2019年高考数学(理)考点一遍过 考点34 直线与方程含解析

2019高考数学专题复习直线与方程（后附答案）巩固练习：1、在下列四个命题中，正确的共有（ ）（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率（2）直线的倾斜角的取值范围是[]π,0（3）若一条直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为α（4）若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2、若两直线21,l l 的倾斜角分别为21,αα，则下列四个命题中正确的是（ ）A ．若21αα<，则两直线的斜率：21k k <B ．若21αα=，则两直线的斜率：21k k =C ．若两直线的斜率：21k k <，则21αα<D ．若两直线的斜率：21k k =，则21αα=3、过两点)1,1(-和)9,3(的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．23-B ．32-C ．52 D ．2 4、若直线0=++c by ax 在第一、二、三象限，则（ ）A ．0,0>>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0><bc abD ．0,0<<bc ab5、已知)3,4(),2,1(N M 直线l 过点)1,2(-P 且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．[]2,3-B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,31C ．(][)+∞⋃-∞-,23,D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2131, 6、直线022=+-k y x 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么（ ）A ．1-≥kB ．1≤kC ．11≤≤-k 且0≠kD ．1-≤k 或1≥k7、已知直线01=-+by ax 在y 轴上的截距为1-，且它的倾斜角是直线033=--y x 的倾斜角的2倍，则（ ）A ．1,3==b aB ．1,3-==b aC ．1,3=-=b aD ．1,3-=-=b a8、若直线l 与两条直线07,1=--=y x y 分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点 坐标为)1,1(-，则l 的方程是（ ）A ．0523=--y xB ．0532=--y xC ．0132=++y xD ．0123=-+y x9、若直线05)4()252(22=+--+-m y m x m m 的倾斜角为4π，则m 的值（ ） A ．2或3 B ．2或31-C ．31- D ．310、直线x tan 7π+y =0的倾斜角是（ ） A.－7π B.7π C.7π5 D .7π611、如图，直线321,,l l l 的斜率分别为321,,k k k ，则（A ．321k k k <<B ．213k k k <<C ．123kk k << D ．231k k k <<12、如图，直线a ax y 1-=的图象可能是（ ）13、直线043=+-k y x 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k 的值为14、点)3,1(-P 在直线l 上的射影为)1,1(-Q ，则直线l 的方程为15、求过点)2,5(A ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程16、直线l经过点)3,4P与x轴、y轴分别交于A、B两点，且|AP|：|PB|=3：5，(求直线l的方程17、已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程.18、在直线方程y=kx+b中，当x∈［－3，4］时，y∈［－8，13］，求此直线方程19、已知直线():120l kx y k k R -++=∈，证明直线l 过定点。

2019年高考数学（文）考点一遍过（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒． （2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝2121y y x x --．二、直线的方程 1．直线方程的五种形式2．必记结论常见的直线系方程（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)，斜率不存在时可设为x ＝x 0.（2）平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋C 1＝0.（4）过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．考向一 直线的倾斜角与斜率1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．典例1 若两直线12,l l 的倾斜角和斜率分别为12,αα和12,k k ，则下列四个命题中正确的是 A ．若12αα<，则两直线的斜率：12k k < B ．若12αα=，则两直线的斜率：12k k = C ．若两直线的斜率：12k k <，则12αα< D ．若两直线的斜率：12k k =，则12αα=【答案】D【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.典例2 直线l 经过点)12(，A ，)1(2m B ，两点（m ∈R ），那么l 的倾斜角的取值范围是A ．[0,)πB ．[0,](,)42πππ C ．[0,]4πD ．[,)(,)422ππππ【答案】B【解析】由直线l 经过点)12(，A ，)1(2m B ，两点，则可利用斜率公式得2211121m k m -==-≤-.由tan 1k α=≤，则倾斜角取值范围是[0,](,)42πππ.故选B.1．已知()1,2M ，()4,3N ，直线l 过点()2,1P -且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是 A ．][(),32,-∞-+∞B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]3,2--D ．11,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭考向二 直线的方程求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4. 求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.典例3 已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y += B ．425x y -= C ．25x y +=D ．25x y -=【答案】B典例4 △ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2, 3)，求： （1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程． 【思路分析】2．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为________________．考向三 共线问题已知三点,,A B C ，若直线,AB AC 的斜率相同，则,,A B C 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.典例4 若三点()()12,33,2(,)2A B C m ，，共线，则实数m =_____________. 【思路分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程AB AC k k =. 【解析】由题意得2331,13222AB AC m k k --==-=--. ∵,,A B C 三点共线，∴AB AC k k =，∴31122m -=--， 解得92m =．3．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+= .1．已知M (a ，b )，N (a ，c )(b ≠c )，则直线MN 的倾斜角是 A ．不存在 B ．45° C ．135°D ．90°2．如果直线l 过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是A ．[0,1]B ．[0,2]C ．1[0,]2D ．(0,3]3．已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为 A ． B ． C ．D ．4．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5．若直线l 1:y =k (x −4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点 A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(−2,4)D ．(4,−2)6．若过不重合的()()2222,3,3,2A m m B m m m +---两点的直线l 倾斜角为45°，则m 的取值为 A ．1m =-B ．2m =-C ．12m =-或D ．12m =-或7．如图，已知直线l 1：y =－2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），则k 的取值范围是A ．－2＜k ＜2B ．－2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜28．直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(3B 为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是A ．⎡⎤⎣⎦B ．(,[1,)-∞+∞C ．(,-∞D ．[)1,+∞ 9．设直线l 的倾斜角为α，且546αππ≤≤，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________． 10．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________．11．在平面直角坐标系xOy 中,经过点()1,1P 的直线l 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B .若2PA PB =-,则直线l 的方程是_________.12．一张坐标纸对折一次后，点()0,4A 与点()8,0B 重叠，若点()6,8C 与点(),D m n 重叠，则m n +=__________． 13．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线l 经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．14．求满足下列条件的直线的方程：（1）直线l 经过点()2,3A -，并且它的倾斜角等于直线13y x =的倾斜角的2倍，求直线l 的方程； （2）直线l 过点()2,4P ，并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12，求直线l 的方程.15．已知ABC △的三个顶点分别为是()4,0A ，()0,2B -，()2,1C -.（1）求AB 边上的高CD 所在的直线方程；（2）求过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16．已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.△面积的最小值及此时直线l的方程；（1）求AOB的最小值及此时直线l的方程.（2）求PA PB变式拓展1．【答案】A【解析】如图所示：根据题意得，所求直线l 的斜率k 满足PN k k ≥或PM k k ≤，即31242k +≥=-，或21312k +≤=--， ∴2k ≥，或3k ≤-，即直线l 的斜率k 的取值范围是][(),32,-∞-+∞，故选A ．3．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.1．【答案】D【解析】∵MN ⊥x 轴，∴直线MN 的倾斜角为90°. 2．【答案】B【解析】过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线的斜率时，图象不过第四象限，故l 的斜率的取值范围是[0,2].考点冲关3．【答案】A【解析】直线经过点，且斜率为，则，即.故选A. 4．【答案】A【解析】∵过点()1,1P a a -+和()3,2Q a 的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，即21031a a a--<-+.∴()()120a a -+<，∴21a -<<.故选A. 5．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x −4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).7．【答案】D【解析】因为直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），所以2b k =，即()2:2l y k x =+，将其与1:24l y x =-+联立，由题设4202802kk k k -⎧>⎪⎪+⎨⎪>⎪+⎩，解得02k <<，故选D.【名师点睛】解答本题的关键是借助题设中提供的图象及函数的解析式联立方程组求出交点坐标，借助点的位置建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解. 8．【答案】B【解析】如图所示：【名师点睛】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，属于简单题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.结合函数的图象，求出线段端点与点()1,0P 连线的斜率，从而求出斜率的范围即可.9．][1,)+∞ 【解析】∵直线l 的倾斜角为α，且546αππ≤≤，∴直线l 的斜率k 的取值范围是tan 4k π≤或∴1k ≥或k <，∴直线l 的斜率k 的取值范围是3(,][1,)3-∞-+∞． 10．【答案】3240x y -+=【解析】将直线23120x y -+=化为斜截式：243y x =+，斜率为23，所以直线l 的斜率为13， 令直线23120x y -+=中0x =，得y 轴上的截距为4，所以直线l 的纵截距为8， 根据斜截式可得直线l 的方程为183y x =+，化简得：3240x y -+=. 【名师点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令0x =或0y =，要熟练掌握直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.11．【答案】230x y +-=【名师点睛】本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 12．【答案】745【解析】（1）设线段AB 的中点为N ，则点()42N ，，则对折后,对折直线l 的方程为260x y --=;设直线CD 的方程为2'0x y C ++=，∵点()68C ，在直线CD 上，∴'22C =-，则直线CD 的方程为2220x y +-=;设直线CD 与直线l 的交点为M ，则解方程组2602220x y x y --=⎧⎨+-=⎩得345385x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即3438(,)55M ，∴745m n +=. 13．【答案】（1）见解析；（2）a >3.【解析】（1）将直线l 的方程整理为y －35＝15a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭， 而点13,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限． （2）将方程化为斜截式方程：y ＝ax －35a - . 要使l 经过第一、三、四象限，则0305a a >⎧⎪-⎨-<⎪⎩，解得a >3.【名师点睛】有关直线过定点的求法：当直线方程含有参数时，把含参数的项放在一起，不含参数的项放在一起，分别令其为零，可求出直线过定点的坐标；直线l 经过第一、三、四象限，只需斜率为正，截距为负，列出不等式组解出a 的范围.14．【答案】（1）34180x y --=；（2）280x y +-=或2y x =.（2）若直线l 在两坐标轴上的截距均不为0，设直线l 在x 轴上的截距为a （0a ≠），则直线l 在y 轴上的截距为2a ，可设l ：12x ya a +=（0a ≠），将点()2,4P 代入，得4a =， ∴直线l ：148x y+=，即280x y +-=，若直线l 在两坐标轴上的截距均为0，由直线l 过点()2,4P ，可得直线方程为2y x =. ∴直线l 的方程是:280x y +-=或2y x =.【名师点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 15．【答案】（1）直线CD 的方程为230x y ++=；（2）20x y +=或10x y ++=.（2）①当两截距均为0时，设直线方程为y kx =， 因为直线过点()2,1C -，解得12k =-， 即所求直线方程为12y x =-， ②当截距均不为0时，设直线方程为x y a +=， 因为直线过点()2,1C -，解得1a =-， 即所求直线方程为1x y +=-，综上所述，所求直线方程为20x y +=或10x y ++=. 16．【答案】（1）8，40x y +-=；（2）8；40x y +-=.【解析】设直线:1x y l a b +=，则直线()()22:1224l a b a b +=⇒--=. （1）2112()81122AOBS ab a b=≥⨯=+△，当且仅当4a b ==时，等号成立，即:40l x y +-=. （2） ()()()()()()2222242432422PA PB a b a b ⎡⎤⋅=-+-+=+-+-⎣⎦8≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，即:40l x y +-=.。

专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。

考点01 集合1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（3）能使用韦恩（V e n n）图表达集合的关系及运算.一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：a Aa A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系真子集集，且集合B 中至少有B A ⊃必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 1．集合的基本运算{|B x x =|{B x x=2．集合运算的相关结论B A ⊆ B B ⊆ A A = ∅=∅B A ⊇B B ⊇A A =A ∅=()U A A =U U =∅U U ∅=)A A =∅A U =3．必记结论(.)U UU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅痧?考向一 集合的基本概念解决集合概念问题的一般思路：（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.典例1 已知集合{}1,1A =-，{}1,0,1B =-，则集合{}|, C a b a A b B -∈∈＝中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确．1．已知集合，若，则非零实数的值是_________． 考向二 集合间的基本关系集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.典例2 已知集合22{|0},{|,}2x A x B y y x x A x -=∈≤==∈+Z ，则集合B 的子集的个数为 A ．7 B ．8 C ．15 D ．16【答案】B【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．2．已知集合{}1,0,A a =-，{B =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________．考向三 集合的基本运算有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有： （1）有限集（数集）间集合的运算求解时，可以用定义法和Venn 图法，在应用Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏. （2）无限集间集合的运算常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围. （3）用德·摩根公式法求解集合间的运算 对于有()()U U A B 痧和()()U U A B 痧的情况，可以直接应用德·摩根公式()()()U U U A B A B =痧?和()()()U U U A B A B =痧?进行运算.典例3 已知集合,,则()P Q =R ðA ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为或，所以2|03P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭R ð又因为 ，所以()PQ =R ð，故选C ．【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到．3．设集合，集合，则 A ． B ． C ．D ．4．设集合,已知,那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．考向四 与集合有关的创新题目与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．典例4 设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V =Z ，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A1．已知集合{}|1A x x =>-，则下列选项正确的是 A ．0A ⊆ B ．{}0A ⊆ C ． A ∅∈D ．{}0A ∈2．已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a = A ．0 B ．-4 C ．-4或1 D ．-4或03．已知集合,则M N ð=A ．B ．C ．D ．4．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．5．已知集合,若,则实数的值为 A ．B ．C ．D ．6．已知全集，集合1{|,01}M y y x x==<<，，则下图中阴影部分所表示的集合为A ．B ．C ．D ．7．已知集合，，则满足条件的集合的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 8．设集合，，则下列关系正确的是A ．B ．C ．A B ⊆R R痧D ．B A ⊆R ð9．已知集合{}4,5,6P =，{}1,2,3Q =，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为 A ．32 B ．31 C ．30 D ．以上都不对 10．设集合，，则的真子集的个数为A ．3B ．4C ．7D ．8 11．设集合，其中，若，则实数_______． 12．若集合，，，则的取值范围是_______．13．已知集合{,,}{0,1,2}a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于________.14．已知集合，集合，集合，若A B C ⊆，则实数m的取值范围是_______.1．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅ B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 4．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5D ．45．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅6．（2017新课标全国Ⅱ理科）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,57．（2017天津理科）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()AB C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R8．（2017江苏）已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．1．【答案】 【解析】若 则此时集合B 不符合元素的互异性，故 若则符合题意；若则不符合题意.故答案为2.4．【答案】C 【解析】∵集合，集合，且，∴.故选C ．1．【答案】B【解析】元素与集合的关系，用 ∈ ；集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B 正确. 2．【答案】D【解析】由于只有一个元素,故判别式为零,即()222440,a a a +-=+=得0a =或4a =-.故选D ． 3．【答案】B 【解析】由已知，则M Nð，故选B ．4．【答案】A【解析】由题意，集合，所以，故选A ．5．【答案】B 【解析】或，解得或，由集合中元素的互异性知，故选B ．7．【答案】C 【解析】因为，，所以集合中一定含有元素1，所以符合条件的集合为，故选C.8．【答案】C 【解析】由题意，，∴，只有C 正确.9．【答案】C【解析】根据新定义的运算可知{}1,2,3,4,5P Q ⊕=，P Q ∴⊕的所有非空真子集的个数为52230-=，故选C ． 10．【答案】C【解析】∵,,,其真子集个数为，故选C ．11．【答案】【解析】因为A =B ,所以故答案为.12．【答案】【解析】根据题意，可以求得，，因为，所以，结合数轴可以求得，所以的取值范围是．13．【答案】201【解析】可分下列三种情形：（1）若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c =0，所以a =b =1,与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；（2）若只有②正确，则b =2，a =2，c =0,这与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的； （3）若只有③正确，则c ≠0，a =2，b ≠2，所以c =1，b =0，所以100a +10b +c =100×2+10×0+1=201． 14．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，{|12}A B x x =-＜＜，集合{|10}C x mx A B C =+⊆＞，，则①当0m ＜时②当m 0=时，成立；③当0m ＞1．【答案】C 【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C ．2．【答案】B 【解析】解不等式得，所以，所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 3．【答案】C【解析】易得集合{|1}A x x =≥,所以{}1,2A B =，故选C ．4．【答案】A 【解析】，当时，；当时，；当时，,所以共有9个元素，选A ．6．【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C ．【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性． 7．【答案】B 【解析】(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A B C =-=，故选B ．8．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．。

