2022-2023学年山东省潍坊市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,4,8,10,12}U =，集合{1,2,4,8,10}A =，{2,4,8}B =， 则 UA B =（ ）A ．{2}B ．{2,4}C ．{1,10}D ．{1,2,4,8}C【分析】应用集合的交补运算求集合. 【详解】由题设 {1,10,12}UB =，{1,2,4,8,10}A =，所以 {1,10}UA B =.故选：C2．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p 的否定为（ ） A ．0a ∀≤，有12a a+≥成立 B ．0a ∀>，有12a a+≥成立 C ．0a ∃≤，有12a a +≥成立 D ．0a ∃>，有12a a+≥成立B【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结果.【详解】解：根据特称命题的否定是全称命题即可得命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”的否定是“0a ∀>，有12a a +≥成立”， 故选：B3．已知关于x 的方程240x x c -+=的两根分别是12,x x ，且满足12216x x x x +=，则实数c 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5A【分析】利用根与系数关系及212122112()2x x x x x x x x ++=-，根据已知等量关系即可求c 值. 【详解】由题设12124,x x x x c +==，又222121212211212()26x x x x x x x x x x x x +++==-=， 所以1626c-=，可得2c =.故选：A4．()1f x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．B【分析】写出()f x 的分段形式，判断各区间的单调性及其最值，即可确定图象.【详解】由题设1,1()1,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，故(,1]-∞上递减，(1,)+∞上递增，且最小值(1)0f =， 根据各选项图象知：B 符合要求. 故选：B5．若0a b ≥>，则下列不等式成立的是（ ） A ．2a ba b ab +≥≥≥B ．2a ba b ab +≥≥≥C ．2a ba ab b +≥≥ D ．2a ba ab b +≥≥ D【分析】根据不等式的性质和基本不等式结合已知条件分析判断. 【详解】因为0a b ≥>，所以2a a b ≥+，20ab b ≥>， 所以2a ba +≥2ab b b ， 因为2a bab +=a b 时取等号， 综上，2a ba ab b +≥≥， 故选：D6．某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案，其中 0m n >>，则两次提价后价格最高的方案为（ ） 方案 第一次提价（%）第二次提价（%）甲m nA ．甲B ．乙C ．丙D ．无法判断C【分析】甲：经两次提价后变为：(1%)(1%)m n ++；乙：经两次提价后变为：(1%)(1%)n m ++；丙：经两次提价后变为：(1%)(1%)22m n m n++++．通过作差比较即可得出结论． 【详解】设商品原价为1，甲：经两次提价后变为：(1%)(1%)m n ++； 乙：经两次提价后变为：(1%)(1%)n m ++； 丙：经两次提价后变为：(1%)(1%)22m n m n++++． 因为0m n >>， 所以(1%)(1%)(1%)(1%)22m n m nn m ++++-++ 22%%%%[%%()][()]022m n m n m n +-=⋅-=-<， 则(1%)(1%)(1%)(1%)22m n m nn m ++++<++， ∴经两次提价后，甲乙相同，只有丙方案两次提价后价格最高．故选：C.7．R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，若2[24]3x x -+=，则实数x 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．[)0,1(1,2)C ．()(]0,11,2 D ．[]0,2A【分析】由题设可得2[(1)]0x -=，根据高斯函数知20(1)1x ≤-<，即可求范围. 【详解】由22[24][(1)]33x x x -+=-+=，故2[(1)]0x -=， 所以20(1)1x ≤-<，则111x -<-<，故02x <<. 故选：A8．已知定义域为R 的函数()f x 为偶函数，且()f x 在[)0,∞+内单调递减，记221132a f (),b f (),c f (t t )=-==-+-，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．c b a <<D ．b a c <<B【分析】由已知区间单调性及偶函数的对称性知()f x 在(,0)-∞上递增，根据单调性比较,,a b c 的大小关系.【详解】由()f x 为偶函数且在[)0,∞+内单调递减， 所以()f x 在(,0)-∞上递增，由221331()244t t t -+-=---≤-，而11()()22b f f ==-，因为123234->->-，故2123()()()(1)234f f f f t t ->->-≥-+-，所以b a c >>. 故选：B二、多选题9．下列四个命题中正确的是（ ） A ．若,,a b c d >>则a d b c ->- B ．若22a m a n >，则m n > C ．若a b >，则11a b a>- D ．若110a b<<，则2b ab < AB【分析】根据不等式的性质或是做差法，直接判断选项.【详解】A.由条件可知，a b >，d c ->-，所以a d b c ->-，故A 正确； B.因为22a m a n >，所以20a >，所以m n >，故B 正确；C.()()()11a a b b a b a a b a a b a ---==---，因为a b >，所以0a b ->，但是不确定,a b 的正负，所以不能判断11a b a--的正负，所以C 错误； D.