参数方程专题练习(整理)

高考真题专题训练——参数方程专题（参考答案1-5）1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ==＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．4、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.解析：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ，直线l 的普通方程为260x y +-=；（Ⅱ）令点P 坐标为()2cos ,3sin θθ,点P 到直线l 的距离为d4tan 3d φ⎫===⎪⎝⎭||2sin 30dPA d ==︒,所以()()max max min min max min ||22|22PA d d PA d d ====== 5、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.31 (1)2或31(1)2-。

参数方程极坐标系解答题(I )写出曲线C 的参数方程，直线I 的普通方程.(n )过曲线C 上任意一点P 作与I 夹角为30°的直线，交I 于点A ，求|PA|的最大值与最小值.参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系. 坐标系和参数方程.(I )联想三角函数的平方关系可取 x=2cos 久y=3sin B 得曲线C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线I 的普通方程；(n)设曲线C 上任意一点P (2cos 0, 3s in B).由点到直线的距离公式得到P 到直线I 的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得由①得：t=x - 2，代入② 并整理得：2x+y - 6=0;(n )设曲线 C 上任意一点 P (2cos 0, 3sin 0).当sin (0+ a) =- 1时，|PA 取得最大值，最大值为 当sin ( 0+ a) =1时，|PA|取得最小值，最小值为本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题.2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线I 的极坐标方程为:广—I-Psin c 6〜，曲线C 的参数方程为：0沪(a 为参数).E 2|y=2sina(I )写出直线I 的直角坐标方程；(n )求曲线C 上的点到直线I 的距离的最大值.考点： 参数方程化成普通方程. 专题： 坐标系和参数方程.分析：(1)首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；(2)首先，化简曲线 C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解2 21•已知曲线C 4 +—=4，直线(t 为参数)考点： 专题： 分析：解答:y=3sin 0,故曲线C 的参数方程为C s=2cos R|y=3sin 9,(0为参数).对于直线I :r ①- 2t ②|PA|的最大值与最小值.其中a 为锐角.点评:解: ( I )对于曲线C :=1，可令 x=2cos 0| 4COB 6 +3sin 9 - 6 | P 到直线I 的距离为解答：解：(1)-直线1的极坐标方程为：|6 2•，胰•。

参数方程经典习题和考题1、设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______。

2、若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．3、以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，它与曲线⎩⎨⎧+=+=ααs i n22c o s 21y x ，（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=________ 4、直线,t y t x ⎩⎨⎧--=+-=3142（t 为参数），被圆⎩⎨⎧+=+=θθsin y cos x 5152，（θ为参数）所截得的弦长为 。

5、设曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________________．6、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）。

（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值。

7、设P （ x ，y ）是曲线C ：⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，（1）将曲线化为普通方程;（2）求xy的取值范围.8、 已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθs in c o s2y x ，曲线C 2的极坐标方程为.2)4cos(=-πθρ（1）将曲线C 1和C 2化为普通方程；（2）设C 1和C 2的交点分别为A ，B ，求线段AB 的中垂线的参数方程。

参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作及l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线及圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值及最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程及参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴及x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线及圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力及计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程及普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线及圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解（1）∵P点的极坐标为，∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．则点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．点评：本题考查了极坐标及直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识及基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=及圆C的交点为O，P，及直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线及圆的位置关系．专题：直线及圆．分析：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别及圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点及方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识及基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1及直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标及极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l及直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线及圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1及C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1及C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线及圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线及圆．分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P及Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1及C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P及Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C及直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C及直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线及圆相交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力及计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用直角坐标及极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程及直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线及圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标及直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系及参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程及普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系及参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1及C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1及C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标及极坐标的关系求出，然后求出圆C1及C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标及直角坐标的互化，考查计算能力．。

