理论力学动量定理优秀课件

11.3 质心运动定理
例11-6
光滑的水平面平台上安装一滚压机构，如图11-8所示。曲柄
OA以匀角速度ω绕O轴转动，曲柄OA和连杆AB均为质量为m、
长度为l的均质杆，均质滚轮的质量为2m，半径为r。平台质
量为4m。设初始时，曲柄OA和连杆AB在同一水平线上，平
台静止，试求：平台的水平运动规律；基础对平台的约束力。
11.1 动量与冲量
t
式(11-9)的积分形式为 mv m v0 Fdt I
质点动量定理的积分形式：在某一时间间0隔内，质点动量 的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
(1)当作用在质点上的力等于零，即F=0时，质点动量守恒，
(2)
Fx=0，则质点在轴x
11.2 质点和质点系动量定理
理论力学
动力学-动量定理
为了迅速而有效地解决质点系动力学问题，从本章 开始以质点动力学微分方程为基础，建立复杂物体系统 的动力学普遍定理(动量定理、动量矩定理、动能定理)。
本章首先介绍质点和质点系的动量、力的冲量等概 念，并推导质点和质点系的动量变化与其所受力的冲量 之间关系——动量定理。
11.1 动量与冲量
对于刚体系，由式(11-3)可以很方便地计算刚体系的动量，即
n
P mi viC i 1
11.1 动量与冲量
11.1.2
I=Ft (11-4)

如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的 动量保持不变。 p＝p0 ＝恒矢量 如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不 变。 若 ∑ Fx (e) = 0 ，则 px＝p0x ＝恒量
例6 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动 0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。 解：研究系统，建立坐标系。
滑块C的质量为 的质量为m＝ 在力P＝ 的作用下沿倾角为30 例5 滑块 的质量为 ＝19.6 kg ，在力 ＝866 N的作用下沿倾角为 的 的作用下沿倾角为 o 导杆AB运动 已知力P与导杆 之间的夹角为45 运动。 与导杆AB之间的夹角为 导杆 运动。已知力 与导杆 之间的夹角为 ，滑块与导杆的动摩擦 系数f＝ 初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v＝ 所需的时间。 系数 ＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到 ＝2 m/s 所需的时间。 以滑块C为研究对象 建立坐标系。 为研究对象， 解：以滑块 为研究对象，建立坐标系。 由动量定理得
17.2 动量定理
r r 其中： p = ∑ mv ；由于内力成对出现，故所有内 r
力的矢量和恒等于零，即 ∑ F (i) = 0。于是可得 质点系动量定理的微分形式 r r (e) r dp d = ∑ mv = ∑ F dt dt 质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和（或外力的主矢）。 上式也可以写成 r (e) r d p = ∑ F d t = ∑ d I (e) 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲 量的矢量和。

(e)
(e) i
dp Fi ( e ) dt
动力学与静力 学联系。
称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的 增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和；或 质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力
的矢量和（主矢）。
李禄昌
在 t1~ t 2 内，动量由 p1~ p 2 ，有
p2 p1 I
F
(e)
0
则 vC 则 vCx
常矢量
Fx( e ) 0 若
常矢量
李禄昌
例11-5 均质曲柄AB长为r ,质量为m1 ,假设受力
偶作用以不变的角速度ω 转动，并带动滑槽连杆以及 与它固连的活塞D ，如图所示。滑槽、连杆、活塞总 质量为m2 ,质心在点C 。在活塞上作用一恒力F。 不计摩擦及滑块B 的质量，求：作用在曲 柄轴A处的最大水平约
dm qv dt
p p0 pa1b1 pab
( pbb1 p a1b ) ( p a1b p aa1 ) pbb1 p aa1 qvdt (vb va )
李禄昌
由动量定理，有
qv dt (vb va ) ( p Fa Fb F )dt
⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， -----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。 单位

d dt
(mivi )
F (i) i
F (e) i
对整个质点系：
d dt
(mivi
)
F (i) i
F (e) i
(而 Fi(i) 0)
改变求和与求 导次序，则得
dP dt
=
F (e) i
质点系的动量定理
理论力学
14
dP dt
=
F (e) i
质点系动量对时间的导数等于作 用在质点系上所有外力的矢量和。
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力—质点的动量定理
微分形式： d(mv ) F d t d I （动量的微分等于力的元冲量）
积分形式：
mv2
mv1
t2 t1
F
dt
I
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
理论力学
13
d d t (mvx ) Fx
投影形式：
d d t (mvy ) Fy
t2 t1
Fz
dt,
3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和。
r
r
r
r
r
I
t2 t1
FR
dt
t2 t1
F
dt
t2 t1
F
dt
Ii
冲量的单位：Ns kgm/s 2 s kgm/s 与动量单位相同。

