2018高考数学大一轮复习第五章数列课时跟踪检测三十一数列求和练习文

课时作业31 数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n2n ＋1，故a 10＝－2021.答案：C2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.答案：A3．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于( ) A.56 B.65 C.130D ．30解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1nn ＋，所以1a 5＝5×6＝30.答案：D4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3>2λ，λ<32.由λ<1可推得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．(2017·衡水中学一调)已知前n 项和为S n 的正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝12(lg a n ＋lg a n＋2)，且a 3＝4，S 2＝3，则( ) A ．2S n ＝a n ＋1 B ．S n ＝2a n ＋1 C ．2S n ＝a n －1D ．S n ＝2a n －1解析：依题意，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，故数列{a n }为等比数列．由a 3＝4，S 2＝3，解得a 1＝1，q ＝2，故a n ＝2n －1.S n ＝1－2n1－2＝2n－1＝2a n －1，故选D.答案：D6．(2017·郑州一中一联)在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则数列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．132B ．299C ．68D ．99解析：因为在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，所以对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，即a n ＋3＝a n ，所以数列{a n }是以3为周期的周期数列．又因为a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＝2＋3＋4＝9，所以S 100＝33×(a 1＋a 2＋a 3)＋a 100＝33×9＋2＝299.答案：B 二、填空题7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________. 解析：由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2.能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.答案：18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________.解析：当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n－1.答案：2n－19．若数列{a n }满足a 1＝－1，n (a n ＋1－a n )＝2－a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n＝________.解析：∵n (a n ＋1－a n )＝2－a n ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝2，∴数列{na n }是首项为－1，公差为2的等差数列，∴na n ＝2n －3，∴a n ＝2－3n.答案：2－3n三、解答题10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3.(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1， a 2＝31a 1， a 3＝42a 2，……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n n ＋2.显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.11．(2017·安徽合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12na n ，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a n n .所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝n2n .所以S n ＝121＋222＋…＋n2n ①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以S n ＝2－n ＋22n .1．(2017·重庆高考适应性测试)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1) B.n n ＋2C ．n (n ＋1)D.n n ＋2解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n＋2n2＝n (n ＋1)，选C. 答案：C2．(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 015a 2 013＝( ) A ．4×2 0152－1 B ．4×2 0142－1 C ．4×2 0132－1 D ．4×2 0132解析：由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a 2a 1＝(2n －3)·(2n －5)×…×1.所以a 2 015a 2 013＝－－－－＝4 027×4 025＝(4 026＋1)(4 026－1) ＝4 0262－1＝4×2 0132－1. 答案：C3．(2017·贵阳监测)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________. 解析：由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 015＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，∴前2 015项的乘积为1503·a 1a 2a 3＝3. 答案：34．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)．(1)求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}(n ∈N *)都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，令b n ＝(3－T 2n )·n ·(n ＋1)，求数列{b n }的最大项．解：(1)证明：因为a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，a n ＋1a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12.又a 1＝1，a 2＝12，所以数列a 1，a 3，…，a 2n －1，…，是以1为首项，12为公比的等比数列；数列a 2，a 4，…，a 2n ，…，是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可得T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 所以b n ＝3n (n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，b n ＋1＝3(n ＋1)(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝3(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22－n＝3(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1(2－n )，所以b 1<b 2＝b 3>b 4>…>b n >…， 所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝92.。