2019年高三数学一轮复习精品资料：第八章平面解析几何【知识特点】1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一；2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性；3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。

【重点关注】1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点；2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。

既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力；3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高；4、注重数学思想方法的应用解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。

【地位和作用】解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。

体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. （2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 二、两条直线的交点对于直线l 1：A 1＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2＋B 2y ＋C 2＝0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合． 三、距离问题（1）平面上任意两点P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)间的距离|P 1P 2|（2）点P 0(0，y 0)到直线l ：A ＋By ＋C ＝0的距离d．（3）两条平行线A ＋By ＋C 1＝0与A ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．四、对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩． （2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'l P P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1 若直线21y x =-与直线30x my ++=平行，则m 的值为 A ．12B ．12- C ．2-D ．2【答案】B【解析】直线21y x =-化为210x y --=，因为210x y --=与直线30x my ++=平行，13211m ∴=≠--，解得12m =-，故选B. 【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于m 的方程求解即可.1．“1a =”是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考向二 两直线的相交问题1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例2 已知直线l 经过直线2-y-3=0和4-3y-5=0的交点P ,且垂直于直线2+3y+5=0,求直线l 的方程.【答案】直线l 的方程为3-2y-4=0.因为直线l 与直线2+3y+5=0垂直,所以2413λλ++·(-23)=-1,解得λ=1.故直线l 的方程为3-2y-4=0.2．已知直线111:1＋＝l a x b y 和直线222:1＋＝l a x b y 相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是________.考向三 距离问题1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例3 （1）若点A (2，3)，B (－4，5)到直线l 的距离相等，且直线l 过点P (－1,2)，则直线l 的方程为_________；（2）若直线m 被两直线l1：－y ＋1＝0与l 2：－y ＋3＝0所截得的线段的长为m 的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．【答案】（1）＋3y －5＝0或＝－1；（2）15°或75°3．若动点()()111222,,,P x y P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12P P 的中点P 到原点的距离的最小值是A ．B ．2C ．D ．2考向四 对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．典例4 已知直线l 3-y+3=0,求（1）点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标; （2）直线-y-2=0关于直线l 对称的直线方程. 【答案】（1）(-2,7)；（2）7+y+22=0.【解析】设P (,y )关于直线l 3-y+3=0的对称点为P'(',y').∵PP'·l =−1,4．光线通过点()2,3A ，在直线:10l x y ++=上反射，反射光线经过点()1,1B . （1）求点()2,3A 关于直线l 对称点的坐标； （2）求反射光线所在直线的一般式方程．考向五 直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例5 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】详见解析.5．已知点()20A ，，点()20B -，，直线l ：()()3140x y λλλ++--=（其中λ∈R ）． （1）求直线l 所经过的定点P 的坐标；（2）若分别过A ，B 的两条平行直线截直线l 所得线段的长为l 的方程．1．过两直线3＋y −1=0与＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．−3y ＋7=0 B ．−3y ＋13=0 C ．3−y ＋7=0D ．3−y −5=02．已知m 为实数,直线1:10l mx y +-=,()2:3220l m x my -+-=,则“1m =”是“12l l ∥”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知倾斜角为α的直线l 与直线+2y-3=0垂直,则cos(-2α)的值为A ．B ．-C ．2D ．-4．若直线l 1+ay+6=0与l 2(a-2)+3y+2a =0平行,则两直线间的距离为 A ．2 B ．2 C ．D ．5．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2- B ．4- C ．6-D ．8-6．若点102（，）到直线:300l x y m m ++=>（），则m = A ．7B ．172C ．14D ．177．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A12BC，12D 14 8．设直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y ++=的交点为A ，,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为 A ．2 B ．2- C ．3D ．3-9．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为 A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭10．已知点P (m ,n )到点A (0,4)和B (-8,0)的距离相等,则()m +()n 的最小值为 A ．-3 B ．3 C ．16D ．411．若直线与直线互相垂直，则实数.12．若直线1:2l y kx k =+-与直线2l 关于直线1y x =-对称，则直线2l 恒过定点________． 13．若直线1:10l ax y -+=与直线2:2210l x y --=的倾斜角相等，则实数a = . 14．已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是__________．15．若直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x n y +-=之间的距离是，则m n +=_________.16．设()2,P n n是函数2y x=图象上的动点，当点P 到直线1y x =-的距离最小时，n =_________.17．一条光线从()3,2A )发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点()1,6B -，则反射光线所在直线的斜率为________．18．已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是 . 19．已知直线与相交于点（1）求交点的坐标； （2）设直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.20．已知直线.（1）若，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.21．已知ABC △的三个顶点为()4,0A 、()8,10B 、()0,6C . （1）求过点A 且平行于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.22．已知两条直线l 1a-by+4=0和l 2(a-1)+y-b =0. （1）若l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1),求实数a ,b 的值.（2）是否存在实数a ,b ,使得l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.23．已知两条直线l 1(a-1)-2y+b =0,l 2a+(b-4)y+3=0,其中a >0.若l 1⊥l 2,且l 1过点(1,3). （1）求l 1,l 2的方程;（2）若光线沿直线l1射入,遇到直线=0后反射,求反射光线所在的直线方程.24．已知三条直线l12−y+a=0(a>0)，直线l24−2y−1=0和直线l3+y−1=0，且l1和l2（1）求a的值.（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12；③P点到l1的距离与P点到l3若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212l l k k ⇔=∥；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 2．【答案】2＋3y ＝1【解析】因为P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以1122231231a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点111()，P a b 和222()，P a b 的坐标是方程2＋3y ＝1的解，所以经过点111()，P a b 和222()，P a b 的直线方程是2＋3y ＝1. 3．【答案】A【解析】因为12l l ∥,所以12P P 的中点P 的轨迹为直线：15502x y +--=，即100x y --=， 因此PA. 4．【答案】（1）()4,3--；（2）4510x y -+=.【解析】（1）设点()23A ，关于直线l 的对称点为()000,A x y ，则0000312231022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩， 解得004,3x y =-=-，即点()23A ，关于直线l 的对称点为()04,3A --． （2）由于反射光线所在直线经过点()04,3A --和()1,1B ， 所以反射光线所在直线的方程为()4115y x -=-即4510x y -+=. 5．【答案】（1）直线l 过定点()1,3；（2）1x =或333y x =-+．则所求直线为1x =或3y x =+． 【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于λ 的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.（2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.1．【答案】B【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得14x y =-⎧⎨=⎩，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为13.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13(＋1)，即−3y ＋13=0. 2．【答案】A【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 3．【答案】B【解析】由题意可知tan α=2,所以cos(-2α)=cos(1 008π+-2α)=-sin 2α=-=-=-.4．【答案】C 【解析】由l 1∥l 2知,≠,解得a =-1,所以l 1-y+6=0,l 2-y+=0,两条平行直线l 1与l 2间的距离d =.故选C.5．【答案】B【解析】∵直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，∴2145a -⨯=-，∴10a =，∴直线420ax y +-=即为5210x y +-=．将点()1,c 的坐标代入上式可得5210c +-=，解得2c =-．将点()1,2-的坐标代入方程250x y b -+=得()2520b -⨯-+=，解得12b =-． ∴101224a b c ++=--=-． 故选B ．【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c是两直线的交点．根据两直线垂直可得a，然后将点()1,c的坐标代入直线420ax y+-=可得c，同理可得b，于是可得a b c++的值．6．【答案】B31710,0,22m m m=∴+=±>∴=.故选B.7．【答案】A【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.8．【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示：直线1210l x y-+=：与直线230l mx y++=：的交点为A，M为PQ的中点，若12AM PQ=，则PA QA⊥，即121210l l m⊥∴⨯+-⨯=，（），解得2m=．故选A．9．【答案】D10．【答案】C【解析】因为点P (m ,n )到点A (0,4)和B (-8,0)的距离相等,所以=,即2m+n =-6,又()m >0,()n >0,所以()m +()n ≥2=2=2=16,当且仅当,即2m =n =-3时取等号.11．【答案】 【解析】由题得，,解得.故答案为.12．【答案】()3,0 【解析】直线1:2l y kx k =+-经过定点()12，，点()12，关于直线1y x =-对称的点为()30，，∴点()30，在直线2l 上，即直线2l 恒过定点()30，，故答案为()30，. 13．【答案】1【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有：122a -=-，求解关于实数a 的方程可得：1a =. 14．【答案】18【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式.15．【答案】0 【解析】直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=2n =-⎧∴=2n =-，2m =（负值舍去），则220m n +=-=.故答案为0.【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式求解即可，较为基础. 16．【答案】12【解析】()2,P n n是函数2y x=图象上的动点，则点P 到直线1y x =-的距离为d == ∴当12n =时，d 取得最小值． 故答案为12． 【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得n 的关系式，从而求得距离最小时n 的值． 17．【答案】−2 【解析】如图所示：【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点A '在直线MB 上，是解题的关键. 18．【答案】2-y-3=0【解析】由平面几何知识,得当l 1⊥AB 时,l 1,l 2之间的距离最大.∵A (2,1),B (0,2),∴AB =-,=2.则直线l 1的方程是y-1=2(-2),即2-y-3=0. 19．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，得，.（2）与平行直线方程，即.与垂直的直线方程，即. 20．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由知，解得.（2）当12l l ∥时，有,解得，，即， 所求距离为=.【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意： （1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值； （2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算. 21．【答案】（1）240x y --=；（2）7640x y -+=或32440x y +-=.【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题．22．【答案】（1）a=2,b=2；（2）不存在.【解析】（1）由已知可得l2的斜率存在,为2=1-a.若2=0,则1-a=0,a=1.∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾).∴此种情况不存在,∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.23．【答案】（1）l1,l2的方程分别为l1-2y+5=0,l22+y+3=0；（2）+2y-5=0. 【解析】（1）∵l1过点(1,3),∴(a-1)-6+b=0.①由l1⊥l2,得(a-1)a-2(b-4)=0.②联立①②,得a2+a-6=0⇒a=2或a=-3(舍去),∴a=2,b=5.∴l1,l2的方程分别为l1-2y+5=0,l22+y+3=0.（2）由,解得入射点A(0,).取直线-2y+5=0上一点B(-5,0),点B关于直线=0的对称点B1(5,0)必在反射线上, 所以直线AB1的方程即为所求的反射光线所在的直线方程,由y-0=(-5),整理得+2y-5=0.即反射光线所在的直线方程为+2y-5=0.24．【答案】（1）3；（2）P(137 ,918).【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.。

