高中数学 考点51 矩阵与变换(含高考试题)新人教A版

【最新】数学高考《矩阵与变换》专题解析一、151．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.2．计算：12131201221122120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91559124-⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.3．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααααπααα-=⎧≤≤⎨+=⎩.【答案】见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-. 0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22πα≠且322πα≠时，即当4πα≠且34πα≠时，11sin cos x y D x DD y D αα⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪+⎩； ②当4πα=时，方程组为2222x x =⎪⎪⎪=⎪⎩，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩；③当34πα=时，方程组为x x =⎨⎪=⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．不等式21101x xba xa->-的解是12x <<，试求a ，b 的值.【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x xb a xa-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．5．用行列式方法解关于x y 、的方程组：()()1R 214ax y a x a y a-=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】Q 关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩∴21||1(1)(1)1a D a a a a==-=+-，21||(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a-==-+=-++=--+-211||(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121x D a a a a a==-+=+-- 21||21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21||41(21)(21)14y a D a a a a==-=+-.（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，（2）当1a =时，无解； （3）当12a =-，时无穷解． 【点睛】本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．6．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭， 增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sincossin 222sincos 022sec12AA cBB B -=-求角C 的大小.【答案】2π 【解析】 【分析】先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】由sincossin 222sincos 0sin cos sin sin cos 2222222sec12A A cBB A BC B A B -=⇒++=-sin sin 22A B C +⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫==⎪⎝⎭，sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭，sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又Q 3,2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242C ππ+=∴， 解得2C π=【点睛】本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题8．设函数()()271f x x ax a R =-++∈. (1)若1a =-，解不等式()0f x ≥； (2)若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)设()121x g a x x +-=-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.（2）01xx>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围.（3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.当72x ≥时，不等式可化为722710x x x ⎧≥⎪⎨⎪--+≥⎩，故6x ≥； 当72x <时，不等式可化为727210x x x ⎧<⎪⎨⎪--+≥⎩，故83x ≤. 综上，()0f x ≥的解为[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U .（2）01xx>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-在()0,1上恒成立，而77x-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-. 故实数a 的取值范围为5a ≥-.（3）()12112x g x x ax a x a +==-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++，即27211x x a ---≤-在R 上有解. 令()27212722h x x x x x =---=---，由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=， 所以527225x x -≤---≤，当且仅当72x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-. 故实数a 的取值范围为4a ≥-. 【点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.9．证明：（1）11122212a b a a a b b b =；（2）1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据行列式的运算，分别化简得11121222a b a b b a a b =-，12122112a a ab a b b b =-，即可求解；（2）根据行列式的运算，分别化简得1212122122a kab kb a b a b a b ++=-，11122122a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】（1）根据行列式的运算，可得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-， 所以11122212a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得121212212222()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，又由11122122a b a b a b a b =-，所以1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b .（1）求字母b 的代数余子式的展开式；（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-即可求解；（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b ，所以字母b 的代数余子式的展开式为：()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-222b ac b ac b ac =-+-+-233b ac =-（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b=， 由正弦定理：sin sin c C b B= 所以sin sin c C b c b B a b-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.11．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ．【答案】【解析】 【分析】 【详解】 设则即此直线即为则..12．已知函数2sin ()1x xf x x -=．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭4a =，5b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2 【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1）21()sin cos cos 2)sin 2sin 22232f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++⎪⎝⎭Q ， 又02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，所以sin 21,0sin 2123322x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤+≤≤++≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）∵2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 3A π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭， 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，216( c)3b bc ∴=+-．因为5b c +=，所以3bc =，1sin 2ABC S bc A ∆∴==【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．13．已知矩阵13m P m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N .(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组.【答案】(1) 1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩；(2) 见解析【解析】 【分析】(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】解：(1) 由题意可得PQ=13mm m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫⎪+⎝⎭，即得1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； (2) 由题意可得行列式1(3)3m D m m m m==-+-，1(3)231x D m m m==--++- ,12(3)323y mD m m m m -==++①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R ).【点睛】本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.14．已知圆C 经矩阵332aM ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a = 【解析】 【分析】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax yy x y=+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案.【详解】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则332x ax y y x y=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22:13C x y '+=上， 可得22(3)(32)13ax y x y ++-=，即()22292(36)1313a x a xy y ++-+=，由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.15．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率； （2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率. 【答案】（1）1112；（2）1336. 【解析】 【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a ba b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩Q 因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--， 因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯；【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.16．已知=是矩阵M=属于特征值λ1=2的一个特征向量．（Ⅰ）求矩阵M ； （Ⅱ）若，求M 10a ．【答案】（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M 10=．【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，M =，从而，由此能求出矩阵M ．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M 的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M 属于特征值λ2=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M 10．（Ⅱ）（方法二）M 2=MM=，，M 5=M 3M 2，M 10=M 5M 5，由此能求出M 10． 解：（Ⅰ）依题意，M=，，∴，解得a=1，b=2．∴矩阵M=．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣1）（λ﹣2）， ∴矩阵M 的另一个特征值为λ2=1， 设=是矩阵M 属于特征值λ2=1的特征向量，则， ∴，取x=1，得=，∴，∴M 10==．（Ⅱ）（方法二）M 2=MM=，，M 5=M 3M 2==，M 10=M 5M 5==，∴M 10=． 点评：本题考查矩阵与变换、特殊性征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．17．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1A -.【答案】_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 试题分析：应用结合矩阵变换的定义可得：01b a =⎧⎨=-⎩，据此求解逆矩阵可得：_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.试题解析：设(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵1102A -=对应的变化下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=， 与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 求得逆矩阵_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.18．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）计算()1AB B -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，根据()1A AB B -=，可得结果. （2）计算矩阵A 的特征多项式()121f λλλ+-=-，可得2λ=-或1λ=，然后根据Ax x λ=r r，可得结果.【详解】（1）因为17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以()17175712723514721AB B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦由()1A AB B -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以514172103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（2）矩阵A 的特征多项式为：()()()()1212211f λλλλλλλ+-==+-=+--令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，12222102x x x y xy y x y--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.②当1λ=时，12210x x x y xy y x y--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因此，矩阵A 的特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于()1A ABB -=，第（2）问中，关键在于()1201f λλλ+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.19．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量． 【详解】解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614f λλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．20．已知关于x ,y 的一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；（2）3m =；（3）2m =-【解析】 【分析】分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可；【详解】 一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩对应的()()2263231m D m m m m m ==--=-+-()2222211x D m m m ==-++-，()()2232321y m D m m m ==-++（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D mD m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题。

