博弈论第三章

在“有同时选择的两阶段动态博弈”中第二阶 段参与人3和4的稳定行动依赖于第一阶段的可 行结果(a1,a2)，表示为(a3*(a1,a2), a4*(a1,a2))，而 不是简单的(a3*, a4*)(关税博弈中第二阶段企业的 均衡产量依赖于政府第一阶段所选择的关税）.
而在两阶段囚徒困境中,第二阶段的NE可以完全 不依赖于第一阶段的结果。 分析时要注意3点： 1 逆推归纳法backwards-induction
当然，上述结论对于阶段博弈G有两个及两个 以上 NE（或子博弈完美NE）的G(T)就不成立了。 这种G(T)有多条子博弈完美NE路径。其中可能 包含第一阶段有合作结果的稳定路径。
（二）阶段博弈存在两个以上NE
市场开发博弈。P111 借此了解重复博弈均衡路径、及其效率比较。
*该G重复两次构成一个两阶段的重复博弈，那么 可形成多少条路径？
除了（M，X）和（X，M）（X=L、R、P、Q） 的第二阶段是（P，P）或（Q，Q），其余的第二 阶段都是（R，R）。由分析可知，其中（M，M） 是NE，它表示路径（M，M） （R，R）， 平均支付是（3.5,3.5）.
２：分析重复博弈的意义 因为其他参与人 过去行动的历史是观测得到的，一个参与人可以 使自己在某个阶段博弈的选择依赖于其他参与人 过去的行动历史，因此，参与人在重复博弈中的 策略空间远远大于和复杂于每一个阶段博弈的策 略空间（试想囚徒困境博弈重复５次，每个 囚徒的纯策略数量会有多少？策略组合的数量会 更多）。这意味着，重复博弈可能带来一些“额 外的”均衡结果，这些结果在一次性博弈中是不 会出现的。
注：在阶段博弈G为完全且完美信息动态博弈 时类似的结论同样成立。设G属于第三章所定义 的完全且完美信息动态博弈，如果G有唯一的逆 推归纳解，则G(T)有唯一的子博弈完美NE：其 中每一阶段的结果都是G的逆推归纳解。类似的， 设G为第三章所定义的有同时选择的两阶段动态 博弈，如果G有唯一的子博弈NE，则G(T)也有唯 一的子博弈完美NE：G的子博弈完美NE重复进 行T次。
合作的出现有赖于两点：一是采取“触发策略”， 二是博弈重复“200次”——足够多次以至于可视 为是无限次。
Proposition If the stage game G has a unique Nash equilibrium then, for any finite T,the repeated game G(T) has a unique subgameperfect outcome:the Nash equilibrium of G is played in every stage. 注
一方的机会主义行为将触发其他参与人策略中 的惩罚机制发生。
触发策略(Trigger strategies):我们把这种包含 着奖励和惩罚机制的策略称为触发策略。正是 由于害怕“触发”其他参与人的惩罚机制，所以 不敢利用机会使自己在该阶段利益最大化，从 而使该阶段的“合作”出现。从这个意义上看， 触发策略是“温柔的”。 该阶段博弈如果只有两个阶段，则无法构造 触发策略(不存在触发策略)。
这就证明了该策略组合是子博弈完美的。从这 条均衡路径中看到：将来利益对当前的选择有 约束。 这种策略有2个特点： 1、第一阶段选A，试探合作。 机会主义 2、后续阶段中包含着奖励和惩罚机制：选A可 以奖励对方，选B可以惩罚对方。因为（A，B） 和（B，A）都是阶段博弈的NE，所以奖励和惩 罚都是可信的。
1、阶段博弈之间没有“物质上”的联系（no Physical links），也就是说，前一阶段博弈 不改变后一阶段博弈的结构（对比之下，序惯 博弈涉及到物质上的联系）； ２、所有参与人都观测到博弈过去的历史； ３、参与人的总支付是所有阶段支付的贴现 值之和或加权平均值。
１：阶段博弈本身可能是一个静态博弈， 也可能是一个动态博弈。因此重复博弈可能是 不完美信息博弈，也可能是完美信息博弈，尽 管博弈论专家谈到重复博弈时一般是指前一种 情况。
L
M
参与人2 R P 3,3
Q 3,3
L 4 , 4 5.5 , 4 3 , 3
参 与 人 1
M 4 ,5.5
7 , 7 4 ,0.5 4,0.5 4,0.5
R 3,3
P 3,3 Q 3,3
0.5,4
6,6
3,3
3,3
0.5,4 3 , 3 0.5,4 3,3
7, 3.5 3 , 3 3,3 3.5,7
一、有限次重复博弈 （以two-stage repeated games为例） （一）阶段博弈只有唯一NE 考虑曾经给出的囚徒困境的标准式（回忆并 画出支付矩阵）。 假设两个参与者要把这样一个同时行动博弈重 复两次，并且在第二次博弈开始之前可观测第一 次的结果。再假设整个过程博弈的收益等于两阶 段各自收益的简单相加（即不考虑贴现因素）， 我们称这一重复进行的博弈为两阶段囚徒困境。
2 参与人在第二阶段行动只须考虑该阶段的 利益最大化，因为无须“瞻前顾后”。 3 分析第一阶段时，可把第二阶段的均衡结 果下的支付值叠加到第一阶段的相应支付值上。
下面给出有限次重复博弈的定义
Definition Given a stage game G,let G(T)(T＜∞) denote the finitely repeated game in which G is played T times, with the outcomes of all preceding plays observed before the next play begins. The payoffs for G(T) are simply the sum of the payoffs from the T stage games.
