湖南省长沙市长郡中学2016届高三上学期第九次周练数学(文)试题

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三(上）第二次月考数学试卷(文科）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M=｛x|x2=x｝，N={x|lgx≤0}，则M∪N=()A．［0,1]B．（0,1]C．[0，1）D．（﹣∞,1］2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于（）A．B．C．﹣D．23．等差数列{a n}前n项和为S n,且﹣=3，则数列｛a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．44．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．35．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈(﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（) A．1 B．2 C．D．37．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（）A． B．C．﹣2 D．28．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(）A．若m⊥n，n∥α,则m⊥αB．若m∥β,β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β,n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α,则m⊥α9．数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（)A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+110．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0,+∞）C．(﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞)11．已知向量与的夹角为120°，且||=2,｜|=3，若=+，且⊥,则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．12．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊),分别编号为1,2，…,n，买家共有m名（m∈N*,m＜n），分别编号为1,2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．）13．函数y=f(x）的图象在点M（1,f（1)）处的切线方程是y=3x﹣2,则f（1）+f′（1）=．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心,则三棱锥O﹣MNB的体积是．16．已知实数x,y满足x2+y2≤1,则｜2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b，c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边,c=asinC﹣ccosA．(1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为,求b，c．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f(x）的图象经过点(1,3），（1）求实数a，b的值；(2）求函数f（x）的值域．19．设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列{b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1)求数列{a n｝，｛b n}的通项公式（2)当d＞1时,记c n=，求数列{c n｝的前n项和T n．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E,F分别是AC，PB的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．21．已知函数y=f(x)，若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0)=﹣f（x0)成立,则称x0为函数f（x)的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点,求实数b的取值范围；（3)若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x)=xlnx．（l）求f（x)的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．2015—2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M=｛x｜x2=x｝，N={x｜lgx≤0},则M∪N=(）A．[0，1］B．(0，1]C．［0，1） D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}=｛0，1｝,N=｛x｜lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0,1}∪（0,1]=[0，1]．故选:A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法,是基础题．2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（) A．B．C．﹣D．2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi（a,b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C．【点评】本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．等差数列｛a n｝前n项和为S n，且﹣=3，则数列{a n｝的公差为(）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d．【解答】解：设等差数列{a n｝的公差为d，∵﹣=3，∴﹣=3,化简可得2d﹣d=3,解得d=2故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．函数f（x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2｜,y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数．【解答】解：由题意,函数f（x）的定义域为(0，+∞）;由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞)内的零点即是方程｜x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=｜x﹣2｜,y2=lnx(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系,通过转化和作图求出函数零点的个数．5．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=(）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用两角和公式对等号左边进行化简进而根据φ的范围求得φ．【解答】解：3sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣)=2sin（x﹣φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈(﹣π，π）,∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，诱导公式的应用．对三角函数的基础公式应能够熟练记忆和灵活运用．6．已知向量，且,则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题．7．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（) A． B．C．﹣2 D．2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】求出两个平行向量，利用共线向量的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，，且向量k=(k﹣3,2k+2）与=（7，﹣2）平行可得：7(2k+2）=﹣2(k﹣3）．解得k=﹣．故选:A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．8．设m、n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α,则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α,则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β,n⊥α，则m⊥α,正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C【点评】本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．9．数列｛a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n(n≥1)，则a6=()A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的a n+1=3S n,当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减,根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列，由a1=1,a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1(n≥2），两式相减得:a n+1﹣a n=3(S n﹣S n﹣1）=3a n,则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3，公比为4的等比数列,所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．不等式x2+2x＜对任意a，b∈(0,+∞）恒成立，则实数x的取值范围是()A．(﹣2，0) B．（﹣∞，﹣2)∪(0,+∞） C．（﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由已知,只需x2+2x小于的最小值即可,可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a,b∈（0，+∞),，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0,解得x∈（﹣4，2）故选C【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．11．已知向量与的夹角为120°,且||=2,|｜=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，得•=0,用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．【解答】解:∵=+,且⊥，∴•=（+)•（）===0．∵向量与的夹角为120°,且｜|=2，｜|=3，∴2×3（λ﹣1）•cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．12．某电商在“双十一"期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊）,分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…,m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．【解答】解:∵a ij=1≤i≤m,1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品,∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C【点评】本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）)处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1)+f′(1）=4．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f（a））是切点,该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1)=3,且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1)+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f(a)与f′（a)．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•(），再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0,故=（）•（）=（）•（)=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义,两个向量垂直的性质，属于中档题．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】以D为原点，DA为x轴,DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥O﹣MNB的体积．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系,则由题意得O(1,1,2）,M(1，0，0）,B（2，2,0）,N（0，2，1），=（0，1，2）,=(1,2，0）,=（﹣1，2，1)，｜|==，||==，cos＜＞==，sin＜＞==，∴S△MNB===,设平面MNB的法向量=(x，y，z）,则，取x=2，得=(2，﹣1，4）,∴点O到平面MNB的距离d===，∴三棱锥O﹣MNB的体积V===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则｜2x+y﹣4｜+｜6﹣x﹣3y|的最大值是15．【考点】简单线性规划．【专题】开放型；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值．【解答】解：如图，由x2+y2≤1，可得2x+y﹣4＜0,6﹣x﹣3y＞0，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10,令z=﹣3x﹣4y+10，得，如图，要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．则，即z=15或z=5．由题意可得z的最大值为15．故答案为:15．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．(1)求角A；（2)若a=2，△ABC的面积为，求b,c．【考点】正弦定理；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1)把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0,得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可;（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值,求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②,联立①②即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0,∴sinA﹣cosA=1，整理得:2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣)=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去）,则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=,△ABC的面积为,∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），(1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．【考点】奇函数；函数的值域．【专题】常规题型；计算题．【分析】（1）由函数是奇函数，和函数f（x）的图象经过点(1，3），建立方程求解．（2)由（1）知函数并转化为，再分两种情况，用基本不等式求解．【解答】解:（1）∵函数是奇函数,则f（﹣x）=﹣f(x）∴，∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0又函数f（x）的图象经过点（1，3）,∴f(1)=3,∴，∵b=0，∴a=2(2）由(1)知当x＞0时，，当且仅当，即时取等号当x＜0时,，∴当且仅当，即时取等号综上可知函数f（x)的值域为【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．19．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列｛a n}，｛b n｝的通项公式（2）当d＞1时，记c n=,求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由(1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：(1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时,a n=2n﹣1，b n=2n﹣1;当时，a n=(2n+79），b n=9•；(2）当d＞1时，由（1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1，∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1)•，∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．(Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB,求EF与平面PAC所成角的大小．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】(Ⅰ）欲证EF∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PCD内一直线平行即可,连接BD，根据中位线可知EF∥PD，而EF不在平面PCD内,满足定理所需条件；（Ⅱ）连接PE，根据题意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，则PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，根据线面所成角的定义可知∠EPD是PD与平面PAC所成的角，而EF∥PD，则EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．【解答】(Ⅰ）证明：如图,连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，所以EF∥PD．因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD．（Ⅱ)解:连接PE．因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC．又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD．因此BD⊥平面PAC．故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．因为EF∥PD，所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，所以Rt△PAD≌Rt△BAD．因此PD=BD．在Rt△PED中,sin∠EPD=,∠EPD=30°．所以EF与平面PAC所成角的大小是30°．【点评】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角大小计算，同时考查空间想象能力和推理论证能力．21．已知函数y=f（x）,若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f(x）的局部对称点．（1)若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2)若函数f（x)=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点，求实数b的取值范围；(3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0,再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．(2)根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1,2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2(m2﹣3)=0…（*）在R上有解,再利用换元法,设t=2x+2﹣x,方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f(x）=ax2+x﹣a得f(﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x) 得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0),其中△=4a2,由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x)=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间［﹣1，2］内有局部对称点,∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间［﹣1，2］上有解,于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+,其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1(3)∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f(﹣x）=﹣f（x）,∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2（m2﹣3）=0…(＊)在R上有解,令t=2x+2﹣x（t≥2）,则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（＊）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解,需满足条件：即,化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义,考查了方程的解得问题以及参数的取值范围,以及换元的思想，转化思想，属于难题22．已知函数f（x)=xlnx．(l）求f（x）的单调区间和极值；（2)若对任意恒成立，求实数m的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．【解答】解（1）∵f（x）=xlnx,∴f’（x)=lnx+1,∴f’（x）＞0有，∴函数f（x）在上递增,f’(x）＜0有，∴函数f（x）在上递减，∴f（x)在处取得极小值,极小值为．（2)∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3即mx≤2x•lnx+x2+3，又x＞0,∴,令,令h’（x）=0,解得x=1或x=﹣3(舍）当x∈（0，1）时,h'（x）＜0,函数h(x）在(0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h’(x）＞0,函数h(x）在（1，+∞)上递增，∴h（x）min=h（1）=4．∴m≤4,即m的最大值为4．【点评】本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．。

