人大附中高二年级第一学期期末数学理练习

北京市人大附中2018-2019学年第一学期期末高二年级数一、选择题（本大题共12小题，共64.0分）1.下列导数公式错误的是A. B.C. D.2.双曲线的焦点坐标是A. ，B. ，C. ，D. ，3.如图，在平行六面体中，若，，，则A.B.C.D.4.若，，则是的A. 既不充分也不必要条件B. 必要不充分条件如图，正棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.5设函数，则A. ，取得最大值B. ，取得最小值C. ，取得最大值D. ，取得最小值6如果把二次函数与其导函数的图象画在同一个坐标系中则下面四组图中一定错误的是A. B.C. D.7函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围是A. B. C. D.8过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若，则AB的中点M到y轴的距离等于A. 2B. 25C. 3D. 49如图，已知直线与曲线相切于两点，设函数，则函数A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值10如图所示，直三棱柱的侧棱长为3，底面边长，且，D点在棱上且，P点在棱上，则的最小值为A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11已知函数，则______．12已知函数，则______．13已知空间向量1，，0，，若，的夹角为，则实数x的值为______．14直线与函数的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是______．15电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为______．16在棱长为1的正方体中，M为体对角线上动点．则到距离的最小值为______；位于三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有______种三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17已知抛物线C方程：，点在C上，F为焦点．Ⅰ求抛物线C的方程和焦点F坐标；Ⅱ若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点O到直线AB的距离．18已知函数，其导函数为的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：Ⅰ实数c的值为______；当______时，取得极大值将答案填写在横线上．Ⅱ求实数a，b的值．Ⅲ求的单调区间．19已知离心率为的椭圆C：与直线相交于P，Q两点点P在x轴上方，且点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ求四边形APBQ面积的取值范围．20对于函数，若存在实数满足，则称为函数的一个不动点已知函数，其中a，Ⅰ当时，求的极值点；若存在既是的极值点，又是的不动点，求b的值；Ⅱ若有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b，使得，均为的不动点？证明你的结论．。

2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）下列导数公式错误的是（ ） A.（sinx ）'=-cosx B. (lnx )′=1x C. (1x )′=−1x 2 D.（e x ）'=e x2.（单选题.5分）双曲线x 2- y 23 =1的焦点坐标是（ ） A.（0. √2 ）.（0.- √2 ） B.（ √2 .0）.（- √2 .0） C.（0.2）.（0.-2） D.（2.0）.（-2.0）3.（单选题.5分）如图.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c .则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. a + b ⃗ - cB. a + b ⃗ + cC. a - b ⃗ - cD.- a + b ⃗ + c4.（单选题.5分）若 a =（a 1.a 2.a 3）. b ⃗ =（b 1.b 2.b 3）.则 a 1b 1= a 2b 2= a 3b3是 a || b ⃗ 的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件5.（单选题.5分）如图.正棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45+lnx .则（）6.（单选题.5分）设函数f（x）= 2xA.x= 1.f（x）取得最大值2.f（x）取得最小值B.x= 12C.x=2.f（x）取得最大值D.x=2.f（x）取得最小值7.（单选题.5分）如果把二次函数f（x）=ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A.B.C.D.8.（单选题.5分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[-1.1]上单调递减.则实数k的取值范围是（）A.（-∞.-2]B.[-2.2]C.[-2.+∞）D.[2.+∞）9.（填空题.5分）已知函数f（x）=x2.则△x→0f(△x)−f(0)△x=___ ．10.（填空题.5分）已知函数f(x)=e xx.则f′（1）=___ ．11.（填空题.5分）已知空间向量a =（0.1.1）. b⃗ =（x.0.1）.若a . b⃗的夹角为π3.则实数x的值为___ ．12.（填空题.5分）直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点.则a的取值范围是___ ．13.（填空题.5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x＞0) .为使耗电量最小.则其速度应定为___ ．14.（填空题.5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为___ ；（2）M位于BD1三等分点处时.M到各顶点的距离的不同取值有___ 种．15.（问答题.10分）已知抛物线C方程：y2=2px（p＞0）.点（1.2）在C上.F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A.B分别在其对称轴的上、下两侧.且|AF|=2.|BF|=5.求原点O 到直线AB的距离．16.（问答题.10分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx.其导函数为f′（x）的部分值如表所示：x -2 1 3 8 f′（x）-10 6 8 -90根据表中数据.回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为___ ；当x=___ 时.f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a.b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17.（问答题.10分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.BC=1.AB=2. PC=PD=√2 .E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC || 平面BED；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；的值；若不存在.说明理由．（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M.使得BM⊥AC？若存在.求PMPC18.（单选题.6分）过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A.B两点.若|AB|=5.则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A.2B.25C.3D.419.（单选题.6分）如图.已知直线y=kx 与曲线y=f （x ）相切于两点.设函数g （x ）=kx+m （m ＞0）.则函数F （x ）=g （x ）-f （x ）（ ）A.有极小值.没有极大值B.有极大值.没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值20.（单选题.6分）如图所示.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为3.底面边长A 1C 1=B 1C 1=1.且∠A 1C 1B 1=90°.D 点在棱AA 1上且AD=2DA 1.P 点在棱C 1C 上.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 52B. −14 C. 14 D. −5221.（单选题.6分）已知集合R n ={X|X=（x 1.x 2.….x n ）.x i ∈{0.1}.i=1.2.….n}（n≥2）．对于A=（a 1.a 2.….a n ）∈R n .B=（b 1.b 2.….b n ）∈R n .定义A 与B 之间的距离为d （A.B ）=|a 1-b 1|+|a 2-b 2|+…|a n -b n |= ∑|a i −b i |n i=1 ．若集合M 满足：M⊆R 3.且任意两元素间的距离均为2.则集合M 中元素个数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.822.（问答题.13分）已知离心率为√32的椭圆C：x2a2+ y2b2=1（a＞b＞0）与直线x=2相交于P.Q两点（点P在x轴上方）.且|PQ|=2．点A.B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点.且∠APQ=∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23.（问答题.13分）对于函数f（x）.若存在实数x0满足f（x0）=x0.则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3.其中a.b∈R（Ⅰ）当a=0时.（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点.又是f（x）的不动点.求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1.x2.试问：是否存在a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）下列导数公式错误的是（）A.（sinx）'=-cosxB. (lnx)′=1xC. (1x )′=−1x2D.（e x）'=e x【正确答案】：A【解析】：根据题意.依次计算选项函数的导数.比较即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A、（sinx）'=cosx.故A错误；对于B、（lnx）′= 1x.故B正确；对于C、（1x ）′=x-1=（-1）×x-2=- 1x2.故C正确；对于D、（e x）'=e x.故D正确；故选：A．【点评】：本题考查导数的计算.关键是掌握导数的计算公式．2.（单选题.5分）双曲线x2- y23=1的焦点坐标是（）A.（0. √2）.（0.- √2）B.（√2 .0）.（- √2 .0）C.（0.2）.（0.-2）D.（2.0）.（-2.0）【正确答案】：D【解析】：根据题意.由双曲线的方程求出a、b的值.计算可得c的值.结合双曲线的焦点位置.分析可得答案．【解答】：解：根据题意.双曲线的方程为x 2- y 23 =1. 其中a=1.b= √3 .则c= √1+3 =2.又由双曲线的焦点在x 轴上.则其焦点坐标为（2.0）（-2.0）； 故选：D ．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.注意分析双曲线的焦点位置.属于基础题．3.（单选题.5分）如图.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c .则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. a + b ⃗ - cB. a + b ⃗ + cC. a - b ⃗ - cD.- a + b ⃗ + c 【正确答案】：C【解析】：根据空间向量的加减法运算用已知向量把 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来即可．【解答】：解： D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ − AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = −c +a −b ⃗ 故选：C ．【点评】：本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法.属于基础题型． 4.（单选题.5分）若 a =（a 1.a 2.a 3）. b ⃗ =（b 1.b 2.b 3）.则 a 1b 1= a 2b 2= a 3b3是 a || b ⃗ 的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件 【正确答案】：D【解析】：根据空间向量平行的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：∵ a =（a1.a2.a3）. b⃗ =（b1.b2.b3）.∴当a1b1 = a2b2= a3b3时.向量a || b⃗成立．当a =（1.0.0）. b⃗ =（2.0.0）.满足a || b⃗ .但a1b1 = a2b2= a3b3不成立.∴ a1 b1 = a2b2= a3b3是a || b⃗的充分不必要条件．故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用空间向量的坐标公式以及空间向量的共线定理是解决本题的关键．5.（单选题.5分）如图.正棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45【正确答案】：D【解析】：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B.得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角.在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】：解．如图.连接BC1.A1C1.∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.设AB=a.AA1=2a.∴A1B=C1B= √5 a.A1C1= √2 a.∠A1BC1的余弦值为45.故选：D．【点评】：本题主要考查了异面直线及其所成的角.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.属于基础题．6.（单选题.5分）设函数f（x）= 2x+lnx .则（）A.x= 12.f（x）取得最大值B.x= 12.f（x）取得最小值C.x=2.f（x）取得最大值D.x=2.f（x）取得最小值【正确答案】：D【解析】：求出函数的导数.解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间.求出函数的最小值即可．【解答】：解：∵f（x）= 2x+lnx .（x＞0）∴f′（x）=- 2x2 + 1x= x−2x2.令f′（x）＞0.解得：x＞2.令f′（x）＜0.解得：0＜x＜2.故f（x）在（0.2）递减.在（2.+∞）递增.故x=2时.f（x）取最小值.故选：D．【点评】：本题考查了函数的单调性.最值问题.考查导数的应用.是一道常规题．7.（单选题.5分）如果把二次函数f（x）=ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A.B.C.D.【正确答案】：B上.从而得到答案．【解析】：根据二次函数的顶点和导函数的解在直线x=- b2a.【解答】：解：二次函数f（x）=ax2+bx+c的对称轴是x=- b2a.故其导函数f′（x）=2ax+b=0的根是- b2a上.二次函数的顶点和导函数的解均在直线x=- b2a故对于选项B是错误的.故选：B．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查数形结合思想.是一道基础题．8.（单选题.5分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[-1.1]上单调递减.则实数k的取值范围是（）A.（-∞.-2]B.[-2.2]C.[-2.+∞）D.[2.+∞） 【正确答案】：B【解析】：根据题意.求出函数f （x ）的导数.结合函数的导数与函数单调性的关系可得f′（x ）=3x 2+2kx-7≤0在[-1.1]上恒成立.则有 {f′(1)=3+2k −7≤0f′(−1)=3−2k −7≤0 .解可得k 的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f （x ）=x 3+kx 2-7x.其导数f′（x ）=3x 2+2kx-7. 若函数f （x ）=x 3+kx 2-7x 在区间[-1.1]上单调递减. 则f′（x ）=3x 2+2kx-7≤0在[-1.1]上恒成立. 则有 {f′(1)=3+2k −7≤0f′(−1)=3−2k −7≤0 .解可得-2≤k≤2.即k 的取值范围为[-2.2]； 故选：B ．【点评】：本题考查函数的单调性的判定.涉及函数的导数与单调性的关系.属于基础题． 9.（填空题.5分）已知函数f （x ）=x 2.则 △x→0f (△x )−f (0)△x =___ ． 【正确答案】：[1]0 【解析】：先求出f′（x ）.由 △x→0f (△x )−f (0)△x =f′（0）.能求出结果．【解答】：解：∵f （x ）=x 2. ∴f′（x ）=2x. ∴△x→0f (△x )−f (0)△x =f′（0）=0. 故答案为：0．【点评】：本题考查极限的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意导数概念及性质的合理运用． 10.（填空题.5分）已知函数 f (x )=e xx.则f′（1）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据导数的公式求出函数的导数.直接代入即可求值．【解答】：解：∵函数f(x)=e xx.∴f'（x）= e x•x−e xx2.∴f′（1）= e−e1=0 .故答案为：0．【点评】：本题主要考查导数的计算.要求熟练掌握常见函数的导数公式.比较基础．11.（填空题.5分）已知空间向量a =（0.1.1）. b⃗ =（x.0.1）.若a . b⃗的夹角为π3.则实数x的值为___ ．【正确答案】：[1]1或-1【解析】：首先根据向量的坐标求出向量的模.进一步利用向量的夹角求出x的值．【解答】：解：已知a=(0，1，1) . b⃗=(x，0，1)则：|a|=√2 . |b⃗|=√x2+1由于a和b⃗的夹角为π3.则：cosπ3=a⃗ •b⃗|a⃗ ||b⃗|=√2√x2+1=12解得：x=1或-1故答案为：1或-1【点评】：本题考查的知识要点：空间向量的夹角.空间向量的数量积和模的运算.属于基础题型．12.（填空题.5分）直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点.则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2.2）【解析】：先求出其导函数.利用其导函数求出其极值以及图象的变化.进而画出函数f（x）=x3-3x对应的大致图象.平移直线y=a即可得出结论．【解答】：解：令f′（x）=3x2-3=0.得x=±1.可求得f（x）的极大值为f（-1）=2.极小值为f（1）=-2.如图所示.当满足-2＜a＜2时.恰有三个不同公共点．故答案为：（-2.2）【点评】：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用.是对基础知识的考查.属于基础题．13.（填空题.5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x＞0) .为使耗电量最小.则其速度应定为___ ．【正确答案】：[1]40【解析】：欲求使耗电量最小.则其速度应定为多少.即求出函数的最小值即可.对函数求导.利用导数求研究函数的单调性.判断出最小值位置.代入算出结果．【解答】：解：由题设知y'=x2-39x-40.令y'＞0.解得x＞40.或x＜-1.故函数y=13x3−392x2−40x(x＞0)在[40.+∞）上增.在（0.40]上减.当x=40.y取得最小值．由此得为使耗电量最小.则其速度应定为40；故答案为：40．【点评】：考查用导数研究函数的单调性求最值.本题是导数一章中最基本的应用题型．14.（填空题.5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为___ ；（2）M位于BD1三等分点处时.M到各顶点的距离的不同取值有___ 种．【正确答案】：[1] √22; [2]4【解析】：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离.由此能求出M到CC1距离的最小值；（2）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出M 到各顶点的距离的不同取值的种数．【解答】：解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离.连结AC.BD.交于点O.则AC⊥BD.AC || DD1.∴AC⊥平面BDD1.∴OC⊥BD1.且OC⊥CC1.∴M到CC1距离的最小值为|OC|= 12√12+12 = √22．故答案为：√22．（2）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系. A（1.0.0）.B（1.1.0）.C（0.1.0）.D（0.0.0）.A1（1.0.1）.B1（1.1.1）.C1（0.1.1）.D1（0.0.1）.M位于BD1三等分点处时.设M（23，23，13）.∴AM= √(23−1)2+(23)2+(13)2= √63.BM= √(23−1)2+(23−1)2+(13)2= √33.CM= √(23)2+(23−1)2+(13)2= √63.DM= √(23)2+(23)2+(13)2=1.A1M= √(23−1)2+(23)2+(13−1)2=1.B1M= √(23−1)2+(23−1)2+(13)2= √33.C1M= √(23)2+(23−1)2+(13−1)2=1.D1M= √(23)2+(23)2+(13−1)2= 2√33．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．【点评】：本题考查点到直线的距离的最小值的求法.考查点到各顶点的距离的不同取值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置位置关系等基础知识.考查学生的空间想象能力.考查运算求解能力.是中档题．15.（问答题.10分）已知抛物线C 方程：y 2=2px （p ＞0）.点（1.2）在C 上.F 为焦点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程和焦点F 坐标；（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A.B 分别在其对称轴的上、下两侧.且|AF|=2.|BF|=5.求原点O 到直线AB 的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将（1.2）代入抛物线方程.可得p=2.可得抛物线的方程和焦点坐标； （Ⅱ）运用抛物线的定义.可得A.B 的坐标.AB 的方程.运用点到直线的距离公式.可得所求值．【解答】：解：（Ⅰ）将（1.2）代入抛物线方程可得4=2p. 解得p=2.即抛物线的方程为y 2=4x.F （1.0）；（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A.B 分别在其对称轴的上、下两侧. 且|AF|=2.|BF|=5.由抛物线的定义可得x A +1=2.x B +1=5. 即有x A =1.x B =4.即为A （1.2）.B （4.-4）.AB 的斜率为-2. AB 的方程为2x+y-4=0. O 到直线AB 的距离为d= √4+1= 4√55 ．【点评】：本题考查抛物线的定义、方程和性质.考查直线方程的求法和运用.以及点到直线的距离公式的运用.考查运算能力.属于基础题．16.（问答题.10分）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx.其导函数为f′（x ）的部分值如表所示：（Ⅰ）实数c 的值为___ ；当x=___ 时.f （x ）取得极大值（将答案填写在横线上）． （Ⅱ）求实数a.b 的值． （Ⅲ）求f （x ）的单调区间．【正确答案】：6; 3【解析】：（Ⅰ）由极值的定义.通过表格可求解； （Ⅱ）在表格中取两组数据代入解析式即可； （Ⅲ）利用导数求出f （x ）的单调区间【解答】：解：（Ⅰ）6.3 （Ⅱ）：f'（x ）=3ax 2+2bx+c.