高考理科数学第一轮复习测试题45

高考理科数学第一轮《立体几何》专题测试题&参考答案测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2021·浙江高考]已知彼此垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n 知足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B.m∥nC．n⊥l D.m⊥n答案C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.2．[2021·济南调研]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．28＋6 5 B.40C.403D.30＋65答案C解析由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4,5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，而且高为4，所以棱锥的体积为：13×12×5×4×4＝403.3．[2021·云师大附中月考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.12 B.13 C ．22D.23答案 D解析 由题意知该几何体为如图放置的正四面体，其棱长为2，故其表面积为12×2×2×sin π3×4＝23，故选D.4．[2021·山东实验中学一诊]已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2 3 B.3 C.433D.233答案 C解析由三视图知该几何体是四棱锥，其直观图如图所示，四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SO⊥AB，垂足为O，所以SO⊥底面ABCD，SO＝3，所以四棱锥的体积为13×2×2×3＝433，故选C.5．[2021·广西梧州模拟]若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则此几何体的表面积是()A．(4＋2)π B.6π＋22πC．6π＋2π D.(8＋2)π答案C解析圆柱的侧面积为S1＝2π×1×2＝4π，半球的表面积为S2＝2π×12＝2π，圆锥的侧面积为S3＝π×1×2＝2π，所以几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝6π＋2π，故选C.6．[2021·安徽师大期末]某个长方体被一个平面所截，取得的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4 B.2 2C．4 2 D.8答案D解析按照三视图还原可知该几何体为长、宽、高别离为3,2,2的长方体，被一个平面截去一部份剩余23，如图所示，所以该几何体的体积为(3×2×2)×23＝8，故选D.7．[2021·吉林长春质检]某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部份为半圆，则该几何体的体积是()A ．4＋32πB.6＋3π C ．6＋32πD.12＋32π答案 C解析 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为V ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12π·12＋12×2×2×3＝6＋3π2，故选C.8．[2021·河南百校联盟质监]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.112B.132C ．6D.7答案 C解析 几何体如图，为每一个正方体中去掉两个全等的三棱柱，体积为23－12×1×1×1×4＝6，选C.9．[2021·河北唐山模拟]在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝4，E ，F ，H别离是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P －ABCD 所得截面面积为( )A ．2 6 B.4 6 C ．5 6 D.23＋46 答案 C解析 由过E ，F ，H 的平面交直线CD 于N 点，可得N 点为CD 的中点，即CN ＝2；由过E ，F ，H 的平面交直线PA 于M 点，可得M 为PA 的四等分点，所以PM ＝1，所以过E ，F ，H 的平面截四棱锥P －ABCD 所得截面为五边形MEFNH ，所以其面积等于三角形MEH 与矩形EFNH 的面积之和，而S △MEH ＝12×22×3＝6，S △EFNH ＝22×23＝46，所以所求的面积为56，故应选C.10．[2021·全国卷Ⅲ]在封锁的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π3答案 B解析 由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部份面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.11．[2021·云师大附中月考]棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有极点均在球O 的球面上，E ，F ，G 别离为AB ，AD ，AA 1的中点，则平面EFG 截球O 所得圆的半径为( )A. 2B.153 C.263D.3答案 B解析 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球球心O 为对角线AC 1的中点，球半径R ＝3，球心O 到平面EFG 的距离为233，所以小圆半径r ＝R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝153，故选B.12．[2021·河北武邑期末]已知边长为23的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，现沿对角线BD 折起，使得二面角A －BD －C 为120°，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．20π B.24π C ．28π D.32π答案 C解析 如图别离取BD ，AC 的中点M ，N ，连MN ，则容易算得AM ＝CM ＝3，MN ＝32，MD ＝3，CN ＝332，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，HN ＝x ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝x 2＋274，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x 2＋3，解之得x ＝12，则R 2＝14＋274＝7，所以球的表面积S ＝4πR 2＝28π，故应选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2021·江苏联考]将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．答案33π 解析 圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，圆锥的高为3，圆锥的体积为13π×12×3＝33π.14．[2021·河南郑州一中期末]我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．答案 1.6解析 由图可得π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋3×1×(5.4－x )＝12.6⇒x ＝1.6.15．[2021·江苏联考]在下列四个图所表示的正方体中，能够取得AB ⊥CD 的是________．答案 ①②解析 对于①，通过平移AB 到右边的平面，可知AB ⊥CD ，所以①中AB ⊥CD ；对于②，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD 垂直AB 所在的平面，由线面垂直定理取得②中AB ⊥CD ；对于③，可知AB 与CD 所成的角为60°；对于④，通过平移CD 到下底面，可知AB 与CD 不垂直．故答案为①②.16．[2021·长春质检]若是一个棱锥底面为正多边形，且极点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥．已知正四棱锥P －ABCD 内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________．答案 43 解析 由球的几何性质可设四棱锥高为h ，从而V P －ABCD ＝23h [1－(h －1)2]＝23(－h 3＋2h 2)，有V ′P －ABCD ＝23(－3h 2＋4h )＝23h (－3h ＋4)，可知当h ＝43时，体积V P －ABCD 最大．三、解答题(共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)17．[2021·西安八校联考](本小题满分10分)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DC ＝12DD 1，过A 1、B 、C 1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D 1，E 、F 别离为A 1B 、BC 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)求平面A 1BC 1与平面ABCD 的夹角θ的余弦值．解 (1)证明：∵在△A 1BC 1中，E 、F 别离为A 1B 、BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1. ∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ∥A 1C 1，∴EF ∥AC .(2分)∵EF ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .(4分)(2)以D 为坐标轴原点，以DA 、DC 、DD 1方向别离为x ，y ，z 轴，成立空间直角坐标系，不妨设AD ＝DC ＝12DD 1＝1， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)，C 1B →＝(1,0，－2)，(5分)∵DD 1⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,2)，(6分)设平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧ n ·A 1B →＝0，n ·C 1B →＝0，即⎩⎨⎧b －2c ＝0，a －2c ＝0，取a ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，(8分) ∴cos θ＝|cos 〈n ，DD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DD 1→·n |DD 1→||n |＝13. ∴平面A 1BC 1与平面ABCD 的夹角θ的余弦值为13.(10分)18．[2021·江西南昌模拟](本小题满分12分)如图所示，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(4分)(2)在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα，其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角的大小．(7分)证明：∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SCBB1C1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα.(12分)19．[2021·长春质检](本小题满分12分)已知等腰梯形ABCD如图1所示，其中AB∥CD，E，F别离为AB和CD的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点，现将梯形ABCD按EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图2所示，N是线段CD上一动点，且CN＝λND.(1)当λ＝12时，求证：MN ∥平面ADFE ； (2)当λ＝1时，求二面角M －NA －F 的余弦值．解 (1)证明：过点M 作MP ⊥EF 于点P ，过点N 作NQ ⊥FD 于点Q ，连接PQ .由题意，平面EFCB ⊥平面EFDA ，所以MP ⊥平面EFDA ，且MP ＝BE ＋CF 2＝2，(2分) 因为CF ⊥EF ，DF ⊥EF ，所以EF ⊥平面CFD ，所以NQ ⊥EF ，由NQ ⊥FD ，所以NQ ⊥平面EFDA ，又CN ＝12ND ，所以NQ ＝23CF ＝2，(4分) 即MP ∥NQ ，MP ＝NQ ，则MN ∥PQ ，由MN ⊄平面ADFE ，PQ ⊂平面ADFE ，所以MN ∥平面ADFE .(6分)(2)以F 为坐标原点，FE 方向为x 轴，FD 方向为y 轴，FC 方向为z 轴，成立如图所示坐标系．由题意，M (1,0,2)，A (2,1,0)，F (0,0,0)，C (0,0,3)，D (0,3,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32. 设平面AMN 与平面FAN 的法向量别离为n 1，n 2，平面AMN 的法向量为平面ABCD 的法向量，即n 1＝(1,1,1)，(8分)在平面FAN 中，FA →＝(2,1,0)，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32，即n 2＝(1，－2,2)，(10分) 则cos θ＝39，所以二面角M －NA －F 的余弦值为39.(12分) 20．[2021·沈阳质检](本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD,2AD ＝BC ＝2a (a >0), AD ∥BC ，PD ＝3a ，∠DAB ＝θ.(1)若θ＝60°，AB ＝2a ，Q 为PB 的中点，求证：DQ ⊥PC ；(2)若θ＝90°，AB ＝a ，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小．(若非特殊角，求出所成角余弦即可)解 (1)证明：连接BD ，△ABD 中，AD ＝a ，AB ＝2a ，∠DAB ＝60°，由余弦定理：BD 2＝DA 2＋AB 2－2DA ·AB cos60°，解得BD ＝3a ，所以△ABD 为直角三角形，BD ⊥AD ，因为AD ∥BC ，所以BC ⊥BD ，(1分)又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ，(2分)因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ，(3分)BC ⊂平面PBC ，所以平面PBD ⊥平面PBC ，(4分)又因为PD ＝BD ＝3a ，Q 为PB 中点，所以DQ ⊥PB .因为平面PBD ∩平面PBC ＝PB ，所以DQ ⊥平面PBC ，(5分)PC ⊂平面PBC ，所以DQ ⊥PC .(6分)(2)由θ＝90°，AB ＝a ，可得BD ＝CD ＝2a .取BC 中点M ，可证得ABMD 为矩形．(7分)以D 为坐标原点别离以DA ，DM ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，成立空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，DM ⊥平面PAD ，所以DM →是平面PAD 的法向量，DM →＝(0，a,0)．(9分)设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，P (0,0，3a )，B (a ，a,0)，C (－a ，a,0)，所以PB →＝(a ，a ，－3a )，BC →＝(－2a,0,0)，⎩⎨⎧ n ·PB →＝0，n ·BC →＝0，令z ＝1，可得⎩⎨⎧ax ＋ay －3a ＝0，－2ax ＝0，解得n ＝(0，3，1)，(10分) 所以cos θ＝DM →·n |DM →||n |＝3a 2a ＝32.(11分)所以平面PAD 与平面PBC 所成二面角为π6.(12分)21．[2021·贵阳月考](本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC＝12PA ，BD ＝3，E 在PC 边上． (1)求证：平面PDA ⊥平面PDB ；(2)当E 是PC 边上的中点时，求异面直线AP 与BE 所成角的余弦值；(3)若二面角E －BD －C 的大小为30°，求DE 的长．解 (1)证明：因为底面ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝1，又BD ＝3，AB ＝2，知足AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD .又因为PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAD .(3分)∵BD ⊂平面PDB ，∴平面PDA ⊥平面PDB .(4分)(2)以D 为原点成立如图所示空间直角坐标系．则D (0,0,0)，P (0,0，3)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)， ∵E 是PC 边上的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32， 则AP →＝(－1,0，3)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，32，(6分) ∴cos 〈AP →，BE →〉＝|A P →·BE →||AP →||BE →|＝277.(8分) (3)由C ，E ，P 三点共线，得DE →＝λDP →＋(1－λ)DC →，且0≤λ≤1，从而有DE →＝(λ－1，3(1－λ)，3λ)，DB →＝(0，3，0)．设平面EDB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·DE →＝0及n ·DB →＝0，可取n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，0，1－λλ. 又平面CBD 的法向量可取m ＝(0,0,1)，(10分)二面角E －BD －C 的大小为30°，∴cos30°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·m |n ||m |＝32， ∴λ＝14，∴DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，334，34，∴|DE |＝394.(12分)22．[2021·河北一模](本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC 中，SC ⊥平面ABC ，SC ＝3，AC ⊥BC ，CE ＝2EB ＝2，AC ＝32，CD ＝ED . (1)求证：DE ⊥平面SCD ；(2)求二面角A －SD －C 的余弦值；(3)求点A 到平面SCD 的距离．解 (1)证明：以C 为原点，CA ，CB ，CS 所在直线别离为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系，如图，则C (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，S (0,0,3)，E (0,2,0)，D (1,1,0)， 因为DE →＝(－1,1,0)，CD →＝(1,1,0)，CS →＝(0,0,3)，所以DE →·CD →＝－1＋1＋0＝0，DE →·CS →＝0＋0＋0＝0，即DE ⊥CD ，DE ⊥CS .(2分)因为CD ∩CS ＝C ，所以DE ⊥平面SCD .(4分)(2)由(1)可知DE →＝(－1,1,0)为平面SCD 的一个法向量．设平面SAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，而AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0， AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，3，则⎩⎨⎧ n ·AD →＝0，n ·AS →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋y ＝0，－32x ＋3z ＝0. 不妨设x ＝2，可得n ＝(2,1,1)．(6分)易知二面角A －SD －C 为锐角，因此有|cos 〈DE →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋1＋02·6＝36， 即二面角A －SD －C 的余弦值为36.(8分)(3)AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，3，作AH ⊥平面SCD ，垂足为H ， 设AH →＝xAC →＋yAD →＋zAS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x －12y －32z ，y ，3z ，且x ＋y ＋z ＝1.(10分)由AH →⊥CD →，AH →⊥CS →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －12y －32z ＋y ＝0，9z ＝0，x ＋y ＋z ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝34，z ＝0.所以AH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0，(11分)|AH →|＝324，32即点A到平面SCD的距离为4.(12分)。

