2是椭圆x 225+y 216=1的两个焦点，AB 是过点F 1的弦，则△ABF 2的周长是______．11. 在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______(结果用数值表示)．12. 在直角三角形ABC 中，AB =5，AC =12，BC =13，点M 是△ABC 外接圆上的任意一点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是______．13. 已知实数a 、b 、c 成等差数列，则点P(−1,0)到直线ax +by +c =0的最大距离是______．14.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，以这3个点为顶6点构成的三角形的周长为18，则此球的半径为______．15.关于x的方程x2+ax+b−3=0(a,b∈R)在[1,2]上有实根，则a2+(b−4)2的最小值为______．16.若f(x)=|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2020|+|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2020|，x∈R，且f(a2−3a+2)=f(a−1)，则满足条件的所有整数a的和是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a=4√3，b=6，cosA=−1．3(1)求c；(2)求cos2B的值．18.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是．边长为2的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为π4(1)求三棱锥P−ABC的体积V；(2)若D为PB的中点，求异面直线PA与CD所成角的大小．19. 已知定义域为R 的函数f(x)=1−2x 1+2x．(1)试判断函数f(x)=1−2x 1+2x在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(2)若对于任意t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．20. 已知点P 在抛物线C ：y 2=4x 上，过点P 作圆M ：(x −3)2+y 2=r 2(0<r ≤√2)的两条切线，与抛物线C 分别交于A 、B 两点，切线PA 、PB 与圆M 分别相切于点E 、F ．(1)若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标； (2)若点P 的坐标为(1,2)，且r =√2时，求PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (3)若点P 的坐标为(1,2)，设线段AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围．21. 若数列{a n }满足1λ≤a n+1a n≤λ(λ>1，且λ为实常数)，n ∈N ∗，则称数列{a n }为B (λ)数列．(1)若数列{a n }的前三项依次为a 1=2，a 2=x ，a 3=9，且{a n }为B(3)数列，求实数x 的取值范围；(2)已知{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列，且a 1>0，记T n =|a 2−a 1|+|a 3−a 2|+⋯+|a n+1−a n |.若存在数列{a n }为B(4)数列，使得n →∞limT n+1−tT nT n≤0成立，求实数t 的取值范围；(3)记无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，证明：“0≤da 1≤λ−1”是“{a n }为B (λ)数列”的充要条件．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在(1+2x)4的二项展开式中，二项式系数的和为2n=24=16，故选：B．由题意利用二项式系数的性质，求得二项式系数的和．本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出不等式的解集，即可判断出关系．【解答】解：由|x−1|<2解得：−2+1<x<2+1，即−1<x<3．由x(x−3)<0，解得0<x<3．“|x−1|<2成立”是“x(x−3)<0成立”必要不充分条件．故选：B．3.【答案】C【解析】解：数列{a n}满足S n=2a n+n，当n=1时，a1=S1=2a1+1，解得a1=−1，∴当n≥2时，S n−1=2a n−1+n−1，则a n=2a n−2a n−1+1，即a n=2a n−1−1，∴a n−1=2(a n−1−1)(n≥2)，又∵a1−1=−2，∴数列{a n−1}是首相为−2，公比为2的等比数列，∴a n−1=−2×2n−1=−2n，∴a n=1−2n，此式对n=1也成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=1−2n，∴a5=−31，a6=−63，由定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x+3)=f(x)，f(1)=−3，可知，f(x)的周期为3，且f(−1)=−f(1)=3，f(0)=0， ∴f(a 5)+f(a 6)=f(−31)+f(−63)=f(−1)+f(0)=3． 故选：C ．由S n =2a n +n ，可得出a n =2a n−1−1，从而求出a 5=−31，a 6=−63，而由f(x +3)=f(x)可知f(x)的周期为3，从而可以得出f(a 5)+f(a 6)=f(−1)+f(0)，而f(x)为R 上的奇函数可得f(−1)=3，f(0)=0，从而可得出f(a 5)+f(a 6)的值．本题主要考查数列与函数的综合，考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12bc ， 分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12c 2， 同理AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b 2， ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴12c 2=xc 2−bcy ，即12c =cx −12by①，同理，12b =−12cx +by②，①②联立得，x =b3c +23，y =c3b +23， ∴x +y =b 3c+c 3b +43≥2√b3c⋅c 3b+43=2，当且仅当b3c =c3b 即b =c 时取等号，此时x +y 取得最小值2， 故选：D ．由已知结合锐角三角定义及平面向量基本定理可得，x =b3c +23，y =c3b +23，然后结合基本不等式可求x +y 的最小值．本题主要考查了平面向量基本定理的应用及基本不等式求解最值，属于中档题．5.【答案】π【解析】解：函数y =sin(2x +π4)的最小正周期为T =2π2=π．故答案为：π．根据正弦函数的性质周期公式即可求解． 本题主要考查正弦函数的性质．周期的求法．6.【答案】1【解析】解：复数z =2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i 5==i ，所以|z|=1． 故答案为：1．由复数的除法运算化简z ，由复数的模的计算公式即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．7.【答案】1【解析】矩阵A =(sinθm ncosθ)，B =(m sinθcosθn)，且A =B ， 可得A 、B 矩阵对应位置上的元素相等， 故m =sinθ，n =cosθ， m 2+n 2=sin 2θ+cos 2θ=1； 故答案为：1．利用矩阵相等的性质进行求解，可得m =sinθ，n =cosθ，即可得到答案． 本题主要考查了矩阵相等的性质，以及同角三角函数的关系，是基础题．8.【答案】2【解析】解：∵函数y =log 2(x −m)+1的反函数的图象经过点(1,3)， ∴函数y =log 2(x −m)+1的图象过点(3,1)， ∴1=log 2(3−m)+1 ∴log 2(3−m)=0， ∴3−m =1， ∴m =2． 故答案为：2．由题意可得函数y =log 2(x −m)+1过(3,1)，从而可求得m ．本题考查反函数，掌握互为反函数的两个函数之间的关系是解决问题的关键，属于基础题．9.【答案】(3,+∞)【解析】解：集合M={y|y=3sinx,x∈R}=[−3，3]，N={x||x|<a}=(−a,a)，因为M⊆N，所以a>3，即实数a的取值范围是(3,+∞)．故答案为：(3,+∞)．分别求出集合M，N，再由M⊆N，可得关于a的不等式，解之即可得结论．本题主要考查集合的包含关系即应用，考查三角函数的值域及绝对值不等式的解法，属于基础题．10.【答案】20【解析】解：∵椭圆的方程为x225+y216=1，∴a=5，根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，∴△ABF1的周长|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=20，故答案为：20．根据椭圆的方程算出a=5，由椭圆的定义得到|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，由此将△ABF1的周长分成|AF1|+|AF2|、|BF1|+|BF2|两部分，即可得到所求△ABF1的周长本题给出椭圆经过右焦点的弦AB与左焦点F1构成的三角形，求△ABF1的周长．着重考查了椭圆的定义与标准方程的知识，属于基础题．11.【答案】0.3【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C53种结果满足条件的是剩下两个数字都是奇数，即取出的三个数为两偶一奇有C22C31种结果，∴剩下两个数字都是奇数的概率是P=C22C31C53=310=0.3．故答案为：0.3由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C 53种结果满足条件的是剩下两个数字都是奇数，即取出的三个数为两偶一奇有C 22C 31种结果，根据古典概型公式得到结果．本题主要考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题12.【答案】45【解析】解：解法一、Rt △ABC 的外心即斜边BC 中点O ， 由平面向量的线性运算知，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图可知：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠C =5×132×513=252，当OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为5×132=652，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为252+652=45．解法二、建立平面直角坐标系，如图所示：A(0,0)，B(5,0)，C(0,12)， △ABC 外接圆(x −52)2+(y −6)2=1694，设M(52+132cosθ,6+132sinθ)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(52+132cosθ,6+132sinθ)， AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =252+652cosθ≤45，当且仅当cosθ=1时取等号．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是45． 故答案为：45．解法一、由平面向量的线性运算法则，计算AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即可；解法二、建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． 本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形外接圆应用问题，是中档题．13.【答案】2√2【解析】解：根据题意，过点P 作直线ax +by +c =0的垂线，Q 为垂足， 若a ，b ，c 成等差数列，即2b =a +c ，则直线ax +by +c =0为2ax +(a +c)y +2c =0，即a(2x +y)+c(y +2)=0，恒过定点M(1,−2)又由PQ 垂直于直线ax +by +c =0，故△PQM 为直角三角形， 则Q 的轨迹是以PM 为直径的圆，即x 2+(y +1)2=2，则点P(−1,0)到直线ax +by +c =0的距离即|PQ|的长，其最大值为|PM|=2√2， 故答案为：2√2．根据题意，过点P 作直线ax +by +c =0的垂线，Q 为垂足，分析可得直线ax +by +c =0恒过定点M(1,−2)，又由恒过定点M(1,−2)，分析可得△PQM 为直角三角形，即可得Q 的轨迹，结合点与圆的位置关系可得答案．本题考查圆的方程的应用，涉及与圆的轨迹问题，属于综合题．14.【答案】6【解析】解：因为球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，△ABC 是正三角形，三角形的周长为18，可得边长为6，故正三角形ABC 的外径2r =6sin60∘=4√3⇒r =2√3，故高AD =32r =3√3，D 是BC 的中点．在△OBC 中，BO =CO =R ，∠BOC =π3，所以BC =BO =R ，BD =12BC =12R. 在Rt △ABD 中，AB =BC =R ，所以由AB 2=BD 2+AD 2，得R 2=14R 2+27， 所以R =6． 故答案为：6．因为正三角形ABC的外径r=2√3，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，即可解出R．本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．15.【答案】2【解析】解：由x2+ax+b−3=0，知b=−x2−ax+3，所以a2+(b−4)2=a2+(−x2−ax−1)2=a2+(x2+1)2+2ax(x2+1)+a2x2=(x2+1)(x2+1+2ax+a2)=(x2+1)(x+a)2+x2+1，因为x∈[1,2]，所以a2+(b−4)2≥x2+1≥2，当x=1，a=−1，b=3时，等号成立，所以a2+(b−4)2的最小值为2．故答案为：2．根据题意可得b=−x2−ax+3，推出a2+(b−4)2=(x2+1)(x+a)2+x2+1≥x2+1≥2，x∈[1,2]，即可得出答案．本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化思想，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．16.【答案】6【解析】解：f(x)=|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2020|+|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2020|，则f(−x)=|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2020|+|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2020|，可得f(−x)=f(x)，∴函数是偶函数，若f(a2−3a+2)=f(a−1)则a2−3a+2=a−1①或a2−3a+2=−(a−1)②由①，得a2−3a+2=(a−1)(a−2)=a−1，即(a−1)(a−3)=0，解得a=1或a=3；由②，得a2−3a+2=(a−1)(a−2)=−(a−1)，即(a−1)(a−1)=0，解得a=1；∴a=1或a=3，又f(0)=f(1)=f(−1)，∴当a=2时，也满足要求，∴a的值有3个，可得1+2+3=6．