2016届湖南长沙长郡中学高考模拟（十一）数学（文）试题一、选择题1． 已知集合{}{}{}0,2,3,4,5,7,1,2,3,4,6,,A B C x x A x B ===∈∉，则C 的元素的个数为（ ）A ．2B ． 3C ．4D ．5 【答案】B【解析】试题分析：由题意可知{}{},0,5,7C x x A x B =∈∉=，即集合C 中有三个元素，故选B.【考点】集合的表示及运算.2．若,a b R ∈，i 是虚数单位，且()3221b a i i +-=-，则a b +的值为（ ） A ．16-B ．16C ．56D ．76- 【答案】C【解析】试题分析：由复数相等的定义可得：31221b a =⎧⎨-=-⎩,解之得11,23a b ==，所以56a b +=，故选C. 【考点】复数相等的定义.3．若函数()f x 的定义域为R ，则“函数()f x 是奇函数”是“()00f =” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为R ，所以当函数()f x 是奇函数时，(0)0f =，当(0)0f =时，函数()f x 不一定是奇函数，故“函数()f x 是奇函数”是“()00f =” 的充分不必要条件，故选A. 【考点】1.函数的奇偶性；2.充分条件与必要条件.4．设,,a b l 均为直线’,αβ均为平面，则下列命题判断错误的是（ ） A ．若l α ，则α内存在无数条直线与l 平行 B ．若αβ⊥，则α内存在无数条直线与β 不垂直C ．若αβ ，则α内存在直线与m ，β 内存在直线n ，使得m n ⊥D ．若,a l b l ⊥⊥，则a 与b 不可能垂直 【答案】D【解析】试题分析：由直线与平面平行的性质可知A 正确；当αβ⊥时，平面α内与两平面的交线不垂直的直线均与平面β不垂直，故B 正确；由两平面平行的性质可知，C 正确；当,a l b l ⊥⊥时，a b ⊥可以成立，例如长方体一个顶点上的三条直线就满足此条件，所以D 错，故选D.【考点】线线垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的性质与判定. 5．根据如下样本数据：得到了回归方程 y bx a =+，则（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <>C ．0,0a b ><D ．0,0a b << 【答案】C【解析】试题分析：由表是数据可知y 与x 是负相关关系，所以0b <，且当0x =时，0y >，所以0a >，故选C.【考点】相关关系与回归方程.6．若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．10 【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始，0,0S n ==；00S =+=，6n >不成立；2,01,6n S n ==+=>不成立；4,13,6n S n ==+=>不成立；6,35,6n S n ==+=>不成立；8,57,6n S n ==+=>成立，输出7S =，结束算法.故选C. 【考点】程序框图.7． 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的—条渐近线方程为y =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．6 B ．76 C ．2．54【答案】A【解析】试题分析：因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的—条渐近线方程为6y x =，所以6b a =，所以可设6,a k b ==，所以c =，66c e a k ===，故选A. 【考点】双曲线的标准方程与几何性质. 8．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且321,1,a a a +成差数列，若21log 71n a +≤，则n 的最大值等于（ ）A ．67B ．68C ．69D ．70 【答案】D【解析】试题分析：由12n n S a a =-可得当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，11112n n n a a q a --== 由321,1,a a a +成差数列得，212(1)aa a +=+即1112(21)4a a a +=+,解之得12a =，所以2n n a =，1212log log 2171n n a n ++==+≤，70n ≤，即n 的最大值等于70，故选D.【考点】1.n a 与n S 关系；2.等比数列的定义与性质；3.对数的性质.9．将函数()()()()sin 2cos 20f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．12- B ．12 C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】试题分析：()()()sin 222sin(2)3f x x x x πϕϕϕ=++=++,函数()f x 的图象向左平移4π个单位后得到的函数为2sin[2()]2cos(2)4433y f x x x ππππϕϕ⎛⎫=+=+++=++ ⎪⎝⎭，其图象关于点(,0)2π对称，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，即,6k k Z πϕπ=+∈，又因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，所以()c o s 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当,26x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1()[,1]2g x ∈，即函数()g x 的最小值为1,2故选A.【考点】1.三角恒等变换；2.诱导公式；3.三角函数的图象与性质.10．如图所示，已知1,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在线段AB 上，且30AOC ∠=︒，设(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n -等于（ ）A ．13B ．12C ．12-D ．13- 【答案】B【解析】试题分析：因为0O A O B⋅= ，所以O A O B ⊥ ，即2A OB π∠=，又1,O A O B ==所以60,30,2OAB OBA AB ∠=︒∠=︒=，又因为30AOC ∠=︒，所以11,22OC AB AC AO ⊥==，1131()4444OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+ ，所以311,,442m n m n ==-=，故选B.【考点】1.向量加减法的几何运算；2.向量数量积的几何意义；3.平面向量基本定理.11． —锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）A 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，其中底面ABCD 为边长为4的正方形，PE ⊥底面ABCD ，且4PE =，所以最长的侧棱为PA，PA C.DA P【考点】三视图.【名师点睛】本题考查三视图，中档题；三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.12． 设函数()()()2,lg 41f x x g x ax x =-=-+，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．(]4,0-D ．[)4,+∞ 【答案】A【解析】试题分析：设函数()f x 的值域为A ，设函数()g x 的值域为B ，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =等价于A B ⊆，又因为{}|()(,0]A y y f x ===-∞，即(,0]B -∞⊆，所以2()41h x ax x =-+的值必能取遍区间(0,1]的所有实数，当0a <时，函数()h x 的图象开口向下，且(0)1h =,符合题意；当0a =时，上()41h x x =-+符合题意；当0a >时，函数()h x 的值要想取遍(0,1]的所有实数，当且仅当1640a ∆=-≥，即4a ≤，综上所述，a 的取值范围为(],4-∞.故选A.【考点】1.函数的值域；2.全称量词与特称量词的意义；3.对数函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了函数的性质、值域求法以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题；全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位.二、填空题13．函数()()330f x x x x =-+<的极值点为0x ，则0x = ．【答案】1-【解析】试题分析：因为()()2330f x x x '=-+<，由()200330f x x '=-+=得01x =±，又因为0x <，所以01x =-，故应填1-.【考点】导数与函数的极值.14．高一某班有位学生第1次月考数学考了69分，他计划以后每次考试比上—次提高5分（如第2次计划达到74分），则按照他的计划该生数学以后要达到优秀（120分以上，包括120分）至少还要经过的数学月考的次数为 ． 【答案】11【解析】试题分析：设经过n 次考试后该学生的成绩为n a ，则569n a n =+，由569120n +≥，得5111055n ≥=，所以至少要经过11次考试，故应填11. 【考点】 等差数列的通项公式性质.15．已知实数,x y 满足12500x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则4z x y =-的最小值为 ．【答案】1【解析】试题分析：约束条件所表示的平面区域为如下图所示的三角形ABC 区域，当目标函数4z x y =-经过可行域中的点(1,3)C 时，z 有最小值，即min 4131z =⨯-=，所以应填1.【考点】线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属于基础题;要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移目标函数所表示的直线，确定何时目标函数取得最大值或最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.16．已知点A 是拋物线()2:20C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,10M 为圆心，OA 的长为半径的圆与拋物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ． 【答案】56【解析】试题分析：由抛物线的性质可知，点A 与点B 关于y 轴对称，又因为ABO ∆为等边三角形，所以直线OA 与x 轴的正半轴的夹角为60︒，所以OA的方程为y =，代入抛物线方程得2x =，解之得点A的坐标为,6)p ，又因为OA MA =，所以点A 在线段OM 在中垂线上，所以565,6p p ==. 【考点】1.抛物线的几何性质；2.圆的性质.【名师点睛】本题考查抛物线及圆的几何性质，中档题；抛物线是高考命题的热点和必考内容，解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．本题解题的关键是过抛物线与圆均关于y 轴对称这一性质，得到等边三角形OAB 也关于y 轴对称，从而得到边OA 的方程.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足12,cos ,4b C ==ABC ∆. （1）求a 的值； （2）求sin 2B 的值. 【答案】（1）3；（2【解析】试题分析：（1）在三角形中，由角C 的余弦值，先求出角C 的正弦值，利用三角形面积公式可求出边a ；（2）利用余弦定理先求出边c =，利用正弦定理sin sin c bC B=可求出sin B ，从而求出cos B 即可. 试题解析：（1）1cos 4C =，且0C π<<，sin 4C ∴=又由11sin 22244ab C a =⨯⨯=,3a ∴=. （2）由（1） 知，3,2a b ==,22212cos 94232104c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=,因此c =sin sin c b C B =2,sin sin B B=∴=,又,cos 4b c B <∴= ,因此sin 22sin cos B B B ==.【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.18．已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试” 活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数(满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内) 作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[)[]50,60,90,100的数据).（1）求样本容量为n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（2）在选取样本中，从成绩在80分以上(含80分) 的学生随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率. 【答案】（1）50,0.034,0.004n x y ===；（2）815. 【解析】试题分析：（1）由茎叶图可知，得分在[50,60)的人数为7人，得分在[90,100]的人数为2人，由频率分布直方图可知得分在[50,60)的频率为0.014100.14⨯=，所以样本容量7500.14n ==，20.0045010y ==⨯，由各矩形的面积和为1，可求出x ；（2）由题意可知，分数在[)80,90内的学生有4人，记这4人分别为1234,,,a a a a ，分数在[]90,100内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ,列出从这6人中抽取两人的所有基本事件，找出符合条件的基本事件，由古典概型公式计算即可. 试题解析：（1）由题意可知，样本容量7500.01410n ==⨯,20.0045010y ==⨯,0.1000.0040.0080.0140.0400.034x =----=.（2）由题意可知，分数在[)80,90内的学生有4人，记这4人分别为1234,,,a a a a ，分数在[]90,100内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ，抽取2名学生的所有情况有15种，分别为：()()()()()()()()()121314111223242122,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b , ()()()()()()343132414212,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b b b .其中2名学生的分数恰有一人在[]90,100内的情况有8种，∴所抽取2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率815P =.【考点】1.频率分布直方图；2.古典概型.【名师点睛】本题考查频率分布直方图与古典概型，中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.19．在四棱锥P ABCD -中， 90,60,ABC ACD BAC CAD PA ∠=∠=︒∠=∠=︒⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，24PA AB ==.（1）求证：CE 平面PAB ；（2）若F 为PC 的中点，求F 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析；（2【解析】试题分析：（1）取AD 中点M ，构造平面EMC ，只要证平面EMC 平面PAB 即可，由三角形的中位线定理可证EM PA ，在平面ABCD 内，通过内错角相等即60BAC ACM ∠=∠=︒，可证明//MC AB ，可证结论成立； （2） F 到平面AEC 的距离为h ，求出三棱锥E FAC -的体积和三角形AEC 的面积，通过等体积转换即E FACF AEC V V --=，即可求出距离.试题解析： （1）在Rt ABC ∆中，2,60,4AB BAC BC AC =∠=︒∴==. 取AD 中点M ，连,EM CM ，则EM PA ，EM ⊄ 平面,PAB PA ⊂平面PAB ，EM ∴ 平面PAB ,在Rt ACD ∆中，60,4,60CAD AC AM ACM ∠=︒==∴∠=︒. 而60,BAC MC AB ∠=︒∴ ，MC ⊄ 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，MC ∴ 平面PAB ， ,EM MC M =∴ 平面EMC 平面PAB .EC ⊂ 平面,EMC EC ∴ 平面PAB .（2）PA CA = ,F 为PC 的中点,AF PC ∴⊥ ， PA ⊥ 平面ABCD ，PA CD ∴⊥.,,AC CD PA AC A CD ⊥=∴⊥ 平面PAC .又,EF CD EF ∴⊥ 平面PAC .即EF 为三棱锥E AFC -的高.CD = ，得EF =，从而1111142332222E FA CV AC AE F -⎛⎫⎫=⨯⋅⋅⨯⨯⨯⎪⎪⎝⎭⎭, 在Rt PAD ∆中，1122AE CE PD ====于是182ACES AC ∆==，设F 到平面AEC 的距离为h ，由E FAC F AEC V V --=183h =⨯，解得h =F到平面AEC【考点】1.线面平行的判定与性质；2.面面平行的判定与性质；3.多面体的体积. 【名师点睛】本题主要考查的是线面平行、面面平行和多面体体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决．20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦距为2， 且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，其长轴的左右两个端点分别为A B ，，直线32y x m =+交椭圆于两点C D ，. （1）求椭圆标准的方程；（2）设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =求m 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）1m =. 【解析】试题分析：（1）由焦距为22c =可求c ，由点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上可得221914a b+=及222a b c =+ ，解出,a b 即可求椭圆方程；（2） 联立方程2232143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223330x mx m ++-=，设()()1,122,,C x y D x y ，由根与系数关系可得212123,3m x x m x x -∴+=-=，求出12,k k ，由12:2:1k k = 列出方程，解出m 即可.试题解析：（1）由题意得：22222221914a b c c a b ⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1a b c ===，∴椭圆由题意标准方程为22143x y +=. （2）()()1,122,,C x y D x y ，联立方程2232143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223330x mx m ++-=， 212123,3m x x m x x -∴+=-=,由题意知，()()2112212,0,2,0,,22ADBC y yA B k k k k x x -∴====+-,12:2:1k k = ，即()()2112222y x y x -=+，得()()22212212242y x y x -=+①,又()2222111131,4434x y y x +=∴=-，同理()2222344y x =-, 代入①式，解得()()()()211222422x x x x --=++,即()1212103120x x x x +++=， ()2103120m m ∴-+-+=解得1m =或9，又212,9m m <∴= (舍去),1m ∴=.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系，中档题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21．已知函数()()ln 1F x ax x a R =-++∈. （1）讨论函数()F x 的单调性；（2）定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若不等式()()()()ln 121f F x f ax x f +--≥对[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1） 当0a ≤时，()F x 在()0,+∞上递增.当0a >时，由()F x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递减，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增. （2） 12ln 3,.3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）求函数()F x 的导数得()()1'0axF x x x-=>，当0a ≤时，()'0F x >恒成立，可得到函数()F x 的单调性；当0a >时，解不等式()'0F x >与()'0F x <可得函数()F x 的单调递增区间与单调递减区间；（2）由函数()f x 为偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递减可得()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立⇔()()2ln 121f ax x f -++≥对[]1,3x ∈恒成立⇔1ln 11ax x -≤-++≤对[]1,3x ∈恒成立⇔2ln x a x+≥且ln xa x ≤对[]1,3x ∈同时恒成立，分别构造函数()2ln x h x x +=与()ln x g x x =，求函数()ln x g x x =的最小值与函数()2ln xh x x+=的最大值即可.试题解析： （1）()()1'0axF x x x-=>,当0a ≤时，()'0F x >，则()F x 在()0,+∞上递增.当0a >时，由()'0F x >得10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；由()'0F x <得1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故()F x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增. （2） 函数()f x 为偶函数，且()f x 在()0,+∞上递减，∴()f x 在(),0-∞上递增. 又()ln 1ln 1ax x ax x --=--++,()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f ∴-+++--≥对[]1,3x ∈恒成立等价于 ()()2ln 121f ax x f -++≥对[]1,3x ∈恒成立，则1ln 11ax x -≤-++≤对[]1,3x ∈恒成立，即2ln x a x+≥且ln xa x ≤对[]1,3x ∈同时恒成立. 设()()2ln 1ln ,'x xg x g x x x -==，则()g x 在[)1,e 上递增，在(],3e 上递减，()()max 1g x g e e∴==. 设()()22ln 1ln ,'0x xh x h x x x+--==<， 则()h x 在()1,3上递减，()()min 2ln 333h x h +∴==. 综上，12ln3,3a e+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式；3.导数与函数的最值.22．如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点，OD BC ⊥，垂足为D .（1）求证：2AC CP AP BD ⋅=⋅；（2）若,,AP AB BC 依次成公差为1的等差数列，且PC =AC 的长.【答案】（1）见解析；（2）7. 【解析】试题分析：（1）由圆的相关性质可得PCA CBP ∠=∠，CPA CPB ∠=∠，从而可证CAP BCP ∆∆ ，由相似比相等可得AP BC AC CP ⋅=⋅，又2,2B C B D A C C PA PB D=∴⋅=⋅. （2） 设()0AP x x =>，由切割定理可得2,PA PB PC ⋅=列出方程解出x 即可求AC 的长.试题解析：（1）证明：PC 为圆O 的切线，PCA CBP ∴∠=∠， 又CPA CPB ∠=∠，故CAP BCP ∆∆ ，AC APBC PC∴=, 即AP BC AC CP ⋅=⋅,又2,2BC BD AC CP AP BD =∴⋅=⋅. （2）设()0AP x x =>，则1,2AB x BC x =+=+,由切割定理可得()2,2121,0,3,5PA PB PC x x x x BC ⋅=∴+=>∴=∴= ,由(1)知，,35,7AP BC AC CP AC ⋅=∴⨯=∴=. 【考点】1.弦切角定理；2.三角形相似；3.切割线定理. 23．已知直线l 的参数方程为45(31x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数) ，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆N 的方程为26sin 8ρρθ-=-. （1）求圆N 的直角坐标方程；（2）判断直线l 与圆N 的位置关系.【答案】（1）()2231x y +-=;（2）相交.【解析】试题分析：（1）由直角坐标与极坐标互化公式直接代入即可求得圆N 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程化为普通方程，由圆心到直线的距离与半径比较可得直线与圆N 的位置关系.试题解析：（1）()222226sin 86831x y y x y ρρθ-=-⇒+-=-⇒+-=，此即为圆N 的直角坐标方程. （2）直线l 的参数方程45(31x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数) 化为普通方程得34110x y +-=，由（1） ，圆N 的圆心()0,3到直线l 的距离为115d =<，∴直线l 与圆N 相交. 【考点】1.极坐标与直角坐标的互化；2.参数方程与普通方程的互化；3.直线与圆的位置关系.24．设函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--；（2）若()1f x ≤的解集为[]()110,2,0,02a m n m n+=>>，求证：43m n +≥. 【答案】（1） (][),25,-∞-+∞ ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1） 当2a =时，不等式为217x x -+-≥,分区间讨论去掉绝对值符号，分别解不等式组即可；（2）由()1f x ≤解集是[]0,2可求得1a =，所以()1110,02m n m n +=>>，由()11444322n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝⎭构造基本不等式求之即可.试题解析：（1）当2a =时，不等式为1217,217x x x x x <⎧-+-≥∴⎨-+-≥⎩或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或 2,2217x x x x >⎧∴≤-⎨-+-≥⎩或5x ≥,∴不等式的解集为(][),25,-∞-+∞ . （2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，1012a a -=⎧∴⎨+=⎩，解得1a =，所以()1110,02m n m n +=>>, ()114443322n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭.(当且仅当21,4m n +=+=时取等号) 【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.基本不等式.。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第六次月考数学试卷（文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x｜x﹣1＞0｝，则A∩（∁U B）=（）A．{x|0＜x≤1｝ B．｛x｜1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}2．已知a,b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi)2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i3．已知命题p：∀x≥0,2x≥1；命题q：若x＞y，则x2＞y2．则下列命题为真命题的是(）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧￢q D．￢p∨q4．在区间[﹣2，4］上随机地抽取一个实数x，若x满足x2≤m的概率为，则实数m的值为(）A．2 B．3 C．4 D．95．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x）,当x∈（0，2）时，f（x）=2x2,则f（7）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣98 D．986．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形,俯视图是半径为1的圆周和两条半径,则这个几何体的体积为（）A．πB．π C．π D．π7．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a,b，i的值分别为6,8，0，则输出a和i的值分别为（）A．0,3 B．0,4 C．2，3 D．2，48．设函数f(x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点(1，g（1））处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f（x)在点（1，f（1)）处切线的斜率为(）A．4 B．﹣C．2 D．﹣9．已知sinφ=，且φ∈（,π）,函数f(x)=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f(）的值为()A．﹣B．﹣C．D．10．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），(，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足｜|=1,则｜++｜的最小值是(）A．﹣1 B．﹣1 C． +1 D． +111．过双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若=2,则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（)A．B．C．D．二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）13．某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5：4：3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是．14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．15．设数列｛a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4S n=a n2+2a n，其中S n为数列｛a n}的前n项和，则数列{a n｝的通项公式为a n =．16．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足=2，则弦AB中点到抛物线准线的距离为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N*,都有2S n=(n+1）a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证:≤T n＜1．18．“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定:被邀请者要么在24小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战),并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（Ⅰ)若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请,则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：接受挑战不接受挑战合计男性45 15 60女性25 15 40合计70 30 100根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关"？附:K2=P（K2≥k0）0。

