20第五章(二

第五章二元一次方程组易错点剖析易错点一对二元一次方程（组）的定义理解不彻底【例1】下列方程中，是二元一次方程的是（）.A. 3x−2y=4zB. 6xy+9=0C. 1x +4y=6 D. 4x=y−24本题容易受6xy+9=0中的xy影响导致误选，二元一次方程（组）必须符合以下三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，注意xy的次数是2；（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.跟踪练习1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）.A. xy=2B. 3x+4y=0C. x+1y=2 D. x2+2y=4易错点二解方程组时不注意项的符号导致错误【例2】解方程组：{x−2y=2,①x−y=−2.②用加减消元法中减法消元时，易出现符号错误，所以要特别细心.跟踪练习2. 解方程组：{2x−5y=−3,①2x−3y=−1.②易错点三不理解待定系数法而出错【例3】已知一次函数图象经过点(0,3)，(3,0)，写出它的表达式： .本题容易把待定的系数与变量混为一谈，直接误认为k=3，b=3，做出错误的答案.因此，用待定系数法解题，要牢牢把握准所求的系数.跟踪练习3. 已知一次函数的图象经过点(1,3)和点(−2,−3)，则此一次函数的表达式是 .易错点四列方程组解应用题时不能正确理解题意【例4】现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水a kg和b kg，将其混合成18%的盐水100kg，求a，b的值.在列方程时，对背景不熟而出错，如：列方程12%a+20%b=100×18 %，方程左边表示混合之前两种食盐水的含盐量之和，而右边表示最后盐水中的含盐量.因此，解题时，要深刻理解题意，找准等量关系.跟踪练习4. 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.重难点突破重难点一 二元一次方程（组）的有关概念注意理解定义中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数，且“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.1. 下列四个方程中是二元一次方程的是（ ）.A. 4x−1=xB. x +1x =2C. 2x−3y =1D. xy =82. 已知2x 3−k +y =0是二元一次方程，那么k 的值为（ ）.A. 3 B. 0 C. 2 D. 43. 在下列方程组：①{x +y =5,3y−x =1,②{xy =1,x +2y =3,③{1x +1y =1,x +y =1,④{x =1,y =3中，是二元一次方程组的是（ ）.A. ①③B. ①④C. ①②D. 只有①4. 已知3x a−1−5y b +2=1是关于x ，y 的二元一次方程，则a +b = .5. 若方程组{x +y ∣a∣−2=0,(a−3)x +9=0是二元一次方程组，求a 的值.重难点二 求解二元一次方程组解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法，核心思想是“消元”.6. 方程组{x +y =5,x−y =1的解是（ ）.A. {x =3,y =2 B. {x =−2,y =−3 C. {x =4,y =1 D. {x =4,y =37. 方程组{x +y =10,2x +y =16的解是（ ）.A. {x =7,y =3B. {x =6,y =4C. {x =5,y =5D. {x =1,y =98. [2023·深圳期末]解方程组：（1） {y =2x ,x +y =12；（2） {3x +5y =21,2x−5y =−11.重难点三 二元一次方程组的应用利用二元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：（1）审，（2）设，（3）找，（4）列，（5）解，（6）答.9. 某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：甲食材乙食材每克所含蛋白质0.3单位0.7单位每克所含碳水化合物0.6单位0.4单位若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（）.A. {0.3x+0.6y=21,0.7x+0.4y=40 B. {0.6x+0.3y=21, 0.4x+0.7y=40C. {0.3x+0.7y=21,0.6x+0.4y=40 D. {0.3x+0.7y=40, 0.6x+0.4y=2110. [2023·东莞校考]某车间有60名工人，每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设分配x 人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组为某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示：购买商品A的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元第一次购物65 1 140第二次购物37 1 110第三次购物98 1 062（1）在这三次购物中，第次购物打了折扣；（2）求出商品A，B的标价.12. 某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车.据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元.（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案.重难点四二元一次方程与一次函数的综合一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.13. 如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，则关于x，y 的二元一次方程组{kx−y=−b,y−x=2的解是（）.A. {x=3,y=4 B. {x=2,y=4 C.