人教A版高中数学必修三课件古典概率习题

第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
第一次抛掷后向上的点数 ⑴记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A， 则事件A的结果有12种， 如（2，1）、（1、2）、（5，1）等， 12 1 P ( A) 因此所求概率为： 36 3
小结
求古典概型概率的步骤:
⑴求基本事件的总数; ⑵求事件A包含的基本事件的个数; m P ⑶代入计算公式： ( A)
n
在解决古典概型问题过程中，要注意利用数形结合、 建立模型、符号化、形式化等数学思想解题
作业
课本第97页，4，7，12题
共有28个等可能事件
（6，7）、（6，8）
（7，8） 1 28
例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。
⑵求摸出两个球都是红球的概率； 设“摸出两个球都是红球”为事件A 则A中包含的基本事件有10个， 因此 P ( A)
m 10 5 n 28 14
例1（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。 ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率；

3．能应用古典概型计算公式求复杂事件的概率．
填要点、记疑点
1．古典概型的适用条件 (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ； (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ． 2．古典概型的解题步骤 (1)求出总的 基本事件 数； (2)求出事件A所包含的 基本事件 数，然后利用公式 A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)＝ .
探要点、究所然
探究点一：与顺序有关的古典概型
思考 1 在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从 A、B、C、D 四个 选项中选出所有正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选 题更难猜对，这是为什么？
答 这是因为猜对的概率更小，由概率公式可知，分子上的数还是 1，因正确答 案是唯一的， 而分母上的数即基本事件的总数增多了， 有(A)， (B)， (C)， (D)，(A， B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A， 1 1 C，D)，(B，C，D)，(A，B，C，D)共 15 个，所以所求概率为15<4.
探要点、究所然
探究点一：与顺序有关的古典概型
思考 3 在例 1 中所求的概率和思考 2 中所求的概率相同吗？哪种求法不符合古典 概型？为什么？
答 求出的概率不相同；思考 2 中的求法不符合古典概型；因为两个不同的骰子
所抛掷出来的点构造的基本事件不是等可能事件. 反思与感悟 古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进

考察两个试验
(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验 正面向上 反面向上
(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验 六种随机事件
基本事件 (1)中有两个基本事件 (2)中有6个基本事件
特点
(1)任何两个基本事件是不能同时发生的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本 事件的和．
古典概率
2、古典概型 我们会发现，以上试验有两个共同特征：
每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求
取出的两件中恰好有一件次品的概率.
解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的 结 果组成的样本空间是
Ω={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c)}
∴n=9
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则
•(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至 少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、 乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断 题．
•记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，
.
此类问题可利用分类计数原理计算古典概型问题.
• 【例2】(2009·福建)袋中有大小、形状相同 的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸 取3次，每次摸取一个球．
n
我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率.
注： A即是一次随机试验的样本空间的一个子集， 而m是这个子集里面的元素个数；n即是一次随机 试验的样本空间的元素个数.

丙、甲”和“丙、甲、乙”2 个基本事件，故 P＝26＝13.
3．某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任
选两门学习，则所有可能的结果共有
()
A．2个 B．3个
C．4个
D．5个
答案 B
解析 选学的所有可能情况是：{音乐，美术}，{音乐，体
育}，{美术，体育}，所以共有3个．
4．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事 件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做 到不重不漏．
3．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概 率，进而求得其概率，以降低难度.
再见
解 将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有 24 个． (1)设事件 A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件 A 只包含 1 个基本事件，所以 P(A)＝214. (2)设事件 B 为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事 件 B 包含 9 个基本事件，所以 P(B)＝294＝38. (3)设事件 C 为“这四个人恰有 1 位坐在自己席位上”，则事件 C 包含 8 个基本事件，所以 P(C)＝284＝13.
高中数学·必修3·人教A版
3.2 古典概型 3.2.1 古典概型
[学习目标] 1．了解基本事件的特点． 2．理解古典概型的定义． 3．会应用古典概型的概率公式解决实际问题．