【最新】数学《矩阵与变换》复习知识点一、151．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解.【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】计算对应行列式为()111110121aD bb a b ==-≠，计算得到答案.【详解】4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.3．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααααπααα-=⎧≤≤⎨+=⎩.【答案】见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+，22sin cos cos2y D ααα=-=-.0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22πα≠且322πα≠时，即当4πα≠且34πα≠时，11sin cos x y D x DD y D αα⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪+⎩； ②当4πα=时，方程组为2222x x =⎪⎪⎪=⎪⎩，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩；③当34πα=时，方程组为2222x x =-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知方程组()()()11,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩ （1）求证：方程组恰有一解；（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值13，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】（1）利用二阶行列式证明（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）22111123230,3,4,23232234,33y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a ax y --==+---=-≠==-+==-++++--∴==，即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33a ax y --==，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）1||||(|3|3x y a +=-1|4|)3a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值13【点睛】本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题5．已知P :矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】因为矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以521x x +≥+，解得 13x -≤≤；因为行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以2323211mm x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.【点睛】本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.6．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k+=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==-- 【解析】 【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解.【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.7．用行列式方法解关于x y 、的方程组：()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】Q 关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，()()1R 214ax y a x a y a-=⎧∈⎨--=⎩ ∴21||1(1)(1)1a D a a a a==-=+-，21||(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a-==-+=-++=--+-211||(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121x D a a a a a==-+=+-- 21||21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21||41(21)(21)14y a D a a a a==-=+-.（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，（2）当1a =时，无解； （3）当12a =-，时无穷解． 【点睛】本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．8．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭， 增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．计算：12131201221122120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91559124-⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.10．已知关于x ,y 的一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；（2）3m =；（3）2m =-【分析】分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩对应的()()2263231m D m m m m m ==--=-+-()2222211x D m m m ==-++-，()()2232321y m D m m m ==-++（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D mD m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题11．已知矩阵4321M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r .【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g ，即可求3M αr．（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-， 所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g所以331349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．用行列式解关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论. 【答案】见解析 【解析】 【分析】先求出相关的行列式,,x y D D D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，即可得到结论. 【详解】由题意，关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a+=+⎧∈⎨+=⎩， 所以221111,(1),12x a a D a D a a a a a aa+==-==-=-2121(21)(1)12y a a D a a a a a+==--=+-，（1）当1a ≠±时，0D ≠，方程组有唯一解，1211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；（2）当1a =-时，0,0x D D =≠，方程组无解；（3）当1a =时，0x yD D D ===，方程组有无穷多解，,()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩. 【点睛】本题主要考查了用行列式法求方程组的解，难度不大，属于基础题.13．给定矩阵，；求A 4B ．【答案】【解析】试题分析：由题意已知矩阵A=，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3 当λ1=2时，由=2，得A 的属于特征值2的特征向量α1= 当λ1=3时，由=3，得A 的属于特征值3的特征向量α2=由于B==2+=2α1+α2故A 4B=A 4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2 =+=点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．14．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-=所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换15．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程． 试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．16．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3.（1）求a ，b 的值；（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r. 【解析】 【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】（1）令2()()(4)(4)4014a bf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．17．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量． 【详解】解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614f λλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．18．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值. 【答案】1a =- 【解析】 【分析】根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案.【详解】设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点､(),P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2x x y y x =-+⎧⎨='''⎩， 代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.19．设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；（2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.【答案】（1）()1,1-；（2）2y x =-.【解析】 【分析】（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.（2）设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00x yy x =⎧⎨=-⎩，因为00x y ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，即2y x =-，所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-. 【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.20．已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.（1）求证：()111a bc a b ca b a b c c a bcab c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222000o x y z ++>”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出a bc ca b bca=0，即111a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：a b ca b a b c ca b c a a b c b c a b ca b c++=++=++（a +b +c ）•111a b ca b c ． （2）∵z 0＝1，∴方程组有非零解，∴a bcca b bc a =0，由（1）可知（a +b +c ）•111a b c a b c =0． ∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边长，∴a +b +c ≠0，∴111a bc ab c=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．（3）若a+b+c＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02＝0，∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，∴a b cc a bb c a=（a+b+c）•111a bc ab c=0．∴a+b+c＝0或111a bc ab c=0．由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．故答案为④．【点睛】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．。

【最新】高中数学《矩阵与变换》专题解析一、151．已知点()3,1A ，()1,3B -，i v ，j v分别是基本单位向量.（1）若点P 是直线2y x =的动点，且0AP i AP j BP j BP i⋅⋅=-⋅⋅u u u v u u u v v v u u uv u u u v v v ，求点P 的坐标 （2）若点(),P x y 满足124126101x y -=且OP OA OB λμ=-u u u v u u u v u u u v，λ，μ是否存在自然数解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.【答案】（1）()0,0，()2,4（2）存在，0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ=【解析】 【分析】(1)设P 的坐标为(),2x x ,再根据行列式的运算求解即可.(2)利用124126101xy -=求出(),P x y 满足的关系式,再根据OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r求出关于(),P x y 满足的关系式,再求自然数解即可.【详解】(1)由题,设P 的坐标为(),2x x ,因为0AP i AP jBP j BP i⋅⋅=-⋅⋅u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,故()()()()0AP i BP i BP j AP j ⋅⨯⋅--⋅⨯⋅=u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,化简得0AP BP ⋅=u u u r u u u r,即()()3,211,230x x x x --⋅+-=,即2222348305100x x x x x x --+-+=⇒-=. 解得0x =或2x =.代入可得()0,0或()2,4(2)由124126101xy-=得12(6)4(2)(26)0y x y x ----++=.化简得8y x =-.又OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r ,故()()()3,11,3,x y λμ=--,即33x y λμλμ=+⎧⎨=-⎩. 故33824λμλμλμ-=+-⇒+=,又,λμ为自然数.故0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ= 【点睛】本题主要考查了向量与行列式的基本运算等,需要根据题意求得关于(),P x y 的关系式,属于中等题型.2．解关于x ，y 的方程组93x ay aax y +=⎧⎨+=⎩.【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】分别计算得到29D a =-，6x D a =，23y D a =-，讨论得到答案.【详解】2199a D a a ==-，639x a a D a ==，2133y a D a a ==-.当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2226939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.3．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩的解满足0x y >>，求实数k的取值范围.【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由00x y D >>⎧⎨≠⎩列出关于k 的不等式组，解出即可. 【详解】由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()60186048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，由于00D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得802508408k k k k k ⎧⎪+≠⎪-⎪>⎨+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．不等式21101x xba xa->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x x b a xa-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．5．