故答案为：6．通过函数的奇偶性，即可得到关系式，然后求出a的值．本题考查带绝对值的函数；函数的值．函数的奇偶性的应用，考查计算能力．属于基础题．17.【答案】解：(1)由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccosA，即48=36+c2−2×6×c×(−13)，整理得，c2+4c−12=0，解得c=2或−6(舍负)，故c=2．(2)∵cosA=−13，且A∈(0,π)，∴sinA=√1−cos2A=2√23，由正弦定理知，asinA =bsinB，即4√32√23=6sinB，∴sinB=√63，∴cos2B=1−2sin2B=−13．【解析】(1)由余弦定理即可求得c的值；(2)先由同角三角函数的平方关系求得sin A的值，再由正弦定理求出sin B的值，最后根据cos2B=1−2sin2B，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵PA⊥底面ABC，∴∠PBA为侧棱PB与底面所成的角等于π4，则△PAB为等腰直角三角形，且PA=AB，又AB=2，则PA=2，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴S△ABC=12×2×2×√32=√3，∴三棱锥P−ABC的体积V=13S△ABC×PA=13×√3×2=2√33；(2)取AB的中点O，连接OD，则OD//PA，∴∠CDO为异面直线PA与CD所成角，∵PA⊥底面ABC，PA//OD，∴OD⊥底面ABC，则OD⊥OC，在Rt △COD 中，OD =12PA =1，OC =√22−12=√3， ∴tan∠CDO =OCOD=√3，得∠CDO =π3． 即异面直线PA 与CD 所成角的大小为π3．【解析】(1)由已知求得PA ，再求出底面三角形ABC 的面积，再由棱锥体积公式求解； (2)取AB 的中点O ，连接OD ，则OD//PA ，得∠CDO 为异面直线PA 与CD 所成角，再由已知求解直角三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=1−2x 1+2x 即f(x)=−1+21+2x 在R 上递减，理由：设x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=21+2x 1−21+2x 2=2(2x 2−2x 1)(1+2x 1)(1+2x 2)，由x 1<x 2，可得2x 1<2x 2，即2x 2−2x 1>0，又1+2x 1>0，1+2x 2>0， 则2(2x 2−2x 1)(1+21)(1+22)>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 故f(x)在R 上递减； (2)由f(−x)=1−2−x 1+2−x=2x −12x +1=−f(x)，可得f(x)为奇函数，f(t 2−2t)+f(t 2−k)<0即为f(t 2−2t)<−f(t 2−k)=f(k −t 2)， 由f(x)在R 上递减，可得t 2−2t >k −t 2，对于任意t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(t 2−k)<0恒成立， k <2t 2−2t 恒成立，2t 2−2t =2(t −12)2−12，当t =12时，2t 2−2t 取得最小值−12，则k <−12，即k 的取值范围是(−∞,−12).【解析】(1)f(x)在R 上递减，运用单调性的定义和指数函数的单调性和值域，可得证明；(2)首先判断f(x)为奇函数，结合单调性，原不等式化为t 2−2t >k −t 2，分离参数，由二次函数的最值求法，即可求实数k 的取值范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由圆的方程知圆心M(3,0)，由抛物线方程知，准线方程为x =−1， 设P(x 0,y 0)，又PM =PC ，所以PM 2=PC 2，即(x 0−3)2+y 02=(x 0+1)2，①又点P 在抛物线C 上，所以y 02=4x 0，②将②代入①，得(x 0−3)2+4x 0=(x 0+1)2， 解得x 0=2，所以y 0=±√4x 0=±2√2， 所以点P 坐标为(2,2√2)或(2,−2√2). (2)设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，则PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)−(1,2)=(x 1−1,y 1−2)， ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)−(3,0)=(x 1−3,y 1)， 又PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 1−3)+(y 1−2)y 1=0，所以x 12−4x 1+3+y 12−2y 1=0，所以x 1+x 2=4，x 1x 2=3，y 1+y 2=2，y 1y 2=0， 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2) =x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2−2(y 1+y 2)+4， =3−4+1+0−4+4=0． PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为0； (3)由题意知，过点P 引圆(x −3)2+y 2=r 2的切线斜率存在， 设切线PA 的方程为y =k 1(x −1)+2， 则圆心M 到切线PA 的距离d =1√k 1+1=r ，整理得(r 2−4)k 12−8k 1+r 2−4=0，设切线PB 的方程为y =k 2(x −1)+2，同理可得(r 2−4)k 22−8k 2+r 2−4=0，所以k 1，k 2是方程(r 2−4)k 2−8k +r 2−4=0的两个根， 所以k 1+k 2=8r −4，k 1k 2=1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点为D ，联立得{y =k 1(x −1)+2y 2=4x ，整理得k 1y 2−4y −4k 1+8=0，所以2⋅y 1=8−4k 1k 1，即y 1=4−2k 1k 1=4k 1−2=4k 2−2，同理可得y 2=4k 1−2，点D 的纵坐标为t =y 1+y 22=4k 2−2+4k 1−22=2(k 1+k 2)−2，又k 1+k 2=8r 2−4(0<r ≤√2)，所以t =2×8r 2−4−2=16r 2−4−2， 所以0<r 2≤2，所以−4<r 2−4≤−2，所以−8≤16r 2−4<−4， 所以−10≤16r 2−4−2<−6， 所以t 的取值范围为[−10,−6)．【解析】(1)由已知得圆心M(3,0)，抛物线准线方程为x =−1，设P(x 0,y 0)，又PM =PC ，推出(x 0−3)2+y 02=(x 0+1)2①，y 02=4x 0②，由①②推出x 0，y 0，进而可得点P坐标．(2)设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，写出PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标，由PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 推出x 12−4x 1+3+y 12−2y 1=0，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1+y 2，y 1y 2，再计算PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案． (3)设切线PA 的方程为y =k 1(x −1)+2，切线PB 的方程为y =k 2(x −1)+2，计算圆心M 到切线PA 的距离d =r ，得k 1，k 2是方程(r 2−4)k 2−8k +r 2−4=0的两个根，由韦达定理得k 1+k 2，k 1k 2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点为D ，联立直线PA 与抛物线方程，得关于y 的一元二次方程，再结合韦达定理可得y 1，同理可得y 2，再得到点D 的纵坐标为t =2(k 1+k 2)−2，再求范围即可．本题考查圆与圆锥曲线的综合问题，考查了转化思想，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为{a n }为B(3)数列，所以13≤a n+1a n≤3，则{13≤x2≤313≤9x ≤3，解得3≤x ≤6，即x 的取值范围是[3,6]；(2)由数列{a n }为B(4)数列，可得14≤a n+1a n=q <1或1<q ≤4，当14≤q <1时，由a 1>0，a n+1−a n =a 1q n−1(q −1)<0，所以|a n+1−a n |=a n −a n+1． 则T n =a 1−a 2+a 2−a 3+⋯+a n −a n+1=a 1−a n+1=a 1(1−q n )， 所以n →∞limT n+1−tT nT n=n →∞lim1−t−(q−t)q n1−q n=1−t ≤0，即t ≥1；当1<q ≤4时，由a 1>0，a n+1−a n =a 1q n−1(q −1)>0，所以|a n+1−a n |=a n+1−a n ．则T n =a 2−a 1+a 3−a 2+⋯+a n+1−a n =a n+1−a 1=a 1(q n −1)，所以n →∞limT n+1−tT nT n=n →∞lim(q−t)q n −1+tq n −1=n →∞limq−t−1−t q n 1−1qn=q −t ≤0，即t ≥q ，所以t >1，则t 的取值范围是(1,+∞)；(3)先证充分性．因为0≤da 1≤λ−1，所以a 1≠0，{a n }为等差数列，所以当d =0时，a n =a 1≠0，此时a n+1a n=1，由λ>1，所以1λ≤a n+1a n=1≤λ成立，所以{a n }为B(λ)数列；当d ≠0时，a n+1a n =a 1+nda1+(n−1)d =a 1+(n−1)d+d a 1+(n−1)d=1+da1+(n−1)d=1+1a 1d+n−1，因为0≤d a 1≤λ−1，所以a 1d ≥1λ−1，所以0≤1a 1d+n−1≤λ−1(n−1)(λ−1)+1，即有1≤a n+1a n≤n(λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1，因为λ>1，所以n(λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1=(n−1)(λ−1)+(λ−1)+1(n−1)(λ−1)+1=1+λ−1(n−1)(λ−1)+1=1+1n−1+1λ−1≤1+11λ−1=λ，所以1λ≤1≤a n+1a n≤λ恒成立，所以{a n }为B(λ)数列，综上可得，{a n }为B(λ)数列；再证必要性．因为{a n }为B(λ)数列，所以1λ≤a n+1a n≤λ恒成立，所以a 1≠0，当d =0时，0≤da 1≤λ−1显然成立；当d ≠0时，因为a n+1a n ≥1λ>0，所以{a n }的每一项同号，所以a 1与d 也同号，所以da 1≥0，因为1λ≤a n+1a n≤λ恒成立，所以n =1时，1λ≤a2a 1≤λ成立，因为{a n }为等差数列，a 2=a 1+d ，a2a 1=a 1+d a 1=1+d a 1，所以1λ≤1+d a 1≤λ，即为1λ−≤da 1≤λ−1，0≤da 1≤λ−1，综上可得，“0≤da 1≤λ−1”是“{a n }为B (λ)数列”的充要条件．【解析】(1)由题意可得13≤a n+1a n≤3，可得x 的不等式组，解得x 的范围；(2)由题意可得14≤a n+1a n=q <1或1<q ≤4，分别讨论q 的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可得到所求范围；(3)先证充分性，讨论d 是否为0，结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及B (λ)数列的定义，可得证明；再证必要性，同样讨论d 是否为0，结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用、数列的极限的求法和充要条件的证明，考查分类讨论思想和转化思想、运算求解能力和逻辑推理能力，是一道综合题．。

2016-2021年高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每题4分，共56分）1．设复数z1=1+i，z2=2+xi，（x∈R），若z1•z2∈R，则x的值等于．2．函数f（x）=+的定义域是．3．已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．4．在二项式的展开式中，x的一次项系数为．（用数字表示）5．已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．6．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为．7．设无穷等比数列{a n}（n∈N*）的公比q=﹣=1，则=．8．为了估计鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每条尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时机，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．11．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）=，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为．12．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．13．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．14．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）15．若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（）A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q16．已知圆x2+y2=1及以下三个函数：（1）f（x）=x3；（2）f（x）=xcosx；（3）f（x）=tanx．其中图象能等分圆的面积的函数个数为（）A．3 B．2 C．1 D．017．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．18．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（共5大题，满分74分）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=cos2x sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；月数 1 2 3 4 …污染度60 31 13 0 …污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），g（x）=（x≥1），h（x）=30|log2x﹣2|（x≥1），其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？