t 0
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质
点上的力在同一时间内的冲量。
2. 质点系的动量定理
d (mi vi ) ( Fi ( e ) Fi (i ) )dt Fi ( e ) dt Fi (i ) dt
d (mi vi ) Fi dt Fi dt
(e) (i )
m2 C x e 2 cos t m1 m2 m2 C y e 2 sin t m1 m2
由质心运动定理得
Fx( e ) Fx m x Fy( e ) Fy m1 g m2 g m y
Fx m2 e 2 cos t Fy (m1 m2 ) g m2 e 2 sin t
求：图示位置时，系统的总动量。 vA A
vC 解：第一种方法：先计算各个质点的动量， 再求其矢量和。 D
AB
p mAv A mB v B
AB =

O
C t vB B
v A AB DA 2l cos t vB AB DB 2l sin t
p mAv A mB v B 2ml ( sin t i cos t j )
其中： Fi (i ) dt 0
dp Fi e dt
dp Fi dt d I
e
(e) i
dp Fi (e) dt

曲柄OA： 对AB杆,
vA vC1 vC2
C1

AB

C2
C
vB
1 vC1 l 2
5 2
C为AB速度瞬心
AB v A / l
vB CBAB 2 l
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vC 2 CC2AB
l ,
px mvC1x mvC 2 x mvBx m( vC1 sin vC 2 cos vB ) 2 2 ml
t2 t1
12
2 质点系的动量定理
设质点系由n个质点组成，第 i 个质点的质量为 mi , 速度为 vi , 质点受到的力分为外力与内力。
对第 i 个质点，有:
将n个式子相加:
d (e) (i) ( mi vi ) Fi Fi dt d ( mi vi ) (e) (i) Fi Fi dt
将质心加速度代入质心运动定理
(m1 m2 ) C Fx , (m1 m2 ) C Fy m1g m2 g x y
32
将质心加速度代入质心运动定理
(m1 m2 ) C Fx x (m1 m2 ) C Fy m1g m2 g y
解出:
Fx m2e sin t
F
(e) x
0
所以:
vCx 0 0

动量定理的公式
动量定理的数学表示为：力的大小等于物体动量变化率的乘积。
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动量定理在实际中的应用
动量定理在实际中有广泛的应用，例如在车辆碰撞测试、火箭发射和体育比 赛中的运动力学分析。
动量定理的优点和缺点
动量定理的优点是简单易懂，可以直观地解释物体的运动行为。然而，它的 缺点是在处理复杂系统时可能存在准确性和适用性的限制。
动量定理的限制条件
动量定理在应用时需要考虑一些限制条件，例如忽略空气阻力、忽略外力的 变化等。
动量定理的应用案例
一个应用动量定理的案例是火箭发射，通过控制燃料的喷射速度和方向，可以使火箭获得所需的动量并达到预 定轨道。
理论力学动量定理
本演示将介绍理论力学动量定理，包括定义、原理、公式、应用、优点和缺 点、限制条件以及应用案例。让我们一起来探索这个引人入胜的主题吧！
动量定理的定义
动量定理是物理学中的基本定律之一，它描述了一个物体的动量和施加在物 体上的力之间的关系。
动量定理的原理
动量定理的原理是根据牛顿第二定律得出的，即物体的加速度与施加在物体上的力成正比，与物体的质量成反 比。

03
动量定理在物理中的地位和作 用
动量定理与其他物理定律的关系
动量定理与牛顿第三定律的关系
01
动量定理是牛顿第三定律的直接推论，表明力与动量变化的量
值相等、方向相反。
动量定理与能量守恒定律的关联
02
在某些条件下，动量定理和能量守恒定律可以相互推导，表明
它们在描述物理过程中的一致性。
动量定理与角动量定理的对比
在机械加工中，为了提高加工效率和精度，需要运用动量定理来优化切削工具的 速度和进给速度。通过调整这些参数，可以减小切削力并提高工件表面的光洁度 。
航空航天设计
在航空航天领域，动量定理被广泛应用于飞行器的设计和优化。例如，为了减小 飞行器的着陆冲击力，设计师可以通过改变飞行器的着陆速度或角度来减小着陆 冲力。
对碰撞问题的解决
动量定理为解决碰撞问题提供了重要 的工具，使得科学家能够预测和解释 物体碰撞过程中的各种现象。
动量定理在现代科技领域的应用
火箭科学
火箭发动机的推进原理正是基于 动量定理，通过高速喷射物质来 获得反作用力，从而实现火箭的
升空和推进。
碰撞安全研究
汽车、飞机和其他交通工具的碰 撞安全研究依赖于动量定理来分 析碰撞过程中能量的传递和吸收 ，以改进安全设计和保护乘员安
动量定理的表述
总结词
动量定理表述为物体动量的变化量等于作用力与时间的乘积 。

