通州区2012年高三年级模拟考试（一）数学（理科）试卷2012年4月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷 (选择题 共40分)一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数11iz i+=-等于 A ．iB ．2iC ．1+iD ．1－i2．参数方程cos ,sin 3x y θθ==-⎧⎨⎩（θ为参数）化为普通方程是A ．()2231x y +-=B ．()2231y x ++= C ．30x y ++=D ．2213y x +=3．如图，程序框图所进行的求和运算是 A ．1+2+22+23+24+25 B ．2+22+23+24+25 C ．1+2+22+23+24 D ．2+22+23+244．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是 A ．AB AC BC +=B ．12AB BC DA =+C ．AD DC AC -=D ．2CD BA CA +=5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正 视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正 方形，那么该几何体的表面积是 A ．16B ．20C ．12+D ．16+6．有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有 A ．48种B ．24种C ．12种D ．6种7．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润（单位：万元）是1913.5y x =-，在B 地的销售利润（单位：万元）是216.24y x =+，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元8．定义集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”是b －a . 已知m ，n ∈R ，集合23M x m x m =+⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，34N x n x n =-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，且集合M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N的“长度”的最小值是 A ．23B ．12C ．512D ．13第II 卷 (共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知等差数列{a n }中，a 2=－2，公差d =－2，那么数列{a n }的前5项和S 5= . 10．某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一 组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18． 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若 成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则 该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_________.11．已知x ，y 满足不等式组50,10,1,x y x y x +---⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 那么z =x +2y 的最大值是_____________.12．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，AB=BC =3，CD = 则cos D = .13．已知函数()12log 2f x x kx k =-+，且方程f (x )=0有且只有一个实数根，那么实数k 的取值范围是__________________.14．在直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知11,04OA =-⎛⎫⎪⎝⎭，()121,0i i A A i +=-()1,2,,,i n =，()11,2,,,i i i A B A i n +∆=是等边三角形，且点12,,,,n B B B 在同一条曲线C 上，那么曲线C 的方程是____________；设点()1,2,,,n B i n =的横坐标是n (n ∈N *)的函数f (n )，那么f (n )= ____________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题13分）已知函数f (x )=2sin x cos x +2cos 2x +1. （I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求f (x )在区间,02π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．（本题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠DAB =90°，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =BC =2，AD =1.（I ）求证：BC ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；（III ）在侧棱PA 上是否存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.17．（本题13分）有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为25，12，丙通过面试的概率为p ，且三人能否通过面试相互独立. 记X 为通过面试的人数，其分布列为（I ）求p 的值；（II ）求至少有两人通过面试的概率； （III ）求数学期望EX .18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －a 2x 2+ax . （I ）若a =1，求函数f (x )的最大值；（II ）若函数f (x )在区间(1，+∞)上是减函数，求实数a 的取值范围.19．（本题13分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，离心率为2，且短轴的一个端点到下焦点F . （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设直线y =－2与y 轴交于点P ，过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB面积的最大值.20．（本题14分）对于数列{a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a n }的“差等比数列”，记为数列{b n }. 设数列{b n }的首项b 1=2，公比为q (q 为常数).（I ）若q =2，写出一个数列{a n }的前4项；（II ）（ⅰ）判断数列{a n }是否为等差数列，并说明你的理由；（ⅱ）a 1与q 满足什么条件，数列{a n }是等比数列，并证明你的结论；（III ）若a 1=1，1＜q ＜2，数列{a n +c n }是公差为q 的等差数列(n ∈N *)，且c 1=q ，求使得c n ＜0成立的n 的取值范围.(考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效)通州区一模参考答案（理科）2012年4月一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 二、填空题：9．20- 10．35 11．912 13．[)0,+∞ 14． 23y x =；212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：15． 解：（Ⅰ）()sin 2cos 22f x x x =++ …………………………3分)24x π=++．所以)(x f 的最小正周期为π． …………………………6分（Ⅱ） 因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 所以32[,]444x πππ+∈-，所以当244x ππ+=，即0x =时，sin(2)4x π+=所以()f x 取得最大值3； 当242x ππ+=-，即38x π=-时，sin()16x π+=-，所以()f x 取得最小值2 …………………………13分 16．解；（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 是梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒， ∴.BC AB ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥ BC ， ∵PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB . ………………………… 3分 （Ⅱ）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ∴()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P . ∴()2,2,2PC =-，()0,2,0AB =.