湖南省长沙县六中高二数学上学期第一次阶段性考试试题 理(无答案)

长沙市一中09-10学年上学期第一次阶段性考试高二数学（理科）试卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线,19422=-y x 那么其焦点坐标为（ ）A ．(0,,B ．,(C ．(0,,D ．, ( 2. 命题“∃0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （ ）A ．∃0x ∉R, 02x>0 B ．∃0x ∈R, 02x >0C ．∀x ∈R, 2x≤0 D ．∀x ∈R, 2x>03. 已知P 是△ABC 所在平面外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影．若PA ＝PB ＝PC ，则O是△ABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心 4.平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |+|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥6．设P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果∠PF 1F 2=60º,∠PF 2F 1=30º,则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．23 C D 17. 若关于x 320kx k -+=有且只有一个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．5(,]12-∞ B ．53(,]124 C ．3(,)4+∞ D ．53{}(,)124⋃+∞8．已知a ≠b ，且a 2sin θ+a cos θ－4π=0 ，b 2sin θ+b cos θ－4π=0，则连接（a ，a 2），（b ，b 2）两点的直线与单位圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9. 命题“若f(x)正弦函数，则f(x)是周期函数”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．10.椭圆71622y x +=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ．11．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的一般式方程是 ．12．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ．13．以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线方程为 ．14．设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，则21PF ⋅的最大值为 ．15．已知椭圆42x +32y =1上有n 个不同的P 1,P 2,P 3,……P n ,设椭圆的右焦点为F ，数列{|FP n |}的公差不小于11004的等差数列，则n 的最大值为 ．长沙市一中2009-2010年度上学期第一次阶段性考试高二数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.10. 11. 12.13. 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分) 设F1、F2分别为椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C 上的点A（1，32）到F1，F2两点的距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标、离心率.17．(本小题满分12分)一个圆切直线0106:1=--y x l 于点)1,4(-P ，且圆心在直线035:2=-y x l 上．（Ⅰ）求该圆的方程； （Ⅱ）求经过原点的直线被圆截得的最短弦的长．18．(本小题满分12分) 焦点在x 轴上的双曲线过点P （- 3），且点Q （0，5）与两焦点的连线互相垂直，（Ⅰ）求此双曲线的标准方程;（Ⅱ）过双曲线的右焦点倾斜角为45º的直线与双曲线交于A 、B 两点，求|AB|的长．19．(本小题满分13分)设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不a x <+对一切正实数x 均成立，若“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分13分)已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点． （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求PC 与面PAD 所成的角的正切； （Ⅲ）求二面角M-AC-B 的正切．21．(本小题满分13分) 已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点．（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使M A MB --→--→⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．附加题（5分）：椭圆22162x y +=的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C .（Ⅰ）求证：CF FB λ--→--→= (λ∈R )；（Ⅱ）求MBC ∆面积S 的最大值.湖南省长沙市第一中学高二上学期第一次阶段性考试数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.假 10. 16 11. x+3y=0 12. 14- 13.22182x y -=14. 4 15. 2009三、解答题：本大题共6小题，共75分。