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、直线与平面垂直1．定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．2．直线与平面垂直的判定定理b P =⇒判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交．．直线垂直，而不是任意的两条直线. 3．直线与平面垂直的性质定理4．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．．π[0,]2.5．常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、平面与平面垂直1．定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ⊥.图形表示如下：2．平面与平面垂直的判定定理3．平面与平面垂直的性质定理=l lβα⎪⎪⇒⎬⊂⎪⎪⊥⎭4．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．．．． 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. （3）二面角的范围：[0,π]. 5．常用结论（熟记）（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 三、垂直问题的转化关系考向一 线面垂直的判定与性质线面垂直问题的常见类型及解题策略： (1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定． (2)证明直线和平面垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； ②判定定理；③垂直于平面的传递性(a b a b αα⊥⇒⊥∥,)； ④面面平行的性质(a a ααββ⊥⇒⊥,∥)； ⑤面面垂直的性质． (3)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (4)线面垂直的探索性问题．①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a ．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b ．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c ．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例1 如图所示，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，下列说法中错误的是A ．平面B ．平面C ．平面D ．平面【答案】D1．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 分别是棱BC 、1CC 的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，且满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的取值范围是A ．1,2⎡⎢⎣⎦B ．53,22⎤⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．2,3⎡⎣典例2 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（）求证：平面； （）求证：直线平面；（）设为线段上任意一点，在1BC D △内的平面区域（包括边界）是否存在点，使?请说明理由．【解析】（）∵三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，∴，， ∴平面， 又∵平面，∴，（）在1BC D △内的平面区域（包括边界）存在点，使，此时在线段上，证明如下：如图，过作，交线段于点， 由（）可知，平面， 又平面，∴，由，，得平面，∵平面，∴．2．如图1所示，在Rt ABC △中，∠C =90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2所示．（1）求证：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．考向二 面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略： (1)利用定义(直二面角)．(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．典例3 已知在梯形中，，分别为底上的点，且，，，沿将平面折起至平面，如图.（1）求证：平面平面；（2）若，求多面体的体积．典例4 如图,直三棱柱中,分别是的中点,.（1）证明:平面;（2）证明:平面平面.则四边形是平行四边形.所以//, 因为,所以.又, 所以直线平面．因为//,所以直线平面.因为平面, 所以平面平面3．如图所示，M ，N ，P 分别是正方体1111ABCD A B C D 的棱AB ，BC ，DD 1上的点.考向三 线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤： ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．典例5 正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为 A ．35B ．45C ．34D【答案】B又1B DCD D =，∴AH ⊥平面1B CD ，∴∠ADH 为所求的线面角．设棱长为2，在ACD △中由等面积法得455AH =， ∴4545sin 55ADH ∠==，故选B.典例6 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点. （1）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45°，求三棱锥F AEC -的体积.【解析】（1）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1AE BB ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点， 所以AE BC ⊥，因此AE ⊥平面11B BCC ， 而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面11B BCC .（2）如图，设AB 的中点为D ，连接1,A D CD ，4．如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，.（1）求证:; （2）求证:平面; （3）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角.典例7 已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将DAE △和CBE △分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P CD E --的大小为________． 【答案】30设正方形ABCD的边长为2，△中，PE=1，EF=2，∴∠PFE=30°.在Rt EFP【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析.（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.典例8 在中，，以的中线为折痕，将沿折起，如图所示，构成二面角,在平面内作，且．（1）求证：∥平面；（2）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值．【解析】（1）由得，所以为等腰直角三角形，由为的中点得，以的中线为折痕翻折后仍有.因为，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）因为二面角的大小为，所以平面平面，又平面平面,，在中，，于是在中，．在中，2222111332242BG A B BE A E ''=+-=， 所以在中，13312622cos 22232BFG +-∠==⨯⨯． 因此二面角的余弦值为6-.5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA ==1，2AB =，点E 是线段AB 的中点. （1）求证：1D E CE ⊥；（2）求二面角1D EC D --的正切值.1．下列命题中不正确的是A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ2．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中不正确的是A．ccαβαβ⊥⎫⇒⊥⎬⎭∥B．a bb b cc aββ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⎭是在内的射影C．b cb ccααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭∥∥D．abb aαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭∥3．如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．4．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的A．外心B．内心C．垂心D．重心5．如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC =,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=A．B．2C．D．16．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°7．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形沿，向上折起，使得与重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中与平面所成角的正弦值为A．B．C．D．8．如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为（1） （2）A ．34 B 7 C ．23D 59．已知α，β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交； ④若α∩β=m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β. 其中命题正确的是__________． 10．如图,三棱锥,平面平面,若,则△的形状为__________.11．在四面体中，平面，，，，，为棱上一点，且平面平面，则__________.12．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，F 是AC 的中点，E 是PC 上的点，且EF ⊥BC ，则PEEC=________.13．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当DM ⊥________时，平面MBD⊥平面PCD.14．四棱锥中，，且平面是棱的中点.（1）证明:平面;（2）求三棱锥的体积.15．如图，已知四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点.（1）求证：平面； （2）求证：平面平面.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱11C D 的中点，F 为棱BC 的中点．（1）求证：直线AE ⊥直线DA 1；（2）在线段AA 1上求一点G ，使得直线AE ⊥平面DFG ？并说明理由．17．如图，已知三棱锥P －ABC 中，∠ACB =90°，CB =4，AB =20，D 为AB 的中点，且PDB △是正三角形，PA ⊥PC ．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角D－AP－C的正弦值；（3）若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．18．如图,已知多面体的底面是边长为2的菱形,底面,且.（1）证明:平面平面;（2）若直线与平面所成的角为,求直线与平面所成角的正弦值.D ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，1．（2017浙江）如图，已知正四面体–AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为αβγ,,，则A ． γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<2．（2018江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．3．（2018浙江）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．4．（2018新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.5．（2017新课标全国Ⅲ理科节选）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形， ∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC.6．（2016新课标全国Ⅱ理科节选）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H. 将△DEF沿EF折到△D EF'的位置，10OD'=（1）证明：D H'⊥平面ABCD.7．（2017江苏）如图，在三棱锥A BCD-中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．8．（2017山东理科）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点.（1）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （2）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小.1．【答案】D2．【解析】（1）由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC .所以1DE A D DE CD ⊥⊥,. 又11A DCD D A D =⊂,平面1A DC CD ⊂,平面1A DC ，所以DE ⊥平面A 1DC . 因为A 1F ⊂平面A 1DC ， 所以DE ⊥A 1F. 又因为1A F CD CD DE D CD ⊥=⊂,,平面BCDE ，DE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥平面BCDE ， 又BE ⊂平面BCDE ， 所以A 1F ⊥BE .（2）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ . 理由如下：如图所示，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，连接DP ，QE ，PQ ，则PQ ∥BC . 又因为DE ∥BC ， 所以DE ∥PQ .3．【解析】（1）连接BD，则BD⊥AC.∵，∴MN∥AC，∴BD⊥MN，∵DD1⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，∴MN⊥平面BDD1 B1.∵无论P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1 B1，∴总有MN⊥BP.（2）存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面A1ACC1.证明如下：由题意可得BD⊥CC1，又BD ⊥AC ，AC ∩CC 1=C ， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.连接1BD ，与1AC 的交点为E ，连接PE ，则PE ∥BD ， ∴PE ⊥平面A 1ACC 1. 又PE ⊂平面APC 1， ∴平面APC 1⊥平面A 1ACC 1. 4．【解析】（1）∵四边形为矩形,∴,∴,∵,∴, ∴在直角中,,过作与的延长线垂直,是垂足,连接ND，∴在中,,∵平面平面,∴平面平面,∴平面,∴是直线与平面所成的角,在中,31 sin223FNFDNDF∠===,∴.则直线与平面所成的角为.5．【解析】（1）因为1DD⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，1．【答案】A【解析】对于选项A ，l ∥平面α，l 可能在平面β内，l 可能与平面β平行，l 可能与平面β相交．故本题选A. 2．【答案】D【解析】对于选项D ，可能还有b ∥α，或者b 在α内，所以D 不正确． 3．【答案】B【解析】由题意可知，⊥底面，所以为直线与平面所成的角，因为，所以PCA △为等腰直角三角形，所以，故选B.4．【答案】C 【解析】连接并延长交于D ，连接，， ∴平面，则，又考点冲关平面，则，又，∴平面，则，同理，故垂足H是△ABC的垂心,选C．5．【答案】B【解析】取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1，在Rt△DEC中,CD==2. 6．【答案】D【解析】在A中,因为AD与PB在平面内的射影AB不垂直,所以不成立;在B中,因为平面PAB⊥平面PAE,所以平面PAB⊥平面PBC也不成立,所以不正确;在C中,因为BC//AD,BC不在平面PAD内,AD在平面PAD,所以BC//平面PAD,所以直线BC∥平面PAE也不成立,所以C不成立.在D中，在直角三角形PAD中，PA=AD=2AB，所以直线PD与平面ABC所成的角为45°，所以是正确的，故选D．7．【答案】A【解析】如图，取中点，连接，过点作平面，连接，，则为直线与平面所成的角，易知，，，所以，，则.8．【答案】B【解析】如图所示,取BC的中点P,连接EP,FP,由题意得BF=CF=2,所以PF⊥BC．9．【答案】①④【解析】①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．故填①④.10．【答案】直角三角形【解析】平面平面，平面平面平面，平面，，∴△为直角三角形，故答案为直角三角形.11．【答案】【解析】过A作,因为平面平面，且平面平面,平面，,又,平面 ,.12．【答案】113．【答案】PC【解析】由相关定理可知，BD⊥PC.当DM⊥PC时，则有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.所以应填PC.14．【解析】（1）如图，取中点,连接,∵是中点,∴,且.又因为,∴.又∵,∴,∴四边形是平行四边形,∴,又,∴△是等边三角形,∴,∵平面,∴平面,∴,∴平面,∴平面.15．【解析】（1）如图，分别取的中点，的中点.连接，，，因为，分别为，的中点，所以12MH CD =∥，12NG AB =∥，因为与平行且相等，所以平行且等于，故四边形是平行四边形.所以. 又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以平面. 因为，分别为、的中点，所以.所以平面.因为平面，所以平面平面.16．【解析】（1）如图，连接11AD BC ,，由正方体的性质可知，111DA AD DA AB ⊥⊥,，又1ABAD A =，∴1DA ⊥平面11ABC D ， 又AE ⊂平面11ABC D ， ∴1DA AE ⊥.（2）所求G 点即为A 1点，证明如下：由（1）可知1AE DA ⊥，取CD 的中点H ，连接AH ，EH ，如图， 由DF AH DF EH AH EH H ⊥⊥=,,，可证DF ⊥平面AHE ，∵AE ⊂平面AHE ， ∴DF ⊥AE . 又1DFA D D =，∴AE ⊥平面1DFA ，即AE ⊥平面DFG .17．【解析】（1）∵D 是AB 的中点，PDB △是正三角形，AB =20，⊥；②△PDB是正三角形；③D是AB 【名师点睛】本题的题设条件有三个：①△ABC是直角三角形，BC AC的中点，PD=DB=10.解答本题（1），只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对于（2），首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解答第（3）小题的关键是用等体积法求解．18．【解析】（1）如图，连接,交于点, 设中点为,连接.（2）∵直线与平面所成的角为,∴,∴,∴,故为等边三角形,设的中点为,如图，连接,则, 又,代入(*)得=,∴,则与平面所成角的正弦值为12 4hCD1．【答案】B【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而三棱锥的高相等，直通高考因此αγβ<<，所以选B ．2．【解析】（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．3．【解析】（Ⅰ）由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得11122AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=. 故111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得115B C = 由2,120AB BC ABC ==∠=︒得23AC =由1CC AC ⊥，得113AC 2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥.因此1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，4．【解析】（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .（2）在平面DEF 中，过P 作PH ⊥EF 于点H ，连接DH ，如图，由于EF 为平面ABCD 和平面PEF 的交线，PH ⊥EF ， 则PH ⊥平面ABFD ，故PH ⊥DH .则DP 与平面ABFD 所成的角为PDH ∠. 在三棱锥P -DEF 中，可以利用等体积法求PH . 因为DE ∥BF 且PF ⊥BF ，所以PF ⊥DE ， 又△PDF ≌△CDF ，所以∠FPD =∠FCD =90°， 所以PF ⊥PD ，由于DE ∩PD =D ，则PF ⊥平面PDE ， 故13F PDE PDE V PF S -=⋅△， 因为BF ∥DA 且BF ⊥平面PEF ，故DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 5．【解析】（1）由题设可得，ABD CBD △≌△，从而AD DC =. 又ACD △是直角三角形，所以=90ADC ∠︒.取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO =AO . 又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB △中，222BO AO AB +=. 又AB BD =，所以2222BO DO BO AO AB BD 22+=+==， 故90DOB ∠=. 所以平面ACD ⊥平面ABC .6．【解析】（1）由已知得AC BD ⊥，AD CD =， 又由AE CF =得AE CFAD CD=，故AC EF ∥. 因此EF HD ⊥，从而EF D H '⊥. 由5AB =，6AC =得224DO BO AB AO ==-=.由EF AC ∥得14OH AE DO AD ==. 所以1OH =，==3D H DH '.于是222223110D H OH D O ''+=+==， 故D H OH '⊥. 又D H EF '⊥，而OHEF H =，所以D H ABCD '⊥平面.7．【解析】（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥．【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 8．【解析】（1）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =，所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ， 所以BE BP ⊥， 又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒（2）取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，。