炎德 英才大联考长郡中学2016届高三月考试卷（四）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|log 1}A x x =<，则R C A =（ ）A ．()0,2B ．(,0]-∞C ．[2,)+∞D ．(,0][2,)-∞+∞U2、已知i 为虚数单位，复数21i i+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、“函数()266f x x mx =-+的减区间为(,3]-∞”是“1m =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 5、已知曲线23ln 2x y x =-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．126、已知两个不同的平面,αβ和两条不重合的直线,m n ，有下列四个命题：①若//,m n m α⊥，则n α⊥； ②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；③若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥； ④若//,m n ααβ=I ，则//m n ；其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47、设不等式组22042x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到直线20y +=的距离大于2的概率是A ．925B ．825C ．413D ．513 8、已知函数()sin()f x A wx ϕ=+（其中0,2A πϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 9、执行由此的程序框图输出的结果S 的值为A ．32- B ．0 C ．32D 310、已知“若点00(,)P x y 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，则C 在点P 处的切线方程为0022:1xx yy C a b-=”，现已知双曲线22:1412x y C -=和点(1,)Q t (3)t ≠，过点Q 作双曲线C 的两条切线，切点分别为M 、N ，则直线MN 过定点A ．(0,3)B ．(0,3)-C ．(4,0)D ．(4,0)-11、已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y -+=的两侧，给出下列命题：①2310a b -+>；②0a ≠时，b a 有最小值，无最大值；③存在正实数m 22a b m +>恒成立；④0,1,0a a b >≠>时，则1b a -的取值范围是12(,)(,)33-∞-+∞U 。

炎德 英才大联考长沙市长郡中学2016届高三月考试卷（五）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|12},{|20}P x x Q x x x =<≤=+-≤，那么P Q 等于（ ）A ．φB ．{}1C ．{|22}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤2、设,a b R ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、若函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，0x >时，()f x 单调递增()(),,P f Q f e π=-=R f =，则,,P Q R 的大小为（ ）A ．R Q P >>B ．Q R P >>C ．P R Q >>D ．P Q R >>4、在等腰ABC ∆中，90,2,2,33BAC AB AC BC BD AC A ∠=====，则AD BE ⋅的值为（ ）A ．43-B ．13-C ．13D ．435、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1100a =-，且755770S S -=，则101S 等于（ ）A ．100B ．50C ．0P R Q >>D ．-506、已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A．6 B．3 C．2D7、执行如图所示的程序框图，如果输入30,18m n ==，则输出的m 的值为（ ）A ．0B ．6C ．12D ．188、,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A ．12或-1 B ．2或12C ．2或1D ．2或-1 9、在区间(1,1)-上随机取一个数x ，使sin 2x π的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13 B ．16 C ．13π D ．16π 10、函数()sin()f x A wx ϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 11、已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ）A2 B1 C1 D112、设集合33[1,),[,2]22A B ==，函数()1,22(2),x x A f x x x B ⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若0x A ∈且01[(1)][0,)2f f x +∈，则0x 的取值范围是（ ） A ．5(1,]4 B ．53(,]42 C ．513(,)48 D ．53(,)42第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