∴cos ,34PC AB PC AB PC AB===⋅∴异面直线PC 与AB …………………………8分 （Ⅲ）假设在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23， 设()()0,0,0.E m m > ∴()1,2,0DC =，()1,0,DE m =-. ∴设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =， ∴0n DC =，0n DE =，∴20,0.x y x mz +=⎧⎨-+=⎩令2x =，所以1y =-，2z m =. ∴22,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又∵平面ACD 的法向量为()0,0,2AP =，∴2cos ,3n AP =，即42.3n APn AP==⋅ 解得 1.m =∴点E 的坐标是()0,0,1.∴在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23. ………………………… 14分17． 解：设 “甲通过面试”为事件1A ， “乙通过面试”为事件2A ，设 “丙通过面试”为事件3A ， ………………………… 1分 所以()125P A =，()212P A = ，()3P A p = . （Ⅰ）由已知得()9040P X ==，即()219111.5240p ⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以14p =. ………………………… 4分 （Ⅱ）设“至少有两人通过面试”为事件B ，由题意知()()()()1231231232b P X P A A A P A A A P A A A ===++21123131111.54254254240=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()()1233c P X P A A A ===2111.52420=⨯⨯=所以 ()()()1323.40P B P X P X ==+== ………………………… 10分 （Ⅲ）由题意得 ()()()()911023.20a P X P X P X P X ===-=-=-== 所以99111230123.4020402020EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………… 13分18．解：（I ）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，………………………… 1分所以()212121x x f x x x x -++'=-+=， 令()0f x '=，解得12x =-，或1x =.因为0x >，所以 1.x = ………………………… 3分 所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， ………………………… 4分 所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，即()f x 的最大值是()10.f = ………………………… 5分 （II ）因为()22ln f x x a x ax =-+，定义域为()0,+∞，所以()()()221112.ax ax f x a x a x x-+-'=-+= ………………………… 7分 ①当0a =时，()10f x x'=>， 所以()f x 在区间()0,+∞上为增函数，不符合题意. ………………………… 8分 ②当0a >时，由 ()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以1.x a >所以()f x 的单调减区间为（1a，+∞）， 所以11,0,a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩ 解得 1.a ≥ ………………………… 10分③当0a <时，()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以12x a >-，所以()f x 的单调减区间为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以11,20,a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩解得1.2a ≤- ………………………… 12分综上所述，实数a 的取值范围是[)1,1,.2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦………………………… 13分 19．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以设椭圆C 的方程是()222210y x a b a b+=>>. ………………………… 1分因为短轴的一个端点到下焦点F所以a = 1.c = 所以2 1.b =所以椭圆C 的标准方程是22 1.2y x += ………………………… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()0,1F -，()0,2P -，且直线l 的斜率存在，设其方程为： 1.y kx =-，由 221,1,2y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222210.k x kx +--= ………………………… 6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以12222k x x k +=+，12212x x k -=+. ………………………… 7分 所以PAB ∆面积1212PAB S PF x x ∆=⋅-（1x ，2x 异号）.所以PAB S ∆===………………………… 9分=≤= ………………………… 12分 当且仅当22111k k+=+，即0k=时，PAB S ∆有最大值是2 所以当0k =时，PAB ∆面积的最大值是2………………………… 13分20． 解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是等比数列，且12b =，2q =， 所以 24b =，38b =，所以11a =，23a =，37a =，1515a =. （写出满足条件的一组即可） ………………………… 2分 （Ⅱ）（ⅰ）因为12b =，所以212a a -=，322a a q -=， 2432a a q -=，…，212n n n a a q ---=()2n ≥.所以()22121n n a a q q q --=++++.①若1q =，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列. ………………………… 3分 ②若1q ≠，所以()1121.1n n q a a q --=+-所以1n n a a +-=()()1212111n n q q qq------1221n n q q q--=-12n q -=.因为1q ≠， 所以12n q-不是常数.所以数列{}n a 不是等差数列. ………………………… 5分 （ⅱ）因为数列{}n b 是等比数列，首项12b =，公比为q ，所以22b q =，232b q =. 所以212a a =+，3122a a q =++.因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =⋅，即()()2211222.a a a q +=⋅++ 所以112a q a +=. 所以当112a q a +=时，数列{}n a 是等比数列. ………………………… 7分 （Ⅲ）因为{}n n a c +是公差为q 的等差数列，所以()()11.n n n n a c a c q --+-+= 又212n n n a a q ---=，所以212.n n n c c q q ---=-所以3122n n n c c q q ----=-，…，322c c q q -=-，21 2.c c q -=-所以()2321n n n c nq q q q --=-++++()121.1n q nq q--=-- ………………………… 9分所以10c q =>，()2210c q =->，320c q =-<，4c =()2213212022q q q ⎛⎫--+=---< ⎪⎝⎭，…猜想：当3n ≥时，0n c <. 用数学归纳法证明：①当3n =时，30c <显然成立， ②假设当()3n k k =≥时，0k c <，那么当1n k =+时，()11212212.k k k n n c c q q q q q q ---+=+-<-=- 因为12q <<，3k ≥， 所以2120.k q--<所以10.n c +<所以当1n k =+时，10n c +<成立.由①、②所述，当3n ≥时，恒有0n c <. ………………………… 14分。
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