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题. 10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】：①当点P在AB上时，如图：②当点P在BC上时，如图：③当点P在CM上时，如图，综上①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图形．只有A的图象是三个一次函数，且在第二段上y随x的增大而减小，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≥1时，函数f(x)＝lnx，若a ＝f(2－0.3)，b＝f(log3π)，c＝f(－)，则a，b，c大小关系是( )A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞） B. （0，+∞） C. （1，+∞） D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。

课时提能演练(三)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.（2012·福州模拟）已知命题“∃x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（）(A)（-∞,-1）(B)(1,+∞)(C)(-∞,-1)∪(1,+∞) (D)(-1,1)2.如果命题“⌝(p∨q)”是假命题，则下列说法正确的是( )(A)p、q均为真命题(B)p、q中至少有一个为真命题(C)p、q均为假命题(D)p、q至少有一个为假命题3．（预测题）下列命题是假命题的为( )(A)∃x0∈R,0xlge=0(B)∃x0∈R，0tanx=x0π),sinx＜1(C)∀x∈(0,2(D)∀x∈R，e x＞x+14.已知命题p：存在x0∈(-∞,0),00x x<；命题q：△ABC中，若sinA>sinB，23则A>B，则下列命题为真命题的是( )(A)p∧q (B)p∨(⌝q)(C)(⌝p)∧q (D)p ∧(⌝q)5.（2012·厦门模拟）命题：（1）⌝x ∈R,2x-1>0,(2) ∀x ∈N *,(x-1)2>0, (3)∃x 0∈R,lgx 0<1,(4)若p:1x 1- >0,则⌝p:1x 1-≤0,(5)∃x 0∈R,sinx 0≥1其中真命题个数是（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.(2012·南昌模拟)已知命题p:“∀x ∈［0,1］,a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x +4x 0+a=0”，若命题“p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,4］ (B)(-∞,1)∪(4,+∞) (C)(-∞,e)∪(4,+∞) (D)(1,+∞) 二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知命题p: ∃x 0∈R ，3200x x -+1≤0，则命题⌝p 是_________. 8.(2012·江南十校联考)命题“∃x 0∈R ，220x -3ax 0+9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是_______.9.若∀a ∈(0,+∞), ∃θ∈R ，使asin θ≥a 成立，则cos(θ- 6π)的值为________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.（易错题）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)q: ∀x ∈R ，x 不是5x-12=0的根; (2)r:有些素数是奇数; (3)s: ∃x 0∈R ，|x 0|＞0.11.（2012·南平模拟）已知命题p:A={x|x2-2x-3<0,x∈R},q:B={x|x2-2mx+m2-9<0, x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=(1,3)，求实数m的值；（2）若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【探究创新】(16分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在［-1，1］上有解；命题q:只有一个实数x0满足不等式2x+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.“∃x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题，即不等式x2+2ax+1<0有解，∴Δ＝（2a）2-4>0,得a2>1即a>1或a<-1.2.【解析】选B.因为“⌝(p∨q)”是假命题，则“p∨q”是真命题，所以p、q中至少有一个为真命题.3．【解析】选D.当x=0时,e x=x+1，故选D.)x>1，即2x>3x，所以命题p为假，4.【解析】选C.因为当x＜0时，(23从而⌝p为真．△ABC中，由sinA>sinB⇒a>b⇒A>B，所以命题q为真.故选C.5.【解析】选C.（1）根据指数函数的性质，正确；（2）当x=1时，不成≤0立，故错误；（3）x=1时，lgx=0<1，故正确；（4）⌝p应为：“1-x1π使sinx≥1成立，故真命题有3个.或x=1”,故错误；（5）存在x=26.【解题指南】“p∧q”为假命题是“p∧q”为真命题的否定，故可先求出“p∧q”为真命题时a的取值范围，再根据补集的思想求“p∧q”为假命题时a的取值范围.【解析】选C.当p为真命题时，a≥e；当q为真命题时,x2+4x+a=0有解，则Δ=16-4a≥0，∴a≤4.∴“p∧q”为真命题时，e≤a≤4.∴“p∧q”为假命题时，a＜e或a＞4.7.【解析】命题p是特称命题，其否定为全称命题.答案：∀x∈R，x3-x2+1＞08.【解析】因为命题“∃x0∈R，22x-3ax0+9<0”为假命题，所以“∀x∈R，2x2-3ax+9≥0”为真命题.a≤∴Δ=9a2-4×2×9≤0⇒答案：【误区警示】本题易出现不知利用命题及其否定的关系来求解，而使用直接法求a 的取值范围，导致结果错误或计算繁杂的情况. 9.【解析】∵∀a ∈(0,+∞)，asin θ≥a, ∴sin θ≥1，又sin θ≤1,∴sin θ=1,∴θ=2k π+2π(k ∈Z),∴cos(θ- 6π)=sin 6π= 12. 答案：1210.【解析】(1)⌝q: ∃x 0∈R ，x 0是5x-12=0的根，真命题. (2)⌝r:每一个素数都不是奇数，假命题. (3)⌝s:∀x ∈R ，|x|≤0，假命题.11.【解析】（1）A={x|-1<x<3,x ∈R},B={x|m-3<x<m+3,x ∈R,m ∈R}, ∵A ∩B=(1,3),∴m=4.(2)∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件， ∴﹁q ⇒﹁p, ﹁p ﹁q, ∴﹁p ⇒﹁q, ﹁q﹁p,∴AB,1m 3,0m 2.3m 3-≥-⎧∴∴≤≤⎨≤+⎩【探究创新】【解析】由2x 2+ax-a 2=0,得(2x-a)(x+a)=0, ∴x=a2或x=-a,∴当命题p 为真命题时,|a 2|≤1或|-a|≤1, ∴|a|≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式20x +2ax 0+2a ≤0”,即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.∴当命题q为真命题时,a=0或a=2.∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<-2. 即a的取值范围为a>2或a<-2.。