参数方程练习题1、（08年重庆）曲线C ：{1cos 1sin -=+=θθx y （θ为参数）的普通方程为（ ） A.1)1()1(22=++-y x B.1)1()1(22=+++y x C.1)1()1(22=-+-y x D.1)1()1(22=-++y x2、（10年重庆）若直线y=x-b 与曲线⎩⎨⎧=+=ααsin cos 2y x （)2,0[πθ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ） A.)1,22(- B.]22,22[+- C.),22()22,(+∞+⋃--∞ D.)22,22(+-3、已知圆C ：⎩⎨⎧=+-=θθcos 2sin 23y x （θ为参数），点F 为抛物线x y 42-=的焦点，G 为圆的圆心，|GF|=（ ） A.6 B.4C.2D.04、参数方程⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x （θ为参数）表示的曲线为（ ） A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分 5、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 2y a x （θ为参数），曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ≥2B.a>3C.a ≥1D.a<06、（10年陕西）参数方程⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x （α为参数）化成普通方程为_______________7、若直线⎩⎨⎧=-=ty t x 21（为参数R t ∈）与圆⎩⎨⎧+==ay x θθsin cos （πθ20<≤，θ为参数，a为常数且a>0）相切，则a=________________ 8、设直线参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 23322（t 为参数），则它的斜截式方程为________________9、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C ：⎩⎨⎧+=-=2sin 51cos 5θθy x （θ为参数）与直线l ：⎩⎨⎧--=+=2364t y t x （t 为参数），则圆C 的普通方程为________________；直线l 与圆C 的位置关系是_____________10、参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x （θ为参数）表示的图形上的点到直线y=x 的最短距离为____________11、在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1sin cos θθy x （θ为参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写成_________________________12、已知直线1l ：⎩⎨⎧+=-=kty t x 221（t 为参数），2l ：⎩⎨⎧-==sy s x 21（s 为参数），若1l ∥2l ，则k=________；若1l ⊥2l ，则k=________13、已知曲线⎩⎨⎧==ααsin 4cos 32y x 上一点P 到两定点A(0,-2)、B(0,2)的距离之差为2，则BP AP ⋅=______14、曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t t y tt x 1122（t 是参数且t ≠0），它的普通方程是_______________15、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 5cos 4y x （R ∈θ），则该椭圆的焦距为_________________ 16、曲线⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x （θ为参数）上一点P 到点A （-2,0）、B （2,0）距离之与为____________ 17、曲线⎩⎨⎧+==1sin cos θθy x （θ为参数）与曲线0cos 22=-θρρ的直角坐标方程分别为____________与__________________，两条曲线的交点个数为__________个。

参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解（1）∵P点的极坐标为，∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．。

hingsintheirbeingadforso参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．　2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，ti m e an dAl h ei r be i ng ar e g o o d f o rs o ∴，∴x ﹣y+1=0．（2）根据曲线C 的参数方程为：（α为参数）．得（x ﹣2）2+y 2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C 1：（t 为参数），C 2：（θ为参数）．（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为t=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：（t 为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C 1：（t 为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y ﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C 2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C 1的参数方程得：P （﹣4，4），把直线C 3：（t 为参数）化为普通方程得：x ﹣2y ﹣7=0，Al l thi n gs in th e i r be i n g ar eg o o d f o rs o 所以M 到直线的距离d==，（其中sin α=，cos α=）从而当cos θ=，sin θ=﹣时，d 取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB 面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣2x+2y=0，即（x ﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l 的参数方程（t 为参数），把t=x 代入y=﹣1+2t 可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点P 直线AB 距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、andAllthibeingaregoodforso 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；ai n th ei r be i ng ar e g oo d f o rs o（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，），则x+y==sin （），由于θ∈R ，则x+y 的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：（t 为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用x=ρcos θ，y=ρsin θ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解 （1）∵P 点的极坐标为，∴=3，=．∴点P 的直角坐标把ρ2=x 2+y 2，y=ρsin θ代入可得，即∴曲线C 的直角坐标方程为．（2）曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的普通方程为x ﹣2y ﹣7=0设，则线段PQ 的中点．那么点M 到直线l 的距离.l l thi n gs in th e i r be i n g a r e g o o df o rs o ∴点M 到直线l 的最小距离为．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简得：ρ=2cos θ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．l l t h i n gs i n t h ei r b e i n g a r eg oo 点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+）=4．（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos θ、y=ρsin θ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C 1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C 1的普通方程为：．由曲线C 2：得：，即ρsin θ+ρcos θ=8，所以x+y ﹣8=0，即曲线C 2的直角坐标方程为：x+y ﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，∴当时，d 的最小值为，此时点P 的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+）．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．e an d A l l t h h ei r be i ng a r e g o o d f o r s 分析：（I ）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程，从而得到圆心C 的直角坐标．（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I ）∵，∴，∴圆C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II ）∵直线l 的普通方程为，圆心C 到直线l 距离是，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t 为参数），曲线C 1的方程为ρ（ρ﹣4sin θ）=12，定点A （6，0），点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB|≥2，求实数a 的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C 1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4y=12，设点P （x ′，y ′），Q （x ，y ），根据中点坐标公式，得，代入x 2+y 2﹣4y=12，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=4，（2）直线l 的普通方程为：y=ax ，根据题意，得，ti m e a n dAl lr b e i n g a r e g o o d f o rs o 解得实数a 的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为（t ∈R 为参数），求a ，b 的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（I ）先将圆C 1，直线C 2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，从而构造关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值．解答：解：（I ）圆C 1，直线C 2的直角坐标方程分别为 x 2+（y ﹣2）2=4，x+y ﹣4=0，解得或，∴C 1与C 2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，ti mn dAl l thi n gs i n t h ei r be i n g ar es o 解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P （4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I ）直线l 的参数方程为（t 为参数）．曲线C 的极坐标方程ρ=4cos θ可化为ρ2=4ρcos θ．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2+y 2=4x ，即（x ﹣2）2+y 2=4．（II ）把直线l 的参数方程为（t 为参数）代入圆的方程可得：t 2+4（sin α+cos α）t+4=0．∵曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，∴△=16（sin α+cos α）2﹣16＞0，∴sin αcos α＞0，又α∈[0，π），∴．又t 1+t 2=﹣4（sin α+cos α），t 1t 2=4．∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．　14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．e an dn gs in th ei r b e i n g a r e g o （II ）设P ，又C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．∴ρ2=2，化为x 2+y 2=，配方为=3．（II ）设P ，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P （3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=（p ∈R ），曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB 的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得曲线C 2及曲线C 1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C 2：（p ∈R ）表示直线y=x ，曲线C 1：ρ=6cos θ，即ρ2=6ρcos θ所以x 2+y 2=6x 即（x ﹣3）2+y 2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB 的长度．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+）=，圆C 的参数方程为，（θ为参数，r ＞0）（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3．eandAllthingsintheirbeoodforsom 专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，t a dA h i n 可知圆圆的极坐标方程为解，），）解法一：由，，的公共弦的参数方程为的公共弦的参数方程为）代入从而的公共弦的参数方程为。