湖南省长沙市高二（上）入学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知角α的终边经过点（-4，3），则cosα=（）A. B. C. D.2.已知f（a）=，则f（-）的值为（）A. B. C. D.3.已知点A（0，1），B（3，2），向量=（-4，-3），则向量=（）A. B. C. D.4.已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A. B. C. 0 D.5.若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）A. B. C. D.6.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A. B. C. D.7.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得据上表得回归直线方程，其中，=-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元8.函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）A. ，1B.C. ，1D.9.将函数y=cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B. C. D.10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B=a sin A，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= ______12.将八进制数127（8）化成二进制数为______ ．13.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______．14.将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象，则f（）=______．15.已知=（1，3），=（2，λ），若向量，的夹角为锐角，则λ的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16.平面内给定三个向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1）（1）求满足=m+n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2-），求实数k；（3）若满足（-）∥（+），且|-|=，求．17.已知＜＜，sin x+cos x=．（Ⅰ）求sin x-cos x的值；（Ⅱ）求的值．18.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．19.设函数f（x）=sin x+sin（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到．20.已知函数f（x）=cos x•sin（x+）-cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-，]上的最大值和最小值．21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（-4，3），∴x=-4，y=3，r==5．∴cosα===-，故选D．2.【答案】A【解析】解：f（a）===cosα，则f（-）=cos（-）=cos（8π+）=cos=，故选：A．先根据诱导公式化简，再代值计算．本题考查了诱导公式和三角函数值，关键掌握诱导公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（-4，-3），则向量==（-7，-4）；故选：A．顺序求出有向线段，然后由=求之．本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．4.【答案】B【解析】解：由题意可得cos===，解得m=，由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）-α]===，故选：A．由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）-α]的值．本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C．一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得═8-0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．8.【答案】A【解析】解：∵==cos2x∴原函数的最小正周期是=π，最大值是1故选A．化成y=Asin（ωx+φ）的形式，即y=cos2x进行判断．本题主要考查三角函数的化简问题．一般地，三角函数求最小正周期、最值和单调区间时都要把函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式后进行求解．9.【答案】B【解析】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．10.【答案】B【解析】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．11.【答案】7【解析】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7．故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．12.【答案】1010111（2）【解析】=7×80+2×81+1×82=87，解：127（8）87÷2=43…1，43÷2=21…1，21÷2=10…1，10÷2=5…0，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，∴87（10）=1010111（2）．故答案为：1010111（2）．进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将8进制数转化为十进制数，再由除K取余法转化为二进制数即可．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．属于基础题．13.【答案】25【解析】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则应抽取的男生人数是500×=25人，故答案为：25．根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．14.【答案】【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x-）+φ）]=sin（2ωx+φ-ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ-ω=2kπ，k∈Z，∴ω=，φ=+2kπ，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ-ω）=sinx，可得2ω=1，且φ-ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．15.【答案】（-，6）∪（6，+∞）【解析】解：=（1，3），=（2，λ），向量，的夹角为锐角，•＞0且•≠||||即3λ+2＞0且λ≠6，∴（-，6）∪（6，+∞）．故答案为（-，6）∪（6，+∞）．本题中两个向量的夹角为锐角，故应转化为两向量的内积为正，且不共线，由此条件转化的方程求参数的范围即可．本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，本题中两个向量的夹角为锐角，故可转化为两向量的内积大于0且两向量不共线，此转化有一个易漏点，即忘记考虑向量同向共线时向量内积也为正，做题时要注意转化的等价．本题属于基础公式应用题．16.