由已知表格可得 {f′(1)=8f′(3)=0 解得 {a =−23b =2（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x ）=-2x 2+4x+6=-2（x-3）（x+1）. 因为x∈（-∞.-1）和x∈（3.+∞）时f'（x ）＜0.x∈（-1.3）时f'（x ）＞0. 所以f （x ）的单调增区间为（-1.3）.单调减区间为（-∞.-1）和（3.+∞）．【点评】：本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间.属于基础题． 17.（问答题.10分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.底面ABCD 为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.BC=1.AB=2. PC =PD =√2 .E 为PA 中点． （Ⅰ）求证：PC || 平面BED ； （Ⅱ）求二面角A-PC-D 的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M.使得BM⊥AC ？若存在.求 PMPC 的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F.连结EF.推导出EF || PC ．由此能证明PC || 平面BED ．（Ⅱ）取CD 中点O.连结PO ．推导出PO⊥CD .取AB 中点G.连结OG.建立空间直角坐标系O-xyz.利用向量法能求出二面角A-PC-B 的余弦值．（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点.则存在λ∈[0.1]使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．利用向量法能求出在棱PC 上存在点M.使得BM⊥AC ．此时. PMPC = 12【解答】：（共14分）证明：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F.连结EF ． 因为ABCD 为矩形.所以F 为AC 的中点． 在△PAC 中.由已知E 为PA 中点. 所以EF || PC ．又EF⊂平面BFD.PC⊄平面BFD. 所以PC || 平面BED ． …（5分） （Ⅱ）取CD 中点O.连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形.O 为CD 的中点. 所以PO⊥CD ．又因为平面PCD⊥平面ABCD. PO⊂平面PCD.所以PO⊥平面ABCD ．取AB 中点G.连结OG.由题设知四边形ABCD 为矩形. 所以OF⊥CD ．所以PO⊥OG ．…（1分） 如图建立空间直角坐标系O-xyz.则A （1.-1.0）.C （0.1.0）.P （0.0.1）.D （0.-1.0）. B （1.1.0）.O （0.0.0）.G （1.0.0）． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2.0）. PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.-1）． 设平面PAC 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）. 则 {n ⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0n ⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0.令z=1.得 n ⃗ =（2.1.1）．平面PCD 的法向量为 OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.0）．设 n ⃗ ，OG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α.所以cosα= |n ⃗ •OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n⃗ •OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √63． 由图可知二面角A-PC-D 为锐角.所以二面角A-PC-B 的余弦值为 √63 ．…（10分）（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点.则存在λ∈[0.1]使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ．因此点M （0.λ.1-λ）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.λ-1.1-λ）. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2.0）． 由 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .得1+2（λ-1）=0.解得 λ=12． 因为 λ=12 ∈[0.1].所以在棱PC 上存在点M.使得BM⊥AC ． 此时. PMPC = 12 ． …（14分）【点评】：本题考查线面平行的证明.考查二面角的余弦值的求法.考查线段比值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意向量法的合理运用．18.（单选题.6分）过抛物线y 2=2x 焦点的直线交抛物线于A.B 两点.若|AB|=5.则AB 的中点M 到y 轴的距离等于（ ） A.2 B.25 C.3 D.4【正确答案】：A【解析】：由题意知.求出抛物线的参数p.由于直线过焦点.设出AB 中点的横坐标m.由中点的坐标公式求出x 1+x 2.利用弦长公式x 1+x 2+p.解方程可得m.即可得到所求值．【解答】：解：由抛物线为y 2=2x. 可得p=1．设A 、B 两点横坐标分别为x 1.x 2. 设线段AB 中点的横坐标为m. 则x 1+x 22=m.即x 1+x 2=2m. 由|AB|=x 1+x 2+p=2m+1=5.解得m=2.可得AB 的中点M 到y 轴的距离为2．故选：A．【点评】：本题是直线被圆锥曲线所截.求弦长问题.一般可以由公式：|AB|= √1+k2•|x1-x2|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系.从而简化解题过程．但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．19.（单选题.6分）如图.已知直线y=kx与曲线y=f（x）相切于两点.设函数g（x）=kx+m （m＞0）.则函数F（x）=g（x）-f（x）（）A.有极小值.没有极大值B.有极大值.没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值【正确答案】：C【解析】：F（x）表示两图象上横坐标相同时.纵坐标的差.根据函数图象即可判断出结论．【解答】：解：设y=kx与f（x）的切点横坐标分别为x1.x2.（x1＜x2）.设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3.如图所示：而F（x）=kx+m-f（x）表示直线g（x）的点（x.g（x））与f（x）上的点的（x.f（x））的纵坐标的差.显然.F（x）在（0.x1）上单调递减.在（x1.x3）上单调递增.在（x3.x2）上单调递减.在（x2.+∞）上单调递增.∴x1.x2为F（x）的极小值点.x3为F（x）的极大值点．∴F（x1）.F（x2）为F（x）的极小值.F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．【点评】：本题考查了函数图象的几何意义.函数极值的意义.属于中档题．20.（单选题.6分）如图所示.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为3.底面边长A 1C 1=B 1C 1=1.且∠A 1C 1B 1=90°.D 点在棱AA 1上且AD=2DA 1.P 点在棱C 1C 上.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 52B. −14 C. 14D. −52【正确答案】：B【解析】：建立如图所示的直角坐标系.设P （0.0.z ）.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (z −52)2 - 14 .利用二次函数的性质求出它的最小值．【解答】：解：建立如图所示的直角坐标系. 则D （1.0.2）.B 1（0.1.3）. 设P （0.0.z ）.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2-z ）. PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.3-z ）.∴ PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+（2-z ）（3-z ）= (z −52)2- 14 . 故当z= 52 时. PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为- 14 .故选：B ．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义.两个向量坐标形式的运算.属于基础题． 21.（单选题.6分）已知集合R n ={X|X=（x 1.x 2.….x n ）.x i ∈{0.1}.i=1.2.….n}（n≥2）．对于A=（a 1.a 2.….a n ）∈R n .B=（b 1.b 2.….b n ）∈R n .定义A 与B 之间的距离为d （A.B ）=|a 1-b 1|+|a 2-b 2|+…|a n -b n |= ∑|a i −b i |n i=1 ．若集合M 满足：M⊆R 3.且任意两元素间的距离均为2.则集合M 中元素个数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8【正确答案】：A【解析】：由集合的子集得：R 3中含有8个元素.先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点.已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点.即M={（0.0.0）.（1.1.0）.（1.0.1）.（0.1.1）}或M={（0.0.1）.（0.1.0）.（1.0.0）.（1.1.1）}.得解．【解答】：解：由n 元子集个数得：R 3中含有8个元素.可将其看成正方体的8个顶点. 已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点. 所以M={（0.0.0）.（1.1.0）.（1.0.1）.（0.1.1）} 或M={（0.0.1）.（0.1.0）.（1.0.0）.（1.1.1）}. 故集合M 中元素个数最大值为4. 故选：A ．【点评】：本题考查了集合的子集及阅读能力.属难度较大的题型． 22.（问答题.13分）已知离心率为 √32 的椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）与直线x=2相交于P.Q 两点（点P 在x 轴上方）.且|PQ|=2．点A.B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点.且∠APQ=∠BPQ ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）通过椭圆的离心率.设椭圆方程.利用点在椭圆.求出b 2.然后求出椭圆方程． （Ⅱ）通过∠APQ=∠BPQ .推出k PA =-k PB ．设直线PA 的斜率为k.得到直线PA ：y-1=k （x-2）（k≠0）．与椭圆联立.求出A 、B 坐标.设四边形APBQ 面积为S.表示出三角形的面积.利用基本不等式求出最值.也可以利用函数的导数求解面积的范围．【解答】：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e= √32 .则 ba = 12 .设椭圆方程为： x 24b 2 + y 2b 2 =1（b ＞0） 由题意可知点P （2.1）在椭圆上. 所以44b 2+1b 2=1 ．解得b 2=2．故椭圆C 的标准方程为 x 28+y 22=1 ． …（4分）（Ⅱ）由题意可知.直线PA.直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为∠APQ=∠BPQ .所以k PA =-k PB ．设直线PA 的斜率为k.则直线PA ：y-1=k （x-2）（k≠0）．由 {x 2+4y 2=8y −1=k (x −2) .得（1+4k 2）x 2+8k （1-2k ）x+16k 2-16k-4=0… ① ．依题意.方程 ① 有两个不相等的实数根.即根的判别式△＞0成立． 即△=64k 2（1-2k ）2-4（1+4k 2）（16k 2-16k-4）＞0. 化简得16（2k+1）2＞0.解得k ≠−12 ． 因为2是方程 ① 的一个解.所以2x A = 16k 2−16k−41+4k 2 ． 所以x A = 8k 2−8k−21+4k 2 ．当方程 ① 根的判别式△=0时.k= −12.此时直线PA 与椭圆相切．由题意.可知直线PB 的方程为y-1=-k （x-2）．同理.易得x B =8(−k)2−8(−k )−21+4(−k )2 = 8k 2+8k−21+4k 2． 由于点A.B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点.∠APQ=∠BPQ . 且能存在四边形APBQ.则直线PA 的斜率k 需满足|t| ＞12 ． 设四边形APBQ 面积为S.则S △APQ +S △BPQ =12|PQ ||2−x A | +12|PQ ||x B −2| = 12|PQ ||x B −x A | = |8k 2−8k−21+4k 2−8k 2+8k−21+4k 2| = |16k1+4k 2| 由于|t| ＞12 . 故S=16|k|1+4k 2 = 161|k|+4|k|当|t| ＞12 时. 1|k|+4|k |＞4 .可得 0＜161|k|+4|k|＜4 .即0＜S ＜4．（此处另解：设t=|k|.讨论函数f （t ）= 1t +4t 在t∈ (12，+∞) 时的取值范围． f′（t ）=4- 1t2 =4t 2−1t 2.则当t ＞12时.f′（t ）＞0.f （t ）单调递增．则当t ＞12 时.f （t ）∈（4.+∞）.即S∈（0.4）．所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是（0.4）．…（14分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程的求法.直线与圆锥曲线的综合应用.基本不等式以及函数的导数的应用.考查分析问题解决问题的能力．23.（问答题.13分）对于函数f （x ）.若存在实数x 0满足f （x 0）=x 0.则称x 0为函数f （x ）的一个不动点．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+3.其中a.b∈R （Ⅰ）当a=0时.（ⅰ）求f （x ）的极值点；（ⅱ）若存在x 0既是f （x ）的极值点.又是f （x ）的不动点.求b 的值；（Ⅱ）若f （x ）有两个相异的极值点x 1.x 2.试问：是否存在a.b.使得x 1.x 2均为f （x ）的不动点？证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）（i ）求出函数的导数.通过讨论b 的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的极值点.（ii）得到函数g（x）有且仅有一个零点x=1.即方程2 x03 +x0-3=0的根为x0=1.从而求出b 的值即可；（Ⅱ）假设存在.根据题意得到x13 +a x12 +（b-1）x1+3=0．① .3 x12 +2ax1+b=0．② .得到a2-3b=- 92.这与a2-3b＞0相矛盾！判断结论即可．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R.且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时.f′（x）=3x2+b；（ⅰ）① 当b≥0时.显然f（x）在R上单调递增.无极值点．[（2分）]② 当b＜0时.令f′（x）=0.解得：x=± √−b3．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：所以.x=- √−3是f（x）的极大值点；x= √−3是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点.则有3 x02 +b=0；若x=x0是f（x）的不动点.则有x03 +bx0+3=x0.从上述两式中消去b.整理得：2 x03 +x0-3=0．[（6分）]设g（x）=2x3+x-3．所以g′（x）=6x2+1＞0.g（x）在R上单调递增．又g（1）=0.所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1.即方程2 x03 +x0-3=0的根为x0=1.所以 b=-3 x02 =-3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x）有两个相异的极值点x1.x2.所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1.x2.所以△=4a2-12b＞0.即a2-3b＞0．[（9分）]假设存在实数a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点.则x1.x2是方程x3+ax2+（b-1）x+3=0的两个实根.显然x1.x2≠0．对于实根x1.有x13 +a x12 +（b-1）x1+3=0．①又因为3 x12 +2ax1+b=0．②① ×3- ② ×x1.得a x12 +（2b-3）x1+9=0．同理可得a x22 +（2b-3）x2+9=0．所以.方程ax2+（2b-3）x+9=0也有两个不等实根x1.x2．[（11分）] 所以x1+x2=- 2b−3a．对于方程3x2+2ax+b=0.有 x1+x2=- 2a3.所以- 2a3 =- 2b−3a.即a2-3b=- 92.这与a2-3b＞0相矛盾！所以.不存在a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点．[（13分）]【点评】：本题考查了函数的单调性、极值问题.考查导数的应用以及新定义问题.分类讨论思想.是一道综合题．。

北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题11．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．12．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.三、单选题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．“a b c d ,,,成等差数列”是“a d b c +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．数列{}n a 的通项公式为||n a n c =-(*)n N Î,则“1c £”是 “{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知数列{}na 满足11a =，1n n a ra r +=+，(*n ÎN ，r R Î，0r ¹)，则“1r =”是“数列{}na 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．已知S n 是等差数列{}()*N na n Î的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ）A ．公差0d <B ．在所有S 0n <中，13S 最大C ．满足S 0n>的n 的个数有11个D ．67a a >18．设,ab R Î，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．设0,0a b >>，则（ ）A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．若2223a b a b +=+，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a b a b -=-，则a b<四、填空题20．比较下列各数的大小：可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．5．C【详解】试题分析：由题意得，(2,3)Ç=，故选C.A B【考点】集合的交集运算【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．6．A【详解】在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A BÇ为图中阴影部分，即{}-<<，故选A.|32x x考点：集合的交集运算.【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =ì=í-Îî，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.12．1,2,3---【详解】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．13．C【分析】利用常数列、数列前n 项和的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】数列{}na 为常数列，则*N n "Î，1n a a =，121n n n S a a a na na =+++==L ，*N n "Î，n n S na =，则当2n ³时，11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，有1n n a a -=，因此，*N n "Î，11n a a S ==，数列{}n a 为常数列，所以“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的充分必要条件.故选：C 14．A【详解】a ，b ，c ，d 成等差数列Þ a d b c +=+,而1533+=+ ,但1,3,3,5不成等差数列,。