【课标要求】 1.了解基本事件的特点. 2.理解古典概型的定义. 3.会用古典概型的概率公式解决简单的古典概型问题.
知识导图
学法指导 1.能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型， 解决简单的实际问题．能够借助古典概型初步认识有限样本空间、 随机事件以及随机事件的概率． 2．注意区分有放回抽取时每次抽取之后总体个数不变，无放 回抽取时每次抽取之后总体个数减少.
所以所求概率为36＝12.
答案：C
类型一 基本事件的计数问题 例 1 (1)有 4 张卡片，上面分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡 片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的所有 基本事件数为( ) A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】 (1)由题意知，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张卡片， 包含的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 种；其中“取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数”包含的基本事件 有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共有 4 种．
事件 A 由 4 个基本事件组成，所以 P(A)＝46＝23.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件 空间 Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)， (b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共 9 个基本事件．用 B 表示“恰有 一件次品”这一事件，则 B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1， a2)}．

P（“答对”）
1
15
这节课你学到了哪些知识?
1、基本事件、古典概型的定义
来自百度文库
2、古典概型的概率计算公式
3.计算古典概型中的随机事件A的概率的步骤：
（1）审清题意，判断本试验中的基本事件是否满足等可能性.
（2）计算所有基本事件的总数 n
（3）计算事件A所包含的基本事件数 m
（4）计算P（A）=
m
n
假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是
随意抽出一张牌，试分析以下各个事件：事件 A：抽到一张 Q,
事件 B：抽到一张“梅花”,事件 C：抽到一张红心 K,
B 则事件
更容易发生
2 4．从分别写有 A，B，C，D，E 的 5 张卡片中任取 2 张，这 2 张
卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是________．
5 5．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及
事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件？ “1点” “2点” “3点” “4点”
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
1．基本事件 (1)定义：在一次试验中，所有可能发生的基本结果中不能 再分的最简单的随机事件称为该次试验中的基本事件，试
验中其他的事件都可以用_基__本__事件来描绘． (2)基本事件的特点：一是任何两个基本事件是_互__斥__的；二 是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的__和__； 三是所有基本事件的和事件是必然事件．

例2 将一枚匀称的硬币连续掷两次 , 计算正面只出现一次及
B {正面至少出现一次 }
正面至少出现一次的概率 . } 解 设事件A {正面只出现一次
{(正, 正), (正, 反), (反, 正), (反, 反)} P ( A) 0.5， P ( B ) 0.75.
这里我们先简要复习一下计算古典概型所用到的
不同取法有
。。
n n n n n r 种
r个
例3 本市电话号码目前由8个数字组成，每个数字可以是0～9这10个数字中 的任何一个数，问能排出多少个号码？如果电话号码首位不能为0又如何？
108
9 107
例4 某地铁沿线有20个车站, 为此需要设计多少种车票? 2 A20
可以有
种打扮 3 2
4.排列： 从n个不同元素取 出r 个, 按一定顺序排一排
(1)不放回－－ 一经取出，从总数中除 去 ( r n ) n! r 种 不同取法有 An n ( n 1) ( n r 1) ( n r )! ( 2)有放回－－ 取出后再放回，可重复排列 ( r可 n)
2 0 C5 C3 m 0.36 P ( A) 2 n C8
注意 读题, 先读试验，再 读事件!
古典概型一般解题步骤 ：
1、读题，先读试验，再 读事件
2、按需要设出事件
3、求基本事件总数和有 利事件数 4、求出概率 .