因为110a b<<，所以0b a <<，所以2b ab >，故D 错误. 故选：AB10．下列函数组中表示同一函数的有（ ）A ．4221(),()11x f x g x x x -==-+B ．2(),()f x x g x x ==C ．2()21,()|1|f x x x g t t =-+=-D ．()21,()21f x x g t t =-=-ACD【分析】根据同一函数的定义域、对应法则相同，结合各项解析式判断是否为同一函数.【详解】A ：函数定义域均为R ，且4221()11x f x x x -==-+与2()1g x x =-对应法则相同，同一函数； B ：函数定义域均为R ，而2(),()||f x x g x x x ===，对应法则不同，不同函数；C ：函数定义域均为R ，且22()21(1)|1|,()|1|f x x x x x g t t =-+=-=-=-对应法则相同，同一函数；D ：函数定义域均为R ，且()21,()21f x x g t t =-=-对应法则相同，同一函数. 故选：ACD11．图①是某大型游乐场的游客人数x （万人）与收支差额y （万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．图①中点A 的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B ．图①中点B 的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C ．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D ．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 ABD【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可. 【详解】A ：图①中A 的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；B ：图①中B 的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；C ：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；D ：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确. 故选：ABD12．已知*,R a b ∈，21a b +=，则11222b a b ab++的值可能为（ ）A ．6B ．315C ．132D ．BCD【分析】由基本不等式“1”的妙用求解，【详解】由题意得原式22(2)212222222b a b a b b a a b a b ab a b b a++=++=+++++53332a b b a =++≥=52a b b a =时等号成立，而63<A 错误，31163055-=>，1373022-=>，73>B ，C ，D 满足题意， 故选：BCD三、填空题13．已知{}2312,4,a a a -∈+，则实数=a _______.1-【分析】讨论3a =-、243a a +=-，结合集合元素的互异性确定参数a 的值. 【详解】若3a =-，则249123a a +=-=-，不符合集合元素的互异性，排除； 若243a a +=-，则2430a a ++=，可得1a =-或3a =-（舍）， 所以1a =-，此时{}12,3,1--. 故1-14．若集合()(){}230A x x x =+-<，{}35B x m x m =-≤≤+，且“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________________.[)5,+∞【分析】解不等式得到{}23A x x =-<<，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件得到A 是B 的真子集，从而比较端点得到不等式组，求出实数m 的取值范围. 【详解】()(){}{}23023A x x x x x =+-<=-<<， 因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 所以A 是B 的真子集，故3253m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：5m ≥，所以实数m 的取值范围是[)5,+∞. 故[)5,+∞15．已知函数3()2cf x ax bx x=+-+，且()2023f t =，则()f t -=________________.2019-【分析】构造()()2g x f x =-并证明其为奇函数，应用奇函数性质求()f t -即可.【详解】由3()2cf x ax bx x-=+-，令()()2g x f x =-且定义域为{|0}x x ≠， 333()()()()()c c cg x a x b x ax bx ax bx g x x x x-=-+--=--+=-+-=--， 所以()g x 为奇函数，故()()2()2()g t f t g t f t -=--=-=-， 则()4()420232019f t f t -=-=-=-. 故2019-四、双空题16．已知函数()f x 满足对任意[]12,,x x a b ∈，都有1212()(()())0x x f x f x -->，且()()0a f f b ⋅<.在用二分法寻求零点的过程中，依次确定了零点0x 所在区间依次为[],a b ，,,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2a b a +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，1,4a b a +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，则b a -= ______；若0x 的近似值小于0.001（精确度）时，一共至少需要进行______次区间中点函数值的计算. 4; 12.【分析】结合二分法得到3145384a ba ab a b +⎧=+⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解方程组即可求出结果；设需要进行k 次区间中点函数值的计算，则140.0012k⨯<，进而可求出结果. 