人大附中2017~2018学年度第一学期期末练习高二数学（理科）附加题四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把结果填在答题纸上相应位置．）19．已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】p q ∧为真，即p ，q 都为真命题， 即p ⌝为真，则p 为假命题．20．设直线:340l x y a ++=，圆22:(2)2C x y -+=，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是（ ）． A ．[18,6]-B ．[652,652]-+C ．[16,4]-D ．[652,652]---+【答案】C 【解析】如图：2c GEF x yOl过圆心C 作CE l ⊥交于E ， 过E 作圆C 的切线交圆于F 、G ，FEG ∠是圆心两点与l 上一点形成最大的角，只要90FEG ∠︒≥满足条件，即45FEC ∠︒≥，2CF =，2EF ≤，2EC ≤， 即|6|25a d +=≤， |6|10a +≤， 164a -≤≤．21．如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD 为正方形，给出下列命题：D ABCEF①不平行的两条棱所在的直线所成的角是60︒或90︒； ②四边形AECF 是正方形； ③点A 到平面BCE 的距离为1；④平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为12． 其中正确的命题有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】①正确，90EAF ∠=︒，90AEC ∠=︒； ②正确，四边都为1，角度为90︒； ③不正确，A 到BCE 距离小于AB ． ④不正确， 过E 作l AD ∥，FECBADADE BCE l = ，取AD 、BC 中点为G ，H ， 连接EG ，EH ，EG l ⊥，EH l ⊥， ∴GEH ∠即为二面角，32GE EH ==， 1GH =，331144cos 333222GEH +-∠==⋅⋅．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上．）22．已知棱长为1的正四面体ABCD ，O 为A 在底面BCD 上的正射影，如图建立空间直角坐标系，M 为线段AB 的中点，则M 点坐标是__________，直线DM 与平面BCD 所成角的正弦值是__________．z xyD A BCM O【答案】136,,4126⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭269【解析】60,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,,026B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，136,,4126M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， BCD 的法向量为(0,0,1)，30,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1536,,4126DM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 266sin 153616126θ=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．z xyD A BCM O23．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，若椭圆上存在点P ，使12120A PA ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围为__________． 【答案】π,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】如图，当P 在上顶点时，12A PA ∠最大， 此时，12120A PA ∠︒≥即可，A 1A 2b axyO260A PO ∠︒≥，2tan tan603aA PO b∠=︒=≥，即3a b ≥，223a b ≥，2223()a a c -≥，2223a c ≤，63c a ≥，6,13e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭．24．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示），该四面体的体积是__________．2,2()2,1()1212xyO 2z yO 122,2()1212x zO【答案】43【解析】2D AB C22z xy六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请把结果写在答题纸上．）25．已知一动点(,)M x y ，(0)x ≥到点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离减去它到y 轴距离的差都是14．（1）求动点M 的轨迹方程．（2）设动点M 的轨迹为C ，已知定点(2,1)A 、(2,0)B -，直线AM 、BM 与轨迹C 的另一个交点分别为1M 、2M ．（i ）点A 能否为线段1MM 的中点，若能，求出直线12M M 的方程，若不能，说明理由． （ii ）求证：直线12M M 过定点． 【答案】见解析．【解析】（1）1||4MF x -=，221144x y x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，221144x y x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，2221144x y x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2(0)y x x =≥．（2）xy O F 4,0()M 1M 2A 2,1()MB 2,0()（i ）设00(,)M x y ，111(,)M x y ，222(,)M x y ， 假设A 能为1MM 中点，则01212y y +=⨯=，M ，1M 在轨迹方程上，则：200211y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 220101y y x x -=-，010101()()y y y y x x -+=-，010121y y x x -⋅=-， 112MM k =， 1MM 方程：11(2)2y x -=-，即12y x =，221124y xx x y x⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩，0x =或4， ∵BM 与2y x =有两个交点， ∴04x =，10x =， ∴(4,2)M ，1(0,0)M ， ∴0(2):204(2)y x BM ---=---，即1233y x =+， 22123233y x y y y x ⎧=+⎪⇒=+⎨⎪=⎩，(2)(1)0y y --=， ∴2y =或1， ∴21y =，21x =， ∴2(1,1)M ， ∵1(0,0)M ， ∴12:M M y x =． （ii ）设00(,)M x y ，∴20y x =， AM ：00211(2)2y y x x y x -⎧-=-⎪-⎨⎪=⎩， 202011(2)2y y y y --=--， 220000(1)(2)(2)0y y y y y y ---+-=，000[(1)(2)]()0y y y y y ----=，∴0021y y y -=-，2020(2)(1)y x y -=-，∴2001200(2)2,(1)1y y M y y ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， BM ：002(2)2y y x x y x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩， 同理得：2020(2)2y y y y =++， 00(2)()0y y y --=， ∴220042,M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，000122200020022124:(2)4(1)y y y M M y x y y y y y --⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭--， 整理可得：2320()(425)(126)(8220)416240y y x y y x y x y y x y -+++-+-++--+++-=， ∴0y x -+=，4250y x +-=，1260x -+=，62200y x --+=，480y -=， ∴2x =，2y =， 恒过(2,2)．。

北京市人大附中2018-2019学年第一学期期末高二年级数学练习（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共64.0分） 1. 下列导数公式错误的是( )A.B. (lnx)′=1x C. (1x )′=−1x 2D.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A 、，故A 错误；对于B 、(lnx)′=1x ，故B 正确；对于C 、(1x )′=x −1=(−1)×x −2=−1x 2，故C 正确； 对于D 、，故D 正确；故选：A ．根据题意，依次计算选项函数的导数，比较即可得答案． 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．2. 双曲线x 2−y 23=1的焦点坐标是( )A. (0,√2)，(0,−√2)B. (√2,0)，(−√2,0)C. (0,2)，(0,−2)D. (2,0)，(−2,0)【答案】D【解析】解：根据题意，双曲线的方程为x 2−y 23=1，其中a =1，b =√3，则c =√1+3=2，又由双曲线的焦点在x 轴上，则其焦点坐标为(2,0)(−2,0)； 故选：D ．根据题意，由双曲线的方程求出a 、b 的值，计算可得c 的值，结合双曲线的焦点位置，分析可得答案．本题考查双曲线的标准方程，注意分析双曲线的焦点位置，属于基础题．3. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，则D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. a ⃗ +b ⃗ −c ⃗B. a ⃗ +b ⃗ +c ⃗C. a ⃗ −b ⃗ −c ⃗D. −a ⃗ +b ⃗ +c ⃗【答案】C【解析】解：D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ═−A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ − AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−c ⃗ +a ⃗ −b ⃗ 故选：C ．根据空间向量的加减法运算用已知向量把D 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来即可． 本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法，属于基础题型．4. 若a ⃗ =(a 1,a 2,a 3)，b ⃗ =(b 1,b 2,b 3)，则a1b 1=a 2b 2=a 3b 3是a⃗ //b ⃗的( )A. 既不充分也不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 充分不必要条件【答案】D【解析】解：∵a ⃗ =(a 1,a 2,a 3)，b ⃗ =(b 1,b 2,b 3)，∴当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3时，向量a ⃗ //b ⃗ 成立． 当a ⃗ =(1,0，0)，b ⃗ =(2,0，0)，满足a ⃗ //b ⃗ ，但a 1b 1=a 2b 2=a3b 3不成立，∴a 1b 1=a 2b 2=a3b 3是a ⃗ //b ⃗ 的充分不必要条件． 故选：D ．根据空间向量平行的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间向量的坐标公式以及空间向量的共线定理是解决本题的关键．5. 如图，正棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A. 15 B. 25 C. 35 D. 45【答案】D【解析】解.如图，连接BC 1，A 1C 1， ∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角，设AB =a ，AA 1=2a ，∴A 1B =C 1B =√5a ，A 1C 1=√2a ， ∠A 1BC 1的余弦值为45， 故选：D ．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B ，得到的锐角∠A 1BC 1就是异面直线所成的角，在三角形中A 1BC 1用余弦定理求解即可．本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6. 设函数f(x)=2x +lnx ，则( )A. x =12，f(x)取得最大值 B. x =12，f(x)取得最小值 C. x =2，f(x)取得最大值D. x =2，f(x)取得最小值【答案】D【解析】解：∵f(x)=2x +lnx ，(x >0) ∴f′(x)=−2x 2+1x =x−2x 2，令f′(x)>0，解得：x >2， 令f′(x)<0，解得：0<x <2， 故f(x)在(0,2)递减，在(2,+∞)递增， 故x =2时，f(x)取最小值， 故选：D ．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道常规题．7. 如果把二次函数f(x)=ax 2+bx +c 与其导函数f′(x)的图象画在同一个坐标系中.则下面四组图中一定错误的是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】解：二次函数f(x)=ax2+bx+c的对称轴是x=−b，2a，故其导函数f′(x)=2ax+b=0的根是−b2a上，二次函数的顶点和导函数的解均在直线x=−b2a故对于选项B是错误的，故选：B．上，从而得到答案．根据二次函数的顶点和导函数的解在直线x=−b2a本题考查了二次函数的性质，考查数形结合思想，是一道基础题．8.函数f(x)=x3+kx2−7x在区间[−1,1]上单调递减，则实数k的取值范围是()A. (−∞,−2]B. [−2,2]C. [−2,+∞)D. [2,+∞)【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)=x3+kx2−7x，其导数f′(x)=3x2+2kx−7，若函数f(x)=x3+kx2−7x在区间[−1,1]上单调递减，则f′(x)=3x2+2kx−7≤0在[−1,1]上恒成立，则有，解可得−2≤k≤2，即k的取值范围为[−2,2]；故选：B．根据题意，求出函数f(x)的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系可得f′(x)=3x2+2kx−7≤0在[−1,1]上恒成立，则有，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．9.过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=5，则AB的中点M到y轴的距离等于()A. 2B. 25C. 3D. 4【答案】A【解析】解：由抛物线为y2=2x，可得p=1．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，设线段AB中点的横坐标为m，=m，即x1+x2=2m，则x1+x22由|AB|=x1+x2+p=2m+1=5，解得m=2，可得AB的中点M到y轴的距离为2．故选：A．由题意知，求出抛物线的参数p，由于直线过焦点，设出AB中点的横坐标m，由中点的坐标公式求出x1+x2，利用弦长公式x1+x2+p，解方程可得m，即可得到所求值．本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，一般可以由公式：|AB|═√1+k2⋅|x1−x2|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程.但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．10.如图，已知直线y=kx与曲线y=f(x)相切于两点，设函数g(x)=kx+m(m>0)，则函数F(x)=g(x)−f(x)()A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】解：设y=kx与f(x)的切点横坐标分别为x1，x2，(x1<x2)，设f(x)的另一条斜率为k的切线与f(x)图象的切点横坐标为x3，如图所示：而F(x)=kx+m−f(x)表示直线g(x)的点(x,g(x))与f(x)上的点的(x,f(x))的纵坐标的差，显然，F(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,x3)上单调递增，在(x3,x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，∴x1，x2为F(x)的极小值点，x3为F(x)的极大值点．∴F(x1)，F(x2)为F(x)的极小值，F(x3)为F(x)的极大值．故选：C．F(x)表示两图象上横坐标相同时，纵坐标的差，根据函数图象即可判断出结论．本题考查了函数图象的几何意义，函数极值的意义，属于中档题．11. 如图所示，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1=B 1C 1=1，且∠A 1C 1B 1=90∘，D 点在棱AA 1上且AD =2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 52 B. −14 C. 14 D. −52【答案】B【解析】解：建立如图所示的直角坐标系， 则D(1,0，2)，B 1(0,1，3)， 设P(0,0，z)，则PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，2−z)，PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，3−z)，∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+(2−z)(3−z)=(z −52)2−14，故当z =52时，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为−14， 故选：B ．建立如图所示的直角坐标系，设P(0,0，z)，求出PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求出PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(z −52)2−14，利用二次函数的性质求出它的最小值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．12. 已知集合R n ={X|X =(x 1,x 2,…,x n )，x i ∈{0,1}，i =1，2，…，n}(n ≥2).对于A =(a 1,a 2,…,a n )∈R n ，B =(b 1,b 2,…,b n )∈R n ，定义A 与B 之间的距离为d(A,B)=|a 1−b 1|+|a 2−b 2|+⋯|a n −b n |=∑|n i=1a i −b i |．若集合M 满足：M ⊆R 3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M 中元素个数的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】解：由n 元子集个数得：R 3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点， 已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点， 所以M =或M ={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，（1，1，1），故集合M 中元素个数最大值为4， 故选：A ．由集合的子集得：R 3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点， 即M =或M ={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，（1，1，1），得解．本题考查了集合的子集及阅读能力，属难度较大的题型．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知函数f(x)=x 2，则△x →0limf(△x)−f(0)△x =______．【答案】0【解析】解：∵f(x)=x 2， ∴f′(x)=2x ， ∴△x →0limf(△x)−f(0)△x=f′(0)=0，故答案为：0．先求出f′(x)，由△x →0limf(△x)−f(0)△x=f′(0)，能求出结果．本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用．14. 已知函数f(x)=e x x，则f′(1)=______．【答案】0【解析】解：∵函数f(x)=e x x，，∴f′(1)=e−e 1=0，故答案为：0．根据导数的公式求出函数的导数，直接代入即可求值．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．15. 已知空间向量a ⃗ =(0,1，1)，b ⃗ =(x,0，1)，若a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则实数x 的值为______． 【答案】1或−1【解析】解：已知a ⃗ =(0,1,1)，b ⃗ =(x,0,1) 则：|a ⃗ |=√2，|b ⃗ |=√x 2+1 由于a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为π3， 则：cos π3=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√2√x 2+1=12解得：x =1或−1 故答案为：1或−1首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值．本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型．16.直线y=a与函数f(x)=x3−3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是______．【答案】(−2,2)【解析】解：令f′(x)=3x2−3=0，得x=±1，可求得f(x)的极大值为f(−1)=2，极小值为f(1)=−2，如图所示，当满足−2<a<2时，恰有三个不同公共点．故答案为：(−2,2)先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数f(x)=x3−3x对应的大致图象，平移直线y=a即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用，是对基础知识的考查，属于基础题．17.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为______．【答案】40【解析】解：由题设知，令0'/>，解得x>40，或x<−1，故函数y=13x3−392x2−40x(x>0)在[40,+∞)上增，在(0,40]上减，当x=40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故答案为：40．欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果．考查用导数研究函数的单调性求最值，本题是导数一章中最基本的应用题型．18.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．则(1)M到CC1距离的最小值为______；(2)M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有______种.【答案】√224【解析】解：(1)M 到CC 1距离的最小值是异面直线BD 1和CC 1间的距离， 连结AC ，BD ，交于点O ，则AC ⊥BD ，AC//DD 1，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴OC ⊥BD 1，且OC ⊥CC 1，∴M 到CC 1距离的最小值为|OC|=12√12+12=√22．故答案为：√22．(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，D(0,0，0)， A 1(1,0，1)，B 1(1,1，1)，C 1(0,1，1)，D 1(0,0，1)， M 位于BD 1三等分点处时，设M(23,23,13)，∴AM =√(23−1)2+(23)2+(13)2=√63，BM =√(23−1)2+(23−1)2+(13)2=√33， CM =√(23)2+(23−1)2+(13)2=√63，DM =√(23)2+(23)2+(13)2=1，A 1M =√(23−1)2+(23)2+(13−1)2=1，B 1M =√(23−1)2+(23−1)2+(13)2=√33， C 1M =√(23)2+(23−1)2+(13−1)2=1，D 1M =√(23)2+(23)2+(13−1)2=2√33． ∴M 到各顶点的距离的不同取值有4种． 故答案为：4．(1)M 到CC 1距离的最小值是异面直线BD 1和CC 1间的距离，由此能求出M 到CC 1距离的最小值；(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M 到各顶点的距离的不同取值的种数．本题考查点到直线的距离的最小值的求法，考查点到各顶点的距离的不同取值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置位置关系等基础知识，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）19. 已知抛物线C 方程：y 2=2px(p >0)，点(1,2)在C 上，F 为焦点．(Ⅰ)求抛物线C 的方程和焦点F 坐标；(Ⅱ)若抛物线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|=2，|BF|=5，求原点O 到直线AB 的距离．【答案】解：(Ⅰ)将(1,2)代入抛物线方程可得4=2p ， 解得p =2，即抛物线的方程为y 2=4x ，F(1,0)；(Ⅱ)若抛物线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧， 且|AF|=2，|BF|=5，由抛物线的定义可得x A +1=2，x B +1=5， 即有x A =1，x B =4，即为A(1,2)，B(4,−4)，AB 的斜率为−2， AB 的方程为2x +y −4=0， O 到直线AB 的距离为d =4√4+1=4√55． 【解析】(Ⅰ)将(1,2)代入抛物线方程，可得p =2，可得抛物线的方程和焦点坐标； (Ⅱ)运用抛物线的定义，可得A ，B 的坐标，AB 的方程，运用点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程的求法和运用，以及点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx ，其导函数为f′(x)的部分值如表所示：x −2 0 1 3 8 f′(x)−1068−90根据表中数据，回答下列问题：(Ⅰ)实数c 的值为______；当x =______时，f(x)取得极大值(将答案填写在横线上)．(Ⅱ)求实数a ，b 的值． (Ⅲ)求f(x)的单调区间． 