{x=1.8,y=4 D.{x=2.4,y=414. 若关于x，y的二元一次方程组{y=kx+b,y=mx+n的解为{x=2,y=5,则一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为（）.A. (2,5)B. (5,2)C. (−2,−5)D. (1,5)15. 如图是函数y=−x+4与y=x+2的图象，则方程组{y=−x+4,y=x+2的解是 .16. 如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,b)，分别与x 轴交于A，B两点.（1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组{2x−y=−1,mx−y=−4的解；（2）求△ABP的面积；（3）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD的长为2，直接写出a的值.第五章二元一次方程组易错点剖析易错点一对二元一次方程（组）的定义理解不彻底跟踪练习1．B本题容易受6xy+9=0中的xy影响导致误选，二元一次方程（组）必须符合以下三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，注意xy的次数是2；（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.【例1】 D易错点二解方程组时不注意项的符号导致错误跟踪练习2．解：①−②，得−2y=−2，解得y=1，把y=1代入②，得2x −3=−1，解得x=1，所以原方程组的解为{x=1,y=1.用加减消元法中减法消元时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例2】解：①−②，得−y=4，∴y=−4.把y=−4代入②，得x −(−4)=−2，解得x=−6，所以原方程组的解为{x=−6,y=−4.易错点三不理解待定系数法而出错跟踪练习3．y=2x+1本题容易把待定的系数与变量混为一谈，直接误认为k=3，b= 3，做出错误的答案.因此，用待定系数法解题，要牢牢把握准所求的系数.【例3】y=−x+3易错点四列方程组解应用题时不能正确理解题意跟踪练习4．解：设去年外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，由题意得{x−y=20,(1+30%)x+(1+20%)y=226,解得{x=100, y=80,所以(1+30%)x=(1+30%)×100=130，(1+20%)y=(1+20%)×80=96.答：该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人.在列方程时，对背景不熟而出错，如：列方程12%a+20%b= 100×18%，方程左边表示混合之前两种食盐水的含盐量之和，而右边表示最后盐水中的含盐量.因此，解题时，要深刻理解题意，找准等量关系.【例4】解：根据题意得{a+b=100,12%a+20%b=100×18%,解得{a=25, b=75.答：a，b的值分别为25，75.重难点突破重难点一二元一次方程（组）的有关概念1．C2．C3．B4．15．解：∵方程组{x+y∣a∣−2=0,(a−3)x+9=0是二元一次方程组，∴|a|−2=1且a−3≠0，∴a=−3．重难点二求解二元一次方程组6．A7．B8．（1）解：{y=2x①,x+y=12②,将①代入②,得3x=12，解得x=4.将x=4代入①，得y=8，∴原方程组的解为{x=4,y=8.（2）{3x+5y=21①,2x−5y=−11②,①+②，得5x=10，解得x=2，将x=2代入①，得6+5y=21，∴5y=15，解得y=3，∴原方程组的解为{x=2,y=3.重难点三二元一次方程组的应用9．C10．{x+y=60,20x=2×14y11．（1）三解：∵第三次购买的数量最多，总费用最少，∴小明以折扣价购买商品A，B是第三次购物．故答案为三．（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得{6x+5y=1140,3x+7y=1110,解得{x=90,y=120.答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．12．（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元．依题意，得{2x+3y=80,3x+2y=95,解得{x=25, y=10,答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元，10万元．（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，m<n，依题意，得25m+10n=200，∴m=8−25n.∵m，n均为正整数，∴n为5的倍数，∴m=6，n=5或m=4，n=10或m=2，n=15，∵m<n，∴m=6，n=5不合题意，舍去，∴共有2种购买方案.方案一：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆；方案二：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆.重难点四二元一次方程与一次函数的综合13．B14．A15．{x=1,y=316．（1）解：把点P(1,b)的坐标代入y=2x+1，得b=2+1= 3，把点P(1,3)的坐标代入y=mx+4，得m+4=3，∴m=−1.∵直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,3)，∴关于x,y的方程组{2x−y=−1,mx−y=−4的解为{x=1, y=3.（2）∵l1：y=2x+1，l2：y=−x+4，∴A (−12,0)，B(4,0)，∴AB=4−(−12)=92.设点P到x轴的距离为ℎ，则ℎ=3，∴S △ABP =12AB ⋅ℎ=12×92×3=274．（3） 直线x =a 与直线l 1 的交点C 的坐标为(a ,2a +1)，与直线l 2 的交点D 的坐标为(a,−a +4)．∵CD =2，∴|2a +1−(−a +4)|=2，即|3a−3|=2，∴3a−3=2 或3a−3=−2，∴a =53或a =13．。

