2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（二）数学1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．2．考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数和导数．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“1x ∀≥，2sin 1x x -<”的否定是（ ）A ．1x ∃<，2sin 1x x -≥B ．1x ∃≥，2sin 1x x -≥C ．1x ∀<，2sin 1x x -≥D ．1x ∀≥，2sin 1x x -≥2．已知集合{}270A x x x =-<，{}4B x x =>，则A B = （ ）A ．∅B ．()4,7C ．()0,+∞D ．()0,43．已知()2,3m =- ，()1,4n =- ，(),1p λ= ，若()3m n p +⊥，则λ=（ ）A ．9B ．9-C ．19D ．19-4．声强级I L （单位：dB ）由公式12101g 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W /m ）．若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB ，则最大声强为（ ）A ．6210W /m -B ．7210W /m -C ．8210W /m-D ．9210W /m-5．已知函数()f x 的图象在区间[]1,3上连续不断，则“()f x 在[]1,3上存在零点”是“()310i f i ==∑，*i ∈N ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．我们把顶角为36︒的等腰三角形称为“最简三角形”．已知cos36︒=“最美三角形”的顶角与一个底角之和的余弦值为（）ABCD7．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有5个极值点，则当ω取得最小值时，()f x 图象的对称中心的横坐标可能为（ ）A ．730πB ．815πC ．1115π-D ．23π8．已知函数()23,3,69,3,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=-+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知,a b ∈R ，且0a b >>，则（ ）A ．2222a a b b->-B ．532log log a b >C<D．))221122ab ->-10．下列命题正确的是（ ）A ．x ∃∈R ，24912x x +<B ．x ∀∈R ，22sin 5sin 30x x -+≥C ．若命题“x ∀∈R ，()212304a x ax +-+>”为真命题，则实数a 的取值范围为()(),13,-∞-+∞ D ．若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()22511log 13x x m +≥-，则实数m 的最小值为1911．数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（）A．1GH BD ⎫=⎪⎪⎭B．BE BD =+C．12GB BD CF =-D．IC BD =12．已知函数()cos tan 2f x x x x =-，则（ ）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称C ．()f x ≤在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立D ．()12y f x x π=--在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的所有零点之和为4π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合{}240A x ax =-=，{B x y ==，若A B A = ，则实数a 的值可以是________．（写出一个满足条件的值即可）14．若函数()221382sin x x f x m x -+⎛⎫=+⋅⋅ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则m =________．15．已知正数a ，b满足11a b+=()()234a b ab -≥，则22a b +=________．16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4c =，60C =︒，2DC BD DA =+，则DA DB ⋅的最大值为________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且24cos 4cos a B c b A =-．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）若3C π=，a b +=，求ABC △的面积．18．（12分）已知函数()24ln 1f x x x =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间与极值．19．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为()f x （单位：万元），当年产量不超过14万件时，()2243f x x x =+；当年产量超过14万件时，()4001780f x x x=+-．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（Ⅰ）写出年利润()g x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（Ⅱ）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？20．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(),m c b = ，3cos ,cos 22A B n B π⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且m n．（Ⅰ）若4a =，c =，求ABC △的周长；（Ⅱ）若2CM MB = ，3AM =，求a b +的最大值．21．（12分）如图为函数()()2cos f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象，且4CD π=，5,212A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求ω，ϕ的值；（Ⅱ）将()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移34π个单位长度，得到函数()g x 的图象，讨论函数()y g x a =-在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的零点个数．22．（12分）已知函数()22sin f x ax x =+，()f x 的导函数为()f x '．（Ⅰ）若()f x 在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当[]0,x π∈时，记函数()f x '的极大值和极小值分别为λ，μ，求证：23λμ≥+．2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（二）数学・答案1．B 因为全称量词命题的否定为存在量词命题，故“1x ∀…，2sin 1x x -<”的否定是“1x ∃…，2sin 1x x -…”，故选B ．2．C 因为{}{}27007A x x x x x =-<=<<，故()0,A B =+∞ ，故选C ．3．A 依题意，()31,9m n +=- ，故()390m n p λ+⋅=-+=，解得9λ=，故选A ．