（1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.一、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相离，没有公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相交，有两个公共点．二、直线与圆的位置关系的判断方法圆与圆的位置关系的判断方法有两种：（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系判断（如下图，其中R r>）．（2）代数法：设圆C1：2+y2+D1+E1y+F1=0 ①，圆C2：2+y2+D2+E2y+F2=0 ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．五、两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：2+y2+D1+E1y+F1=0 ①，圆C2：2+y2+D2+E2y+F2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）+（E1－E2）y+F1－F2=0 ③．方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．考向一直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ； （3）比较d 与r 的大小，写出结论.典例 1 若直线l ()10y kx k =+<与圆C()()22212x y ++-=相切,则直线l 与圆D ()2223x y -+=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题.判定直线与圆的位置关系可以联立方程，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系确定直线与圆位置关系.求解本题时，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率k ，再根据圆D 的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.1．已知半圆()22(1)(2)42x y y -+-=≥与直线()15y k x =-+有两个不同交点，则实数的取值范围是A ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．353,,2222⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦考向二 圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求1212||r r r r +，－； （3）比较1212,,||d r r r r +－的大小，写出结论.典例2 圆O 1 2220x y x +-=和圆222: 40O x y y +-=的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．外切 D【答案】B2．圆心为()2,0的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切，则C 的方程为A ．22420x y x +++= B ．22420x y x +-+= C ．2240x y x ++=D ．2240x y x +-=考向三 圆的弦长问题1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-. 2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.典例3 已知直线y =+3与圆226450x y x y +--+=相交于M ,N 两点,若|MN|=2,则的值是 A ．1B ．1或-1C ．2-或12D 或12【答案】C3．在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0M 的最短弦的弦长为A B ．CD ．考向四 圆的切线问题1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若存在且≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求切线方程.2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由0∆=,求得,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．典例4 已知点1,2P ，点M （3，1），圆C ：（－1）2＋（y －2）2＝4． （1）求过点P 的圆C 的切线方程；（2）求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．【答案】（1）10x y -+-=；（2）过点M 的圆C 的切线方程为－3=0或3－4y －5＝0，切线长为1.则圆心C 到切线的距离d2r ==，解得＝34，所以切线方程为y －1＝34（－3），即3－4y －5＝0． 综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为－3=0或3－4y －5＝0．因为|MC=所以过点M 的圆C 1=．4．设P 为直线3430x y ++=上的动点，过点P 作圆222210C x y x y +--+=：的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形(PACB C 为圆心)的面积的最小值为A ．1 BCD ．1．直线340x y -=被圆()()22122x y -+-=截得的弦长为A ．4B ．C ．D ．22．已知直线l 过点()2,0-且倾斜角为α，若l 与圆()22320x y -+=相切，则3πsin 2=2α⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．35 B ．35- C ．45D ．45-3．已知圆221:1O x y +=与圆()()222:3416O x x -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离4．如果实数，满足等式22(2)3x y -+=，那么的最大值是A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆22:4C x y +=，直线:l y x b =+．当实数[]0,6b ∈时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离为1的概率为A B C ．12D ．137．已知两点(),0A a ，(),0B a -（0a >），若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为A ．(]0,3 B ．[]1,3 C ．[]2,3D ．[]1,28．动圆M 与圆()221:11C x y ++=外切，与圆()222:125C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是A ．22189x y +=B ．22198x y += C ．2219x y +=D ．2219y x += 9．已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A ．17或1- B ．1- C ．1或1-D ．110．点P 是直线30x y +-=上的动点，由点P 向圆22:4O x y +=作切线，则切线长的最小值为A ．BC ．2D ．1211．已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上的一点，且满足5CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为A ．3B ．C ．2D ．3-12．已知圆2221:C x y r +=，圆()()2222:C x a y b r -+-=(0)r >交于不同的()11,A x y ，()22,B x y 两点，给出下列结论：①()()12120a x x b y y -+-=；②221122ax by a b +=+；③12x x a +=，12y y b +=.其中正确结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．313．圆2224200x y x y +-+-=截直线5120x y c -+=所得的弦长为8，则c 的值是________．14．设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点为()3,1P ，则直线AB 的方程是________．15．若圆221:5O x y +=与圆()222:20O x m y ++=相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．16．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()0,2A -，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是________．17．在平面直角坐标系Oy 中，已知圆C 的方程为224x y +=，点()2,3M -．（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）过点M 任作一条直线与圆C 交于A ，B 两点，圆C 与轴正半轴的交点为P ，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值．18．已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19．已知点)2,2(P ，圆C 0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当||||OP OM =时，求直线l 的方程及POM △的面积.20．已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C .（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0-作直线l 与圆C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB 中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.1．（2018北京理）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．42．（2018新课标Ⅲ理）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣3．（2016新课标II 理）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- CD ．24．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．5．（2018天津理）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .6．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ．7．（2016新课标II 理）已知直线l：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =则||CD =__________． 8．（2017新课标III 理）已知抛物线C ：y 2=2，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.9．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:M x y +-1214600x y -+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．1．【答案】D【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．求解本题时，绘制半圆的图形和直线，考查临界条件，确定的取值范围即可.2．【答案】D【名师点睛】此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系. 3．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=，化简为：()()222+15,x y -+=点()1,0M 在圆的内部，记圆心为O 点，则最短弦长是过点M 和OM 垂直的弦，OM，根据垂径定理得到弦长为：故答案为D.【名师点睛】这个题目考查的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合解决；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.求解本题时，先将圆的方程化为标准式，找到圆心和半径，过点()1,0M 的最短弦长是过点M 和OM 垂直的弦,再根据垂径定理得到结果. 4．【答案】C【解析】∵圆的方程为222210x y x y +--+=，∴圆心C （1，1）、半径r 为1. 根据题意，若四边形面积最小，则当圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小.∵圆心到直线的距离为d =2，∴|PA |=|PB=，∴122PACB S PA r =⨯=四边形故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时还考查了转化思想，属于中档题.求解本题时，由圆的方程为求得圆心C （1，1）、半径r 为1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．1．【答案】D故选D ．【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合解决的；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.求解本题时，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理可得直线3﹣4y =0被圆（﹣1）2+（y ﹣2）2=2截得的弦长． 2．【答案】A【解析】设直线():tan 2l y x α=+,因为l 与圆()22320x y -+=tan 2α=∴=±，因此2222223πcos sin 1tan 143sin 2=cos2,2cos sin 1tan 145αααααααα---⎛⎫--=-=-=-= ⎪+++⎝⎭故选A. 3．【答案】C【解析】圆1O 的圆心为()0,0，半径为1r =，圆2O 的圆心为()3,4-，半径为4R =，∴两圆的圆心距5d ==，∴d R r =+，∴两圆外切，故选C ． 4．【答案】D【解析】过原点作圆22(2)3x y -+=的切线，切线斜率，故选．【名师点睛】与圆上点(),x y 有关代数式的最值的常见类型及解法． ①形如型的最值问题，可转化为过点(),a b 和点(),x y 的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如22(())x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点到定点(),a b 的距离平方的最值问题． 5．【答案】C6．【答案】A【解析】如图，圆C的圆心坐标为O（0，0），半径为2，直线l为：﹣y+b=0．3=，即b=l的距离为1，1=，即b时，圆上恰有3个点到直线l的距离为1．∴当b∈时，圆上恰有2个点到直线l的距离为1，故概率为=．63故选A．【名师点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．求解本题时，由已知求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式分别求出满足圆上有一点和三点到直线l的距离为1的b值，由测度比为长度比得答案．7．【答案】B8．【答案】B【解析】设动圆M 半径为r ，则121212|1,|5||||+||6||,MC r MC r MC MC C C ===>+-∴，因此动圆圆心M的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，所以B.【名师点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 9．【答案】C【解析】由题意可得ABC △是等腰直角三角形，∴圆心C （1，﹣a ）到直线10ax y +-=的距离等于r ·sin45°，∴a =±1.故选C ．【名师点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题在很多情况下是利用数形结合解决的，联立方程利用代数方法求解的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.由题意可得ABC △是等腰直角三角形，可得圆心C （1，﹣a ）到直线10ax y +-=的距离等于r ·sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a 的值． 10．【答案】C【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须使点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线30x y +-=的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．11．【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则O A B △为等边三角形，于是可设动直线l()2,0B -，(A -，∵M 是线段AB 的中点，∴，设(),C x y ，∵5C B C A =，∴()()52,132x y y---=--，13C ⎛- ⎝⎭， ∴1(OC OM ⋅=-A ．12．【答案】D【名师点睛】当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算.解本题时，根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为22220ax by a b +--=，,A B 两点均在该直线上，故其坐标满足上式.而AB 的中点为直线AB 与直线12C C 的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的. 13．【答案】1068-或【解析】∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为3，∵圆心坐标为()1,2-，∴()51122313c⨯-⨯-+=，解得c 为1068-或【名师点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断 14．【答案】40x y +-=【解析】22450x y x +--=,所以圆心为()2,0C ，15．【答案】4【解析】由题知1(0,0)O 与2(,0)O m -:，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得m ＜＜再根据题意可得212520255O A AO m m ⊥∴=+=∴=±，，，∴利用52AB ⋅＝ 解得4AB =．16．【答案】1017．【答案】（1）2x =或512260x y ++=；（2）见解析.【解析】（1）当直线l 的斜率不存在时，显然直线2x =与圆相切， 当直线l 的斜率存在时，设切线方程为()32y k x +=-， 圆心到直线的距离等于半径，2=，解得512k =-， ∴切线方程为：512260x y ++=，故所求直线方程为2x =或512260x y ++=．（2）依题意可得当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB ：()32y k x +=-，代入2240x y +-=，【名师点睛】求定值问题常见的方法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18．【答案】（1）()()22215x y -+-=；（2）见解析.【解析】（1）法一：由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C 所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.法二：设圆C 的方程为()()22200x x y y r -+-=，可得()222000022200,1,424x y r yx x y r r ⎧⎪+=⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪⎛⎫⎪-+== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002,1,x y r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,【名师点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键 19．【答案】（1）22(1)(3)2x y -+-=;（2）l 的方程为1833y x =-+; POM △的面积为165. 【解析】（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--， 由题设知0CM MP ⋅=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=.20．【答案】（1）()()22129x y -++=；（2）存在直线1x =-和1y x =+.【解析】（1）圆1C 化为标准为()2239x y ++=，设圆1C 的圆心()13,0C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(),C a b ，则111CC l k k =-， 且1CC 的中点3,22a b M -⎛⎫⎪⎝⎭在直线1:21l y x =+上， ，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为()()22129x y -++=.（2）由OS OA OB BA =-=，所以平行四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥.要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB=，即：12120x x y y +=. ①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆()()22:129C x y -++=交于两点()2A - ()1,2B -.因为()())()·11220OAOB=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件.【名师点睛】在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.1．【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点A （2，0），所以d 的最大值为OA +1=2+1=3,故选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 2．【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则AB =点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△. 故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可. 3．【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．4．【答案】3【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 5．【答案】12【解析】由题意可得圆的标准方程为：()2211x y -+=， 直线的直角坐标方程为：()31y x -=-+，即20x y +-=，则圆心到直线的距离：2d ==，所以2AB ==11222ABC S ==△. 【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.6．【答案】[-【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围． 7．【答案】4【解析】因为||AB =，且圆的半径为，所以圆心(0,0)到直线30m x y ++=的距离为3=，则由|3=，解得3m =-，代入直线l 的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．8．【答案】（1）证明略；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=.或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+.由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-. 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.9．【答案】（1）()()22611x y -+-=；（2）直线l 的方程为2－y +5=0或2－y －15=0；（3）22⎡-+⎣.【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M (6，7)，半径为5． （1）由圆心在直线=6上，可设()06,N y ．因为圆N 与轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，。