高考极坐标参数方程(经典39题)在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。

（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为)4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.8．平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.21, 233t y t x （t 为参数）．求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。

经典基础题型的参数方程练习题本文介绍参数方程的经典基础题型，希望能对大家有所帮助。

点、直线和平面的参数式表示点$P(x_0,y_0,z_0)$可以用参数方程表示为:$$\begin{cases}x=x_0 \\y=y_0 \\z=z_0\end{cases}$$直线$l$可以用参数方程表示为:$$\begin{cases}x=x_0+at \\y=y_0+bt \\z=z_0+ct\end{cases}$$其中$t$为参数，$a,b,c$为实数，表示直线的方向向量为$(a,b,c)$。

平面$ax+by+cz+d=0$可以用参数方程表示为:$$\begin{cases}x=x_0+su+tv \\y=y_0+mu+nv \\z=z_0+pu+qv\end{cases}$$其中$u,v$为参数，$x_0,y_0,z_0$为平面上的一点，而$s,t,m,n,p,q$与$ax+by+cz+d=0$的系数有关。

经典基础题型第一类题意：已知点$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$，求过点$A$和点$B$的直线的参数方程。

已知点$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$，求过点$A$和点$B$的直线的参数方程。

解法：直线的方向向量为$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$，取一点$P(x,y,z)$在直线上，则有:直线的方向向量为$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$，取一点$P(x,y,z)$在直线上，则有:$$\begin{cases}x=x_1+t(x_2-x_1) \\y=y_1+t(y_2-y_1) \\z=z_1+t(z_2-z_1)\end{cases}$$其中$t$为参数。

第二类题意：已知点$A(x_1,y_1,z_1)$和直线$l:\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}(a\neq0,b\neq 0,c\neq0)$，求过点$A$且与直线$l$垂直的平面的参数方程。

参数方程解答题过关练习（15题）类型一：设点，即用参数表示曲线（椭圆）上任意点坐标，将问题转化为函数（三角函数）问题.1．已知曲线：，直线：（为参数）.（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）求曲线上任一点到直线的距离的最大值和最小值．2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到的距离的最大值为，求.4．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(Ⅰ)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；；(Ⅱ)已知点为直线上的两个动点，且点为曲线上任意一点，求面积的最大值及此时点的直角坐标．5．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．（1）求的值及直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．类型二：直线标准参数方程参数t 的几何意义应用过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是错误！未找到引用源。