4．C 依题意，1210lg 4010I -⎛⎫⎪⎝⎭…，则4121010I -…，则810I -…，故选C ．5．B()310i f i ==∑，()()()*1230i f f f ∈⇔++=N ．“()f x 在[]1,3上存在零点”时，不一定有“()310i f i ==∑，*i ∈N”，但“()310i f i ==∑，*i ∈N ”时，一定有“()f x 在[]1,3上存在零点”，故选B ．6． A 依题意，“最美三角形”的顶角与一个底角之和为108︒，则()22cos108cos 18072cos7212cos 361212=-=-=-=-⨯=︒︒︒︒-=︒，故选A ．7．B 令()232x k k ππωπ-=+∈Z ，故()76k x k ππωω=+∈Z ，735,66745,66πππωωπππωω⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩…解得3155ω<…，故当ω取得最小值时，()2sin 53f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()253x k k ππ-=∈Z ，则12515x k ππ=+，所以8015f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ．8．C 作出函数()f x 的图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at -+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈-，则280,9320,30,2a a a⎧⎪->⎪++>⎨⎪⎪-<<⎩解得113a -<<-，观察可知，3a =-满足题意，故选C ．9．CD 对于A ，令12a =，14b =，可知2222a a b b -<-，故A 错误；对于B，当a =，13b =时，52log 1a =-，3log 1b =-，此时532log log a b =，故B 错误；对于C ，因为>，所以<，故C 正确；对于D ，因为2211a b <，且021<-<，所以22112)2)a b ->，故D 正确，故选CD ．10．BD 对于A ，因为x ∀∈R ，24922312x x x +⋅⋅=…，当且仅当32x =时，等号成立，故A 错误；对于B ，令[]sin 1,1t x =∈-，则22sin 5sin 30x x -+…，即为22530t t -+…，而2253y t t =-+在[]1,1-上单调递减，故010y ……，故B 正确；对于C ，显然230a +>，且2230a a --<，解得13a -<<，故C错误；对于D ，当[]0,3x ∈时，()25minlog 10x ⎡⎤+=⎣⎦，当[]1,2x ∈时，min 1139x m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故109m -…，所以19m …，故D 正确，故选BD ．11．ACD易知BC BD =，故21GH GA AE EH BC BD BD ⎫=++=+=⎪⎪⎭，而GH BD ，故A正确；易知2CF DE =，12BE BD DE BD CF =+=+ ，故B错误；12GB GA AB BD CF =+=- ，故C 正确；而CC IB BC =+ ，1124BC BD CF =-，)1324IB BF BC CF BD CF BD ⎫==+=+=+⎪⎭，故IC BD =+，故D 正确，故选ACD ．12．ABD()tan2f x x x =-，则()()()()tan2tan2f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，故π是()f x 的一个周期，故A正确；因为()()()][()sin 2tan 2sin2tan20f x f x x x x x πππ⎡⎤--+=-----+-=⎣⎦，故()f x 的图象关于,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；易知()22cos 2f x x x '=-，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得8x π=，故当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,84x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故max ()18f x f π⎛⎫==> ⎪⎝⎭C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，结合奇偶性和周期性作出()f x 在对应区间上的大致图象如图所示，又12y x π=-，()y f x =的图象均关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故D 选项中对应区间上所有零点之和为4π，故D 正确，故选ABD ．13．1（答案不唯一） 根据题意得{}2,2B =-，A B A A B =⇔⊆ ．若0a …，则A =∅，满足题意；若0a >，则44a=，得1a =，故横线上填写的a 的值满足0a …或1a =均可．14．12-依题意，()()424sin x x f x m x -=+⋅⋅为偶函数，sin y x =为奇函数，则()424x x g x m -=+⋅为奇函数，故()0120g m =+=，得12m =-．经检验，当12m =-时，()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，故12m =-．15．6 由23()4()a b ab -…，得222()4a b ab a b -…，即21144ab a b ab⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故12ab ab +…．又12ab ab +=…，当且仅当1ab ab =时，等号成立，此时1,11ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩故226a b +=．16．8825- 作ABC △的外接圆O ．设AB 的中点为M ，则由题意知()24DC AD BD MD =+= ，故15DM CM = ，()()222||||4DA DB DM MA DM MA DM MA DM ⋅=+⋅-=-=-，由60ACB ∠=︒，故点C 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为3π的优弧上，故当CM AB ⊥时，CM 取最大值，即DM 取最大值，此时CAB △为等边三角形，DM =128842525DA DB ⋅=-=- ．17．解：（Ⅰ）依题意，24cos 4cos a B b A c +=，由正弦定理得，()4sin cos 4sin cos 4sin 4sin sin A B B A A B C c C +=+==，而sin 0C ≠，故4c =．（Ⅱ）由余弦定理得，22222cos ()332316c a b ab C a b ab ab =+-=+-=-=，得163ab =，故1sin 2ABC S ab C ==△．18．解：依题意，()42f x x x='-，0x >．（Ⅰ）()412121f =-'⨯=-，()114ln112f =-+=，故所求切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=．（Ⅱ）令()0f x '=，解得x =(x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x的单调递减区间为(，单调递增区间为)+∞，则()f x的极小值为32ln2f =-，无极大值．19．