（1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.一、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相离，没有公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相交，有两个公共点．二、直线与圆的位置关系的判断方法圆与圆的位置关系的判断方法有两种：（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系判断（如下图，其中R r>）．（2）代数法：设圆C1：2+y2+D1+E1y+F1=0 ①，圆C2：2+y2+D2+E2y+F2=0 ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．五、两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：2+y2+D1+E1y+F1=0 ①，圆C2：2+y2+D2+E2y+F2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）+（E1－E2）y+F1－F2=0 ③．方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．考向一直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ； （3）比较d 与r 的大小，写出结论.典例 1 若直线l ()10y kx k =+<与圆C()()22212x y ++-=相切,则直线l 与圆D ()2223x y -+=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题.判定直线与圆的位置关系可以联立方程，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系确定直线与圆位置关系.求解本题时，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率k ，再根据圆D 的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.1．已知半圆()22(1)(2)42x y y -+-=≥与直线()15y k x =-+有两个不同交点，则实数的取值范围是A ．,22⎛- ⎝⎭B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．353,,2222⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦考向二 圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求1212||r r r r +，－； （3）比较1212,,||d r r r r +－的大小，写出结论.典例2 圆O 1 2220x y x +-=和圆222: 40O x y y +-=的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．外切 D【答案】B2．圆心为()2,0的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切，则C 的方程为A ．22420x y x +++= B ．22420x y x +-+= C ．2240x y x ++=D ．2240x y x +-=考向三 圆的弦长问题1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-. 2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.典例3 已知直线y =+3与圆226450x y x y +--+=相交于M ,N 两点,若|MN|=2,则的值是 A ．1B ．1或-1C ．2-或12D 或12【答案】C3．在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0M 的最短弦的弦长为A B ．CD ．考向四 圆的切线问题1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若存在且≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求切线方程.2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由0∆=,求得,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．典例4 已知点1,2P -，点M （3，1），圆C ：（－1）2＋（y －2）2＝4． （1）求过点P 的圆C 的切线方程；（2）求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．【答案】（1）10x y -+-=；（2）过点M 的圆C 的切线方程为－3=0或3－4y －5＝0，切线长为1.则圆心C 到切线的距离d2r ==，解得＝34，所以切线方程为y －1＝34（－3），即3－4y －5＝0． 综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为－3=0或3－4y －5＝0．因为|MC=所以过点M 的圆C 1=．4．设P 为直线3430x y ++=上的动点，过点P 作圆222210C x y x y +--+=：的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形(PACB C 为圆心)的面积的最小值为A ．1BCD ．1．直线340x y -=被圆()()22122x y -+-=截得的弦长为A ．4B ．C ．D ．22．已知直线l 过点()2,0-且倾斜角为α，若l 与圆()22320x y -+=相切，则3πsin 2=2α⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．35 B ．35- C ．45D ．45-3．已知圆221:1O x y +=与圆()()222:3416O x x -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离4．如果实数，满足等式22(2)3x y -+=，那么的最大值是A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆22:4C x y +=，直线:l y x b =+．当实数[]0,6b ∈时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离为1的概率为A B C ．12D ．137．已知两点(),0A a ，(),0B a -（0a >），若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为A ．(]0,3 B ．[]1,3 C ．[]2,3D ．[]1,28．动圆M 与圆()221:11C x y ++=外切，与圆()222:125C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是A ．22189x y +=B ．22198x y += C ．2219x y +=D ．2219y x += 9．已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A ．17或1- B ．1- C ．1或1-D ．110．点P 是直线30x y +-=上的动点，由点P 向圆22:4O x y +=作切线，则切线长的最小值为A ．BC ．2D ．1211．已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上的一点，且满足5CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为A ．3B ．C ．2D ．3-12．已知圆2221:C x y r +=，圆()()2222:C x a y b r -+-=(0)r >交于不同的()11,A x y ，()22,B x y 两点，给出下列结论：①()()12120a x x b y y -+-=；②221122ax by a b +=+；③12x x a +=，12y y b +=.其中正确结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．313．圆2224200x y x y +-+-=截直线5120x y c -+=所得的弦长为8，则c 的值是________．14．设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点为()3,1P ，则直线AB 的方程是________．15．若圆221:5O x y +=与圆()222:20O x m y ++=相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．16．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()0,2A -，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是________．17．在平面直角坐标系Oy 中，已知圆C 的方程为224x y +=，点()2,3M -．（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）过点M 任作一条直线与圆C 交于A ，B 两点，圆C 与轴正半轴的交点为P ，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值．18．已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19．已知点)2,2(P ，圆C 0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当||||OP OM =时，求直线l 的方程及POM △的面积.20．已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C .（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0-作直线l 与圆C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB 中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.1．（2018北京理）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．42．（2018新课标Ⅲ理）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣3．（2016新课标II 理）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- CD ．24．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．5．（2018天津理）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .6．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ．7．（2016新课标II 理）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =则||CD =__________． 8．（2017新课标III 理）已知抛物线C ：y 2=2，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.9．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:M x y +-1214600x y -+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．1．【答案】D【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．求解本题时，绘制半圆的图形和直线，考查临界条件，确定的取值范围即可.2．【答案】D【名师点睛】此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系. 3．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=，化简为：()()222+15,x y -+=点()1,0M 在圆的内部，记圆心为O 点，则最短弦长是过点M 和OM 垂直的弦，OM长为：故答案为D.【名师点睛】这个题目考查的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合解决；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.求解本题时，先将圆的方程化为标准式，找到圆心和半径，过点()1,0M 的最短弦长是过点M 和OM 垂直的弦,再根据垂径定理得到结果. 4．【答案】C【解析】∵圆的方程为222210x y x y +--+=，∴圆心C （1，1）、半径r 为1. 根据题意，若四边形面积最小，则当圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小.∵圆心到直线的距离为d =2，∴|PA |=|PB，∴122PACB S PA r =⨯=四边形故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时还考查了转化思想，属于中档题.求解本题时，由圆的方程为求得圆心C （1，1）、半径r 为1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．1．【答案】D故选D ．【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合解决的；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.求解本题时，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理可得直线3﹣4y =0被圆（﹣1）2+（y ﹣2）2=2截得的弦长． 2．【答案】A【解析】设直线():tan 2l y x α=+,因为l 与圆()22320x y -+=tan 2α=∴=±，因此2222223πcos sin 1tan 143sin 2=cos2,2cos sin 1tan 145αααααααα---⎛⎫--=-=-=-= ⎪+++⎝⎭故选A. 3．【答案】C【解析】圆1O 的圆心为()0,0，半径为1r =，圆2O 的圆心为()3,4-，半径为4R =，∴两圆的圆心距5d ==，∴d R r =+，∴两圆外切，故选C ． 4．【答案】D【解析】过原点作圆22(2)3x y -+=的切线，切线斜率，故选．【名师点睛】与圆上点(),x y 有关代数式的最值的常见类型及解法． ①形如型的最值问题，可转化为过点(),a b 和点(),x y 的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如22(())x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点到定点(),a b 的距离平方的最值问题． 5．【答案】C6．【答案】A【解析】如图，圆C的圆心坐标为O（0，0），半径为2，直线l为：﹣y+b=0．3=，即b=l的距离为1，1=，即b时，圆上恰有3个点到直线l的距离为1．∴当b∈时，圆上恰有2个点到直线l的距离为1，故概率为=．63故选A．【名师点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．求解本题时，由已知求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式分别求出满足圆上有一点和三点到直线l的距离为1的b值，由测度比为长度比得答案．7．【答案】B8．【答案】B【解析】设动圆M 半径为r ，则121212|1,|5||||+||6||,MC r MC r MC MC C C ===>+-∴，因此动圆圆心M的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，所以B.【名师点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 9．【答案】C【解析】由题意可得ABC △是等腰直角三角形，∴圆心C （1，﹣a ）到直线10ax y +-=的距离等于r ·sin45°，∴a =±1.故选C ．【名师点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题在很多情况下是利用数形结合解决的，联立方程利用代数方法求解的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.由题意可得ABC △是等腰直角三角形，可得圆心C （1，﹣a ）到直线10ax y +-=的距离等于r ·sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a 的值． 10．【答案】C【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须使点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线30x y +-=的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．11．【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则O A B △为等边三角形，于是可设动直线l()2,0B -，(A -，∵M 是线段AB 的中点，∴，设(),C x y ，∵5C B C A =，∴()()52,132x y y---=--，13C ⎛- ⎝⎭， ∴1(OC OM ⋅=-A ．12．【答案】D【名师点睛】当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算.解本题时，根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为22220ax by a b +--=，,A B 两点均在该直线上，故其坐标满足上式.而AB 的中点为直线AB 与直线12C C 的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的. 13．【答案】1068-或【解析】∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为3，∵圆心坐标为()1,2-，∴()51122313c⨯-⨯-+=，解得c 为1068-或【名师点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断 14．【答案】40x y +-=【解析】22450x y x +--=,所以圆心为()2,0C ，15．【答案】4【解析】由题知1(0,0)O 与2(,0)O m -:，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得m ＜＜再根据题意可得212520255O A AO m m ⊥∴=+=∴=±，，，∴利用52AB ⋅＝ 解得4AB =．16．【答案】1017．【答案】（1）2x =或512260x y ++=；（2）见解析.【解析】（1）当直线l 的斜率不存在时，显然直线2x =与圆相切， 当直线l 的斜率存在时，设切线方程为()32y k x +=-， 圆心到直线的距离等于半径，2=，解得512k =-， ∴切线方程为：512260x y ++=，故所求直线方程为2x =或512260x y ++=．（2）依题意可得当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB ：()32y k x +=-，代入2240x y +-=，【名师点睛】求定值问题常见的方法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18．【答案】（1）()()22215x y -+-=；（2）见解析.【解析】（1）法一：由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C 所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.法二：设圆C 的方程为()()22200x x y y r -+-=，可得()222000022200,1,424x y r yx x y r r ⎧⎪+=⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪⎛⎫⎪-+== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002,1,x y r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,【名师点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键 19．【答案】（1）22(1)(3)2x y -+-=;（2）l 的方程为1833y x =-+; POM △的面积为165. 【解析】（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--， 由题设知0CM MP ⋅=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=.20．【答案】（1）()()22129x y -++=；（2）存在直线1x =-和1y x =+.【解析】（1）圆1C 化为标准为()2239x y ++=，设圆1C 的圆心()13,0C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(),C a b ，则111CC l k k =-， 且1CC 的中点3,22a b M -⎛⎫⎪⎝⎭在直线1:21l y x =+上， ，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为()()22129x y -++=.（2）由OS OA OB BA =-=，所以平行四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥.要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB=，即：12120x x y y +=. ①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆()()22:129C x y -++=交于两点()2A - ()1,2B -.因为()())()·11220OAOB=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件.【名师点睛】在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.1．【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点A （2，0），所以d 的最大值为OA +1=2+1=3,故选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 2．【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△. 故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可. 3．【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．4．【答案】3【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 5．【答案】12【解析】由题意可得圆的标准方程为：()2211x y -+=， 直线的直角坐标方程为：()31y x -=-+，即20x y +-=，则圆心到直线的距离：2d ==，所以2AB ==11222ABC S ==△. 【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.6．【答案】[-【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围． 7．【答案】4【解析】因为||AB =，且圆的半径为，所以圆心(0,0)到直线30m x y ++=的距离为3=，则由|3=，解得3m =-，代入直线l 的方程，得3y x =+，所以直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．8．【答案】（1）证明略；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=.或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+.由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-. 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.9．【答案】（1）()()22611x y -+-=；（2）直线l 的方程为2－y +5=0或2－y －15=0；（3）22⎡-+⎣.【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M (6，7)，半径为5． （1）由圆心在直线=6上，可设()06,N y ．因为圆N 与轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，。

1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎦⎤π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 【答案】B 【解析】斜率k ＝－1a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π。

2．设A (－2,3)、B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞【答案】D3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )AB C D【答案】C【解析】当a ＞0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＞0，A 、B 、C 、D 都不成立；当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，A 、B 、C 、D 都不成立；当a ＜0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＜0，只有C 成立。

4．直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且它的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( ) A ．y ＝6x ＋1 B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1)【答案】D【解析】由tan α＝3可求出直线l 2的斜率 k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34， 再由l 2过点(1,0)即可求得直线方程。

5．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－12【答案】D【解析】当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12。