【答案】6 3 【解析】解：(Ⅰ)6，3 (Ⅱ)：，由已知表格可得解得{a =−23b =2(Ⅲ)：由(Ⅱ)可得，因为x ∈(−∞,−1)和x ∈(3,+∞)时，x ∈(−1,3)时0'/>，所以f(x)的单调增区间为(−1,3)，单调减区间为(−∞,−1)和(3,+∞)．(Ⅰ)由极值的定义，通过表格可求解； (Ⅱ)在表格中取两组数据代入解析式即可； (Ⅲ)利用导数求出f(x)的单调区间本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间，属于基础题．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，BC =1，AB =2，PC =PD =√2，E 为PA 中点． (Ⅰ)求证：PC//平面BED ； (Ⅱ)求二面角A −PC −D 的余弦值；(Ⅲ)在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥AC ？若存在，求PMPC 的值；若不存在，说明理由．【答案】(共14分)证明：(Ⅰ)设AC 与BD 的交点为F ，连结EF ．因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点．在△PAC 中，由已知E 为PA 中点， 所以EF//PC ．又EF ⊂平面BFD ，PC ⊄平面BFD ， 所以PC//平面BED. …(5分) (Ⅱ)取CD 中点O ，连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形，O 为CD 的中点， 所以PO ⊥CD ．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， PO ⊂平面PCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．取AB 中点G ，连结OG ，由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF ⊥CD.所以PO ⊥OG.…(1分) 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(1,−1,0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，D(0,−1,0)， B(1,1，0)，O(0,0，0)，G(1,0，0)． AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)． 设平面PAC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0n⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0，令z =1，得n⃗ =(2,1，1)．平面PCD 的法向量为OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)． 设n ⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，所以cosα=|n ⃗⃗ ⋅OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ ⋅OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63． 由图可知二面角A −PC −D 为锐角， 所以二面角A −PC −B 的余弦值为√63.…(10分)(Ⅲ)设M 是棱PC 上一点，则存在λ∈[0,1]使得PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因此点M(0,λ,1−λ)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,λ−1,1−λ)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)． 由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得1+2(λ−1)=0，解得λ=12． 因为λ=12∈[0,1]，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ． 此时，PMPC =12. …(14分)【解析】(Ⅰ)设AC 与BD 的交点为F ，连结EF ，推导出EF//PC.由此能证明PC//平面BED ．(Ⅱ)取CD 中点O ，连结PO.推导出PO ⊥CD ，取AB 中点G ，连结OG ，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角A −PC −B 的余弦值．(Ⅲ)设M 是棱PC 上一点，则存在λ∈[0,1]使得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ .利用向量法能求出在棱PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC.此时，PMPC =12本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 22.已知离心率为√32的椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)与直线x =2相交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)，且|PQ|=2.点A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且∠APQ =∠BPQ ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)求四边形APBQ 面积的取值范围． 【答案】(本小题满分14分)解：(Ⅰ)由已知得e =√32，则ba =12，设椭圆方程为：x 24b 2+y 2b2=1(b >0) 由题意可知点P(2,1)在椭圆上， 所以44b 2+1b 2=1.解得b 2=2． 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1. …(4分)(Ⅱ)由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为∠APQ =∠BPQ ，所以k PA =−k PB ．设直线PA 的斜率为k ，则直线PA ：y −1=k(x −2)(k ≠0)．由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2=8，得(1+4k 2)x 2+8k(1−2k)x +16k 2−16k −4=0…(1)． 依题意，方程(1)有两个不相等的实数根，即根的判别式△>0成立．即△=64k 2(1−2k)2−4(1+4k 2)(16k 2−16k −4)>0， 化简得16(2k +1)2>0，解得k ≠−12． 因为2是方程(1)的一个解，所以2x A =16k 2−16k−41+4k 2．所以x A =8k 2−8k−21+4k 2．当方程(1)根的判别式△=0时，k =−12，此时直线PA 与椭圆相切．由题意，可知直线PB 的方程为y −1=−k(x −2)． 同理，易得x B =8(−k)2−8(−k)−21+4(−k)2=8k 2+8k−21+4k 2．由于点A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，∠APQ =∠BPQ ， 且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足|t|>12． 设四边形APBQ 面积为S ，则S △APQ +S △BPQ =12|PQ||2−x A |+12|PQ||x B −2|=12|PQ||x B −x A |=|8k 2−8k −21+4k 2−8k 2+8k −21+4k 2|=|16k1+4k 2| 由于|t|>12， 故S =16|k|1+4k 2=161|k|+4|k|当|t|>12时，1|k|+4|k|>4，可得0<161|k|+4|k|<4，即0<S <4．(此处另解：设t =|k|，讨论函数f(t)=1t +4t 在t ∈(12,+∞)时的取值范围． f′(t)=4−1t2=4t 2−1t 2，则当t >12时，f′(t)>0，f(t)单调递增．则当t >12时，f(t)∈(4,+∞)，即S ∈(0,4)． 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是(0,4).…(14分)【解析】(Ⅰ)通过椭圆的离心率，设椭圆方程，利用点在椭圆，求出b 2，然后求出椭圆方程．(Ⅱ)通过∠APQ =∠BPQ ，推出k PA =−k PB .设直线PA 的斜率为k ，得到直线PA ：y −1=k(x −2)(k ≠0).与椭圆联立，求出A 、B 坐标，设四边形APBQ 面积为S ，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值，也可以利用函数的导数求解面积的范围． 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，基本不等式以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．23. 对于函数f(x)，若存在实数x 0满足f(x 0)=x 0，则称x 0为函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +3，其中a ，b ∈R (Ⅰ)当a =0时，(═)求f(x)的极值点；(═)若存在x0既是f(x)的极值点，又是f(x)的不动点，求b的值；(Ⅱ)若f(x)有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f(x)的不动点？证明你的结论．【答案】解：(Ⅰ)f(x)的定义域为R，且f′(x)=3x2+2ax+b.[(1分)]当a=0时，f′(x)=3x2+b；(═)①当b≥0时，显然f(x)在R上单调递增，无极值点.[(2分)]②当b<0时，令f′(x)=0，解得：x=±√−b3.[(3分)]f(x)和f′(x)的变化情况如下表：所以，x=−√−b3是f(x)的极大值点；x=√−b3是f(x)的极小值点.[(5分)](═)若x=x0是f(x)的极值点，则有3x02+b=0；若x=x0是f(x)的不动点，则有x03+bx0+3=x0，从上述两式中消去b，整理得：2x03+x0−3=0.[(6分)]设g(x)=2x3+x−3．所以g′(x)=6x2+1>0，g(x)在R上单调递增．又g(1)=0，所以函数g(x)有且仅有一个零点x=1，即方程2x03+x0−3=0的根为x0=1，所以b=−3x02=−3.[(8分)](Ⅱ)因为f(x(有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1，x2，所以△=4a2−12b>0，即a2−3b>0.[(9分)]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f(x)的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+(b−1)x+3=0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有x13+ax12+(b−1)x1+3=0.①又因为3x12+2ax1+b=0.②①×3−②×x1，得ax12+(2b−3)x1+9=0．同理可得ax22+(2b−3)x2+9=0．所以，方程ax2+(2b−3)x+9=0也有两个不等实根x1，x2.[(11分)]所以x1+x2=−2b−3a．对于方程3x2+2ax+b=0，有x1+x2=−2a3，所以−2a3=−2b−3a，即a2−3b=−92，这与a2−3b>0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f(x)的不动点.[(13分)]【解析】(Ⅰ)(i)求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，(ii)得到函数g(x)有且仅有一个零点x=1，即方程2x03+x0−3=0的根为x0=1，从而求出b的值即可；(Ⅱ)假设存在，根据题意得到x13+ax12+(b−1)x1+3=0.①，3x12+2ax1+b=0.②，得到a2−3b=−92，这与a2−3b>0相矛盾！判断结论即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及新定义问题，分类讨论思想，是一道综合题．。

人大附中-第一学期高二数学期末测试一．单项选择题.1.椭圆2212516x y +=上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．102.如果方程 表示焦点在轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）A ．B ．（0，2）C ．D ．（0，1）3. 椭圆 与的关系为（ ）A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的准线4. 方程所表示的曲线为．①若曲线 为椭圆，则；②若曲线为双曲线，则 或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在 轴上椭圆，则以上命题正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④5. 设双曲线 的一条准线与两条渐近线交于 、 两点，相应焦点为 ，若为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D ．26. 已知抛物线的焦点为，定点，在此抛物线上求一点，使最小，则点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 动点 到点 的距离比到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．23C ．26D ．332二．填空题.9.如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么．10. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______．11. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，则线段的长是____．12. 抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________. 三．解答题.13. 已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，求双曲线的方程．14．已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．15. 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．16．设),(),,(2211yxByxA两点在抛物线22xy=上，l是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21xx+取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(Ⅱ)(文)当3,121-==xx时，求直线l的方程.(Ⅱ)(理)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.-第一学期高二数学期末测试参考答案一．单项选择题.1.B2.D3.B4. C5.D6.C7.D8.D二．填空题.9. 110.11. 812.三．解答题.13.解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条为．可设双曲线方程为即由椭圆方程可知双曲线与椭圆共焦点，则∴．故所求双曲线方程为．解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为由渐近线方程可得∴故所求双曲线方程为点评：1．渐近线为的双曲线方程可表示为14．解：设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．15.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．说明处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．16．解：（Ⅰ）B A FB FA l F ,||||⇔=⇔∈两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F.另解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………………1分（1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩……………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F…………………………9分（Ⅱ）（文）当121,3x x==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b………………………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………11分 14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩…………………………………………13分 所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分 （II ）(理)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以21,x x 满足方程,02122=-+m x x 得4121-=+x x ；A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=∆m即.321->m设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则 .16121,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=由.329321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,329）.。

2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．下列直线中，倾斜角为45°的是（ ） A ．10x y +-= B ．10x += C ．20x y -+= D ．210x y --=答案：C由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解. 由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为1k =， 对于A ，直线斜率为1k =-， 对于B ，直线无斜率， 对于C ，直线斜率1k =， 对于D ，直线斜率2k =， 故选：C2．若直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．12-D ．1-答案：A根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得a 的值.由于直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，所以()1210a ⨯+-⨯=，解得2a =. 故选：A3．如图，在四面体O ABC -中，,,OA OB OC ===a b c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可用向量a ，b ，c 表示为（ ）A ．111222a b c ++B ．111244a b c ++C ．111424a b c ++D ．111442a b c ++答案：B根据向量加法的平行四边形法则（三角形的中线），即可将OE 用a ，b ，c 表示出来. 连接OD ，则 ()()111224OE OA OD OA OB OC =+=++ 即111244OE =++a b c .故选：B.4．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ） A ．平面α内有一条直线与平面β平行 B ．平面α内有两条直线分别与平面β平行 C ．平面α内有无数条直线分别与平面β平行 D ．平面α内有两条相交直线分别与平面β平行 答案：D根据平面与平面平行的判定定理可判断.对A ，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A 错误；对B ，若平面α内有两条直线分别与平面β平行，若这两条直线平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B 错误；对C ，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C 错误；对D ，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D 正确. 故选：D.5．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点)3,1，则双曲线的离心率为（ ） A 23B 6C 3D ．2答案：A先求出渐近线方程，进而将点)3,1代入直线方程得到a ,b 关系，进而求出离心率.由题意，双曲线的渐近线方程为：by x a=±，而一条渐近线过点()3,1，则31b =，221231133b c b e a a a =⇒==+=+=. 故选：A.6．已知球O 的半径为2，球心到平面α的距离为1，则球O 被平面α截得的截面面积为（ ） A ．23π B ．3π C ．3πD ．π答案：B根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解. 由球的性质可知，截面圆的半径为22213-=，所以截面的面积()233S ππ==.故选：B7．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2PA =，2AB AC ==，则点A 到平面PBC 的距离为（ ）A ．1B 3C 2D ．12答案：A设点A 到平面PBC 的距离为h ，根据等体积法求解即可. 因为PA ⊥平面ABC ， 所以,PA AB PA AC ⊥⊥, 因为2PA =2AB AC ==， 所以()22226PB PC =+=又AB AC ⊥，2AB AC ==， 所以22222BC =+=所以()221221622222222△PBCS BC ⎛⎫=⋅-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭, 设点A 到平面PBC 的距离为h ， 则P ABC A PBC V V --=, 即1133△△ABC PBC PA S h S ⋅=⋅, 12222122h ⨯⨯⨯∴==， 故选：A8．如图，1F ，2F 是平面上的两点，且1210F F =，图中的一系列圆是圆心分别为1F ，2F 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，，A ，B ，C ，D ，E 是图中两组同心圆的部分公共点，若点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上，则（ ）A ．点B 和C 都在椭圆M 上 B ．点C 和D 都在椭圆M 上 C ．点D 和E 都在椭圆M 上 D ．点E 和B 都在椭圆M 上答案：C由123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =，然后根据定义逐一判断即可. 因为点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上， 所以123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =因为12591412BF BF +=+=≠，12561112CF CF +=+=≠125712DF DF +=+=， 1211112EF EF +=+=所以,D E 在椭圆M 上 故选：C9．设P 为直线2y kx =+上任意一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最大值为（ ）A B ．1C D 答案：D根据题意，判断点P 与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得k 的最大值.因为过过P 总能作圆221x y +=的切线，故点P 在圆外或圆上， 也即直线2y kx =+与圆221x y +=相离或相切，1，即214k +≤，解得k ⎡∈⎣，故k 故选：D.10．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A ，C 之间的曲线）绕其虚轴所在直线l 旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图 2.该小组给出了图1中的相关数据：113cm AA =，112cm BB =，120cm CC =，1115cm A B =，1148cm B C =，其中B 是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：2V R h π=圆柱，213V R h π=圆锥，()2213V h r rR R π=++圆台）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案：D根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.