22．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．23．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每题4分，共56分）1．设复数z1=1+i，z2=2+xi，（x∈R），若z1•z2∈R，则x的值等于﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由虚部等于0求得x的值．【解答】解：∵z1=1+i，z2=2+xi，由z1•z2=（1+i）（2+xi）=（2﹣x）+（x+2）i∈R，得x+2=0，即x=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数f（x）=+的定义域是[0，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则，解得0≤x＜1，故函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】此题主要考查函数定义域的求法问题，题中涉及到对数函数和幂函数的定义域求法，计算量小，属于基础题目．3．已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题．【分析】首先应理解线性方程组增广矩阵的涵义，由增广矩阵即可直接写出原二元线性方程组．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到线性方程组的表达式：．故答案为：．【点评】此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．4．在二项式的展开式中，x的一次项系数为﹣10．（用数字表示）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】运用二项式的通项公式，即得T r+1=，化简整理，再令x的指数为，即可得到系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1==，令10﹣3r=1，解得，r=3．则有x的一次项系数为=﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式的展开式的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可求出渐近线的斜率，由此求出k的值即可．【解答】解：由题意双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可得渐近线的斜率为﹣，由于双曲线的渐近线方程为y=±kx故k=，故答案为：【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线的法向量是（1，2），由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．6．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为3π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．【解答】解：圆锥的高为1，底面半径为3，所以圆锥的母线为：，圆锥的侧面积：×2×3×π×=3π，故答案为：3π．【点评】本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．7．设无穷等比数列{a n}（n∈N*）的公比q=﹣=1，则=﹣．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】运用等比数列的通项公式，求出数列{a2n}为公比为，首项为﹣的等比数列，再由无穷递缩等比数列的求和公式，即可得到极限．【解答】解：a2=a1q=﹣，a4=a1q3=﹣，…，a2n=a1q2n﹣1=（﹣）2n﹣1．则数列{a2n}为公比为，首项为﹣的等比数列，则===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的和，考查等比数列的通项和求和，考查运算能力，属于基础题．8．为了估计鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每条尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时机，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为30000．【考点】收集数据的方法．【专题】概率与统计．【分析】根据题意，利用抽样方法中样本与总体的比例是一致的，列出方程，求出该鱼塘中鱼的尾数即可．【解答】解：根据题意，设该鱼塘中鱼的尾数为x，则；=，解得x=30000；∴估计该鱼塘中鱼的尾数为30000．故答案为：30000．【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，是基础题目．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为8．【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的方程可求得其焦点坐标，和k的坐标，过A作AM⊥准线，根据抛物线的定义可知|AM|=|AF|根据已知条件可知|AK|=|AM|，设出A的坐标，利用|AK|=|AF|求得m，然后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：F（2，0）K（﹣2，0）过A作AM⊥准线则|AM|=|AF|∴|AK|=|AM|∴△AFK的高等于|AM|设A（m2，2m）（m＞0）则△AFK的面积=4×2m=4m又由|AK|=|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=2，∴△AFK的面积=4×2m=8故答案为：8【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【考点】等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【专题】等差数列与等比数列；概率与统计．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）=，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为﹣10．【考点】函数的周期性；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由周期性可得f（）=f（﹣2）=f（﹣），代已知解析式可得3a+2b=﹣2，①，再由f（﹣1）=f（1）可得﹣a+1=，②，联立①②可解得a=2，b=﹣4，可得a+3b的值．【解答】解：由题意可得f（）==，又f（）=f（﹣2）=f（﹣）=+1，∴=+1，∴3a+2b=﹣2，①又∵f（﹣1）=f（1），∴﹣a+1=，②联立①②解得a=2，b=﹣4，∴a+3b=﹣10故答案为：﹣10【点评】本题考查函数的周期性，涉及分段函数和方程组的解法，属基础题．12．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即2=a2+c2﹣ac，∴2+ac=a 2+c2≥2ac，即ac≤=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=”，∵S△ABC=acsinB=ac，∴△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．13．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．14．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）15．若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（）A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用作差法即可得到结论．【解答】解：p﹣q=﹣a﹣b==（b2﹣a2）=，∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a=b，则p﹣q=0，此时p=q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B【点评】本题主要考查不等式的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．16．已知圆x2+y2=1及以下三个函数：（1）f（x）=x3；（2）f（x）=xcosx；（3）f（x）=tanx．其中图象能等分圆的面积的函数个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】若图象能等分圆的面积，则等价为函数为奇函数，关于原点对称即可．【解答】解：若函数图象能等分圆的面积，则函数为奇函数，则：（1）f（x）=x3；为奇函数，满足条件．（2）f（x）=xcosx；为奇函数，满足条件．（3）f（x）=tanx．为奇函数，满足条件，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，比较基础．17．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数单调性的性质；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．【解答】解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．18．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=﹣，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．三、解答题（共5大题，满分74分）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题．【分析】（1）利用平移法作出异面直线所成的角，进而利用余弦定理可求线线角；（2）四棱锥的体积为×底面积×高，求出底面梯形的面积即可．（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……【解答】解：延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．在△PDE中，cos∠PDE=﹣．…所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，∴底面梯形面积为∵PA⊥平面ABCD，PA=1．∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．…【点评】本题考查线线角，考查棱锥的体积，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．20．已知函数f（x）=cos2x sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）根据二倍角的余弦、两角和的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期；（Ⅱ）由x的范围求出“”的范围，再由正弦函数的最值求出此函数的最值，以及对应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，==则f（x）的最小正周期T=π（Ⅱ）∵，∴，当=时，即x=时，f（x）的最大值为1+，当=0时，即x=时，f（x）的最小值为．【点评】本题考查了二倍角的余弦、两角和的正弦公式，以及正弦函数的最值的应用，考查了整体思想．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；月数 1 2 3 4 …污染度60 31 13 0 …污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），g（x）=（x≥1），h（x）=30|log2x﹣2|（x≥1），其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），h（4）的值；可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．（2）由复合函数的单调性知，函数h（x）=30|log2x﹣2|在x≥4上是增函数，且h（16）=60，知整治后有16个月的污染度不超过60．【解答】解：（1）∵f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈10.9由此可得h（x）更接近实际值，所以用h（x）模拟比较合理．（2）因h（x）=30|log2x﹣2|在x≥4上是增函数，又因为h（16）=60故整治后有16个月的污染度不超过60．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用问题，选择函数模拟实际问题时，函数值越接近实际值，函数模拟效果越好．22．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆的顶点为P，则a=2c，又由a﹣c=1，由PF1=PF2=2结合椭圆的定义可得2a，结合b2=a2﹣c2可求椭圆的方程；（2）存在直线l，使得成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8lmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆的顶点为P，由两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，可得a=2c，又∵右焦点到右顶点的距离为1．∴a﹣c=1，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3椭圆的方程为：，（2）解：存在直线l，使得成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8lmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．若成立，即，等价于=0．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•﹣km•+m2=0，化简得7m2=12+12k2．即k2=m2﹣1，代入3+4k2＞m2中，3+4（m2﹣1）＞m2，解得m2＞．又由7m2=12+12k2≥12，得m2≥，从而m2≥，解得m≥或m≤﹣．所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．23．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为d，由已知，有解得所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，即差数列a n的通项公式为a n=2n+1，n∈N*．（2）因为，所以，当n≥2时，．证法一（数学归纳法）：①当n=1时，b1=1，结论成立；②假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，=2k﹣1+2k=2k+1﹣1，即n=k+1时，结论也成立．由①，②得，当n∈N*时，成立．证法二：当n≥2时，，所以将这n﹣1个式子相加，得，即=．当n=1时，b1=1也满足上式．所以数列{b n}的通项公式为．（3）由（2），所以，∴原不等式变为（1﹣n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2﹣2n+1，∴对任意n∈N*恒成立，∵n为任意的正整数，∴p≤﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．精品Word 可修改欢迎下载。