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.一、曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤 求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 三、两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.考向一考查曲线与方程的概念判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系：（1）曲线上的每个点都符合某种条件；（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.典例1 方程表示的曲线是A．一个圆和一条直线B．半个圆和一条直线C．一个圆和两条射线D．一个圆和一条线段【答案】C典例2 方程y=-对应的曲线是【答案】A【解析】将y=-平方得x2+y2=4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A.1．方程x 2＋y 2－2x +4y +5＝0表示的图形是 A ．一个点 B ．两条直线 C ．一个圆D ．一条直线与一个圆考向二 直接法求轨迹方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．典例3 已知坐标平面上一点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M ，且125MM MM =． （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为C ，过点(2,3)P -的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．【解析】（1）由12||5||MM MM =5=， 化简得2222230x y x y +---=，所以点M 的轨迹方程是22(1)(1)25x y -+-=， 该轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．（2）当直线l 的斜率不存在时，:2l x =-，此时所截得的线段的长为8=，2．在平面直角坐标系中，已知定点()0,2A -，()0,2B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-4，则动点P 的轨迹方程为A ．()22104y x x +=≠ B ．2214y x += C ．2214y x -= D ．()22124y x y -=≠± 3．设,x y ∈R ，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点(),P x y 的轨迹为除去x 轴上点的 A ．一条直线 B ．一个圆 C ．双曲线的一支D ．一个椭圆考向三 定义法求轨迹方程求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．典例4 已知圆A，圆B ：()22124x y -+=，动圆P 与圆A 、圆B 均外切. （1）求动圆P 的圆心的轨迹C 的方程；（2）过圆心B 的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求｜MN ｜的最小值. 【解析】（1）设动圆P 的半径为，则│PA │＝52r +，│PB │=12r +,4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为A ．224412125x y -= B ．224412521x y +=C ．224412521x y -= D ．224412125x y +=5．如果点(),M x y =（1）说明点M 的轨迹是什么曲线，并求出它的轨迹方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：2y kx =+交点M 的轨迹于不同的两点,A B ，求AOB △面积的最大值.考向四 相关点法求轨迹方程动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．典例5 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量，求动点Q 的轨迹方程.【解析】设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0). 因为，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0，2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝2y .又点M 在圆C 上，所以，即，所以动点Q 的轨迹方程为()2210416＋＝x y y ≠.典例6 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆的方程;(2)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,OPOM=e (e 为椭圆C 的离心率),求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.6．若动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为A．B．C．D．7．如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.考向五 参数法求轨迹方程若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法. 参数法求轨迹方程的步骤：（1）选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标． （2）得出动点M 的参数方程()()x f k y g k =⎧⎨=⎩.（3）消去参数k ，得m 的轨迹方程． （4）由k 的范围确定x ，y 的范围．典例7 如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1,A 2,…,A 9和B 1,B 2,…,B 9.连接OB i ,过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9).（1）求证:点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;（2）过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ,N ,若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1,求直线l 的方程. 【解析】解法一：（1）依题意,过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x =i ,B i 的坐标为(10,i ),所以直线OB i 的方程为y =x .B i 的坐标为(10,i ),所以直线OB i 的方程为y =x .由10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得P i 的坐标为(i , ).因为点P i 的坐标都满足方程x 2=10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2=10y . （2）同解法一.8．过点P 1(1,5)作一条直线交x 轴于点A ,过点P 2(2,7)作直线P 1A 的垂线,交y 轴于点B ,点M 在线段AB 上,且|BM |∶|MA |=1∶2,则动点M 的轨迹方程为 .考向六圆锥曲线中的对称问题圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点问题，该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.圆锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法.典例8 若在抛物线y2=2x上存在相异的两点关于直线l:y=m(x-2)对称,求m的取值范围.【解析】解法一：如图,9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，四点、、、中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：直线过定点.1．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是 A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C B ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上2．下列四组方程表示同一条曲线的是 A ．y 2=x 与y = B ．y =lg x 2与y =2lg x C ．12y x +-=1与lg(y+1)=lg(x-2) D ．x 2+y 2=1与|y|=3．方程x = A ．半个圆 B ．双曲线的一支 C ．一个圆 D ．双曲线4．表示的曲线一定不是A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线5．当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段的中点的轨迹方程是A ．B ．C ．D ．6．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是A ．221916x y -= B ．221916y x -= C ．()2213916x y x -=≤- D ．()2213916x y x -=≥ 7．设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为 A ． B ．C ．D ．8．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 满足，则点P 的轨迹方程为__________.9．由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，若120APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为__________． 10．已知双曲线的一支C :y =和直线l :y =kx ,若l 与C 有两个不同的交点A ,B ,则线段AB 的中点的轨迹方程为__________.11．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程.12．如图所示，已知(3,0)A -，,B C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB BP ⊥，12BC CP =，试求动点P 的轨迹方程．13．已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m ∈R .（1）求证：对于m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A B 、； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.14．已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点.（1）求曲线的方程；（2）若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长与短轴长之和为6，椭圆上任一点到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线AB ：y x m =+与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使AB ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.16．已知动圆M 恒过()1,0F 且与直线1x =-相切，动圆圆心M 的轨迹记为C ；直线1x =-与x 轴的交点为N ，过点N 且斜率为k 的直线l 与轨迹C 有两个不同的公共点A ，B ，O 为坐标原点． （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程，并求直线l 的斜率k 的取值范围；（2）点D 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，直线DA ，DB 分别与过()1,0F 且垂直于x 轴的直线交于P ，Q ，证明：OP OQ ⋅为定值，并求出该定值．17．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为2，短轴长为，为坐标原点，定点，点在已知椭圆上，动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点，求△AMN 的面积的最大值．1．（2011北京理科）曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a ． 其中，所有正确结论的序号是______________．2．（2017新课标全国II 理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．1．【答案】A 【解析】由题意得，则，∴方程表示的图形是点．故选A ．2．【答案】A【解析】设动点P 的坐标为(,)x y ，则由条件得22.4y y x x +-=-，即()22104y x x +=≠．所以动点P A ． 3．【答案】D4．【答案】B【解析】本题主要考查轨迹方程的求解.结合线段的中垂线的性质可知，|MA |=|MQ |,且|MC |+|MQ |=5，故有|MA |+|MC |=5，则可知动点到两个定点的距离和为定值5>|AC |=2，则可知点M 的轨迹就是椭圆，且2a =5，2c =2，结合椭圆的性质可知b 2=214,故其方程为224412521x y+=.5．【解析】（1=(),x y 与)(),的距离之和等于常数由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，且a c ==故轨迹方程为2213x y +=.（2y ，得()22131290k x kx +++=，∵()()22212361336360k kk∆=-+=->,∴21k >，121222129,1313k x x x x k k-+==++，12212213S x x k =⨯-==+，令0)t t =>，则221k t =+，∴26643423t S t t t==≤++，当且仅当t=，即k =时，S 取得最大值. 故AOB △面积的最大值为2. 6．【答案】B7．【解析】设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,｜AR ｜=｜PR ｜, 又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理，在Rt △OAR 中,,又,所以有,即,因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y ),R (x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点,所以1140,22x y x y ++==,代入方程,得22444100222x y x ++⎛⎫⎛⎫+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得x 2+y 2=56,这就是所求的点Q 的轨迹方程. 8．【答案】12x +15y -74=0【解析】设过点P 2的直线方程为y -7=k (x -2)(k ≠0),则过点P 1的直线方程为y -5=-(x -1),所以A (5k +1,0)，B (0,-2k +7).设M (x ,y ),则由|BM |∶|MA |=1∶2,得5134143k x k y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩,消去k ,整理得12x +15y -74=0.当k =0时,易得A (1,0),B (0,7),则M (,),也满足上述方程.故点M 的轨迹方程为12x +15y -74=0.9．【解析】（1）结合椭圆的几何特征，可得、、在椭圆上，将代入，得.故直线的方程为.（3）设，联立，消去y ，得，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,1414kb b x x x x k k -+=-=++.1．【答案】B【解析】由题意，曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解只满足点在曲线上，不能说明曲线上的点都是方程的解，即方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C ，所以答案B 正确. 2．【答案】D【解析】根据每一组曲线方程中x 和y 的取值范围,不难发现A,B,C 中各组曲线对应的x 或y 的取值范围不一致;而D 中两曲线的x 与y 的取值范围都是[-1,1],且化简后的解析式相同,所以D 正确.故选D.考点冲关又点在圆上，所以，故选择6．【答案】D【解析】由题意得动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，知轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c＝5，a＝3，∴b＝4，∴点P的轨迹方程是.故选D．∴点P的轨迹方程为22243x y +==⎝⎭．10．【答案】(x-)2-y 2=(x >2)【解析】设AB 的中点为M (x 0,y 0),联立y kx y =⎧⎪⎨=⎪⎩,得(k 2-1)y 2+2ky-2k 2=0,则y 0=,x 0=,消去k得-=x 0,因为2220201201kk k k ∆⎧⎪>⎪-⎪>⎨-⎪⎪->⎪-⎩,所以<k <1,得x 0>2,所以AB 的中点的轨迹方程是(x-)2-y 2=(x >2). 11．【解析】（1）圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，12．【解析】设(,)P x y ，(0,)B y '，(,0)C x '，则(,)BC x y ''=-，(,)CP x x y '=-，由12BC CP =，得1(,)(,)2x y x x y '''-=-，即3x x '=，2y y '=-，∴(0,)2y B -，(,0)3xC ． 又(3,0)A -，∴(3,)2y AB =-，3(,)2yBP x =．由AB BP ⊥，得0AB BP ⋅=，∴23304x y -=，得24y x =， 故动点P 的轨迹方程为24y x =．13．【解析】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -所以圆心C 到直线:120l mx y m -++==<所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点. （2）设中点为(),M x y ，14．【解析】（1）设点，由题知，，整理，得，故曲线的方程为.（2）由题意，知直线的斜率不为0，故可设：，，，设直线的斜率为，由题知，，，由，消去，得，所以，所以 .又因为点在椭圆上，所以，所以，为定值.15．【解析】（1）由题意，得24a =，226a b +=，又点M 也在直线y x m =+上，则455t t m =+，∴53t m =-， ∵25t <，∴295m <..同理AB=∵AB CD=，∴222AB CD=，∴2225t m-=，∴2459415m=<，∴存在实数m，使AB，此时m的值为.16．【解析】（1）因为动圆M恒过()1,0F且与直线1x=-相切，所以点M到()1,0F与到直线1x=-的距离相等，所以圆心M的轨迹C的方程为24y x=，17．【解析】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意可知22221ebc a b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，即22211cabc a⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得故椭圆的标准方程为.设，因为，所以，所以.又∵点在已知椭圆上，故()22212xy-+=为动点的轨迹方程．（2）椭圆的右焦点，设直线的方程是，与联立，可得，当且仅当，即时取到等号．故△AMN的面积的最大值是2.1．【答案】②③【解析】因为原点O 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确； 因为12212121211sin 1||22|2|△∠F PF S PF PF F PF PF PF a ≤==，即面积不大于212a ，所以③正确． 故填②③．2．【解析】（1）设00(,),(,)P x y M x y ，0(,0)N x ，则00(,),(0,)NP x x y NM y =-=．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．。