可将几何体看作一个以112cm BB =为半径，高为1111481563cm B C A B +=+=的圆柱， 再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为20128cm -=，13121cm -=，高分别为48cm ,15cm ,2312()圆柱=63=9072cm V ππ⨯⨯,()22318151029()3圆锥=48+1cm V π⨯⨯⨯=,所以花瓶的容积33907210101cm cm πV π<<， 故最接近的是丁同学的估算， 故选：D11．在等差数列{}n a 中，若266a a +=，58a =，则10a =（ ） A ．20 B ．25C ．30D ．33答案：D将条件转化为基本量并解出，进而解得答案.设数列的公差为d ，11115612485a d a d a a d d +++==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，则10125933a =-+⨯=.故选：D.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则13141516a a a a +++= ( ) A ．12 B ．8 C ．20 D ．16答案：C由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，由此能求出13141516a a a a +++的值．解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==， 由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列又4848,20812,S S S =-=-= ∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选C ．【点睛】本题考查等差数列的四项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（ ）ABC．44D答案：B以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B ，()3,3,2AE =-，()10,3,3A B =-，设异面直线AE 与1A B 所成角为θ， 则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为：11cos 22AE A B AE A Bθ⋅===⋅故选：B ．【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a ，2l 的方向向量为b ，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b⋅⋅.14．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）A ．66B ．91C ．107D ．120答案：D根据数列的规律得到第n 个叠放图形中共有n 层，构成等差数列求解.因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体， 归纳可得：第n 个叠放图形中共有n 层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列， 所以第n 个叠放的图形中小正方体木块的总数是()21422n n n S n n n -=+=-，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是28288120S =⨯-=， 故选：D15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且120S >，130S <，若n k S S ≤对n ∈*N 恒成立，则正整数k 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C由等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得670,0a a ><，所以等差数列{}n a 的前6项为正数，从第7项起为负数，由此即可求出正整数k 的值. 由题意可得()()()1121211267105502a a S a a a a +==+=+>， 所以670a a +>， 又()113137101002a a S a +==<，所以70a <， 又670a a +>可得60a >，所以等差数列{}n a 的前6项为正数，从第7项起为负数， 所以6n S S ≤， 所以6k =. 故选：C.16．如图，正方体ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边上，且3PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6答案：D建立平面直角坐标系，写出点E 和F 的坐标，分别在正方形的各条边上设出点P 的坐标，根据向量数量积坐标运算得出关于x 的一元二次方程，判断该方程的解的个数即可. 以D 为原点，,DC DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，建系如图：因为正方形边长为6，2DE AE =，2CF BF =，所以(0,4),(6,4)E F若点P 在边DC 上，设(,0),[0,6]P x x ∈， 则(,4),(6,4)PE x PF x =-=-，(6)163PE PF x x ⋅=--+=，即26130x x -+=，2(6)413160∆=--⨯=-<，无解；若点P 在边CB 上，设(6,),[0,6]P y y ∈， 则(6,4),(0,4)PE y PF y =--=-，2(4)3PE PF y ⋅=-=，则4y =4故在CB 边上有两个点满足条件； 若点P 在边AB 上，设(,6),[0,6]P x x ∈， 则(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，(6)43PE PF x x ⋅=--+=，即2610x x -+=，2(6)4320∆=--=>，故在AB 边上有两个点满足条件；若点P 在边DA 上，设(0,),[0,6]P y y ∈， 则(0,4),(6,4)PE y PF y =-=-，2(4)3PE PF y ⋅=-=，则4y =4故在DA 边上有两个点满足条件； 综上所述，共有6个点满足条件. 故选：D.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭答案：C【解析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据r >，化简即可.设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ． 因为12||+||2PF PF a=，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =． 由等面积法可得()22211(22)4sin120322a c rb ac ︒+=⨯⨯=-， 整理得3()r a c =-，又3r a > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则3c a ≥，从而31112e ≤<．故选：C 二、填空题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，111AC A B ⋅=___________. 答案：1根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解. 如图，在正方体中，21111111001AC A B AC CC A B AB AD AA AB AB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅=++⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：119．椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ，过原点的直线与椭圆C 交于两点A 、B ，则ABF的面积的最大值为___________. 答案：4分析可知点A 、B 关于原点对称，可知当A 、B 为椭圆C 短轴的端点时，ABF 的面积取得最大值.在椭圆C 中，22a =2b =，则222c a b =-，则()2,0F ，由题意可知，A 、B 关于原点对称，当A 、B 为椭圆C 短轴的端点时，ABF 的面积取得最大值，且最大值为1242c b ⨯⨯=.故答案为：4.20．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =，将ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1A C BD ⊥； ②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°. 其中所有正确结论的序号是___________. 答案：②③在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ，对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，则可得到BD CE ⊥，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知11A D A E ED =+，BC BF FC =+，设平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ，进而得1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，进而得异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即可判断.解：如图1，在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ， 则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，故对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，由于1A E BD ⊥，111A C A E A =，所以BD ⊥平面1A CE ，所以BD CE ⊥，这与图1中的BD 与CE 不垂直矛盾，故错误； 对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，此时13AD AB A E BD ⋅==，体积为111131133324BCD V S A E =⋅⋅=⨯⨯=，故三棱锥1A BCD -的体积不大于14，故正确； 对于③，11A D A E ED =+，BC BF FC =+，由②的讨论得1,12AE DF EF ===，所以ED BF =，所以()()1111A D A E ED A E ED EA BC BF FC FC BF FC BF ED ⋅+⋅⋅⋅=++=-⋅=+ 11139cos c ,,os 44EA EA ED FC FC B A F FC E =⋅⋅-+=-+，设翻折过程中，平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ， 所以1,FC EA θ=，故139cos 44B ACD θ⋅=-+，由于要使直线1A D 与BC 为异面直线，所以()0,θπ∈， 所以1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，所以11139cos 144,1cos ,32A D A D A D BCBC BCθ⋅=⋅-+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 所以异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，由于1,1222⎛⎫ ⎪⎝⎭∈， 所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°. 故答案为：②③三、双空题21．圆222690x y x y +-++=的圆心坐标为___________；半径为___________. 答案： (1,3)- 1 配方后可得圆心坐标和半径．将圆的一般方程化为圆标准方程是22(1)(3)1x y -++=，圆心坐标为(1,3)-，半径为1． 故答案为：(1,3)-；1．22．已知双曲线M 的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M 的标准方程.①一个焦点坐标为()2,0；②经过点)；③离心率为.你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M 的标准方程是___________.答案： ①②或①③或② ③ 2213x y -=或22122x y -=或22133y x -= 选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出,a c 即可得解，选 ② ③ ，可由顶点坐标及离心率得出,a c ，即可求解.选①②，由题意则2c =，a =2221b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为2213x y -=， 故答案为：①②；2213x y -=，选①③ ，由题意，2,cc e a===a ∴=2222b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22122x y -=，选 ② ③，由题意知ca e a===c ∴=2223b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：①②；2213x y -=或①③；22122x y -=或② ③ ；22133y x -=. 四、解答题23．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 以原点为圆心，且经过点(M . (1)求圆O 的方程；(2)20y +-=与圆O 交于两点A ，B ，求弦长AB . 答案：(1)224x y +=(2)23AB =（1）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程； （2）根据直线与圆的弦长公式即可求解． (1)由132OM =+=，所以圆O 的方程为224x y +=； (2)由点O 到直线320x y +-=的距离为2131d -==+所以弦长24123AB =-=24．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2． M 为侧棱BB 1的中点，连接A 1M ，C 1M ，CM ．(1)证明：AC //平面A 1C 1M ； (2)证明：CM ⊥平面A 1C 1M ； (3)求二面角C 1－A 1M －B 1的大小． 答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)3π （1）由题意可得AC ∥11A C ，然后利用线面平行的判定理可证得结论，（2）由已知的数据可证得1CC M △，得1CM C M ⊥，由直棱柱的性质结合AC ⊥BC ，可证得1AC ⊥平面11BB C C ，从而可得1AC CM ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得结论， （3）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 (1)证明：因为AC ∥11A C ，AC ⊄平面11A C M ,11A C ⊂平面11A C M ，所以AC ∥平面11A C M ； (2)证明：因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2． M 为侧棱BB 1的中点，所以1CM C M ==，所以2221122CM C M CC +=+=，所以1CM C M ⊥， 因为AC ∥11A C ，AC ⊥BC ， 所以11AC BC ⊥，因为1CC ⊥平面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ， 所以111AC CC ⊥，因为1CC BC C ⋂=，所以11A C ⊥平面11BB C C ， 因为CM ⊂平面11BB C C ，所以11AC CM ⊥， 因为1111AC C M C =，所以CM ⊥平面11A C M (3)因为1,,AC BC CC 两垂直，所以分别以1,,CA CB CC 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则111(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(0,1,1),(0,1,2)C C A M B ， 所以11(1,1,0)=-A B ，1(1,1,1)A M =--，因为CM ⊥平面11A C M ，所以(0,1,1)CM =为平面11A C M 的一个法向量， 设平面11A B M 的法向量为(,,)m x y z =，则1110m A B x y m A M x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1y =，则(1,1,0)m =，所以1cos ,22m CM m CM m CM⋅===， 由图可知二面角C 1－A 1M －B 1为锐角， 所以二面角C 1－A 1M －B 1的大小为3π25．已知抛物线C ：22y px =经过点()1,2. (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于两点M ，N ，且与抛物线的准线交于点Q .若22MN QF =，求直线l 的方程.答案：(1)抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =- (2)10x y --=或10x y +-=.（1）将点代入抛物线求出p 即可得出抛物线方程和准线方程； （2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长MN 和QF 即可求出. (1)将()1,2代入22y px =可得42p =，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-； (2)由题得()1,0F ，设直线方程为1x ty =+，0t ≠， 设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，则124y y t +=，所以()21212444MN x x p t y y t =++=++=+，因为直线1x ty =+与准线1x =-交于点Q ，则21,Q t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则QF ==因为MN =，所以244t +=1t =±， 所以直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=.26．已知椭圆22221x a E y b +=：（0a b >>()2,0.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点，直线y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于不同的两点,A B ，且与x 轴交于点C ，P 为线段OC 的中点，点B 关于x 轴的对称点为1B .证明：1PAB 是等腰直角三角形.答案：(1)22162x y += (2)证明见解析.（1）由题知2c e c a ===，进而结合222b a c =-求解即可得答案； （2）设点(,0)C m -，1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -，进而联立2236y x mx y =+⎧⎨+=⎩并结合题意得0m -<<或0m <<，进而结合韦达定理得10PA PB ⋅=，再AB 的中点为00(,)M x y ，证明PM AB ⊥，进而得||||PA PB =，1||||PB PB =，故1||||PA PB =，综合即可得证明. (1)解：因为椭圆E ()2,0所以2c e c a ===，所以222 2.a b a c ==-= 所以椭圆E 的方程为22162x y +=. (2)解：设点(,0)C m -，则点(,0)2mP -, 所以联立方程2236y x mx y =+⎧⎨+=⎩得2246360x mx m ++-=，所以有223616(36)0m m ∆=-->，解得m -<因为0m ≠，故0m -<<或0m <<设1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -， 所以123.2m x x +=-设向量11122(,),(,)22m mPA x y PB x y =+=+-， 所以112121212()()()()()()2222m m m mPA PB x x y y x x x m x m ⋅=++-=++-++ 22212333()02444m m m x x m =-+-=-=，所以1PA PB ⊥，即190APB ︒∠=， 设AB 的中点为00(,)M x y ，则120003,.244x x m mx y x m +==-=+= 所以342104PMmm k m -+==--， 又因为1AB k =，所以PM AB ⊥， 所以||||PA PB =，因为点B 关于x 轴的对称点为1B . 所以1||||PB PB =， 所以1||||PA PB =，所以1PAB 是等腰直角三角形.27．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,min ,,k k k b a a a a a a =-()1,2,3,k =，则称{}n b 是{}n a 的“伴随数列”．其中，{}12max ,,k a a a ，{}12min ,,k a a a 分别表示12,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“伴随数列”．(1)若2022n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (2)证明：10b =且1n n b b +≥； (3)若()()12111b (1,2,3,)22n n n n n n S S S a n +-+++=+=，求所有满足该条件的{}n a ． 答案：(1)(1)2n n -； (2)证明见解析；(3)1212,1,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（1）由2022n a n =+可得{}n a 为递增数列，{}12max ,,,n n a a a a =，{}121min ,,,n a a a a =，从而易得n b ；（2）令1n =，即可得10b =.利用{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≤，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≥，可证1n n b b +≥；（3）首先，由已知，当1n =时，11a a =；当2n =时，221b a a =-，21a a ≥；当3n =时，()()3213132b a a a a =-+-（），这里分析3a 与12,a a 的大小关系，31a a <，132a a a ≤<均出现矛盾，32a a ≥，结合()式可得32a a =，因此猜想12.1,2na n a a n =⎧=⎨≥⎩（21a a ≥），用反证法证明此结论成立，证明时假设k a 是首次不符合1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，这样题设条件变为()()221112222k kk k k k k k a a a b +---+=+（），仿照讨论3a 的情况讨论k a ，可证明． (1)由2022n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以{}{}1212max ,,,min ,,,n n n b a a a a a a =-1202220231n a a n n =-=+-=-， 故{}n b 的前n 项和为()1(0+1)22n n n n --⨯=. (2)1n =时，1110b a a =-=，因为{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≤，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≥，所以{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++-{}{}1212max ,,,min ,,,n n a a a a a a -≥所以()11,2,3,n n b b n +=≥；(3)由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=可得当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（），若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（）可得()32133a a a a -=-，所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾；若32a a ≥，则331b a a =-，由（）可得32a a =.猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=的数列{}n a 是：1212,1,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩. 经验证，左式()1212121n S S S na n a =+++=++++-⎡⎤⎣⎦ ()1212n n na a -=+， 右式()()()()()112111112222n n n n n n n n n a b a a a +-+-=+=+- ()1212n n na a -=+. 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的. 假设k a 是首次不符合1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得()()221112222k k k k k k k k a a a b +---+=+（）， 若12k a a a ≤<，则由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾；若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾；所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件. 法2：当i n ≤时，{}{}11212max ,,,min ,,,i i i i a a a a a a a a b -≤-=， 所以()()1121,1,2,3,,k i k i a a b b b k n =-+++=∑≤ 即()()112,1,2,3,,k k S ka b b b k n ++++=≤ 由()11,2,3,n n b b n +=≥可得()1,2,3,,k n b b k n =≤ 又10b =，所以可得()()111,2,3,k n S ka k b k +-=≤， 所以()121112n S S S a a na +++≤+++()021n n n n b b b n b +⨯++++-⎡⎤⎣⎦， 即()()1211122n n n n n n S S S a b+-++++≤ 所以()()1211122n n n n n n S S S a b +-++++≤等号成立的条件是 ()11,2,3,,i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义问题，考查学生创新意识，从特殊到一般的思维能力，题中讨论3a 与21,a a 大小关系是解题关键所在．。