2023高考金考卷45套试题及答案（理数）1. 介绍本文档提供了2023年高考金考卷45套试题及答案，主要内容涵盖了理数科目的考点、题型分布和详细解析。

这些试题和答案将作为高考复习的重要资料，帮助学生熟悉题型，提高解题能力。

2. 考试概述•考试科目：理数•考试时间：3小时•总分：150分3. 题型分布根据历年高考的趋势和教育部门的要求，本套金考卷的题型分布如下：1.选择题：共30道，每题2分，总计60分。

2.填空题：共10道，每题3分，总计30分。

3.解答题：共5道，每题12分，总计60分。

4. 试题及答案解析以下是2023年高考金考卷的试题及答案解析：4.1 选择题1.题目：（题目内容）A. 选项AB. 选项BC. 选项CD. 选项D正确答案：A解析：（解析内容）2.题目：（题目内容）A. 选项AB. 选项BC. 选项CD. 选项D正确答案：B解析：（解析内容）（后续题目省略）4.2 填空题1.题目：（题目内容）答案：（答案内容）解析：（解析内容）2.题目：（题目内容）答案：（答案内容）解析：（解析内容）（后续题目省略）4.3 解答题1.题目：（题目内容）答案：（答案内容）解析：（解析内容）2.题目：（题目内容）答案：（答案内容）解析：（解析内容）（后续题目省略）5. 复习建议复习是高考备考的重要环节，以下是针对理数科目的复习建议：1.制定合理的复习计划，明确每天的学习目标，合理安排时间。

2.针对每个考点进行有针对性的复习，重点复习易错、易漏的知识点。

3.多做真题和模拟试卷，提高解题速度和准确性。

4.注意总结归纳，将复习材料整理成框架图或思维导图，便于记忆和复习。

5.多与同学讨论和交流，相互帮助，共同进步。

结论本文档提供了2023年高考金考卷45套试题及答案解析，希望能够对学生备考高考起到指导作用。

复习过程中，要注重理解和应用知识，解题技巧与平时的积累息息相关。

通过系统的复习和不断地练习，相信学生们一定能够在高考中取得优异的成绩。

2023届高三一轮复习联考（四）全国卷X 2 y 2 ，）9直线l:y＝瓦x与椭圆c::;-+—=1交于P,Q两点，F是椭圆C的右焦点，且PF·QF=a z,b20，则椭圆的离心率为A.4—2万B.2石—3C．石—1理科数学试题注意事项：l． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时， 选出每小题 答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷 上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡 一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知A={xllx—11<2},B={xlx>l}，则AUE=A.{x I—l<x<3}B.{x I x>—1}C.{x l x>3}2．已知复数z满足z(2+i)=2—1，其中1为虚数单位，则z.z=1 _ 1A.——3 B. 23．下列命题中的假命题是迈A.:I x E R, s in x=—2C.'efxER,x2>0D.'efxER,3气＞0生等差数列{a n}中，a1—2a2=6,S3=—27，当S n取得最小值时，n的值为A.4或5B.5或6C.4D.55．函数J(x)=cos x+sin 2x的图象可能是y y y yA BXC.lB.:Ix E R, In x=—1cD.{x I l<x<3}D.2DX16．已知a=lg—,b=cos l,c=2了，则a,b,c的大小关系为2A.a <b<cB.a <c<bC.b<a <cD.b<c<a7．已知正数a,b满足矿＋2矿＝1，则a矿的最大值是1 A.—瓦忒13 B.—3c.—9 D.—98．已知平面向量a,b,c，其中a=(2,0),b=（—1,,/3),c＝入a+µb，且c与a和c与b的夹角相入等，则—=A.—1B.1C.—2D.2一轮复习联考（四）全国卷理科数学试题笫1页（共4页）昼2D穴10函数f(x) = 2sin xcos x +a cos五关千直线x=—对称，则函数f(x)的最大值为12A.2 B．点 C.2＋祁 D.2—屈11．如图所示，在正方体ABCD—儿B1C1D1中，0平分别为B D,AA1的中点，点P为棱BB1上的动点（不含端点），设二面角F—D心—P的平面角为a，直线O F与平面O PD1所成角为p，则B.a</3｀｀理也称祖氏原理，是一个涉及求几何体体积以的雷；启命题F i勹t P/C公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖眼的开立圆术．祖睢A在求球体积时，使用一个原理：＂幕势既同，则积不容异”。

(时间：40分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，则CD ＝________，BC ＝________.解析 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理CD 2＝AD ·BD ＝4×94＝9，∴CD ＝3.又由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.答案 31542．(2011·揭阳模拟)如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则EC ＝________.解析 依题意得，△ADB ∽△ACE ，∴AD AC ＝AB AE ，则AD ·AE ＝AC ·AB ，即得AD (AD ＋DE )＝AC ·AB ，∴DE ＝6×4－93＝5，∴DB ＝AB 2－AD 2＝7，由DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·AC AD ＝27. 答案 273．(2011·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________.解析 ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF，∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ， ∴BC BF ＝14＝12EF ，∴EF ＝3. 答案 34．(2011·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC＝________.解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在三角形BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为三角形BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.答案 125．如图所示，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶3. 答案 1∶36．如图，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，AH 交BF 于M ，则BM＝________，CG ＝________.解析 ∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，∴AB AD ＝14，BM DH ＝ABAD .∴BM 16＝14，∴BM ＝4. 取BC 的中点P ，作PQ ∥DH 交EH 于Q ，如图，则PQ 是梯形ADHE 的中位线， ∴PQ ＝12(AE ＋DH )＝12(12＋16)＝14.同理：CG ＝12(PQ ＋DH )＝12(14＋16)＝15.答案 4 157．已知在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ，S △FCD ＝5，BC ＝10，则DE ＝________. 解析 过点A 作AM ⊥BC 于M ，由于∠B ＝∠ECD，且∠ADC ＝∠ACD ，得△ABC 与△FCD 相似， 那么S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4又S △FCD ＝5，那么S △ABC ＝20，由于S △ABC ＝12BC ·AM ，由BC ＝10，得AM ＝4，又因为DE ∥AM ，得DE AM ＝BD BM ，∵DM ＝12DC ＝52，因此DE 4＝55＋52，得DE ＝83.答案 838．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .若DB ＝9，则BM ＝________.解析 ∵E 是AB 的中点， ∴AB ＝2EB .∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ， ∴△EDM ∽△FBM .∴DM BM ＝DEBF.∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF . ∴DM ＝2BM .∴BM ＝13DB ＝3.答案 3二、解答题(共20分)9．(10分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ，求证：(1)△ABC ≌△DCB ； (2)DE ·DC ＝A E ·BD .证明 (1)∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD . ∵AB ＝DC ，BC ＝CB ， ∴△ABC ≌△D CB . (2)∵△ABC ≌△DCB .∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB . ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ， ∠EAD ＝∠ABC .∴∠DAC ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB . ∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC . ∴∠EDA ＝∠DBC ， ∴△ADE ∽△CBD . ∴DE ∶BD ＝AE ∶CD . ∴DE ·DC ＝AE ·BD .10．(10分)已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC .证明 设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23.又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°. ∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB.∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .。