人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》解答题常考题训练（二）1．如图，BC⊥AE于点C，∠A+∠BCD＝90°，∠B＝55°，求∠ECD的度数．2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是度．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是．（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．3．如图，已知AB∥DE．∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，求∠C的度数．4．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．5．已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）试说明GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．6．如图，已知AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°，求∠BCP的度数．7．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．（1）若α＝30°时，且∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；上方，且满足∠BAE＝100°，∠BAE：∠CAE＝5：1，求a的值；（2）若点E运动到l1（3）若∠BAE：∠CAE＝n（n＞1），求∠CAE的度数（用含n和α的代数式表示）．8．已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM ∥FN．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．9．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．（1）求证：BE∥CF；（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．10．如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB点F．（1）直接写出图中与∠BAC构成的同旁内角．（2）请说明∠A与∠EDF相等的理由．（3）若∠BDE+∠CDF＝234°，求∠BAC的度数．11．如图，AB∥DG，AD∥EF．（1）试说明：∠1+∠2＝180°；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝138°，求∠B的度数．12．探究：如图①，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B+∠F．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．解：∵AB∥CD，（已知）∴∠B＝∠1．（）同理可证，∠F＝∠2．∵∠BCF＝∠1+∠2，∴∠BCF＝∠B+∠F．（）应用：如图②，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小为度．拓展：如图③，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝度．13．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．14．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．15．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．16．已知：MN∥PQ，点A，B分别在MN，PQ上，点C为MN，PQ之间的一点，连接CA，CB．（1）如图1，求证：∠C＝∠MAC+∠PBC；（2）如图2，AD，BD，AE，BE分别为∠MAC，∠PBC，∠CAN，∠CBQ的角平分线，求证∠D与∠E互补；（3）在（2）的条件下，如图3，过点D作DA的垂线交PQ于点G，点F在PQ上，∠FDA ＝2∠FDB，FD的延长线交EA的延长线于点H，若3∠C＝4∠E，猜想∠H与∠GDB的倍数关系并证明．17．综合与探究如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠ABN、∠CBD的度数；根据下列求解过程填空．解：∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°∵∠A＝60°，∴∠ABN＝，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝，（）∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝．（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．18．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：∠1+∠4＝180°．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC．（）．∵∠ABC＝∠ADC，（）∴∠1＝∠2（）．∵∠1＝∠3（已知）∴∠2＝∠．（等量代换）∴AB∥CD，（）．∴∠1+∠4＝180°．（）19．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE＝∠E．求证：AD平分∠BAC．参考答案1．解：因为BC⊥AE，所以∠BCE＝∠BCD+∠ECD＝90°，因为∠BCD+∠A＝90°，所以∠DCE＝∠A，所以CD∥AB，所以∠BCD＝∠B，因为∠B＝55°，所以∠BCD＝55°，所以∠ECD＝90°﹣55°＝35°．2．解：（1）①∵∠DCE＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30；（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝180°，故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；（3）①∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°，故答案为：45°；②∵BC∥DA，∴∠A+∠ACB＝180°，又∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠BCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．3．解：如图，延长ED到M，交BC于F，∵AB∥DE，∠ABC＝70°，∴∠MFC＝∠B＝70°，∵∠CDE＝140°，∴∠FDC＝180°﹣140°＝40°，∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝70°﹣40°＝30°．4．解：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB+∠DAC＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝20°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB，∴∠FEC＝20°．5．解：（1）∵EF∥CD∴∠1+∠ECD＝180°又∵∠1+∠2＝180°∴∠2＝∠ECD∴GD∥CA（2）由（1）得：GD∥CA，∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，∵DG平分∠CDB，∴∠2＝∠BDG＝40°，∴∠ACD＝∠2＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．6．解：∵AB∥CD∥PN，∴∠BCD＝∠ABC＝50°，∠DCP＝180°﹣∠CPN＝180°﹣150°＝30°，∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝50°﹣30°＝20°．7．解：（1）∵α＝30°，AC∥BD，∴∠CBD＝30°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABE＝∠CBD＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABE﹣α＝180°﹣30°﹣30°＝120°，又∵∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠BAC＝＝60°；（2）根据题意画图，如图1所示，∵∠BAE＝100°，∠BAE：∠CAE＝5：1，∴∠CAE＝20°，∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝100°﹣20°＝80°，∵AC∥BD，∴∠ABD＝180°﹣∠BAC＝100°，又∵BC平分∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD＝×100°＝50°，∴α＝∠CBD＝50°；（3）①如图2所示，∵AC∥BD，∴∠CBD＝∠ACB＝α，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，又∵∠BAE：∠CAE＝n，∴（∠BAC+∠CAE）：∠CAE＝n，（180°﹣2α+∠CAE）：∠CAE＝n，解得∠CAE＝；②如图3所示，∵AC∥BD，∴∠CBD＝∠ACB＝α，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，又∵∠BAE：∠CAE＝n，∴（∠BAC﹣∠CAE）：∠CAE＝n，（180°﹣2α﹣∠CAE）：∠CAE＝n，解得∠CAE＝．