绝密★启用前2021届上海市松江区高三高考数学一模试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知两条直线1l ，2l 的方程为1:10l ax y +-=和2:210l x y -+=，则2a =是“直线12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案C【分析】根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可． 解：解：若2a =，则1:10l ax y +-=和2:210l x y -+=，121212k k ⋅=-⨯=-， 所以直线12l l ⊥，满足充分性；若直线12l l ⊥，则11(2)0a ⨯+⨯-=，解得2a =，满足必要性． 所以2a =是“直线12l l ⊥”的充要条件． 故选：C ．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列四个结论中错误的是（ ）A ．直线1BC 与直线AC 所成的角为60︒ B ．直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒ C ．直线1B C 与直线1AD 所成的角为90︒ D ．直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒答案B【分析】连接1AB ，求出1ACB ∠可判断选项A ；连接11B D 找出点1B 在平面1AD C ⊥的投影O ，设直线1B C 与平面1AD C 所成的角为θ，由1cos OCB Cθ=可判断选项B ；利用平移法找出选项C 和D 涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．解：连接1AB ∵1AB C 为等边三角形，∴160ACB ∠=︒，即直线1B C 与AC 所成的角为60°，故选项A 正确；连接11B D ，∵1111AB B C CD AD ===，∴四面体11AB CD 是正四面体，∴点1B 在平面1AD C 上的投影为1AD C 的中心，设为点O ，连接1B O ，OC ，则63OC BC =， 设直线1B C 与平面1AD C 所成的角为θ，则16313cos 22BCBCOC B C θ===≠，故选项B 错误； 连接1BC ，∵11AD BC ，且11B C BC ⊥，∴直线1B C 与1AD 所成的角为90°，故选项C 正确；∵AB ⊥平面11BCC B ，∴1AB B C ⊥，即直线1B C 与AB 所成的角为90°，故选项D 正确． 故选：B ．3．设0x >，0y >，若121x y +=，则yx的（ ） A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为2 D ．最大值为2答案A【分析】本题首先可根据题意得出0y x >，然后根据121x y +=得出112y x=-，并将y x 转化为2111248x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，最后取14x =，即可得出结果. 解：因为0x >，0y >，所以0yx>， 因为121x y +=，所以112y x=-，12x ≠，则22111(12)211248y x x x x x x ===--+⎛⎫--+⎪⎝⎭， 故当14x =时，yx 最小，min 8y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：A.4．记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(8,14]B ．(14,18]C ．(18,20]D ．81(18,]4答案C【分析】由已知可得数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n 项和公式可得29n S n n =-+，由二次函数的性质可得4n =或5时，n S 取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k 的取值范围． 解：解：由已知可得102n a n =-，由12n n a a --=-，所以数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2， 所以2(1)8(2)92n n n S n n n -=+⨯-=-+， 当n=4或5时， n S 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n 满足n S k ≥， 所以满足条件的4n =和5n =，因为3618S S ==，所以实数k 的取值范围是(]18,20． 故选：C ．点评：方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.二、填空题5．3lim 32nn nn →∞=+________.答案1【分析】利用数列极限的运算法则化简求解即可．解：解：311lim lim 13210213nnn n n n →∞→∞===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为：1． 【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，解题的关键是在分式的分子分母上同时除以3n ,属于基础题．6．若集合{|13}A x x =-<<，{1,2,3,4}B =，则A B =____.答案{1,2}【分析】根据交集定义的运算即可． 解：解：{}|13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，∴{1,2}AB =．故答案为：{1,2}．点评：集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 7．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =____. 答案1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：解：由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+， ∴1z =． 故答案为：1． 8．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 答案79-【分析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值． 解：因为1sin 3α=， 所以()2227cos(2)cos 212sin 12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-． 故答案为： 79-9．抛物线24y x =-的准线方程为_____________. 答案1试题分析：抛物线24y x =-的焦点在x 轴上，且开口向左，24,12pp == ∴抛物线24y x =-的准线方程为x=1，故答案为x=1. 抛物线的性质.10．已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x =对称，则(3)f =____. 答案2log 3【分析】由函数()f x 的图象与函数()2xg x =的图象关于直线y x =对称，可得：函数()f x 与函数()2xg x =互为反函数，求出函数解析式，可得答案．解：解：∵函数()f x 的图象与函数()2xg x =的图象关于直线y x =对称，∴函数()f x 与函数()2xg x =互为反函数，∴2()log f x x =，∴2(3)log 3f =.故答案为：2log 3．点评：本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键．11．从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___. 答案115【分析】基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，由此能求出学生甲被抽到的概率．解：解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本， 基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，∴学生甲被抽到的概率79111991801200115C C m P n C ===． 故答案为：115． 点评：方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.12．在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.答案240【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：解：在622 x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，通项公式为 123162r r r r T C x -+=⋅⋅，令1230r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为 4462240C ⋅=，故答案为：240．点评：方法点睛：求二项展开式的某一项，一般利用二项展开式的通项研究求解. 13．在ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2201c a B+=，则角A =____.答案56π【分析】利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．解：在ABC 中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且3220cos 1b c a B+=，可得322cos b c a B +=，由正弦定理可得3sin 2sin 2sin cos B C A B +=， 即()3sin 2sin 2sin cos B A B A B ++=，可得3cos 2A =-， 因为(0,)A π∈,所以56A π=． 故答案为：56π． 14．从以下七个函数：221,,,2,log ,sin ,cos x y x y y x y y x y x y x x=======中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x =____.答案2sin x x +【分析】由函数()F x 的定义域排除1y x=，2log y x =，再由()F x 的图象过定点(0,1)及图象的变化情况，分析2xy =与cos y x =，或2xy =与sin y x =是否经过(0,1)得结论．解：由图象可知，函数()F x 的定义域为R ，故排除1y x=，2log y x =， 又由()F x 的图象过定点(0,1)，由函数()F x 图象，可得当0x >时，()1F x >且为增函数，当0x <时， ()F x 大于0与小于0交替出现，若()2F x x x =+时，此时函数()F x 的图象不过定点(0,1)，因为2xy =过(0,1)，且当0x >时，1y >，当0x <时，01y <<，若包含cos y x =，当0x =时，1y =，2cos xy x =+不满足过点(0,1)，若包含y x =，此时函数()2xF x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现， 若包含2y x ，此时函数()22x F x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，所以只有()2sin xF x x =+满足条件．故答案为：2sin x x +．15．已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____.【分析】易知a 与b 的夹角为60°，不妨设(1,0)a =，写出b 与c 的坐标，再由||1c =和基本不等式，即可得解． 解：解：∵||||a b =，且12a b ⋅=， ∴a 与b 的夹角为60︒， 设(1,0)a =，则13(,2b =， ∵c xa yb =+，∴12c x y y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又||1c =，∴221122x y y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得221x xy y ++=，∴22()()14x y x y xy ++-=，当且仅当x y ==时，等号成立，∴233x y+．． 16．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在12,x x D ∈且12,x x ≠，使得221212()()2()f x f x f x x ==+，则称函数()f x 具有性质M ，若函数2()|log 1|,g x x =-且(0,]x a ∈有性质M ，则实数a 的最小值为_____.【分析】设12x x <，由()()2212f x f x =，可得22124x x =，结合()()()21221221222log 2log 2f x x x x x x +=+-=+-可得4211448x x ++=，进而求得1x ，2x ，由此得解． 解：解：设12x x <，由()()2212f x f x =得，222122log1log 1x x -=-，则2221221log log 1x x -=-，故22212log 2x x =，∴()222212122,42x x x x =<>，又()()()21221221222log 2log 2f x x x x x x +=+-=+-，∴()2221221log 21log x x x +-=-，∵21224x x =，∴222121214log 421log x x x ⎛⎫++-=- ⎪⎝⎭， 则()42211log 443x x ++=，∴4211448x x ++=，1x ∴=2x =a ∴≥a故答案为：点评：本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题．三、解答题17．如图1在三棱柱111ABC A B C -中，已知1,1,2AB AC AB AC AA ⊥===，且1AA ⊥平面ABC ，过11,,A C B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2).（1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小(结果用反三角函数表示)； （2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积. 答案（1）2arctan；（2）7522+. 【分析】（1）利用棱柱的几何性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可； （2）利用棱锥的体积公式、表面积公式进行求解即可. 