第五章⎪⎪⎪数 列第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念 概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{a n }的第n 项a n通项公式 数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示，这个公式叫做数列的通项公式前n 项和数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和列表法 列表格表示n 与a n 的对应关系 图象法 把点(n ，a n )画在平面直角坐标系中 公式法通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表示数列的方法n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，则数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5等于________． 答案：11613．(教材习题改编)已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．答案：递增1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．[小题纠偏]1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥22．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大． 答案：4或5考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋(－1)n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2．其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，…．解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *． (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1)，n ∈N *．(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *．[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．如“题组练透”第2(2)题．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b ．解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5． (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1． 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[由题悟法]已知S n 求a n 的 3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n ． (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n ．解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1] ＝2·3n －1＋2， 由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.考点三 由递推关系式求数列的通项公式(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n ．[题点全练]角度一：形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1．以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n ．当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1n (n ∈N *)． 角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 解：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22．又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ； (2)a 1＝12，a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)．解：(1)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1．(2)因为a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ＋1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，a n －1a n －2＝n －2n ，…，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13，以上n －1个式子相乘得a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·13，即a n a 1＝1n ＋1×1n ×2×1，所以a n ＝1n (n ＋1)． 当n ＝1时，a 1＝11×2＝12，也与已知a 1＝12相符，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A ．n 2n ＋1B ．n2n －1 C ．n 2n －3D ．n2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n 2n －1．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为选项C ．3．若a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，当a n >100时，n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)得，a 2＝4a 1＋1＝4×12＋1＝3，a 3＝4a 2＋1＝4×3＋1＝13，a 4＝4a 3＋1＝4×13＋1＝53，a 5＝4a 4＋1＝4×53＋1＝213>100．4．(2016·肇庆三模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由a n －a n －1＝n 得a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ， 上面(n －1)个式子相加得 a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)．又n ＝1时也满足此式， 所以a n ＝12n (n ＋1)．答案：12n (n ＋1)5．(2017·南昌模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1． 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A ．(－1)n ＋12B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．2．(2017·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2017＝( )A ．1B ．0C ．2 017D ．－2 017解析：选A ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 017＝a 1＝1．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n －1解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n ＝2n ．4．设曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017＝( )A ．2 0162 017B ．12 017 C ．2 0172 018D ．12 018解析：选D 由f (x )＝x n ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n ，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝n n ＋1，故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017＝12×23×…×2 0172 018＝12 018．5．(2017·衡水中学检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ． 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7．∴满足条件的n 的值为7．6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0．08是它的第____________项．解析：令n －2n 2＝0．08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0． 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：107．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2 017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．解析：由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1， a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0， ∴a 2 017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1． 答案：－1 18．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________．解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28．答案：289．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理，a 3＝3，a 4＝4．(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0． 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n ． 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4．(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4．因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3． 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2． (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3．所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵第10行、第3个数为97．答案：972．(2017·甘肃诊断性考试)已知数列{a n }满足a 1＝8999，a n ＋1＝10a n ＋1． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝lg ⎝⎛⎭⎫a n ＋19，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求证：T n <12． 证明：(1)由a n ＋1＝10a n ＋1，得a n ＋1＋19＝10a n ＋109＝10⎝⎛⎭⎫a n ＋19，即a n ＋1＋19a n ＋19＝10． 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，其中首项为a 1＋19＝100，公比为10，所以a n ＋19＝100×10n －1＝10n ＋1，即a n ＝10n ＋1－19．(2)由(1)知b n ＝lg ⎝⎛⎭⎫a n ＋19＝lg 10n ＋1＝n ＋1， 即1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2． 所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12．第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2． 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． 答案：102．(教材习题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n3．(教材习题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________．答案：114(75n －5n 2)1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．[小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C ．⎝⎛⎭⎫－3，－83 D ．⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12．答案：12考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·郑州二检)已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，S n是{a n }的前n 项和，则S 12的值为______．解析：由题意得，a 25＝a 3a 11，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋10)，a 1＝－1，∴S 12＝12×(－1)＋12×112×1＝54．答案：542．(2017·西安质检)公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7＝2a 5，∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，∴a n＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：113．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d ．所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4．故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20．答案：204．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1， 公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72．答案：－72[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用，体现整体代入的思想．考点二 等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．解：(1)证明：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0，n ≥2． 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n．由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又∵a 1＝12，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法[即时应用]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2＋1a n ，∴b n ＋1－b n ＝2＋1a n －1a n ＝2．又b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n ＝12n －1．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1．考点三 等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9D ．6解析：选D 由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6．2．(2017·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8＝1，S 16＝0，当S n 取最大值时n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n ＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(S n )max ＝S 8，选项B 正确．[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n ．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m ．[即时应用]1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S9＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．12解析：选A S 11S 9＝11(a 1＋a 11)29(a 1＋a 9)2＝11a 69a 5＝119×911＝1．2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18．答案：183．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________． 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d ．又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200．答案：200一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·桂林调研)等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A ．14B ．12C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14，故选A ．2．等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27解析：选B 法一：∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×6＝54．故选B ．法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，∴S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B ．3．(2017·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C 3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n ．∵a k ＋1·a k <0， ∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *， ∴k ＝23．4．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0． ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2． ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6．答案：65．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5．答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·太原一模)在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2， 又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝12．∴a 1＝a 2－d ＝0．2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10B ．15C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式， ∴a n ＝4n ＋1，a p －a q ＝4(p －q )＝20．3．(2017·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A ．114B ．32C ．72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n}都是等差数列，且公差相同，∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114．4．(2017·沈阳教学质量监测)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选A 由题可得{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 62·11<0，故选A ．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0． 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1．6．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10．答案：107．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78．答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m－1＝5，即2a 1＋2m －1＝5， 所以a 1＝3－m ．由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得正整数m 的值为5． 答案：59．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110． (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n ．解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k ．由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10． (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2． 10．(2017·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0．(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n ．解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0． 当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·安庆二模)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．解析：a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝(2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n－1，n ∈N *．λa n ≤n ＋8n 就是λ≤(n ＋8)(2n －1)n ⇒λ≤2n －8n ＋15，f (n )＝2n －8n ＋15在n ≥1时单调递增，其最小值为f (1)＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9．答案：92．已知数列{a n}满足，a n＋1＋a n＝4n－3(n∈N*)．(1)若数列{a n}是等差数列，求a1的值；(2)当a1＝2时，求数列{a n}的前n项和S n．解：(1)法一：∵数列{a n}是等差数列，∴a n＝a1＋(n－1)d，a n＋1＝a1＋nd．由a n＋1＋a n＝4n－3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－3，∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－12．法二：在等差数列{a n}中，由a n＋1＋a n＝4n－3，得a n＋2＋a n＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，∴2d＝a n＋2－a n＝(a n＋2＋a n＋1)－(a n＋1＋a n)＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2．又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝4×1－3＝1，∴a1＝－12．(2)由题意，①当n为奇数时，S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a n－1＋a n)＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×n－1 2＝2n2－3n＋52．②当n为偶数时，S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2．第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q ． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k ．[小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…．此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列 答案：B2．等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6＝________．解析：法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，∴a 6＝a 1q 5＝163×⎝⎛⎭⎫325＝812．法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4， ∴a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，∴a 6＝a 24a 2＝1828＝812．答案：8123．(教材习题改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则公比q ＝________，S 4＝________．答案：－4 511．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0．3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4，又∵a 5＝a 3q 2>0，∴a 5＝4． 2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________． 答案：－12或1考点一 等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2017·武汉调研)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝( )A ．38B ．245 C ．316D ．916解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2a 1q ＝3，(a 1q 2)2＝4a 1q ·a 1q 5，解得⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12，所以a 4＝a 1q 3＝32×⎝⎛⎭⎫123＝316．2．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，∴n ＝6．答案：6[由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程 的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解[即时应用]1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13B ．－13C ．19D ．－19解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝9，a 1＝19.2．(2017·洛阳统考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋8a 4＝0，则S 4S 3＝( )A ．－53B ．157C ．56D ．1514解析：选C 在等比数列{a n }中，因为a 1＋8a 4＝0，所以q ＝－12，所以S 4S 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－123＝151698＝56． 3．(2015·安徽高考)已知数列{}a n 是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{}a n 的前n 项和等于________．解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{}a n 为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n 1－2＝2n －1．答案：2n －1考点二 等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0． (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ．解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0． 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ．由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1．因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1．(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n．由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132．解得λ＝－1．[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用]设数列{}a n 的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1．(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78． (2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． ∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n2(2a n ＋1－a n )＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2017·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7．由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2．由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8．2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ， 由已知得S 4S 2＝1＋a 3＋a 4a 1＋a 2＝5，即1＋q 2＝5， 所以q 2＝4，S 8S 4＝1＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋q 4＝1＋16＝17． 答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类[即时应用]1．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．5B ．9C ．log 345D ．10解析：选D 由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10．2．(2017·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n－1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14．答案：14一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D ．2．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A ．125B ．126C ．127D ．128解析：选C 设{a n }的公比为q ，则2a 2＝a 4－a 3，又a 1＝1，∴2q ＝q 3－q 2，解得q ＝2或q ＝－1，∵a n >0，∴q >0，∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127．3．(2016·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n C ．2n －1D ．2n －2解析：选A 依题意，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，则a n ＋1＝2a n ，令n ＝1，则S 1＝2a 1－4，即a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A ．4．在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________． 解析：由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16， ∴a 2＝2，∴q 2＝a 4a 2＝4，∴a 6＝a 4q 2＝32．答案：325．在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 解析：∵a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6(q ≠1)两式相除得(q 2＋1)(q 2－1)q ·(q 2－1)＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1； 当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．∴a 3＝1×22＝4． 答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：选C a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100．2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18B ．－18C ．578D ．558解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，。