综上∠CAE的度数为或．8．（1）证明：∵EM∥FN，∴∠EFN＝∠FEM．∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．∴∠CFE＝∠BEF．∴AB∥CD．（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠CFN，∵∠AEF＝2∠CFN，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴∠CFN＝∠EFN＝45°，∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．9．（1）证明：方法一：∵∠1＝∠2，∠2＝∠BFG，∴∠1＝∠BFG，∴AC∥DG，∴∠ABF＝∠BFG，∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，∴∠EBF＝∠ABF， BFG，∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF；方法二：∵∠1＝∠2，∠1＝∠ABF，∠2＝∠BFG，∴∠ABF＝∠BFG，∵∠ABF的平分线是BE，∠BFG的平分线是FC，∴∠EBF＝∠ABF， BFG，∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF；（2）解：∵AC∥DG，BE∥CF，∠C＝35°，∴∠C＝∠CFG＝35°，∴∠CFG＝∠BEG＝35°，∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．10．解：（1）∠BAC的同旁内角有：∠AFD，∠AED，∠C，∠B；（2）∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠DEC，∵DF∥AC，∴∠EDF＝∠DEC，∴∠BAC＝∠EDF；（3）∵∠BDE+∠CDF＝234°，∴∠BDE+∠EDC+∠EDF＝234°，即180°+∠EDF＝234°，∴∠EDF＝54°，∴∠BAC＝54°．11．解：（1）∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∴∠1+∠2＝180°．（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝138°，∴∠1＝42°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝42°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝42°．12．解：探究：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1．（两直线平行内错角相等）同理可证，∠F＝∠2．∵∠BCF＝∠1+∠2，∴∠BCF＝∠B+∠F．（等量代换）故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换．应用：由探究可知：∠MFN＝∠AMF+∠CNF，∴∠CNF＝∠DNG＝115°﹣55°＝60°．故答案为60．拓展：如图③中，当的Q在直线GH的右侧时，∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°，当点Q′在直线GH的左侧时，∠AGQ′+∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°．故答案为70或290．13．解：（1）DE∥BC，理由如下：∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠B，∴∠5＝∠B，∴DE∥BC，（2）∵DE平分∠ADC，∴∠5＝∠6，∵DE∥BC，∴∠5＝∠B，∵∠2＝3∠B，∴∠2+∠5+∠6＝3∠B+∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠2＝108°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝72°．14．解：（1）∠BAE+∠CDE＝∠AED．理由如下：作EF∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，∴∠BAE+∠CDE＝∠AED；（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD＝∠BAF+∠CDF，∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F，∴∠BAF＝∠BAE，∠CDF＝∠CDE，∴∠AFD＝（∠BAE+∠CDE），∵∠BAE+∠CDE＝∠AED，∴∠AFD＝∠AED；（3）由（1）的结论得∠AGD＝∠BAF+∠CDG，而射线DC沿DE翻折交AF于点G，∴∠CDG＝4∠CDF，∴∠AGD＝∠BAF+4∠CDF＝∠BAE+2∠CDE＝∠BAE+2（∠AED﹣∠BAE）＝2∠AED﹣∠BAE，∵90°﹣∠AGD＝180°﹣2∠AED，∴90°﹣2∠AED+∠BAE＝180°﹣2∠AED，∴∠BAE＝60°．15．解：（1）如图1，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，又∵∠C＝∠D，∴∠DAE＝∠D，∴AD∥BC；（2）∠EAD+2∠C＝90°．证明：如图2，设CE与BD交点为G，∵∠CGB是△ADG是外角，∴∠CGB＝∠D+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠D+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠D＝∠C，∴2∠C+∠DAE＝90°；（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∵∠DFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵2∠C+∠DAE＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．16．证明：（1）如图1，过C作EF∥MN，∵MN∥PQ，∴MN∥EF∥PQ，∴∠MAC＝∠ACF，∠BCF＝∠PBC，∴∠ACF+∠BCF＝∠MAC+∠PBC，即∠ACB＝∠MAC+∠PBC；（2）如图2，∵AD，AE分别为∠MAC，∠CAN的角平分线，∴∠DAC＝，∠EAC＝∠NAC，∴∠DAE＝＝＝90°，同理可得：∠DBE＝90°，∵∠D+∠E+∠DAE+∠DBE＝360°，∴∠D+∠E＝180°，即∠D与∠E互补；（3）猜想：∠H＝3∠GDB，理由：由（1）可知：∠C＝2∠ADB，∵3∠C＝4∠E，∴6∠ADB＝4∠E，∴3∠ADB＝2∠E，∵∠ADB+∠E＝180°，∴∠ADB＝72°，∠E＝108°，∵DG⊥DA，∴∠GDB＝18°，∵∠FDA＝2∠FDB，∴∠ADF＝144°，∴∠HDA＝36°，∵DA⊥AE，∴∠H＝54°，∴∠H＝3∠GDB．17．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABN＝120°∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义），∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．故答案为120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°．（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化．理由是：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等），∵BD平分∠PBN（已知），∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义），∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代换），即∠APB＝2∠ADB．（3）结论：∠ABC＝30°．理由：∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，∴∠ABC+∠DBN＝60°，∴∠ABC＝30°18．证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∵∠1＝∠3（已知），∴∠2＝∠3，（等量代换），∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行），∴∠1+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），故答案为：角平分线的定义，已知，等量代换，3，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．19．证明：∵AD⊥BC于点D，EC⊥BC于点C，∴AD∥EC，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∵∠ACE＝∠E，∴∠BAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC．第21页（共21页）。

