第24章圆-2022-2023学年九年级上册初三数学(人教版)宜昌专
版
1. 圆的基本概念
1.1 圆的定义
圆是由平面上距离一个点固定距离的所有点构成的集合。这个固定距离叫做圆的半径，圆心用字母O表示。
1.2 圆的要素
•圆心: 圆心是圆的中心点，用字母O表示。
•半径: 半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
•直径: 直径是圆上任意两点之间通过圆心的线段的长度，直径的长度等于两倍的半径，用字母d表示。
•弦: 弦是圆上任意两点之间的线段。
•弧: 弧是圆上的一段弯曲部分，弧可以用弧所在的圆心角来度量。
2. 圆的性质
2.1 圆的周长与面积
圆的周长是圆上一周的长度，记为C。圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，记为S。
•圆的周长公式：C = 2πr，其中，π≈3.14。
•圆的面积公式：S = πr²，其中，π≈3.14。
2.2 圆内角和定理
在一个圆中，对于任意弧所对应的圆心角，其度数等于弧所对应的弧度。
2.3 切线与切点
在一个圆中，从圆点到两个切点的线段叫做切线，用字母L表示。切点是切线与圆相交的点。
3. 圆的常见问题
3.1 判定圆内外部分
对于给定的一个点P，如何判断点P是在圆内、圆上还是在圆外？
•当点P在圆上时，点P到圆心的距离等于圆的半径，即OP = r。
•当点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径，即OP < r。
•当点P在圆外时，点P到圆心的距离大于圆的半径，即OP > r。
3.2 判定两圆的位置关系
给定两个圆，如何判断这两个圆的位置关系？
•两个圆相交，即两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，即OO’
人教版初三数学上册考点
我们现今所使用的大部分数学符号都是到了16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学是用文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。今天作者在这给大家整理了一些人教版初三数学上册考点，我们一起来看看吧!
人教版初三数学上册考点
1、概念：
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角
2、旋转的性质：
(1)旋转前后的两个图形是全等形;
(2)两个对应点到旋转中心的距离相等
(3)两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角
3、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
4、中心对称的性质：
(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.
5、中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与本来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
6、坐标系中的中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P(x，y)关于原点O的对称点P′(-x，-y).
初三数学上册考点
1、圆的有关概念：
(1)、肯定一个圆的要素是圆心和半径。
(2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。⑥在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系
知识点归纳及中考典型例题解析
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
第二十四章圆
单元总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一圆的有关性质
圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴圆心；
⑵半径，
⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
【基本性质】（重点）
⏹垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
⏹圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
知识归纳：圆
本章重点
1．圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP＝d，则有
d>r点P在⊙O 外；
d＝r点P在⊙O 上；
d
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．
弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．
4．圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
《圆的性质》教案
一、教学目标
1.知识与技能：掌握圆的基本性质，包括圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理
及其推论，圆周角定理及其推论等。
2.过程与方法：通过观察、猜想、验证、推理等活动，培养学生的探究能力和逻
辑思维能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学的美，体验数学的价值，培养学生的合作
精神和创新意识。
二、教学重难点
1.教学重点：掌握圆的基本性质及其应用。
2.教学难点：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论的理解和应用。
三、教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和探究式教学法相结合的教学方法。通过实例、问题、图片等直观材料，引导学生观察、猜想、验证、推理，从而得出结论。同时，注重学生的参与和合作，让学生在讨论和探究中互相学习、互相帮助。
四、教具准备
多媒体课件、圆规、直尺等。
五、教学过程
（一）导入新课
通过回顾圆的概念和性质，引出本节课的主题——圆的性质。同时，展示一些与圆有关的图片或动画，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
（二）学习新课
1.
圆心角、弧、弦之间的关系
（1）通过观察、猜想、验证等活动，让学生自主探究圆心角、弧、弦之间的关系。
（2）通过实例进行讲解，让学生更好地理解圆心角、弧、弦之间的关系。
（3）通过练习进行巩固和提高。
2.
垂径定理及其推论
（1）通过观察、猜想、验证等活动，让学生自主探究垂径定理及其推论。
（2）通过实例进行讲解，让学生更好地理解垂径定理及其推论。
（3）通过练习进行巩固和提高。
3.
圆周角定理及其推论
（1）通过观察、猜想、验证等活动，让学生自主探究圆周角定理及其推论。
知识点一：圆的概念及表示方法（重点）
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
圆具有的特性：
（1）圆上各点到定点的距离都等于定长
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
注意：（1）根据圆的概念可以知道“圆”指的是“圆周”（一条封闭的曲线），而不是圆面。
（2）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（3）利用圆具有的特性，我们可以来判断一个多边形的各个顶点是否在同一个圆上。例1：通过下列条件，能确定圆的为（）
A、已知点O为圆心
B、点O为圆心，2cm为半径
C、以2cm为半径
D、经过已知点A，且半径为2cm
2：如图，点A 、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c, 则下列各式正确的是（）
A. a＞b＞c
B. b＞c＞a
C. c＞a＞b
D. a=b=c
知识点二：圆的有关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，例：
直径：经过圆心的弦叫做直径，如图“直径AB”
注意：直径是圆中最长弦，但弦不一定是直径
弧、半圆、劣弧、优弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如：；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如：