2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 第31讲 数列求和实战演练理1．(2016·北京卷)已知{}a n 为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝6.解析：设等差数列{}a n 的公差为d ，∵a 1＝6，a 3＋a 5＝0，∴6＋2d ＋6＋4d ＝0，∴d ＝－2，∴S 6＝6×6＋6×52×(－2)＝6. 2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{}a n 的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝－1n. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0.∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n. 3．(2016·山东卷)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{}b n 是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{}b n 的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n ，求数列{}c n 的前n 项和T n .解析：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{}b n 的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d .可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝n ＋n ＋1n ＋n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]2 ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n1－2－n ＋1×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2.所以T n ＝3n ·2n ＋2.4．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{}a n 的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和．解析：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2.又由a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{}a n 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{}b n 的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝nn ＋.。

课时作业(三十三)数列求和［授课提示：对应学生用书第237页]一、选择题1．（2017·重庆第一次适应性测试)在数列{a n｝中，a n＋1－a n＝2，a2＝5，则｛a n｝的前4项和为（)A．9 B．22C．24 D．32解析：依题意得，数列｛a n}是公差为2的等差数列，a1＝a2－2＝3，因此数列{a n}的前4项和等于4×3＋错误!×2＝24，选C.答案：C2．已知｛a n}是首项为1的等比数列,S n是｛a n｝的前n项和,且9S3＝S6，则数列｛错误!}的前5项和为( ）A。

错误!或5 B。

错误!或5C.错误!D.错误!解析：设{a n}的公比为q，显然q≠1，由题意得错误!＝错误!，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以错误!是首项为1，公比为错误!的等比数列，前5项和为错误!＝错误!。

答案：C3．（2017·长沙二模）已知数列｛a n｝的通项公式是a n＝（－1）n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )A．15 B．12C．－12 D．－15解析：∵a n＝(－1）n（3n－2），∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4）＋（－7＋10)＋…＋(－25＋28）＝3×5＝15.答案：A4．数列{1＋2n－1}的前n项和为( ）A．1＋2n B．2＋2nC．n＋2n－1 D．n＋2＋2n解析：由题意得a n＝1＋2n－1,所以S n＝n＋错误!＝n＋2n－1。

答案：C5．（2017·武汉武昌调研）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，S1，S2,S4成等比数列,且a3＝－错误!,则数列错误!的前n项和T n＝( ）A．－错误! B.错误!C．－错误!D。

错误!解析：设｛a n｝的公差为d，则S1＝a1,S2＝2a1＋d＝2a1＋错误!＝错误! a1－错误!,S4＝3a3＋a1＝a1－错误!，因为S1，S2，S4成等比数列，所以错误!2＝错误!a1，整理，得4a错误!＋12a1＋5＝0，所以a1＝－错误!或a1＝－错误!。

课时作业34 数列求和与数列的综合应用一、选择题1．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 解析：∵a n ＝n ＋12n ，∴S n ＝112＋214＋…＋n 12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n ＝n 1＋n 2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12n (n ＋1)＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 答案：A2．在数列{a n }中，a n ＝1n n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为2 0112 012，则项数n 为( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 013解析：∵a n ＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0112 012， 解得n ＝2 011. 答案：B3．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( )A ．2－12n －n2n ＋1B ．2－12n －1－n2n C.12(n 2＋n ＋2)－12n D.12(n ＋1)n ＋1－12n ＋1 解析：∵S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ①，∴12S n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)12n ＋n ·12n ＋1②.①－②，得12S n ＝1×12＋1×14＋1×18＋…＋12n －n ·12n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1， ∴S n ＝2－12n －1－n2n .答案：B4．(2017·赣州摸底)已知数列{a n }满足：a 1＝2，且对任意n ，m ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 4S 2＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为a m ＋n ＝a m ·a n ， 则S 4S 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＝1＋a 3＋a 4a 1＋a 2＝1＋a 1a 2＋a 22a 1＋a 2＝1＋a 2＝1＋a 21＝5，故选D. 答案：D5．在数列{a n }中，a n ＝n ，n ∈N *，前50个偶数的平方和与前50个奇数的平方和的差是( )A ．0B ．5 050C ．2 525D ．－5 050解析：(22＋42＋…＋1002)－(12＋32＋…＋992)＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)＝3＋7＋11＋…＋195＋199＝50× 3＋1992＝5 050.答案：B6．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前60项和为( ) A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3，∴a 2k ＋1＋a 2k－1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2，∴a 2k －1＝a 2k ＋3，即a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝30× 3＋1192＝30×61＝1830.答案：D 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(3n －2)，则前100项和S 100等于________．解析：∵a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝a 5＋a 6＝…＝a 99＋a 100＝－3，∴S 100＝－3×50＝－150. 答案：－1508．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．解析：由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：609．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为________．解析：由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a n ＋2＝a n －a n －1－a n ＝－a n －1，易得该数列是周期为6的数列，且a n ＋2＋a n －1＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2 013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 2－a 1＝－13，a 2＋a 1＝2 013，，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 013，a 2＝1 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－13，a 4＝－1 013，依次可得a 5＝－1 000，a 6＝13，由此可知a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＋a n ＋4＋a n ＋5＋a n ＋6＝0， ∴S 2 015＝S 5＝－13. 答案：－1310．(2017·郑州模拟)若数列{a n }是1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1，…，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， 所以S n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝2n －2＋12n －1.答案：2n －2＋12n －1三、解答题11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2， ∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n )．令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1.两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝2 1－2n1－2－n ·2n ＋1，∴T ＝2(1－2n)＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋1 2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.12．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1 n ＋2 2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式，所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明：由a n ＝2n (n ∈N *)．得b n ＝n ＋1 n ＋2 2a 2n ＝n ＋14n 2 n ＋22＝116[1n 2－1 n ＋22]，T n ＝ 116⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1 n －1 2－1 n ＋1 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1 n ＋2 2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1 n ＋1 2－1 n ＋2 2<116⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝564(n ∈N *)． 即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.1．(2016·浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列，故选A.答案：A2．已知S n 和T n 分别为数列{a n }与数列{b n }的前n 项和，且a 1＝e 4，S n ＝e S n ＋1－e 5，a n ＝e b n (n ∈N *)，则当T n 取得最大值时，n 的值为( )A ．4B ．5C ．4或5D ．5或6解析：由题意，得S n ＝e S n ＋1－e 5，S n －1＝e S n －e 5(n ∈N *且n ≥2)．上述两式相减，得a n＝e a n ＋1，即a n ＋1a n ＝1e (n ∈N *且n ≥2)，∵a 1＝e 4，S n ＝e S n ＋1－e 5，∴a 2＝e 3，a 2a 1＝1e，∴数列{a n }是以e 4为首项，以1e 为公比的等比数列，∴a n ＝e 5－n ，∵a n ＝e b n ，∴b n ＝lne 5－n＝5－n ，∴数列{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列，∴T n ＝n 9－n2.对于函数y ＝x 9－x2＝－12(x －92)2＋818，其图象开口向下且对称轴方程为x ＝92.考虑到{b n }的前n 项和T n 中n ∈N *，可知当n ＝4或5时，T n 取得最大值．答案：C3．(2017·株洲一检)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n .若直线y ＝a 1x ＋m 与圆x 2＋(y －1)2＝1的两个交点关于直线x ＋2y －d ＝0对称，则数列{1S n}的前100项和为________．解析：因为直线y ＝a 1x ＋m 与圆x 2＋(y －1)2＝1的两个交点关于直线x ＋2y －d ＝0对称，所以两交点连线的斜率a 1满足a 1×(－12)＝－1，所以a 1＝2，并且圆心(0,1)在直线x ＋2y－d ＝0上，所以d ＝2，所以等差数列的通项为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝12(2＋2n )n ＝n (n ＋1)，1S n＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，设{1S n }的前100项和为T 100，则T 100＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 答案：1001014．(2016·天津卷)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n是a n 和a n ＋1的等比中项．(Ⅰ)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *,求证：数列{c n }是等差数列； (Ⅱ)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝12n(－1)k b 2k，n ∈N *，求证：∑k ＝1n1T k <12d 2.解：证明：(Ⅰ)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，有c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1，因此c n＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列． (Ⅱ)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n a 2＋a 2n2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑k ＝1n1T k ＝12d 2∑k ＝1n 1k k ＋1＝12d 2∑k ＝1n (1k －1k ＋1) ＝12d 2·(1－1n ＋1)<12d2.。