第五章 二元一次方程组本章的重点是二元一次方程组、三元一次方程组及其解法和运用一次方程组解决实际问题， 我们依据本章的重点安排了四个提高的内容：1．用整体法、设尼法和相加不消元法来解一些特殊的二元一次方程组． 2．根据题目提供的条件来求方程组中的字母的值．求解含有字母系数的方程组． 3．用整体法、设足法和叠加法来解一些特殊的三元一次方程组． 4．用分类讨论、整体法、参数法来列一次方程组解决实际问题．专题20 二元一次方程组的解法知识解读1．整体考虑当两个方程中有相同的式子时，将它们看成一个整体，能将原来较为复杂的方程组化为简单的方程组． 2．设k 消元出现连比时，通常采用设k 法，通过k 这个参数，化难为易． 3．加减不消元当方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩满足1212,c c k a b c c m a b -=-+=+，,k m 为整数时，可将原方程组的两个方程相加和相减得到x y kx y m -=⎧⎨+=⎩型的方程组．培优学案典例示例1．整体考虑 例1：解方程组：（1）32(2)522x x y x y --=⎧⎨-=⎩①② （2）7233()1723x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩①②【提示】（1）将2x y -看成一个整体，直接将方程②代入方程①；（2）分别将,22x y x y +-看成一个整体，则很容易求得5223x yx y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩．【技巧点评】当两个方程中有相同的式子时，将它们看成一个整体，能将原来较为复杂的方程组化为简单的方程组． 跟踪训练1解方程组： （1）2(2)3(1)133(2)5(1)10x y x y +--=⎧⎨++-=⎩， （2）431032255213225x y x yx y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩．例2：若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩, 求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．【提示】将第二个方程组变形为11122232553255a xb yc a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 对比两个方程组，可知第二个方程组中的35x 等于第一个方程组中的x ，第二个方程组中的25y 等于第一个方程组中的y ． 【解答】【技巧点评】将第二个方程组变形后，将25x 和25y 分别看作一个整体是解决本题的突破口．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是25x y =-⎧⎨=⎩, 求方程组的解11111222222222a x b y a b c a x b y a b c -=-+⎧⎨-=-+⎩的解．2．设k 消元例3：解方程组353278x y x yx y -+⎧=⎪⎨⎪--=⎩ 【提示】设35x y x y k -+==，则3,5x y k x y k -=+=，进一步将x 和y 用k 表示，再将它们代入第二个方程求出k ． 【解答】【技巧点评】出现连比时，通常采用设k 法，通过k 这个参数，化难为易． 跟踪训练3解方程组：25322y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩3．加减不消元例4：解方程组83581641283591641835921641x y x y +=⎧⎨+=⎩①②【提示】①－②得1x y -=；①＋②得5x y +=． 【解答】【技巧点评】此方程组属于111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，且1212,c c k a b c c m a b -=-+=+ ，k ，m 为整数时，因此这样的方程组可以通过加减（不消元）得到x y kx y m -=⎧⎨+=⎩型的方程组．跟踪训练4解方程组：361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩培优训练直击中考1.★（2017•浙江衢州）二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+236y x y x 的解是（ ）A.⎩⎨⎧==15y x B.⎩⎨⎧==24y x C ⎩⎨⎧-=-=15y x D.⎩⎨⎧-=-=24y x 2.★（2017•浙江舟山）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==by ax ，则=-b a（ ）A.1B.3C.41-D.473.★（2017•内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足()()255252=--y y x ，则y x +等于 （ ）A.18或10B.18C.10D.26 4.★（2017•四川巴中）若方程组⎩⎨⎧=+-=+22312y x ky x 的解满足0=+y x ，则k 的值为 .5.★（2017•山东枣庄）已知⎩⎨⎧-==32y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+32ay bx by ax 的解，则=-22b a .6.★（2017•广东乐山）二元一次方程组2322+=-=+x yx y x 的解是 . 7.★解方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+572317631723y x y x ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-0121221136211y x y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x挑战竞赛1.★★（重庆市竞赛试题）已知()07212=-+++-y x y x ，则=+-2223y xy x （ ） A.0 B.4 C.6 D.122.★★（数学周报杯试题）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的解的个数为 （ ）A.1B.2C.3D.43.★★（美国数学竞赛试题）设[]x 表示不超过x 的最大整数，又设x 、y 满足方程组[][]⎩⎨⎧+-=+=52332x y x y ，如果x 不是整数，那么y x +是（ ）A 一个整数 B.在4与5之间 C.在－4与4之间 D.在15与16之间 E.16.5 4.★★★（希望杯试题）方程42000061995=+y x 的一组正整数解),(y x 是 （ ） A.)48723,61( B.)48725,62( C.)48726,63( D.)48720,64( 5.★★★（湖北省黄冈市竞赛试题）求方程6=++y x xy 的整数解。