题!!答!!要!!不!!内!!线!!封!!"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""密!号!学!名!姓!级!班!校!学炎德 英才大联考长郡中学#$"%届高三月考试卷!一"数!学!文科"长郡中学高三数学命题组组稿得分#!!!!!!!!!本试题卷包括选择题$填空题和解答题三部分%共&页&时量"#$分钟&满分"'$分&一$选择题#!本大题共"$小题%每小题'分%共'$分!在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题目要求的!""!已知(是虚数单位%若)*("+"!(%则"的共轭复数为,-"!#(.-#!/(槡槡0-#!##(1-"*#(#!已知等比数列'#$(的公比为%%则)$#%#"*是)'#$(为递减数列*的,-充分不必要条件.-必要不充分条件0-充要条件1-既不充分也不必要条件)!下列函数中%既是偶函数又是区间!$%*2"上的增函数的是,-&+').!&+$'$*"0!&+!'#*"1-&+#!$'$/!已知函数(!'"+3'!"%)!'"+!'#*/'!)%若有(!#"+)!*"%则*的取值范围为,!+槡#!#%槡#*#,.!!槡#!#%槡#*#"0!+"%),1!!"%)"'!若函数(!'"在 上可导%且满足(!'"#'(+!'"%则,!#(!""#(!#".-#(!""%(!#"0-#(!""+(!#"1!(!""+(!#"%!函数&+,4(5! '* "的图象的一段如图所示%它的解析式是,-&+#)4(5#'*# !").-&+#)4(5#'* !")0-&+#)4(5#'! !")1-&+#)4(5#'* !"/6!函数(!'"+$4(5'$*#$784'$的值域为,-+"%#,.-+槡'%),0-+#%槡',1-+"%槡',&!数列'#$(的前$项和为-$%若#"+"%#$*"+)-$!$&""%则#%+,-)9//.-)9//*"0-//1-//*":!若向量 与 不共线% - '$%且 + ! - -!"%则向量 与 的夹角为,-$.-%0-)1-#"$!在;<(,./中%/,+/.+)%0%1是斜边,.上的两个动点%且01槡+#%则)*/0-)*/1的取值范围为,-+)%%,.-+/%%,0-#%+,'#1-+#%/,选择题答题卡题!号"#)/'%6&:"$得分答!案二$填空题#!本大题共'小题%每小题'分%共#'分!把答案填在答题卡中对应题号后的横线上!"""!设集合,+''$'!#$#"%'+ (%.+''$"#'#'%'+ (!若,,.+-%则实数#的取值范围是!!!!!"#!函数&+=8>"#!)'!#槡"的定义域是!!!!!")!设向量 +!784 %""% +!"%)784 "%且 . %则784# +!!!!!"/!在(,./中%$,.$+)%$,/$+/%$./$+'%2为(,./的内心%且)*,2+ )*,.* )*./%则 * +!!!!!"'!已知函数(!'"+784'!'+!$%# ""有两个不同的零点'"%'#%且方程(!'"+3有两个不同的实根')%'/%若把'"%'#%')%'/这几个数按从小到大排列可构成等差数列%则实数3的值为!!!!!三$解答题#!本大题共%小题%共6'分!解答应写出文字说明$证明过程或演算步骤!""%!!本小题满分"#分"已知函数(!'"+4(5#'! !")*784#'! !"%*#784#'!"!!""求函数(!'"的最小正周期.!#"若 + /% +,#%且(! "+槡)#'%求784# !已知定义在 上的奇函数(!'"有最小正周期#%且当'+!$%""时%(!'"+#'/'*"!!""求(!'"在+!"%",上的解析式. !#"证明#(!'"在!$%""上是减函数!等差数列'#$(中%#6+/%#":+##:!!""求'#$(的通项公式.!#"设*$+"$#$%求数列'*$(的前$项和-$!如图%在(,./中%/,./+:$?%,.槡+)% ./+"%4为(,./内一点%/.4/+:$?!%求4,.!""若4.+"#!#"若/,4.+"'$?%求<@5/4.,!设数列'#$(的前$项和为-$!已知#"+#%#$*"+-$*)$%$+ 0!!""设*$+-$!)$%求数列'*$(的通项公式.!#"若#$*"&#$%$+ 0%求#的取值范围!设函数(!'"的导函数为(+!'"%若(!'"+(+!""33'!(!$"'*"#'#!3是自然对数的底数"!!""求(!$"和(+!""的值.!#"若)!'"+"#'#*#与函数(!'"的图象在区间+!"%#,上恰有两个不同的交点%求实数#的取值范围!。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则（ ） A ．A B φ= B ．B A ⊆ C ．{0,1}A B = D ．A B ⊆2.如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ） A ．1255i + B ．2155i + C ．2155i -- D ．1255i --3.在等差数列{}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．23- 4.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．1 5.已知(3,2)a =- ，(1,0)b =-，向量a b λ+ 与2a b - 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．17 B ．17- C ．16 D ．16-6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（ ） A ．4?n > B ．5?n > C ．6?n > D ．7?n >7.函数1()sin 2f x x x =-的图象可能是（ ）8.如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．129.已知函数4()|log |f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为（ ）A ．1,22 B ．1,44 C ．1,24 D ．1,4210.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．323π B ．π C ．3π D ．43π11.已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22||||BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ）A ．1BC ．32D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为^6.517.5y x =+，则表中t 的值为 .14.过原点的直线与双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>交于,M N 两点，P 是双曲线上异于M ，N 的一点，若直线MP 与直线NP 的斜率都存在且乘积为54，则双曲线的离心率为 .15.已知函数3()31xx f x =+，正项等比数列{}n a 满足501a =，则12399(ln )(ln )(ln )(ln )f a f a f a f a ++++= .16. ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是 . ①若ABC ∆最小内角为α，则1cos 2α≥； ②若sin sin A B B A >，则B A >；③存在某钝角ABC ∆，有tan tan tan 0A B C ++>；④若20aBC bCA cAB ++= ，则ABC ∆的最小值小于6π；三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，若()22A f =，边1,2AC AB ==，求边BC 的长及sin B 的值. 18. （本小题满分12分）某学校高三年级学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率； （2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？19. （本小题满分12分）如图甲，圆O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=，3DAB π∠=，沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，根据图乙解答下列各题： （1）求点B 到平面ACD 的距离；（2）如图：若DOB ∠的平分线交弧BD 于一点G ，试判断FG 是否与平面ACD 平行？并说明理由.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)B 且斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线,AE AF 分别交直线3x =于,M N 两点，线段MN 的中点为P . 记直线PB 的斜率为'k ，求证：'k k ∙为定值.21. （本小题满分12分） 已知函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈. （1）当0a >时，讨论()f x 的单调区间；（2）设()()2ln g x f x a x =+，且()g x 有两个极值点为12,x x ，其中1(0,]x e ∈，求12()()g x g x -的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的一条切线，切点为B ，直线,,ADE CFD CGE 都是圆O 的割线，已知AC AB =.（1）若1,4CG CD ==，求DEGF的值； （2）求证：//FG AC .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为)6π，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若||1,||1,0a b a <<≠，求证：()||()bf ab a f a>.参考答案一、选择题 CDCAB AABBD DC 1.C2.D 【解析】由图形可得：12z i =--，2z i =，再利用复数的运算法则即可得出. 解：由图形可得：12z i =--，2z i =， ∴21(2)21122(2)(2)555z i i i i i z i i i ----====----+-， 故选：D3．C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵78a =，前7项和742S =， ∴168a d +=，1767422a d ⨯+=， 解得124,3a d ==. 故选C.4．A 【解析】对于直线型的线性约束条件，代数式的最值几乎都在这些直线的某个交点处取得（个别因为代数式在交点处无意义而不能取最值），所以先求约束条件中各直线的交点，可求得分别为(1,1),(1,3),(2,2)，1y x -在这三点处的值分别为0，2，12，所以最大值为2，本题中因代数式的值不能为零，所以如果所求交点横坐标为零，要将此点舍去，这时候就得运用图象法来求最值，本题的正确选项为A. 5．B6．A 【解析】模拟执行程序框图，可得0,1s n == 2,2s n == 10,3s n == 34,4s n == 98,5s n ==此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s 的值为98，则判断框内可填入的条件为：4?n > 故选A. 7．A8．B 【解析】取BC 的中点F ，连接,EF AF ， 则//EF PB ，∴AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角 ∵ABC ∆为正三角形，∴60BAC ∠=.设2PA AB a ==，PA ⊥平面ABC ，∴,,AF AE EF =，∴1cos 4AEF ∠==.9．B 【解析】∵函数4()|log |f x x =，正实数,m n 满足1m n <<，且()()f m f n =，∴4log 0m <，4log 0n >，且44log log m n -=，∴1,1n mn m==. 由于()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，即()f x 在区间21[,]m m上的最大值为2，∴24log 2m -=，∴4log 1m =-，∴1,44m n ==，故选B.则H 为三棱锥外接球的球心，AH 为外接球的半径.∵122AE AB ==1AH =.∴三棱锥外接球的体积344133V ππ=⨯=. 故选D11．D 【解析】如图所示，由椭圆定义，有22||||||48AB AF BF a ++==，所以当线段AB长度达最小值时，22||||BF AF +有最大值，当AB 垂直于x 轴时，222min ||222b b AB b a =⨯=⨯=，所以22||||BF AF + 的最大值为285b -=，∴23b =，即b = D.12.C 【解析】由题意得函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，即函数()y f x =为奇函数，因此由22(2)(2)0f x x f y y -+-≤得22(2)(2)f x x f y y -≤-+，2222x x y y -≥-+，()(2)0x y x y -+-≥.因为14x ≤≤，所以可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(4,4),(4,2)A B C -，而2OM ON x y ∙=+，所以过点C 时取最小值0，过点B 时取最大值12，选C.二、填空题13.50【解析】由题意，245685x ++++=，304060704055t ty ++++==+. ∵y 关于x 的线性回归方程为：^6.517.5y x =+， ∴40 6.5517.55t+=⨯+，∴40505t+=， ∴105t=， ∴50t =. 故答案为：50. 14．32【解析】由双曲线的对称性知，可设0011(,),(,)P x y M x y ，则11(,)N x y --. 由54PM PN k k =，可得：010*******y y y y x x x x -+∙=-+，即222201015()4y y x x -=-，即222200115544x y x y -=-， 又因为0011(,),(,)P x y M x y 均在双曲线上，所以2200221x y a b -=，2211221x y a b-=，所以2254b a =，所以双曲线的离心率为32c e a ===.15．992【解析】∵3()31x x f x =+，∴33()()13131x xxx f x f x --+-=+=++. ∵数列{}n a 是等比数列，∴21992984951501a a a a a a a ===== ，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+= ，设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ，① 又999998971(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ，② ①+②得：99299S =，∴99992S =. 16．①④【解析】对①，因为ABC ∆最小内角为α，所以03πα<≤，1cos 2α≥，故正确；对②，构造函数sin ()x F x x =，求导得：'2cos sin ()x x x F x x -=，当(0,)2x π∈时，tan x x >，即sin cos x x x >，则cos sin 0x x x -<，所以'2cos sin ()0x x x F x x -=<，即sin ()xF x x=在(0,)2x π∈上单减，由②sin sin A B B A >，得sin sin B A B A >，即()()F B F A >，所以B A <，故②不正确；对③，因为tan tan tan tan tan tan A BC A B C ++=，则在钝角ABC∆中，不妨设A 为钝角，有tan 0,tan 0,tan 0A B C <>>，故tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<，③不正确；对④，由22()(2)()0aBC bCA cAB aBC bCA c AC CB a c BC b c CA ++=+++=-+-= ，即(2)()a c BC c b CA -=- ，而,B CC A不共线，则20,0a c b c -=-=，解得2,2c a b a ==，则a 是最小的边，故A 是最小的角，根据余弦定理222222447cos 22228b c a a a a A bc a a +-+-===>⨯⨯，故④正确，故①④正确. 三、解答题17.【解析】（1）()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-，∴22T ππ==，所以最小正周期为π. （2）()2sin()226A f A π=-=，(0,)A π∈，∴62A ππ-=，∴23A π=.ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2AC AB BC A AC AB+-=∙，即21412221BC +--=⨯⨯，∴BC =由正弦定理sin sin BC AC A B =，可得sin B =. 18．【解析】（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名. 分数小于110分的学生中，男生有600.053⨯=（人），记为123,,A A A ；女生有400.052⨯=（人），记为12,B B ， 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：1213(,),(,)A A A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B B B ，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ，故所求的概率63105P ==. （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生600.2515⨯=（人），女生400.37515⨯=（人） 据此可得22⨯列联表如下：所以得222()100(15251545)25 1.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为1.792.706<.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.19．【解析】（1）点B 到面ACD 的距离为7. （2）//FG 面ACD ，理由如下：连结OF ，则ABC ∆中，,F O 分别为,BC AB 的中点， ∴//FO AC ，又∵FO ⊄面ACD ，AC ⊂面ACD ， ∴//FO 面ACD ，∵OG 是DOB ∠的平分线，且OD OB =，令OG 交DB 于M ， 则M 是BD 的中点，连结MF ，则//MF CD ，又∵MF ⊄面ACD ，CD ⊂面ACD ，∴//MF 面ACD ， 且MF FO F = ，,MF FO ⊂面FOG ，∴面FOG //面ACD . 又FG ⊂面FOG ，∴//FG 面ACD .20．【解析】（1）由题设：2222a b c caa ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解之得：2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=， （2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程2214x y +=得：2222(41)8440k x k x k +-+-=，设1122(,),(,)E x y F x y ，则由韦达定理得：2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+， 直线,AE AF 的方程分别为：11(2)2y y x x =--，22(2)2yy x x =--， 令3x =得：11(3,)2y M x -，22(3,)2y N x -，所以12121(3,())222yy P x x +--， 1212'12121221121()022222(1)(2)(1)(2)3144(2)(2)y y y y x x x x k x x k x x k kk k k x x +-+------+--=⨯=⨯=⨯---21212121223()442()4x x x x k x x x x -++=⨯-++22222222222882416441414416164444441k k k k k k k k k k k --++-+=⨯=⨯=---+++. 21．【解析】（1）()f x 的定义域(0,)+∞，2'2211()1a x ax f x x x x-+=+-=，令'()0f x =，得210x ax -+=， ①当02a <≤时，240a ∆=-≤，此时，'()0f x ≥恒成立，所以，()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；②当2a >时，240a ∆=->，解210x ax -+=的两根为12a x =，22a x =，当x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；当x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；综上得，当02a <≤时，()f x 的递增区间为(0,)+∞，无递减区间；当2a >时，()f x的递增区间为，)+∞，递减区间为(22a a ；（2）1()ln g x x a x x=-+，定义域为(0,)+∞， 2'2211()1a x ax g x x x x ++=++=，令'()0g x =，得210x ax ++=，其两根为12,x x ，且12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩，所以，211x x =，111()a x x =-+，∴0a <. ∴12111111111111()()()()ln (ln )g x g x g x g x a x x a x x x x -=-=-+--+ 111111111112()ln 2()2()ln x a x x x x x x x =-+=--+. 设11()2()2()ln h x x x x x x =--+，(0,]x e ∈，则12min min (()())()g x g x h x -=.∵'22211112(1)(1)ln ()2(1)2[(1)ln ()]x x x h x x x x x x x x +-=+--++=，当(0,]x e ∈时，恒有'()0h x ≤，∴()h x 在(0,]e 上单调递减；∴min 4()()h x h e e ==-，∴12min 4(()())g x g x e-=-. 22．【解析】由题意可得：,,,G E D F 四点共圆， ∴CGF CDE ∠=∠，CFG CED ∠=∠，∴CGF ∆∽CDE ∆，∴DE CDGF CG =， 又∵1,4CG CD ==，∴4DEGF=. （2）因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =∙，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ∙=.所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC ∆∽ACE ∆， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠， 所以//FG AC .23.【解析】（1）点P的直角坐标，由2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得22(4x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为22(4x y +=.（2）曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为210x y ++=，设(2cos ,2sin )Q θθ，则3(cos ,sin )2M θθ+，那么点M 到直线l 的距离355|cos 2sin 1||)|12d θθθϕ+++++==≥=-， 所以点M 到直线l1. 24．【解析】（1）22,3()(4)|1||3|4,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-； 当31x -≤≤时，48≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥.所以不等式()(4)8f x f x ++≥的解集为{|53}x x x ≤-≥或. （2）要证()||()b f ab a f a>，即证|1|||ab a b ->-. 因为||1,||1a b <<，所以22222222|1|||(21)(2)(1)(1)0ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->， 所以|1|||ab a b ->-，故所证不等式成立.。