解：（1）∵11AA CC ∴1BC C ∠即为异面直线1BC 与1AA 所成的角，∵1AA ⊥平面ABC ，∴1CC ⊥平面ABC ， ∴190C CB ∠=︒， ∵22112AB AC CB +=+==，12CC =∴12tan 2C CB ∠=∴12arctan 2C CB ∠= 即异面直线1BC 与1AA 所成的角为2arctan. （2）四棱锥11B ACC A -的体积为：112141233B ACC A V -=⋅⋅=， 四棱锥11B ACC A -的表面积111111BACBAA BA C BC CCAA C S SSS SS =++++111115111215221212222222=⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅=+++ 7522=+18．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++.（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围. 答案（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥. 【分析】（1）利用三角恒等变换进行化简，即可求得周期与值域；（2）设()f x t =，由（1）得15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为二次不等式恒成立问题，分离参数，求取值范围.解：解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， 值域为15(),22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）记()f x t =，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立， ∵0t >∴222t t t k t-=-≥. ∵2()g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增 max 55417()22510g t g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ∴k 的取值范围是1710k ≥ 19．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31k x t -=+(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为多少(万元)？（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为332x+(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？答案（1）19(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).【分析】（1）可得当0t =时，1x=，解得2k =，则可列不等式求出；（2）根据题意可列出y 关于t 的函数关系，再利用基本不等式可求出.解：解：（1）由31k x t -=+，当0t =时，1x=，得2k =，∴231x t -=+， 由20.11t ≤+，解得19t ≥， 所以促销费至少为19万元；（2）网店的利润y(万元)，由题意可得：332 1.52(332)x t x x y x x t +⎛⎫⋅+-+ ⎪⎭+⎝= 99323215021212t t t t +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭50≤-42=， 当且仅当32112t t +=+，即7t =时取等号，此时30.25x -=； 所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).20．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的l 交Γ椭圆于不同的两点M 和N ，（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)P ，且OMN 的面积为22l 的方程；（3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠，点M 关于x 轴的对称点为M '，直线MN ，M N '分别与x 轴相交于P ､Q 两点，求证：||||OP OQ ⋅为定值.答案（1）22184x y +=；（2）1442y x =±+；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，结合,,a b c 的关系即可求得椭圆的方程；（2）设出直线l 的方程为4y kx =+，与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出OMN 的面积并等于22k 的值，即可得直线l 的方程；（3）由已知得M '的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线M N '的方程，令0y =，求出x ，即可得||OQ ，并根据直线方程求出||OP ，然后相乘代入化简即可.解：解：（1）由题意得2a b =，224a b -=， 解得22a =2b =，所以椭圆Γ的方程为22184x y +=. （2）设点M ，N 的坐标为11(,)M x y ､22(,)N x y ，由题意可知，直线l 的斜率存在 设直线l 的方程为4y kx =+. 由方程组224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)16240k x kx +++= 所以1221612k x x k +=-+，1222412x x k=+ ()221212122122342422212OMN k S x x x x x x k-=⋅⋅-=+-==+△解得2k =±.∴直线l的方程为42y x =±+ （3）由题意知M '点的坐标为11(,)M x y '-将y kx t =+，代入22184x y += 得：222(21)4280k x ktx t +++-=， ∴122421kt x x k +=-+，21222821t x x k -=+ 12122()221t y y k x x t k 2+=++=+ 对于直线y kx t =+，令0y =得t x k=-∴||t OP k =- 对于直线M N '：212221()y y y y x x x x +-=--，令0y = 得()()()221122112212212121y x x x kx t x kx t x y x y x x y y y y y y --++++=+==+++ ()12122128kx x t x x k y y t++==-+，∴8||k OQ t =- 88t k k t OP OQ -⋅-⋅==. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．对于由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A ､B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”，（1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否为“满集”，请说明理由；（2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为d(*d ∈N )的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11,a =1d =或2；（3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”答案（1）集合1M 是“满集”，集合2M 不是“满集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）分别求出1M 和2M 的子集，根据满集的定义说明即可；（2）012()m k P M a a a ==+++，对任意的正整数0k k ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立，当01k k =-时，可得0()P A k =或0()1P A k =-，可得11a =，又3d ≥时，不存在M 的子集A ，B ，使得03()()k k P A P B =-=-，可得1,2d =；（3）可以数学归纳法证明.解：（1）集合1M 是“满集”，集合2M 不是“满集”.对于集合1M ，1()123P M =+=，且1M 共有4个子集：∅，{1}，{2}，{1,2} 当k 分别取1，2，3时，由1({1})()P P =-∅；2({2})()P P =-∅；3({1,2})()P P =-∅；故1M 是“满集”；对于集合2M ，1()145P M =+=，且1M 共有4个子集：∅，{1}，{4}，{1,4} 当2k =时，不存在{1,4}的两个子集A ，B ，使得()()2P A P B -=，故2M 不是“满集”；（2）∵1a ，2a ，…，m a 由小到大能排列成公差为d(*d ∈N )的等差数列，∴12m a a a <<<，记012()m k P M a a a ==+++∵M 为“满集”，∴对任意的正整数0k k ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立， 当01k k =-时，由01()()k P A P B -=-，及()0P B ≥知0()P A k =或0()1P A k =-， 若0()P A k =，则()1P B =，∴11a =，此时123{,,,,}m A a a a a =⋯，1{}B a =若0()1P A k =-，则A M ⊂，在M 的真子集中，23()m P A a a a =+++最大，必有11a =，此时23,,,m A a a a =，B =∅. 综上可得：∴11a =若3d ≥，当03k k =-时，∵0000(0)(1)((1)1)((1))k k k k k d ->->-->>-+>， ∴不存在M 的子集A ，B ，使得03()()k k P A P B =-=-，∴1,2d =，综合得：集合M 为“满集”的必要条件是，d=1或2；（3）可得12,1,2,,n n a n m -==，下面用数学归纳法证明：任意m N *∈，任意0()k P M ，存在M 的一个子集A ，使得()P A k =， 当1m =时显然成立，设m n =时结论也成立，那么当1m n =+时，任意的121()n k P M a a a +=+++， 如果12n k a a a +++，根据归纳假设，存在{}12,,,n a a a ⋯的一个子集A 使得()P A k =，此时A 也是M 的一个子集，结论成立，如果111212221n n n k a a a ->+++=+++=-，那么11n k a +->-，又112121n n k a a a ++≤+++=-， 所以1122121n n n n k a ++---=-，所以11210n n k a a a a ++-+++，根据归纳假设，存在{}12,,,n a a a ⋯的子集0A 使得()01n P A k a +=-，再令{}10,()n A a A P A k +=⋃=，结论成立，所以任意0()k P M ，存在M 的一个子集A ，使得()P A k =，再令B =∅，则()()P A P B k -=，所以集合M 是“满集”.点评：本题考查集合的新定义问题和数列的应用，解题的关键是正确理解满集的定义.。

2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十2020.11.3一.填空题:1.已知幂函数的图像过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭,则该幂函数的单调递增区间是____. 2.若n S 是等差数列()*{}:1,2,5,8...n a n ∈-N 的前n 项和,则2lim 1n n S n →∞=+____. 3.其侧面展开图是圆心角为的23π扇形,则该圆锥体的体积是____. 4.已知1F 、2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一个动点,则12||||PF PF ⨯的最大值是____. 5.已知x ､y 满足10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则目标函数2k x y =+的最大值为____.6.从一副混合的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A 为“抽得红桃K”,事件B 为“抽得为黑桃”,则概率()P A B ⋃=____. (结果用最简分数表示)7.在10321x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项的值是____. (结果用数值表示) 8.无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2,公比0q <,则首项1a 的取值范围是____.9.在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球,它与二面角的两个半平面相切于A ､B 两点,则这两个点在球面上的距离是____.10.已知函数()1||||1f x x =-,关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数根,则实数b ､c 满足的关系式是____.11.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,若i a j a 的夹角记为,ij θ其中,{1,2,3,4,5}i j ∈,且i j ≠,则||i ij a cos θ⋅的最大值为____.12.如图,1l ,2l 是过点M 夹角为3π的两条直线,且与圆心为O,半径为1的圆分别相切,设圆周上一点P 到1l ､2l的距离分别为1d ､2d ,那么122d d +的最小值为____.二.选择题:13.已知α､β是空间两个不同的平面,则“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“//αβ”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件14.为了得到函数()33y sin x cos x x R =+∈的图像,可以将函数3y x =的图像()A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 15.欧拉公式ix e cosx isinx =+(i 为虚数单位,x ∈R ,e 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,2018i e 表示的复数在复平面中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.给出下列四个命题:(1)函数()11y arccosx x =-的反函数为()y cosx x R =∈;(2)函数()21m m y x m N +-=∈为奇函数;(3)参数方程22211()21t x t t R t y t ⎧-=⎪⎪+∈⎨⎪=⎪+⎩所表示的曲线是圆;(4)函数()22132xf x sin x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当2017x >时,()12f x >恒成立; 其中真命题的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个三.解答题:17.如图,一个圆锥形量杯的高为12厘米,其母线与轴的夹角为30︒｡ (1)求该量杯的侧面积S;(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线PA 上,刻上刻度,表示液面到达这个刻度时,量杯里的液体的是多少,当液体体积是100立方厘米时,刻度的位置B 与顶点P 之间的距离是多少厘米(精确到0.1厘米)?18.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点(P -.(1)求行列式sin 1tan cos ααα的值; (2)若函数()()()()f x cos x cos sin x sin x αααα=+++∈R ,求函数()2222y x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值,并指出取得最大值时x 的值.19.给出定理:在圆锥曲线中,AB 是抛物线Γ:()220y px p =>的一条弦,C 是AB 的中点,过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D,若A ､B 两点纵坐标之差的绝对()||0A B y y a a -=> ,则ADB 的面积316ADB a S p =,试运用上述定理求解以下各题: (1)若2p =,AB 所在直线的方程为24y x =-,C 是AB 的中点,过C 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ的交点为D,求ADB S ；(2)已知AB 是抛物线Γ()2:20y px p =>的一条弦,C 是AB 的中点,过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D,E ､F 分别为AD 和BD 的中点,过E ､F 且平行于x 轴的直线与抛物线()2:20y px p Γ=>分别交于点M ､N,若A ､B 两点纵坐标之差的绝对值()||0A B y y a a -=>,求AMD S和BND S .20.在等差数列{}n a 中,13515a a a ++=,611a =.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)对任意*m ∈N ,将数列{}n a 中落入区间()1212,2m m ++内的项的个数记为{}m b ,记数列{}m b 的前m 项和为m S ,求使得2018m S >的最小整数m;(3)若*n ∈N ,使不等式()111121n n n n a n a a a λ+++++成立,求实数λ的取值范围.21.定义:若函数()f x 的定义域为R,且存在实数a 和非零实数k(a ､k 都是常数),使得()()2f a x k f x -=⋅对x R ∈都成立,则称函数()f x 是具有“理想数对(),a k ”的函数,比如,函数()f x 有理想数对()2,1- ,即()()4f x f x -=-,()()40f x f x -+=,可知函数图像关于点()2,0成中心对称图形,设集合M 是具有理想数对(),a k 的函数的全体.(1)已知()21f x x =-,x R ∈,试判断函数()f x 是否为集合M 的元素,并说明理由;(2)已知函数()2xg x =,x R ∈,证明:()g x M ∉; (3)数对()2,1和()1,1-都是函数()h x 的理想数对,且当11x -时,()21h x x =- ,若正比例函数()0y mx m =>的图像与函数()h x 的图像在区间[]0,12上有且仅有5个交点,求实数m 的取值范围.。

2021年上海市青浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}，则A B = ．2．（4分）函数2x y =的反函数是 ．3．（4分）行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 ．4．（4分）已知复数z 满足40z z+=，则||z = ． 5．（4分）圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ= ． 6．（4分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()limn n na S →∞= ． 7．（5分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(da c，b ，c ，*)d N ∈，则b d ac ++是x 的更为精确的近似值．已知15722507π<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为 ． 8．（5分）在二项式521)(0)a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是 ． 9．（5分）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点1F ，2F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF 的值为 ．10．（5分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 .（结果用最简分数表示）11．（5分）记m a 为数列{3}n 在区间(0，](*)m n N ∈中的项的个数，则数列{}m a 的前100项的和100S = ．12．（5分）已知向量e 的模长为1，平面向量m ，n 满足：|2|2m e -=，||1n e -=，则m n 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）已知a ，b R ∈，则“a b =”是“2a b+=( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．（5分）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 其中正确的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④15．（5分）已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )ABCD16．（5分）设函数,()1,x x P f x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中P ，M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){|()A P y y f x ==，}x P ∈，(){|()A M y y f x ==，}x M ∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若PM R ≠，则()()A P A M R ≠；（3）一定有P M =∅；（4）若PM R =，则()()A P A M R =．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．（1）求证：直线1//BD 平面PAC ； （2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．18．（14分）设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值； （2）设0a >，()()f x g x x=，(0x ∈，]a 为减函数，求实数a 的取值范围． 19．（14分）如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE ∆区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN ∆的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．20．（16分）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1． （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．21．（18分）若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且*2,2()n n a n b n n N ==+∈，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系P （1）？说明理由；（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，*11,n n b a n N +=+∈，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）；并求A 的最小值； （3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为(*)q q N ∈的等比数列，试求数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件．2021年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}，则A B = {2，4} ．【解答】解：集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}， 则{2AB =，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）函数2x y =的反函数是 2log y x = ． 【解答】解：2x y =，2log x y ∴=，∴函数2x y =的反函数为2log y x =．故答案为：2log y x =．3．（4分）行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 3- ．【解答】解：在行列式123456789中，元素3在第一行第三列，那么化去第一行第三列得到3的代数余子式为445(1)378-=-， 故答案为：3-．4．（4分）已知复数z 满足40z z+=，则||z = 2 ． 【解答】解：因为复数z 满足40z z+=， 所以4z z-=，则24z =-， 所以22|||||4|4z z ==-=， 可得||2z =．故答案为：2．5．（4分）圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ= π ． 【解答】解：圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为212()cm ππ⨯=； 所以扇形的圆心角为22πθπ==． 故答案为：π．6．（4分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()lim n n na S →∞= 4 ．【解答】解：因为等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =， 所以12(1)21n a n n =+-=-，2(1)122n n n S n n -=⨯+⨯=． 故2222(21)441lim lim n n n n n n n→∞→∞--+=． 故极限为441=．故答案为：4．7．（5分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(da c，b ，c ，*)d N ∈，则b d ac ++是x 的更为精确的近似值．已知15722507π<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为 20164 ．【解答】解：根据15722507π<<经过一次“调日法”可得π的近似分数为17957， 根据17922577π<<，经过一次“调日法”可得π的近似分数为20164， ∴使用两次“调日法”后可得π的近似分数为20164． 故答案为：20164． 8．（5分）在二项式521)(0)a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是【解答】解：二项式521)(0)a ax>的展开式的通项公式为552151()r rr r T C x a -+=，令5552r -=-，求得3r =，故展开式中5x -的系数为3351()C a ； 令5502r -=，求得1r =，故展开式中的常数项为1515C a a=，由为33511()5C a a=，可得a =9．（5分）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点1F ，2F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF 的值为 21 ． 【解答】解：设椭圆与双曲线在第一象限的交点为A 则， 由椭圆与双曲线的方程可得二者焦点相同， 根据椭圆与双曲线的定义可得：12||||10AF AF +=， 12||||4AF AF -=，两式平方相减得：124||||84AF AF =，故答案为：21．10．（5分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 1318.（结果用最简分数表示）【解答】解：盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，基本事件总数2936n C ==， 这两个球的编号之积为偶数包含的基本事件个数：21144526m C C C =+=，则这两个球的编号之积为偶数的概率是26133618m p n ===． 故答案为：1318． 11．（5分）记m a 为数列{3}n 在区间(0，](*)m n N ∈中的项的个数，则数列{}m a 的前100项的和100S = 284 ．【解答】解：对于区间(0，]m ，{|m m m N ∈∈，1100}m ，可知： （1）当1m =，2时，区间内不含3n 项，故120a a ==，共2项；（2）当3m =，4，5，8⋯⋯时，区间内含有13一项，故34581a a a a ===⋯⋯=，共6项； （3）当9m =，10，11，26⋯⋯时，区间内含有13，23两项，故91011262a a a a ===⋯⋯==，共18项；（4）当27m =，28，29，⋯⋯，80时，区间内含有13，23，33三项，故272829803a a a a ===⋯⋯==，共54项；（5）当81m =，82，83，⋯⋯，100时，区间内含有3，23，33，43四项，故8182831004a a a a ===⋯⋯==，共20项．故1002061182543204284S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 故答案为：284．12．（5分）已知向量e 的模长为1，平面向量m ，n 满足：|2|2m e -=，||1n e -=，则m n 的取值范围是 [0，8] ．【解答】解：根据条件，不妨设(1,0)e =，(,)m x y =，(,)n p q =， 则由|2|2m e -=，||1n e -=，可得22(2)4x y -+=，22(1)1p q -+=， 由柯西不等式，得(1)m n xp yq p x qy x =+=-++2222(1)p x y x x -++=+，令t =[0x ∈，4]，[0t ∴∈，2]，∴222(1)1m n t t t =+=+-[0t ∈，2]，∴[0,8]m n ∈．故答案为：[0，8]．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知a ，b R ∈，则“a b =”是“2a b+=( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a b =”不能推出“2a b +，如1a b ==-，则12a b+=-1=；反之成立，由“2a b+=，两边平方，即得“a b =”，∴ “a b =”是“2a b+= 故选：B ．14．