课时作业56 最值、范围、证明问题第一次作业 基础巩固练1．已知动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线l ：x ＝－1相切． (1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)若动点M 为直线l 上任一点，过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知，动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB 的方程为x＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8my －8＝0，Δ＝64m 2＋32>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (－1，t )，则y 1＋y 2＝8m ，y 1·y 2＝－8，x 1＋x 2＝8m 2＋2，x 1·x 2＝1， 而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ， k MA ＋k MB ＝y 1－t x 1＋1＋y 2－tx 2＋1＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t x 1＋x 2－2tx 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2y 1＋y 2＋y 1＋y 2－t x 1＋x 2－2tx 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t8m 2＋48m 2＋4＝－t ， 所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (1,0)，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求△MNQ 面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0)，C (0，a )，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 7，6a 7， 代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1，结合a 2－b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设l ：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y2＋6my －9＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，连接ON ，由Q 与M 关于原点对称知，S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4 ＝123m 2＋1＋1m 2＋1，∵m 2＋1≥1， ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4，∴S △MNQ ≤3，当且仅当m ＝0时，等号成立，∴△MNQ 面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x ＝1.3．(2019·河南洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p2，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p.又x 2＝2py ，∴y ′＝x p.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p. ∴直线AN 与抛物线相切．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A →＝λF 2B →，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋1k 2＋2，－2k k 2＋2， ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8k 2＋22，由此可知，|QC →|2的大小与k 2的取值有关． 由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.5．(2019·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1， 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，设△OAB 的面积为S ， 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0， 知S ＝12×1×|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝2k 2＋3k 2＋42，令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t(t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴0<S ≤32. 故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 第二次作业 高考·模拟解答题体验1．(2019·四川成都七中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为22，过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)由椭圆的定义知4a ＝42，a ＝2， 由e ＝c a知c ＝ea ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，|F 1F 2|＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －1， 联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2，S △ABF 2＝22m 2＋1m 2＋22＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2，当m 2＋1＝1，m ＝0时，S △ABF 2最大为2，l ：x ＝－1.2．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求PA →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m . 将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2， 即kx 2＋m x 2－1＝－kx 1＋m x 1－1， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0，解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21，所以PA →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2，所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187，18. 3．(2019·广东华南师大附中模拟)已知点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点，点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0)，若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B ，证明：点B 恒在曲线E 上，并求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意得，F 点坐标为(1,0)，因为P 为CF ′中垂线上的点，所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4，所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2，由椭圆的定义知，2a ＝4，c ＝1，所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ，n )(n ≠0)，则Q 点的坐标为(m ，－n )，且3m 2＋4n 2＝12， 所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4)，即nx －(4－m )y －4n ＝0，直线PF ：y ＝nm －1(x －1)，即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －4－m y －4n ＝0，nx －m －1y －n ＝0，解得x B ＝5m －82m －5，y B ＝3n2m －5，则x 2B 4＋y 2B3＝5m －8242m －52＋3n 232m －52＝25m 2－80m ＋64＋12n 242m －52＝16m 2－80m ＋10042m －52＝1，所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1，P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，3x 2＋4y 2＝12，消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝－6t 3t 2＋42＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4， 从而S △PAB ＝12|FA ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4 ＝18t 2＋13t 2＋1＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1.令μ＝t 2＋1(μ≥1)，则函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1，＋∞)上单调递增，故g (μ)min＝g (1)＝4，所以S △PAB ≤184＝92，即当t ＝0时，△PAB 的面积取得最大值，且最大值为92.4．(2019·河北邢台模拟)已知椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直，且l 与W 交于M ，N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最大值．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 2－b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故W 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1，x24＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3613，y 2＝413，∴y 2x 2＝19. 又A 在第一象限，∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋m ，y 24＋x23＝1，得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝18m 31，x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋－32×x 1＋x 22－4x 1x 2＝10×4331－m231.又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10，则△MON 的面积S ＝12d ·|MN |＝23|m |31－m 231，∴S ＝23m 231－m 231≤331(m 2＋31－m 2)＝3，当且仅当m 2＝31－m 2，即m 2＝312时，满足Δ>0，故△MON 的面积的最大值为 3.5．(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4.易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12，或k ＝1128. 所以，k 的值为12或1128.。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编45：复数一、选择题1 ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知复数z 满足()ii z -=+11(i 为虚数单位),则z 等于（ ）A ．iB ．i -C ．i -2D ．i +2【答案】B2 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A(l,2),B(-1,3),则21z z =: （ ）A ．1+iB ．iC ．1-iD ．一i【答案】A【解析】由复数的几何意义可知1212,13z i z i=+=-+,所以2113(13)(12)55112(12)(12)5z i i i i i z i i i -+-+-+====+++-,选A ． 3 ．（2013山东高考数学（理））若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为（ ）A ．2i +B ．2i -C ．5i +D ．5i -【答案】D 【解析】4 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）复数2=()1ii z -,则复数1z +在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】221z=()122i i i ii==---,所以1112z i +=-,对应点位1(1,)2-,选D ．5 ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）设i z -=1(i 为虚数单位),则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ．i -1【答案】D6 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知i 是虚数单位,若(1)z i i +=,则|z|等于（ ）A ．1BC ．2D ．12【答案】C 由(1)z i i +=,得2(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i i --====+++-,所以2z ==,选C ．7 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．)1,1(B ．)1,1(-C ．)1,1(--D ．)1,1(-【答案】D8 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）复数2(其中i 为虚数单位)的虚部等于 （ ）A ．i -B ．1-C ．1D ．0【答案】B 【解析】2222222(1)i i i i i ===---,所以虚部为1-,故应选 B ．9 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知i 是虚数单位,复数2(1)(1)z x x i=-++是纯虚数,则实数x 的值为（ ）A ．—1B ．1C ．±1D ．2【答案】B由题意知210,10x x -=+≠,解得1x =,选B ．10．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）复数z 满足1i z z ⋅=+,则z =（ ）A ．1+iB ．1i -C ．122i-- D ．122i + 【答案】C 由1i z z ⋅=+得(1)1i z -=,所以111111(1)(1)222i i z i i i i ++====----+-,选 C ． 11．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知复数11iz i +=-,则2121i z +-的共轭复数是（ ）A ．12i -- B ．12i -+ C ．12i - D ．12i + 【答案】B12．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）i 是虚数单位,复数ii+12的实部为 （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】C222(1)221+21(1)(1)2i i i i i i i i i --===++-,所以实部是1,选 C ．13．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）复数31i z i=+复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 3(1)111=11(1)(1)222i i i i i z i i i i i -----====--+++-,对应点的坐标为11(,)22--,为第三象限,选C ．14．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知复数231ii--(i 是虚数单位),它的实部和虚部的和是（ ）A ．4B ．6C ．2D ．3【答案】C23(23)(1)551(1)(1)222i i i i i i i i --+-===---+,所以实部为52,虚部为12-,实部和虚部的和为51222-=,选C ．15．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）复数3i 12i+(i 是虚数单位)的实部是 （ ）A ．25B ．25-C ．15D ．15-【答案】B3(12)22112(12)(12)555i i i i i i i i ----===--++-,所以实部是25-,选 B ．16．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）i 是虚数单位,复数21ii-+在复平面上的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D21i i -+(2)(1)1313(1)(1)222i i i i i i ---===-+-,对应点为13(,)22-,位于第四象限,选 D ． 17．（2010年高考（山东理））已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由a+2i=b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选 B ． 18．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）复数311i i-+(i 为虚数单位)的模是（ ）A B ．C ．5D ．8【答案】A31(31)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i ---+===+++-,所以31121i i i -=+=+选 （ ）A ．19．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若复数iia 213-+(i R a ,∈为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 （ ）A ．2-B ．4C ．6-D ．6【答案】D20．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）若复数3i()12ia z a +=∈+R 实部与虚部相等,则a 的值等于 （ ）A ．-1B ．3C ．-9D ．9【答案】A21．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位,若i z +=1,则(2)z z +⋅= （ ）A ．42i -B ．42i +C ．24i +D ．4【答案】A 【解析】由i z +=1得z z ⋅+)1((3)(1)i i =+-=31342i i i +-+=-.二、填空题22．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）计算()()=++i i i 2452______________________ 【答案】i 381-。