在连续抛掷两次试验中,P(“恰好一次正面朝上”)=P(“第一次正
面朝上,第二次反面朝上”)+P(“第一次反面朝上,第二次正面朝上”)
=14
+
1 4
=
12,即
P(“恰好一次正面朝上”)
=“恰好一次正面基朝本上事”所件包的含总基数本事件的个数.
2.在抛掷骰子的试验中,如何求出现各个点的概率?出现偶数点
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法二:如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现 的点数的和,基本事件与所描点一一对应.
(1)由图知,基本事件的总数为36. (2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用虚线圈出).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法三:一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示. 如下图所示.
4.做一做2:从甲、乙、丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概 率为( )
A.12
B.13
C.14
D.23
解析:甲、乙、丙三人中任选两名代表有如下三种情况:(甲、 乙),(甲、丙),(乙、丙),其中甲被选中包含两种,因此所求概率为23.
答案:D
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)任何两个基本事件是互斥的.( ) (2)任何事件都可以表示成基本事件的和.( ) (3)古典概型中,试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(

有限性
（1） 试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个
（2） 每个基本事件出现的可能性 相等
等可能性
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
有限性
（1） 试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个
（2） 每个基本事件出现的可能性 相等
等可能性
我们将具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型
1
3
6
6
P（“6点”）
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
古典概型的概率计算公式：
P（A）
A包含的基本事件的个数m
基本事件的总数 n
在使用古典概型的概率公式时，应该注意： 要判断所用概率模型是不是古典概型（前提）
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
例2．同时抛掷两枚均匀的硬币，会出现几种结果？列举出来. 出现 “一枚正面向上，一枚反面向上” 的概率是多少？
②任何事件（除不可能事件）都可以 ②等可能性。表示成基本事件的和。
（3）古典概型计算任何事件A的概率计算公式
A所包含的基本事件的个数
2.思想方法P(：A)=
基本事件的总数
列举法（树状图或列表），应做到不重不漏。
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
1点
2点
3点
4点 5点

2019年8月28日星期三9时59分38秒 云在漫步
3.选定C1格，键入频数函数“=FREQUENCY（A1:A100，0.5）”, 按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的 个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数．
2019年8月28日星期三9时59分38秒 云在漫步
1.如何利用计算器产生随机数？ 例1: 产生1到25之间的取整数值的随机数.
解：具体操作如下 第一步:ON → MODE→MODE→MODE→1→0 → 第二步:25 →SHIFT→RAN#→+ → 0.5 → = 第三步:以后每次按“=”都会产生一个1到25的取整 数值的随机数.
2019年8月28日星期三9时59分38秒 云在漫步
若要产生[M，N]的随机整数，操作如下:
第一步:ON → MODE→MODE→MODE→1→0 → 第二步:N-M+1→SHIFT→RAN#→＋ → M-0.5 →= 第三步:以后每次按“=”都会产生一个M到N的取整
数值的随机数.
温馨提示: (1)第一步，第二步的操作顺序可以互换； (2)如果已进行了一次随机整数的产生，再做类似的操
不是很多时采用． 缺点：当需要的随机数的量很大时，速度太慢．
(2)用计算器(计算机)产生随机数：由计算器(计算机)根据 确定的算法产生随机数．
优点：速度较快，适用于产生大量的随机数． 缺点：并不是真正的随机数，称为伪随机数．

（确定事件）
求一个事件发生的概率一般通过大量试验，
统计频率去估计概率，但工作量太大，结果有摆 动性，有的还具有破坏性。因此需建立一个理想 的数学模型来解决相关问题。古典概型即是这样 的一个模型。用它可直接计算概率，通过下列实 例概括古典概型的定义：
１、掷一枚均匀的硬币，求事件“正面向上”的概率； 2、掷一枚骰子，求事件“出现点数为偶数”的概率。
第一次抛掷后向上的点数
求古典概型概率的步骤; (1)求基本事件的总数; (2)求事件A包含的基本事件的个数; m (3)代入计算公式. P ( A)
n
例2、一个口袋装有大小相同的5只球，其中3只 白球，2个黑球。问题1：从中摸出2个球，有多 符 少个基本事件？摸出两只白球的概率是多少？ 号 解：分别设白球为1，2，3号，黑球为4，5号， 化 从中摸两只球，有如下基本事件（摸到1，2号 球用（1，2）表示): （1,2） ,(1,3), ( 1,4),（1,5） （2,3）,（2,4）,（2,5）,（3,4),（3,5） , (4,5） 共10种，摸到2只 白球记为事件A，故P(A)=3/10 问题2：摸出1个球，记下颜色，然后放回袋中， 再摸出1个球。有多少个基本事件？摸到至少有1 个黑球的概率是多少？ 10 2 有5 5= 25个基本事件; P ( B ) . 25 5
m P ( A) n
其中n是试验中所有基本事件的个数，m是事件A 包含的基本事件的个数（m n).

