第二节洛必达法则洛必达法则型未定式解法型及一、:0∞∞定义.00)()(lim ,)()(,)()(型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当∞∞∞→→∞→→x F x f x F x f x a x x a x 洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出)(lim )(lim )1==→→x F x f ax ax )()(lim)3x F x f a x ′′→存在(或为)∞)()(lim)()(lim x F x f x F x f a x a x ′′=→→,)()()()2内可导在与a U x F x f)(≠′x F 且定理1.(洛必达法则)例1.tan lim 0xx x →求例2.123lim 2331+−−+−→x x x x x x 求例3.1arctan 2lim xx x −+∞→π求)00(二、∞∞型未定式∞==→→)(lim )(lim )1x F x f ax ax )()(lim)3x F x f a x ′′→存在(或为∞))()(lim x F x f a x →定理2.)()(lim x F x f a x ′′=→(洛必达法则),)()()()2内可导在与a U x F x f)(≠′x F 且例4lnsin lim .lnsin x axbx+→求)(∞∞例5.3tan tan lim 2xxx π→求)(∞∞例5解.3tan tan lim 2xxx π→求xx x 3sec 3sec lim222π→=原式x x x 222cos 3cos lim 31π→=x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312−−=π→xxx 2sin 6sin lim 2π→=xx x 2cos 26cos 6lim2π→=.3=)(∞∞注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，特别是等价无穷小的替换，效果更好.例6.tan tan lim20xx xx x −→求型未定式解法二、00,1,0,,0∞∞−∞∞⋅∞例7.lim 2x x e x −+∞→求型∞⋅0.1三例8).1sin 1(lim 0xx x −→求型∞−∞.2型00,1,0.3∞∞例9.lim 0xx x +→求解x x x e ln 0lim +→=原式xx x e ln lim 0+→=2011limx x x e−+→=0e =.1=xx x e1ln lim0+→=例10.lim 111xx x−→求例11.)(cot lim ln 10xx x +→求例10解.lim 111xx x−→求)1(∞x xx eln 111lim −→=原式x x x e−→=1ln lim111lim 1−→=x x e.1−=e 例11解.)(cot lim ln 10xx x +→求)(0∞,)(cot )ln(cot ln 1ln 1x xxex ⋅=取对数得)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→∵x xx x 1sin 1cot 1lim 20⋅−=+→xx xx sin cos lim 0⋅−=+→,1−=.1−=∴e 原式通分转化00∞∞∞⋅0取倒数转化0∞10∞取对数转化∞−∞例1210lim(),0,0.2x x x x a b a b →+>>求其中例1210lim(),0,0.2x x x x a b a b →+>>求其中解11ln 2()2x x a b x xxx a be ++=001ln()ln 2lim ln lim 2x x x x x x a b a b x x →→++−=0ln ln lim 1x x x xx a a b ba b →++=lnabe ab==原式ln ln ln 2a bab +==例13.cos limxxx x +∞→求注意：洛必达法则的使用条件．三、小结洛必达法则型00,1,0∞∞型∞−∞型∞⋅0型00型∞∞gf g f 1=⋅fg fg g f 1111⋅−=−取对数令gf y =设)()(lim x g x f 是不定型极限，如果)()(x g x f ′′的极限不存在，是否)()(x g x f 的极限也一定不存在？举例说明.思考题思考题解答不一定．例,sin )(x x x f +=xx g =)(显然=′′∞→)()(lim x g x f x 1cos 1lim xx +∞→极限不存在．但=∞→)()(limx g x f x xx x x sin lim +∞→1=极限存在．。