第五章20年代新诗（二、郭沫若）这一章讲授4课时，主要内容为1、郭沫若的创作道路；2、《女神》一、关于郭沫若生平郭沫若（1892-1978），原名郭开贞，号尚武。

四川乐山人。

"郭沫若"是他1919年9月11日开始在上海《时事新报·学灯》上发表诗歌时启用的笔名，取自于他家乡的两条大河："沫水"（大渡河）和"若水"（青衣江）。

郭沫若生于的一个地主兼商人家庭，幼年时就从母亲那里受到古典诗词的熏陶，8岁开始学做对句和五七言诗，在小学和中学时代，对中国古典文学作品有比较广泛的涉猎。

读小学时的"撕榜风波"，少年时代因重症伤寒而留下的"两耳重听"的后遗症，以及家庭为他主持的"包办婚姻"，都对郭沫若的性格形成产生过重要影响。

戊戌维新时期，他接触到了"新学"，培养了他的反叛性格，而"富国强兵"的思想则滋养了他的爱国主义精神。

1913年年底，郭沫若（21岁）赴日留学。

与鲁迅一样，他到日本也是学的医学（日本九州帝国大学医学部），同样希望将来能对国家社会有切实的贡献。

此时正值袁世凯卖国求荣，接受日本帝国主义提出的21条丧权辱国的条约，激起一切爱国者的愤怒。

个人与民族的苦闷一起郁积于心，使他产生了难以排遣的痛苦。

同时，他沉醉在泰戈尔、海涅、歌德、屠格涅夫等文学大师的作品中，庄子、王阳明、泰戈尔、海涅、歌德、惠特曼、斯宾诺莎等的哲学思想、文艺观和创作，都对他发生影响，他从斯宾诺莎那儿认识了"泛神论"。