2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（文科）（11）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，则C的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．若a，b∈R，i是虚数单位，且3b+（2a﹣2）i=1﹣i，则a+b的值为（）A．B．C．D．3．若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设a，b，l均为直线，α，β均为平面，则下列命题判断错误的是（）A．若l∥α，则α内存在无数条直线与l平行B．若α⊥β，则α内存在无数条直线与β不垂直C．若α∥β，则α内存在直线m，β内存在直线，使得m⊥nD．若a⊥l，b⊥l，则a与b不可能垂直5．根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）＜0，b＞0 D．a＜0，b＜06．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．3 B．5 C．7 D．107．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a3，a2+1，a1成等差数列．若log2a n+1≤71，则n的最大值等于（）A．67 B．68 C．69 D．709．将函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣ B．﹣C．D．10．如图所示，已知||=1，||=，=0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则m﹣n等于（）A．B．C．﹣D．﹣11．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=﹣|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（0，4]C．（﹣4，0] D．[4，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=﹣x3+3x（x＜0）的极值点为x0，则x0=______．14．高一某班有位学生第1次月考数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分（如第2次计划达到74分），则按照他的计划该生数学以后要达到优秀至少还要经过的数学月考的次数为______．15．已知实数x，y满足，则z=4x﹣y的最小值为______．16．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=2，cosC=，△ABC的面积为．（1）求a的值；（2）求sin2B的值．18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），其长轴的左右两个端点分别为A，B，直线y=x+m交椭圆于两点C，D．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，求m的值．21．已知函数F（x）=﹣ax+lnx+1（a∈R）．（1）讨论函数F（x）的单调性；（2）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（F（x））+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（1）求圆N的直角坐标方程；（2）判断直线l与圆N的位置关系．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（文科）（11）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，则C的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】元素与集合关系的判断．【分析】利用元素与集合之间的关系即可得出．【解答】解：∵集合A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，∴C={0，5，7}则C的元素的个数为3．故选：B．2．若a，b∈R，i是虚数单位，且3b+（2a﹣2）i=1﹣i，则a+b的值为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数相等即可得出．【解答】解：∵a，b∈R，i是虚数单位，且3b+（2a﹣2）i=1﹣i，∴，解得b=，a=．则a+b==．故选：C．3．若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由f（x）为奇函数，可得f（0）=0；而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，可反例说明，然后又充要条件的定义可得答案．【解答】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数．由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0””的充分不必要条件．故选：A．4．设a，b，l均为直线，α，β均为平面，则下列命题判断错误的是（）A．若l∥α，则α内存在无数条直线与l平行B．若α⊥β，则α内存在无数条直线与β不垂直C．若α∥β，则α内存在直线m，β内存在直线，使得m⊥nD．若a⊥l，b⊥l，则a与b不可能垂直【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行分析判断，必要时举出反例．【解答】解：对于A，过直线l作平面γ∩α=m，则l∥m，于是平面α所有平行于m的直线都与l平行，故A正确；对于B，设α，β的交线为m，则α内所有与m不垂直的直线都不垂直平面β，故B正确；对于C，以正方体ABCD﹣A′B′C′D′为例，显然平面ABCD∥平面A′B′C′D′，AB⊂平面ABCD，B′C′⊂平面A′B′C′D′，AB⊥B′C′，故C正确；对于D，当a，b，l交于一点且两两垂直时，显然结论错误．故选D．5．根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【考点】线性回归方程．【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．6．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．3 B．5 C．7 D．10【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=8时，退出循环，输出的S的值为7．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，执行循环体，S=0+[]=0，不满足条件n＞6，n=2，S=0+[]=1，不满足条件n ＞6，n=4，S=1+[]=3，不满足条件n ＞6，n=6，S=3+[]=5，不满足条件n ＞6，n=8，S=5+[]=7，满足条件n ＞6，退出循环，输出S 的值为7． 故选：C ．7．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得b=a ，由a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，由题意可得=，即为b=a ，c==a ，可得e==．故选：A ．8．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n ﹣a 1，且a 3，a 2+1，a 1成等差数列．若log 2a n+1≤71，则n 的最大值等于（ ） A ．67 B ．68 C ．69 D ．70 【考点】数列递推式．【分析】S n =2a n ﹣a 1，令n=1，可得：a 1=2a 1﹣a 1；令n=2，可得a 2=2a 1；令n=3，可得：a 3=2a 2=4a 1．由于a 3，a 2+1，a 1成等差数列．可得2（a 2+1）=a 3+a 1，代入解得a 1=2．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为a n =2a n ﹣1．再利用等比数列的通项公式、对数的运算性质即可得出． 【解答】解：∵S n =2a n ﹣a 1，令n=1，可得：a 1=2a 1﹣a 1；令n=2，则a 1+a 2=2a 2﹣a 1，可得a 2=2a 1；令n=3，可得：a 3=2a 2=4a 1．∵a 3，a 2+1，a 1成等差数列．∴2（a 2+1）=a 3+a 1，代入可得：2（2a 1+1）=5a 1，解得a 1=2． 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣a 1﹣（2a n ﹣1﹣a 1），化为a n =2a n ﹣1． ∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2． ∴a n =2n ．∵log 2a n+1≤71，∴n +1≤71，解得n ≤70．则n 的最大值等于70． 故选：D ．9．将函数f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g （x ）=cos （x +φ）在[﹣，]上的最小值是（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f （x ）=2sin （2x +φ+），根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律及余弦函数的性质可解得φ的值，求得函数g （x ）的解析式为g （x ）=cos （x +），利用余弦函数值域求得函数g （x ）的最值．【解答】解：∵f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）=2sin （2x +φ+），∴将函数f （x ）图象向左平移个单位后，得到函数解析式为：y=2sin [2（x +）+φ+]=2cos （2x +φ+），∵函数的图象关于点（，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos （2×+φ+）=2cos （π+φ+）=0，解得：π+φ+=k π+，k ∈Z ，解得：φ=k π﹣，k ∈Z ，∵0＜φ＜π，∴解得：φ=，∴g （x ）=cos （x +），∵x ∈[﹣，]，x +∈[﹣，]，∴cos （x +）∈[，1]，则函数g （x ）=cos （x +φ）在[﹣，]上的最小值是．故选：D ．10．如图所示，已知||=1，||=， =0，点C 在线段AB 上，且∠AOC=30°，设=m +n （m ，n ∈R ），则m ﹣n 等于（ ）A．B．C．﹣D．﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据条件便可得出△AOB为Rt△，且∠AOB=90°，从而在Rt△AOB中，可求出∠OAB=60°，进而便得到，从而，带入进行数量积的运算便可得到3n﹣m=0．而由条件容易得出m+n=1，这两式联立即可解出m，n，从而便可求出m﹣n的值．【解答】解：∵；∴；∴∠AOB=90°，且；∴；∴；∴∠OAB=60°；又∠AOC=30°；∴∠OCA=90°；即；∴===0﹣m+3n﹣0=0；即3n﹣m=0①；∵，且A，C，B三点共线；∴m+n=1②；∴①②联立得，；∴．故选：B．11．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为边长为4的正方形如图：其中PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PE⊥AD，DE=1，AE=3，PE=4，PE⊥底面ABCD，连接CE，BE，在直角三角形PBE中，PB===；在直角三角形PCE中，可得PC===；又PA===5；PD===．几何体最长棱的棱长为．故选：C．12．设函数f（x）=﹣|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（0，4]C．（﹣4，0] D．[4，+∞）【考点】函数的值．【分析】求出f（x），g（x）的值域，则f（x）的值域为g（x）的值域的子集．【解答】解：f（x）=﹣|x|≤0，∴f（x）的值域是（﹣∞，0]．设g（x）的值域为A，∵对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），∴（﹣∞，0]⊆A．设y=ax2﹣4x+1的值域为B，则（0，1]⊆B．显然当a=0时，上式成立．当a＞0时，△=16﹣4a≥0，解得0＜a≤4．当a＜0时，y max=≥1，即1﹣≥1恒成立．综上，a≤4．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=﹣x3+3x（x＜0）的极值点为x0，则x0=﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意求导f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x+1）（x﹣1），从而确定函数的单调区间及极值点．【解答】解：f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x+1）（x﹣1）；故当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0；故函数f（x）=﹣x3+3x在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增；故函数f（x）=﹣x3+3x的极值点为﹣1，1，∴函数f（x）=﹣x3+3x（x＜0）的极值点为x0=﹣1，故答案为：﹣1．14．高一某班有位学生第1次月考数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分（如第2次计划达到74分），则按照他的计划该生数学以后要达到优秀至少还要经过的数学月考的次数为11．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设每个学生的月考数学成绩形成数列{a n}，a1=69，d=5．可得69+5（n﹣1）≥120，解出即可得出．【解答】解：设每个学生的月考数学成绩形成数列{a n}，a1=69，d=5．则69+5（n﹣1）≥120，解得n≥11+．可得到第12次的数学月考成绩才能超过120分，∴至少还要经过的数学月考的次数为11．故答案为：11．15．已知实数x，y满足，则z=4x﹣y的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象知，当直线y=4x﹣z经过A时，直线的截距最大，此时z最小，经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（1，3），此时z最小值为z=4﹣3=1，故答案为：116．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据等等边三角形的性质求出A点坐标，代入抛物线方程计算p．【解答】解：由抛物线的对称性可知A，B关于y轴对称，不妨设A（a，b）在第一象限．∵△ABO为等边三角形，∴∠AOM=30°．∵|MA|=|MO|=10，∴∠OMA=120°．∴|OA|==10．∴A（5，15）．∴（5）2=2p×15，解得p=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=2，cosC=，△ABC的面积为．（1）求a的值；（2）求sin2B的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，结合三角形面积公式即可求a的值．（2）由（1）及余弦定理可求c的值，利用正弦定理可求sinB，结合大边对大角可得B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，且0＜C＜π，∴，又由，∴a=3．（2）由（1）知，a=3，b=2，∴，∴．∵，即，∴，又∵b＜c，B为锐角，∴，∴．18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，即可求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==25，y==0.008，x=0.100﹣0.008﹣0.012﹣0.016﹣0.040=0.024．…（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率为．…19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证法一：取AD中点M，连EM，CM，EM∥PA，从而EM∥平面PAB；推导出MC∥AB，从而MC∥平面PAB，由此能证明EC∥平面PAB．法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN，则EC∥PN，由此能证明EC∥平面PAB．（2）以A为原点，过A作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F到平面AEC的距离．【解答】证明：（1）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB．证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB．解：（2）以A为原点，过A作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°E为PD的中点，PA=2AB=4，F为PC的中点，∴C（2，2，0），P（0，0，4），F（，1，2），A（0，0，0），D（0，8，0），E（0，4，2）=（），=（2，2，0），=0，4，2），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，2），∴F到平面AEC的距离d===．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），其长轴的左右两个端点分别为A，B，直线y=x+m交椭圆于两点C，D．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，求m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得2c=2，即c=1，将点（1，）代入椭圆方程，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到所求m的值．【解答】解：（1）由题意得2c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得，可得椭圆由题意标准方程为；（2）C（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得3x2+3mx+m2﹣3=0，即有，由题意知，A（﹣2，0），B（2，0），即有k AD=k1=，k BC=k2=，由k1：k2=2：1，即，得①，又，∴，同理，代入①式，解得，即10（x1+x2）+3x1x2+12=0，可得10（﹣m）+m2﹣3+12=0解得m=1或9，又m2＜12，则m=9（舍去），故m=1．21．已知函数F（x）=﹣ax+lnx+1（a∈R）．（1）讨论函数F（x）的单调性；（2）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（F（x））+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于2f（﹣ax+lnx+1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，分离参数，得到a≥且a≤对x∈[1，3]同时恒成立，设g（x）=，h（x）=，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）F′（x）=（x＞0），a≤0时，F′（x）＞0，得x∈（0，），由F′（x）＜0，得：x∈（，+∞），故F（x）在（，+∞）递减，在（0，）递增；（2）∵函数f（x）为偶函数，且f（x）在[0，+∞）递减，∴f（x）在（﹣∞，0）递增，又ax﹣lnx﹣1=﹣（﹣ax+lnx+1），∴f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，等价于2f（﹣ax+lnx+1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则﹣1≤﹣ax+lnx+1≤1对x∈[1，3]恒成立，即a≥且a≤对x∈[1，3]同时恒成立，设g（x）=，g′（x）=，则g（x）在[1，e]递增，在（e，3]递减，∴g（x）max=g（e）=，设h（x）=，h′（x）=＜0，则h（x）在[1，3]递减，∴h（x）min=h（3）=，综上，a∈[，]．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…选修4-4：坐标系与参数方程方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（1）求圆N的直角坐标方程；（2）判断直线l与圆N的位置关系．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的关系进行化简求解即可．（2）消去参数求出直线l的普通方程，求出圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断．【解答】解：（1）∵y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，∴由ρ2﹣6ρsinθ=﹣8得x2+y2﹣6y=﹣8，即x2+（y﹣3）2=1，则圆N的直角坐标方程是x2+（y﹣3）2=1；（2）∵直线l的参数方程为，∴消去参数t得，即3x+4y﹣19=0，则圆心C（0，3）的直线的距离d==＞1，即直线l与圆N的位置关系是相离．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．【考点】分段函数的应用；基本不等式．【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．当且仅当=，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．2016年9月18日。

