勾股定理巩固与提升

完成情况勾股定理班级：_____________姓名：__________________组号：_________第四课时—拓展课一、巩固训练1．勾股定理的内容： 在直角三角形中，两直角边的 等于 。

若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则 。

2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AC=16cm ，则AB=_____________。

3．写出图1中字母表示的值：a=_________，b=_________，c=__________，d=________。

4．在△ABC 中AB=13，BC=10，AD ⊥BC 于D 且AD=12，则AC=__________。

二、错题再现1．（1）在△ABC 中，∠C=90°，若a=8，c=17，则b=___________。

（2）在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2cm ，则AB=______cm ，AC=_______cm 。

（3）在△ABC 中，∠C=90°，BC=4、斜边AB 比AC 大1，则AC=__________2．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）A ．10B ．C ．10或D ．无法确定3．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70km/h 。

如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？21d 1 1 1 b c a 9 1图1三、能力提升1．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB 。

第二章勾股定理与平方根第1课时勾股定理(1)（附答案）【基础巩固】1．已知一直角三角形两直角边的长分别是3，4，则斜边的长是_______．2．如图，64，400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_______．3．直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高为_______．4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝_______cm．5．在Rt△ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2的值是 ( )A．2 B．4 C．6 D．86．若等腰三角形中相等的两边长为10 cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为 ( ) A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm7．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为 ( )A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D．求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长．9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD 的长．10．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm．(1)你能说出图中哪些线段的长？(2)求EC的长．11．如图，一个牧童在小河的南4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8 km北7 km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【拓展提优】12．一个直角三角形三边的长为连续自然数，则这三个数分别为_______．13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是_______．14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．15．如图，利用图①或图②两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_______，该定理的结论其数学表达式是_______．16．已知一轮船以16海里／时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里／时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，两船相距 ( )A．10海里B．15海里C．20海里D．25海里17．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少？19．若Rt△ABC三边的长分别是x，x＋1和5，则△ABC的周长＝_______．△ABC的面积＝_______．20．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC．AB＋CD＝AC＋BD，求证：AB＝AC．参考答案【基础巩固】 1．5 2．336 3．60134．4 5．A 6．D 7．B 8．(1)4 (2)6 (3)125 9．CD ＝13 10．(1)AF＝AD ＝BC ＝10，DC ＝AB ＝8，BF ＝6，CF ＝4 (2)EC ＝3 11．17 km 【拓展提优】12．3，4，5 13．49 cm 214．4 15．勾股定理222a b c += 16．C 17．CD ＝318．25 dm19．12或30 6或30 20．略。

中考总复习：勾股定理及其逆定理(提高) 巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（）. A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm2．在△中，若，则△是（）.. 锐角三角形. 钝角三角形. 等腰三角形. 直角三角形3. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）.A. B. C. D.34.如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（）.A． B． C． D．无法确定5.（2014春•临沭县期中）如图，是一长、宽都是3cm，高BC=9cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC=BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是（）A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm6.（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ的面积为（）.A.90 B．100 C．110 D．121二、填空题7. 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角是60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长________．8. 如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－x(0≤x≤5),则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3中，正确结论的序号是______________.9.（2014•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．10.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR 上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于_________________.11．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=_____,c=________.12.如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A1，B三点为顶点的三角形面积为________________．三、解答题13. 作长为、、的线段.14.如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。

第2课时 勾股定理(2) （附答案）【基础巩固】1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ：b ＝3：4，c ＝10，则a ＝_______，b ＝_______．2．一个长方形的长为12 cm ，对角线长为13 cm ，则该长方形的周长为_______．3．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1＋S 2的值等于_______．4．一等腰三角形底边长为10 cm ，腰长为13 cm ，则腰上的高为 ( )A ．12 cmB ．6013cm C ．12013cm D ．135cm 5．直角三角形有一条直角边长为6，另两条边长是连续偶数，则其斜边上的中线长为( )A ．5B ．10C ．8D ．166．假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8 km ，又往北走2 km ，遇到障碍后又往西走了3 km ，再折向北走了6 km 处往东一拐，仅走了1 km 就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米？7．如图，P 为正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE 的位置，若BP ＝a ，求以PE 为边长的正方形的面积．8．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？【拓展提优】9．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，点B 与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 ( )A．252B．152C．254D．15410．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 ( )A．25 B．14 C．7 D．7或2511．有一个长为12 cm，宽为4 cm，高为3 cm的长方体形铁盒，在其内部要放一根笔直的铁丝，则铁丝最长达到_______cm．12．已知Rt△ABC的周长是24，斜边上的中线长是5，则S△ABC＝_______．13．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为_______．14．如图，在四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA＝2：2；3：1，且∠B＝90°，则∠DAB ＝_______．15．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c 和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图．(2)证明勾股定理．16．如图是一个高18 m，底面周长为5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？（建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙）17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是 ( )A．13 B．26 C．47 D．9418．如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD＝BF，CD＝CE．求证：AE＝AF．参考答案【基础巩固】1．6 8 2．34 cm 3．2π 4．C 5．A 6．10.km 7．2a2 8．略【拓展提优】9．D 10．D 11．13 12．24 13．9214．135°15．(1)略(2)略16．1912cm17．C 18．略。