课时作业39 合情推理与演绎推理一、选择题1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A ) A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.故选A. 3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．n (n ＋1)B ．n n －12C ．n n ＋12D ．n (n －1)解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( B )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( A )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( B ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.二、填空题8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12(n ＝5,7,9,11，…)． 解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12.12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( C )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( C )A ．58B ．59C ．60D ．61解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( C )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝14[c2a2－c2＋a2－b222]，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( B )A.32B.34C.52D.54解析：由正弦定理得sin A sin B sin C＝a b c＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(2－1)x，b＝5x，c＝(2＋1)x，由题意得(2－1)x＋5x＋(2＋1)x＝(22＋5)x＝22＋5，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝1 4[2＋122－12－3＋22＋3－22－522]＝34，故选B.16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y－z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.。

课时提升作业(二十)一、选择题1.要得到函数y=sinx的图像,只需将函数y=cos(x-)的图像( )(A)向右平移个单位(B)向右平移个单位(C)向左平移个单位(D)向左平移个单位2.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( )(A)关于直线x=对称(B)关于点(,0)对称(C)关于直线x=-对称(D)关于点(,0)对称3.(2018·上饶模拟)已知函数f(x)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式可能为( )(A)f(x)=2cos(-)(B)f(x)=cos(4x+)(C)f(x)=2sin(-)(D)f(x)=2sin(4x+)4.(2018·新余模拟)已知函数f(x)=sin(2x+),其中x∈R,则下列结论中正确的是( )(A)f(x)是最小正周期为π的偶函数(B)f(x)的一条对称轴是x=(C)f(x)的最大值为2(D)将函数y=sin2x的图像左移个单位得到函数f(x)的图像5.(2018·咸阳模拟)设函数f(x)=sin(ωx+φ+)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )(A)y=f(x)在(0,)是减少的(B)y=f(x)在(,)是减少的(C)y=f(x)在(0,)是增加的(D)y=f(x)在(,)是增加的二、填空题6.在函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期内,当x=时,有最大值,当x=时,有最小值-,若φ∈(0,),则函数解析式f(x)= .7.(2018·宜春模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则ω·φ= .8.(能力挑战题)设函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-,))的最小正周期为π,且其图像关于直线x=对称,则在下面四个结论中:①图像关于点(,0)对称;②图像关于点(,0)对称;③在[0,]上是增加的;④在[-,0]上是增加的.正确结论的编号为.三、解答题9.(2018·安庆模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的一段图像(如图所示).(1)求函数的解析式.(2)求这个函数的单调区间.10.(能力挑战题)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为2,且当x=时,f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式.(2)在闭区间[,]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.答案解析1. 【解析】选A.y=sinx=cos(-x)=cos(x-)=cos(x--),故只需将y=cos(x-)的图像向右平移个单位即得.2.【解析】选B.由T=π,∴=π,得ω=2.故f(x)=sin(2x+).当x=时,2×+=π,此时sinπ=0,故f(x)=sin(2x+)的图像关于点(,0)对称.【变式备选】(2018·赣州模拟)为得到函数y=cos(2x+)的图像,只需将函数y=sin2x的图像( )(A)向左平移个长度单位(B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位(D)向右平移个长度单位【思路点拨】先将两函数化为同名函数,再判断平移方向及平移的长度单位.【解析】选A.y=cos(2x+)=sin[+(2x+)]=sin(2x+)=sin2(x+)故将函数y=sin2x的图像向左平移个单位可得函数y=cos(2x+)的图像.3.【思路点拨】将图中特殊点的坐标代入解析式中验证即可.【解析】选A.对于选项C,D,点B(0,1)的坐标不满足;对于选项B,点A(,2)的坐标不满足;对于选项A,点A,B,C的坐标都满足,故选A.4.【解析】选D.f(x)=sin(2x+)=sin 2(x+),故A错,不是偶函数;B错,x=不是对称轴;C错,最大值为.D正确.5.【思路点拨】先确定y=f(x)的解析式,再判断.【解析】选A.由周期为π知ω==2;又f(-x)=f(x),故函数为偶函数,所以φ+=kπ+(k∈Z).又|φ|<,所以φ=.从而f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x)在(0,)是减少的.6.【解析】由最大值,最小值得A=,且T=-=,故T=,∴ω=3.由sin(3×+φ)=得,sin(+φ)=1,又∵0<φ<,故φ=,所以f(x)=sin(3x+).答案:sin(3x+)7.【解析】由图形知=-=,∴T=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).方法一:由五点作图法知,2×+φ=,∴φ=-,∴ω·φ=2×(-)=-.方法二:把点(,1)的坐标代入f(x)=sin(2x+φ)得, sin(+φ)=1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=-,∴ω·φ=2×(-)=-.答案:-8.【解析】∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为π,∴ω==2.又其图像关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ+(k∈Z).∴φ=kπ+,k∈Z.由φ∈(-,),得φ=,∴y=sin(2x+).令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z).∴y=sin(2x+)关于点(,0)对称,故②正确.令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数y=sin(2x+)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).∵[-,0][kπ-,kπ+](k∈Z),∴④正确.答案:②④9.【解析】(1)由条件知解得A=b=,又==-(-)=,∴ω=.∴y=sin(x+φ)+,将点(,0)坐标代入上式,得sin(+φ)=-1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<π,∴φ=π,∴y=sin(x+)+.(2)由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-≤x≤-(k∈Z).由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-≤x≤+(k∈Z).∴所求递增区间为[-,-](k∈Z),递减区间为[-,+](k∈Z).【方法技巧】由图像求解析式和性质的方法和技巧(1)给出图像求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的难点在于ω,φ的确定,本质为待定系数,基本方法是①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图像变换法,即考察已知图像可由哪个函数的图像经过变换得到,通常可由平衡点或最值点确定周期T,进而确定ω.(2)由图像求性质的时候,首先确定解析式,再根据解析式求其性质,要紧扣基本三角函数的性质.例如,单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.【变式备选】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式.(2)设g(x)=f(x)-cos2x,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 【解析】(1)由图可得A=1,=-=,所以T=π,所以ω=2.当x=时,f(x)=1,可得sin(2×+φ)=1,因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).(2)g(x)=f(x)-cos2x=sin(2x+)-cos2x=sin2xcos+cos2xsin-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.当2x-=,即x=时,g(x)取最大值为1;当2x-=-,即x=0时,g(x)取最小值为-.10.【解析】(1)由T=2知=2得ω=π.又因为当x=时f(x)的最大值为2,所以A=2.且π+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ+(k∈Z).∴f(x)=2sin(πx+2kπ+)=2sin(πx+),k∈Z,故f(x)=2sin(πx+).(2)令πx+=kπ+(k∈Z),得x=k+(k∈Z).由≤k+≤.得≤k≤,又k∈=5.故在[,]上存在f(x)的对称轴, 其方程为x=.。

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()．A．2k＋2 B．2k＋3C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k ＋2)＋(2k＋3)．答案 D3．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案 D4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k ＋1时的情况，只需展开()．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案 A5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )．A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22[来源:学.科.网] D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________．解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2. 答案 1＋12＋13＜2 8．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1…解析 所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，除掉1的和2n －1－(2n －1)＝2n －2n . 答案 2n －2n三、解答题(共23分)9．(11分)试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除． 证明 法一 (1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除． 当n ＝k ＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9 ＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)，即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *，命题都成立．法二 (1)当n ＝1时f (1)＝64命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除． 由归纳假设，设32k ＋2－8k －9＝64m (m 为大于1的自然数)， 将32k ＋2＝64m ＋8k ＋9代入到f (k ＋1)中得， f (k ＋1)＝9(64m ＋8k ＋9)－8(k ＋1)－9＝64(9m ＋k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)(2)知，对于任意n ∈N *，命题都成立．10．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝a (a ＞2)，对一切n ∈N *，a n ＞0，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1). 求证：a n ＞2且a n ＋1＜a n .证明 法一 ∵a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)＞0， ∴a n ＞1，∴a n －2＝a 2n －12(a n －1－1)－2＝(a n －1－2)22(a n －1－1)≥0， ∴a n ≥2.若存在a k ＝2，则a k －1＝2，[来源:学。