3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
设向上点数均为3为事件A．
4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
设向上点数为偶数点为事件C.
事件C包含(1,1)、(1,3)、(1,5)、(2,2)、(2,4)、(2,6)、(3,1)、 (3,3)、(3,5)、(4,2)、(4,4)、(4,6)、(5,1)、(5,3)、(5,5)、(6,2)、 (6,4)、(6,6)共18个基本事件. 因此，向上点数和为偶数的概率为.P(C) = 18 = 1
其中,事件A包含（3,3）1个基本事件．
因此，向上点数均为3的概率为. P(A)=
1 36
(2)求向上的点数和为5的概率．
解：同时掷两颗骰子的基本事件共有36种.
1
2
3
4

成才之路· 数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
概 率
第三章
3．2 古典概型
第三章
3．2.1 古典概型
课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 1．(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件，则称事件A与事 件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会 同时 发 生． (2)对立事件：若A∩B为 不可能 事件，A∪B为 必然 事 件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B 在任何一次试验中 有且仅有 一个发生．
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． 共36个基本事件． (2)“现出的点数之和大于8”包含以下10个基本事件： (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)， (6,6)．
规纳总结：要写出所有的基本事件可采用的方法较 多．例如，列举法、列表法、树形图法，但不论采用哪种方 法，都要按一定的顺序进行，做到不重漏．
一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个 黑球，从中一次摸出两个球． (1)共有多少个基本事件？ (2)两个都是白球包含几个基本事件？
[分析]

数字型问题
[例 2] 某城市的电话号码是 8 位数，如果从电话号 码本中任取一个电话号码，求：
(1)头两位数字都是 8 的概率； (2)头两位数字都不超过 8 的概率． [解] 电话号码每位上的数字都可以由 0,1,2，…，9 这十个数字中的任意一个数字组成，故试验基本事件总 数为 n＝108.
(1)记“头两位数字都是 8”为事件 A，则若事件 A 发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选 8，后六位 各有 10 种选法，故事件 A 包含的基本事件数为 m1＝106. 所以由古典概型概率公式，得 P(A)＝mn1＝110068＝1100＝0.01.
[解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次， 其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个，即(a1，a2)，(a1， b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左 边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母表示第 2 次 取出的产品．总的事件个数为 6，而且可以认为这些基本 事件是等可能的．
[对点训练] 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号 分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回 袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n＜m＋2 的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的 基本事件有：1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4， 共 6 个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于 4 的事 件有：1 和 2,1 和 3，共 2 个，因此所求事件的概率为 P ＝26＝13.

An ) ______
探究：对于随机事件，是否只能通过大量重复 的试验才能求其概率呢？
大量重复试验的工作量大，且试验数据不稳定，且 有些时候试验带有破坏性。
对于某些随机事件，也可以不通过大量重复试验， 而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计 算概率。
试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现 哪几种结果？ 2 种
基本事件出现的可能 性
有限性
（1） 试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个
（2） 每个基本事件出现的可能性 相等
等可能性
我们将具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型
简称：
古典概型
问题4：向一个圆面内随机地投射一个点，如 果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认 为这是古典概型吗？为什么？
问题7：在古典概率模型中，如何求随机事件出现的概率？ 试验2: 掷一颗均匀的骰子,
事件A 为“出现偶数点”， 请问事件 A的概率是多少？
探讨：
基本事件总数为： ６
事件A 包含
1点，2点，3点，4点，5点，6点 4点 6点
3
1
个基本事件： 2 点
（A） P
（“2点”） P
1 1 6 1 2 6 3 6
正面朝上
反面朝上
试验2：掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点 数有哪几种结果？ 6 种
1点