投影式:
px mivix mvcx py miviy mvcy pz miviz mvcz
2020年4月20日
3
思考: 1.已知m,r, 比较两环 p1 , p2 大小
m
m
2m
vc
c
r
r
解： p 1 m r m 2 r 3 m r
p22mr 故p1p2
2020年4月20日
4
2.求均质杆合动量P，p m l ω 对吗？ 2
J O 1 ( J C 2 m 2 v 2 R 2 ) m 3 v 3 R 2
v3 v2 R22 1 2R11
LO(R J2 O 2R J2 C 2m 2m 3)R2v3
2020年4月20日
41
二、质点系对固定点的动量矩定理
1.矢量式
①矢量微分式
d L0 dt
M
e 0
几何解释（赖柴定理），类比
答：位置不对！p应在 l 处.
3 向c简化，P=mlω/2为动量的主 矢量大小，此时还有动量的主矩 Lc .
CP
l 3
2020年4月20日
5
2、冲量 力的元冲量和冲量
矢量式:
dI Fdt
I t2 F d t t1
矢量，累计量，单位：kg.m/s
投影式:
I x
t2 t1
Fx d t

xC yC
m1
l 2
m1
3l 2
2m2l
cos
t
2(m1
2m1 m2
2m1
2m1
l 2
sin t
m1
l sin t
2m1 m2
2m1 m2
m2 ) l cos
m2
t
质心运动 方程
Ch.11. 动量定理
xC2
2(m1 2m1
m2 )l m2
2
yC2
m1l 2m1
m2
)
pz
p0 z
ΣI
( z
e)
Ch.11. 动量定理
3. 质点系动量守恒定律 Fi(e) 0 p p0 恒矢量 Fx(e) 0 px p0x 恒量
4. 解题过程
选择研究对象
运动分析 受力分析
取坐标系 建立方程
求解计算 讨论
Ch.11. 动量定理
例11-1 电动机的外壳固定在水平基础上，定子和机壳的质量为
Ch.11. 动量定理
第十一章
动量定理
§11-1 动量与冲量 §11-2 动量定理 §11-3 质心运动定理 小结 思考题
Ch.11. 动量定理
基本内容 ： 基本要求：
动量定理---描述质点和质点系总体运动变化 与作用力间的关系，用以求解质点系动力学 问题

x 方向: m2e 2 sin t y 方向: m2e 2 cos t
11
例11-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是 定常流动.求管壁的附加动约束力.
解:dt 内流过截面的质量及动量变化为
p p0 pa1b1 pab ( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 ) pbb1 paa1
第十一章 动量定理
1
§11-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量
mv
单位
kg m / s
n
质点系的动量
p mivi i 1
质心
rc
miri m
，
m
mi
m drc dt
mi
dri dt
mivi
即
p mvc
2
2．冲量
常力的冲量
I Ft
变力的元冲量
在 t1～t2内的冲量
单位： N·s
dI Fdt
系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量
的矢量和.
动量定理微分形式的投影式
dp x dt
Fx(e)
dp y dt
Fy(e)
动量定理积分形式的投影式
p2x
p1x
I
(e) x
p2 y
p1y
I
(e) y
dp z dt
Fz(e)

vr
B
当 sin kt 1 时 角速度绝对值为最大，此时
cos kt 0
0
当细杆铅垂时，小球相对于物块的最大水平速度为：
v r l w max k 0 l
当此速度v r 向左时，物块应有向右的绝对速度，设绝
对速度为v ，而小球向左的绝对速度值为v a =v r - v 。
（4）由动量守恒定理得： mAv mB (vr v) 0
py m2 ew sin w t
设 t = 0 时：O1O2 铅垂，有 = wt 。由动量定理
的投影式得：
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx m2 w2 e sin w t
Fy (m1 m2 )g m ew2 cosw t
电机不转时，基础只有向上的反力 (m1 m2 )g ，称为
系统的动量大小为： p
方向余弦：
cos p x
p
1 cos , 2 (1 cos )
p
2 x
p
2 y
mv
2 (1 cos )
sin p y
sin
p
2 (1 cos )
质点系的质心 ⒈定义 质点系的质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况的一
个重要概念。
⒉ 质心 C 点的坐标公式
软绳通过轮 C 连接，轮 C 的质量不计，物块 A 速度为