2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标31 数列求和 理[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n 项和，以及利用S n 与a n 的关系求通项公式，三种题型均有考查 ，位于各类题型的中间靠后位置．一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋，则S 6 ＝( D )A ．142B ．45C ．56D ．67解析：因为a n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，所以S 6＝1－12＋12－13＋…＋16－17＝1－17＝67. 2．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( B ) A ．11 B ．99 C ．120D ．121解析：因为1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1－n＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120，故选C ．3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝( D )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析：由题意，得a n ＋1＝a n ＋sinn ＋π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，…，因此，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 017＝4×504＋1，所以S 2 017＝504×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝1 008＋a 1＝1 009，故选D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( A )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋－2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 5．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝( B )A ．2 017B ．1 008C ．504D ．0解析：因为a n ＝n cosn π2，所以当n 为奇数时，a n ＝0，当n 为偶数时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝4m ，－n ，n ＝4m －2，其中m ∈N *，所以S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 016＋a 2 017 ＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 2 016＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2 016＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋(－2 014＋2 016) ＝2×504＝1 008，故选B ．6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( B )A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×22 018－2解析：依题意得a n ·a n ＋1＝2n，a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，于是有a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是以a 1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋－21 0091－2＝3×21 009－3，故选B ．二、填空题7．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为8n n ＋1. 解析：∵a n ＝n n ＋2n ＋1＝n 2，∴b n ＝8n n ＋＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1.8．(2017·河南郑州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝130.解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以当n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n .解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2. ∴a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，a 1适合a n . ∴a n ＝4(n ＋1)2，∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .三、解答题10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2) (n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)令n ＝2得a 2＝2a 1＝6. 令n ＝3，得a 3＝2a 2＋1＝13. (2)证明：因为a n ＋na n －1＋n －＝2a n －1＋n －2＋n a n －1＋n －1＝2，所以数列{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列， 所以a n ＋n ＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－n .(3)因为数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1－n ，所以S n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋…＋n )＝－2n1－2－n n ＋2＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.11．(2015·浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *) ，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解析：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知，当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b nn ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此，T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．12．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 5＝30，又a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求S n ；(2)若任意n >t ，n ∈N *，都有1S 1＋a 1＋2＋1S 2＋a 2＋2＋…＋1S n ＋a n ＋2>1225，求t 的最小值．解析：(1)设公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝30，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋8d ，解得a 1＝d ＝2.∴a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n . (2)∵1S n ＋a n ＋2＝1n 2＋n ＋2n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2， ∴1S 1＋a 1＋2＋1S 1＋a 2＋2＋…＋1S n ＋a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2>1225. ∴1n ＋2<12－1225＝150，即n ＋2>50，n >48. ∴t 的最小值为48.。

第4节数列求和及综合应用【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.若数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(2n-1),则a1+a2+a3+…+a100等于( D )(A)-200 (B)-100(C)200 (D)100解析:由题意知,a1+a2+a3+…+a100=-1+3-5+…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.故选D.2.已知数列{a n}的通项公式是a n=错误！未找到引用源。

,其前n项和S n=错误！未找到引用源。

,则项数n等于( D )(A)13 (B)10(C)9 (D)6解析:因为a n=错误！未找到引用源。

=1-错误！未找到引用源。

,所以S n=n-(错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

+…+错误！未找到引用源。

)=n-1+错误！未找到引用源。

,而错误！未找到引用源。

=5+错误！未找到引用源。

,令n-1+错误！未找到引用源。

=5+错误！未找到引用源。

,得n=6.故选D.3.已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列{错误！未找到引用源。

}的前5项和为( C )(A)错误！未找到引用源。

或5 (B)错误！未找到引用源。

或5(C)错误！未找到引用源。

(D)错误！未找到引用源。

解析:设{a n}的公比为q,由题意知q≠1,所以由错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,解得q=2.所以{错误！未找到引用源。