北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==L L ，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项四、双空题6．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____.五、填空题六、单选题8．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是A ．1322a a a+³B ．2221322a a a +³C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >9．某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11八、单选题11．设{}n a 是公比为的等比数列，则“”是“{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件九、填空题12．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．列{}n a 的任意一项都是{}na 的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}na 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p q <，求证： 00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}na 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{}na 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个()1,2,...s =，求数列{}n a 的通项公式．17．对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，{}112()(),(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++££L ，其中{}112(),k k Max T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a L +++两个数中最大的数.（1）对于数对序列:(2,5),(4,1)P ，求12(),()T P T P 的值；（2）记为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b ¢，试分别对m a =和m d =两种情况比较2()T P 和2()T P ¢的大小；（3）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.(只需写出结论).十一、单选题18．设等差数列{a}的前n 项和为S ，在同一个坐标系中，a=f （n ）及S=g （n ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．当n =4时，S 取得最大值B ．当n =3时，S 取得最大值C ．当n =4时，S 取得最小值D ．当n =3时，S 取得最大值十三、解答题20．求下列数列{}na 的通项公式.(1)111,221n n a a a -==+；(2)111,3n n a a a -==；(3)32n nS =-；(4)1111,3n n n a a a --==+；m ，t 的单位：s ），则5t =时的瞬时速度（单位：m /s ）为A ．37B ．38C ．39D ．40十五、解答题29．设函数2()ln (R)f x x ax x a =+-Î，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1.A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a bc c<答案第11页，共22页【详解】解：q===﹣2，|a 1|+|a 2|+…+|a n |==故答案为﹣2，11．D【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列12．8【详解】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.13．（I ）ln 2n ；（II ）122n +-.【分析】（I ）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组,求解1,a d ，代入通项公式可得；（II ）由（I ）可得2n a n e =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【详解】（I ）设等差数列{}na 的公差为d ，(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(Ⅱ)对于每一个长度为q 的递增子列12,,q a a a L ，都能从其中找到若干个长度为p 的递增子列12,,p a a a L ，此时p q a a £，设所有长度为q的子列的末项分别为：{}123,,,q q q a a a L ，所有长度为p的子列的末项分别为：{}123,,,p p p a a a L ，则{}0123min ,,,n q q q a a a a =L ，注意到长度为p 的子列可能无法进一步找到长度为q 的子列，故{}0123min ,,,m p p p a a a a £L ，据此可得：00m n a a <.(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nn n a n n -ì==í+îL 为偶数为奇数，下面说明此数列满足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1的递增子列恰有12s -个()1,2,s =L ：当1n =时命题显然成立，假设当n k =时命题成立，即长度为k 末项为2k-1的递增子列恰有12k -个，则当1n k =+时，对于n k =时得到的每一个子列121,,,,21k s s s a a a k --L ，可构造：()121,,,,21,211k s s s a a a k k --+-L 和()121,,,,2,211k s s s a a a k k -+-L 两个满足题意的递增子列，则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有()1112222k k k +--´==个，综上可得，数列1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nn n a n n -ì==í+îL 为偶数为奇数是一个满足题意的数列的通项公式.注：当3s =时，所有满足题意的数列为：{}{}{}{}2,3,5,1,3,5,2,4,5,1,4,5，当4s =时，数列{}2,3,5对应的两个递增子列为：{}2,3,5,7和{}2,3,6,7.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.17．（1）7,8；（2）无论还是，都有成立；（3），，，，.【详解】试题分析：根据条件中的定义，对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，{}112()(),(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++££L ，其中{}112(),k k Max T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a L +++两个数中最大的数，求解.依题意，，.（2），，当时，，因为，且，所以，当时，，因为，且，所以，所以无论还是，都有成立.（3）数对序列：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小.，，，，.考点：新定义题型.18．A【分析】由图象可知可能：①70.7a =，70.8S =-，80.4a =-．②70.7a =，70.8S =-，80.4S =-．③70.8a =-，70.7S =，80.4a =-．④70.8a =-，70.7S =，80.4S =-．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．用导数研究()m x 在R 上的单调性，明确其正负.然后分0a £和0a >两种情况讨论()h x 极值情况即可.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f p p =-又()22sin f x x x ¢=-，所以()2f p p ¢=，因此 曲线()y f x =在点()(),f p p 处的切线方程为()()222y x p p p --=-，即 222y x p p =--.（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x ¢=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x ¢=-³所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <(1)当0a £时，x e a -0>当0x <时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x ¢=--由 ()0h x ¢=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a Î-¥时，()ln 0,0x a e e h x ¢-，()h x 单调递增；当()ln ,0x a Î时，()ln 0,0x a e e h x -><¢，()h x 单调递减；当()0,x Î+¥时，()ln 0,0x a e e h x ->>¢，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x Î-¥+¥时，()0h x ¢³，函数()h x 在(),-¥+¥上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x Î-¥时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x ¢>单调递增；当()0,ln x a Î时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x ¢<单调递减；当()ln ,x a Î+¥时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x ¢>单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû.综上所述：当0a £时，()h x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -¥和()0,ln a 和()0,¥+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-¥+¥上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0¥-和()ln ,a +¥上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû.【名师点睛】1.函数f (x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′(x 0)(x−x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．。

高二数学期末复习题（1）2022.12.18一､选择题1.已知复数2i i1i z =++，则z =（）A.3B.C.2D.12.向量(),0,1a x = ，()4,,2b y = ，若//a b ，则x y +的值为（）A.0B.1C.2D.33.若直线l 的一个方向向量为()2,2,4v =--- ，平面α的一个法向量为()1,1,2n =，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或线在面内4.空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A.43- B.13-C.13 D.435.()2,2M 是抛物线()220y px p =>上一点，F 是抛物线的焦点，则MF =（）A.52B.3C.72D.46.已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（）A.2350x y -+=B.2350x y --=C .3250x y -+= D.3250x y --=7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点，112,,,BM MC B N B B x y λ==∃∈R，使得1A N x AM y AE =+，则λ=（）A.12B.23C.1D.438.若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C 的离心率为（）A.133 B.173C.53D.3939.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A.3716 B.115C.2D.7410.双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为124,,3y x F F =分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A.2B.4C.8D.14二、填空题11.已知复数5i12iz =+，则z 的虚部为________.12.若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.13.在下列命题中：①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c不一定共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++．其中正确命题的是______．14.已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为___________.15.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为______.三､解答题16.若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从①12θθπ+=；②12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：（1）1k ，2k 满足的关系式；（2）若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；（3）在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．17.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点.（1）若12F PF △为等腰直角三角形，求椭圆C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于9，求b 的值和a 的取值范围.18.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，BF AB ⊥．（1）证明：BF ⊥平面11E AB ；（2）当1B D 为何值时，平面11BB C C 与平面DFE 所成的夹角最小？19.如图，已知动圆P 过点()11,0F -，且与圆()222:18F x y -+=内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）过点1F 的直线l 交E 于A 、B 两点，是否存在实数t ，使得11AB t AF BF =⋅恒成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.高二数学期末复习题（1）2022.12.18一､选择题1.已知复数2i i1i z =++，则z =（）A.3B.C.2D.1B【分析】首先根据复数的除法运算性质化简复数z ，再结合复数的模的概念计算即可.【详解】()()()2i 1i 2ii i 12i 1i 1i 1i z -=+=+=+++-，则z ==.故选：B.2.向量(),0,1a x = ，()4,,2b y = ，若//a b ，则x y +的值为（）A.0B.1C.2D.3C【分析】根据向量平行，得到方程组，求出,x y 的值，得到答案.【详解】由题意得：a b λ=，即4012x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得：2012x y λ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，故2x y +=.故选：C3.若直线l 的一个方向向量为()2,2,4v =--- ，平面α的一个法向量为()1,1,2n =，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或线在面内A【分析】根据2n υ=- 得到υ 与n共线，即可得到直线l 与平面α垂直.【详解】因为2n υ=- ，所以υ 与n共线，直线l 与平面α垂直.故选：A.4.空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A.43- B.13-C.13D.43C【分析】先设AB mAC nAD =+，然后把向量AB ，AC ，AD 分别用向量PA ，PB ，PC ，PD 表示，再把向量PA 用向量PB ，PC ，PD 表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间A ，B ，C ，D 四点共面，但任意三点不共线，则可设AB mAC nAD =+，又点P 在平面外，则()()PB PA m PC PA n PD PA -=-+-，即(1)m n PA PB mPC nPD ++=-++，则1111m n PA PB PC PD m n m n m n -=+++-+-+- ，又5133=-- PA PB xPC PD ，所以15131113m n mx m n n m n -⎧=⎪+-⎪⎪=-⎨+-⎪⎪=-⎪+-⎩，解得15m n ==，13x =，故选：C ．5.()2,2M 是抛物线()220y px p =>上一点，F 是抛物线的焦点，则MF =（）A.52B.3C.72D.4A【分析】将点()2,2M代入22y px =，可得1p =，即可求出准线方程，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得MF【详解】解：因为()2,2M是抛物线()220ypx p =>上一点，所以22221p p =⋅⇒=，则抛物线的准线方程为12x =-，由抛物线的定义可知，15222MF =+=，故选：A.6.已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（）A.2350x y -+=B.2350x y --=C.3250x y -+=D.3250x y --=A【分析】直线l 方程变为()210x y m x y ++++=，可得定点P ()1,1-.根据l '的方向向量()3,2a =，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】()()2110m x m y m ++++=可变形为()210x y m x y ++++=，解0210x y x y +=⎧⎨++=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即P 点坐标为()1,1-.因为()23,231,3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率为23，又l '过点P ()1,1-，代入点斜式方程可得()2113y x -=+，整理可得2350x y -+=.故选：A.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点，112,,,BM MC B N B B x y λ==∃∈R，使得1A N x AM y AE =+，则λ=（）A .12B.23C.1D.43C【分析】正方体中存在三条互相垂直的直线，故我们可以建立空间直角坐标系进行计算.【详解】如图建系，设棱长为6，则()()()()()16,0,0,0,6,3,2,6,0,6,0,6,6,6,66A E M A N λ-()()()10,6,6,4,6,0,6,6,3A N AM AE λ=-=-=-1046,66663x yA N xAM y AE x y y λ=--⎧⎪=+∴=+⎨⎪-=⎩，解之：1λ=故选：C8.若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.3C.53D.3C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得a的值，进而根据离心率e =可求得结果.【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为2ay x =±；由圆的方程知：圆心为()2,0，半径2r =；2a y x =与2ay x =-图象关于x 轴对称，圆的图象关于x 轴对称，∴两条渐近线截圆所得弦长相等，不妨取2ay x =，即20ax y -=，则圆心到直线距离d =∴弦长为165==，解得：32a =，∴双曲线离心率53e ==.故选：C.9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A.3716B.115C.2D.74C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =- 是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ+ 抛物线24y x =的焦点(1,0)F ∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ，∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．10.双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为124,,3y x F F =分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A.2B.4C.8D.14B【分析】由双曲线定义及渐近线方程得3,5a c ==，126MF MF -=，结合均值不等式、对勾函数单调性及12MF MF 、的取值范围求最小值即可.