《勾股定理》教学反思《勾股定理》教学反思（精选6篇）作为一名到岗不久的老师，我们的任务之一就是课堂教学，借助教学反思我们可以快速提升自己的教学能力，那么什么样的教学反思才是好的呢？以下是小编帮大家整理的《勾股定理》教学反思（精选6篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《勾股定理》教学反思1数学学习中工作量最大的部分就是解数学习题，这也是讲所学基础知识转化为基本技能的必经之路，没有大量习题的跟进是不可能很好的形成基本解题技能的。

习题课就是通过各种相关习题的练习，期望能够巩固和深化对所学基础知识的理解和认识，将这些基础知识尽快的转化为基本技能。

今天是第十七章《勾股定理》的一节全章小结部分的习题课，在学生讲解习题的时候，讲的最不好的地方就是这个或这类习题的解题思路和解题的方法，还有就是解题的基本入手点。

也就是说很多的孩子，他们在做课后习题的时候，没有在分析、思考各类习题的解题思路或方法或入手点方面投入更多的精力，这一点也是我们的学生学习一直不能有大幅度提高的主要问题，也是制约他们有效学习的基本因素。

新的课程理念把教师的角色定义为“教师是学生学习的组织者、引导者和合作者”，教师的主要作用是组织、引导、参与学生的课堂学习活动。

而教师在学生的学习活动中更多的是一种指导的作用，而教师的指导更多的应该侧重于方法、思想的指导。

教师必须介入的就是解题的思路和方法。

在这一点上应该是必须的。

特别是习题课，教师可以完全不讲题，但是在解题方法、思路、入手点这些方面必修介入，以提高学生学习的效率和效果。

另外，学生讲题过程中的语言的运用也需要不断地加以指导，争取能够用较为简练的语言讲清楚一个问题的解决过程。

《勾股定理》教学反思2新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。

为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。

勾股定理复习巩固教案教学目标：1 了解勾股定理的定义、作用，能够验证勾股定理2 学会勾股定理的逆定理，证明直角三角形3 通过勾股定理，解直角三角形知识点：一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的验证（目前世界上有367种证明方法）：我们还回忆一下课本上的一种：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133.勾股定理的逆定理：：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