}是以1为首项,错误！未找到引用源。

为公比的等比数列,所以S5=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,故选C.4.(2016·安徽安庆一模)各项均不为零的等差数列{a n}中,若错误！未找到引用源。

-a n-1-a n+1=0(n∈N*,n≥2),则S2 017等于( D )(A)0 (B)2(C)2 017 (D)4 034解析:错误！未找到引用源。

第讲数列求和．等差数列的前项和公式＝＝＋．．等比数列的前项和公式＝．一些常见数列的前项和公式()＋＋＋＋…＋＝；()＋＋＋＋…＋(－)＝；()＋＋＋＋…＋＝＋．．辨明两个易误点()使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．()在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解．．数列求和的常用方法()倒序相加法如果一个数列{}的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和即是用此法推导的．()错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和就是用此法推导的．()裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．()分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．()并项求和法一个数列的前项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如＝(－)()类型，可采用两项合并求解．．数列{}的前项和为，已知＝－＋－＋…＋(－)－·，则＝( )．．．．＝－＋－＋－＋…＋－＋＝＋(－＋)＋(－＋)＋(－＋)＋…＋(－＋)＋(－＋)＝＋＋＋…＋＝.数列{}中，＝，若{}的前项和为)，则项数为( )．．．．＝＝－，＝－＋－＋…＋－＝－＝＝)，所以＝ .．等差数列{}的通项公式为＝＋，其前项的和为，则数列的前项的和为( )．．．．因为＝＝(＋)，所以＝＋.故＋＋…＋＝.．若数列{}的通项公式为＝＋－，则数列{}的前项和为．＝＋＝＋－＋.＋＋－．已知数列{}的前项和为且＝·，则＝．＝×＋×＋×＋…＋×，①所以＝×＋×＋×＋…＋×＋，②①－②得－＝＋＋＋…＋－×＋＝－×＋，所以＝(－)＋＋.(－)＋＋。

2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 第31讲 数列求和实战演练板块简/者题集萃•实战演练1. (2016 •北京卷)已知｛a n ｝为等差数列，S 为其前n 项和.若a i = 6, a s + a 5 = 0,则 S 6 = 6.解析：设等差数列｛a n ｝的公差为 d ,： a 1= 6, a 3+ a 5 = 0,「. 6 + 2d + 6 + 4d = 0, — d =6X5 —2 ,••• Se = 6X 6+ 可X ( — 2) = 6.2. （2015 •全国卷n ）设S n 是数列｛ a n ｝的前n 项和，且 日=一 1, a n +1= SS +1，贝V S = n1 1 解析：T a n + 1 = S+ 1 — S n ,「. S+ 1 — S n = S+1 Si ，又由 &1 =— 1,知 $工 0. •- 一 ~= 1 ,• S n S n +11 11 等差数列，且公差为—1,而£ = —=— 1,^=— 1 + (n — 1) X ( — 1)= — n ,「. S = S a 1 S n1 n .3. （2016 •山东卷）已知数列｛&｝的前n 项和S n = 3n 2+ 8n , ｛b n ｝是等差数列，且 a n = b n + b n + 1.（1）求数列｛b n ｝的通项公式;解析：（1）由题意知，当n 》2时，a n = S —S —1 = 6n + 5.当 n = 1 时，a 1= S = 11,所以 a n = 6n + 5.设数列｛ 6｝的公差为d .了 a = b 1+ b 2,了11 = 2b 1+ d , 由即 a 2= b 2+ b 3,17= 2b + 3d . 所以 b n = 3n + 1. ⑵由⑴知c n = ^g^ = 3(n +1)・2又 T n = C 1 + C 2+—+ C n ,⑵令C n = a n + 1 n + 1b n + 2 求数列｛ C n ｝的前n 项和T n .可解得b 1 = 4, d = 3.得T n= 3X [2 X 2 2+ 3X 2 3+…+ (n+1)X2n+1],2T n= 3X [2 X 2 3+ 3X 2 4+…+ ( n+ 1) X2 n+2],两式作差，得一T n= 3X [2 X 2 2+ 23+ 24+…+ 2n+1—( n+ 1) X2 n+ 2]2 所以 T n = 3n F 2 4. (2015 •全国卷I )S 为数列｛a n ｝的前n 项和.已知a n > 0, a 2+ 2勿=4S + 3. ⑴求｛ a n ｝的通项公式；1⑵设b n = ，求数列｛ b n ｝的前n 项和.a n a n +1解析：(1)由 a 2 + 2a n = 4$+ 3，可知 a ?+1+ 2a n +1 = 4S +1+ 3. 可得 a n + 1— a n + 2( a n + 1— a n ) = 4a n + 1 ,2 2即 2( a n + 1 + a n ) = a n + 1 — a^ = ( a n + 1 + a n )( a n + 1 — a n ). 由于 a n >0,所以 a n +1 — a n = 2.又由 a 1 + 2a 1 = 4a 1 + 3，解得 a 1 = — 1(舍去)或 a 1 = 3. 所以｛a n ｝是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为 a n = 2n + 1.丄 … 1 1(2)由 a n = 2n +1 可知 b n = = = — .a n a n +1 汕 + n + 2 2n + 1 2n + 3=3X |4 + 4 1 — 2n 1 — 2n +1 X2n +2 =-3n ・2n +2设数列｛ b n ｝的前n 项和为T n ,则。