【答案】解：（1）=m+n即为（3，2）=m（-1，2）+n（4，1），即有-m+4n=3，且2m+n=2，解得，m=，n=；（2）由于+k=（3+4k，2+k），2-=（-5，2）（+k）∥（2-），即为2（3+4k）=-5（2+k），解得，k=-；（3）设=（x，y），由满足（-）∥（+），由=（x-4，y-1），=（2，4），即有4（x-4）=2（y-1），又|-|=，则有（x-4）2+（y-1）2=5，解得，x=3，y=-1或x=5，y=3．即有=（3，-1）或（5，3）．【解析】（1）由向量的加减、数乘坐标运算，得到m，n的方程，解得即可；（2）运用向量的共线的坐标表示，解方程即可得到k；（3）设=（x，y），运用向量共线的坐标表示，及向量的模的公式，列方程，解得即可．本题考查平面向量的共线的坐标表示，考查向量的模的公式及运用，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）由sin x+cos x=，平方得sin2x+2sin x cosx+cos2x=，即2sin x cosx=∵（sin x-cos x）2=1-2sin x cosx=又∵＜＜，∴sin x＜0，cos x＞0，sin x-cos x＜0，故sin x-cos x=-…（6分）；（2）====…（12分）；【解析】（1）通过同角三角函数的基本关系式化简求出（sinx-cosx）2的值，通过x的范围求出结果即可．（2）通过化简表达式，直接利用（1）的结果求解即可．本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数的表达式化简与求值，考查计算能力与整体代入的方法的应用．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==【解析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=sin x+sin x+cos x=sin x+cos x=sin（x+），∴当x+=2kπ-（k∈Z），即x=2kπ-（x∈Z）时，f（x）取得最小值-，此时x的取值集合为{x|x=2kπ-（k∈Z）}；（Ⅱ）先由y=sin x的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为y=sin x的图象；再由y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位，得到y=f（x）的图象．【解析】（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x 的集合；（Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cos x•（sin x cos x）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[-，]得，2x∈[-，]，则∈[，]，∴当=-时，即=-1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【解析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin（π-（A+B））=sin C2cos C sinC=sin C∴cos C=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．。

2023-2024学年湖南省长沙重点中学高二（上）第一次段考数学试卷一，单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）I.已知集合U= {-1,0,1,2,3}, A= {2,3}, B = {0,1}，则(CuA)n B =( )A.0B.{0,1}C .{O }D.{1}2下列条件中，是灶<4的必要不充分条件的是（）A.一2:,; X :,; 2B.一2<x<OC.0< x :5 2D.1 < x < 33．如图，A 、B为正方体的两个顶点，M 、N 、P为所在棱的中点，则直线AB与平面MNP 的位置关系为（）A .平行B.垂直C 相交D直线在平面内4.已知平面向量了＝（2x,3),b = (l ,9)，如果石／／jj'则X =()A1-6A 1-6B1-3cD._..::l 5．下列一组数据的25％分位数是（）2.8,3.6,4.0, 3.0, 4.8,5.2, 4.8, 5.7, 5.8, 3.3 A.3.0B.4C.4.4D.3.3226.已知F 1,F 2是椭圆�+f=l的两个焦点，P是椭圆上一点，则I P F 1I · P F 2I的最大值是（）25. 1625-4A B.9 C.16D.257实数X,y 满足x 气沪＋2x = 0,则芢钮勺取值范围是（）－－1-3， ~J4-31 ，。

［［AC4B.(-oo,O] U [�,+oo)3 1D .(-oo ,-1] U [�,+oo)3'8在正四棱锥P -ABCD中，若秏＝仔丙，百＝杆R,平面A EF与棱PD交千点G,则四棱锥P-AEFG与四棱锥P-ABCD的体积比为（）7-46A 8-45B 7-45cD.445二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）9．下列结论不正确的是()A过点A(l,3),B(-3,1)的直线的倾斜角为0°B直线(+ m )x + 4y - + m = O(m ER)恒过定点(-3,-3) 乓C .直线X + 2y-4 = 0与直线2x + 4y + 1 = 0之间的距离是－－2D 已知A(2,3),B(-1,1)，点P 在x 轴上，则|PAI+IPBI 的最小值是5介5兀JO.已知函数f (x) = sin(wx +<p)（其中w >0,<p E (－亢卫））相邻的两个零点为－，一，则()3' 6 A函数f(x)的图象的一条对称轴是x=-6B.函数f(x)的图象的一条对称轴是x =－12n ·C.<p的值可能是－35亢D.<p 的值可能是一6ll如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=AB= AC= BC= 2,若三棱锥P-ABC 的体积为v2J 、＝，3 则下列说法正确的有（A. PA.LBCB直线PC 与面PAB 所成角的正弦值为五§42nC.点A 到平面PBC 的距离为－－3D三棱锥P-ABC 的外接球表面积S =癹巴3pc12.已知定义在R 上的函数f(x)，对千给定集合A,若'ifX 1,X 2 E R,当X 1-X 2 EA 时都有f(x 1)-f(x 2) EA,则称f(x)是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（A. f(x) = x 3是"(-,1]封闭”函数B定义在R上函数f(x)都是"{O}封闭”函数C .若f(x)是"{1}封闭”函数，则f(x)一定是"{k}封闭”函数(k EN 勹D 若f(x)是"[a,b]封闭”函数(a,b EN.)，则f(x)在区间[a,b)上单调递减三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2-i13已知！为虚数单位，则—�=1+i.2 314甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为－，一，则密码被成功破译的概率为3·515.已知圆C:(x-3)2 +(y-4)2 = 9和两点A(-m,O),B(m,O)(m > 0)，若圆C 上存在点P,使得LAPB = 90°,则m的最大值为16设函数f(x) = sin(wx + �)(w > 0)在(:年）上恰有两个零点，且f(x)的图象在哥，：）上恰有两个蚾高点，则o的取值范围是四，解答题（本大题共6小题，共70.0分。

