第3章 离散时间傅里叶变换

第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。

与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。

本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。

若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。

即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z 变换在单位圆上的取值(当序列的z 变换在单位圆上收敛时)，即：∑∞-∞=ω-=ω==ωn nj e z j e n x z X e X j )()()(⎰=-π=1||1)(21)(z n dz z z X jn x ⎰ππ-ωωωπ=d e e X n j j )(21因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z 变换得到。

正因如此，下面所述的性质，读者可仿z 变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。

1. 线性设)()]([11ω=j e X n x DTFT ，)()]([22ω=j e X n x DTFT ，则：)()()]()([2121ωω+=+j j e bX e aX n bx n ax DTFT (3-1-4)2．移位设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：)()]([00ωω-=-j n j e X e n n x DTFT (3-1-5)证明：00()[()]()j j nn X e DTFT x n n x n n eωω∞-=-∞=-=-∑00()()()j nn j n j n n j n j x n n en n n x n e e e X e ωωωωω∞-=-∞∞'--=-∞-'=-=-'==∑∑3．频移性设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：)()]([)(00ω-ωω=j n j e X n x e DTFT (3-1-6)4．对称性为了较方便地讨论非周期序列傅里叶变换的对称性，首先我们引入一些有关序列的基本概念—共轭对称序列与共轭反对称序列。

若序列)(n x e 满足下式：)()(n x n x e e -=*(3-1-7)则称序列)(n x e 为共轭对称序列。

对实序列而言，有)()(n x n x e e -=，即序列)(n x e 为偶对称序列。

若序列)(n x o 满足下式：)()(n x n x o o --=* (3-1-8)则称序列)(n x o 为共轭反对称序列。

对实序列而言，有)()(n x n x o o --=，即序列)(n x o 为奇对称序列。

因此，根据共轭对称序列与共轭反对称序列的定义，共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 可由任意一个序列)(n x 按下构成)]()([21)(n x n x n x e -+=* (3-1-9) )]()([21)(n x n x n x o --=* (3-1-10)也就是说，对任意一个序列)(n x 都可以用共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 之和来表示，即：)()()(n x n x n x o e += (3-1-11)同类可定义傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量和共轭反对称分量：)()()(ωωω+=j o j e j e X e X e X (3-1-12))]()([21)(ω-*ωω+=j j j e e X e X e X (3-1-13) )]()([21)(ω-*ωω-=j j j o e X e X e X (3-1-14)其中)(ωj e e X 称为傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量，满足)()(ω-*ω=j e j e e X e X ；)(ωj o e X 称为共轭反对称分量，满足)()(ω-*ω-=j oj o e X e X 。

式(3-1-12)表示序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和。

与序列的情况相同，若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭对称，即)()(ω-ω=j j e X e X ，则称为频率的偶函数。

若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭反对称，即)()(ω-ω-=j j e X e X ，则称为频率的奇函数。

若对式(3-1-9)、式(3-1-10)和式(3-1-11)两边进行序列傅里叶变换，可得序列)(n x 有如下性质： (1) 序列)(n x 的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即)()]}({Re[ω=j e e X n x DTFT (3-1-15)(2) 序列)(n x 的虚部乘j 后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即)()]}(Im[{ω=j o e X n x j DTFT (3-1-16)(3) 序列)(n x 的共轭对称分量)(n x e 和共轭反对称分量)(n x o 的傅里叶变换分别等于序列的傅里叶变换的实部和j 乘以虚部，即)]([)]([ω=j e e e X R n x DTFT (3-1-17) )]([)]([ω=j m o e X jI n x DTFT (3-1-18)(4) 若)(n x 是实序列，则其傅里叶变换)(ωj e X 满足共轭对称性，即)()(ω-*ω=j j e X e X (3-1-19)也就是说：)]([)]([ω-ω=j e j e e X R e X R (3-1-20))](Im[)](Im[ω-ω-=j j e X e X (3-1-21)由此可以看出，实序列的傅里叶变换的实部是ω的偶函数，而虚部是ω的奇函数。

(5) 序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 的极坐标表示形式为：)](arg[)()(ωωω=j eX j j j e e X e X (3-1-22)对实序列)(n x ，有：)()(ω-ω=j j e X e X (3-1-23))](arg[)](arg[ω-ω-=j j e X e X (3-1-24)也就是说，实序列的傅里叶变换的幅度是ω的偶函数，而相角是ω的奇函数。

5．时域卷积定理若)()()(n h n x n y *=，则有：)()()(jw jw jw e H e X e Y = (3-1-25)证明：由卷积和定义有∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(，等式两边作傅里叶变换得：∑∑∞-∞=ω-∞∞-ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=n nj m j em n h m x e Y )()()( 令m n k -=，则上式可改写为：∑∑∞-∞=∞-∞=ω-ω-ω=k m mj k j j e em x k h e Y )()()()()()()(ωω∞-∞=ω-∞-∞=ω-==∑∑j j m mj k kj e H e X em x e k h6．频域卷积定理 若)()()(n h n x n y ⋅=，则)()(21)(ωωω*π=j j j e H e X e Y ⎰ππ-θ-ωθθπ=d e H e X j j )()(21)( （3-1-26）7．帕塞瓦尔（Parseval ）定理ωπ=⎰∑ππ-ω∞-∞=d e X n x j n 22)(21)( (3-1-27)表3-1 综合了DTFT 的性质，这些性质在以后的分析问题和实际应用中是非常重要的。

表3-1给出了常用序列的傅里叶变换，这在以后的实际应用中很重要。

表3-1序列的傅里叶变换的性质[例3-2] 若)(n x 的傅里叶变换为)(ωj e X ，求下面序列的傅里叶变换：(1))(n kx (k 为常数) (2))4(-n x (3))(n x *(4)⎪⎩⎪⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n g 0)2()(解：根据序列傅里叶变换的定义及性质有：(1) )()(ω−→←j Fe kX n kx(2) )()4(4jw j F e X e n x ω-−→←- (3) )()()()(ω-**∞-∞=ω∞-∞=ω-**=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=−→←∑∑j n jn n jn Fe X e n x en x n x (4) )()()2()(22''2''ω∞-∞=ω-=∞ω-ω===∑∑j n n j n n n jn j e X e n x e nx e G 令为偶数 表3-2 常用序列傅里叶变换[例3-3] 若序列)(n h 是实因果序列，其傅里叶变换的实部为ω+=ωcos 1)(j R e H 。

求序列)(n h 及其傅里叶变换)(ωj e H 。

解：利用三角函数关系得：ω-ωω++=ω+=j j j R e e e H 21211cos 1)( 由序列傅里变换的定义有：∑∞-∞=ω-ω==n nj ee j R en h n h DTFT e H )()]([)(。

比较两式可得：2/1)1(=-e h ，1)0(=e h ，2/1)1(=e h由于)(n h 是实因果序列，因此，)()(*n h n h =，当0<n ，0)(=n h 。