高三数学一轮复习回归基础45分钟小题测试卷4（理科）（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．集合{|sin,},{|cos ,},32ππ==∈==∈=n n M x x n Z N x x n Z M NA ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{0}D ．∅ 2．已知命题：:,sin 1p x R x ∃∈≤，则A ．:,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B ．:,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C ．:,sin 1p Ex R x ⌝∈>D ．:,sin 1p x R x ⌝∀∈>3．等差数列{}n a 各项都是负数，且22383829a a a a ++=，则它的前10项和10S 等于A ．15-B ．13-C ．11-D ．9-4．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的集合，若2,,{|2},{|3,0}x x y R A x y x x B y y x ∈==-==>，则A#B 为A ．{102}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|01x x ≤≤或2x ≥}D ．{|01x x ≤≤或2x >} 5．若0.5222,log 3,log sin5a b c ππ===，则 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>6．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21xf x =-，则2(log 12)f 的值为A ．13 B ．43C ．2D ．11 7．0a <是函数2()21f x ax x =++至少有一个负零点的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．各项都是正数的等比数列{}n a 中，2311,,2a a a 成等差数列，则4534a a a a ++的值为A ．512 B ．512 C ．152 D ．512或512二、填空题：本大题共7小题，每小题５分，共３５分） 9．数列11111,,,,,12123123412n+++++++++的前2009项的和＿＿＿＿＿＿10．在ABC ∆中，若C B A C B A 222sin sin sin ,cos sin 2sin +==，则ABC ∆的形状＿＿＿＿＿1１．已知||1,||2,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且45AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈则mn等于＿＿＿＿＿＿＿ 1２．若32a=，则33log 82log 6-=_______________（用含a 的代数式表示） 13．已知||1,||6,()2a b a b a ==⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是___________15．化简tan 70cos10201)︒︒︒-=____________16．给出下列四个结论：①函数(0xy a a =>且1a ≠）与函数log (0x a y a a =>且1a ≠）的定义域相同；②函数11(0)221x y x =+≠-是奇函数； ③函数sin()y x =-在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数； ④函数cos ||y x =是周期函数。

高三数学回归基础45分钟小题测试卷3（理科）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）1．已知集合{}3,2aM =，{},N a b =，若{}2MN =，则MN =A ．{}1,2,3B ．{}0,2,3C ．{}0,1,2D ．{}0,1,32. 下列说法错误．．的是 （ ） A ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题； B ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”； C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥； D ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件. 3. 已知复数1,z i =+则211z z +=+ ( ) A ．4355i - B ．4355i + C ．i D ．i -4．点O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的 （ ）A ．三条内角平分线交点（即内心）B ．三边的垂直平分线交 点（即外心）C ．三条高线交点（即垂心）D ．三条中线交点（即重心）5. 函数20()(4)[1,5]xf x t t dt =--⎰在上的最大和最小值情况是 （ ）A ．有最大值0，但无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，但无最大值 D ．既无最大值又无最小值 6. 已知函数2()|log |f x x =，则下列不等式成立．．的是( ) A.11(2)()()34f f f << B.11()(2)()43f f f << C.11()(2)()34f f f << D.11()()(2)43f f f <<7. 若直线340x y m ++=与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）相切,则实数m 的值是（ ）.A ．10B ．0C ．10或0D ．10或18.定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()32x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤ 时，有12()()f x f x ≤，则1()2010f 的值为 ( )A ．1256 B ．1128 C ．164 D ．132二、填空题（本大题7小题,每小题5分,共35分）9.已知数列｛n a ｝的前n 项和2231n S n n =-+，则该数列的通项n a =____________； 10.与直线3x －4y+1=0平行且距离为2的直线方程为 _________；11. 如图, AB 为⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点A,且cm AC 22=,过C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D,CM=MN=ND.则AD 的长等于 cm ； 12. 当23<x 时，函数328-+=x x y 的最大值是___________ 13.关于函数R x x x f ∈+=)32sin()(π，有下列命题：① 把函数)(x f 的图象向右平移12π个单位后，可得x y 2cos =的图象； ② 函数)(x f 的图象关于点)0,6(π对称；③ 函数)(x f 的图象关于直线125π-=x 对称； ④ 把函数)(x f 的图象上每个点的横坐标缩小到原来的21，得到函数)6sin(π+=x y 的图象，其中正确的命题序号为 ；14. 设函数321()(2)232af x x x b x =-+--有两个极值点，其中一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内，则54b a --的取值范围是 ． 15． 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”．乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ．高三回归基础45分钟小题测试卷答题卡班级_____________ 姓名__________ 得分_____________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