张维迎P207—209 Sequential game的特征：参与人在前一阶段的 行动选择决定随后的子博弈的结构，因此，从 后一个决策结开始的子博弈不同于从前一个决 策结开始的子博弈，或者说，同样结构的子博 弈只出现一次。 Repeated game，顾名思义，就是同样结构的 博弈重复多次，其中每一次博弈称为阶段博 弈Stage game（也称为原博弈）。 Repeated Game的基本特征有3项：
考虑如下抽象博弈： L 1,1 参与人2 M R P Q 5,0 0,0 0,0 0,0
L
参 与 人 1
M 0,5 R P Q 0,0 0,0
4,4
0,0
0,0 0,0 0,0
3,3 0,0 0,0
0 , 0 0 , 0 4,1/2 0 , 0
0,0
0,0
0 , 0 0 , 0 1/2, 4
上面的例子因为阶段博弈的NE很丰富，且存在 可供奖励和惩罚的NE，所以双方不仅可构造触 发策略，而且触发策略是子博弈完美的（或者 说触发策略所包含的奖励和惩罚是可信的）。 双方的策略均为：第一阶段选择M；如果第一阶 段的行动组合是（M，X）（或（X，M），X 为除M之外的其它可选行动），则第二阶段选P (Q)，如果是除此之外的其它任何组合，则选R。 第一阶段的行动组合是(M,M),则第二阶段的行动组 合将是(R,R);第一阶段的行动组合是(M,X)或(X， M)，则第二阶段的行动组合将是(P,P)或(Q,Q);第 一阶段的行动组合其它，则第二阶段还是(R,R)。
问题：该策略组合对应的路径是什么？
对应的路径：
(A,A)
(A,B)
(B,A)
该路径的平均支付向量： （2.67 , 2.67） -3#
这条路径比其它8条的效率都更高。是否均衡？
这条路径的第三阶段行动组合（B，A）和第二 阶段行动组合（A，B），本身都是阶段博弈的 NE，双方都不会偏离。因此只要看第一阶段的 行动组合（A，A）是否有会偏离。 验证： 不偏离的平均支付= (3+4+1)/3=2.67 偏离的平均支付= (4+1+1)/3=2
该例子中阶段博弈有唯一的NE，而且是一个帕 累托次优的结果（-5，-5），如果（-1，-1） 能出现，那是一个合作的结果。讨论重复博弈就 是想探寻合作的结果能否内生(endogenesis) .
有限次“囚徒困境”博弈的NE再一次表明了为什 会爆发价格战。试想两博弈方不是囚徒而是两个 大公司，比如可口可乐公司和百事可乐公司、或 者是联合利华公司和宝洁公司，如果摆在这些公 司面前的是两种拓展市场份额策略的选择：保持 原价或降低价格，“囚徒困境”博弈告诉我们这些 公司会降低价格并不断重复下去。这个结论是令 人沮丧的。但实际情况并非完全如此。那么在什 么情况下，它们会合作呢？
Chapter 3
Repeated Games
In this chapter we analyze whether threats and promises about future behavior can influence current behavior in repeated relationships. Much of the intuition is given in the two-period case; a few ideas require an infinite horizon. 区分：repeated games and sequential games
３影响重复博弈均衡结果的主要因素是重复 博弈的次数和信息的完备性（completeness）.
重复次数的重要性来自于参与人在短期利益和 长期利益之间的权衡。当博弈只进行一次，参 与人只关心一次性的支付；但如果博弈重复多 次，参与认可能会为了长远利益而牺牲眼前利 益从而选择不同的均衡策略。这是重复博弈分 析给出的一个强有力的结果，它为现实中观测 到的许多合作行为和社会规范提供了解释。 信息不完备的影响将在下一章讨论，这里只讨 论重复次数对均衡结果的影响，并假定信息是 完备的。
如果不考虑混合策略，16条。 其中子博弈完美NE路径有哪些？ 从前述的例子中已知，阶段博弈的NE在每个阶 段的重复或交替构成子博弈完美NE。那么不考 虑混合策略NE情况下，有4条。