2020届高考数学复习第二编讲专题专题八数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题练习文

第1讲 数学文化一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22 B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ．5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B ．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3； 故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC＝x3＝PQ1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2； 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________． 解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎪⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.若4>n 不成立，执行循环体，S ＝1516，k ＝4＋1＝5.若5>n 不成立，执行循环体，S ＝3132，k ＝5＋1＝6.若6>n 不成立，执行循环体，S ＝6364，k ＝6＋1＝7.…由输出的S ∈(1516，6364)，可得当S ＝3132，k ＝6时，应该满足条件6>n ，所以5≤n <6，故输入的正整数n 的值为5.答案：515．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，B n ＝2n－12－1，令3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．答案：316．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为________．解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P ­ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD 且PA ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P ­ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2.答案：3π2第1讲 数学文化函数中的数学文化题[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个；②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形． 其中正确的命题为( )A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④【解析】 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故④错误．故选A ．【答案】 A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练](2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的12，第2关所收税金为剩余持金的13，第3关所收税金为剩余持金的14，第4关所收税金为剩余持金的15，第5关所收税金为剩余持金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为( )A ．136斤 B ．130斤 C ．125斤 D ．120斤解析：选C ．设此人持金x 斤，根据题意知第1关所收税金为x2斤；第2关所收税金为x6斤；第3关所收税金为x 12斤；第4关所收税金为x 20斤；第5关所收税金为x30斤．易知x 2＋x 6＋x 12＋x 20＋x30＝1，解得x ＝65.则第5关所收税金为125斤．故选C ．数列中的数学文化题[典型例题](1)(2019·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)(2019·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A ．17532里B ．1 050里C ．22 57532里D ．2 100里【解析】 (1)由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15.因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C ．(2)由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{a n }，则该匹马首日行走的路程为a 1，公比为12，则有a 1[1－(12)7]1－12＝700，则a 1＝350×128127，则a 1[1－(12)14]1－12＝22 57532(里)．故选C ．【答案】 (1)C(2)C(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[对点训练]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D ．因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D ．2．(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A ．507斗粟B ．107斗粟C ．157斗粟D ．207斗粟解：选C ．法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C ．法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207(斗)，羊主人应赔偿5×17＝57(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157(斗)，故选C ．三角函数中的数学文化题[典型例题]《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．32 B ．34 C ．52D ．54【解析】 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，可设三角形的三边分别为a ＝(2－1)x ，b ＝5x ，c ＝(2＋1)x ，由题意得(2－1)x ＋5x ＋(2＋1)x ＝(22＋5)x ＝22＋5，则x ＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2＋1)2(2－1)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22＋3－22－522＝34，故选B ． 【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练](2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m ，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m ．若该小区内某居民在距离楼底27 m 高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.解析：设两住宅楼楼间距实际为x m ．如图，根据题意可得，tan ∠DCA ＝27x，tan ∠DCB ＝45－27x＝18x，又∠DCA ＋∠DCB ＝45°，所以tan (∠DCA ＋∠DCB )＝27x ＋18x1－27x ·18x＝1，整理得x 2－45x －27×18＝0，解得x ＝54或x ＝－9(舍去)．所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m.答案：54立体几何中的数学文化题[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A ．158B ．162C ．182D ．324(2) (2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．【解析】 (1)如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27.因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162. 故选B ．(2)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A ­BCD 所示，其中AB ＝22，BC ＝CD ＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A ­BCD 的外接球，设外接球的直径为2R ，所以4R 2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R 2＝3，因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.【答案】 (1)B (2)12π立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．[对点训练]1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V ＝112×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2解析：选A ．设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得体积为V ＝πr 2h .由题意知V ＝112×(2πr )2×h ，所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.故选A ．2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V ＝13πh (R 2＋r 2＋R ·r )，其中R ，r 分别表示上、下底面的半径，h 为高)( )A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸解析：选A ．由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为12×(12＋6)＝9(寸)，则盆中水的体积为13π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以这一天该地的平均降雨量约为342ππ×122≈2(寸)，故选A ．算法中的数学文化题[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)()A．12 B．24C．36 D．48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝110011，k＝2，n＝7，则输出的b＝( )A．19 B．31C．51 D．63【解析】(1)按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin 60°＝332，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B．(2)按照程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b＝51时，i＝i＋1＝7，跳出循环，故输出b＝51.故选C．【答案】(1)B (2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为( )A．3 B．6C．7 D．30解析：选C．a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b 不满足都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b 成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b 不成立，a＝12，b＝3，a＝12－3＝9，n＝4＋1＝5；a＝b不成立，a>b成立，a＝9－3＝6，n ＝5＋1＝6；a＝b不成立，a>b成立，a＝6－3＝3，n＝6＋1＝7；a＝b成立，输出的kb＝6，n＝7.概率中的数学文化题[典型例题](1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( )A ．13 B ．14 C ．15D ．16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．136B ．118C ．112D ．19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P ＝9＝3.故选A ．(2)函数y ＝3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118.故选B ．【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有。