【详解】由题意得3145384a ba ab a b +⎧=+⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩，所以4b a -=，设需要进行k 次区间中点函数值的计算， 则140.0012k⨯<，解得11k >，所以一共至少需要进行12次区间中点函数值的计算. 故4；12.五、解答题17．记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式|x －1|≤1的解集为Q ． (1)若a ＝3，求P ；(2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值范围． (1){x |－1＜x ＜3} (2)(2，＋∞)【分析】（1）将a ＝3代入，转化为一元二次不等式求解即可； （2）先求出不等式的解集Q ，再由Q ⊆P 求出a 的取值范围． 【详解】（1）由301x x -<+，得()()310x x -+<，解得－1＜x ＜3，则P ＝{x |－1＜x ＜3}． （2）Q ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |－1≤x －1≤1}＝{x |0≤x ≤2}． 由01x ax -<+，得()()10x a x -+<， 由a ＞0，得P ＝{x |－1＜x ＜a }，又Q ⊆P ，所以a ＞2，即a 的取值范围是(2，＋∞)．18．已知函数21,2()2,2222,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，.(1)求()5f -，(f ，52f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2)若()3f a =，求实数a 的值.(1)(5)4f -=-，(3f =-5324f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)1a =或52a =【分析】（1）5x =-，x =5()2f -再计算5(())2f f -；（2）按分段函数定义分类讨论解方程()3f a =．【详解】（1）由题可得(5)514f -=-+=-，2((2(3f =+⨯=-因为5531222f ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以2533393(())()()2()3222244f f f -=-=-+⨯-=-=-；（2）①当2a ≤-时，()13f a a =+=， 解得2a =，不合题意，舍去；②当22a -<<时，()223f a a a =+=，即2230a a +-=，解得1a =或3a =-，因为()12,2∈-，()32,2-∉-，所以1a =符合题意； ③当2a ≥时， ()2-23f a a ==， 解得52a =，符合题意； 综合①②③知，当()3f a =时，1a =或52a =． 19．已知点4(2,)3A 在函数()2(R)1kxf x k x =∈-的图象上(1)求函数()f x 的解析式并用定义法证明()f x 在区间(0,1)上的单调性； (2)判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域.(1)22()1xf x x =-，在(0,1)上的单调递减，证明见解析；(2)()f x 为奇函数，在11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上值域为84[,]153.【分析】（1）将点坐标代入求参数k ，令1201x x 应用作差法判断12(),()f x f x 的大小判断单调性； （2）利用奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，再结合奇函数、单调性求区间值域. 【详解】（1）由题设，24(2)413k f ==-，可得2k =，故22()1x f x x =-， 令1201x x ，则22121212121222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-==----122122122(1)()(1)(1)x x x x x x +---， 又1210x x +>，210x x ->，2110x -<，2210x -<， 所以12())0(f x f x ->，故12()()f x f x >，则()f x 在区间(0,1)上的单调递减.（2）由题设，()f x 定义域为{|1}x x ≠±，关于原点对称， 222()2()()()11x xf x f x x x --==-=----，故为奇函数，由（1）知：()f x 在(0,1)上的单调递减，又()f x 为奇函数，所以()f x 在(1,0)-上递减，即11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上递减，且212()142()123()12f ⨯--==--，212()184()1415()14f ⨯--==--， 故()f x 在区间11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域为84[,]153.20．已知函数2()41f x mx x =-+有两个不同的零点12,x x ． (1)求实数m 的取值范围；(2)甲同学在探究“若12,x x 恰有一个在区间()1,1-内，求实数m 的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：由(1)(1)(5)(3)0f f m m -=+-<，解得53m -<<.据此他得出实数m 的取值范围为()5,3-．请你评判甲同学的解答完整吗？如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数m 的取值范围． (1)(,0)(0,4)m ∈-∞；(2)甲同学解答不完整，满足题意的[)(]5,00,3m ∈-⋃.【分析】（1）根据二次函数的性质，结合零点个数列不等式组求m 范围；（2）由12,x x 恰有一个在区间()1,1-内有()()0Δ0110m f f ⎧≠⎪>⎨⎪-≤⎩且(1),(1)f f -不同时为0，求m 的范围.