【详解】由一条渐近线方程为43y x =得4433a a =⇒=，由双曲线定义可知，126MF MF -=，5c ==.要使2116MF MF +的值最小，则1MF 应尽可能大，2MF 应尽可能小，故点M 应为双曲线右支上一点，故126MF MF -=，即216MF MF =-.故21111616662MF MF MF MF +=+-≥=，当且仅当1116MF MF =即14MF =时等号成立，此时21620MF MF =-=-<，故取不到等号.对勾函数166y x x=+-在()0,4单调递减，在()4,+∞单调递增，∵22MF c a ≥-=，∴1268MF MF =+≥，故当212,8MF MF ==时，2116MF MF +取得最小值为4.故选：B.二、填空题11.已知复数5i12iz =+，则z 的虚部为________.1【分析】由复数除法得出2i z =+，即可得虚部【详解】()()()5i 12i 5i 105i 2i 12i 12i 12i 5z -+====+++-，故虚部为1.故答案为：112.若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.3147【分析】求出平面ABC 的法向量，利用空间距离的向量公式去求P 到平面ABC 的距离可得答案.【详解】由()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -可得()()1,1,21,1,1BA BC =--=-，,设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =r,则0n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，令3x =，则()3,1,2n =-r，又()0,2,4PA =-- ,则点()1,2,3P 到平面ABC的距离为7PA nn⋅==,故答案为:3147.13.在下列命题中：①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c不一定共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++．其中正确命题的是______．③【分析】根据共线向量和共面向量的相关定义判断即可.【详解】①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线可以重合，并不一定平行，错误；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故,a b共面，错误；③若,,a b c 两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则,,a b c不一定共面，正确；④只有当空间的三个向量,,a b c不共面时，对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++，若空间中的三个向量共面，此说法不成立，错误；综上③正确，故选：③14.已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为___________.++【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l 得PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l 往上平移个单位到B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '++【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.15.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为______.【分析】根据点M 的轨迹方程可得()2,0Q -，结合条件可得2MP MB MQ MB QB +=+≥，结合图象，即可求得.【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ ，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MP =．因为MQ MPλ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又2MQ MP =，所以2MP MB MQ MB QB +=+≥，当且仅当,,Q M B 三点共线时，等号成立，因为101123QB k -==+，所以直线QB 方程为：()123y x =+即320x y -+=，圆心到直线距离1015d r =<=，即直线QB 与圆相交.（如图中的12,M M 点均满足）又因为()1,1B ，所以2MP MB +的最小值为==BQ ．.三､解答题16.若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从①12θθπ+=；②12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：（1）1k ，2k 满足的关系式；（2）若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；（3）在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】（1）依题意11tan k θ=，22tan k θ=，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解；（2）首先表示出直线1l 、2l ，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；（3）按照函数的平移变换规则将直线1l 进行平移变换，即可求出1k ，从而求出直线1l 的方程，即可求出a ，再根据（1）求出直线2l 的方程，即可求出b 的值；【小问1详解】解：依题意11tan k θ=，22tan k θ=，且1θ，2θ均不为0或2π，若选①12θθπ+=，则12θπθ=-，则()122tan tan tan θπθθ=-=-，即120k k +=；若选②12l l ⊥，则121k k ×=-【小问2详解】解：依题意直线1l ：()111y k x -=-，直线2l ：()211y k x -=-，又1l 过(),2A a ，所以()1121k a -=-且1a ≠，即()111k a =-且1a ≠，又2l 过()2,B b ，所以()2211b k -=-且1b ≠，即21b k -=且1b ≠；若选①，则120k k +=，所以121b k k -==-，即()()111b a =--且1a ≠、1b ≠；若选②，则121k k ×=-，所以()()21111b a k k -⨯=-⨯，即2b a +=且1a ≠、1b ≠；【小问3详解】解：直线1l ：()111y k x -=-，将直线1l 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到()14121y k x -⎡⎤-=-+⎣⎦，即11215x y k k --=+，所以1152k k -+=-，解得112k =，此时直线1l ：()1112y x -=-，所以()1112a =-，解得3a =；若选①，则212k =-，此时直线2l ：()1112y x -=--，所以121b -=-，解得12b =；若选②，则22k =-，此时直线2l ：()121y x -=--，所以12b -=-，解得1b =-；17.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点.（1）若12F PF △为等腰直角三角形，求椭圆C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于9，求b 的值和a 的取值范围.（11-或2（2）3b =，)+∞【分析】（1）根据1290PF F ︒∠=或2190PF F ︒∠=或1290F PF ︒∠=进行分类讨论，通过求22ce a=来求得椭圆的离心率.（2）根据已知条件列方程求得b ，判断出22c b ≥，结合222a b c =+求得a 的取值范围.【小问1详解】12F PF △为等腰直角三角形可知有三种情况．当1290PF F ︒∠=时，1||2PF c =，2||PF =，于是12||||1)2PF PF c a +=+=，得212c e a ===；当2190PF F ︒∠=时，同理求得1e =；当1290F PF ︒∠=时，则P 在椭圆短轴的端点，12||||PF PF ==，12||||2PF PF a +==，解得2222c e a ===，所以椭圆C 1或22.【小问2详解】设(,)P x y ，由12F PF △的面积等于9，得12||92c y ⋅⋅=，①由12PF PF ⊥，得222x y c +=，②再由P 在椭圆上，得22221x y a b+=，③由②③及222c b a +=，得422b y c =，又由①知242229b y c c==，故3b =，由②③得22222()a x c b c=-，22c b ∴≥，从而2222218a b c b =+≥=，故a ≥3b ∴=，a ≥P ，故3b =，a 的取值范围为).+∞18.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，BF AB ⊥．（1）证明：BF ⊥平面11E AB ；（2）当1B D 为何值时，平面11BB C C 与平面DFE 所成的夹角最小？（1）证明见解析（2）112B D =【分析】(1)先证明AB ⊥平面11BCC B ，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法证明1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，由线面垂直判定定理证明BF ⊥平面11E AB ；(2)求平面11BB C C 与平面DFE 的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角余弦，再求其最小值可得1B D 的取值.【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，AB ⊂底面ABC ，所以1BB AB ⊥．因为BF AB ⊥，1BB BF B ⋂=，1BB ⊂平面11BCC B ，BF ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ．所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，所以()0,0,0B ，()2,0,0A ，()12,0,2A ，()10,0,2B ，()1,1,0E ，()0,2,1F ，因为()0,2,1BF = ，()11,1,2EA =- ，()11,1,2EB =--，所以10BF EA ⋅= ，10BF EB ⋅=，所以1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，因为11EA EB E ⋂=，1EA ，1EB ⊂平面11E AB ，所以BF ⊥平面11E AB ．【小问2详解】由题设()(),0,202D a a ≤≤．设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()1,1,1EF =- ，()1,1,2DE a =--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-．因为平面11BB C C 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BB C C 与平面DEF 所成的夹角为θ，则cos m BA m BA θ⋅==⋅ 当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ3=，此时11112B D A B =<，符合题意．故当112B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的夹角最小．19.如图，已知动圆P 过点()11,0F -，且与圆()222:18F x y -+=内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）过点1F 的直线l 交E 于A 、B 两点，是否存在实数t ，使得11AB t AF BF =⋅恒成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.（1）2212xy +=（2）存在，且t =【分析】（1）分析可知动点P 的轨迹是1F 、2F为焦点，以为长轴长的椭圆，求出a 、b 的值，结合椭圆E 的焦点位置可得出椭圆E 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程，与椭圆E 的方程联立，利用弦长公式以及两点间的距离求出t 的值，即可得出结论.【小问1详解】解：显然，圆2F的半径为，设圆P 的半径为r ，由题意可得12PF r PF r⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以，12122PF PF F F +=>=，则动点P 的轨迹是1F 、2F为焦点，以为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b +=>>，122F F c =，所以a =1c =，1b ==，故E的方程为2212x y +=.【小问2详解】解：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立方程组()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k+=-+，21222212k x x k -=+.12AB x =-=212k =+)22112k k +=+.1AF ===1BF ===所以()222221212112228424112122212k k x x x x k k k AF BF k --+++++++==+⋅==.所以11·AB BF =；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，联立方程组22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得21,2A ⎛- ⎝⎭、21,2B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.此时AB =，11221222AF BF ⋅=⨯=，所以11AB BF =⋅.综上，存在实数t =使得11AB t AF BF =⋅恒成立.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

人大附中2019-2020学年第一学期期末考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）复数z＝a+i（i∈R）的实部是虚部的2倍，则a的值为（）A．B．C．﹣2 D．22．（5分）已知向量＝（1，2，1），＝（﹣1，0，4），则+2＝（）A．（﹣1，2，9）B．（﹣1，4，5）C．（1，2，﹣7）D．（1，4，9）3．（5分）若a＞0，则不等式＜a等价于（）A．0＜＜x B．﹣＜x＜0 C．x＜﹣D．x＞或x＜04．（5分）已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A．a6B．a8C．a10D．a125．（5分）设曲线C是双曲线，则“曲线C的方程为x2﹣＝1”是“曲线C的离心率为2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知x，y＞0且x+y＝4，则下面结论正确的是（）A．xy的最大值是4 B．xy的最小值是4C．∃x，y，x+y≤D．∀x，y，x+y≤27．（5分）某企业为激励员工创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年8．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足的点P 的个数为（）A．6 B．8 C．12 D．24二、填空（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知双曲线﹣＝1，（a＞0）的左焦点是（﹣2，0），则a的值为．10．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝2﹣4i，那么z＝．11．（5分）已知数列{a n}满足，且a5＝15，则a8＝．12．（5分）设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．13．（5分）已知三角棱O﹣ABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MN＝2GN，设＝，＝，＝，则＝（用基底（，，）表示）14．（5分）如图，曲线C1：y2＝4x（y≥0）和曲线C2：x2＝4y（x≥0）在第一象限的交点为C，已知A（1，0），B （0，1），直线x+y＝m，m∈（0，8）分别与C1和C2交于M，N两点，且M，N，A，B不共线．以下关于四边形ABMN描述中：①∀m∈（0，8），四边形ABMN的对角线AM＝BN；②∃m∈（0，8），四边形ABMN为正方形；③∃m∈（0，8），使得|MN|＝．其中所有正确结论的序号是：．三、解答题（本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明过程或演算步骤.）15．（8分）在等比数列{a n}中，a2＝1，a5＝8，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＜100，求n的最大值．16．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝1，F是PB的中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）若BE＝，求直线PB和直线DE所成角的余弦值；（Ⅲ）当BE为何值时，直线DE与平面AFC所成角为45°？17．（10分）已知椭圆C：+＝1 （a＞b＞0）的离心率为，过C的左焦点作x轴的垂线交C与P、Q两点，且|PQ|＝1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的短轴的上下端点分别为A，B，点M（m，），满足m≠0，且m≠±，若直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，试判断：是否存在点M，使得△ABF的面积与△BOE的面积相等？若存在，求m的值：若不存在，说明理由．二、不定项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题列出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的）18．（6分）不等式组的解集记为D，下列四个命题中真命题是（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 B．∃（x，y）∈D，x+2y≥2C．∀（x，y）∈D，x+2y≤3D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣119．（6分）已知a、b∈R，“a＜b”是“2a＜3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件20．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上一动点，在点P从顶点A移动到顶点C1的过程中，下列结论中正确的有（）A．二面角P﹣A1D﹣B1的取值范围是[0，]B．直线AC1与平面A1DP所成的角逐渐增大C．存在一个位置，使得AC1⊥平面A1DPD．存在一个位置，使得平面A1DP∥平面B1CD1二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，）21．（6分）若复数z满足：z2﹣2az+a2+4＝0，且|z|＝，则实数a＝．22．（6分）已知集合A＝{x|x＝a3×30+a2×3﹣1+a1×3﹣2+a0×3﹣3}，其中a k∈{0，1，2}，k＝0，1，2，3，将集合A中的元素从小到大排列得到数列{b n}，设{b n}的前n项和为S n，则b3＝，S15＝．23．（6分）曲线C是平面内与三个顶点F1（﹣1，0），F2（1，0）和F3（0，1）的距离的和等于2的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于x轴、y轴均对称；②曲线C上存在一点P，使得|PF3|＝；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积最大值是1．其中所有真命题的序号是：．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【答案】D【分析】直接利用复数的基本概念求解．【解答】解：∵复数z＝a+i（i∈R）的实部是虚部的2倍，∴a＝2．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．2．【答案】A【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．【解答】解：+2＝（1，2，1）+2（﹣1，0，4）＝（﹣1，2，9）．故选：A．【点评】本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【答案】D【分析】根据＜a可得，再结合a＞0得到其等价形式即可．【解答】解：∵a＞0，∴当＜a时，有⇔x（ax﹣1）＞0⇔x＞或x＜0．故选：D．【点评】本题考查了分式不等式的解法，属基础题．4．【答案】A【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a3＝3a2，∴4（a1+2d）＝3（a1+d），可得：a1+5d＝0，∴a6＝0，则{a n}中一定为零的项是a6．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．【答案】A【分析】根据双曲线的离心率结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线C的方程为x2﹣＝1，则a2＝1，b2＝3，c2＝a2+b2＝1+3＝4，即c＝2，所以双曲线C的离心率e＝＝2，所以曲线C的方程为x2﹣＝1”是“曲线C的离心率为2”的充分条件，若曲线C的离心率为2，则e＝＝＝2，所以b2＝3a2，当a2＝2，b2＝12，曲线C的方程为，所以曲线C的方程为x2﹣＝1”是“曲线C的离心率为2”不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的渐近线的性质是解决本题的关键．6．【答案】A【分析】结合基本不等式即可判断各选项．【解答】解：因为x，y＞0且x+y＝4，由基本不等式可得xy＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，即xy的最大值4，根据基本不等式可得，∀x，y＞0时，都有x+y．故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题．7．【答案】C【分析】设n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2020＞200，解出n即可．【解答】解：设n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2020＞200，∴（n﹣2020）×lg1.12＞lg2﹣lg1.3，∴n﹣2020，∴n＞2023.8，∴从2024年开始超过200万元，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．8．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，则点A（2，0，0），C1（0，2，2），考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为（x，y，2），则由题意可得0≤x≤2，0≤y≤2，计算＝x2﹣2x+y2﹣2y＝（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2＝﹣1，即可得出结论．【解答】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则点A（2，0，0），C1（0，2，2），考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为（x，y，2），则由题意可得0≤x≤2，0≤y≤2．∴＝（2﹣x，﹣y，﹣2），＝（﹣x，2﹣y，0），∴＝﹣x（2﹣x）﹣y（2﹣y）+0＝x2﹣2x+y2﹣2y＝（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2＝﹣1，∵点P是棱上一点（含顶点），∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与正方形A1B1C1D1切于4个点，同理P在右侧面的棱上，也有4个点，下底面中P（2，1，0），＝（0，﹣1，0）•（﹣2，1，2）＝﹣1，P（0，1，0），＝（2，﹣1，0）•（0，1，2）＝﹣1，内侧面，P（0，0，1），＝（2，0，﹣1）•（0，2，1）＝﹣1，P（0，2，1），＝（2，﹣2，﹣1）•（0，0，1）＝﹣1，∴满足的点P的个数为12故选：C．