第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长•高考中多以选择题的形式出现，难度中等核心知识回顾1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目.2 •与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数.3 •以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等.4 •以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题.热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1 （2019 •哈尔滨市第三中学高三第二次模拟）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完•现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）1A. i <20, S= S— r, i = 2i1B. i w 20, S= S—r, i = 2iSC. i <20, S= 2, i = i + 1S ••D. i w 20, S= ^, i = i + 1答案D1 S 1解析根据题意可知，第一天S= 2，所以满足S= ，不满足S= S— r，故排除A, B;由S框图可知，计算第二十天的剩余时，有S= 2且i = 21,所以循环条件应该是i w 20.故选D.以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强 调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律， 理解程序框图的算法功能.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚, 问积几何？ ”设每层外周枚数为 a ,如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 121 B . 81 C . 74 D . 49 答案 B解析 满足a <32,第一次循环：S = 1, n = 2, a = 8;满足a <32,第二次循环：S = 9, n = 3, a = 16；满足a w 32,第三次循环：S = 25, n = 4, a = 24；满足a w 32,第四次循环：S =49, n = 5, a = 32；满足 a w 32,第五次循环：S = 81, n = 6, a = 40.不满足 a w 32,输出 S 故选B.考向2数列中的数学文化例2 （2019 •陕西省高三第三次教学质量检测）我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在 “杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为 2_1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前 15项和为（ ）A. 110 B . 114 C . 124 D . 125 答案 B解析 由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第n + 1行，令x = 1,可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第1行为20,第2行为21,第3行为22，…以此类推，即每 行的数字之和构成首项为 1,公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S n = 岂 =2n - 1,若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为 1,2,3,4，…，可以=5,所以前15项的和表示前 7行的数列之和减去所有的 项的数字之和为114，故选B.看成构成一个首项为 1，公差为2的等差数列，则Ti =n + 1人n ,令一 n + 12=15,解得n 1,即(2 7- 1) - 13= 114,即前 15以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题•解题的关键是将古代实际问题转化为 现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方 程思想求解.《张丘建算经》卷上第 22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈•”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了 5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布•记该女子一月中的第 n 天所织布的尺数为 a n ,贝V a i4+ a i5 + a i6 + ai 7的值为（）A . 55B • 52C • 39D • 26考向3 立体几何中的数学文化例3（20i9 •六安市第一中学高三模拟 ）我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异” •意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积 相等，则这两个几何体的体积相等•椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体•如图，将底面 直径都为2b ,高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面3上，用平行于平面3且与平面3任意距离d 处的平面截这两个几何体， 可横截得到S 圆及S 环两截面.可 以证明S 圆=S 环总成立•据此，半短轴长为 i ,半长轴长为3的椭球体的体积是 _____________________________ •答案 4n2i 2 2 2解析 因为S 圆=S 环总成立，则半椭球体的体积为n b 2a — -n b 2a =-n b 2a ，所以椭球体3 342一4的体积为V = -n b a ,因为椭球体的半短轴长为 i ,半长轴长为3,所以椭球体的体积为 V =§ 24 2n b a = — nX1 X 3= 4n,故答案是 4 n.3依托立体几何，传播数学文化•立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国 古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既答案 B解析设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布，则S 30= 390,所以30X 5+30X 29 216 =390,解得d =函，所以 a i4+ a i5+ a i6 + a i7= 4a i + 58d = 4 X 5+ 58 X 1629= 52.故选 B.符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年•例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 ABC- A 1B 1G 中，AC 丄BC 若AA = AB= 2，当阳马B- AACC 体积最大 时，则堑堵 ABC-ABC 的体积为（）A. 8B.型 C . 2 D . 2农 答案 C解析 由阳马的定义，知 VB- A 1ACC = ?AA ・ AC- BC= |A C- BC C £（AC + BC = 当且仅当 AC= BC= 2时等号成立，所以当阳马 B- AACC 体积最大时，则堑堵 ABC- ABC 的 1体积为2 X 2 X 2= 2,故选C.