1916年开始文学创作，最初的试笔即新诗，并初步显示出浪漫主义的特点。

这一年，郭沫若与日本姑娘安娜的热恋，点燃了他多年来一直郁积在心中的诗情，后来收在《女神》第三辑中的《死的诱惑》、《新月与白云》、《别离》等，都是为安娜而作的。

他后来的《炉中煤》等许多爱国名篇和他的第一篇小说《牧羊哀话》等，实际上也包含着他对爱情的歌颂。

第五章 第二节独立性检验独立性检验的定义又叫列联表（contigency table ）χ2检验，它是研究两个或两个以上因子彼此之间是独立还是相互影响的一类统计方法。

2×2 列联表的独立性检验设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，其中A 可能出现r1 、r2个结果，B 可能出现c1、c2个结果，两因子相互作用形成4格数，分别以O11 、O12 、O21 、O22表示，下表是2×2列联表的一般形式检验步骤1.提出无效假设H0 ：事件A 和事件B 无关， 同时给出HA ：事件A 和事件B 有关联关系；2.给出显著水平α3.依据H0 ，可以推算出理论数，计算χ2值4.确定自由度，df=(r-1)(c-1)，进行推断。

给药方式与给药效果的2×2列联表H 0 H A H 0 H A1.H0 ：给药方式与给药效果相互独立。

HA ：给药方式与给药效果有关联。

2.给出显著水平α＝0.053.根据H0，运用概率乘法法则：事件A 与事件B 同时出现的概率为：P(AB)=P(A)P(B) 口服与有效同时出现的理论频率＝口服频率×有效频率，即P(AB)=P(A)P(B)＝98/193 ×122/193理论频数Ei ＝理论频率×总数＝ (98/193 ×122/193) ×193 ＝（98 × 122）/193=61.95即Eij ＝Ri ×Cj/T=行总数×列总数/总数E11= R1 × C1/T=61.95 E12= R1 × C2/T=36.05 E21= R2 × C1/T=60.05 E22= R2 × C2/T=34.95 给药方式与给药效果的2×2列联表计算χ2值：由于df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1，故所计算的χ2值需进行连续性矫正：4.P ＞0.05，应接受T/22×ｃ列联表的独立性检验由于例：检测甲、乙、丙三种农药对烟蚜的毒杀效果，结果如下，使分析这三种农药对烟蚜的毒杀效果是否一致？三种农药毒杀烟蚜的死亡情况1. H0 ：对烟蚜毒杀效果与农药无关，农药类型间互相独立；HA ：二者有关2.取显著水平α＝0.053.统计数的计算χ值的计算：（4）查χ2值表，进行推断查χ2表，当df=(2-1)(3-1)=2时，χ20.05 ＝5.99，现实得χ2＝7.694＞χ20.05 ，则拒绝H0 ，接受HA ，说明三种农药对烟蚜的毒杀效果不一致。