课时规范练30 数列求和基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-2.在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=()A.-495B.765C.1 080D.3 1053.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m,其中m,n为正整数,且a1=1,则a10等于()A.1B.9C.10D.554.已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=,n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018等于()A.-1B.+1C.-1D.+15.已知数列{a n}中,a n=2n+1,则+…+=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n6.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,若S n+1=S n,则数列的前2 018项和为.7.已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n+2n,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号24190915〛8.设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.〚导学号24190916〛9.S n为数列{a n}的前n项和,已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.〚导学号24190917〛综合提升组10.如果数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和S n>1 020,那么n的最小值是()A.7B.8C.9D.1011.(2017山东烟台模拟)已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=,若b n=a n a n+1,则数列{b n}的前n项和S n为()A. B.C. D.〚导学号24190918〛12.(2017福建龙岩一模,文15)已知S n为数列{a n}的前n项和,对n∈N*都有S n=1-a n,若b n=log2a n,则+…+=.13.(2017广西模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2log3+1,求+…+.〚导学号24190919〛创新应用组14.(2017全国Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.11015.观察下列三角形数表:1 第1行2 2 第2行34 3 第3行477 4 第4行5111411 5 第5行……假设第n行的第二个数为a n(n≥2,n∈N*).(1)归纳出a n+1与a n的关系式,并求出a n的通项公式;(2)设a n b n=1(n≥2),求证:b2+b3+…+b n<2.答案：1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.2.B由a1=-60,a n+1=a n+3可得a n=3n-63,则a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30-2S20=765,故选B.3.A∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.C由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.∴a n=,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=()+()+()+…+()=-1.5.C a n+1-a n=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以+…++…+=1-=1-.6.∵S n+1=S n,∴.又a1=2,∴当n≥2时,S n=·…··S1=·…·×2=n(n+1).当n=1时也成立,∴S n=n(n+1).∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n.当n=1时,a1=2也成立,所以a n=2n.∴.则数列的前2 018项和=.7.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d.由a5=11,a2+a6=18,得解得a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由a n=2n+1得b n=2n+1+2n,则S n=[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n)=n2+2n+=n2+2n+2n+1-2.8.解 (1)由题意,有即解得故(2)由d>1,知a n=2n-1,b n=2n-1,故c n=,于是T n=1++…+, ①T n=+…+.②①-②可得T n=2++…+=3-,故T n=6-.9.解 (1)由+2a n=4S n+3,可知+2a n+1=4S n+1+3.两式相减可得+2(a n+1-a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)==(a n+1+a n)·(a n+1-a n).由于a n>0,可得a n+1-a n=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以{a n}是首项为3,公差为2的等差数列,故{a n}的通项公式为a n=2n+1.(2)由a n=2n+1可知b n=.设数列{b n}的前n项和为T n,则T n=b1+b2+…+b n=.10.D a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴S n=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,∴使S n>1 020的n的最小值是10.11.B由a n+1=,得+2,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,又b n=a n a n+1,∴b n==,∴S n=,故选B.12.对n∈N*都有S n=1-a n,当n=1时,a1=1-a1,解得a1=.当n≥2时,a n=S n-S n-1=1-a n-(1-a n-1),化为a n=a n-1.∴数列{a n}是等比数列,公比为,首项为.∴a n=.∴b n=log2a n=-n.∴.则+…++…+=1-.13.解 (1)当n=1时,a1=a1-1,∴a1=2.当n≥2时,∵S n=a n-1,①S n-1=a n-1-1(n≥2),②∴①-②得a n=,即a n=3a n-1,∴数列{a n}是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n=2·3n-1.(2)由(1)得b n=2log3+1=2n-1,∴+…++…+=+…+.14.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为.第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.15.解 (1)由题意知a n+1=a n+n(n≥2),a2=2,∴a n=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a n-a n-1)=2+2+3+…+(n-1)=2+,∴a n=n2-n+1(n≥2).(2)∵a n b n=1,∴b n==2,∴b2+b3+b4+…+b n<2+…+=2<2.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

课时作业（三十一)等差数列及其前n项和[授课提示:对应学生用书第235页]一、选择题1．（2017·太原一模)在单调递增的等差数列{a n}中，若a3＝1，a2a4＝错误!，则a1＝(）A．－1B．0C。

错误!D。

错误!解析:由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝错误!，数列{a n｝单调递增，∴a2＝错误!，a4＝错误!。

∴公差d＝错误!＝错误!.∴a1＝a2－d＝0。

答案：B2．数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋3n(n∈N＊），若p－q＝5，则a p－a q＝（）A．10 B．15C．－5 D．20解析：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1,当n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式，∴a n＝4n＋1，∴a p－a q＝4（p－q)＝20.答案:D3．(2017·湖南衡阳八中一模）已知等差数列｛a n｝中,a2＝7，a4＝15，则｛a n}前10项的和S10＝（)A．100 B．210C．380 D．400解析:公差d＝错误!＝错误!＝4，∴a1＝7－4＝3，∴S10＝10×3＋错误!×4＝210,故选B.答案：B4．等差数列{a n｝的前n项之和为S n，若a5＝6，则S9为（)A．45 B．54C．63 D．27解析:法一∵S9＝错误!＝9a5＝9×6＝54.故选B。

法二：由a5＝6，得a1＋4d＝6，∴S9＝9a1＋错误!d＝9(a1＋4d）＝9×6＝54，故选B。

答案：B5．（2017·河南六市一模）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若｛a n｝和{错误!}都是等差数列，且公差相等，则a6＝（）A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1解析:由题意得，错误!＝错误!＝错误!，又∵{a n｝和{错误!}都是等差数列，且公差相同，∴错误!⇒错误!∴a6＝a1＋5d＝错误!＋错误!＝错误!，∴故选A。

A ．1B ．0C ．2 018D ．－2 018解析:∵a 1＝1,∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0,……，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 018＝a 2＝0.答案:B5．(2017·辽宁省实验中学分校月考)设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n －1解析：当n ＝1时,a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列｛a n }为等比数列,公比为2，首项为2，所以a n ＝2n .答案：C6．若a 1＝错误!，a n ＝4a n －1＋1（n >1），当a n 〉100时,n 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1，(n 〉1)得， a 2＝4a 1＋1＝4×错误!＋1＝3，a 3＝4a 2＋1＝4×3＋1＝13， a 4＝4a 3＋1＝4×13＋1＝53，a 5＝4a 4＋1＝4×53＋1＝213〉100。

答案：C二、填空题7．下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n解析：（1）当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2）令a n＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9（舍去），即150是这个数列的第16项．(3）令a n＝n2－7n＋6>0，解得n〉6或n<1（舍）．∴从第7项起各项都是正数．11．已知S n为正项数列｛a n｝的前n项和，且满足S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*）．（1)求a1，a2，a3，a4的值；(2）求数列{a n｝的通项公式．解析:(1）由S n＝错误!a错误!＋错误!a n(n∈N＊),可得a1＝错误!a错误!＋错误!a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝错误!a错误!＋错误!a2,解得a2＝2;同理，a3＝3,a4＝4.（2)S n＝错误!a错误!＋错误!a n，①当n≥2时，S n－1＝错误!a错误!＋错误!a n－1，②①－②得（a n－a n－1－1)（a n＋a n－1）＝0。