考向4概率中的数学文化 例4（2019 •皖南八校高三第三次联考 ）七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆 以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余•体 物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之•如图是一个用七巧板拼 成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）答案 A解析 设正方形的边长为 4，则正方形的面积为 S = 4X 4= 16,此时阴影部分所对应的直 角梯形的上底边长为 2眾，下底边长为3眾，高为迈,所以阴影部分的面积为 S = -1 X （2迄+3 2） X 2 = 5,根据几何概型，可得概率为P =弓=三，故选A S 16数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素 养•解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解.5 113 A.亦 B. 32 C. 8 D. 13 32《算法统宗》是我国古代的数学名著，书中把三角形中的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位•现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田•若在邪田内随机种植一株茶树，则该茶树恰好被种在圭田内的概率为2 2 4A.i5B. 5C. i5D.答案A解析根据题意，得出其示意图如图所示，题意为：在直角梯形ABC［内随机种一株茶树,求该茶树恰好被种在三角形AEF内的概率.且已知AB= 20, DC= 10, AD= 10, AE= 8，三角形18X 5X - 22AEF的高h= 5，所以该茶树被种在三角形AEF内的概率P= =応，故选A.1 1520 + 10 X 10X考向5推理与证明中的数学文化例5 （2019 •南充市第三次诊断）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何•”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）•这个问题中，甲所得为（）5 4 3 5A 5钱B. 3钱霭钱D.3钱4 3 2 3答案B解析设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a—2d, a—d, a, a+ d, a+ 2d,贝U a—2d + a—d= a+ a + d+ a+ 2d,解得a= —6d,又a—2d+ a—d+ a+ a+ d+ a+ 2d= 5,a 4 4••• a= 1,贝U a—2d= a —2X — - =：a=：，故选B.6 3 3以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论•解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题.(2019 •上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支•十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸•十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥•天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲” 重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为年.答案戊戌解析从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61 - 10= 6余1,则2078 年的天干为戊，61 - 12= 5余1,则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年.考向6数学文化与现代科学例6 2016年1月14 日,国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施•如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道H绕月飞行.若用2C1和2C2分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴长，给出下列式子：① a*1 + C1 =比+ C2 :② a1 —C1 = a2 —C2 ；C1 C2③一<—:④ aa2>a1C2.a a2其中正确式子的序号是（）A.①③B .①④ C .②③ D .②④答案D解析观察题图可知a1>a2, C1>C2, ••• a1+ C1>a2+ C2,即①式不正确；a1 —C1 = a2—C2= |PF| ,a1 —C1 a2 —C2 a1 a2 C1 C2即②式正确；由a1 —C1= a2—C2>0, C1>C2>0，知< ，即<，从而oa2>a1C2, > .' C1 C2 C1 C2 a1 a2即④式正确，③式不正确.(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.（2）注意到椭圆轨道I 和n 共一个顶点 P 和一个焦点F ,题目所给四个式子涉及长半轴长 和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查， 是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的. 如图所 示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形•如果小正方形的n面积为1，大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为0，那么tan= _________答案n依题意，得大、小正方形的边长分别是 5,1 ,于是有5si n e — 5c os e = 1 0< e ,贝U si n e — c os e =5从而(si n e + c os e )2= 2 — (si n e — c os e )2= 2f ,贝y Si n e + c os e = 5,4 34n因此 sin e = 5, c os e = 5, tane = 3.故tan 0+広=真题押题 『真题模拟』1 • （2019 •浙江高考）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积 不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示 （单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3） 是（）A . 158B • 162C • 182D • 324 答案 B解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为 6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为 4,下底为6，高为3,另一个的上底为 2,下底为6，高为3.则底面 面积S =—厂解析n tan e +11 — tan e _7.x 3+—厂X 3= 27,因此，该柱体的体积W= 27X 6= 162.故选B.2. （2019 •北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述•两颗星的5 R星等与亮度满足m —m= lg 1,其中星等为m的星的亮度为压（k = 1,2）•已知太阳的星等是2 E2—26.7，天狼星的星等是一1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）10.1 ——10.1A. 10 B • 10.1 C • lg 10.1 D • 10答案A5 E解析由题意知，m=—26.7 , m=— 1.45 ,代入所给公式得—1.45 —（—26.7）= lg2 匕R E i所以lg --= 10.1 ,所以三=1010.1.故选A.巳—23 • （2019 •湖南省高三六校联考）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法•如图所示的程序框图，是利3用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n, x的值分别为3, ?,则输出v的值为（）A. 17B. 11.5C. 10D. 7答案B3 一一解析初始值n= 3, x = 2，程序运行过程如下：v = 2,3v = 2X + 1 = 4, n = 2,不满足n w0；3v = 4x + 1 = 7, n=1,不满足n w0；3 23v = 7X 2+ 1 = ~, n=0,满足n w0,退出循环,23输出v的值为_ = 11.5.