人教部编版高三一轮复习综合测试卷数学（理科）(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(山东淄博一模)在复平面内,复数z满足z(1+i)=1-2i,则对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析∵z(1+i)=1-2i,∴z=---------=-i,∴=-i,故对应的点位于第二象限.故选B.2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B= )A. B.-C.(0,2)D.答案A解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=-,B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.3.(湖北黄冈中学三模)下图是某企业产值在2008~年的年增量(即当年产值比前一年产值增加的量)统计图(单位:万元),下列说法正确的是()A.2009年产值比2008年的产值少B.从2011年到年,产值年增量逐年减少C.产值年增量的增量最大的是年D.年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低答案D解析A错,2009年的产值比2008年的产值多29 565万元;B错;C错,产值年增量的增量最大的不是年,应是2010年;D正确,因为增长率等于增长量除以上一年的产值,而上一年的产值不确定,所以年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低.4.根据下面的程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案B解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为x+.已知xi=225,yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为()A.160厘米B.163厘米C.166厘米D.170厘米答案C解析由已知得xi=22.5,yi=160,又=4,所以=160-4×22.5=70,故当x=24时,=4×24+70=166.故选C.6.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m 0<m<π 个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A. B. C. D.答案A解析f(x)=sin x-cos x=sin-,图象向右平移m 0<m<π 个单位长度,得到y=sin--的图象,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ k∈Z,当k=-1时,m=.7.从(3-2)11的展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为()A. B. C. D.答案B解析由题意,可得二项展开式的通项为Tr+1=(3)11-r·(-2)r=(-2)r·311-r -,根据题意可得,当-为整数时,展开式的项为有理项,则r=3,9,共有2项,而r的取值共有12个,由古典概型的概率计算公式可得,所取项是有理项的概率为P=,故选B.8.(全国Ⅰ,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A解析设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为π,以AB为直径的圆面积为π,以AC为直径的圆面积为π.所以SⅠ=ab,SⅡ=--ab=ab,SⅢ=ab,所以SⅠ=SⅡ,由几何概型,知p1=p2.9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC 的面积,则S+3cos Bcos C的最大值为()A.3B.C.2D.答案A解析由cos A=--=-,可知A=,又a=,故S=bcsin A=·asin C=3sin Bsin C.因此S+3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos C=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cos Bcos C 取得最大值3.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-2 答案C解析依题意知,f'(x)=3x2+a, 则由此解得-所以2a+b=1.11.定义在R上的偶函数f(x)在[0 +∞ 内单调递增,且f(-2)=1,则f(x-2 ≤1的x的取值范围是()A.[0,4]B.(-∞ -2]∪[2 +∞C.(-∞ 0]∪[4 +∞D.[-2,2]答案A解析∵偶函数f(x)在[0 +∞ 内单调递增,且f(-2)=1,∴不等式f(x-2 ≤1等价于f(|x-2| ≤f -2)=f(2),即|x-2|≤2.∴0≤x≤4 ∴f(x-2 ≤1的x的取值范围是[0,4].故选A.12.(福建三明质检)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线与E的右支交于A,B两点,M,N分别是AF2,BF1的中点,O为坐标原点.若△MON是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则E的离心率是()A.5B.C.D.答案D解析如图所示,由题意可得ON∥AB.由△MON是以O为直角顶点的等腰直角三角形可得OM⊥AB,结合OM∥AF1可得AF1⊥AB.令OM=ON=x,则AF1=2x,AF2=2x-2a,BF2=2x,BF1=2x+2a.在Rt△ABF1中,(2x)2+(4x-2a)2=(2x+2a)2,整理计算可得x=a.在Rt△AF1F2中,(2x)2+(2x-2a)2=(2c)2,即(3a)2+a2=(2c)2,计算可得e2=,∴e=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设函数f(x)=-若f(m)=3,则实数m的值为.答案2解析当m≥2时,m2-1=3,∴m2=4,∴m=±2.∵m≥2 ∴m=2.当0<m<2时,log2m=3,∴m=23=8.∵0<m<2,∴m∈⌀.综上所述,m=2.14.(全国Ⅰ,理8改编)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=.答案8解析由题意知直线MN的方程为y=(x+2),联立直线与抛物线的方程,得解得或.不妨设M(1,2),N(4,4).∵抛物线的焦点为F(1,0),∴=(0,2),=(3,4).∴=0×3+2×4=8.15.由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.答案2+解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积V=2×1×1+2×π×12×1=2+.16.设C满足约束条件---若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为. 答案解析根据约束条件绘制可行域,如图所示.将z=ax+by转化为y=-x+,∵a>0,b>0,∴直线y=-x+的斜率为负,最大截距对应最大的z值, 易知点A为最大值点.联立方程组---解得即A(4,6).∵目标函数z=ax+by的最大值为12,∴12=4a+6b,即=1,∴+2, 当且仅当,且=1,即a=b=时取等号.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)若数列{an}满足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.(1)证明:数列{an+1-an}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n. (1)证明由3(an+1-2an+an-1)=2可得,an+1-2an+an-1=,即(an+1-an)-(an-an-1)=,故数列{an+1-an}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解由(1)知an+1-an=(n-1)=(n+1),于是累加求和得an=a1+ 2+3+…+n =n(n+1),故=3-,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n为6.18.(12分)如图,在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,∴AM=BM=AD.∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.∴-=(0,,0),.设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(-1,0,1).∴n·..∴cos<n,>=||||∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.19.(12分)(山东潍坊二模)为推动实施健康中国战略,树立国家大卫生、大健康概念,手机APP也推出了多款健康运动软件,如“微信运动”.杨老师的微信朋友圈内有600名好友参与了“微信运动” 他随机选取了40名微信好友(女20人,男20人),统计其在某一天的走路步数.其中,女性好友的走路步数数据记录如下:5 8608 5207 326 6 7987 3258 430 3 2167 45311 7549 8608 753 6 4507 290 4 85010 2239 7637 9889 176 6 421 5 980男性好友走路的步数情况可分为五个类别:A(0~2 000步)(说明:“0~2 000”表示大于等于0,小于等于2 000.下同),B(2 001~5 000步),C(5 001~8 000步),D(8 001~10 000步),E(10001步及以上),且B,D,E三种类别人数比例为1∶3∶4,将统计结果绘制成如图所示的条形图.若某人一天的走路步数超过8 000步被系统认定为“卫健型” 否则被系统认定为“进步型”.(1)若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5 001~10 000步的人数;(2)请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关?(3)若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人,从中任意选取3人,记选到“卫健型”的人数为x;女性好友中按比例选取5人,从中任意选取2人,记选到“卫健型”的人数为y,求事件“|x-y|>1”的概率.附:K2=-,解(1)在样本数据中,男性好友B类别设为x人,则由题意可知1+x+3+3x+4x=20,解得x=2.故B类别有2人,D类别有6人,E类别有8人,走路步数在5 001~10 000步的包括C,D两类别共计9人;女性好友走路步数在5 001~10 000步共有16人.用样本数据估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5 001~10 000步的人数为600×=375.(2)2×2列联表如下:K2的观测值k=-≈3.636<3.841故没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.(3)在男性好友中“卫健型”与“进步型”的人数比例为7∶3,则选取10人,恰好选取“卫健型”7人 “进步型”3人;在女性好友中“卫健型”与“进步型”的人数比例为2∶3,选取5人,恰好选取“卫健型”2人 “进步型”3人.“|x-y|>1”包含“x=3 y=1” “x=3 y=0” “x=2 y=0” “x=0 y=2”.P(x=3,y=1)=,P(x=3,y=0)=,P(x=2,y=0)=,P(x=0,y=2)=.故P(|x-y|>1)=.20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kAC·kBD=-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.解(1)由题意,知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ= 4km 2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*).∵kOA·kOB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=--=--,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·-+km·-+m2=-,∴---,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2=----=2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·=||-=||---=||--=2-=2,=4S△AOB=8,∴四边形即四边形ABCD的面积为定值.21.(12分)设函数f(x)=aex(x+1)(其中e=2.718 28… g x =x2+bx+2 已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2 kf x ≥g x 恒成立,求实数k的取值范围.解(1)f'(x)=aex(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b,∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2ex(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在区间(-2 +∞ 内单调递增,在区间(-∞ -2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在区间[t,-2]上单调递减,在区间[-2,t+1]上单调递增, ∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2et(t+1);∴f(x)min=-----.(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2 F x min≥0.∵∀x≥-2 kf x ≥g x 恒成立,∴F(0)=2k-2≥0∴k≥1.F'(x)=2kex(x+1)+2kex-2x-4=2(x+2)(kex-1).∵x≥-2,由F'(x)>0,得ex>,∴x>ln;由F'(x)<0,得x<ln.∴F(x)在区间-∞ 上单调递减,在区间∞内单调递增.①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在区间[-2 +∞ 内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=(e2-k)<0,不满足F x min≥0.②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F x min≥0.③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在区间-上单调递减,在区间∞内单调递增. F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F x min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求||||的取值范围.解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1,得x2+y2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ x=ρcos θ ρ2=x2+y2代入得 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+ 2cos α-sin α t+=0,由Δ>0 得|2cos α-sin α|>1.故||||||||||||=4|2cos α-sin α|∈(4,4].[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)(全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0 +∞ 时 f x ≤ax+b 求a+b的最小值.解(1)f(x)=---.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时 f x ≤ax+b在[0 +∞ 成立,因此a+b的最小值为5.。