解：（Ⅰ）根据题意得，当014x ……时，()()22163012303g x x f x x x =--=-+-，当1435x <…时，()()400163050g x x f x x x=--=--，故()221230,014,340050,1435.x x x g x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩………（Ⅱ）当014x ……时，()2212303g x x x =-+-，且当09x ……时，()g x 单调递增，当914x <…时，()g x 单调递减，此时()max 2()98112930243g x g ==-⨯+⨯-=．当1435x <…时，()4005050210g x x x =---=…，当且仅当20x =时，等号成立．因为2410>，故当9x =时，()g x 取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片．20．解：因为m n ，故3cos cos22A B c B b π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由正弦定理得，sin sin sin cos2A B B C B +=．又sin 0B ≠，则sin cos cos sin 222A B C CC π+-===，即2sin cos sin 222C C C =，而sin 02C ≠，故1cos 22C =，故23C π=．（Ⅰ）由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，即2217162402b b b ⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，整理得23280b b --=，解得2b =或43-（舍去），c =ABC △的周长为6+．（Ⅱ）设0,3CAM πα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，3CMA πα∠=-．由正弦定理得，sin sin sin CM AC AMCMA Cα==∠，即23sin sin 3a b παα===⎛⎫- ⎪⎝⎭a α=，3cos b αα=+，所以()3cos a b αααϕ+=+=+，其中tan ϕ⎫=⎪⎪⎭，,64ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则当2παϕ+=时，a b +．21．解：（Ⅰ）根据题意得，44T π=，故T π=，22Tπω==，故()()2cos 2f x x ϕ=+．将5,212A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入，得()52212k k πϕππ⎛⎫⨯-+=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，又2πϕ<，故6πϕ=-．（Ⅱ）依题意，()23222cos 2cos 34633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．函数()y g x a =-在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 的图象与直线y a =在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点个数．当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，224,3333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合余弦函数图象可知，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()g x 单调递减，当,22x ππ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，()g x 单调递增，且()1g π-=-，12g π⎛⎫=⎪⎝⎭，22g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，作出函数()g x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示．观察可知，当2a =-或11a -<…时，()y g x a =-有1个零点；当21a -<-…时，()y g x a =-有2个零点；当2a <-或1a >时，()y g x a =-有0个零点．22．解：（Ⅰ）依题意，()22cos f x ax x +'=，根据题意知，()0f x '…在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即cos x a x -…在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．令()cos x m x x -=，5,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2sin cos x x x m x x +'=，令()sin cos n x x x x =+，2x π⎡∈⎢⎣，则()cos n x x x '=，则3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0n x '…，35,23x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0n x '>，故()n x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在35,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增．而02n π⎛⎫> ⎪⎝⎭，302n π⎛⎫< ⎪⎝⎭，503n π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故03,22x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00n x =，当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0n x >，()0m x '>，当05,3x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0n x <，()0m x '<，故min 53()min ,2310m x m m πππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则310a π-…，故实数a 的取值范围为3,10π⎛⎤-∞-⎥⎝⎦．（Ⅱ）令()()g x f x ='，则()()2sin g x a x -'=，设1x ，2x 分别为函数()f x '在[]0,π上的极大值点与极小值点，所以()()120g x g x ''==，12sin sin a x x ==，则01a <…，且12x x π+=．所以()11222222cos cos ax x ax x λμ-=+--，由12x x π+=，得21cos cos x x =-，其中102x π<…，1sin a x =，故()]()()11111111112222cos cos 233cos 23sin 3cos sin ax x a x x ax x a x x x x λμπππ⎡-=+--+=+-=+-⎣．设()3sin 3cos sin h x x x x x π=+-，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()()3cos h x x x π=-'，令()0h x '=，解得3x π=，故当03x π<…时，()0h x '<，()h x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32x ππ<…时，()0h x '>，()h x 在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()332h x h π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，即23λμ-…，故23λμ+…．。