故选B.4. （2019 •全国卷n ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”1）•半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体•半正多面体体现了数学的对称美•图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有___________ 个面，其棱长为_________ •答案26 2 — 1解析先求面数，有如下两种方法.解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2X 9+ 8= 26（个）面.解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数（V）+面数（F）—棱数（E）= 2（欧拉公式）.由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24,故由V+ F—E= 2，得面数F= 2 + E—V= 2 + 48 —24 = 26.再求棱长.作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH口图，设其边长为x,则正八边形的边长即为半正多面体的棱长. 连接AF,过H, G分别作HMLAF, GNLAF,垂足分别为M N 则AM= MH= NG= NF=*x.又AM + MNb NF= 1,即~22x+ x+#x= 1.解得x= 2—1,即半正多面体的棱长为2—1.『金版押题』5•《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗•苗主责之粟五斗•羊主曰：“我羊食半马•”马主“我马食半牛•”今欲衰偿之，问各出几何•其意思是：今有牛、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半. 马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半•”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（A.50斗粟B.号斗粟C.字斗粟D. 20斗粟答案C解析解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a, a2, a3,则这3个数依次成5 20 20 5 15等比数列，公比q= 2,所以a1 + 2a+ 4a1 = 5，解得a1 = 7，故a3=〒，a3 —a1=〒—-=〒，故选C.4 20解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是 1 : 2 : 4,故牛主人应赔偿5X片=20斗，羊主人1 5 20 5 15应赔偿5X 7=5斗，故牛主人比羊主人多赔偿了20-1=号斗，故选C.6 •《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” •已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A. 2B. 4+ 2 2C. 4 + 4 2D. 4+ 6 2答案C解析由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为1,则底面三角形腰长为2，底边长为2,三棱柱高为2,所以侧面积为2X 2 + 2X 2X 2= 4 + 4 2.故选C.配套作业、选择题1 . （2019 •赤峰市高三模拟）《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题: 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是（2 3 5A. 3B. 5C. 9D.答案A解析因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，6 2根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P= 9=3故选A.2. （2019 •南昌外国语学校高三高考适应性测试）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a, b分别为16,20 , 则输出的a的值为（）A. 0 B . 2 C.4 D . 1答案C解析输入a, b的值，分别为16,20 ,第一次循环：第一-层判断::满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断：不满足a>b满足a w b,故b= 20 —16= 4；第二次循环：第 -层判断:满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断: 满足a>b,故a= 16— 4 = 12；第三次循环：第-层判断:满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断: 满足a>b,故a= 12— 4 = 8；a zb ,进入第二层选择结构，第二层判断：满足 a >b .故 a = 8— 4= 4；为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数, “有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6天后到达目的地” •则该人第五天走的路程为( )A . 48 里B • 24 里C • 12 里D • 6 里 答案 C4 1 6a 1 1- 2 1解析 设第一天的路程为 a 1里，贝U ------------------------ 1 ---- = 378, a 1= 192，所以a 5 = 192x12.1 —24 • (2019 •河南洛阳高三阶段性考试 )《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食 人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马•’马主曰：‘我马食半牛•’今欲衰偿之， 问各出几何？ ”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟•羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半•”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半•”打算 按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知 1斗=10升，针对这一问题， 设计程序框图如图所示，若输出k 的值为2,贝U m =()次循环，S = 50 — 7m 此时要输出k 的值，则50 — 7m = 0， 5 •我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有: 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” •它体现了一种无限与有限的转化过程•比如在 1 1表达式1 +中“…”即代表无限次重复， 但原式却是个定值，它可以通过方程1+-= 1x1 +1 +…x 求得x = 节1.类比上述过程，则 一.3+ 2 3+ 2 •••=( )第四次循环：第一层判断：满足 第五次循环：第一层判断：满足a =b = 4，故输出 4,选 C.3 •中国古代数学著作《算法统宗》 中有这样一个问题: “三百七十八里关，初步健步不请公仔细算相还” •其大意为: 50 代亍5010 100 B. 7 C. T D. ~答案解析 运行该程序，第一次循环， S = 50 — m k = 1; 第二循环，S = 50 — 3m , k = 2;第三解得m = 50,故选B. “割之弥细，所失弥少，割之又割,A . 3 C. 6 答案 A解析 令'3+ 2 3 + 2 •••= x (x >0)，两边平方，得 3+ 2 3+ 2=x 2 3 4，即 3+ 2x = x 2, 解得 x = 3,x =— 1(舍去)，故 ，3+ 2\ 3 + 2 .