1．空间向量及其运算（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2．空间向量的应用（1）理解直线的方向向量与平面的法向量.（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2．空间一点M 的坐标（1）空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，记作(),,M x y z ，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 与有序实数组(,,)x y z 可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式①设点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 为空间两点，则,A B 两点间的距离121212||()()()AB x x y y z z =-+-+-. ②设点(),,P x y z ，则点(),,P x y z 与坐标原点O 之间的距离为222||OP x y z =++（2）中点公式设点(),,P x y z 为1111,),(P x y z ，2222,),(P x y z 的中点，则121212222x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩. 4．空间向量的有关概念二、空间向量的有关定理及运算1.共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 牢记两个推论：（1）对空间任意一点O ，点P 在直线AB 上的充要条件是存在实数t ，使(1)OP t OA t OB =-+或OP xOA yOB =+（其中1x y +=）.（2）如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使O P O A t =+a ，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式. 2.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使x y =+p a b .牢记推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC =++. 3.空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底. （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （3）0不能作为基向量. 4.空间向量的运算（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.（2）空间向量的坐标运算设123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，则112233(,,)a b a b a b ±=±±±a b ，123(,,)()a a a λλλλλ=∈R a ，112233a b a b a b ⋅=++a b ，112233,,()b a b a b a λλλλλ⇔=⇔===∈R ab b a ，1122330a b a b a b ⊥⇔⋅=++=a b a b ，==acos ,⋅==a ba b a b 三、利用空间向量解决立体几何问题 1.直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作l ，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l α⊥，则该直线l 的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作α,有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为(,,)x y z =α.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，根据定义建立方程组，得到0⋅=⎧⎨⋅=⎩a b αα，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线,l m 的方向向量分别为,l m ，平面,αβ的法向量分别为,αβ. （1）线线平行：若//l m ，则()λλ⇔=∈R lm l m ；线面平行：若//l α，则0⊥⇔⋅=l l αα； 面面平行：若//αβ，则()λλ⇔=∈R αβαβ.（2）线线垂直：若l m ⊥，则0⊥⇔⋅=l m l m ； 线面垂直：若l α⊥，则()λλ⇔=∈R ll αα；面面垂直：若αβ⊥，则0⊥⇔⋅=αβαβ. 3.利用空间向量求空间角设直线,l m 的方向向量分别为,l m ，平面,αβ的法向量分别为12,n n . （1）直线,l m 所成的角为θ，则π02θ≤≤，计算方法：cos θ⋅=l m l m； （2）直线l 与平面α所成的角为θ，则π02θ≤≤，计算方法：11sin θ⋅=l n l n ； （3）平面,αβ所成的二面角为θ，则0πθ≤≤，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝,〈〉AB CD ．如图②③，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝1212⋅n n n n ，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 4.利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 为空间两点，则,A B 两点间的距离||||(AB AB x == （2）点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为||||||AB BO ⋅=n n .考向一 空间直角坐标系对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来,通过坐标的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题(形)与代数问题(数)的结合.典例 1 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC 的坐标为________.【答案】()4,3,2-【解析】 如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB 的坐标为()4,3,2，所以()()14,0,0,0,3,2A C ,所以()14,3,2AC =-.1．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．考向二 共线、共面向量定理的应用1.判断两非零向量,a b 平行，就是判断λ=a b 是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线.2.证明空间三点P 、A 、B 共线的方法： ①PA PB λ=(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP OA t AB =+(t ∈R )； ③对空间任一点O ，(1)OP xOA y AB x y =++=． 3.证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法： ①MP xMA yMB =+；②对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++；③对空间任一点O ，OP xOM yOA zOB =++(x ＋y ＋z ＝1)； ④∥PM AB (或∥PA MB 或∥PB AM ).典例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且=2，F 在体对角线A 1C 上，且123A F FC =.求证：E ,F ,B 三点共线.【解析】设=a ,=b ,=c .∵=2,123A F FC =, ∴b ,112255A F AC ==(-)=25(+-)=25a +25b -25c . ∴1125EF A F A E -==a -415b -25c =25(a -23b -c ).又++=-23b -c +a =a -23b -c ,∴25EF EB =.∴E ,F ,B 三点共线.2．如图，已知、、、、、、、、为空间中的个点，且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，+AC AD mAB =，+EG EH mEF =，，.求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；（2）AC EG ∥； （3）OG kOC =.考向三 利用向量法证明平行问题1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.2.证明线面平行：（1）该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；（2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；（3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 3.证明面面平行：两个平面的法向量平行.典例3 如图,已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 、M 、N 分别是BC 、AE 、CD 1的中点,AD ＝AA 1＝a ,AB ＝2a .求证：MN ∥平面ADD 1A 1.【解析】以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A (a,0,0),B (a,2a,0),C (0,2a,0),D 1(0,0,a ),E (12a,2a,0),∵M 、N 分别为AE 、CD 1的中点, ∴M (34a ,a,0),N (0,a ,2a ).∴3,0(,)42a MN a =-. 取n ＝(0,1,0),显然n ⊥平面A 1D 1DA ,且·n ＝0,∴⊥n .又MN ⊄平面ADD 1A 1，∴MN ∥平面ADD 1A 1.3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： （1）FC 1∥平面ADE ； （2）平面ADE ∥平面B 1C 1F .考向四 利用向量法证明垂直问题1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．典例4 如图,已知正四棱锥V-ABCD 中,E 是VC 的中点, 正四棱锥的侧面VBC 为正三角形.求证:平面VAC ⊥平面EBD .【解析】如图，以V 在底面ABCD 内的射影O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz ,设VB =VC =BC =2a ,在Rt △VOC 中,VO =a ,∴V (0,0,a ),A (a ,0,0),C (-a ,0,0),B (0,a ,0),D (0,-a ,0),E (2-a ,0,2a ),则=(2-a ,a ,2a ),=(0,-2a ,0),=(-a ,0,-a ).∵·=a 2+0-a 2=0,·=0,∴⊥,⊥,即DE ⊥VC ,BD ⊥VC .∵DE ∩BD =D ,∴VC ⊥平面EBD . 又VC 平面VAC , ∴平面VAC ⊥平面EBD .典例5 如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =60°,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点.求证:（1）AE ⊥CD ; （2）PD ⊥平面ABE .【解析】（1）易知AB ,AD ,AP 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.设PA =AB =BC =1,则A (0,0,0),B (1,0,0),P (0,0,1). ∵∠ABC =60°, ∴△ABC 为正三角形,∴C (12,2,0),E (14,4,12).设D (0,y 0,0),由AC ⊥CD ,得·=0,即(12-12,y 0解得y 0,∴D ,0),∴=(12-又=(14,4,12),∴·=-++0=0,∴⊥,即AE ⊥CD .（2）方法一：由（1）知=(0,3,-1),∴·=0+43+12×(-1)=0,∴⊥,即PD ⊥AE .∵=(1,0,0),∴·=0,∴PD ⊥AB . 又AB ∩AE =A , ∴PD ⊥平面ABE . 方法二：由（1）知=(1,0,0),=(14,34,12). 设平面ABE 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·=0,n ·=0,得0110442x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩, 令y =2,则z =-,∴平面ABE 的一个法向量为n =(0,2,-).∵=(0,3,-1),显然n ,∴∥n ,∴⊥平面ABE ,即PD ⊥平面ABE.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，H 分别为11A B ，11B C ，1CC 的中点. （1）证明：BE AH ⊥；（2）在棱11D C 上是否存在一点G ，使得AG ∥平面BEF ？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.考向五 用向量法求空间角1.用向量法求异面直线所成的角 （1）建立空间直角坐标系； （2）求出两条直线的方向向量；（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为||cos ||||AC BD AC BD β⋅=.2.用向量法求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3.用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．典例6 如图,在五棱锥P ABCDE -中,PA ⊥平面ABCDE ,222PA AB AE BC DE =====,∠DEA = ∠EAB =∠ABC =90°.（1）求二面角P DE A --的大小; （2）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值.【解析】由题可知,以AB 、AE 、AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.则()()()()()0,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,1,0A E D P C . 设平面PDE 的法向量为(),,x y z =n ,又=(1,0,0),=(0,-2,2).由0220ED x EP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n ,得0x y z =⎧⎨=⎩,令y =1,得()0,1,1=n .（1）由于PA ⊥平面ABCDE ,则平面ADE 的一个法向量为=(0,0,2),于是cos<n ,>=APAP ⋅⋅n n=2, 所以<n ,>=45°,则二面角P DE A --的大小为45°. （2）由于=(2,1,-2), 所以cos<,n >=PC PC ⋅⋅n n=201121⨯+⨯+-⨯=6-.故PC 与平面PDE 所成角的正弦值为6.典例7 如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小； （2）证明：平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角A －CD －E 的余弦值.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz .设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12). （1）＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，于是cos 〈，〉＝BF DE BF DE＝＝，所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°.（2）由＝(12，1，12)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD . 又AD ∩AM ＝A ， 故CE ⊥平面AMD . 而CE ⊂平面CDE ， 所以平面AMD ⊥平面CDE .（3）设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则0CE DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u ，于是00x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，可得u ＝(1,1,1).又由题设，可知平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1). 所以cos 〈u ，v 〉＝＝3. 因为二面角A －CD －E 为锐角，5．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB =，160CBB ∠=.（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ； （2）求二面角1B AB C --的正弦值.考向六 用向量法求空间距离1.空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模．因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为求向量的模.2. 求点P 到平面α的距离的三个步骤：（1）在平面α内取一点A ，确定向量PA 的坐标． （2）确定平面α的法向量n .（3）代入公式||||PA d ⋅=n n 求解．典例8 如图,已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1A =5,AB =12,则直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离是A ．5B ．132C ．6013D ．8【答案】C【解析】∵B 1C 1∥BC ,且11B C ⊄平面A 1BCD 1,BC ⊂平面A 1BCD 1,∴B 1C 1∥平面A 1BCD 1，从而点B 1到平面A 1BCD 1的距离为所求距离.方法一：过点B 1作B 1E ⊥A 1B 于点E .∵BC ⊥平面A 1ABB 1,且B 1E ⊂平面A 1ABB 1,∴BC ⊥B 1E . 又BC ∩A 1B =B ,∴B 1E ⊥平面A 1BCD 1.在11Rt △A B B 中,B 1E=11116013A B B B A B ⨯==,∴直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离为6013. 方法二：以D 为坐标原点,,,的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则C (0,12,0),D 1(0,0,5),设B (x ,12,0),B 1(x ,12,5)(x ≠0),平面A 1BCD 1的法向量为n =(a ,b ,c ), 由n ⊥,n ⊥,得n ·=(a ,b ,c )·(-x ,0,0)=-ax =0,∴a =0,n ·=(a ,b ,c )·(0,-12,5)=-12b+5c =0,∴b =512c ,令c =12,则b =5,∴n =(0,5,12)为平面A 1BCD 1的一个法向量.又=(0,0,-5),∴点B 1到平面A 1BCD 1的距离d =16013B B ⋅=n n. 典例9 如图,直三棱柱111ABC A B C -中,AC =BC =1,AA 1=3,∠ACB =90°,D 为CC 1上的点,二面角1A A B D --的余弦值为（1）求证:CD =2;（2）求点A 到平面1A BD 的距离.【解析】（1）以C 为坐标原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系C xyz -,则()()()11,0,00,1,01,0,3、、A B A .设()0,0,D a .m =(1,1,0)是平面1A AB 的一个法向量,设(),,x y z =n 是平面1A BD 的法向量.=(1,0,3-a ),=(0,1,-a ),由·n =0,·n =0,得()30x a z +-=,0y az -=,取3x a =-,得y a =-,1z =-,即()3,,1a a =---n . 由题设,知cos ,|⋅====m n m n m n,解得a =2或a =1, 所以DC =2或DC =1.但当DC =1时,显然二面角1A A B D --为锐角,故舍去.综上,DC =2.（2）由（1）,知n =(1,-2,-1)为平面1A BD 的一个法向量,又=(0,0,3),所以点A 到平面1A BD 的距离d =1AA ⋅n n6．如图，在四棱锥O −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA =2，M ，N ，R 分别为OA ，BC ，AD 的中点，求直线MN 与平面OCD 的距离及平面MNR 与平面OCD 的距离.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，5,1,2,PB PD AB AP Q ====是CD 中点． （1）求点C 到平面BPQ 的距离； （2）求二面角A PQ B --的余弦值．考向七 用向量法求立体几何中的探索性问题1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量．典例10 如下图所示,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC ,BC ⊥AC ,BC =AC =2,AA 1=3,D 为AC 的中点.（1）求二面角C 1-BD -C 的余弦值;（2）在侧棱AA 1上是否存在点P ,使得CP ⊥平面BDC 1?并证明你的结论. 【解析】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系,则C 1(0,0,0),B (0,3,2),C (0,3,0),A (2,3,0),D (1,3,0),所以(0,3,2),(1,3,0).设n =(x 1,y 1,z 1)是平面BDC 1的法向量,则所以111132030y z x y +=⎧⎨+=⎩，令x 1=1,得n =(1,13-,12)是平面BDC 1的一个法向量,易知(0,3,0)是平面ABC 的一个法向量,所以cos<n ,11127736C C C C⋅-==-⋅⨯n n , 而二面角C 1-BD -C 为锐角,故其余弦值为27. （2）假设侧棱AA 1上存在一点P (2,y ,0)(0≤y ≤3),使得CP ⊥平面BDC 1. 因为(2,y -3,0),所以即()()3302330y y -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得y =3且y73, 所以方程组无解.则假设不成立,即侧棱AA 1上不存在点P ,使CP ⊥平面BDC1.典例11 已知四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形，，，，且，M 点为PC 的中点.（1）求证：.（2）在平面PAD 内找一点N ，使.【解析】（1）因为PD ⊥底面ABCD ,CD//AB ,CD ⊥AD ，所以以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz (如图所示).由于PD =CD =DA =2AB =2,所以D (0,0,0),B (2,1,0),C (0,2,0),P (0,0,2),M (0,1,1), 所以.因为平面PAD ,所以是平面PAD 的法向量,又因为,所以//平面PAD ，所以BM //平面PAD .（2）设N (x ,0,z )是平面PAD 内一点,则若MN ⊥平面PBD ,则，所以()210210z x ⎧-=⎨-=⎩，即121x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以在平面PAD 内存在点1,0,12N ⎛⎫⎪⎝⎭使得MN ⊥平面PBD.8．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.（2）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.1．向量()1,1,0=a ，()0,1,1=b ，()1,0,1=c ，()1,0,1=-d 中，共面的三个向量是 A ．a ，b ，c B ．b ，c ，d C ．c ，d ，aD ．d ，a ，b2．已知向量()()2,4,5,3,,x y ==a b 分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则 A ．6,15x y == B ．153,2x y ==C ．3,15x y ==D ．156,2x y ==3．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°4．如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为A BC ．5D ．355．如图所示，在直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB =90°,则点D 到平面ACE 的距离d 为A ．3B ．3C D ．6．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于 A ．23B 3C ．3D ．137．已知向量()1,0,1=-a ，()1,2,1=-b ，且k +a b 与23-a b 互相垂直，则k 的值是______________. 8．如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形,AC =2a ,BB 1=3a ,D 是A 1C 1的中点,点E 在棱AA 1上,要使CE ⊥平面B 1DE ,则AE =______________.9．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为______________.10．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，，//，，，．（1）求证：．（2）当二面角的体积．11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．若M，N分别为棱PD，PC 上的点，O为AC的中点，且AC=2OM=2ON．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3）求点N到平面ACM的距离．12．如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=AD=1,点F是PB的中点,点E在边BC 上移动.（1）求证:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;（2）BC(包括端点B,C)上是否存在一点E,使PD∥平面AEF?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.13．如图,矩形ABCD所在的平面和直角梯形CDEF所在的平面成60°的二面角,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,EF=3,CF=6,∠CFE=45°.（1）求证:BF∥平面ADE;（2）在线段CF上求一点G,使锐二面角B-EG-D的余弦值为14.14．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF DE=，点M为棱AE的中点.（1）求证：平面BMD ∥平面EFC ；（2）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.1．（2018新课标全国II 理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BCD2．（2018新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.3．（2018新课标全国II 理科）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．4．（2018新课标全国Ⅲ理科）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．（2）当三棱锥M ABC5．（2018江苏卷）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．6．（2018北京理科）如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB的中点，AB=BC ，AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B −CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．7．（2018天津理科）如图，AD BC ∥且AD =2BC ，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG =AD ，CD FG ∥且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面；（2）求二面角E BC F --的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.8．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.∵N 为CD 1的中点， ∴N (32，3，1)． ∵M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1，1，2)．由两点间距离公式，得|MN |＝2. 【名师点睛】本题考查空间直角坐标系的建立、点坐标的求法以及距离公式，建系时注意要利用两两垂直的三条线建系，由线段比例求坐标时，注意由坐标特征求，不要直接乘比例系数求坐标.建立空间直角坐标系，分别由比例关系求出点M 、点N 的坐标，由两点间的距离公式求出线段长度，即可得到结果. 2．【解析】（1）∵+AC AD mAB =，，∴,,AC AD AB 共面，即A 、B 、C 、D 四点共面． ∵+EG EH mEF =，，∴,,EG EH EF 共面，即E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-()k AD AB AD km k m k AB AC +=+==，∴AC EG ∥.（3）()OG OE EG OA AC OA k k AC k OC k =+=+=+=.3．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系D −xyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)，所以()1021FC =，，，()200DA =，，，()021AE ＝，，.（1）设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则1DA ⊥n ，1AE ⊥n ，即11111·20·20DA x AE y z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，，n n得4．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设1AB =，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，11,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭， 10,1,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,2AH ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，10,,12BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0AH BE ⋅=， BE AH ∴⊥.5．【解析】（1）取BC 的中点O ，连接1,OA OB ， 因为底面ABC 是边长为2的正三角形， 所以OA BC ⊥，且OA =因为13BB =，160CBB ∠=，1OB =，所以222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯=，所以1OB =，又因为1AB =所以2221110OA OB AB +==，所以1OA OB ⊥，所以11,2AB ⎛= ⎝⎭，()1,AB =-，()1,AC =， 设()1111,,x y z =n 为平面1ABB 的法向量，则11100AB AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即111110,1022x x z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =，得()1=n ；设()2222,,x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则22100AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即222220,102x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令21y =，得213⎫=⎪⎭n .所以121212131cos ,-++⋅===n n n n n n 所以二面角1B AB C --37= 【名师点睛】利用空间向量解答立体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 6．【解析】因为M ，R 分别为AO ，AD 的中点，所以NC =(0，1，0)，OD =(0，2，−2)，CD =(−2，0，0)，设平面OCD 的法向量为n =(x ，y ，z )，则·220·20OD y z CD x ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩n n ，令z =1，得n =(0，1，1)为平面OCD 的一个法向量.所以点N 到平面OCD 的距离d =|NC ·n n |=2， 所以直线MN 与平面OCD 的距离、平面MNR 与平面OCD的距离都等于2. 7．【解析】∵正方形边长1,2AB PB PD AP ====，∴222222,PB PA AB PD PA AD =+=+， ∴,PA AB PA AD ⊥⊥， ∴PA ⊥平面ABCD ，∴分别以AB AD AP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（2）设平面APQ 的一个法向量为()2222,,x y z =n ，则22222220·0120·02z AP x y z PQ =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩n n ，令22x =，得()22,1,0=-n ，∴12121230cos ⋅===n n n ,n n n ，∴二面角A PQ B --【方法点晴】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离.8．【解析】（1）取AD 的中点O ，连接PO ，CO .因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD . 又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD . 因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin |cos |PB PB PBθ⋅==,n n n =1113211134--=++⨯. （2）假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AMAPλ=，M （0，y 1，z 1）， 由（1）知，A （0，1，0），P （0，0，1），B （1，1，0），()011AP =-,,，()1101AM y z =-,,， 则有AM AP λ=，可得M （0，1﹣λ，λ）， ∴()1BM λλ=--,,， ∵BM ∥平面PCD ，1112⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,n 为平面PCD 的法向量， ∴0BM ⋅=n ，即102λλ-++=，解得14λ=． 综上，存在点M ，即当14AM AP =时，使得BM ∥平面PCD ． 【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.1．【答案】D【名师点睛】本题考查了判断空间向量是否共面的问题，属于基础题．假设三向量共面，根据共面定理，得出向量的线性表示，列出方程组，求出方程组的解，即可判断这组向量是否共面．2．【答案】D【解析】12l l∥，∴存在实数k使得k=b a,即()()3,,2,4,5x y k=,3245kx ky k=⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，解得156,2x y==，故选D.【名师点睛】本题主要考查空间向量共线的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题. 3．【答案】C【解析】∵两平面的法向量分别为(0,1,0),(0,1,1),==m n∴两平面所成的二面角与,m n相等或互补，cos2⋅===⋅,m nm nm n∴45=︒,m n.故两平面所成的二面角为45°或135°，故选C．【名师点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中一定要注意两平面所成的二面角与,m n相等或互补，属基础题.4．【答案】A【解析】设CA =2,则()()()()()110,0,0,2,0,0,0,0,1,0,2,0,0,2,1C A B C B ,可得向量=(-2,2,1),=(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos<,202211-⨯+⨯+⨯-==,故选A.5．【答案】B6．【答案】A【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.利用空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 7．【答案】115【解析】向量()1,0,1=-a ，()1,2,1=-b ，∴()1,2,1k k k +=--+a b ，()235,6,5-=--a b ，k +a b 与23-a b 互相垂直，∴()()()()1526150k k -⋅+⋅-+-+⋅-=，解得115k =. 【名师点睛】先由向量的坐标运算求k +a b 与23-a b ，再由它们互相垂直列方程求出k 的值.空间两个向量垂直的充要条件：设()123,,a a a =a ，()123,,b b b =b ，则11223300a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔⋅+⋅+⋅=a b a b . 8．【答案】a 或2a【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则B 1(0,0,3a ),C (0,a ,0).设点E 的坐标为(a ,0,z ),则=(a ,-a ,z ),=(a ,0,z-3a ).由⊥,得2a 2+z 2-3az =0,解得z =a 或2a ,即AE =a 或2a .9．【名师点睛】建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．建立空间直角坐标系，设出点F，D的坐标，求出向量GD,EF，利用GD⊥EF求得关系式，然后可得到DF长度的表达式，最后利用二次函数求最值．10．【解析】（1）因为，平面⊥平面，，设平面的法向量为()1,,1x y =n ，则由1100EC ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即020x m x y m -=⎧⎨-+-=⎩，得，则1n . 由（1）知平面，所以平面的法向量为()20,1,0FE ==n ,121212cos ,3⋅〈〉===n n n n n n ，,所以11111123323△A EFC F AEC ACE V V EF S --==⋅=⨯⨯⨯⨯=.11．【解析】（1）AC=2OM，AM⊥MC.则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).，,设平面ACM的法向量为n=(x，y，z)，则有240 220 x yy z+=⎧⎨+=⎩，令=1，则n=(–2，1，–1)．12．【解析】（1）以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),P (0,0,1),F (0,12,12),D (1,0,0),∴=(0,12,12), 设BE =a ,则E (a ,1,0),=(a ,1,-1).∵·=(a ,1,-1)·(0,12,12)=0,∴PE ⊥AF , ∴无论点E 在BC 边的何处,都有PE ⊥AF . （2）假设存在点E ,使PD ∥平面AEF , 设BE =a (0≤a ≤1),则E (a ,1,0),=(a ,1,0).∵PD ∥平面AEF ,=(1,0,-1),∴设=λ1+λ2,即(1,0,-1)=λ1(a ,1,0)+λ2(0,12,12),即11221102112a λλλλ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩,解得12112a λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩,∴BC 上存在一点E ,且E 在C 点时,PD ∥平面AEF .13．【解析】（1）因为BC ∥AD ,AD ⊂平面ADE ,BC ⊄平面ADE ,所以BC ∥平面ADE,设G (3,t ,0),-1≤t ≤5,则=(-3,2,-),=(0,t ,-).14．【解析】（1）连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ，易知N 为AC 的中点，∴MN EC ∥.∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴MN ∥平面EFC .∵,BF DE 都垂直于底面ABCD ， ∴BF DE ∥. ∵BF DE =，∴四边形BDEF 为平行四边形， ∴BD EF ∥.∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴BD ∥平面EFC . 又∵MNBD N =，∴平面BDM ∥平面EFC .（2）由已知，DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形. ∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -.【名师点睛】（1）本题主要考查空间直线和平面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象及推理转化能力.（2）直线和平面所成的角的求法：方法一（几何法）：找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影，作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二（向量法）：sinABABα⋅=nn，其中AB是直线l的方向向量，n是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.1．【答案】C【名师点睛】先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出直线的方向向量或平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 2．【解析】（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE 又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF .可得322PH EH ==. 则33(0,0,0),(1,,0),(1,22H P D DP --=HP =为平面ABFD 的法向量.。