炎德 英才大联考长沙市长郡中学2016届高三月考试卷（五）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|12},{|20}P x x Q x x x =<≤=+-≤，那么P Q I 等于（ ）A ．φB ．{}1C ．{|22}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤2、设,a b R ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、若函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，0x >时，()f x 单调递增()(),,P f Q f e π=-=2)R f =，则,,P Q R 的大小为（ ）A ．R Q P >>B ．Q R P >>C ．P R Q >>D ．P Q R >>4、在等腰ABC ∆中，90,2,2,33BAC AB AC BC BD AC A ∠=====ou u u r u u u r u u u r u u r ，则AD BE ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A ．43-B ．13-C ．13D ．435、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1100a =-，且755770S S -=，则101S 等于（ ）A ．100B ．50C ．0P R Q >>D ．-506、已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A．36B．33C．32D．37、执行如图所示的程序框图，如果输入30,18m n==，则输出的m的值为（）A．0 B．6 C．12 D．188、,x y满足约束条件20220220x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax=-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．12或-1 B．2或12C．2或1 D．2或-19、在区间(1,1)-上随机取一个数x，使sin2xπ的值介于0到12之间的概率为（）A．13B．16C．13πD．16π10、函数()sin()f x A wxϕ=+（其中0,2Aπϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos2g x x=的图象，则只要将()f x的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 11、已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ）A2 B1 C1 D112、设集合33[1,),[,2]22A B ==，函数()1,22(2),x x A f x x x B⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若0x A ∈且01[(1)][0,)2f f x +∈，则0x 的取值范围是（ ） A ．5(1,]4 B ．53(,]42 C ．513(,)48 D ．53(,)42第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

第11题图（2）′图（1）左视图主视图42016届高三理科数学周考试卷9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}22530A x x x =--≤，{}2B x Z x =∈≤，则A B ⋂中的元素个数为（ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D)52、若复数z 满足11z i ii -=-+（），则z 的实部为（ ）(A)121(C)1(D)123、《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）(A)30尺 (B)90尺 (C)150尺 (D)180尺 4、已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为,F P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为（ ）(A) (1,0)- (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(2,0)- 5、执行如图所示的程序框图，如果输入的50t =，则输出的n =（ ）(A)5 (B)6 (C)7 (D)86、现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票) 的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束， 则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）(A)101 (B)51 (C)103 (D)52 7、()622--x x 的展开式中2x 的系数等于（ ）(A)-48 (B)48 (C)234 (D)4328、设,x y 满足010,3220y ax y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩若2210y x x z +-=的最小值为12-，则实数a 的取值范围是（ ） (A)21-≤a (B)23-<a (C)21≥a (D)23<a 9、某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中116O A =，112O C =，则该几何体的侧面积为（ ）(A)48 (B)64 (C)96 (D)12810、已知函数()()()e e b ax x xf x-++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为（ ）(A)0>a (B)10≤<a (C)1≥a (D)1≤a 11、已知,,A B C 在球O 的球面上，1,2AB BC ==， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC所成的角为 30，则球O 的表面积为（ ） (A)π4 (B)π16 (C)π34 (D)163π12、已知()()R x x f y ∈=的导函数为()x f '.若()()32x x f x f =--，且当0≥x 时，()23x x f >'，则不等式()()13312+->--x x x f x f 的解集是（ ）(A)1(,)2-+∞ (B)1(,)2+∞ (C)1(,)2-∞- (D)1(,)2-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、已知θ为第四象限角，sin 3cos 1θθ+=，则tan θ= . 14、对于同一平面的单位向量,,a b c ，若a 与b 的夹角为60，则()(2)a b a c -⋅- 的最大值是 .15、已知A ，B 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 右支上两点，O 为坐标原点，若OAB∆是边长为c 的等边三角形，且222b a c +=，则双曲线C 的渐近线方程为 . 16、已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17、（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD中，AB =AD =CD =，30CBD ∠= ，120BCD ∠= ，求（Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）ADC ∆的面积S .18.（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有%99的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在)45,35[),15,5[的的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.ABD C参考数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19、（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ． （Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D （Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角B - 20、（本小题满分12分）已知21,F F 是椭圆22221x y a b +=)0(>>b a 的左、右焦点，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,1P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足2MF =． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222b a y x +=+相交于B A ,两点，与椭圆相交于D C ,两点，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=⋅1,3211λλ且F F 时，求CD F 1∆的面积S 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数()(1)()x f x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）. （Ⅰ）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （Ⅱ）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<.依题意，'()[(1)'()(1)()']()x x x f x a x a x a a x a =--+--=⋅-e e e ． ……1分 令()()e x h x a x a =⋅-，则'(e x h x a x=+⋅. ……2分 （Ⅰ）①当0x <时，0xx ⋅<e ，0a >，故'()()0h x f x =<，所以'()f x 在(,0)-∞不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞不存在极值点；………3分②当0x ≥时，由'()(1)0e x h x a x =+⋅>，故()h x 在[0,)+∞单调递增. 又2(0)0h a =-<，()2()()10e eaah a a a a a=⋅-=->，所以'()()h x f x =在[0,)+∞有且只有一个零点.……4分又注意到在'()f x 的零点左侧，'()0f x <，在'()f x 的零点右侧，'()0f x >， 所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. …………5分综上知，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. …………5分（Ⅱ）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ，2x （无妨设12x x <），所以1x ，2x 是'()()h x f x =的两个零点，且由（Ⅰ）知，必有0a <. ………6分令'()(1)0e xh x a x =+⋅=得1x =-；令'()(1)0e xh x a x =+⋅>得1x <-；令'()(1)0e x h x a x =+⋅<得1x >-.所以'()()h x f x =在在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减， …………7分又因为'2(0)(0)0h f a ==-<，所以必有1210x x <-<<. …………8分 令'()()0t f t a t a =⋅-=e ，解得ta t =⋅e ， 此时2()ttf t =-e e . 因为12,x x 是'()()h xf x =的两个零点，所以12321111()(2)e xf x x x x =--+，22322222()(2)e x f x x x x =--+. …………9分将代数式232(2)e t t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)e t g t t t t =--+， 则'22()(1)(21)t g t e t t =---. (10)分当1t <-时，因为2210,210,0t t t e ->-<>，所以'()0g t >， 则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)e f x g x g =<-=， 又因为122111()(1)0x f x e x x =-->，所以1240()ef x <<. …………11分 当10t -<<时，因为2210,210,0t t t e -<-<>，所以'()0g t <， 则()g t 在(1,0)-单调递减， 因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)e g g x f x g =<=<-=. …………12分综上知，1240()e f x <<且2240()e f x <<． …………12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

数学（文科）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1。

设集合{}{}22|20,|2,,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈则A B ⋃=（）A ．[]0,2B ．[]1,2-C ．(],2-∞D ．[)0,+∞2. 如果复数()32bi z b R i-=∈+的实部和虚部相等，则z 等于（ ）A ．32B ．22C ．3D ．23。

下列函数既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的是( ）A ．2y x =- B ．3y x = C ．3xy -=-D ．2logy x =4. 已知公差不为0的等差数列{}na 满足134,,a a a 成等比数列,nS 为数列{}na 的前n 项和，则3253S S S S --的值为( )A ．2-B ．3-C ．2D ．35。

已知平面向量()()1,2,2,a b k ==-,若a 与b 共线，则3a b +=（ ） A 5 B ．25 C ．52D ．6. 函数()()sin 20,0y x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π,且函数图像关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,则此函数的解析式为( )A ．2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7。

如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ） A ．()()130020a x ax a a x +++的值B ．()()0010230ax a x a a x +++的值C ．()()3020100ax a x a a x +++的值D ．()()2000310ax a x a a x +++的值8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器_____商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸),若π取3其体积为12.6（立方寸）,则图中的x 为（ ）9. 如图,圆C 内切于扇形,3AOB AOB π∠=若向扇形AOB 内随机投掷600个点,则落入圆内的点的个数估计值为（ ） A ．100 B ．200 C ．400D ．45010。

2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学冲刺卷（文科)（一)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B={y|y=lgx,x∈A}，则A∩B=()A．B．｛10｝C．{1｝D．∅2．已知i是虚数单位，则复数﹣i(1+i)的实部与虚部的和等于（）A．2B．0C．﹣2D．1﹣i3．函数f（x）=e x sinx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（)A．0B．C．1D．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是（)A．﹣1B．1C．2D．5．已知向量=（2，k)，=（1，2），若∥，则k的值为（)A．1B．﹣1C．4D．﹣46．如图,三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面V AC与底面垂直且V A=VC,已知其主视图的面积为,则其左视图的面积为（）A．B．C．D．7．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示,则函数y=log a（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．8．若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为（)A．﹣6B．﹣2C．0D．109．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为(）A．﹣1B．0C．3D．410．已知点A n（n，a n）（n∈N＊）都在函数y=a x（a＞0,a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（）A．a3+a7＞2a5B．a3+a7＜2a5C．a3+a7=2a5D．a3+a7与2a5的大小与a有关11．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．12．设f（x）是定义在R上的函数,对x∈R都有f（﹣x）=f（x)，f（2+x）=f（2﹣x),且当x∈[﹣2，0]时，f(x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f(x）﹣log a(x+2)=0（a＞1)恰有3个不同的实数根,则a的取值范围是（）A．（1，2）B．(2，+∞）C．（1，)D．(,2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一支田径队有男运动员28人,女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取人．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c．已知a=3，b=8，C=，则c=．15．若函数f（x)=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．已知过抛物y2=2px(p＞0)的焦点F且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点,且|AF|＞｜BF｜，则=．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高三理数试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，则复数i （2+i ）的共轭复数为（ D ．） A ．1+2i B ．l ﹣2iC ．﹣l+2iD ．﹣l ﹣2i【解答】解：复数i （2+i ）=2i ﹣1的共轭复数为﹣2i ﹣1， 故选：D ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于最简单题． 2. “w=2”是函数wx wx x f 21sin 21cos)(22-=的最小正周期为π的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]：选A ∵wx x f cos )(=，故ππ=w2，∴2±=w 【点评】考查余弦二倍角公是充要条件概念，属于简单题． 3. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ） A ．0B ．23C ．3D ．23-解：选A ++=32sin 3sin ππS …032016sin =+π【点评】考查框图及结构，属于简单题．4.。

在△ABC 中，123ABCA CA BC BC AB ⋅=⋅=⋅，则（ ） A ．5:3:4B ．5:4:3C ．2:3:5D ．3:2:5解：选C 由已知1)cos(2)cos(3)cos(A bc •C ab •B ac •-=-=-πππ2:3:5::4:3:5::123222222222222=⇒=⇒-+=-+=-+⇒c b a c b a a c b c b a b a c 2:3:5sin :sin :sin =⇒C B A【点评】 本题考查正弦定理及平面向量数量积运算，体现知识交汇运用，属于简单题5. 已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则=++acb a （ A ） A 、-2B 、2C 、1D 、-1〔解析〕选A 先作⎩⎨⎧≤+≥41y x x 所表示区域，当目标函数y x z +=2过点（3，1）达最大值7，过点（1，-1）达最小值1，由0=++c by ax 过（3，1）和（1，-1）且c 0≤得,2,a c a b -=-=故2-=++acb a 【点评】考查线性规划概念和数形结合方法，属于简单题．6. 、只用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定三个数必须同时使用，且同一个数字不能相邻出现，这样的四位数有（ C ）A 、9个B 、12个C 、18个D 、36个〔解析〕选C ，必有一个数字使用两次，这两次在四位数中可以居于1，4位或1，3位或2，4位，共3种排法，视其为一个整体，故所求四位数共有18333=A （种）【点评】本题考查排列数公式的运用，属较简单题7. 已知)(x f '是函数的x x f sin )(=导数，要得到)32(π+'=x f y 的图像，只需将)2(x f y =的图像（ A ）A 、向左平移π125个单位 B 、向右平移π65个单位 C 、向左平移3π个单位 D 、向左平移6π个单位 【解析】)652sin()32cos()32(cos )(πππ+=+=+'=⇒='x x x f y x x f )32(1252sin )2(ππ+'=∴=x f y x x f 个单位得到只需向左平移又【点评】本题主要考查了三角函数的诱导公式，正弦函数、余弦函数的图象和性质及导数，属于较简单题．8.设{}20,20),(<<<<=n m n m A ，则任取A n m ∈),(，关于x 的方程042=++n x x m 有实根的概率为（ ） A ．42ln 21+ B ．22ln 1+C ．42ln 23- D ．22ln 1- [解析] 选A 由已知mn mn 101≤⇒≥-=∆ 故所求概率⎰+=+=22142ln 21)11(41dx xP 【点评】本题考查几何型及定积分运算，属较简单题9. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线2221x y -=的左支上的一个动点，若点P 到直线x+032=-y 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为（ B ） A .1B.3C.33 D. 66[解析] 因为直线x+032=-y 与双曲线2221x y -= 渐近线平行，它们间距离为3。