…=3,选 A.6. （2019 •江西省名校高三 5月联考）我国古代《九章算术》将上、下两个平行平面为矩 形的六面体称为刍童•如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底 的长分别为2和6，高为2,则该刍童的体积为（）100 104A.刁B. — C . 27 D . 18 答案 B解析 由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为 2和6,高为2,所以几何体1 ； ---- 104的体积 V = 3X （4 + 36+ 4X 36） X 2=—.故选 B.3 37. （2019 •河北联考）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有 圆堡瑽（c o ng ）,周四丈八尺，高一丈一尺•问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城 堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺•则它的体积是（注：1丈=10尺，取n= 3）（）A . 704立方尺B . 2112立方尺 C. 2115立方尺 D. 2118立方尺答案 B2CC ?h 482X 11、 ,=n r h =nX2X h = == 2112（立方尺）.故选 B.4 n 4 n 128. （2019 •南宁市高三第一次适应性测试）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一 首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒， 借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原 1 1壶中3的酒量”，即输出值是输入值的3,则输入的x =（）B. D. 2 2解析设圆柱体底面圆半径为r，高为h,周长为C.因为C= 2n r,所以r ，所以V2 n余金的I ，第3关收税金为剩余金的4,第4关收税金为剩余金的 5第5关收税金为剩余金的3 4 5 1,5关所收税金之和，恰好重1斤•问此人总共持金多少. 6A.丄斤B.丄斤C.丄斤D. — 斤 20 25 30 36 答案 1111 1 11111 11—2一6一徨一20x =依题意，得 2x +2X3x +I X4x ++丙％= j 即 1一加 56 1 161=1, 6x = X 解得 x =5，所以5^6x =5^6X 5=2?故选 B.10 . （2019 •陕西省高三第一次模拟 ）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的(参考数据：sin 15 ° ~ 0.2588 , sin7.5 ° ~ 0.1305) A . 12 B . 24 C . 48 D . 96A .| 9 B.— 11 21 C.2I 45D .47 答案 C解析 i = 1 时，x = 2x — 1; i = 2 时，x = 2(2 x — 1) — 1 = 4x — 3; i = 3 时，x = 2(4x — 3)—1= 8x — 7; i = 4时，退出循环.此时,1 218x — 7 = -x ，解得 x = 2|.故选 C.9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关， 前关二而税一,次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问 本持金几何.”其意思为：今有人持金出五关，第11关收税金为持金的2第2关收税金为剩则在此问题中，第5关收税金（）解析 假设原来持金为x ，则第1关收税金1x ；第1收税金-1 1 1 1 1 1 — 2—6x =芮x ；第4关收税金5 1—2 12关收税金|1 1一 - x = _ 6 12 4X51 1x ;第5关收税金-6多边形的边数无限增加时， 多边形面积可无限逼近圆的面积, 并创立了 “割圆术”， 利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14 ，这就是著名的“徽率” .如图n 的值为（ ）解析 模拟执行程序，可得 n = 6, S= 3sin60 °= ,不满足条件 S 》3.10 , n = 12, S = 6x sin30 ° = 3,不满足条件 S >3.10 , n = 24, S = 12x sin15 °~ 12x 0.2588 = 3.1056，满足条件 S >3.10 , 退出循环，输出n 的值为24.故选B.11.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪 三角形数表，并称之为“开方作法本源”图•下列数表的构造思路就源于“杨辉三角” •该 表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后 一行仅有一个数，则这个数是 ()2017 2016 2015 2014… …6 5 4 3 214033 4031 .............9 7 5 34029 ............. (II)8064 8060- ...on 16 12 8 (20)16124……•…36 28 20答案 B解析 从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差 为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4，…，即第n 行从右到左的公差为2n 「1,而从右向左看，每行的第一个数分别为 1 = 2X2「1,3= 3X2 0,8 = 4X2 1,20=5X2 2,48= 6X2 3，-,所以第n 行的第一个数为(n + 1) X2 ^.显然第2017行只有一个数， 其值为(2017 + 1) X 2 2017_2= 2018X 2 2015，故选 B.12. (2019 •德州市高三下学期第一次练习)正整数N 除以正整数 m 后的余数为n ,记为N= n (MOD)，例如25三1(MOD6)如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该 程序框图，当输入 N= 25时，则输出N =()A. 31B. 33C. 35D. 37A . 2017X22016B . 2018X22015C. 2017X22015D. 2018X22016解析模拟程序的运行，可得N= 25,N= 26,不满足条件N三1(M0D3) N= 27,不满足条件N三1(M0D3) N= 28,满足条件N三1(M0D3)不满足条件N三1(M0D5) N= 29,不满足条件N^ 1(M0D3) N= 30,不满足条件N三1(M0D3) N= 31,满足条件N^ 1(M0D3)满足条件N^ 1(M0D5)输出N的值为31.故选A.二、填空题13 .《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法•我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“ 1”，把阴爻“”当作数字“ 0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是答案34解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010,转化为十进制数为0X2°+ 1 X 2 1+ 0X 2 2+ 0X 2 3+ 0X 2 4+ 1 X 2 5= 34.14 •《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗•问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子•”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是 _________________ •答案6亠、5X4解析设等差数列｛a n｝，首项为a,公差为3，贝U S5 = 5a i+ — X3= 60，解得a i= 6, 即得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6.。