（1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.（1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b =0,c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离.（2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长121||A y k x-+-=. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a-.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a.（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (x 0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0p k y =.考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0. 2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1 已知椭圆，直线:y ＝x ＋m ．(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；(2)若与椭圆相交于P ,Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．典例2 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ．（1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求OAB △的面积．【解析】（1）由题意知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，1．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点； （2）有一个公共点； （3）没有公共点．考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例 3 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程； （2）若，求x AB的最小值．∴，即，∴，∴，，典例4 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同的两点，，且，若点满足，求的值．【解析】（1）由已知得，则，又，∴，∴椭圆的方程为221 124x y+=．（2）由221124y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得①.∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，得，设、，则，，当时，， 此时，线段的中垂线方程为，即，令，得．当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．2．直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点． （1）当2a =时，求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数a 的值．考向三圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5 如图，已知点E(m,0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；（2）若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．典例6 已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2与椭圆E 交于不同的两点A ,B .（1）直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由； （2）求△ABM 的面积的最大值.【解析】（1）因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =c ,a =2,所以a =2,b =,所以椭圆E :+=1,点M (0,).将直线l :y =kx+2代入椭圆E 的方程,整理得(3+4k 2)x 2+16kx+36=0. (*)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0,所以k ∈(-∞,-)∪(,+∞),x 1+x 2=x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·k MB(121212kx kx x x +=()122123x x k x x ++=+2222233493613636434k k k k k⎛⎫-⋅+ ⎪+-⎝⎭=+=+=+,3．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=2.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线:l y kx m=+与双曲线C相交于,A B两点（,A B均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标.4．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.1．直线=与椭圆=的位置关系为A．相交B．相切C．相离D．不确定2．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为A．B．C．D．3．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则A．B．16C．32 D．4．若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率A．B．C．D．5．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若2AB BC=,则双曲线的渐近线方程为A．(+1)x+y=0 B．(+1)y-x=0C．(+1)x±y=0 D．(+1)y±x=06．已知O是坐标原点，F是椭圆+=1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点，则cos∠MON的值为A．513B．513-C D．7．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A．10 B．9C．8 D．78．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为A ．221189x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．2214536x y +=9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为 A ． B ． C ．D ．10．过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则A ．2B ．3C ．D ．11．若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x =D ．y 2=x13．已知椭圆C :+=1,过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ,B ,若=2,则直线l 的斜率为A ．114±B ．114C ．14±D ．1414．若直线y =kx -1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点,则k 的值为_________.15．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆C ：22184y x +=的下焦点，交椭圆C 于A ，B 两点，则弦AB 的长等于__________．16．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.17．直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．18．过抛物线C :y 2=x 上一点A (1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P ,Q (异于点A )两点,则直线PQ 恒过定点_________.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距是．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，5CD =，求k 的值．20．已知抛物线上的点P 到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程； （2）若的面积为，求直线的方程.21．设A 、B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为． （1）求双曲线的方程；（2）已知直线2y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D 使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．22．已知抛物线22(0)y px p =>上的点(3,)T t 到焦点F 的距离为4．（1）求t ，p 的值；（2）设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．23221yb-=（0a>，0b>）上，且双曲线的一条渐近线y+=．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A B、两个不同的点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．24．已知椭圆以，为焦点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，求的取值范围；（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由.25．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 不同的两点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求证：12λλ+为定值．26直线:0l x y -+=与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为k 1、k 2，且124k k +=，证明：直线AB 过定点1(,1)2--．1．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．82．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23 B ．12 C ．13D ．143．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．44．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________________．5．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．6．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．8．（2018北京理科）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．9．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1,)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．10．（2018天津理科）设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．12．（2017新课标全国I理科）已知椭圆C：22221()0 x ya b a b+=>>，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1），P4（1C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，由已知得22,c b a ==又222a b c +=，解得2,1a b ==，所以双曲线的标准方程为2214x y -=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222(14)84(1)0k x mkx m ---+=，则222212221226416(14)(1)08144(1)14m k k m mk x x k m x x k ∆⎧⎪=+-+>⎪⎪+=⎨-⎪⎪-+=⎪-⎩， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++=222414m k k--，4．【解析】（1）由题意知，右焦点，即，且，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，易知，所以直线. 令，可知：,1．【答案】A【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A．2．【答案】D【解析】∵双曲线的渐近线方程为y x=±，∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点；当k≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点.把1y kx=-代入得22(1)250k x kx-+-=，令22420(1)0k k∆=+-=，解得k=或k=﹣（舍去）．∴直线与双曲线的右支有两个交点时，1＜k＜．故选D．3．【答案】C【解析】由题意知，AB所在直线的方程为，联立消元得，设，则，所以，故选C．4．【答案】B5．【答案】C【解析】由题意知直线过点A(a,0),且斜率k=tan 135°=-1,则直线的方程为x+y-a=0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B(,),C(,-),则有22222222(,)a b a bBCa b a b=---,(,)ab abABa b a b=++-.因为,所以222 ab ba b a b-=+-,化简得+1,则双曲线的渐近线方程为(+1)x ±y =0.故选C.6．【答案】B【解析】由题意,a 2=4,b 2=3,故c ===1.不妨设M (1,y 0),N (1,-y 0),所以+=1,解得y 0=±32, 所以|MN |=3,|OM |=|ON=.由余弦定理知22222235cos 213OM ON MNMON OM ON+-+-∠===-,故选B. 7．【答案】B8．【答案】A【解析】由题意设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得12121222120x x y y y y a x x b+-++⨯=-；因为AB 的中点坐标为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-；因为1212101132AB y y k x x ---===--，所以2221202a b-+⨯=，所以222a b =；因为3c =2218,9a b ==．所以E 的方程为221189x y +=．故选A ．9．【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为：，则220 14bx ay x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得x y ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得222244443a b a b +=+，即，解得．故选B ．10．【答案】B11．【答案】B【解析】联立方程得，消去y 化简得，由题意得.故该椭圆离心率的取值范围是，故选B ．12．【答案】C是23y x =,选C. 13．【答案】C【解析】由题意可得,直线l 的斜率存在且不为0,不妨设直线l :y =k (x-1),则由2228y kx k x y =-⎧⎨+=⎩消去y 化简得,(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-8=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由根与系数的关系可得x 1+x 2=22412k k +,x 1x 2=222812k k-+. 因为=2,所以x 1+2x 2=3,所以x 2=223212k k++,x 1=,所以x 1x 2=·,化简得k 2=,解得k =±,故选C.14．【答案】-1或0【解析】当k =0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;当k ≠0时,将直线方程与抛物线方程联立得214y kx y x=-⎧⎨=⎩,得y 2-y -=0,因而Δ=+=0,即k =-1. 从而k =-1或0.16．【答案】【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程，整理得，∵渐近线与抛物线相切， ，即.故答案为. 17．【答案】【解析】设，中点，则，把点代入椭圆的方程，整理得，两式相减得()2222121202x x y y -+-=，整理得()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+， 即.18．【答案】(2,-1)19．【解析】（1）由题意得2c =，所以22c =，又c a =，所以23a =，21b =， 所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，将2y kx =+代入2213x y +=，整理得22(13)1290k x kx +++=，所以22(12)36(13)0k k ∆=-+> ①，1221213k x x k +=-+，122913x x k ⋅=+，又CD =1212()y y k x x -=-，=， 又22221212122221236()()4(13)13k x x x x x x k k -=+-=-++， 代入上式，整理得42712270k k --=，即22(79)(3)0k k +-=，解得297k =-（舍去）或23k =，即k =，经验证，k =故k = 20．【解析】（1）设，由定义知，，，故抛物线的方程为.（2）设，由（1）知.若直线的斜率不存在，则方程为，故直线的方程为或.21．【解析】（1）由实轴长为得a =渐近线方程为y x =，即0b x ±=，=，又2222,3c b a b =+∴=，所以双曲线的方程为221123x y -=．（2）设112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ， 则120120,x x tx y y ty +=+=，由21222238401123y x x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒-+=⇒+=⎨⎪-=⎪⎩所以1212()4123y y x x +=+-=，所以003x y =又22001123x y -=，所以003x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以4t =，所以D ．22．【解析】（1）由抛物线的定义得，342p+=，解得2p =，23．【解析】（1）由题意知，22121a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．因此，所求双曲线C 的方程是，即2231x y -=． （2）∵直线l 过点(0,1)且斜率为k ，∴直线l 的方程为1y kx =+．由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得22(3)220k x kx ---=．∵直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，∴22230(2)4(3)(2)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=---->⎪⎩，解得((3,3)(3,6)k ∈-．（3）设直线l 与双曲线C 的交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由（2）可得1221222323k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，24．【解析】（1）设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、、.由题设知：. 由，得，则.∴椭圆的方程为.（2）过点，斜率为的直线：，即：.与椭圆的方程联立，消去得①， 由与椭圆有两个不同的交点，知，解得2k <-或2k >. ∴k 的取值范围是2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，可知1x 、2x 是①的两根，∴不存在满足题设条件的.25．【解析】（1）由21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得214p =，则2p =.所以抛物线1C 的标准方程为24y x =.下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上，可解得1b c ==，则a =故椭圆2C 的标准方程为2212y x +=. （2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(0,)N k -．由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=，则216160k ∆=+>，21212224,1k x x x x k ++==. 由1NA AF λ=，2NB BF λ=，得111(1)x x λ-=，222(1)x x λ-=， 整理得121212,11x xx x λλ==--， 故12121212121212()21111()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 故12λλ+为定值1-.26．【解析】（1，则椭圆的离心率为ce a==，此时直线AB 的方程为12x =-，显然过点1(,1)2--． ②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，易知1m ≠±．设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=， 则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+.（1）∵124k k +=，∴1212114y y x x --+=， 即1212114kx m kx m x x +-+-+=，即12122(1)4x x k m x x ++-=.把（1）代入得21km k m -=+，则2(1)k m =+，故12km =-. 则直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-， 故直线AB 过定点1(,1)2--．1．【答案】D2．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP 的2tan PAF ∠=2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 3．【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得(,3)M，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．4．【答案】2【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+，取AB 的中点00(,)M'x y ，分别过点A ，B 作准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B'，因为90AMB ∠=︒，所以111||||(||||)(||||)222MM 'A BAF BF A A B B '==+=+'，因为M'为AB 的中点，所以MM'平行于x 轴，因为1()1,M -，所以01y =，则122y y +=，所以2k =．5．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，6．【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A的坐标为(1,2或(1,)2-，所以AM的方程为2y x =-+2y x =（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++，则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．7．【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x ===-，同理2||22x FB =-，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列．8．【解析】（1）因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩可得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-．9．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>． 又点13,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C 的方程为2214x y +=． 因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此点P 的坐标为．10．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2A Q =．由4AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以k 的值为111228或． 11．【解析】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，:2l x my =+．由（1）可得12124,4y y x x =-=． 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M圆M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=． 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.12．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点．又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．。