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩ 244(2)(2)1m D m m m m==-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m mm+==+-=-22(2)(1)(2)1y m m D m m m m m+==-+=+-（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.6．(1)用行列式判断关于x y 、的二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩解的情况；(2)用行列试解关于x y 、的二元一次方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】(1)51x y =⎧⎨=⎩；(2)当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x yD D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t=⎧∈⎨=-⎩ .【解析】 【分析】(1) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ,即可求解方程组的解.(2) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D 下面对m 的值进行分类讨论：①当1m ≠-，1m ≠时，②当1m =-时，③当1m =时，分别求解方程组的解即可． 【详解】(1)列出行列式系数 112a =,123a =-,17b =,213a =,224a =,211b =,23D =34--891=-+=,711x D = 34--=28335-+=,23y D =711=22211-= ,5xD x D ∴== ,1y D y D== , 所以二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=⎩ . (2)1m D =1m=21m - =()()11m m +- , 12x m D m+=1m=2m m - =()1m m - ,1y m D =12m m+ =()()221211m m m m --=+- ,当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题.7．用行列式方法解关于x y 、的方程组：()()1R 214ax y a x a y a-=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】Q 关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩∴21||1(1)(1)1a D a a a a==-=+-，21||(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a-==-+=-++=--+-211||(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121x D a a a a a==-+=+-- 21||21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21||41(21)(21)14y a D a a a a==-=+-.（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，（2）当1a =时，无解； （3）当12a =-，时无穷解． 【点睛】本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．8．已知矩阵11m A m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）．（1）求m 的值；（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）m （2）1)1)40x y ''--=（3）存在，1:3l y x =，2:l y =．【解析】 【分析】（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；（2）由11x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩，解得44x x y y ⎧=+⎪⎨='-'''⎪⎩．代入1y x =+可得；（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类0b ≠和0b =．【详解】（1）0m >Q ，2221110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，m ∴=（2）11x x x y y y ⎛⎛⎫'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭Q ，即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩，44x x y y ⎧=+⎪∴⎨='-'''⎪⎩． ∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，4y x ''''-=++，即点()','Q x y的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y，()Q x y +-()y k x b -=++Q ，1)(y k x b ∴-+=+当0b ≠时，1)1,k k -+==，无解． 当0b =220k =⇒+-=,解得3k =或k =∴所求直线是1:3l y x =，2:l y =． 【点睛】本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩，把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.（1）求证：()111a bc a b ca b a b c c a bcab c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222000o x y z ++>”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出a bc ca b bc a =0，即111a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：a b ca b a b c ca b c a a b c b c a b c a b c ++=++=++（a +b +c ）•111a b c a b c ．（2）∵z 0＝1，∴方程组有非零解，∴a bc ca b bca=0，由（1）可知（a +b +c ）•111a b c a b c =0． ∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边长，∴a +b +c ≠0，∴111a b ca b c =0，即a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝0，∴2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ＝0，即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．（3）若a +b +c ＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x 02+y 02+z 02＝0，∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的充分条件； 若x 02+y 02+z 02＞0，则方程组有非零解，∴a bc ca b bc a =（a +b +c ）•111a b c a b c =0． ∴a +b +c ＝0或111a b ca b c =0．由（2）可知a +b +c ＝0或a ＝b ＝c ． ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的必要条件． 故答案为④． 【点睛】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．11．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量； （3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求4A βu r.【答案】（1）20a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；（3）先计算出126βαα=-+u r u u ru u r ，再利用()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案. 【详解】 （1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）知2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---， 令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=. 将11λ=-代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r.再将13λ=代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r.综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）设12m n βαα=+u ru u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，所以()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r()441148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.12．已知关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩. （1）求,,x y D D D ；（2）当实数m 为何值时方程组无解；（3）当实数m 为何值时，方程组有解，并求出方程的解. 【答案】（1）4,2,2x y D m D D m =-=-=- （2）4m =（3）4m ≠方程组有唯一解2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】【分析】（1）根据方程组得解法求得4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由线性方程组解得存在性，当||0A =时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值（3）由当4011m ≠，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解． 【详解】（1）42111m x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由411m A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当||0A =， 即44011m m =-=，解得：4m =， ∴当4m =，方程组无解（3）当4011m ≠，解得：4m ≠，方程组有唯一解， 由421mx y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①4-⨯②解得：24m y m -=-，代入求得24x m -=-，∴方程的解集为：2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩．【点睛】本题主要考查方程组解得存在性，考查方程组的解与||A 的关系，行列式的展开，考查计算能力，属于中档题．13．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-=所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换14．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程． 试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩.因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．15．已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，求矩阵A 的两个特征值.【答案】矩阵A 的特征值为1-或3． 【解析】 【分析】根据点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，列出方程求出a ，从而可确定矩阵A ，再求出矩阵A 的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A 的特征值． 【详解】由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得13a +=-，所以4a =-， 故1141A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 则矩阵A 的特征多项式为2211()(1)42341f x -==--=---λλλλλ，令()0f λ=，解得1λ=-或3λ=， 所以矩阵A 的特征值为1-或3． 【点睛】本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题．16．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦（2）1或6【解析】 【分析】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1924122324a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得233()(3)(24)676244f λλλλλλ-==---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.17．已知矩阵1237A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， （1）求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 【详解】（1）设=，则==．∴解得∴=（2）18．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值. 【答案】1a =- 【解析】 【分析】根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案. 【详解】设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点､(),P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2x x y y x =-+⎧⎨='''⎩， 代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.19．已知矩阵4321M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r .【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g ，即可求3M αr．【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=，设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-， 所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）7132512α⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦r g所以331349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v；（2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v ；（2）()25216,0.【解析】 【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.。

高中数学《矩阵与变换》知识点归纳一、151．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r可得33312M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即可. 【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为21()01f λλλ--=-(2)(1)λλ=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，当1λ=，时由二元一次方程0000x y x y --=⎧⎨+=⎩. 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦； 当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=⎧⎨+=⎩. 得0y =，令1x =，所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r rQ ，33312M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.2．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---， 211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．3．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩解的情况.【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】 【分析】由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】()21333a D a a a a a a==--=-+-, ()()11233323x D a a a a a a-==-+=--=-++-, ()()212332623323y aD a a a a a a a a a -==++=+=++,①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩,即12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解 可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sincossin 222sincos 022sec12AA cBB B -=-求角C 的大小. 【答案】2π【解析】 【分析】先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】由sincossin 222sincos 0sin cos sin sin cos 2222222sec12A A cBB A BC B A B -=⇒++=-sin sin 22A B C +⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫==⎪⎝⎭，sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭，sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又Q 3,2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242C ππ+=∴， 解得2C π=【点睛】本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题5．已知命题P ：lim 0n n c →∞=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.【答案】112c -<< 【解析】 【分析】先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出2()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最后即可解决问题． 【详解】由已知命题:lim 0nn P c →∞=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。