【巩固练习】 一.选择题1．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）A ．51-B ．51-+C ．51+D ．52．（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（ ）A ．25B ．31C ．32D ．403. 如图所示，折叠矩形ABCD 一边，点D 落在BC 边的点F 处，若AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，EC 的长为（ ）cm ．A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，长方形AOBC 中，点A 的坐标为（0，8)，点D 的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ） A. 30 B ．32 C ．34 D ．165．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为2 , 2l ，3l 之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ）A ．172B ．52C ．24D ．76.在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12则, △ABC 的周长为（ ） A.42 B.32 C.42或32 D.37或33 二.填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．8. 如图，将长8cm ，宽4cm 的长方形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为__________cm .9.（2015•黄冈）在△ABC 中，AB=13cm ，AC=20cm ，BC 边上的高为12cm ，则△ABC 的面积为 cm 2．10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为________．11. 已知长方形ABCD ，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．三.解答题13.（2015春•无棣县期中）如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】－1所表示的点到点A5OA51.2.【答案】B；【解析】解：如图，由题意得：AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC 2=AB 2+AC 2=31，∴S=BC 2=31， 故选B ．3.【答案】A ；【解析】设CE ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ．在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF ＝2222108AF AB -=-=6cm ．∴ FC ＝10－6＝4(cm )．在Rt △EFC 中，由勾股定理，得222EF EC FC =+，即222(8)4x x -=+．解得3x =．即EC的长为3cm ．4.【答案】A ；【解析】由题意CD ＝DE ＝5，BE ＝4，设OE ＝x ，AE ＝AC ＝4x +，所以()22284x x +=+，6x =，阴影部分面积为1168433022⨯⨯+⨯⨯=.5.【答案】A ；【解析】如图，分别作CD ⊥3l 交2l 于点E ，作AF ⊥3l ，则可证△AFB ≌△BDC ，则AF ＝3＝BD, BF ＝CD ＝2＋3＝5，∴DF ＝5＋3＝8＝AE ，在直角△AEC 中，勾股定理得AC ＝.6. 【答案】C ；【解析】高在△ABC 内部，第三边长为14；高在△ABC 外部，第三边长为4，故选C. 二.填空题7. 【答案】13119【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边. 8. 【答案】25【解析】设AE ＝EC ＝x ，EB ＝8x -，则()22284x x -+=，解得5x =，过E 点作EH⊥DC 于H ，EH ＝4，FH ＝5－3＝2，EF ＝224225+=.9. 【答案】126或66；【解析】解：当∠B 为锐角时（如图1），在Rt△ABD 中，BD===5cm ，在Rt△AD C 中， CD===16cm ，∴BC=21， ∴S △ABC ==×21×12=126cm 2；当∠B 为钝角时（如图2）， 在Rt△ABD 中， BD===5cm ，在Rt△ADC 中， CD===16cm ，∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm ， ∴S △ABC ==×11×12=66cm 2，故答案为：126或66．10.【答案】（4，0）；【解析】首先利用勾股定理求出AB 的长，进而得到AC 的长，因为OC=AC-AO ，所以OC求出，继而求出点C 的坐标． 11.【答案】78cm ；【解析】连接BE ，设AE ＝x ，BE ＝DE ＝4x -，则()22234x x +=-，78x =. 12．【答案】4；【解析】123413S S S S +=+=，故12344S S S S +++=. 三.解答题 13.【解析】解：由题意可得：AB=2.5m ，AO=0.7m ，故BO==2.4（m ），∵梯子顶端沿墙下滑0.4m ， ∴DO=2m，CD=2.5m ，∴由勾股定理得CO=1.5m ，∴AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m ）． 答：梯子底端将向左滑动0.8m ． 14.【解析】 解：如图所示：15.【解析】 解：（1）连接DP ，作DH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠CAB ＝30°，∴BC ＝１，AC ＝3. ∵BP 是∠ABC 的角平分线， ∴∠CBP ＝30°，CP ＝33. 在Rt △ADC 中，DH ＝AH ＝HC ＝12AC ＝32，∴HP ＝333-=， DP ＝22223330()()26DH HP +=+=.（2）当PD ＝BC ＝1时，P 点的位置可能有两处，分别为1P ，2P ，在Rt △1DHP 中，221311()22HP =-=， 所以∠1HDP ＝30°，∠1P DA ＝30°＋45°＝75°； 同理，∠2P DA ＝45°－30°＝15°. 所以∠PDA 的度数为15°或75°.。

勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝35，AB ＝105，BC 85=，E 是AB 上一点，且AE ＝45，求点E 到CD 的距离EF ．【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ．【答案与解析】解：过点D 作DH ⊥BC 于H ，连接DE 、CE ，则AD ＝BH ，AB ＝DH ，∴ CH ＝BC －BH ＝853555-= DH ＝AB ＝105，在Rt △CDH 中，22222(105)(55)625CD DH CH =+=+=，∴ CD ＝25，∵ CDE ADE BCE ABCD S S S S =--△△△梯形111()222AD BC AB AD AE BC BE =+--g g g 111(3585)10535458565125222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=又∵ 12CDE S DC EF =g △， ∴ 1251252EF ⨯=g ，∴ EF ＝10． 【总结升华】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知： 222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，222215129DC AC AD =-=-=．类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ．∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．3、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】：由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF ′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°．在△ECF 和△ECF ′中：45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′．在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．【高清课堂 勾股定理全章复习 例9】4、已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD的长．【答案与解析】 解：作CE ⊥AB 于E ，则∠CAE＝180°－120°＝60°，在Rt△ACE 中，∠CEA＝90°，∵AC ＝2，∠ACE ＝30°∴由勾股定理可得1,3AE CE ==∴BE ＝AB ＋AE ＝4＋1＝5在Rt△BCE 中，BC ＝()225327+= 由三角形面积公式：1122AB CE BC AD ⨯⨯=⨯⨯ ∴43221727AB CE AD BC ⨯⨯===. 【总结升华】勾股定理要在直角三角形中才能应用，没有直角三角形要构造直角三角形. 类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5．求线段EF 的长.【答案与解析】解：连接AD ．因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ．又因为 AD 为△ABC 的中线，所以 AD ＝DC ＝DB ．AD ⊥BC ．且∠BAD ＝∠C ＝45°．因为∠EDA ＋∠ADF ＝90°．又因为∠CDF ＋∠ADF ＝90°．所以∠EDA ＝∠CDF ．所以△AED ≌△CFD （ASA ）．所以 AE ＝FC ＝5．同理：AF ＝BE ＝12．在Rt △AEF 中，由勾股定理得：，所以EF ＝13.【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：【答案】解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．∵ BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴2.方程的思想方法6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.【答案与解析】解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°，则，由勾股定理，得.因为，所以，，，.【总结升华】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.举一反三：【变式】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积.【答案】解：设此直角三角形两直角边长分别是x y ，，根据题意得：由（1）得：7x y +=，∴()249x y +=，即22249x xy y ++= (3) (3)－(2)，得：12xy =∴直角三角形的面积是12xy ＝12×12＝6（2cm ）。

八年级(上)数学 《勾股定理》单元测试一、选择题（每题3分，共30分）1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为5B ．三角形的周长为25C ．斜边长为25D ．三角形的面积为20 2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．1.5，2，3B ．7，24，25C ．6，8，10D ．9，12，15 3．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）A ．6B.8C.1318 D.1360 4．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米 5．在△ABC 中，∠C =90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（ ）A ．5，4，3B ．13，12，5C ．10，8，6D ．26，24，10 6．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a （a ＞0）； ⑤m 2﹣n 2，2mn ，m 2+n 2（m ，n 为正整数，且m ＞n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A ．5组B ．4组C ．3组D ．2组 7．下列结论错误的是（ ）A ．三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形B ．三个边长之比为3：4：5的三角形是直角三角形C ．三个边长之比为8：16：17的三角形是直角三角形D ．三个角度之比为1：1：2的三角形是直角三角形8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把 竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ） A ． 2m B ．2.5m C ．2.25m D ．3m9．小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米，宽为46厘米，则这台电视机的尺寸是（实际测量的误差可不计）（）A．9英寸（23厘米）B．21英寸（54厘米）C．29英寸（74厘米）D．34英寸（87厘米）10．观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有（）组．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题3分，共30分）11．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_________；（2）b=8，c=17，则S△ABC=_________．12．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是_________米．13．已知|x﹣6|+|y﹣8|+（z﹣10）2=0，则由此x，y，z为三边的三角形面积为_________．14．在△ABC中，若三边长分别为9，12，15，则以这样的三角形拼成的矩形面积为_________．15．△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD=_________cm．16．如图所示的线段的长度或正方形的面积为多少．（注：下列各图中的三角形均为直角三角形）．答：A=_________，y=_________，B=_________．17．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长是_________．18．求图中直角三角形中未知的长度：b=_________，c=_________．19．（2003•吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_________cm2．20．已知三角形的三边长分别是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，则最大角是_________度．三、解答题（共60分）21．做一做，如图每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD的面积．22．如图，一直角三角形三边长分别为6，8，10，且是三个圆的直径，求阴影部分面积（π取3.14）23．一个三角形的三边长的比为3：4：5，那么这个三角形是直角三角形吗，为什么？24．如图所示，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=53°，∠B=37°．AB=5km，BC=4km，若每天凿0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？25．（8分）观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值．列举猜想3、4、5 32=4+55、12、13 52=12+137、24、25 72=24+25……35、b、c352=b+c26．（8分）如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．27．（9分）如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．28．（9分）如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处（A点）出发，小方平均速度为3米/秒，小杨为3.1米/秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（AC方向）游，而小方直游（AB方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？《勾股定理》单元综合测试卷1. 下列各数组中，不是勾股数组的是 （ ） A.5，12，13 B.9，40， 41 C.8，12，15 D.3k ，4k ，5k2、已知直角三角形的的两条直角边为6和8，则斜边长为 ；若两条边长为6和8，则第三条边长为 ．3、一个三角形的三条边长满足ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形的形状是 . 4、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为4，6，2，4．则最大的正方形E 的面积是 ．5、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a ，较长边为b ，那么(a+b) 2的值是 ．6、学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．7.八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE 的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD 的长度为16米．（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为63米．（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE ．8、 已知某校有一块四边形空地ABCD ，如图现计划在该空地上种草皮，经测量∠A ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝12m ，CD ＝13m ，DA ＝4m ，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？9、要做一个如图所示的零件，按规定∠B 与∠D 都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗 ？10、如图，在一张长方形ABCD 纸张中，一边BC 折叠后落在对角线BD 上，点E 为折痕与边CD 的交点，若AB =5，BC =12，求图中阴影部分的面积．2471520DCB A D ABCED CA B12、 如图，一架2.5米长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7米，如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？B'A'BA O13、下图是单位长度为1的网格图，A 、B 、C 、D 是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成直角三角形_______个．BCDA14/如图，在四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =BC =4，CD =6，DA =2．求∠DAB 的度数．15、如图：一块长约80 m、宽约60 m的长方形草坪，被几个不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，这种情况在生活中时有发生．请问同学们：（1）这几位同学为什么不走正路，走斜“路”？（2）走斜“路”比正路少走几步呢？（3）他们这样做，值得吗？。