热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。

2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。

②以数学猜想和定理为命题背景。

③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。

④以数学的应用为命题背景。

⑤历史名人。

⑥历史发展。

3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。

这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。

4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。

但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。

我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。

为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。

比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。

像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。

除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。

【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。

2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。

第1讲 数学文化及核心素养类试题「考情研析」 数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.核心知识回顾1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1 (2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．i <20，S ＝S －1i，i ＝2i B ．i ≤20，S ＝S －1i，i ＝2i C ．i <20，S ＝S 2，i ＝i ＋1D ．i ≤20，S ＝S 2，i ＝i ＋1 答案 D解析 根据题意可知，第一天S ＝12，所以满足S ＝S 2，不满足S ＝S －1i，故排除A ，B ；由框图可知，计算第二十天的剩余时，有S ＝S 2，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A ．121B ．81C ．74D ．49答案 B解析 满足a ≤32，第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；满足a ≤32，第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16；满足a ≤32，第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；满足a ≤32，第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32；满足a ≤32，第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40.不满足a ≤32，输出S .故选B.考向2 数列中的数学文化例2 (2019·陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2n －1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前15项和为( )A ．110B ．114C ．124D ．125答案 B解析 由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第n ＋1行，令x ＝1，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为20，第2行为21，第3行为22，…以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为S n ＝1－2n 1－2＝2n －1，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则T n ＝n (n ＋1)2，令n (n ＋1)2＝15，解得n ＝5，所以前15项的和表示前7行的数列之和减去所有的1，即(27－1)－13＝114，即前15项的数字之和为114，故选B.以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14＋a 15＋a 16＋a 17的值为( )A ．55B ．52C ．39D ．26答案 B解析 设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布，则S 30＝390，所以30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629，所以a 14＋a 15＋a 16＋a 17＝4a 1＋58d ＝4×5＋58×1629＝52.故选B. 考向3 立体几何中的数学文化例 3 (2019·六安市第一中学高三模拟)我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．答案 4π解析 因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a ， 所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ， 因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ＝43π×12×3＝4π， 故答案是4π.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若A 1A ＝AB ＝2，当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为( )A.83B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 由阳马的定义，知V B －A 1ACC 1＝13A 1A ·AC ·BC ＝23AC ·BC ≤13(AC 2＋BC 2)＝13AB 2＝43，当且仅当AC ＝BC ＝2时等号成立，所以当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为12×2×2×2＝2，故选C. 考向4 概率中的数学文化例 4 (2019·山西省高三高考考前适应性训练)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个数，则这三个数为勾股数的概率为( )A.1910B.3910C.4455D.6455答案 C解析 从这15个数中随机抽取3个数所有基本事件个数为C 315，其中为勾股数的为(3,4,5)，(6,8,10)，(9,12,15)，(5,12,13)，共4个，故概率P ＝4C 315＝4455，故选C.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________．答案 49解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…共有9×10＝90个，其中ABA 是偶数则A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8.B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…共有4×10＝40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49. 考向5 推理与证明中的数学文化例5 (2019·南充市第三次诊断)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.43钱C.32钱D.53钱 答案 B解析 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，解得a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43，故选B.以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论．解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题．(2019·上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年．答案 戊戌解析 从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61÷10＝6余1，则2078年的天干为戊，61÷12＝5余1，则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年．考向6 数学文化与现代科学例6 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④答案 D解析 观察题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0，知a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2.即④式正确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.答案 －7解析 依题意，得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43. 故tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7. 真题押题『真题模拟』1．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324答案 B解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B.2．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析 由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.3．(2019·湖南省高三六校联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n ，x 的值分别为3，32，则输出v 的值为( )A ．17B ．11.5C ．10D ．