【高中数学】数学《矩阵与变换》高考复习知识点一、151．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩的解的情况，并求出相应的解.【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【解析】 【分析】首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦2 1 11 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 11 1 11 1 1x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2．解方程：23649x xx=.【答案】1x = 【解析】 【分析】根据行列式的运算性质，求得29346xx x ⨯-⨯=，转化为322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2x t =，得到方程1231t t ⨯-⨯=，进而即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得23293449xx xx=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，方程两边同除6x ，可得322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2xt =，且0t >，则21()3xt =，可得1231t t⨯-⨯=，解32t =或1t =-（舍去）， 即33()22x=，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.3．解关于x ，y 的方程组93x ay aax y +=⎧⎨+=⎩.【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】分别计算得到29D a =-，6x D a =，23y D a =-，讨论得到答案.【详解】2199a D a a ==-，639x a a D a ==，2133y a D a a ==-.当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2226939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.4．解关于x ，y ，z 的方程组()1213x my z x y z m x y z ⎧-+=⎪++=⎨⎪-++=⎩.【答案】（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪⎪=⎨+⎪⎪-++=⎪-++⎩；（2）2m =或1m =-时，无解. 【解析】 【分析】先根据方程组中,,x y z 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，D z 下面对m 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】()()21D m m =--+，()1x D m =-+，()2y D m =--，2243z D m m =-++.所以（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪⎪=⎨+⎪⎪-++=⎪-++⎩；（2）2m =或1m =-时，无解. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．5．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---， 211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．6．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩244(2)(2)1m D m m m m==-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m mm+==+-=-22(2)(1)(2)1y m m D m m m m m+==-+=+-（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.7．已知矩阵11m A m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）．（1）求m 的值；（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）m （2）1)1)40x y ''--=（3）存在，1:l y x =，2:l y =．【解析】 【分析】（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；（2）由11x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩，解得44x x y y ⎧=+⎪⎨='-'''⎪⎩．代入1y x =+可得；（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类0b ≠和0b =．【详解】（1）0m >Q ，2221110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，m ∴=（2）11x x x y y y ⎛⎛⎫'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭Q ，即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩，44x x y y ⎧=+⎪∴⎨='-'''⎪⎩． ∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，4y x ''''-=++，即点()','Q x y的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y，()Q x y +-()y k x b -=++Q ，1)(y k x b ∴-+=+当0b ≠时，1)1,k k -+==，无解．当0b =时，21)201k k k-+-=⇒+-=,解得3k =或k =∴所求直线是1:l y x =，2:l y =． 【点睛】本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩，把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．8．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠. （1）求二价行列式1324a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩.【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且0q ≠时，方程组无解.【解析】 【分析】（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =，∴1324a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439x y +=， 解为439x t y t⎧=-⎪⎨⎪=⎩，当23q ≠且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．9．证明：（1）11122212a b a a a b b b =； （2）1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据行列式的运算，分别化简得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-，即可求解；（2）根据行列式的运算，分别化简得1212122122a ka b kb a b a b a b ++=-，11122122a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】（1）根据行列式的运算，可得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-， 所以11122212a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得121212212222()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，又由11122122a b a b a b a b =-，所以1212112222a ka b kb a b a b a b ++=.【点睛】本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11．已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1. (1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求点P 的坐标． 【答案】（1） 1.{1a b =-＝（2）(1，0)【解析】(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下像是M ′(x ′，y ′)．由''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝2x y y +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得2{x x y y y ''＝＋，＝. 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意，得1{21a b =+=解得1{1a b ==-(2)由A 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得000002{x x y y y ＝＋，＝解得y 0＝0.，又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．12．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.【答案】（1）1112；（2）1336. 【解析】 【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a ba b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩Q 因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--， 因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯；【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.13．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦确定：A B ''u u u u r.因为，所以1{4x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '，依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()1,2A ' 则．记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵14．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】 （1）计算()1ABB -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，根据()1A AB B -=，可得结果.（2）计算矩阵A 的特征多项式()121f λλλ+-=-，可得2λ=-或1λ=，然后根据Ax x λ=r r，可得结果.【详解】 （1）因为17177ABy --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以()17175712723514721ABB y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦由()1A ABB -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以514172103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（2）矩阵A 的特征多项式为：()()()()1212211f λλλλλλλ+-==+-=+--令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，12222102x x x y xy y x y--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ②当1λ=时，12210x x x y xy y x y--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因此，矩阵A 的特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于()1A ABB -=，第（2）问中，关键在于()1201f λλλ+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.15．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦（2）1或6【解析】 【分析】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则194122a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1924122324a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得233()(3)(24)676244f λλλλλλ-==---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.16．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】 【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单17．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量． 【详解】 解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614fλλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．18．已知矩阵1237A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， （1）求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ． 【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 【详解】 （1）设=，则==．∴解得∴=（2）19．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】【解析】 【分析】 【详解】 设则即此直线即为则..20．已知关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求,,x y D D D ；（2）当实数m 为何值时方程组无解；（3）当实数m 为何值时，方程组有解，并求出方程的解. 【答案】（1）4,2,2x y D m D D m =-=-=- （2）4m =（3）4m ≠方程组有唯一解2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】（1）根据方程组得解法求得4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由线性方程组解得存在性，当||0A =时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值（3）由当4011m ≠，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解． 【详解】（1）42111m x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由411m A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当||0A =， 即44011m m =-=，解得：4m =， ∴当4m =，方程组无解（3）当4011m ≠，解得：4m ≠，方程组有唯一解，由421mx yx y+=⎧⎨+=⎩①②，①4-⨯②解得：24mym-=-，代入求得24xm-=-，∴方程的解集为：2424xmmym-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩．【点睛】本题主要考查方程组解得存在性，考查方程组的解与||A的关系，行列式的展开，考查计算能力，属于中档题．。