（5分）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 其中正确的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，即平行、相交或异面，故①错误；②垂直于同一条直线的两个平面的法向量共线，则两平面互相平行，故②正确；③由直线与平面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故③正确； ④垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故④错误．∴正确的结论是②③．故选：C ．15．（5分）已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )ABCD【解答】解：顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，0y ∴>，且22191OP y =+=，求得y =，则sin()6y πα+==，1cos()63πα+=-，则11sin sin[()]sin()cos cos()sin 66666632ππππππαααα=+-=+-+=⨯， 故选：D ．16．（5分）设函数,()1,x x Pf x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中P ，M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){|()A P y y f x ==，}x P ∈，(){|()A M y y f x ==，}x M ∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若PM R ≠，则()()A P A M R ≠；（3）一定有P M =∅；（4）若PM R =，则()()A P A M R =．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由题意知，()A P 为分段函数中函数()f x x =-，x P ∈的值域， ()A M 为分段函数中函数1()f x x=，x M ∈的值域． 若()f x 的图象如图所示，则()()(0A P A M =，)+∞≠∅，故（1）错误；PM R =，但()()A P A M R ≠，故（4）错误；对于分段函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，只有{0}P =，{|0}M x x =≠时，满足PM R =，()()A P A M R =， 若PM R ≠，则()()A P A M R ≠，故（2）正确；分段函数不同段的定义域没有公共部分，故一定有PM =∅，故（3）正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．（1）求证：直线1//BD 平面PAC ； （2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【解答】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点． 连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD ． 又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊂/平面PAC 所以直线1//BD 平面PAC ．（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角． 因为2PA PC ==，1222AO AC ==且PO AO ⊥， 所以212sin 22AO APO AP ∠===．又(0APO ∠∈︒，90]︒，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．18．（14分）设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）设0a >，()()f x g x x=，(0x ∈，]a 为减函数，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由已知，()()f x f x -=．2⋯分 即||||x a x a -=+，3⋯分 解得03a =⋯分（2）当(0x ∈，]a 时，2(),()1af x x a xg x x x=+-=+-，7⋯分 设1x ，2(0x ∈，]a ，且210x x >>，于是2120x x a -<，120x x >． 1212121212()()1(1)()(1)0a a a f x f x x x x x x x x x -=+--+-=--> 1x ，2(0x ∈，]a 且12x x <，所以212x x a <，所以2a a ，因此实数a 的取值范围是(0，1]12⋯分19．（14分）如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE ∆区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN ∆的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．【解答】解：（1）在PME ∆中，EPM θ∠=，4PE m =，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理可得sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ∠==∠+， 同理，在PNE ∆中，22PN = 2148sin 2sin cos 2)14PMN S PM PN MPN cos πθθθθ∆∴=∠==+++，M 与E 重合时，0θ=，N 与D 重合时，tan 3APD ∠=，即3544πθ=-， 35044πθ∴-， 综上所述，8)14PMN S πθ∆=++，35044πθ-； （2）当242ππθ+=即8πθ=时，S1)=平方米．20．（16分）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1． （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．【解答】解：（1）动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1， 等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等， 由抛物线的定义可得，曲线C 的方程为24y x =；证明：（2）设直线PA 的斜率为k ，由直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数， 得直线PB 的斜率为k -，则：:2(1)PA l y k x -=-，:2(1)PB l y k x -=--，联立22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，得2222(244)(2)0k x k k x k --++-=．结合根与系数的关系，可得22(2)(k A k -，42)kk-；联立22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，得2222(244)(2)0k x k k x k -++++=，结合根与系数的关系，可得22(2)(k B k +，42)kk--． ∴222242421(2)(2)ABk kk k k k k k k ----==-+--， 即直线AB 的斜率为定值1-；证明：（3）设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为2k -，由（2）可知，22(2)(k A k -，42)kk-；PB 所在直线方程为2(2)(1)y k x -=--，联立22(2)(1)4y k x y x -=--⎧⎨=⎩，得2(2)440k y y k --+=，解得22((2)k B k -，2)2kk-．∴22222242(2)2(2)22(2)ABk kk k k k k k k k k k k ----==--+--， AB ∴所在直线方程为2222(2)()222(2)k k k k y x k k k k --=---+-， 整理得2(2)(1)22k k y x k k -=+-+，∴直线AB 过定点(1,0)-．21．（18分）若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且*2,2()n n a n b n n N ==+∈，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系P （1）？说明理由；（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，*11,n n b a n N +=+∈，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）；并求A 的最小值； （3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为(*)q q N ∈的等比数列，试求数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件． 【解答】解：（1）因为*2,2()n n a n b n n N ==+∈， 若数列{}n a 与{}n b 具有关系P （1），则对任意的*n N ∈，均有||1n n a b -，即|2(2)|1n n -+，亦即|2|1n -， 但4n =时，|2|21n -=>，所以数列{}n a 与{}n b 不具有关系P （1），（2）证明：因为无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以11()3n n a -=，因为11n n b a +=+，所以1()13n n b =+，所以1112|||()()1|11333n n n n n a b --=--=-<，所以数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）． 设A 的最小值为0A ，0||n n a b A -， 因为||1n n a b -<，所以01A ． 若001A <<，则当302log 1n A >-时，0231n A >-，则0213n A ->，这与“对任意的*n N ∈，均有0||n n a b A -”矛盾， 所以01A =，即A 的最小值为1．（3）因为数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为*()q q N ∈的等比数列，所以1112(1)1,n nn n a a n d dn d b b q q q-=+-=+-==， 设21,0d a b q-==>，则*,,n n n a dn a b bq n N =+=∈． 数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ），即存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -． （Ⅰ）当0d =，1q =时，|||12|11n n a b -=-=，取1A =，则||n n a b A -，数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）（Ⅱ）当0d =，2q 时，假设数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为|||||n n n n b a a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n b a A -，即1n bq A +，1nA q b +，所以1log q An b+，这与“对任意的*n N ∈，均有||||n n b a A -”矛盾，不合；（Ⅲ）当0d ≠，1q =时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为||||||n n n n a b a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n a b A -，即||2n a A +，即||2dn a A ++，所以||||2dn a A -+，||2||a And ++，这与“对任意的*n N ∈，均有||||n n a b A -”矛盾，不合；（Ⅳ）当0d ≠，2q 时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为|||||n n n n b a a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n b a A -，所以||||||n bq dn a A d n a A ++++，所以||||nd a Aq n b b++，设||||0,0d a A b bλμ+=>=>，则对任意的*n N ∈，n q n λμ+．因为2n nq 所以，对任意的*n N ∈，2n n λμ+，下面先证明：存在1N >，当n N >时，22n n >．即证220nln lnn ->．设()0)f x lnx x =->，则1()f x x '==所以(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间(0,4)上递增，同理()f x 在区间(4,)+∞上递减，所以()max f x f =（4）420ln =-<，所以lnx <因此，22(2)22)xln lnx ln x ->-=-，所以，当22()2x ln >时，220xln lnx ->，设22()2N ln =，则当x N >时，220xln lnx ->，即当n N >时，22n n >，又2nn λμ+，所2n n λμ<+，即20n n λμ--<，解得0n <<，这与对任意的*n N ∈，2n n λμ+矛盾，不合．综上所述，数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件为0d =，1q =．。

上海市闵行区2021 2021学年高三一模数学试卷 Word版含答案上海市闵行区2021-2021学年高三一模数学试卷word版含答案上海市闵行区第一学年2022-2022高三模拟试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

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1.方程式LG（3x？4）？1的解X？2.如果关于X的不等式x?a?0（a,b?r）的解集为(??,1)(4,??)，则a?b?x?b3.已知数列{an}的前n项和为sn?2n?1，则此数列的通项公式为4.函数f(x)?6x?1的反函数是35.（1×2x）展开式中X项的系数为（用数字回答）e为6.如图，已知正方形abcd?a1?2，1bc11d1，aa棱cc1的中点，则三棱锥d1?ade的体积为7.从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法（用数字作答）8.设置{x | cos（| cosx）？0，x？[0，]}？如图所示，已知半径为1的扇区AOB，？aob？60?， P是弧AB上的一个移动点，那么OP？AB的取值范围为10，已知X和y满足曲线方程X？值范围为11.已知两个不相等的非零向量a和b，向量组(x1,x2,x3,x4)和(y1,y2,y3,y4)均由2个a和2个b排列而成，记s?x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4，那么s的所有可能取值中的最小值是（用向量a、b表示）12.已知无限序列{an}，A1？1，a2？2.有人要吗？n、有没有？2.An，序列{BN}满足。