7答案 B解析 初始值n ＝3，x ＝32，程序运行过程如下： v ＝2，v ＝2×32＋1＝4，n ＝2，不满足n ≤0；v ＝4×32＋1＝7，n ＝1，不满足n ≤0；v ＝7×32＋1＝232，n ＝0，满足n ≤0，退出循环，输出v 的值为232＝11.5.故选B. 4．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案 26 2－1解析 先求面数，有如下两种方法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V )＋面数(F )－棱数(E )＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V ＋F －E ＝2，得面数F ＝2＋E －V ＝2＋48－24＝26.再求棱长.作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH ，如图，设其边长为x ，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF ，过H ，G 分别作HM ⊥AF ，GN ⊥AF ，垂足分别为M ，N ，则AM ＝MH ＝NG ＝NF ＝22x .又AM ＋MN ＋NF ＝1，即22x ＋x ＋22x ＝1.解得x ＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.『金版押题』5．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟B.107斗粟C.157斗粟D.207斗粟 答案 C解析 解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C.解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207斗，羊主人应赔偿5×17＝57斗，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157斗，故选C. 6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2答案 C解析 由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为1，则底面三角形腰长为2，底边长为2，三棱柱高为2，所以侧面积为2×2＋2×2×2＝4＋4 2.故选C.配套作业一、选择题1．(2019·赤峰市高三模拟)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是( )A.23B.35C.59D.34答案 A解析 因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P ＝69＝23，故选A.2．(2019·南昌外国语学校高三高考适应性测试)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16,20，则输出的a 的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．1答案 C解析 输入a ，b 的值，分别为16,20，第一次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：不满足a >b ，满足a ≤b ，故b ＝20－16＝4；第二次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝16－4＝12；第三次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝12－4＝8；第四次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝8－4＝4；第五次循环：第一层判断：满足a ＝b ＝4，故输出4，选C.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A ．48里B ．24里C ．12里D ．6里答案 C解析 设第一天的路程为a 1里，则a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，a 1＝192，所以a 5＝192×124＝12. 4．(2019·河南洛阳高三阶段性考试)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．’马主曰：‘我马食半牛．’今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k 的值为2，则m ＝()A.503B.507C.103D.1007答案 B解析 运行该程序，第一次循环，S ＝50－m ，k ＝1；第二循环，S ＝50－3m ，k ＝2；第三次循环，S ＝50－7m ，此时要输出k 的值，则50－7m ＝0，解得m ＝507，故选B. 5．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类比上述过程，则 3＋23＋2…＝( ) A ．3 B.13＋12 C ．6 D ．2 2答案 A解析 令3＋23＋2…＝x (x >0)，两边平方，得3＋23＋2…＝x 2，即3＋2x ＝x 2，解得x ＝3，x ＝－1(舍去)，故 3＋23＋2…＝3，选A.6．(2019·江西省名校高三5月联考)我国古代《九章算术》将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A.1003B.1043C ．27D ．18 答案 B解析 由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体的体积V ＝13×(4＋36＋4×36)×2＝1043.故选B. 7．(2019·河北联考)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōng)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．则它的体积是(注：1丈＝10尺，取π＝3)( )A ．704立方尺B ．2112立方尺C ．2115立方尺D ．2118立方尺答案 B 解析 设圆柱体底面圆半径为r ，高为h ，周长为C .因为C ＝2πr ，所以r ＝C 2π，所以V ＝πr 2h ＝π×C 24π2×h ＝C 2h 4π＝482×1112＝2112(立方尺)．故选B. 8．(2019·南宁市高三第一次适应性测试)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x ＝( )A.35B.911C.2123D.4547答案 C解析 i ＝1时，x ＝2x －1；i ＝2时，x ＝2(2x －1)－1＝4x －3；i ＝3时，x ＝2(4x －3)－1＝8x －7；i ＝4时，退出循环．此时，8x －7＝13x ，解得x ＝2123.故选C. 9．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( )A.120斤B.125斤C.130斤D.136斤 答案 B解析 假设原来持金为x ，则第1关收税金12x ；第2关收税金13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3关收税金14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；第4关收税金15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112x ＝14×5x ；第5关收税金16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112－120x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x ＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125.故选B.10.(2019·陕西省高三第一次模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 的值为( )(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A ．12B ．24C ．48D ．96答案 B解析 模拟执行程序，可得n ＝6，S ＝3sin60°＝332，不满足条件S ≥3.10，n ＝12，S ＝6×sin30°＝3，不满足条件S ≥3.10，n ＝24，S ＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24.故选B.11．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 14033 4031 4029……………11 9 7 5 38064 8060……………………20 16 12 816124…………………………36 28 20…………………………A ．2017×22016 B ．2018×22015 C ．2017×22015 D ．2018×22016答案 B解析从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20＝5×22,48＝6×23，…，所以第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2017行只有一个数，其值为(2017＋1)×22017－2＝2018×22015，故选B.12.(2019·德州市高三下学期第一次练习)正整数N除以正整数m后的余数为n，记为N≡n(MOD m)，例如25≡1(MOD6)．如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该程序框图，当输入N＝25时，则输出N＝( )A．31B．33C．35D．37答案 A解析模拟程序的运行，可得N＝25，N＝26，不满足条件N≡1(MOD3)，N＝27，不满足条件N≡1(MOD3)，N＝28，满足条件N≡1(MOD3)，不满足条件N≡1(MOD5)，N＝29，不满足条件N ≡1(MOD3)，N ＝30，不满足条件N ≡1(MOD3)，N ＝31，满足条件N ≡1(MOD3)，满足条件N ≡1(MOD5)，输出N 的值为31.故选A.二、填空题13．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是________．答案 34 解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.14．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________．答案 6解析 设等差数列{a n }，首项为a 1，公差为3，则S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.。