【高中数学】《矩阵与变换》考试知识点一、151．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解； ② 当52a =-，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，525z a =-+. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.2．已知a ，b ，c ，d 四个城市，它们之间的道路联结网如图所示，试用矩阵表示这四个城市组成的道路网络.【答案】0210203013020022a b c da b c d⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】根据图像计算每两个城市之间的道路数，得到答案. 【详解】根据图像计算每两个城市之间的道路数，如：,a b 之间有2条路；,b c 之间有3条路；同理得到矩阵： 0210203013020022a b c da b c d⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了矩阵表示道路网络，意在考查学生的应用能力.3．解方程组32321x my m mx y m +=+⎧⎨+=-⎩.【答案】详见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意可得()()2933D m m m =-=--+，()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()21313x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩；②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=⎧⇔+=⎨+=⎩，令()x t t R =∈，得533t y -=，此时，该方程组的解有无数多个，为,()533x t t R t y =⎧⎪∈-⎨=⎪⎩；③当3m =-时，该方程组为331337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩17⇒-=，所以该方程组无解.【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩的解满足0x y >>，求实数k的取值范围.【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由00x y D >>⎧⎨≠⎩列出关于k 的不等式组，解出即可. 【详解】由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()60186048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，由于00D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得802508408k k k k k ⎧⎪+≠⎪-⎪>⎨+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.5．解方程组()32021mx y x m y m+-=⎧⎨+-=⎩，并求使得x y >的实数m 的取值范围.【答案】()1,3 【解析】 【分析】计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】由题意可得()()2362321m D m m m m m ==--=+--，2321x D m m m ==---，()()224222y m D m m m m==-=-+.①当0D ≠时，即当260m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩.x y >Q ，则()()()2222133m m m ->--，即()22130m m ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320232x y x y -+-=⎧⎨-=-⎩，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，x y >不能总成立；③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203302x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，该方程组无解.综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.6．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并加以讨论.【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，方程组无解； 当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【分析】分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】()()2131225101D a a a a-=-=-+--，()()1133211111x D a a a a--=--=-+-，()2131321011y D a a --=-=---，()2111235101z D a a-=--=-当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧⎪+-=-⎪⎪--=-⎨⎪⎪---=⎪⎩，方程组无解； 当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【点睛】本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.7．不等式21101x xba xa->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- .【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x xb a xa-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．8．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩244(2)(2)1m D m m m m==-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m mm+==+-=-22(2)(1)(2)1y m m D m m m m m+==-+=+-（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sincossin 222sincos 022sec12A A cBB B -=-求角C 的大小.【答案】2π 【解析】 【分析】先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】由sincossin 222sincos 0sin cos sin sin cos 2222222sec12A A cBB A BC B A B -=⇒++=-sin sin 22A B C +⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫==⎪⎝⎭，sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭，sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又Q 3,2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242C ππ+=∴， 解得2C π=【点睛】本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题11．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值.【答案】（1）12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）12x y =⎧⎨=⎩【解析】 【分析】（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AX B =可得1214327X A B --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，计算矩阵的乘法，即可得答案.【详解】（1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而12132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由AX B =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴12x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.12．已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.（1）求证：()111a bc a b ca b a b c c a bcab c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222000o x y z ++>”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出a bc ca b bca=0，即111a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：a b c a b a b cc a b c a a b cb c a b c a b c++=++=++（a+b+c）•111a bc ab c．（2）∵z0＝1，∴方程组有非零解，∴a b cc a bb c a=0，由（1）可知（a+b+c）•111a bc ab c=0．∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，∴111a bc ab c=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．（3）若a+b+c＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02＝0，∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，∴a b cc a bb c a=（a+b+c）•111a bc ab c=0．∴a+b+c＝0或111a bc ab c=0．由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．故答案为④．【点睛】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．13．已知关于x,y的一元二次方程组：223(1)21mx yx m y m+=⎧⎨+-=+⎩，当实数m为何值时，并在有解时求出方程组的解.（1）方程组有唯一解？（2）方程组无解？（3）方程组有无穷多解？【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；（2）3m =；（3）2m =-【解析】 【分析】分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩对应的()()2263231m D m m m m m ==--=-+-()2222211x D m m m ==-++-，()()2232321y m D m m m ==-++（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D mD m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题14．给定矩阵，；求A 4B ．【答案】【解析】试题分析：由题意已知矩阵A=，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．解：设A的一个特征值为λ，由题知=0（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3当λ1=2时，由=2，得A的属于特征值2的特征向量α1=当λ1=3时，由=3，得A的属于特征值3的特征向量α2=由于B==2+=2α1+α2故A4B=A4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2=+=点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．15．已知矩阵2312A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求A的逆矩阵1A-；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P'，求点P的坐标．【答案】（1）1A-2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）点P的坐标为(3，–1)【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P点坐标.详解：（1）因为2312A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det221310A=⨯-⨯=≠，所以A可逆，从而1A-2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P(x，y)，则233121xy⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311xAy-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因此，点P的坐标为(3，–1)．点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.16．已知=是矩阵M=属于特征值λ1=2的一个特征向量．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）若，求M10a．【答案】（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M10=．【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，M=，从而，由此能求出矩阵M．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M 的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M10．（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，M5=M3M2，M10=M5M5，由此能求出M10．解：（Ⅰ）依题意，M=，，∴，解得a=1，b=2．∴矩阵M=．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，则，∴，取x=1，得=，∴，∴M10==．（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，M5=M3M2==，M 10=M 5M 5==，∴M 10=．点评：本题考查矩阵与变换、特殊性征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．17．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；（2）求属于2λ的一个特征向量α.【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r.【解析】 【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】 （1）令2()()(4)(4)4014a bf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =.（2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．18．已知矩阵1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，4123B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵M BA =，求矩阵M 的逆矩阵1M -． 【答案】13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 试题解析：B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．19．已知矩阵14a b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r 求矩阵A .【答案】2314⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】根据矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r 得到33-=a b ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，故5a b +=，解得答案.【详解】矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，1114a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r u r，故33-=a b ； 属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，21514a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r u r，故5a b +=， 解得23a b =⎧⎨=⎩，故2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.20．已知(2,1)OA =u u u v ，(1,7)OB =u u u v ，(5,1)OC =u u u v ，若OD xOA =u u u v u u u v，()f x DB DC=⋅u u u v u u u v （,x y ∈R ）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()4()15f xg x x-=在12x ≤≤条件下的最小值；（3）把()y f x =的图像按向量(2,8)a =-v平移得到曲线C ，过坐标原点O 作OM 、ON分别交曲线C 于点M 、N ，直线MN 交y 轴于点0(0,)Q y ，当MON ∠为锐角时，求0y 的取值范围.【答案】（1）2()52012f x x x =-+；（2）3）1(,0)(,)5-∞+∞U . 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式即可求()y f x =的解析式；（2）通过矩阵的计算公式，求出()g x 的表达式，然后利用基本不等式求最值即可； （3）根据向量平移关系即可求出曲线C 的解析式，设()()22,5,,5M m mN n n ，根据MON ∠为锐角时，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：（1）(2,),(2,)OD x OA x x D x x =⋅=∴u u u r u u u rQ ， (1,7),(5,1)OB OC ==u u u r u u u rQ ，(1,7),(5,1)B C ∴=， (12,7),(52,1)DB x x DC x x ∴=--=--u u u r u u u r，则2(12,7)(52,1)52012y DB DC x x x x x x =⋅=--⋅--=-+u u u r u u u r，即2()52012f x x x =-+； （2）由已知得：()4()1212()2052020515f x f xg x x x x x x x-==+=-++=+≥= 当且仅当125x x =，即[]1,25x =时取到最小值， 函数()4()15f xg x x-=在12x ≤≤条件下的最小值为；（3）22()520125(2)8y f x x x x ==-+=--Q ，()y f x ∴=的图象按向量(2,8)a =-r平移后得到曲线C 为25y x =；设()()22,5,,5M m mN n n ，则直线MN 的方程为222555y n x nm n m n--=--， 令0x =，则0y 5mn =-，若MON ∠为锐角，因为,,M O N 不可能共线，则22250OM ON mn m n ⋅=+>u u u u r u u u r，125mn ∴<-或0mn >， 01525y ∴-<-或005y ->， 即0y 0<或015y >， 故0y 的取值范围是1(,0),5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力．。