高考理科数学第一轮《选修4－5 》专题测试题&参考答案测试时刻：120分钟 总分值：150分1．[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，(2分)y ＝f (x )的图象如下图．(5分)(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.(7分)故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.(8分)因此|f (x )|>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.(10分)2．[2016·云南名校统考]已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为x ∈[0,4]． (1)求m 的值；(2)假设a ，b 均为正实数，且知足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值． 解 (1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1.(3分) ∵其解集为[0,4]，∴⎩⎨⎧3－m ＝0，m ＋1＝4，∴m ＝3.(5分) (2)由(1)知a ＋b ＝3，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥92，(8分)∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(10分)3．[2017·山西忻州联考]已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )>0的解集．(1)求M ；(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |<15.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，－x ＋3，x >12，(2分)当x <－2时，由x －3>0，得x >3，舍去；(3分)当－2≤x ≤12时，由3x ＋1>0，得x >－13，即－13<x ≤12；(4分) 当x >12时，由－x ＋3>0，得x <3，即12<x <3.(5分) 综上，M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3.(6分)(2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |<3，|y |<3，∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |<3＋3＋3×3＝15.(10分)4．[2017·广西河池联考]已知概念在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)假设α，β>1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β>3. 解 (1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |，(2分)要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，那么|m |<2，解得－2<m <2，(4分) 因为m ∈N *，因此m ＝1.(5分)(2)证明：因为α，β>1，因此f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4，可得α＋β＝3，(6分)因此4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3( 当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时取等号 )，(9分)又因为α，β>1，因此4α＋1β>3恒成立， 故4α＋1β>3.(10分)5．[2017·广东惠州二调]设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)假设存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，(2分)∴f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎨⎧x >1，3x ＋2>4.(4分) ⇔x <－2或0<x ≤1或x >1.(5分)综上，不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(6分) (2)存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立⇔a ＋1>f (x )min ，(7分)由(1)知，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，∴x ＝－32时，f (x )min ＝52，(8分) ∴a ＋1>52⇔a >32.(9分)∴实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.(10分)6．[2016·昆明一中模拟]已知函数f (x )＝|x －m |－|x －2|.(1)假设函数f(x)的值域为[－4,4]，求实数m的值；(2)假设不等式f (x )≥|x －4|的解集为M ，且[2,4]⊆M ，求实数m 的取值范围． 解 (1)由不等式的性质得：||x －m |－|x －2||≤|x －m －x ＋2|＝|m －2|.(2分) 因为函数f (x )的值域为[－4,4]，因此|m －2|＝4， 即m －2＝－4或m －2＝4，因此实数m ＝－2或6.(5分) (2)f (x )≥|x －4|，即|x －m |－|x －2|≥|x －4|，当2≤x ≤4时，|x －m |≥|x －4|＋|x －2|⇔|x －m |≥－x ＋4＋x －2＝2，|x －m |≥2， 解得x ≤m －2或x ≥m ＋2，即解集为(－∞，m －2]∪[m ＋2，＋∞)，(8分) 由条件知：m ＋2≤2⇒m ≤0或m －2≥4⇒m ≥6. 因此m 的取值范围是(－∞，0]∪[6，＋∞)．(10分)7．[2016·合肥质检]已知a >0，b >0，记A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b . (1)求2A －B 的最大值；(2)假设ab ＝4，是不是存在a ，b ，使得A ＋B ＝6？并说明理由．解 (1)2A －B ＝2a －a ＋2b －b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －222＋1≤1，等号在a ＝b ＝12时取得，即2A －B 的最大值为1.(5分)(2)A ＋B ＝a ＋b ＋a ＋b ≥2ab ＋2ab ，因为ab ＝4，因此A ＋B ≥4＋22>6，因此不存在如此的a ，b ，使得A ＋B ＝6.(10分) 8．[2016·银川一中一模]已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x ＋1)＋f (x ＋2)<4；(2)已知a >2，求证：∀x ∈R ，f (ax )＋af (x )>2恒成立． 解 (1)f (x ＋1)＋f (x ＋2)<4，即|x －1|＋|x |<4，(1分) ①当x ≤0时，不等式为1－x －x <4，即x >－32， ∴－32<x ≤0是不等式的解；(2分)②当0<x ≤1时，不等式为1－x ＋x <4，即1<4恒成立，∴0<x ≤1是不等式的解；(3分)③当x >1时，不等式为x －1＋x <4，即x <52， ∴1<x <52是不等式的解．(4分)综上所述，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.(5分)(2)证明：∵a >2，∴f (ax )＋af (x )＝|ax －2|＋a |x －2|＝|ax －2|＋|ax －2a |＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|>2，(8分) ∴∀x ∈R ，f (ax )＋af (x )>2恒成立．(10分)9．[2016·湖南株洲模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|－a |x －1|. (1)当a ＝－2时，解不等式f (x )>5； (2)假设f (x )≤a |x ＋3|，求a 的最小值．解(1)当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎨⎧1－3x ，x <－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x >1.(2分)由f (x )的单调性及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f (2)＝5，得f (x )>5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－43或x >2.(5分)(2)由f (x )≤a |x ＋3|，得a ≥|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|，由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1|，得|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|≤12，得a ≥12(当且仅当x ≤－3或x ≥1时等号成立)． 故a 的最小值为12.(10分)10．[2017·湖北七校联考]已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －a |. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥2； (2)假设f (x )＝|x －1＋a |，求x 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2(x ≥1)，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x <1，2－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x <12，(2分)当x ≥1时，x ≥43，当12≤x <1时，x 无解，当x <12时，x ≤0，综上不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0或x ≥43.(5分)(2)因为|2x －1|＋|x －a |≥|(2x －1)－(x －a )|＝|x －1＋a |，(7分)由绝对值不等式成立条件可知：当且仅当(2x －1)(x －a )≤0时成立．(8分) 当a >12时，12≤x ≤a ， 当a ＝12时，x ＝12， 当a <12时，a ≤x ≤12.(10分)11．[2017·河北辛集质检]已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5；(2)假设对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．解(1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，(2分)因此－7<|x－1|<3，解得－2<x<4.因此不等式的解集为{x|－2<x<4}．(4分)(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，因此{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，(6分)又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|.(8分)g(x)＝|x－1|＋2≥2，因此|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，因此实数a的取值范围为a≥－1或a≤－5.(10分)12．[2017·山西四校联考]已知函数f(x)＝|x－3|.(1)假设不等式f(x－1)＋f(x)<a的解集为空集，求实数a的取值范围；(2)假设|a|<1，|b|<3，且a≠0，判定f(ab)|a|与f⎝⎛⎭⎪⎫ba的大小，并说明理由．解(1)f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，因为f(x－1)＋f(x)<a的解集为空集，故只需令a不大于f(x－1)＋f(x)的最小值即可，因此实数a 的取值范围是(－∞，1]．(5分)(2)f(ab)|a|>f⎝⎛⎭⎪⎫ba，要证f(ab)|a|>f⎝⎛⎭⎪⎫ba，只需证|ab－3|>|b－3a|，即证(ab－3)2>(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9)，因为|a|<1，|b|<3，因此(ab－3)2－(b－3a)2>0，因此原不等式成立．(10分)13．[2016·河南百校联考]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x－2|，a>0.(1)当a＝3时，解不等式f(x)<4；(2)假设正实数b ，c 知足a ＋b ＋c ＝1，且不等式f (x )≥a 2＋b 2＋c 2b ＋c对任意实数x 都成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝3时，函数f (x )＝|x －3|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到二、3对应点的距离之和，(2分)而12和92对应点到二、3对应点的距离之和正好等于4，故不等式f (x )<4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92.(5分) (2)因为a ＋b ＋c ＝1，a >0，b 、c 为正实数，因此0<a <1，f (x )＝|x －a |＋|x －2|≥|a －2|＝2－a ，结合题意可得2－a ≥a 2＋b 2＋c 2b ＋c， 即(2－a )(1－a )≥a 2＋b 2＋c 2.①(6分)又因为a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c 为正实数，因此(1－a )2＝(b ＋c )2≤2(b 2＋c 2)，因此(1－a )22≤b 2＋c 2.②(8分)结合①②可得(1－a )(2－a )≥a 2＋(1－a )22，即a 2＋4a －3≤0，再结合0<a <1，解得0<a ≤7－2.(10分)14．[2017·唐山模拟]已知a >b >c >d >0，ad ＝bc .(1)证明：a ＋d >b ＋c ；(2)比较a a b b c d d c 与a b b a c c d d 的大小．解 (1)证明：由a ＞b ＞c ＞d ＞0，得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2，(2分)由ad ＝bc ，得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c .(5分)(2)a a b b c d d c a b b a c c d d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫c d d －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c c －d ，(7分) 由(1)得，a －b ＞c －d ，又a b ＞1，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c －d ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c c －d >⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c －d ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c c －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ad bc c －d ＝1，(9分) 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d .(10分)15．[2016·沈阳教学质检]已知命题“∀a >b >c ，1a －b ＋1b －c ≥t a －c”是真命题，记t 的最大值为m ，命题“∀n ∈R ，|n ＋sin γ|－|n －cos γ|<m 14 ”是假命题，其中γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求m 的值；(2)求n 的取值范围．解 (1)因为“∀a >b >c ，1a －b ＋1b －c ≥t a －c”是真命题， 因此∀a >b >c ，1a －b ＋1b －c ≥t a －c恒成立， 又a >b >c ，因此t ≤(a －c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c 恒成立， 因此，t ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c min .(2分) 又因为(a －c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝(a －b ＋b －c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥4，当且仅当b －c ＝a －b 时“＝”成立．因此，t ≤4，于是m ＝4.(5分)(2)由(1)得，因为“∀n ∈R ，|n ＋sin γ|－|n －cos γ|<m 14”是假命题，因此“∃n∈R ，|n ＋sin γ|－|n －cos γ|≥2”是真命题．因为|n ＋sin γ|－|n －cos γ|＝|n ＋sin γ|－|cos r －n |≤|sin γ＋cos γ|≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，(7分)因此|n ＋sin γ|－|n －cos γ|＝2，现在|sin γ＋cos γ|＝2，即γ＝π4时，(9分)即⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ＋22－⎪⎪⎪⎪⎪⎪n －22＝2，由绝对值的意义可知，n ≥22.(10分)。

高三数学回归基础45分钟小题测试卷2（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置. １．设集合则},2|{},0|{2<=<-=x x N x x x M （A ）φ=N M（B ）M N M = （C ）M N M = （D ）R N M =２． 复数(1+i)21－i 等于( ) A.1－i B.1+i C. －1－i D.－1+ i３．已知函数y=sinx+acosx 的图象关于53x π=对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是 （ ）A. x =11π/6 B. x =2π/3 C. x =π/3 D. x =π ４．已知,OA a OB b ==，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则用b a,表示OD 的表达式为 （ ）A. )54(91b a + B . )79(161b a + C. )2(31b a + D. )3(41b a+５．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等 比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）A ．8 B ．－8 C ．8± D ．98６．设函数21()122x xf x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 A .{}0 B . {}2,0- C . {}1,0,1- D .{}1,0- ７．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ）（A ）1- （B ）1log log 22++b a （C ）b 2log （D ）)(log 32232b ab b a a +++ ８．设奇函数f (x )在[-1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值X 围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．220t t t -=或或≥≤D ．11022t t t -=或或≥≤二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上． 9．在边长为1的正三角形ABC 中，设,,BC a AB c AC b ===，则a c c b b a⋅+⋅+⋅的值是10．在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y=(x≥0).则sin()6πα+的值为11．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值X 围为 12．函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值为 13．给出下列四个结论：① 函数sin y x =在第一象限是增函数；② 函数1cos 2y x =+的最小正周期是π;③若22,am bm <则a b <；④函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点； ⑤对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''>其中正确结论的序号是.（填上所有正确结论的序号）14．已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么（i ）ab =____________；（ii ）函数()3f x ax bx =+，3[,3]2x ∈-的值域为____________.15． 数列{}n a 中， 135a =，（i ）若13,21n n n a a a +=+则n a =； （ii ）若113,21nn n n a a a ++=+则n a = 高三回归基础45分钟小题测试卷答题卡班级_____________ 某某__________ 得分_____________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。