第五章中心对称㈡复习【回顾与思考】1.圆锥的侧面展开图是___________.2.圆锥的母线长为5,底面圆的半径为3,则侧面展开图的半径为____,弧长为____,面积为_________.3.圆锥的高为4cm,底面圆的面积为9πcm2,则它的全面积为__________.【经典试题】一、选择题1.已知圆锥的底面半径为6,高为8,则它的侧面积是( )A.30πB.48πC.60πD.96π2.圆锥的侧面展开图为半圆,则母线长与底面半径之比为( )A.2:1B.2π:1C.2:1D.3:13.若圆的一条弦把圆分成度数比为1:3的两条弧,则劣弧所的圆周角等于( )A.45°B.90°C.135°D.270°4.已知在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,以B为圆心,BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.不确定5.如图,⊙O1和⊙O2内切,它们的半径分别为3和1,过O1作⊙O2的切线,切点为A,则O1A的长为( )A.2B.4C. 3D. 56.两圆半径分别为2cm和3cm,圆心距等于小圆半径的2.5倍,则两圆的位置关系是( )A.外离B.外切C.相交D.内切或内含7.如图,AC是⊙O的直径,AB,CD是⊙O的两条弦,且AB∥CD,若∠BAC=44°,则∠AOD等于( )A.22°B.44°C.66°D.88°第5题第7题第9题1118.若⊙O 半径为5,圆心A 坐标是(3,4),点P 坐标是(5,8),则点P 的位置在 ( )A.⊙A 内B.⊙A 上C.⊙A 外D.不确定9.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,Q,H 分别为边AB,AC 的中点,将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置,则整个旋转过程中,线段QH 所扫过的部分的面积(即阴影部分的面积)为( ) A.73π－783B.43π＋783C.πD.43π＋ 3 10.在△ABC 中,AD 是BC 上的高,且AD=12BC,E,F 分别是AB,AC 的中点,以EF 为直径的圆与BC 的位置关系是( ) A.相离B.相切C.相交D.相切或相交二、填空题11.同底等高的圆锥和圆柱,它们的底面直径与高相等(2R=h),那么圆锥和圆柱的侧面积比为_________.12.用圆心角为150°,弧长为20π的扇形做成一个最大的圆锥,其表面积为___. 13.若经过⊙O 内一点M 的最大弦长为10cm,最短弦长为8cm,则OM=_______.14.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,若以C 为圆心,R 为半径所作的圆与线段AB 没有公共点,则R 的取值范围是__________.15.如图,在⊙O 中,AB 是弦,∠AOB=120°,OA=5cm,那么圆心O 到AB 的距离是______cm,弦AB 的长是_______cm.16.如图,在⊙O 中,CD 是直径,弦AB ⊥CD,垂足为P,AB=8cm,PD=2cm,则OP=_.第15题第16题C第17题P 第18题E17.如图,过⊙O 的直径BA 的延长线上一点P,作⊙O 的切线PM,M 为切点,如果PM=OM,则PA:PB=_________.18.如图,扇形AOB 的圆心角为直角,正方形OCDE 内接于扇形,点C,E,D 分别在OA,OB,弧AB 上,过点A 作AF ⊥ED,交ED 的延长线于F,垂足为F,如果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为_________.19.在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM 是中线,以C 为圆心,以5cm 长为半径画圆,则点M 与⊙C 的位置关系是________.20.一个圆柱的侧面积为120πcm 2,高为10cm,则它的底面圆的半径为______. 三、解答题(每题10分,共40分)21.已知:A 是半径为1的⊙O 外一点,OA=2,AB 是⊙O 的切线,B 是切点,弦BC ∥OA,连接AC,求阴影部分面积.22.如图,A是半径为12cm的⊙O上的定点,动点P从出发,以2cm/s的速度沿圆周逆时针运动,当P点回到A时,立即停止运动.⑴如果∠POA=90°,求点P运动的时间;⑵如果点B是OA延长线上一点,AB=OA,那么当点P运动的时间为2s时,判断直线BP与⊙O的位置关系.并说明理由.23.已知菱形的周长为20cm,有一个角为60°,若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周,求所形成的旋转体的表面积.24.在⊙O中,半径OB垂直于直径MN,过点B的弦BC交MN于点A,分别连接MB,NB,求证:MB·NB=BA·BC探究学习如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形.⑴求这个扇形的面积(结果保留π);⑵在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆,作为底面与扇形围成一个圆锥?请说明理由.⑶当⊙O的半径R(R>0)为任意值时,⑵中的结论是否仍然成立?请说明理由.参考答案一、1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.B二、11.5:4 12.340π 13.3cm 14.0<R<6013或R>12 15.52 53 16.3cm17.(3－22):1 18.2－1 19.M 在⊙C 上20.6cm三、 21.π622.⑴3s 或9s;⑵相切. 23.25πcm 224.先证△ABN ∽△NBC,得NB BC =ABNB ,即NB·NB=BA·BC,又因为OB ⊥MN,得MB=BN, 所以MB·NB=BA·BC⑴连BC,易得AB=AC=2,S=nπR 2360=12π⑵连接AO 并延长,与弧BC 和⊙O 分别交于点E,F, EF=AF －AE=2－2,弧BC 的长l =nπR 180=22π,∵2πr=22π,∴圆锥的底面直径为2r=22, ∵2－2<22, ∴不能在余料③中剪出一个圆,作为底面与此扇形围成一个圆锥. ⑶也不能.探究学习。