温馨提示：考点51 矩阵与变换一、选择题1. （2014·湖北高考理科·Ｔ16）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧==33ty tx 消去t 得)0,0(322≥≥=y x y x ，由2=ρ得422=+y x ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+222234yx y x 得1C 与2C 的交点坐标为)1,3(. 答案：)1,3(【误区警示】解答本题时容易出现的问题是消去⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx 中的参数t 时出现错误。

2.（2014·福建高考理科·Ｔ21）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21121A .（1）求矩阵A ；（2）求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【解析】(1)∵矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵，且1221130A -=⨯-⨯=≠，…2分∴21211331212333A ⎛⎫-⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭；………………………………………………3分(2)矩阵1A -的特征多项式为2()43(1)(3)f 2λ--1λ==λ-λ+=λ-λ--1λ-2，令()0f λ=，得矩阵1A -的特征值为11λ=或32λ=，……………………5分∴111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量，………………6分211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值31λ=的一个特征向量.…………………7分关闭Word 文档返回原板块高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+0()(0)1,lim1x g x f x→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm na a-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）n a =.（2）当n为奇数时，a =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cosx x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C ===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.(2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λ a 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式 （1）()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（3）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. (3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA y MB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++. 121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直 设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉=.推论 222222*********3123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+. 特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =；(2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =.146.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1m mn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n nA A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=nC . 155.组合恒等式 (1)11m m n n n m C C m --+=;(2)1m m n n n C C n m -=-;(3)11m m nn n C C m--=; (4)∑=nr r n C 0=n 2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .(6)n nn r n n n nC C C C C 2210=++++++ .(7)14205312-+++=+++n n n n n n nC C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n nn nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.(2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.(3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被。

【高中数学】《矩阵与变换》考试知识点一、151．已知点()3,1A ，()1,3B -，i v ，j v分别是基本单位向量.（1）若点P 是直线2y x =的动点，且0AP i AP j BP j BP i⋅⋅=-⋅⋅u u u v u u u v v v u u uv u u u v v v ，求点P 的坐标 （2）若点(),P x y 满足124126101x y -=且OP OA OB λμ=-u u u v u u u v u u u v，λ，μ是否存在自然数解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.【答案】（1）()0,0，()2,4（2）存在，0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ=【解析】 【分析】(1)设P 的坐标为(),2x x ,再根据行列式的运算求解即可.(2)利用124126101xy -=求出(),P x y 满足的关系式,再根据OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r求出关于(),P x y 满足的关系式,再求自然数解即可.【详解】(1)由题,设P 的坐标为(),2x x ,因为0AP i AP jBP j BP i⋅⋅=-⋅⋅u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,故()()()()0AP i BP i BP j AP j ⋅⨯⋅--⋅⨯⋅=u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,化简得0AP BP ⋅=u u u r u u u r,即()()3,211,230x x x x --⋅+-=,即2222348305100x x x x x x --+-+=⇒-=. 解得0x =或2x =.代入可得()0,0或()2,4(2)由124126101xy-=得12(6)4(2)(26)0y x y x ----++=.化简得8y x =-.又OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r ,故()()()3,11,3,x y λμ=--,即33x y λμλμ=+⎧⎨=-⎩. 故33824λμλμλμ-=+-⇒+=,又,λμ为自然数.故0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ= 【点睛】本题主要考查了向量与行列式的基本运算等,需要根据题意求得关于(),P x y 的关系式,属于中等题型.2．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并加以讨论.【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，方程组无解； 当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【解析】 【分析】分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】()()2131225101D a a a a-=-=-+--，()()1133211111x D a a a a--=--=-+-，()2131321011y D a a --=-=---，()2111235101z D a a-=--=-当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧⎪+-=-⎪⎪--=-⎨⎪⎪---=⎪⎩，方程组无解；当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【点睛】本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.3．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k+=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==-- 【解析】 【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解.【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.4．已知(2,1)OA =u u u v ，(1,7)OB =u u u v ，(5,1)OC =u u u v，若OD xOA =u u u v u u u v，()f x DB DC=⋅u u u v u u u v（,x y ∈R ）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()4()15f xg x x-=在12x ≤≤条件下的最小值；（3）把()y f x =的图像按向量(2,8)a =-v平移得到曲线C ，过坐标原点O 作OM 、ON分别交曲线C 于点M 、N ，直线MN 交y 轴于点0(0,)Q y ，当MON ∠为锐角时，求0y 的取值范围.【答案】（1）2()52012f x x x =-+；（2）3）1(,0)(,)5-∞+∞U . 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式即可求()y f x =的解析式；（2）通过矩阵的计算公式，求出()g x 的表达式，然后利用基本不等式求最值即可； （3）根据向量平移关系即可求出曲线C 的解析式，设()()22,5,,5M m mN n n ，根据MON ∠为锐角时，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：（1）(2,),(2,)OD x OA x x D x x =⋅=∴u u u r u u u rQ ， (1,7),(5,1)OB OC ==u u u r u u u rQ ，(1,7),(5,1)B C ∴=， (12,7),(52,1)DB x x DC x x ∴=--=--u u u r u u u r，则2(12,7)(52,1)52012y DB DC x x x x x x =⋅=--⋅--=-+u u u r u u u r，即2()52012f x x x =-+； （2）由已知得：()4()1212()2052020515f x f xg x x x x x x x-==+=-++=+≥= 当且仅当125x x =，即[]1,2x =时取到最小值， 函数()4()15f xg x x-=在12x ≤≤条件下的最小值为；（3）22()520125(2)8y f x x x x ==-+=--Q ，()y f x ∴=的图象按向量(2,8)a =-r平移后得到曲线C 为25y x =；设()()22,5,,5M m mN n n ，则直线MN 的方程为222555y n x nm n m n--=--， 令0x =，则0y 5mn =-，若MON ∠为锐角，因为,,M O N 不可能共线，则22250OM ON mn m n ⋅=+>u u u u r u u u r，125mn ∴<-或0mn >， 01525y ∴-<-或005y ->， 即0y 0<或015y >， 故0y 的取值范围是1(,0),5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力．5．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v； （2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标.【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v；（2）()25216,0. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.7．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦， 所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．8．已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.（1）求证：()111a bc a b ca b a b c c a bcabc =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222000o x y z ++>”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出a bc ca b bca=0，即111a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：a b ca b a b c ca b c a a b c b c a b c a b c ++=++=++（a +b +c ）•111a b c a b c ． （2）∵z 0＝1，∴方程组有非零解，∴a bcca b bc a =0，由（1）可知（a +b +c ）•111a b c a b c =0．∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边长，∴a +b +c ≠0，∴111a b ca b c =0，即a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝0，∴2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ＝0，即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．（3）若a +b +c ＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x 02+y 02+z 02＝0， ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的充分条件； 若x 02+y 02+z 02＞0，则方程组有非零解，∴a bc ca b bc a =（a +b +c ）•111a b c a b c =0． ∴a +b +c ＝0或111a b ca b c =0．由（2）可知a +b +c ＝0或a ＝b ＝c ． ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的必要条件． 故答案为④． 【点睛】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．9．解方程组32321x my m mx y m +=+⎧⎨+=-⎩.【答案】详见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意可得()()2933D m m m =-=--+，()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---.①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()21313x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩；②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=⎧⇔+=⎨+=⎩，令()x t t R =∈，得533t y -=，此时，该方程组的解有无数多个，为,()533x t t R t y =⎧⎪∈-⎨=⎪⎩；③当3m =-时，该方程组为331337x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩17⇒-=，所以该方程组无解.【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.10．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b .（1）求字母b 的代数余子式的展开式；（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系.【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-即可求解；（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b ，所以字母b 的代数余子式的展开式为：()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b=， 由正弦定理：sin sin c C b B= 所以sin sin c C b c b B a b-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.11．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .【答案】1102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线220x ay bx y +++-=，对比得到答案.