数学文化对数学教育的作用的例子一、概述数学文化是指以数学为主要内容的学术、思想、艺术、习俗等的总和，它在社会文明的发展过程中扮演着重要的角色。

数学文化对数学教育有深远的影响，本文将通过一些具体的例子来说明数学文化对数学教育的作用。

二、数学文化激发学生学习兴趣1. 著名数学家的故事数学文化中蕴含着无数著名数学家的故事，如阿基米德在浴缸中发现浮力原理，牛顿在苹果树下想到万有引力，高斯童年时期就发现了数学规律等等，这些故事激发了学生对数学的浓厚兴趣，使他们更加愿意投入到数学学习中。

2. 数学文化中的美学数学文化不仅包含着严谨的逻辑和推理，还蕴含着美学的内涵。

黄金分割、菱形定理、费马大定理等都展现了数学的美感，这些美学元素可以激起学生对数学的审美情感，使他们更加喜爱数学学科。

三、数学文化促进数学教育方法的创新1. 传统与现代的交融数学文化中传统的数学内容与现代的数学知识相结合，可以促进数学教育方法的创新。

以我国古代的算盘为例，它在数学文化中扮演了重要角色，而今天的电子计算机则代表了现代科技的发展。

将传统与现代相结合的教学方法可以提高学生学习数学的兴趣和效果。

2. 国际化的视野数学文化包括了世界各个国家和地区的数学发展历程和成就，这种国际化的视野可以促进数学教育方法的创新。

通过比较不同国家和地区的数学教育方法和成就，可以为我们提供更多的启示和借鉴，使数学教育在不断创新中不断进步。

四、数学文化促进数学教育的实践活动1. 数学文化节在许多国家和地区都定期举办数学文化节，通过展示数学的魅力和神秘，吸引了大量学生和家长的参与。

这些数学文化节不仅能够增加学生对数学的兴趣，而且还能够促进学生进行数学实践活动，培养他们的数学思维和创造力。

2. 数学文化课程在一些学校中，已经将数学文化纳入课程中，通过讲解数学史、数学发展过程、数学成就等内容，使学生更加深入地了解数学的内涵和意义，从而提高了他们对数学学科的热爱和兴趣。

五、结语数学文化对数学教育的作用是多方面的，它不仅激发了学生的学习兴趣，促进了数学教育方法的创新，而且还促进了数学教育的实践活动。

专题二 数学传统文化的创新应用问题一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋12nn ＋1＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《X 丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( ) A.47尺布 B.5229尺布 C.815尺布 D.1631尺布 解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229.答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 82803，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 11－271－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B. 答案：B6．(2017·某某调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B. 答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S扇形OACB－S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·某某模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今某某省某某市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ( ) A ．10步，50步 B ．20步，60步 C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B. 答案：B 二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)． 解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k5k ＋12(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝5k －15k －1＋12＝5k5k －12， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 答案：(1)5 030 (2)5k5k －1212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π传统文化训练二一、选择题1．(2017·某某模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.答案：A2.(2017·某某模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否； 当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C. 答案：C3．(2017·某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( ) A ．28 B ．32 C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱． 答案：B4．(2017·某某模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝x32＋3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66x －322＋34，故选A.答案：A5．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D. 答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环；n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516， b ＝32，此时，a ＜b .输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·某某中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n 103＋13n ＋902＋n 97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.答案：D8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( )A.2n ＋1＋2n n ＋1 B.1n ＋1＋1n n ＋1C.1n ＋2＋1nn ＋2 D.12n ＋1＋12n ＋12n ＋3解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半， 第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1， 即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12＝2n ＋1＋2n n ＋1.故选A. 答案：A 二、填空题9．某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P 的值为________．解析：由题意，第1次循环：a ＝0，b ＝1，i ＝3，S ＝0＋1＝1，求出第3项c ＝1，求出前3项和 S ＝0＋1＋1＝2，a ＝1，b ＝1，满足条件，i ＝4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c ＝1＋1＝2，求出前4项和S ＝0＋1＋1＋2＝4，a ＝1，b ＝2，满足条件，i ＝5，执行循环体，…… 第8次循环：求出第10项c ，求出前10项和S ，此时i ＝10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S 的值，故判断框内应为“i ≤9？”，所以P 的值为9.答案：910．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00011．(2017·某某模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：通解：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5 280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.优解：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5512．(2017·某某模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [2a ＋c b ＋2c ＋a d ＋d －b ]6个，假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________个．解析：根据题意可知，a ＝2，b ＝1，n ＝15，则c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为15×20＋34×15＋146＝1 360. 答案：1 360。