(t 是参数). 若M,M 1,M 2是l 上的两点,其对应参数分别为t ，t 1,t 2,则 （1）tMM =0；（2）|M 1M 2|=|t 1-t 2|；（3）中点M 1,M 2对应的参数为221t t +.1.已知曲线的参数方程为（为参数），过点的直线交曲线于两点．（1）将曲线的参数方程化为普通方程； （2）求的最值．2．在直角坐标系中，直线过定点且与直线垂直．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程； (2)设直线与曲线交于二点，求的值．3．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为)0(cos 2sin 2>=m m θθρ．（1）求直线过点的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数m的值．4．已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点.（1）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；（2）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率..类型三：求轨迹的参数方程1．已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．2.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．3.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4．已知直线： ， 圆：.（1）当=时，求与的交点坐标：（2）过坐标原点O 做的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.5.已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）.（1）若直线与圆的相交弦长不小于，求实数的取值范围；（2）若点的坐标为，动点在圆上，试求线段的中点的轨迹方程.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0 1)A ，，(0 1)B -，，( 0)C t ，，3 0D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其中0t ≠．设直线AC 与BD 的交点为P ，求动点P 的轨迹的参数方程（以t 为参数）及普通方程．参数方程解答题过关练习参考答案类型一：设点，即用参数表示曲线（椭圆）上任意点坐标，将问题转化为函数（三角函数）问题.1.【解】(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：（为参数）， 直线的普通方程为：（Ⅱ）在曲线C 上任意取一点P (2cos,3sin )到的距离为，其中为锐角，且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 2.【解】(1)由x αy sin α⎧⎪=⎨⎪=⎩得2x 3+y 2=1.因为ρsin πθ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=ρsinθ+ρcosθ=2所以x+y=4.所以C 1的普通方程为2x 3+y 2=1,C 2的直角坐标方程为x+y=4.(2)由题意,可设点P的直角坐标为)α,sin α,因为C 2是直线,所以PQ 的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=πsin α23⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当且仅当α=2kπ+π6 (k ∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭3.解析 （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219x y +=. 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d =3tan 4ϕ=． 依题意得max d =16a =-或8a =.4.【解】（Ⅰ）曲线化为普通方程为，直线的直角坐标方程为．（Ⅱ）设点，则点到直线的距离．，∴当时，当点P 的直角坐标为时，有最大值12．5.【解】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，，直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．类型二：直线标准参数方程参数t 的几何意义应用1.解：（1）曲线C的参数方程化为⎪⎩⎪⎨⎧==ααsincos2yx（α为参数），两边平方相加消去参数α，得曲线C的普通方程为1222=+yx.（2）由题意知，直线l的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsincos1tytx（t为参数），代入1222=+yx，得1cos2)sin2(cos222=-++θθθtt，设BA,对应的参数分别为21,tt，则]1,21[sin11sin2cos1||||||22221∈+=+==⋅θθθt tPBPA．∴当0sin=α时，||||PBPA⋅最大值为1；当0sin=α时，||||PBPA⋅最小值为21．2.解：(1)由0cos2sin2=-θθρ，即0cos2sin22=-θρθρ，化为直角坐标方程得，，因为，所以3-=O Pk，因为直线与直线垂直，所以1-=⋅O Pkk，即6,33tan παα===k ，直线的参数方程为 (为参数)．(2)设对应的参数分别为 ，将直线代入曲线的方程，得，则，故同正，.3.解：（1）由，得直线的直角坐标方程为，倾斜角为4π． 所以，直线过点的参数方程为（为参数）．（2）由，得，由代入，得．将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，（*）．设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．由题设得，即．由（*）得，，则有，得或．因为，所以．4.解：（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.（Ⅱ）点满足： 所以，即.因为，所以. 从而.所以.据此可得直线的斜率为.类型三：求轨迹的参数方程1.解：（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此()c o s c o s 2,s i n s i n 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，02απ<<）．（2）M点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．2．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ①()21:2l y x k=+ ②⨯①②，消k 可得224x y -=，即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +=，联立2204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρ=M．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．4.解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=.联立方程组解得1C 与2C 的交点为()1,0，1(,)22-. （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x a y a a ==-⎧⎨⎩（a 为参数）P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+=， 故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆.5.解：（1）直线l 的普通方程为y mx =，圆C 的普通方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C 到直线l的距离d =，相交弦长为=1m ≤-或1m ≥.即实数m 的取值范围为][(),11,-∞-⋃+∞. （2）设()cos ,1sin P αα+， (),Q x y ，则由线段的中点坐标公式，得cos 22{1sin 2x y αα+=+=（α为参数），消去参数α并整理，得()()2222211x y -+-=，即线段PA 的中点Q 的轨迹方程为()2211124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.6.解：直线AC 的方程为1x y t+=，①直线BD 的方程为13x y -=，② 2分由①②解得，动点P 的轨迹的参数方程为2226 33 3t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，（t 为参数，且0t ≠）， 6分 将263tx t =+平方得222236(3)t x t =+， ③将2233t y t -=+平方得()()2222233t y t -=+， ④ 8分 由③④得，221(0)3xy x +=≠． 10分（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“0x ≠”扣1分．）10。