【详解】设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上，所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】见解析 【解析】 【分析】写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】22242244,2,211y x m m m m D m D m m D m m mmmm++==-==-++==-当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解212m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.13．解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【详解】 解：Q (1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()24212242111242m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,()()()42161122116422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,()()()162222412216y D m mm m m m ==----+-=-当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m ==-，41y D m y D m-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，当1m =时，原方程组为21024160x y x y +-=⎧⎨++=⎩，无解．【点睛】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．14．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率； （2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率. 【答案】（1）1112；（2）1336. 【解析】 【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】 （1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a ba b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩Q 因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--，因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯； 【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.15．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程． 试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．16．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】 【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩，因为2y x ''=，所以292x x y =+， 所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．17．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；（2）求属于2λ的一个特征向量α.【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r.【解析】 【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】 （1）令2()()(4)(4)4014a bf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．18．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩因为k≠0，所以a ＝2． 5分因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．19．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量． 【详解】解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614fλλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r； 当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r. 【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．20．已知关于x ,y 的一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩；（2）3m =；（3）2m =-【解析】 【分析】分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】 一元二次方程组：223(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩对应的()()2263231m D m m m m m ==--=-+-()2222211x D m m m ==-++-，()()2232321y m D m m m ==-++（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D mD m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即23233x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题。

【高中数学】《矩阵与变换》知识点一、151．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1A -.【答案】_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 试题分析：应用结合矩阵变换的定义可得：01b a =⎧⎨=-⎩，据此求解逆矩阵可得：_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 试题解析：设(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵1102A -=对应的变化下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=， 与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 求得逆矩阵_1112102A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.2．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解.【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】计算对应行列式为()111110121aD bb a b ==-≠，计算得到答案.【详解】4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.3．已知a ，b ，c ，d 四个城市，它们之间的道路联结网如图所示，试用矩阵表示这四个城市组成的道路网络.【答案】0210203013020022a b c da b c d⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】根据图像计算每两个城市之间的道路数，得到答案. 【详解】根据图像计算每两个城市之间的道路数，如：,a b 之间有2条路；,b c 之间有3条路；同理得到矩阵： 0210203013020022a b c da b c d⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了矩阵表示道路网络，意在考查学生的应用能力.4．不等式21101x xba xa ->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x xb a xa-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．5．求证：sin cos 1sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31xx xx x x xx =-. 【答案】证明见解析【解析】 【分析】先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】sin cos 1sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31x x x x x x x xx x x x x x x xxx =-+=sin （-x ）-sin（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．6．已知P :矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】因为矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以521x x +≥+，解得 13x -≤≤；因为行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以2323211mm x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.【点睛】本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.7．用行列式方法解关于x y 、的方程组：()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】Q 关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩∴21||1(1)(1)1a D a a a a==-=+-，21||(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a-==-+=-++=--+-211||(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121x D a a a a a==-+=+-- 21||21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21||41(21)(21)14y a D a a a a==-=+-.（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，（2）当1a =时，无解； （3）当12a =-，时无穷解． 【点睛】本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．8．已知命题P ：lim 0n n c →∞=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.【答案】112c -<< 【解析】 【分析】先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出2()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最后即可解决问题． 【详解】由已知命题:lim 0nn P c →∞=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。

【高中数学】数学《矩阵与变换》复习知识点一、151．解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()24212242111242m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,()()()42161122116422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,()()()162222412216y D m mm m m m ==----+-=-当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m ==-，41y D m y D m-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，当1m =时，原方程组为21024160x y x y +-=⎧⎨++=⎩，无解．【点睛】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．2．解方程组()32021mx y x m y m +-=⎧⎨+-=⎩，并求使得x y >的实数m 的取值范围.【答案】()1,3 【解析】 【分析】计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】 由题意可得()()2362321m D m m m m m ==--=+--，2321x D m m m ==---，()()224222y m D m m m m==-=-+.①当0D ≠时，即当260m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩.x y >Q ，则()()()2222133m m m ->--，即()22130m m ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320232x y x y -+-=⎧⎨-=-⎩，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，x y >不能总成立；③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203302x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，该方程组无解.综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.3．用行列式解方程组252,23,24 1.x y z y z x y z ++=-⎧⎪--=⎨⎪++=-⎩【答案】1337313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：125202324111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎦--⎣，1912502241D =-=-， 13922532141x D --=-=-，12503221121y D --==--，1312203241z D ---==-，所以13,37,31.3x y z D x D D y D D z D ⎧==⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组的行列式求解，考查运算求解能力．4．不等式21101x xba xa ->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x xb a xa-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．5．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩244(2)(2)1m D m m m m==-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m mm+==+-=-22(2)(1)(2)1y m m D m m m m m+==-+=+-（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交（2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.6．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k+=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==-- 【解析】 【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解.【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.7．已知(2,1)OA =u u u v ，(1,7)OB =u u u v ，(5,1)OC =u u u v ，若OD xOA =u u u v u u u v，()f x DB DC=⋅u u u v u u u v （,x y ∈R ）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()4()15f xg x x-=在12x ≤≤条件下的最小值；（3）把()y f x =的图像按向量(2,8)a =-v平移得到曲线C ，过坐标原点O 作OM 、ON分别交曲线C 于点M 、N ，直线MN 交y 轴于点0(0,)Q y ，当MON ∠为锐角时，求0y 的取值范围.【答案】（1）2()52012f x x x =-+；（2）3）1(,0)(,)5-∞+∞U .【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式即可求()y f x =的解析式；（2）通过矩阵的计算公式，求出()g x 的表达式，然后利用基本不等式求最值即可； （3）根据向量平移关系即可求出曲线C 的解析式，设()()22,5,,5M m mN n n ，根据MON ∠为锐角时，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：（1）(2,),(2,)OD x OA x x D x x =⋅=∴u u u r u u u rQ ， (1,7),(5,1)OB OC ==u u u r u u u rQ ，(1,7),(5,1)B C ∴=， (12,7),(52,1)DB x x DC x x ∴=--=--u u u r u u u r，则2(12,7)(52,1)52012y DB DC x x x x x x =⋅=--⋅--=-+u u u r u u u r，即2()52012f x x x =-+； （2）由已知得：()4()1212()2052020515f x f xg x x x x x x x-==+=-++=+≥= 当且仅当125x x =，即[]1,25x =时取到最小值， 函数()4()15f xg x x-=在12x ≤≤条件下的最小值为；（3）22()520125(2)8y f x x x x ==-+=--Q ，()y f x ∴=的图象按向量(2,8)a =-r平移后得到曲线C 为25y x =；设()()22,5,,5M m mN n n ，则直线MN 的方程为222555y n x nm n m n--=--， 令0x =，则0y 5mn =-，若MON ∠为锐角，因为,,M O N 不可能共线，则22250OM ON mn m n ⋅=+>u u u u r u u u r，125mn ∴<-或0mn >， 01525y ∴-<-或005y ->，即0y 0<或015y >，故0y 的取值范围是1(,0),5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力．