(三^一 )数列求和S,若 S 3= 9, S 5= 25,贝V S 7=()B. 48 D. 56解得 A = 1, B = 0,)B. 2+ 2n D. n + 2 + 2n解析：选C 由题意得a n = 1 + 2n —1,1 — 2n n所以 S = n + ~1 = n + 2 — 1.3 . （2017 •江西新余三校联考 ）数列｛a n ｝的通项公式是 a n = （— 1）n （2 n — 1），则该数列的前100项之和为（）A. — 200B. — 100C. 200D. 100解析：选 D 根据题意有 S 100=— 1+ 3— 5 + 7 — 9+ 11—…—197+ 199 = 2X 50= 100,故 选D.2 24.已知正项数列｛&｝满足a n +1 — 6a n = a n +1a n .若a 1 = 2，则数列｛a n ｝的前n 项和 S =解析：• a n + 1 — 6a n = a n + 1a , --(a “+1 — 3a “)( +1 + 2a n ) = 0,a n >0,.°. a n +1 = 3a n ,又a 1= 2,「. ｛a n ｝是首项为2,公比为3的等比数列,—3n• $ = 「答案：3n — 15 . （2017 •广西高三适应性测试 ）已知数列｛體｝的前n 项和S = n 2，则数列\ 1 .『的0n + 1 — I课时跟踪检测 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为 A. 41 C. 49解析：选C 设An 2+ Bn,S 3 = 9A + 3 B = 9,由题知， S 5= 25A + 5B = 25,••• S = 49.2.数列｛1 + 2n _1｝的前n 项和为（ A. 1+ 2n C. n + 2n — 1前n项和T n= _________ .:an = 2n — 1.1 = 1 = 1 口 __ a n + 1 — 7= 打+1 __= 4 n —n +1，T n = 4 1- =+；； — ；；+•••+ 二―“宀 n 答案：市—保咼考，全练题型做到咼考达标5项和为（ ）31 B 兀或515D "a解析：•••a n 1, n = 1, n 2— n —]2, n 》2 1, n = 1,2n — 1, n >2,解析：选C 设｛a n ｝的公比为q ,显然q z 1,由题意得 9 [— q 3 1 — q 63-n —r =1—5，所以 1+q 3 1 1=9，得q = 2，所以—是首项为1，公比为石的等比数列，前 a n 2an、1-G) 315项和为 ----- —=16 .1 —22.已知数列｛a n ｝中，a n =— 4n +5,等比数列｛b n ｝的公比 q 满足 q = a n — a n -1 (n 》2)且 b=a 2,则 | b 1| +1 b 2| + | b 3| +…+ | b n | =( ) nA. 1 — 4B .D . 解析：选B 由已知得b 1 = a 2= — 3, q = — 4, ・ n — 1 • = ( — 3) X ( — 4) , • | b n | = 3X4n —1, 即｛| b n |｝是以3为首项，4为公比的等比数列.I — 4 n=4n — 11 — 4 .I b 1| + | b 2| + …+ | b n | =3. （2017 •江西重点中学联考）已知数列5,6,1 , — 5,…，该数列的特点是从第二项起, 1 1 nn +1=41-1'n + 1 = 4n + 4'1.已知｛a n ｝是首项为1的等比数列,S 是｛a n ｝的前n 项和，且983=则数列 的前a n31A. 5解析：选C 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，— 5,— 6, — 1,5,6，发现从第+ ( — 6) + ( — 1) = 0.每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16项之和S 16等于( )C. 7 D .16B. 7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列, 且周期为 6,前 6 项和为 5+ 6+ 1 + ( — 5)又因为16 = 2X 6+ 4,所以这个数列的前16项之和S 6= 2X 0+ 7 = 7.故选C.4. 已知数列｛的的通项公式是a n = n 2sin2n + 1 “， 、~2~n ，贝U a 1+ a 2 + a 3+…+ a ? 018=( )A. 2 017 X 2 018 B .2 018 X 2 019C.2 017 X 2 017D.2 018 X 2 018解析：选 B a n = n 2sinnk 2丿 ■ 2—n ,2 n ,n 为奇数, n 为偶2222222222• a 1 + a 2+ a 3 + …+ a 2 018 = — 1 + 2 — 3 + 4—…一2 017 + 2 018 = (2 — 1 ) + (4 — 3 ) + …+ (2 018 2— 2 0172) = 1 + 2 + 3+ 4+-+ 2 018 = 2 % X 2 0195.对于数列｛&｝，定义数列｛a n +1 — a n ｝为数列｛a n ｝的 2n ，则数列｛a n ｝的前n 项和S n =(“差数列”，若 a 1= 2，数列｛a n ｝的“差数列”的通项为A. 2 nB. 2C. 2n +1 — 2n — 1小D. 2—解析：选Cnn — 1a n +1 — ch = 2，…a n = (a n — a n — 1) + (—1 — a n —2) +…+ (a 2 — aj + a 1 = 2+ 2n —2+-+ 22 + 2+ 2 =2n n +1 ——2 2——2 「+ 2= 2n — 2 + 2 = 2n ,. $= 丁片=2n +1 — 2.故选 C.1 —2 1 — 2 6.在数列｛a n ｝中，若a 1 = 2，且对任意正整数 m k ,总有a m+ k = am + a k ,则｛ a n ｝的前 n 解析：依题意得 a n +1 = a n + a 1,即有a n +1 — a n = a 1= 2，所以数列｛a n ｝是以2为首项、2为 + 2n公差的等差数列， a n = 2 + 2(n — 1) = 2n , S = -__= n ( n + 1).答案：n (n + 1)7. (2016 •浙江高考)设数列｛a n ｝的前n 项和为 S.若S 2 = 4, a n +1 = 2S + 1, n € N ,则,S =解析：T a n + 1 = 2S n + 1 ,.•. S+ 1 — Si = 2S n + 1 ,••• S+1= 3S + 1 ,••• S+1 + 2 = 3 s +1 ,（1）求｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式;⑵设数列｛C n ｝满足C n = 2S ，求｛C n ｝的前n 项和 解：（1）设数列｛b n ｝的公差为d ,v a 3+ S= 27,T n.•- q 2 + 3d = 18,6 + d = q 2,联立方程可求得 q = 3, d = 3,• a n = 3 1, b n = 3n .、卄—n 3 + 3n(2)由题意得： S=2111113 3 2 11 1C n = =_X_X=_—一2S 2 3 n n+1 n n +11 1 • T n = 1 _一+ 一_一+ —_—+•••+ 一一 -------------------------------------•数列“s+ 2煜公比为3的等比数列,1$ + 2 = 3. S + 2又 S 2= 4,「. S= 1 ,.•. a i = 1, 1 < 1 \ 4 34243• $+2= $+2 X3 = 2X3 =〒 ••• S 5 = 121. 答案：1121&已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 • a n = 2n (n € N)，则 S 。