【详解】（1）由题设，0Δ1640m m ≠⎧⎨=->⎩，可得(,0)(0,4)m ∈-∞.（2）甲同学解答不完整，补充如下： 由12,x x 恰有一个在区间()1,1-内，所以()()()()0Δ164011530m m f f m m ⎧≠⎪=->⎨⎪-=+-≤⎩（(1),(1)f f -不能同时为0），解得[)(]5,00,3m ∈-⋃，经检验5m =-或3m =满足题意，所以[)(]5,00,3m ∈-⋃.21．某地2019年引进并种植了一种新型水果，据了解， 该水果每斤的售价为25元，年销售量为8万斤.(1)经过市场调查分析，价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万斤， 若每斤定价为t 元（25t ≥），求每年的销售总收入()f t 的解析式;(2)在（1）的条件下，要使提价后每年销售的总收入不低于原销售收入，该水果每斤定价最高应为多少元?(3)该地为提高年销售量，决定2022年末对该水果品质进行改良，改良后将定价提高到每斤x 元，拟投入2115065x x +-万元作为改良费用.请预测改良后，当该水果2023年的销售量a 至少应达到多少万斤，才可能使2023年的销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和?并求出此时水果的单价.(1)2()130.2f t t t =-，[25,65)t ∈；(2)每斤定价最高应为40元；(3)a 至少应达到515万斤使2023年的销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和，此时水果的单价30元.【分析】（1）根据题意写出()f t ，注意定义域，即可得解析式；（2）由题设()200f t ≥，解不等式求t 范围，即可得最大值.（3）由题意得150165x a x ≥++在25x ≥时恒成立，利用基本不等式求最值，注意取值条件，即可得结果.【详解】（1）由题意2()[80.2(25)](130.2)130.2f t t t t t t t =--=-=-，又25t ≥且130.20t ->，即2565t ≤<，所以每年的销售总收入2()130.2f t t t =-且[25,65)t ∈.（2）由题意2()130.2258200f t t t =-≥⨯=，且2565t ≤<，所以2651000(40)(25)0t t t t -+=--≤，可得2540t ≤≤，所以该水果每斤定价最高应为40元. （3）由题意25x ≥时，221111200501506565ax x x x x ≥++-=++，所以150165x a x ≥++，而150********x x ++≥=，当且仅当30x =时等号成立，所以515a ≥， 故销售量a 至少应达到515万斤，才可能使2023年的销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和，此时水果的单价30元.22．对于函数(),y f x x I =∈， 若存在0x I ∈，使得()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的 “不动点”;若存在0x I ∈，使得()()00f f x x =，则称0x 为函数()y f x = 的“稳定点”.记函数()y f x =的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即{}(),A x f x x =={}(()).B x f f x x ==(1)设函数()21f x x =+，求A 和B ；(2)请探究集合A 和B 的关系，并证明你的结论；(3)若()()21R,R f x ax a x =+∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围.(1){1}A =-，{1}B =-；(2)A B ⊆，证明见解析； (3)3144a -≤≤.【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令()f x x =、(())f f x x =求解，即可得结果； （2）问题化为()f x 与y x =有交点，根据交点横纵坐标的关系知(())()f f x f x x ==，即可证A B ⊆. （3）问题化为210ax x -+=有实根、222(1)(1)0ax a x x ax a ++++=-中2210a x ax a +++=无实根，或与210ax x -+=有相同的实根，求参数a 范围.【详解】（1）令()21f x x x =+=，可得=1x -，故{1}A =-；令(21)2(21)1f x x x +=++=，可得=1x -，故{1}B =-.（2）A B ⊆，证明如下：由题意，不动点为()f x 与y x =的交点横坐标，稳定点为(())f f x 与y x =的交点横坐标， 若()f x 与y x =有交点，则横纵坐标相等，则(())()f f x f x x ==，所以A B ⊆.（3）由A B =≠∅，则：令2()1f x ax x =+=，即210ax x -+=有实根，当0a =时，1x =，符合题设；当0a ≠时，140a ∆=-≥，可得14a ≤.令22(())(1)1f f x a ax x =++=，即3422210a x a x x a +-++=有实根，所以222(1)(1)0ax a x x ax a ++++=-，因为A B =，则2210a x ax a +++=无实根，或有与210ax x -+=相同的实根，当2210a x ax a +++=无实根，有224(1)0a a a ∆=-+<且20a ≠，可得34a >-且0a ≠； 当2210a x ax a +++=有实根，此时21ax x =-，即22a x ax a =-，所以210ax +=，则12x a =-，代入210ax x -+=得：121104a a +=+，可得34a =-. 综上，3144a -≤≤. 关键点点睛：第二问，将问题化为()f x 、(())f f x 与y x =的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为210ax x -+=有实根、222(1)(1)0ax a x x ax a ++++=-中2210a x ax a +++=无实根或与210ax x -+=的实根相同.。