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．二、填空（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．【答案】见试题解答内容【分析】本题根据可得c2＝4，b2＝3，再根据a2＝b2+c2即可计算出结果．【解答】解：由题意，可知c＝2，即c2＝4．∵b2＝3，∴a2＝b2+c2＝3+4＝7．∴a＝．故答案是：．【点评】本题主要考查椭圆的基础知识及基本计算．本题属基础题．10．【答案】见试题解答内容【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）＝2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．11．【答案】见试题解答内容【分析】利用递推关系式，通过累积法求解即可．【解答】解：数列{a n}满足，可得，可得a8＝a5×＝24．故答案为：24．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．12．【答案】见试题解答内容【分析】根据不等式的关系判断出a＞0，c＜0，b任意，利用特殊值法进行判断即可．【解答】解：若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，b任意，则取a＝1，b＝0，c＝﹣1，则满足条件，但ab＜ac不成立，故答案为：1，0，﹣1．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．13．【答案】见试题解答内容【分析】可画出图形，根据条件可知G为MN的中点，然后连接ON，从而可得出，根据M，N是边OA，BC的中点即可用表示出．【解答】解：如图，∵点G在MN上，且MN＝2GN，∴G为MN的中点，连接ON，且M，N分别是对边OA，BC的中点，则：＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．14．【答案】见试题解答内容【分析】A（1，0），B（0，1），可得|AB|＝，k AB＝﹣1．两点A，B关于直线y＝x对称．直线MN方程为：x+y＝m，m∈（0，8），斜率k MN＝﹣1，且M，N，A，B不共线．MN∥AB．由曲线C1：y2＝4x（y≥0）和曲线C2：x2＝4y（x≥0），可得：两条曲线关于直线y＝x对称．可得四边形ABMN为等腰梯形或矩形．即可判断出①正确．联立，解得M坐标，得出点M到直线y＝x的距离d，可得|MN|＝2d＝|m+4﹣4|，进而判断出②③是否正确．【解答】解；A（1，0），B（0，1），∴|AB|＝，k AB＝﹣1．两点A，B关于直线y＝x对称．∵直线MN方程为：x+y＝m，m∈（0，8），斜率k MN＝﹣1，且M，N，A，B不共线．∴MN∥AB．由曲线C1：y2＝4x（y≥0）和曲线C2：x2＝4y（x≥0），可得：两条曲线关于直线y＝x对称．可得四边形ABMN为等腰梯形或矩形．因此①∀m∈（0，8），四边形ABMN的对角线AM＝BN，正确；②联立，解得x M＝m+2﹣2，y M＝2﹣2，∴点M到直线y＝x的距离d＝，∴|MN|＝2d＝|m+4﹣4|，令|MN|＝|AB|，可得：|m+4﹣4|＝1，解得：m＝3，可得M（1，2），k MB＝1，∴MB⊥AB．|MA|＝＝|AB|，因此∃m∈（0，8），四边形ABMN为正方形．因此②正确．③令|MN|＝．∴|m+4﹣4|＝，无解．因此不存在m∈（0，8），使得|MN|＝．其中所有正确结论的序号是：①②．【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、图象的对称性、方程的解法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明过程或演算步骤.）15．【答案】见试题解答内容【分析】（I）由已知结合等比数控的性质可求公比q，然后结合通项公式即可求解；（II）结合等比数列的通项公式，即可求解n【解答】解：（I）因为a2＝1，a5＝8，所以q3＝＝8，故q＝2，∴a n＝＝2n﹣2，（II）S n＝＝＜100，则2n＜201，由于27＝128，28＝256满足条件的n＝7【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于中档试题．16．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥AB，BC⊥PA，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥AF，推导出AF⊥PB，由此能证明AF⊥平面PBC．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB和直线DE所成角的余弦值．（Ⅲ）求出平面AFC的法向量，利用向量法能求出BE．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，∴BC⊥AB，BC⊥PA，∵AB∩BC＝B，∴BC⊥平面PAB，∵AF⊂平面PAB，∴BC⊥AF，∵AB＝PA＝1，F是PB的中点，∴AF⊥PB，∵BC∩PB＝B，∴AF⊥平面PBC．（Ⅱ）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵BE＝，∴P（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），E（，1，0），＝（0，1，﹣1），＝（﹣，1，0），设直线PB和直线DE所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线PB和直线DE所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：设BE＝t，（0≤t≤1），则E（t，1，0），F（0，），C（1，1，0），＝（0，），＝（1，1，0），＝（1﹣t，﹣1，0），设平面AFC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），∵直线DE与平面AFC所成角为45°，∴sin45°＝＝＝，由0≤t≤1，解得t＝，∴BE＝．【点评】本题考查考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由题可知，点P的坐标为，代入椭圆中，再结合离心率为和a2＝b2+c2，即可求得椭圆标准方程；（Ⅱ）由A、M两点的坐标写出直线AE的方程，由B、M两点的坐标写出直线BF的方程，再分别与椭圆联立解出x的值即可得到x E和x F，然后结合△ABF的面积与△BOE的面积相等，列出关于m的方程，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过C的左焦点作x轴的垂线交C与P、Q两点，且|PQ|＝1，∴不妨设点P的坐标为，代入椭圆方程有，，又∵离心率为＝，且a2＝b2+c2，∴a2＝4，b2＝1，故椭圆方程为．（Ⅱ）由A（0，1）和M（m，）可知直线AE的方程为，与椭圆联立得，，解得x＝0或，∴，同理可得，直线BF的方程为，，∵△ABF的面积与△BOE的面积相等，∴，∴，解得．故存在点M符合题意，此时．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由椭圆与直线联立得出点E、F的横坐标，考查了学生分析问题的能力和运算能力，属于中档题．二、不定项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题列出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的）18．【答案】AB【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y＝1与x﹣2y＝4相交的上部角型区域，A：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；B：在直线x+2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；C：由图知，区域D有部分在直线x+2y＝3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；D：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；故选：AB．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．19．【答案】D【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若a＝3，b＝2，则满足“2a＜3b”，但a＜b不成立，即必要性不成立，若a＝﹣3，b＝﹣2，满足a＜b，但“2a＜3b”不成立，即充分性不成立，故，“a＜b”是“2a＜3b”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．20．【答案】ACD【分析】点P由A点移动到AC1中点的过程中，二面角P﹣A1D﹣B1逐渐由90°减小至0，再由对称性即可判断A选项；找特殊点，令点P分别与点A和点C1重合，找出相应位置的线面角，并比较二者大小即可判断B选项；当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理可判断CD选项．【解答】解：对于A，当P与A重合时，二面角A﹣A1D﹣B1为90°，点P由A点移动到AC1中点的过程中，二面角P﹣A1D﹣B1逐渐减小至0，由对称性可知，当P由AC1中点移动到点C1的过程中，二面角P﹣A1D﹣B1由0逐渐增大至90°，即A正确；对于B，当点P与A重合时，∠C1AD1即为所求，此时有tan∠C1AD1＝，当P与C1重合时，连接AD1，A1D相交于点M，则∠AC1M即为所求，此时有tan∠AC1M＝＜，所以∠AC1M＜∠C1AD1，即直线AC1与平面A1DP所成的角并不是逐渐增大，所以B错误；对于C，当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，连接AD1，则A1D⊥AD1，又因为C1D1⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以A1D⊥C1D1，又C1D1∩AD1＝D1，所以A1D⊥平面AC1D1，所以AC1⊥A1D．同理可得，AC1⊥A1B．因为A1D∩A1B＝A1，A1D⊂平面A1DP，A1B⊂平面A1DP，所以AC1⊥平面A1DP，即C正确；对于D，当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，因为BD∥B1D1，BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可得，A1B∥平面B1CD1，又因为BD∩A1B＝B，BD⊂平面A1DP，A1B⊂平面A1DP，所以平面A1DP∥平面B1CD1，即D正确．故选：ACD．【点评】本题考查空间立体几何的综合问题，包含二面角、线面角与线面位置关系等，知识面比较广，考查学生空间立体感和推理论证能力，属于中档题．二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，）21．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，设z＝x+yi（x，y∈R）是z2﹣2az+a2+4＝0的一个根，由复数的性质可得＝x﹣yiz2﹣2az+a2+4＝0的另外一个根，进而可得z•＝a2+4＝5，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R）是z2﹣2az+a2+4＝0的一个根，则＝x﹣yi是z2﹣2az+a2+4＝0的另外一个根，则有z•＝a2+4＝5，即a2＝1，解可得a＝±1；故答案为：±1．【点评】本题考查复数的计算，涉及复数方程的解法，属于基础题．22．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知a0，a1，a2，a3有3种取法（均可取0，1，2），判断求解b3，求出数列的各项，判断数列的特征，利用数列求和即可求得A中S15之和．【解答】解：由题意可知，则b3＝0×30+0×3﹣1+0×3﹣2+2×3﹣3＝．集合A＝{x|x＝a3×1+a2×+a1×+a0×}，其中a k∈{0，1，2}，k＝0，1，2，3，将集合A中的元素从小到大排列得到数列{b n}，前15项：0，，，，，，，，，，，，，，：S15＝0++++++…+＝＝．＝．故答案为：；．【点评】本题考查数列的求和，数列的项的求法，以及集合的表示方法，考查转化思想的应用，属于难题．23．【答案】见试题解答内容【分析】设曲线C上任意一点坐标为P（x，y），从而得出轨迹方程．在①中，用﹣x，﹣y分别代替x，y即可判断；②若|PF3|＝，则＝2即可判断；③满足条件的所有点P都应该在椭圆D：内（含边界），找出曲线C和椭圆D的唯一公共点（0，1），即可判断．【解答】解：设曲线上任意一点P的坐标为（x，y），则，①用﹣x，﹣y分别代替x，y，可知曲线C只关于y轴对称，不关于x轴对称，即①错误；②若存在点P使得|PF3|＝，则＝2，三角形两边之和小于第三边，所以不存在，即②错误；③∵，∴所有的点P都应该在椭圆D：内（含边界）．曲线C与椭圆D有唯一公共点A（0，1），此时三角形面积最大，为1．即③正确．故答案为：③．【点评】本题考查曲线的轨迹方程及其性质，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，属于中档题．。

高二数学期末复习题（2）一、选择题1.设复数3i1i z +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.-3B.-1C.3D.52.已知向量(),2,1a m = ，()1,0,4b =- ，且a b ⊥ ，则实数m 的值为（）．A.4B.4- C.2D.2-3.抛物线22y x =的准线方程是（）A.12x =B.12x =-C.18y =D.18y =-4.已知双曲线C ：22221x y a b-=2215x y +=有相等的焦距，则C 的方程为（）A.2213x y -= B.2213y x -=C.22193x y -= D.22139x y -=5.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（）米．A.B.C.D.6.如图，已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面构成60︒的二面角，则异面直线AC 与BF 所成角的余弦值为（）．A.14B.12C.D.547.对于直线l ：10ax ay a+-=（0a ≠），现有下列说法：①无论a 如何变化，直线l 的倾斜角大小不变；②无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限；③无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限；④当a 取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（）A .1B.2C.3D.48.已知12F F ，是椭圆22:18x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则m 的取值范围是（）A.(][)0,216,+∞B.(][)0,416,+∞C.(][)0,28,+∞ D.(][)0,48,+∞ 9.如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A 、B ），线段CD AB ⊥，且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是不等于0的常数），则点C 的运动轨迹不可能是（）．A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上一动点，在点P 从顶点A 移动到顶点1C 的过程中，下列结论中错误的有（）．A.二面角11P A D B --的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.直线1AC 与平面1A DP 所成的角逐渐增大C.存在一个位置，使得1AC ⊥平面1A DPD.存在一个位置，使得平面1//A DP 平面11B CD 二、填空题11.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB，则12z z +=__________．12.已知双曲线的一条渐近线为20x y +=，且)4为双曲线上的一点，双曲线的离心率为__________；顶点坐标为__________．13.已知三棱锥O ABC -，M ，N 分别是对棱OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则OG = __________．（用基底{},,a b c表示）14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点．若点P 是线段11B C 上的点，且1BP A E ⊥，则线段1A P 的长为__________；若点P 是正方体1111ABCD A B C D -的表面上的动点，且1BP A E ⊥，则线段1A P 的最小值为__________．15.如图，曲线C 1：y 2＝4x （y ≥0）和曲线C 2：x 2＝4y （x ≥0）在第一象限的交点为C ，已知A （1,0），B （0,1），直线x +y ＝m ，m ∈（0,8）分别与C 1和C 2交于M ，N 两点，且M ，N ，A ，B 不共线．以下关于四边形ABMN 描述中：①∀m ∈（0,8），四边形ABMN 的对角线AM ＝BN ；②∃m ∈（0,8），四边形ABMN 为正方形；③∃m ∈（0,8），使得|MN |＝32．其中所有正确结论的序号是：_____．三、解答题16.已知光线经过已知直线1:370l x y -+=和2:230l x y ++=的交点M ，且射到x 轴上一点()1,0N 后被x 轴反射．（1）求反射光线所在的直线3l 的方程．（2）求与3l 的直线方程．17.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，|AB |＝|PA |＝1，F 是PB 的中点，E 为BC 上一点．（1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）若|BE |＝12，求直线PB 和直线DE 所成角的余弦值；（3）当BE 为何值时，直线DE 与平面AFC 所成角为45°？18.在平面直角坐标系xOy 中．已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0(0)D t t >三点，M 是线段AD 上的动点，12,l l 是过点()1,0B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于,P Q 两点．（1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求EPQ △的面积的最小值．19.已知椭圆C ：22142x y +=.（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，P 为x 轴上一点.是否存在实数k ，使得PAB 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由.高二数学期末复习题（2）一、选择题1.设复数3i1i z +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.-3B.-1C.3D.5D【分析】先利用复数的除法化简，进而得到共轭复数，再利用复数的乘法运算求解.【详解】解：∵()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===++-+，∴12i z =-，()()2212i 12i 125z z ⋅=+-=+=．故选：D ．2.已知向量(),2,1a m = ，()1,0,4b =- ，且a b ⊥ ，则实数m 的值为（）．A.4 B.4- C.2D.2-A【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为(),2,1a m = ，()1,0,4b =- ，且a b ⊥ ，所以40a b m ⋅=-+=，解得4m =.故选：A3.抛物线22y x =的准线方程是（）A.12x = B.12x =-C.18y =D.18y =-D【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程可化为x 212=y 故128p =其准线方程为y 18=-故选：D4.已知双曲线C ：22221x y a b-=2215x y +=有相等的焦距，则C 的方程为（）A.2213x y -= B.2213y x -=C.22193x y -= D.22139x y -=B【分析】根据椭圆2215x y +=的焦距可得双曲线C ：22221x y a b -=的焦距2c ，根据双曲线C ：22221x y a b-=，可得ba=222c a b =+求得22,a b ，即可得出答案.【详解】解：因为双曲线C ：22221x y a b-=所以ba=b =，椭圆2215x y +=的焦距为4，所以双曲线C ：22221x y a b-=的焦距24c =，即2c =，又因2222234c a b a a =+=+=，解得21a =，所以23b =，所以C 的方程为2213y x -=.故选：B.5.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（）米．A. B.C. D.B【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把B （x 0，﹣3）代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A （2，﹣2）代入x 2＝my ，得m ＝﹣2∴x 2＝﹣2y ，B （x 0，﹣3）代入方程得x0=，故水面宽为m ．故选：B ．6.如图，已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面构成60︒的二面角，则异面直线AC 与BF 所成角的余弦值为（）．A.14B.12C.2D.4A【分析】根据题目条件可知，EBC ∠即为平面ABCD 与平面ABEF 构成二面角的平面角，将异面直线AC 与BF 所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值即可.【详解】根据题意可知，EBC ∠即为平面ABCD 与平面ABEF 构成二面角的平面角，所以60EBC ∠= ，设正方形边长为1，异面直线AC 与BF 所成的角为θ，AC AB BC =+ ，BF BE EF =+ ，EF BA AB ==-,B A F C ==所以()))(()(BF BE E AC AB BC AB BC F BE AB +==++- 即210(1)11cos6002BF BE B AC AB AB BC BC E AB =-+-=+-+⨯⨯-=-所以4c 1os 12,A A BF BF B C AC C F -==-=；即1cos cos ,4F AC B θ== ，所以，异面直线AC 与BF 所成角的余弦值为14.故选：A.7.对于直线l ：10ax ay a+-=（0a ≠），现有下列说法：①无论a 如何变化，直线l 的倾斜角大小不变；②无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限；③无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限；④当a 取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（）A.1 B.2C.3D.4C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．【详解】直线l ：10ax ay a+-=（0a ≠），可化简为：210x y a +-=，即21y x a =-+，则直线的斜率为1-，倾斜角为135︒，故①正确；直线在y 轴上的截距为210a>，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当a 取不同数值时，可得到一组斜率为1-的平行直线，故④正确；故选：C8.已知12F F ，是椭圆22:18x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则m 的取值范围是（）A.(][)0,216,+∞B.(][)0,416,+∞C.(][)0,28,+∞ D.(][)0,48,+∞ B【分析】利用圆的直径所对圆周角为90︒，将椭圆C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，转化为以12F F 为直径的圆与椭圆有交点，即可求解.【详解】解：若椭圆C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，只需满足以12F F 为直径的圆与椭圆有交点，即122F F b c ≤=,即22b c ≤，当8m <时,椭圆的焦点在x 轴上,此时2228,,8a b m c m ===-，则8m m ≤-，解得：4m ≤，当8m >时，椭圆的焦点在y 轴上，此时222,8,8a m b c m ===-，则88m ≤-，解得：16m ≥.综上，(][)0,416,m ∈+∞ .故选：B【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于较易题。