离散型随机变量的均值与方差PPT课件

第6讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差[学生用书P203])1．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)性质①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 2．离散型随机变量X 的均值与方差3.均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a ，b 为常数)． (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．1．辨明三个易误点(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．(2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．(3)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤5C [解析] 事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X ＝6.2.教材习题改编 设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12C.14D ．18D [解析] 由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16B [解析] 因为E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝________． [解析] P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. [答案] 155．一个人将编为1，2，3，4的四个小球随机放入编为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编与盒子的编相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为________．[解析] 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38， P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1. [答案] 1离散型随机变量的分布列的性质[学生用书P204][典例引领]设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列．【解】 由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. 首先列表为：从而2X ＋1的分布列为在本例的条件下，求P (1<X ≤4)． [解] 由例题解析知m ＝0.3，所以P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． [解析] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. [答案] 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13离散型随机变量的均值(高频考点)[学生用书P204]离散型随机变量的均值是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题． 高考对离散型随机变量的均值的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知离散型随机变量的均值，求参数值； (2)已知离散型随机变量符合的条件，求其均值．[典例引领](2015·高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0，1，2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．求离散型随机变量X 的均值的方法(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值的定义求E (X )．[题点通关]角度一 已知离散型随机变量的均值，求参数值1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝4.3，则y 的值为( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.2D ．0.1C [解析] 由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，又E (ξ)＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3，两式联立解得y ＝0.2.角度二 已知离散型随机变量符合的条件，求其均值2．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30，40)、[40，50)、[50，60)三个年龄段的上购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30，50)之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．[解] (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋0.015，（0.01＋0.015×2＋b ＋a ）×10＝1， 解得a ＝0.035，b ＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．从中抽取3人，并计算3人所获得代金券的总和X ，则X 的所有可能取值为：150，200，250，300，P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34C 310＝130.故X 的分布列为E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×130＝210.离散型随机变量的均值与方差的应用[学生用书P205][典例引领]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【解】 (1)设顾客所获的奖励额为X 元．①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60.P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元． 所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1元，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2元，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.利用均值与方差解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来．(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率． (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值． (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．(2017·郑州市第一次质量预测)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．[解] (1)设下周一无雨的概率为p ，由题意，p 2＝0.36，p ＝0.6， 基地收益X 的可能取值为20，15，10，7.5，则P (X ＝20)＝0.36，P (X ＝15)＝0.24，P (X ＝10)＝0.24，P (X ＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X 的分布列为基地的预期收益E (X )＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益E (Y )＝20×0.6＋10×0.4－a ＝16－a(万元)，E (Y )－E (X )＝1.6－a ，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．[学生用书P206])——随机变量的均值与其他知识的交汇(2015·高考湖北卷)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．【解】 (1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.(*)目标函数为z ＝1 000x ＋1 200y .将z ＝1 000x ＋1 200y 变形为l ：y ＝－56x ＋z1 200，设l 0：y ＝－56x .①②③当W ＝12时，(*)表示的平面区域如图①阴影部分所示，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0).平移直线l 0知当直线l 过点B ， 即当x ＝2.4，y ＝4.8时，z 取最大值，故最大获利Z ＝z max ＝2.4×1 000＋4.8×1 200＝8 160(元)．当W ＝15时，(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．平移直线l 0知当直线l 过点B ， 即当x ＝3，y ＝6时，z 取得最大值，故最大获利Z ＝z max ＝3×1 000＋6×1 200＝10 200(元)． 当W ＝18时，(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0).平移直线l0知当直线l过点C，即当x＝6，y＝4时，z取得最大值，故最大获利Z＝z max＝6×1 000＋4×1 200＝10 800(元)．故最大获利Z的分布列为因此，E(Z)＝8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9 708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p1＝P(Z>10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p＝1－(1－p1)3＝1－0.33＝0.973.(1)本题是离散型随机变量的分布列、均值与线性规划交汇．解决本题需根据题目所给信息提炼出线性约束条件和目标函数，然后再求Z的值．考查了对数学的应用意识、数据处理能力及数形结合思想．(2)离散型随机变量的均值常与统计、平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，题目设计新颖，是近几年高考考查的热点．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．[解] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为[学生用书P311(独立成册)]1．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12C.12D ．1 C [解析] 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.2．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A.13 B ．16C.12D ．56D [解析] 由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.3．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1, 则D (ξ)＝________.[解析] 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝⎛⎭⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.[答案] 254．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．[解析] X 的所有可能值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为[答案]5.若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )． [解] (1)个位数字是5的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此 P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.6．(2017·山东青岛一模)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编分别为1，2，3，4；蓝球3个，编分别为2，4，6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．(1)求取出的3个球中含有编为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． [解] (1)设A ＝“取出的3个球中含有编为2的球”，则P (A )＝C 12C 25＋C 22C 15C 37＝20＋535＝2535＝57. (2)由题意得，ξ可能取的值为0，1，2，3，则 P (ξ＝0)＝C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14·C 23C 37＝1235， P (ξ＝2)＝C 24·C 13C 37＝1835， P (ξ＝3)＝C 34C 37＝435.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.7．袋中有20个大小相同的球，其中记上0的有10个，记上n 的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． [解] (1)X 的取值为0，1，2，3，4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[解] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <1680，n ≥16，(n ∈N )．(2)①X 可能的取值为60，70，80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X 的方差D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望E (Y )＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y 的方差为D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D (X )<D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E (X )<E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．9．(2017·兰州市诊断考试)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取2天，求这2天送餐单数都大于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．[解] (1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M，则P(M)＝C220C2100＝19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；当a ＝40时，X ＝40×4＝160； 当a ＝41时，X ＝40×4＋1×6＝166； 当a ＝42时，X ＝40×4＋2×6＝172.所以X 的所有可能取值为152，156，160，166，172. 故X 的分布列为所以E (X )＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×110＝162.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5， 所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)． 由①得乙公司送餐员平均工资为162元． 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．10．某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望E (ξ1)＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p (0＜p ＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与ξ2的关系如下表所示：(1)求m ，n 的值； (2)求ξ2的分布列；(3)若E (ξ1)＜E (ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204， P (ξ2＝41.2)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (ξ2＝117.6)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (ξ2＝204)＝p (1－p )， 所以ξ2的分布列为(3)由(2)可得：E (ξ2)＝41.2p (1－p )＋117.6[p 2＋(1－p )2]＋204p (1－p )＝－10p 2＋10p ＋117.6， 由E (ξ1)＜E (ξ2)，得120＜－10p 2＋10p ＋117.6， 解得0.4＜p ＜0.6，即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6)．。