课时分层训练(三十一) 数列求和A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )【导学号：31222189】A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.] 5．已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋＋f n，n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝( ) 【导学号：31222190】A. 2 016－1B. 2 017－1C. 2 018－1D. 2 018＋1C [由f (4)＝2得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋＋f n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 018－2 017)＝ 2 018－1.] 二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sinn π2，n ∈N *，则S 2 016＝__________.【导学号：31222191】0 [a n ＝sinn π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0.S 2 016＝S 4×504＝0.]7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.2n ＋1－2 [∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.]8．(2017·广州综合测试(二))设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为__________．n2n ＋1[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，1S n ＝14n 2－1＝1n ＋n －＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.] 三、解答题9．(2017·成都二诊)已知数列{a n }中，a 1＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解] (1)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是首项为2，公差为1的等差数列， ∴2na n＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分解得a n ＝2n n ＋.5分(2)∵a n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.12分 10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.3分所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35.5分 (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；8分当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n，则数列lg a 1,2lg a 2,22lga 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )【导学号：31222192】A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n＋1D ．2n＋1C [∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a 2n ＝102n ，即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg 10n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n，② ∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n－1，∴S n ＝(n－1)·2n＋1.]2．(2017·合肥二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n，则S n ＝__________.n ·2n (n ∈N *) [由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n －S n －1)－2n，即S n 2n －S n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n(n ≥2)，当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．]3．(2017·广州综合测试(二))设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3.3分 ∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n.5分(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n，7分 ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×32－3n －11－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1.10分∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n.7分 ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n]＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分。

课时规范练30 数列求和基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-2.在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=()A.-495B.765C.1 080D.3 1053.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m,其中m,n为正整数,且a1=1,则a10等于()A.1B.9C.10D.554.已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=,n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018等于()A.-1B.+1C.-1D.+15.已知数列{a n}中,a n=2n+1,则+…+=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n6.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,若S n+1=S n,则数列的前2 018项和为.7.已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n+2n,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号24190915〛8.设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.〚导学号24190916〛9.S n为数列{a n}的前n项和,已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.〚导学号24190917〛综合提升组10.如果数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和S n>1 020,那么n的最小值是()A.7B.8C.9D.1011.(2017山东烟台模拟)已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=,若b n=a n a n+1,则数列{b n}的前n项和S n为()A. B.C. D.〚导学号24190918〛12.(2017福建龙岩一模,文15)已知S n为数列{a n}的前n项和,对n∈N*都有S n=1-a n,若b n=log2a n,则+…+=.13.(2017广西模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2log3+1,求+…+.〚导学号24190919〛创新应用组14.(2017全国Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.11015.观察下列三角形数表:1 第1行2 2 第2行34 3 第3行477 4 第4行5111411 5 第5行……假设第n行的第二个数为a n(n≥2,n∈N*).(1)归纳出a n+1与a n的关系式,并求出a n的通项公式;(2)设a n b n=1(n≥2),求证:b2+b3+…+b n<2.答案：1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.2.B由a1=-60,a n+1=a n+3可得a n=3n-63,则a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30-2S20=765,故选B.3.A∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.C由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.∴a n=,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=()+()+()+…+()=-1.5.C a n+1-a n=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以+…++…+=1-=1-.6.∵S n+1=S n,∴.又a1=2,∴当n≥2时,S n=·…··S1=·…·×2=n(n+1).当n=1时也成立,∴S n=n(n+1).∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n.当n=1时,a1=2也成立,所以a n=2n.∴.则数列的前2 018项和=.7.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d.由a5=11,a2+a6=18,得解得a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由a n=2n+1得b n=2n+1+2n,则S n=[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n)=n2+2n+=n2+2n+2n+1-2.8.解 (1)由题意,有即解得故(2)由d>1,知a n=2n-1,b n=2n-1,故c n=,于是T n=1++…+, ①T n=+…+.②①-②可得T n=2++…+=3-,故T n=6-.9.解 (1)由+2a n=4S n+3,可知+2a n+1=4S n+1+3.两式相减可得+2(a n+1-a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)==(a n+1+a n)·(a n+1-a n).由于a n>0,可得a n+1-a n=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以{a n}是首项为3,公差为2的等差数列,故{a n}的通项公式为a n=2n+1.(2)由a n=2n+1可知b n=.设数列{b n}的前n项和为T n,则T n=b1+b2+…+b n=.10.D a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴S n=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,∴使S n>1 020的n的最小值是10.11.B由a n+1=,得+2,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,又b n=a n a n+1,∴b n==,∴S n=,故选B.12.对n∈N*都有S n=1-a n,当n=1时,a1=1-a1,解得a1=.当n≥2时,a n=S n-S n-1=1-a n-(1-a n-1),化为a n=a n-1.∴数列{a n}是等比数列,公比为,首项为.∴a n=.∴b n=log2a n=-n.∴.则+…++…+=1-.13.解 (1)当n=1时,a1=a1-1,∴a1=2.当n≥2时,∵S n=a n-1,①S n-1=a n-1-1(n≥2),②∴①-②得a n=,即a n=3a n-1,∴数列{a n}是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n=2·3n-1.(2)由(1)得b n=2log3+1=2n-1,∴+…++…+=+…+.14.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为.第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.15.解 (1)由题意知a n+1=a n+n(n≥2),a2=2,∴a n=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a n-a n-1)=2+2+3+…+(n-1)=2+,∴a n=n2-n+1(n≥2).(2)∵a n b n=1,∴b n==2,∴b2+b3+b4+…+b n<2+…+=2<2.。