长郡中学2016届高三月考试卷（四）数学（文科）一、选择题: 本大题共12小题， 每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1log |{2<=x x A ，则=A C R （ ）DA ．)2,0(B ．]0,(-∞C ．),2[+∞D ．)2[]0,(∞+-∞ 2．已知为虚数单位，复数ii+12在复平面内对应的点位于（ ）Ａ A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“函数()266f x x mx =-+的减区间为(],3-∞”是“1m =”的（ ）ＣA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）D A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．210x y --=5．已知曲线23ln 2x y x =-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（ ）ＡA ．3B ．2C ．1D ．126．已知两个不同的平面αβ、和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m α⊥，则n α⊥；②若,,m m αβ⊥⊥则//αβ； ③若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥； ④若//,,//m n m n ααβ⋂=则.其中正确命题的个数是（ ）D A ．0 B ．1C ．2D ．37．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥+-24022y x y x 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是（ ）A A ．925 B ．825C ．413 D ．5138．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将()f x 的图象（ ）AA ．向右平移π6个长度单位 B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向左平移π12个长度单位9．执行右侧的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）CA ．23-B ．0C ．23D ．310．已知“若点),(00y x P 在双曲线:C )0,0(12222>>=-b a by a x 上，则C 在点P 处的切线方程为12020=-byy a x x ”．现已知双曲线1124:22=-y x C 和点)3)(,1(±≠t t Q ，过点Q 作双曲线C 的两条切线，切点分别为N M ,，则直线MN 过定点（ ）C A ．)32,0(B ．)32,0(-C ．)0,4(D ．)0,4(-11．已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y -+=的两侧，给出下列命题： ①2310a b -+>； ②0a ≠时，ba有最小值，无最大值； ③存在正实数m m >恒成立 ； ④0a >且1a ≠，0b >时, 则1ba -的取值范围是12(,)(,)33-∞-+∞.其中正确的命题是（ ）D A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．已知偶函数)(x f y =是定义域为R ，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=-1,1210,2sin3)(2x x x x f x π．函数)(12)(22R a a ax x x g ∈-+-=．若函数))((x f g y =有且仅有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ）Ｂ A ．]2,1(B ．)2,1(C ．]3,2(D ．)3,2(二、填空题: 本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．则分数在[70,80)内的人数是_____．3014．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4cos5B =，则sin A 的值为__________．2515．如右图，设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且6==AC AB ，2=AD ，则球O 的体积为 ．32π16．已知)2,2(),0,4(),1,1(C B A -．平面区域D由所有满足)1,1(b a AC AB AP ≤<≤<+=μλμλ的点),(y x P 组成．若区域D 的面积为8，则的b a 4+最小值为 ．9三、解答题: 本大题共6小题， 共70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，a 2=4，368a a =． （1）求n a ；（2）令n n a b 2log =，求数列}1{1+⋅n n b b 的前n 项和n T ．【解析】（1）设数列{}n a 的公比q ，则⎩⎨⎧==2151184qa q a q a ，解得21=a ，2=q ∴)(2*N n a n n ∈=； ……………6分（2）由（1）知，n b n n ==2log 2，∴)111()4131()3121()211()1(1431321211+-++-+-+-=+⋅++⨯+⨯+⨯=n n n n T n 1111+=+-=n nn 即1+=n nT n ……………12分18．（本小题满分12分）为了了解学生的校园安全意识，某学校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查，问卷由三道选择题组成，每道题答对得5分，答错得0分，现将学生答卷得分的情况统计如下表：已知被调查的所有女生的平均得分为8.25分，现从所有答卷中抽取一份，抽到男生的答卷且得分是15分的概率为101． （1）求y x ,的值；（2）现要从得分是15分的学生中用分层抽样的方法抽取6人进行消防知识培训，再从这6人中随机抽取2人参加消防知识竞赛，求所抽取的2人中至少有1名男生的概率． 【解析】（1）因为被调查的所有女生的平均得分为8.25分，∴25.8603020601510305=+++⨯+⨯+x x ，解得90=x ，从所有答卷中抽取一份，共有结果y y +=+++++++270)60309020()352510(种，∴，抽到男生且得分是15分的概率101270=+y y ，解得30=y ，因此90=x ， 30=y ； ……………4分 （2）从得15分的学生中，用分层抽样方法抽取6人，则抽样比为151906=， ∴女生抽4人，记4321,,,A A A A ，男生抽2人，记为21,B B ，现从这6人中随机抽取2人，则所有可能结果为：1A 2A ，1A 3A ，1A 4A ，1A 1B ，1A 2B ，2A 3A ，2A 4A ，2A 1B ，2A 2B ，3A 4A ，3A 1B ，3A 2B ，4A 1B ，4A 2B ，1B 2B 共15种，设“取出的2人中至少有一名男生”为事件A ，则A 包含的基本事件有： 1A 1B ，1A 2B ，2A 1B ，2A 2B ，3A 1B ，3A 2B ，4A 1B ，4A 2B ，1B 2B 共9种，∴53159)(==A P ，3因此所抽取的2人中至少有1名男生的概率为．……………12分519．（本小题满分12分）如图1，由正四棱锥ABCD P -和正四棱柱1111D C B A ABCD -所组成的几何体的三视图如图2. （1）求证：⊥PC 平面BD A 1； （2）求点P 到平面BD A 1的距离． 【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于O ，并连接PO 、O A 1．正四棱锥ABCD P -， ∴BD PC ⊥，又由三视图知，2=PO ，2==BC AB ，∴22=AC ，故PC PA ⊥，又易知21==AA PO 且1//AA PO ，∴四边形A POA 1为平行四边形，∴1//OA PA ，故PC OA ⊥1，又O BD OA = 1，因此⊥PC 平面BD A 1； ……………6分（2）由（1）知1//OA PA ，故点P 到平面BD A 1的距离即为点A 到平面BD A 1的距离，又易知平面⊥O AA 1平面BD A 1，且平面⋂O AA 1平面O A BD A 11=，故过A 作⊥AE O A 1，垂足为E ，则⊥AE 平面BD A 1，AE 即为点A 到平面BD A 1的距离，又由已知，21==AA AO ，∴21=O A ，故111=⋅=OA AA AO AE ，因此点P 到平面BD A 1的距离为1．……………12分20．（本小题满分12分）设点M G ,分别是ABC ∆的重心和外心，)0,1(-A ，)0,1(B ，且AB GM //．（1）求点C 的轨迹E 的方程；A1A P1B 1C 1D DBC1图2图A1A P1B 1C 1D DBCo（2）已知点)0,21(-D ，是否存在直线，使过点)1,0(并与曲线E 交于Q P ,两点，且PDQ ∠为钝角．若存在，求出直线的斜率k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）设)0)(,(≠y y x C ，则)3,3(y x G ，AC 的中点)2,21(yx F -，又AB GM //，则)3,0(y M ，又M 是ABC ∆的外心，所以0=⋅AC MF ，即06)1(21=⋅++⋅-y yx x ， 化简得，)0(1322≠=+y y x ，即点C 的轨迹E 的方程为)0(1322≠=+y y x (5)分（2）假设存在满足条件的直线，并设其方程为1+=kx y ，则联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+11322kx y y x 消去y 得022)3(22=-++kx x k ，则024122>+=∆k ， 设),(),,(2211y x Q y x P ，则32321+-=+k kx x ，32321+-=⋅k x x ， 由PDQ ∠为钝角，有0<⋅DQ DP ，即)1)(1()21)(21()21)(21(21212121+++++=+++kx kx x x y y x x045))(21()1(21212<+++++=x x k x x k整理得，74112>-+k k ，解得1-<k 或117>k ， ……………10分 又当1=k 时，直线过点)0,1(-A ，而A 不在曲线E 上，此时直线与曲线E 只有一个交点，不符合题意，故舍去，因此，综上可知符合条件的直线存在，且其斜率的取值范围为1-<k 或1117<<k 或1>k ．……………12分21．（本小题满分12分）已知函数2ln 2)(x x x f -=．（1）求函数)(x f y =在区间],1[e e的最值；（e 为自然对数的底数）（2）如果函数ax x f x g -=)()(的图象与x 轴交于两点)0,(),0,(21x B x A 且210x x <<，求证：0)2(21/<+x x g ． 【解析】（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且求导得：xx x x x x f )1)(1(222)(/+-=-=， 则当]1,1[ex ∈时，0)(/>x f ，当],1[e x ∈时，0)(/<x f ， 即)(x f 在]1,1[e上单调递增，在],1[e 单调递减，又1)1(,2)(,12)1(22-=-=--=f e e f e e f ，且)()1(e f ef > 因此，当1=x 时，)(x f 取得最大值1-，当ex =时，)(x f 取得最小值22e - ……………………………5分（2）方程0)(=-ax x f 有两个不等实根21,x x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0ln 20ln 222221211ax x x ax x x ，两式相减得，)()ln (ln 2212121x x x x x x a +---=， 又由已知a x x x g --=22)(/，则)]()ln (ln 2[)(4)(4)2(2121212121212121/x x x x x x x x x x a x x x x x x g +----+-+=-+-+=+ 即21212121/)ln (ln 24)2(x x x x x x x x g ---+=+； 因此，0)2(21/<+x x g )0(ln ln )(20)ln (ln 2421212121212121x x x x x x x x x x x x x x <<->+-⇔<---+⇔212121ln 1)1(2x x x x x x >+-⇔令)1,0(,ln 1)1(2)(∈-+-=t t t t t h ，则0)1()1(1)1(4)(222/<+--=-+=t t t t t t h ，即函数)(t h 在)1,0(上递减，所以，当)1,0(∈t 时，0)1()(=>h t h ，即)10(ln 1)1(2<<>+-t t t t ， 因此，当210x x <<时，212121ln 1)1(2x x x x x x >+-成立，即0)2(21/<+x x g 成立． ………………………12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过D 、E 、C 三点的圆于点F ． （1）求证：EA ED EF ⋅=2；（2）若6=AE ，3=EF ，求AC AF ⋅的值．【解析】（1）如图，连接CE ，DF ． ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在圆内又知∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE．∴∠EAF=∠EFD 又∠AEF=∠FED， ∴ΔAEF∽ΔFED ， ∴EFAE ED EF =，∴EA ED EF ⋅=2……………5分（2）由（1）知EA ED EF ⋅=2，∵EF =3，AE =6， ∴23=ED ，29=AD ∴27296=⨯=⋅=⋅AE AD AC AF ……………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 3t y t x （为参数）．取原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；（2）若直线经过点)4,0(，点P 是曲线上任意一点，求点P 到直线的距离的最小值． 【解析】（1）曲线C 直角坐标方程的直角方程为：x y 42=， ∴曲线C 是顶点为)0,0(O ，焦点为)0,1(F 的抛物线； ……………………5分（2）直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 3t y t x （为参数），故直线过点)1,3(-；又若直线经过点)4,0(，∴直线的普通方程为：04=+-y x ，由已知设)4,4(2t t P ，则点P 到直线的距离2|3)21(4|2|444|22+-=+-=t t t d ， 所以当21=t ，即点)2,1(P 时，d 取得最小值223，11 因此点P 到直线的距离的最小值为223． ……………………10分24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲：已知函数|1|)(-=x x f ，)(|3|)(R a a x x g ∈++-=．（1）当6=a 时，解关于x 的不等式)()(x g x f <；（2）若函数)(2x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当6=a 时，不等式)()(x g x f >即为6|3||1|<++-x x ；①当3-<x 时，不等式即为6)3()1(<+---x x ，解得4->x ，此时34-<<-x ； ②当13<≤-x 时，不等式即为6)3()1(<++--x x ，即64<成立，此时13<≤-x ； ③当1≥x 时，不等式即为6)3()1(<++-x x ，解得2<x ，此时11<≤x ；因此，综上可知所求不等式的解集为)2,4(-； ………………………５分（2）函数)(2x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的上方，故0)()(2>-x g x f 恒成立，即|3||1|2++-<x x a ，令⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤-+--<--=++-=1,1313,53,13|3||1|2)(x x x x x x x x x h ，则)(x h 在]1,(-∞上递减，在),1[+∞上递增，故当1=x 时，)(x h 取得最小值4)1(=h ，故4<a ，即当4<a 时，函数)(2x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的上方．………………………10分。