17.2勾股定理的逆定理（练习巩固）一、单选题1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．√3，√4，√5B．1，√2，√3C．6a，7a，8a D．2a，3a，4a2．如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm 的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（）cm.A．12√2B．20C．24D．283．下列命题中，其中正确命题的个数为（）个①在△ABC中，若三边长a:b:c=4:5:3，则ABC是直角三角形；②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2+c2=b2，则△C=90°：④在△ABC中，△A：△B:△C=1:5:6，则△ABC是直角三角形。

A．1B．2C．3D．4 4．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现想把它们摆成两个直角三角形，图中正确的是（）A．B．C．D．5．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm6．坐标轴上到点P(−1，0)的距离等于4的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点.且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．4√3B．2√3C．4√5D．2√5 8．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB= 13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）A．3√17cm B．10cm C．5√5cm D．√113cm 10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6。

勾股定理（基础）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，∴ 2222210664a c b =-=-=， ∴ a ＝8．（2）设3a k =，5c k =，∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、与勾股定理有关的证明2、（•丰台区一模）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．【答案与解析】证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2【答案】连接AD 构造直角三角形，得，选A ．类型三、与勾股定理有关的线段长 【高清课堂 勾股定理 例3】3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D ； 【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ， ∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ， EC ＝BC －BE ＝8－3＝5， 在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =．【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．6B ．5C ．11D ．16 【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积． 【答案】D 【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°， ∴∠ACB=∠DEC ， 在△ABC 和△CDE 中，∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE ∴BC=DE∵222AB BC AC += ∴222AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D ． 【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 举一反三： 【变式】（ •东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（ ）A.25B.31C.32D.40【答案】解：如图，由题意得：AB 2=S 1+S 2=13， AC 2=S 3+S 4=18，∴BC 2=AB 2+AC 2=31， ∴S=BC 2=31， 故选B ．类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，22222=16+12=400BD DC BC =+，所以20BD = (cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖． 【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长． 举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 13AB =(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ．勾股定理（基础）【巩固练习】 一．选择题1．在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，BC ＝15，则△ABC 的面积等于（ ）A ．108B ．90C ．180D ．542．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．12米 B ．10米 C ．8米 D ．6米 4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A．4 B．6 C．8 D．56．（•深圳模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB•PC等于（）A．25 B．15 C．20 D．30二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12.（•延庆县一模）学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：，你的理由是．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.（春•滨州月考）如图所示的一块地，AD=9m，CD=12m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．【答案与解析】一．选择题 1．【答案】D ；【解析】△ABC 为直角三角形，面积＝1129542⨯⨯=． 2．【答案】B ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边． 3．【答案】A ；【解析】设旗杆的高度为x 米，则()22215x x +=+，解得12x =米．4．【答案】A ；【解析】222228AB AC BC BC ==＋＋． 5．【答案】B ；【解析】AD ＝8，2222210836BD AB AD =-=-=,∴BD=6． 6．【答案】A.【解析】解：过点A 作AD⊥BC 于D ，∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，∴BD=CD，根据勾股定理得：PA 2=PD 2+AD 2，AD 2+BD 2=AB 2，∴AP 2+PB•PC=AP 2+（BD+PD ）（CD ﹣PD ）=AP 2+（BD+PD ）（BD ﹣PD ）=AP 2+BD 2﹣PD 2=AP 2﹣PD 2+BD 2=AD 2+BD 2=AB 2=25． 故选A.二．填空题 7．【答案】5； 8．【答案】2；【解析】走捷径是5米，少走了7－5＝2米． 9．【答案】150；【解析】∵AC=150﹣60=90mm ，BC=180﹣60=120mm ，22222500AB AC BC =+=，所以AB=150mm ． 10．【答案】10；【解析】∵()22882+-=100，∴飞行距离为10m ．11．【答案】10；【解析】可证两个三角形全等，∵22268=10+，∴正方形边长为10．12．【答案】不正确；若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为.【解析】解：张华的答案不正确，理由为：若4为直角边，第三边为=5； 若4为斜边，第三边为=．三．解答题 13．【解析】解：连接BD ，因为AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°所以△ABD 是等边三角形， 又因为∠D ＝150°，所以△BCD 是直角三角形，于是BC ＋CD ＝42－12－12＝18， 设BC ＝x ，从而CD ＝18－x ，利用勾股定理列方程得222(18)12x x -+=， 解得x ＝13，即BC 的长为13． 14．【解析】解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°， ∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD ≌△AED ， ∴AE ＝AC ，在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在Rt △ACB 中，∠C ＝90° 设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x +∵222AB AC BC =+∴()22248x x +=+解得6x =，∴AC ＝6． 15．【解析】解：解：连结AC ，由勾股定理可知 AC===15，又∵AC 2+BC 2=152+362=392=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，故这块地的面积=S △ABC ﹣S △ACD =×15×36﹣×12×9=216（m ）2， 即这块地的面积是216平方米．。