如果序列{BN？1？BN？An（n？n*）足够，则B1的所需值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若a、b为实数，则“a?1”是“*21? 2，那么x2？如果2yb2n}Y2的任何一项在这个序列中重复无数次，那么an1？“1”的（）条件a充分和必要B.充分和不必要C.必要和不充分D.既不充分也不必要14.若a为实数，(2?ai)(a?2i)??4i（i是虚数单位），则a?（）a.?1b.0c.1d.2F.函数| x2？如果区间[1,1]中a |的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）a[0，，）B[1]C.，？）d[1，）22216.曲线c1:y?sinx，曲线c2:x?(y?r?)?r（r?0），它们交点的个数（）121212a。

2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = ． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -= ．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 ． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 ． 6．（4分）若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = ． 7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 ． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = ． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 ．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 .11．（5分）已知椭圆221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 ．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC∆的三个内角，a、b、c是其三条边，2a=，1 cos4C=-．（1）若sin2sinA B=，求b、c；（2）若4cos()45Aπ-=，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20-=PA PB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QBQC QD-=千米，||||10千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1︒）20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+⨯=．故答案为：21． 【评注】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -【解析】13z i =-，∴1312z i i i i-=+-=+，则|||12|zi i -=+=． 【评注】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4π ．【解析】圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=侧．故答案为：4π．【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ． 【解析】252571100222x x x x x x +++<⇒-<⇒<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-． 【评注】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 6π． 【解析】直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π10y -+=3π， 故直线2x =-10y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．【评注】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 6．（4分）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = 0 ． 【解析】对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，有111111222222,,x y a b c b ac D D D a b c b a c ===， 根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0． 【评注】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【解析】由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=． 故答案为：64．【评注】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ． 【解析】()33112153131x xx x a a f x a =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【评注】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 (4,0)(0,4)- ．【解析】无穷等比数列{}n a ，∴公比(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，214(4,0)(0,4)a a q q ∴==∈-．故答案为：(4,0)(0,4)-．【评注】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .【解析】由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种）．故答案为：23种．【评注】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．（5分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 1x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ⎧=⎨=+⎩，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以212PF F F ⊥，又22112,PF F F c PF ===所以所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =，所以抛物线的准线方程为：1x c =-=故答案为：1x =【评注】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 25π． 【解析】在单位圆中分析，由题意可得n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx π∠=∠=，所以3AOB πθ>∠=，因为对任意*n N ∈都成立，所以2*N πθ∈，即2kπθ=，*k N ∈， 同时3πθ>，所以θ的最小值为25π．故答案为：25π．【评注】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =【解析】选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确， 选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ． 【评注】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题． 14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =【解析】已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，解得{|2B x x =或1,}x x R -∈，{|1,}RA x x x R =-∈，{|12}RB x x =-<<；则A B R =，{|2}A B x x =，故选：D ．【评注】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 【解析】根据题意，依次判断选项： 对于A ，()cos12xf x π=+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x π=，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误， 对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ， ()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++， 与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确， 对于D ，()sin2xf x π=，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【评注】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立； ②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG 不共线，即②不成立．故选：B ．【评注】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．【解析】（1）PAB ∆为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE ∴=，又PE ⊥平面ABCD ，∴四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =⋅=⨯=正方形． （2）PE ⊥平面ABCD ，PFE ∴∠为PF 与平面ABCD 所成角为45︒，即45PFE ∠=︒，PEF ∴∆为等腰直角三角形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，4PE FE ∴==，PB ∴== //AD BC ，PCB ∴∠或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ⊥平面ABCD ，PE BC ∴⊥，又BC AB ⊥，PE AB E =，PE 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC PB ∴⊥，在Rt PBC ∆中，tan PB PCB BC ∠==，故PC 与AD 所成角的大小为 【评注】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．【解析】（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，可得c =（2）因为4cos()sin )45A A A π-=+=，可得cos sin A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos A =，sin A =，或sin A =cos A因为1cos 4C =-，可得sin C tan C =，可得C 为钝角，若sin A =cos A =tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以sin 10A =，由正弦定理2sin sin cA C=，可得c = 【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1︒）【解析】（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y P 的坐标为． （2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为22125200y x -=，两双曲线方程联立，得Q ，所以||19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒．【评注】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()f x x =，由|1|10x +-，得|1|1x +，解得2x -或0x ．∴函数的定义域为(,2][0,)-∞-+∞；（2）()f ax ax =，()f ax a ax a =⇔=+，设0ax a t +=，∴t =有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t ， 211()24a t ∴=--+，0t ，当且仅当104a <时，方程有2个不同实数根，又0a ≠，a ∴的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -时，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞上单调递减，此时需要满足14a-，即14a -，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(,2]a -∞-上递减， 104a -<，20a a ∴->->，即当14a -时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减． 综上，当1(,]4a ∈-∞-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【评注】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a ∴=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===，322a a ∴=，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2512aa a =-=-（舍)，∴254a a =； ∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍)，∴268a a =； ∴628216a a a ==，或2868aa a =-=-（舍)，∴2816a a =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14； （3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a ∴=，则3111221111111()()1()(),*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-∈，∴11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅∈，∴11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++∴++的最大值2164． 【评注】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。