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作长郡中学 2016 届高三月考试卷（六）数学（文科）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1. 若全集 U R ，会合x 1 2x4 ，x x 1 0 ，则 e U（ ）A ． x 0 x 1B ． x 1x 2 C ． x 0 x 1D ． x 1 x 22. 已知 a ， bR ， i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则a bi2）（A ． 5 4iB ． 5 4iC ． 3 4iD ． 34i4. 在区间2,4 上随机地抽取一个实数 x ，若 x 知足 x2m 的概率为 5，则实数 m 的值为（）6A ． 2B ． 3C ． 4D ． 95. 已知 f x 在 R 上是奇函数， 且知足 f x 4f x ，当 x 0,2 时， f x2x 2 ，则 f 7 （）A ． 2B ． 2C ． 98D ． 986. 一个几何体的三视图以下图，此中正视图与侧视图都是斜边长为 2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（）3 3 3 3A ．B ．C ．D ．126437. 下面程序框图的算法思路根源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．履行该程序框图，若输入 a ，b，i的值分别为6，8，0，则输出 a 和i的值分别为（）A．0，4B．0，3C．2，4D．2，38. 设函数f x g x x2，曲线 y g x 在点 1, g 1处的切线方程为 y2x 1 ，则曲线y f x 在点 1, f 1处切线的斜率为为（）A ．4B ．1C．2D．1 429. 已知sin 3,，函数 f x sin x（0 ）的图象的相邻两条对称轴之间的，且52距离等于，则 f的值为（）2434C．34A ．B ．5D．55510. 已知 C 的三个极点，，C的坐标分别为0,1 ，2,0，0,2 ，为坐标原点，动点满足 C1，则的最小值是（）A．31B．111C．31D．11111. 过双曲线x2y21（a0 ， b0 ）的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐a2b2近线交于点，若 F2F，则此双曲线的离心率为（）A ．2B．3C．2D．512. 已知三棱锥S C的全部极点都在球的球面上，C是边长为1SC为球的直的正三角形，径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（）2B．32D．2A ．6C．632第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5: 4:3 ，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是．2x y20 14.若实数 x ，y知足拘束条件2x y40 ，则x的取值范围是．y2y15.设数列a n的各项都是正数，且对随意n，都有 4S n a n22a n，此中 S n为数列a n的前n项和，则数列 a n的通项公式为 a n．16.已知以 F 为焦点的抛物线y24x 上的两点，知足 F2F，则弦中点到抛物线准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）设 S n为数列a n的前n项和，已知a1 2 ，对随意 n，都有2S n n 1 a n．（ 1）求数列a的通项公式；n（ 2）若数列4的前 n 项和为n ，求证：1a n a n 2n 1．218.（本小题满分 12 分）“冰桶挑战赛”是一项交际网络上倡始的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24 小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐钱（不接受挑战），而且不可以重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上公布自己被冰水浇遍浑身的视频内容，而后便能够邀请此外 3 个人参加这项活动．假定每一个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（ 1）若某参加者接受挑战后，对其余3个人发出邀请，则这3个人中起码有2 个人接受挑战的概率是多少？（ 2）为认识冰桶挑战赛与受邀者的性别能否相关，某检查机构进行了随机抽样检查，检查获得以以下联表：依据表中数据，可否有90%的掌握以为“冰桶挑战赛与受邀者的性别相关”？n ad 2附：2bca b c d a c b d19.（本小题满分 12 分）如图甲，的直径 2 ，圆上两点 C 、 D 在直径的双侧，使 C4， D．沿直3径折起，使两个半圆所在的平面相互垂直（如图乙）， F为 C的中点，为的中点．依据图乙解答以下各题：（1）求证：C D；（ 2）在 D 上能否存在一点G ，使得 FG// 平面CD ？若存在，试确立点G 的地点；若不存在，请说明原因．20.（本小题满分 12 分）: x3216 ，动圆过点 F3,0 且与圆定圆y2相切，记圆心的轨迹为．（ 1）求轨迹的方程；（ 2）设点，， C 在上运动，与对于原点对称，且CC，当 C 的面积最小时，求直线的方程．21.（本小题满分 12 分）已知函数f x x ln x ax2 a （ a R ），其导函数为f x．（ 1）求函数g x f x2a 1 x 的极值；（ 2）当x 1 时，对于x 的不等式f x0 恒建立，求 a 的取值范围．请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图，C90 ，CD于点D，以 D 为直径的与C交于点．（ 1）求证： C C D D；（ 2）若4，点在线段上挪动， F 90， F 与圆订交于点 F ，求 F 的最大值．23.（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程x 1 1tx cos已知直线 l :2（ t 为参数），曲线 C1:（为参数）．y 3 t y sin2（ 1）设l与C1订交于，两点，求；（ 2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为本来的1倍，纵坐标压缩为本来的3倍，获得曲线 C 2，设点是22曲线 C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．24.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知定义在 R 上的函数 f x x m x ，m，存在实数x 使f x 2 建立．（ 1）务实数m的值；（ 2）若，1，f f4，求证：413 ．长郡中学 2016 届高三月考试卷（六）数学（文科）参照答案一、选择题题号123456789101112答案A D B D B A C A B A C A10． A【分析】由 C1及C 0, 2 可得的轨迹方程为 x2y 22x cos，1，即siny22cos,sin 1 ，22cos22sin12 2 2 cos cos2sin 22sin1 4 2 3cos423 （cos6，3sin331．），3二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13.80 14. 1 ,315.2n2216.94x1 , y1x2 , y2，此中点 D x0 , y0，F1,01 x1 2 x21【分析】令，，由F2F得，2 y2，y1x12x23x0x1x23x2y124x122y1 y2y1y2 4 x1 x2，y12y20，故y1y2y2，y24x，两式相减得y02222故 k y1y24y2，y y y24 x 1 ，即 y2 4 x 1 ，又y224x2，x1x2y1 y2x2 1212224 x214x2，得x21x03x25中点到抛物准距离d x019，2，．244三、解答：共70 分．解答写出文字明、明程或演算步．17. 【分析】明：（1）因2S n n 1a n，当 n 2 ，2S n 1na n 1，两式相减，得 2a n n 1 a n na n 1，即 n 1a n na n 1，所以当 n2， a n a n1．所以an a1n n1．n1因 a1 2 ，所以 a n2n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（ 2）因a n 2n， b4， n，n a n a n2因10，所以11．11n1n 11因 f n在上是减函数，所以1在n1n1所以当 n1，n 取最小 1 ．所以12n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分218. 【分析】（ 1）3个人接受挑分，， C，上是增函数．，， C 分表示3个人不接受挑．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分3 个人参加 活 的可能 果 ：, ,C ， , ,C ，, ,C ， , ,C ， , ,C ， , ,C ，, ,C ，, ,C ，共有 8 种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分此中，起码有 2 个人接受挑 的可能 果有：, ,C ，, ,C ， ,,C， ,,C ，共有 4种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分依据古典概型的概率公式，所求的概率418．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2（ 2）依据 22 列 表，获得2的 ：n adbc 2100 45 15 252215a b cd a cb d60 40 70 30 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分25 1.79 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分14因 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分所以没有90 %的掌握 “冰桶挑 与受邀者的性 相关”．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19. 【分析】（ 1）在D 中，D 60 ，D ， D 正三角形，又的中点，D， 两个半 所在平面C 与平面D 相互垂直且其交，D平面C ．C D．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）存在， GD 的中点． 明以下： 接G ， F ，FG ，G D ，的直径，DD ，G// D ，G平面CD ， D平面 CD ，G// 平面 CD ．在C 中，，F 分，C 的中点，F// C ，F平面CD ， F// 平面CD ，GF， 平面 FG// 平面CD ，又 FG 平面FG ，FG// 平面 CD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分20. 【分析】（ 1）因 点 F 3,0 在 :x3 2y216 内，所以．⋯⋯⋯⋯ 1 分内切于因F4 F．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以点 的 迹是以3,0 ， F 3,0焦点的 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分且 2a4 ， c 3 ，所以 b1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分所以 迹的方程 x 2y 21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4（ 2）当（或短），依意知，点 C 就是的上下点（或左右点），此 S1C 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分C2当直的斜率存在且不0 ，其斜率k ，直的方程 y kx ，立方程x2y21，得 x24， y24k 27 分411，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯kx4k 24k 2y所以2y24 1k 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分x214k 2由 C C知， C 等腰三角形，的中点，C，x2y21C 的方程y14所以直，x ，由1 xk yk24k224，C2 4 1k 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分解得 x C2， y C2k24 k4k4S C2S C4 1 k 2 4 1 k 2 4 1 k 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分C2k 21 4k4 1 4k 2k24因为14k2k 241 4k2k 24 5 1k 222．所以 S8C，58．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯当且当 14k 2k 2 4 ，即k 1 等号建立，此 C 面的最小是11 分88，此直5因 2，所以 C 面的最小的方程 y x 或 y x ．⋯⋯⋯⋯⋯12分5521. 【分析】（ 1）由知x0 ， f x ln x2ax 1， g x f x2a1x ln x x 1，g x 1xx1，g x1x0 ，g x 增函数；当 x 1 ，g1x ，当 0xx0 ，g x x x减函数．所以当 x 1 ， g x 有极大 g10 ， g x 无极小．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由意， f x ln x 2ax 1 ，（ I ）当 a 0 ，f x ln x 2ax 1 0在 x 1 恒建立， f x 在 1,上 增，所以 fxf 1 0 在 1,上恒建立，与已知矛盾，故a 0 不切合 意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ II ）当 a0 ，令xf xln x 2ax 1 ，x1 10,1 ．x2a ，且11x①当2a 1 ，即 a，x2a 0 ，于是x 在 x 1, 上 减，2 x所以x1 1 2a 0 ，即 f x 0 在 x1,上恒建立．f x 在 x 1,上 减，所以 fxf 10 在 x1,上建立，切合 意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分2a x11112a②当 02a 1 ，即 0a1，x2a，，xx2 2a若 x1,1，x0 ，x在 1,1上 增；2a2a若 x1 , ，x0 ，x 在1 , 上 减．2a2a又112a 0，所以x0在 1,1上恒建立，即 fx 0 在1上恒建立，2a 1,2a所以 fx 在 1,1上 增，f xf 10在 1,1上恒建立，2a2a所以 0a1不切合 意．2上所述， a 的取 范1 , ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分222. 【分析】（ 1）在C中，C90 ，CD于点D ，所以 CD 2D D，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因 CD 是 的切 ，由切割 定理得CD 2 CC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以 C CD D．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）因F ，所以FF 22．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分因 段F 的 定 ，即需求解 段度的最小 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分弦中点到 心的距离最短，此的中点，点 F 与点或重合．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以Fmax12 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分223. 【分析】（ 1） l 的一般方程 y3 x1 ， C 1 的一般方程 x 2y 2 1，y3 x11,01 , 3 立方程x 2y 21 ，解得交点坐，，2 222所以1 13 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分22x 1cos13（ 2）曲 C 2 :2,（参数）． 所求的点 cos sin ，y3sin2223cos3sin33 到直 l 的距离 d222 sin23 144当 sin1 ， d 获得最小621 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分4424. 【分析】（ 1）因 x mx x m xm ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分要使不等式x m x2 有解， m 2 ，解得 2m2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分因 m，所以 m 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）因，1，所以 ff21 2 1 4 ，3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 所以411 411 5 4 1 52 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分333（当且 当4，即2 ， 1 等号建立）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分又因，1 ，所以41 3恒建立．故413 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。