1（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。

已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值。

2（2009宁夏海南卷文）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。

已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值。

3．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为23,2252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。

在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为5ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为5)， 求|PA|+|PB|。

4．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。

5. (2010年全国高考宁夏卷23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（Ⅰ）当α=3π时，求C 1与C 2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P 为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

参数方程大题1． 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩(t 为参数）,直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3：ρ（cos θ+sin θ)−2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.2. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

（1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.3。

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）。

（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标;（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a 。

4. 在直线坐标系xoy 中,曲线C 1的参数方程为(为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin （）=.（I ）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（II ）设点P 在C 1上,点Q 在C 2上，求∣PQ ∣的最小值及此时P 的直角坐标.5. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y 。

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，学.科网求C 的极坐标方程;（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin xt α,yt α,（t 为参数），l 与C 交于A ,B 两点，10AB ,求l 的斜率.6。

圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)1.若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线y^2=4x上，则PF 等于多少？解析：抛物线的准线为x=-1，焦点为F(-1,0)，参数方程为x=4t^2，y=4t。

因此PF为P到准线x=-1的距离，即PF=|3+1|=4.所以选C。

2.参数方程{x=sinθ+cosθ，y=1+sin^2θ}所表示的曲线是什么？解析：将参数方程化为普通方程，得x^2=y(0≤y≤2)，表示抛物线的一部分。

所以选B。

3.椭圆{x=5cosφ，y=3sinφ}的焦点坐标是什么？解析：椭圆的普通方程为x^2/25+y^2/9=1，因此c=sqrt(25-9)=4.又因为椭圆焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±4,0)。

所以选B。

4.已知过曲线{x=3cosθ，y=4sinθ}上一点P和原点O的连线PO的倾斜角为π/4，则P点的坐标是什么？解析：直线PO的方程为y=x，又点P为曲线{x=3cosθ，y=4sinθ}上一点，因此3cosθ=4sinθ，即tanθ=3/4.因为倾斜角为π/4，所以θ∈[0,π/4]。

解得sinθ=3/5，cosθ=4/5.因此P点的坐标为(3,4/5×3)= (3,12/5)。

所以选D。

5.已知O为原点，P为椭圆{x=4cosα，y=2/3sinα}上第一象限内一点，OP的倾斜角为π/3，则点P坐标为什么？解析：椭圆的普通方程为16cos^2α/16+9sin^2α/4=1，即cos^2α/4+sin^2α/16=1.直线OP的斜率为tan(π/3)=sqrt(3)，因此OP的方程为y=sqrt(3)x。

联立解得x=4/5，y=4sqrt(3)/15.因此点P的坐标为(4cosα,2/3sinα)=(4×4/5,2/3×4sqrt(3)/5)=(16/5,4sqrt(3)/5)。

所以选D。

参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．+=1，，的距离为则取得最小值，最小值为2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．的极坐标方程为：cos=∴y+1=0（d=的距离的最大值．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．：（化为普通方程得：+t=代入到曲线sin=，），﹣4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．的极坐标方程为，把，利用三角形的面积计算公式即可得出．的极坐标方程为，化为=把∴圆心极坐标为；（t，=距离的最大值为．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为解：将化为普通方程为点所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．cos+=），其圆心为（，﹣）d=，2=2；）可设圆的参数方程为：，）=sin（7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．点的极坐标为=3=代入可得的直角坐标方程为的参数方程为（的中点.8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．+．l，OM（，射线．，射线联立，解得Q联立，解得或=29．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．）求得椭圆上的点，可得，两式两边平方相加得：的普通方程为：得：，无公共点，椭圆上的点∴当的坐标为10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．，∴，的直角坐标方程为即，∴圆心直角坐标为距离是11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．解得实数a的取值范围为：[0，]．本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．x+1解得，）2）x﹣∴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．的参数方程为（∴，∵∴的取值范围是14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．=2，又C|PC|=sin配方为=3，又C=2215．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．=的长度16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．+=得：圆心（﹣，﹣，的圆心到直线∴﹣时，圆17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．，以及解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，可知圆圆解，），）解法一：由得圆，），）的公共弦的参数方程为的公共弦的参数方程为）代入从而的公共弦的参数方程为。