8．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】解：(1)不等式201x ax+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9．解关于x ，y 的方程组93x ay aax y +=⎧⎨+=⎩.【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】分别计算得到29D a =-，6x D a =，23y D a =-，讨论得到答案.【详解】2199a D a a ==-，639x a a D a ==，2133y a D a a ==-.当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2226939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.10．给定矩阵，；求A 4B ．【答案】【解析】试题分析：由题意已知矩阵A=，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3 当λ1=2时，由=2，得A 的属于特征值2的特征向量α1= 当λ1=3时，由=3，得A 的属于特征值3的特征向量α2=由于B==2+=2α1+α2故A 4B=A 4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2 =+=点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1. (1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求点P 的坐标．【答案】（1） 1.{1a b =-＝（2）(1，0) 【解析】(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下像是M ′(x ′，y ′)．由''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝2x y y +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得2{x x y y y ''＝＋，＝. 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意，得1{21a b =+=解得1{1a b ==-(2)由A 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得000002{x x y y y ＝＋，＝解得y 0＝0.，又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．12．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率； （2）若记此方程组的解为00x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率. 【答案】（1）1112；（2）1336. 【解析】 【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a ba b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩Q 因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--，因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯； 【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.13．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-=所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2.考点：旋转矩阵，矩阵变换14．已知矩阵2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求A 的逆矩阵1A -；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标．【答案】（1）1A -2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）点P 的坐标为(3，–1)【解析】 分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标.详解：（1）因为2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 221310A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆， 从而1A - 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 因此，点P 的坐标为(3，–1)．点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.15．已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．【答案】x 2＋y 2＝2【解析】试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2x y '-'，再代入已知曲线C 方程，得x 2＋y 2＝2． 试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q(x′，y′)．则1210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'， 即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2x y '-'．代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′2x y '-'＋2(2x y '-')2＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2． 考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程16．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；（2）求属于2λ的一个特征向量α.【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r .【解析】【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值；（2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．【详解】（1）令2()()(4)(4)4014a b f a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ． 【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．17．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量. 【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）计算()1AB B -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，根据()1A AB B -=，可得结果. （2）计算矩阵A 的特征多项式()121f λλλ+-=-，可得2λ=-或1λ=，然后根据Ax x λ=r r ，可得结果.【详解】（1）因为17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以()17175712723514721AB B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦由()1A AB B -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以514172103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ （2）矩阵A 的特征多项式为：()()()()1212211f λλλλλλλ+-==+-=+-- 令()0f λ=，解得2λ=-或1λ=所以矩阵A 的特征值为2-和1.①当2λ=-时，12222102x x x y x y y x y --+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩令1y =，则2x =-，所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ②当1λ=时，12210x x x y x y y x y --+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩令1y =，则1x =所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因此，矩阵A 的特征值为2-和1， 分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于()1A AB B -=，第（2）问中，关键在于()1201f λλλ+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题. 18．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量．【详解】 解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614f λλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．19．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值.【答案】1a =-【解析】【分析】根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案.【详解】设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点､(),P x y '''， 则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2x x y y x =-+⎧⎨='''⎩， 代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-.【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.20．已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a =【解析】【分析】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax y y x y=+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案. 【详解】 设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则332x ax y y x y=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22:13C x y '+=上， 可得22(3)(32)13ax y x y ++-=，即()22292(36)1313a x a xy y ++-+=， 由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =.【点睛】本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.。

高中数学《矩阵与变换》知识点归纳(1)一、151．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫⋅=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，该运算的意义为点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的变换下成点()ax by cx dy ++，，设矩阵11A ⎛=-⎭()1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q的坐标为)2，试求点P 的坐标；()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由． 【答案】（1）14⎫⎪⎭（2）存在，直线方程为：3y x =或y = 【解析】 【分析】()1设(),P x y ，由题意，得出关于x 、y 的方程，解之即得P 点的坐标；()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：()0y kx b k =+≠，该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y +-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k ，b 值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 【详解】()1设(),P x y由题意，有124x x y y ⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎪⎩，即P点的坐标为14⎫⎪⎭． ()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：()0y kx b k =+≠因为该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y +-仍在该直线上()-=++y k x b即)()10k x y b --=，其中()0y kx b k =+≠代入得()2220k x b +++=对任意的x ∈R恒成立()22020k b +=+=⎪⎩解之得30k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或0k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故直线方程为y x =或y =． 【点睛】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．2．解关于x ，y ，z 的方程组()1213x my z x y z m x y z ⎧-+=⎪++=⎨⎪-++=⎩.【答案】（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪⎪=⎨+⎪⎪-++=⎪-++⎩；（2）2m =或1m =-时，无解. 【解析】 【分析】先根据方程组中,,x y z 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，D z 下面对m 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】()()21D m m =--+，()1x D m =-+，()2y D m =--，2243z D m m =-++.所以（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪⎪=⎨+⎪⎪-++=⎪-++⎩；（2）2m =或1m =-时，无解. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．3．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩.【答案】见解析 【解析】 【分析】计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2441m D m m==-，()242x m D m m mm+==-，()()222211y m m D m m m m m+==--=-+.①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，原方程组有唯一解()()()2224221142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩；②当240D m =-=时，2m =±.（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解； （ii ）当2m =时，0x y D D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=，该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.4．已知方程组()()()11,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩ （1）求证：方程组恰有一解；（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值13，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】（1）利用二阶行列式证明（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）22111123230,3,4,23232234,33y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a ax y --==+---=-≠==-+==-++++--∴==，即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33a ax y --==，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；（3）1||||(|3|3x y a +=-1|4|)3a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值13【点睛】本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题5．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k+=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==-- 【解析】 【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.6．已知命题P ：lim 0n n c →∞=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.【答案】112c -<< 【解析】 【分析】先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出2()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最后即可解决问题． 【详解】由已知命题:lim 0nn P c →∞=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。