勾股定理优秀教学设计模板（通⽤5篇）勾股定理优秀教学设计模板（通⽤5篇） 在教学⼯作者实际的教学活动中，时常需要⽤到教学设计，教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学⽅案的设想和计划。

那么⼤家知道规范的教学设计是怎么写的吗？以下是⼩编为⼤家收集的勾股定理优秀教学设计模板（通⽤5篇），希望能够帮助到⼤家。

勾股定理优秀教学设计1 ⼀、教案背景概述： 教材分析：勾股定理是直⾓三⾓形的重要性质，它把三⾓形有⼀个直⾓的"形"的特点，转化为三边之间的"数"的关系，它是数形结合的典范。

它可以解决许多直⾓三⾓形中的计算问题，它是直⾓三⾓形特有的性质，是初中数学教学内容重点之⼀。

本节课的重点是发现勾股定理，难点是说明勾股定理的正确性。

学⽣分析： 1、考虑到三⾓尺学⽣天天在⽤，较为熟悉，但真正能仔细研究过三⾓尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能⾮常简单地将学⽣的注意⼒引向本节课的本质。

2、以与勾股定理有关的⼈⽂历史知识为背景展开对直⾓三⾓形三边关系的讨论，能激发学⽣的学习兴趣。

设计理念：本教案以学⽣⼿中舞动的三⾓尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学⽣对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富⽂化内涵，体验勾股定理的探索和运⽤过程，激发学⽣学习数学的兴趣，特别是通过向学⽣介绍我国古代在勾股定理研究和运⽤⽅⾯的成就，激发学⽣热爱祖国，热爱祖国悠久⽂化的思想感情，培养他们的民族⾃豪感和探究创新的精神。

教学⽬标： 1、经历⽤⾯积割、补法探索勾股定理的过程，培养学⽣主动探究意识，发展合理推理能⼒，体现数形结合思想。

2、经历⽤多种割、补图形的⽅法验证勾股定理的过程，发展⽤数学的眼光观察现实世界和有条理地思考能⼒以及语⾔表达能⼒等，感受勾股定理的⽂化价值。

3、培养学⽣学习数学的兴趣和爱国热情。

第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用1.掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。

2.掌握勾股数并能够判断勾股数。

3.能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。

知识点01勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理内容：在△ABC 中，如果三角形的三边分别是c b a ，，且满足222c b a =+，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C 是直角。

勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。

2.直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。

③三角形中有两个角之和为90°。

【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的长为．知识点02勾股数1.勾股数的定义：满足勾股定理：即222cba=+的三个正整数称为勾股数。