周南教育集团2023年下学期高二年级第一阶段考试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知2log 3x =，则x 的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】根据对数的定义运算求解.【详解】∵2log 3x =，则328x ==.故选：D.2.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（）A.3B.4C.3.5D.4.5【答案】B 【解析】【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，根据675% 4.5⨯=，结合百分数的定义，即可求解.【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，由675% 4.5⨯=，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.故选：B.3.已知直线210x my +-=与直线320x y n -+=垂直，垂足为(2,)p ，则p m n ++的值为（）A.－6B.6C.4D.10【答案】A 【解析】【分析】由已知条件中两直线垂直可以求出m 的值,再由垂足在两条直线上可得n 和p 的二元一次方程组,求解出n 和p 的值,即可求出p m n ++的值.【详解】因为直线210x my +-=与直线320x y n -+=垂直,所以23(2)0m ⨯+-=,解得3m =,又垂足为(2,)p ,代入两条直线方程可得4310620p p n +-=⎧⎨-+=⎩,解得1p =-,8n =-,则13(8)6p m n ++=-++-=-.故选A【点睛】本题考查了两条直线的位置关系,需要掌握两条直线平行或垂直时其直线方程一般式的系数关系,本题较为基础.4.已知圆柱12O O 的底面半径和母线长均为1,,A B 分别为圆2O ､圆1O 上的点，若2AB =，则异面直线12,O B O A 所成的角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】B 在圆2O 的投影为C ，连接2,,BC AC O C ，计算AC =，根据余弦定理得到22πcos 3AO C ∠=，得到答案.【详解】如图所示：B 在圆2O 的投影为C ，连接2,,BC AC O C ，易知12O B O C ∥，在直角ABC中，AC ==在2O AC △中，根据余弦定理，222222221cos 22AO CO AC AO C AO CO +-∠==-⋅⋅，()2cos 0,πAO C ∠∈，故22πcos 3AO C ∠=，故异面直线12,O B O A 所成的角为2πππ33-=.故选：C.5.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（）A.12B.22C.13D.16【答案】C 【解析】【分析】以D 为坐标原点，1,,D C D A D D uu u r uuu r uuur，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】如图，以D 为坐标原点，1,,D C D A D D uu u r uuu r uuur，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,1,1,1,0,1,0,0,0,2,0D E A C ．从而()11,1,1,1(1,2,0)(1,),0,1E AC D AD ==-=--.设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c = ，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩，令2a =，则()2,1,2n = ，所以点E 到平面1ACD 的距离为1||212133||D E h n n +-==⋅=．故选：C6.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（）A.661.5，169.5B.661，187C.661，175D.660，180【答案】B 【解析】【分析】先求出总体均值，再利用分层抽样的方差公式即可得解．【详解】由题意甲的平均值为1665x =，方差为21131s =，乙的平均值是2658x =，方差为22208s =，则总体平均值为30665406586617070x ⨯⨯=+=，方差为()()22230401316656612086586611877070s ⎡⎤⎤⎡=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦．故选：B ．7.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若ABC 的面积为S ，且1a =，2241S b c =+-，则ABC 外接圆的面积为（）A.4π B.2πC.πD.π2【答案】D 【解析】【分析】由条件2241S b c =+-结合面积公式与余弦定理可得222sin 12cos bc A b c bc A =+-=，即π4A =，再根据正弦定理可得外接圆的半径，从而得到ABC 外接圆的面积.【详解】在ABC 中，由余弦定理得2212cos b c bc A =+-，既有222cos 1bc A b c =+-，又由面积公式，得1sin 2S bc A =，又2241S b c =+-，故222sin 12cos bc A b c bc A =+-=，所以tan 1A =．因为0πA <<，所以π4A =，又由正弦定理2sin a R A=，其中R 为ABC 外接圆的半径，由1a =及π4A =，得22sin 222a R A===，所以外接圆的面积2ππ22S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭故选：D8.设函数()()()2sin 10f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A.816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.164,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.820,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】t x ωϕ=+，只需要研究1sin 2t =的根的情况，借助于sin y t =和12y =的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围.【详解】令()0f x =，则()1sin 2x ωϕ+=令t x ωϕ=+，则1sin 2t =则问题转化为sin y t =在区间3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上至少有两个，至少有三个t ，使得1sin 2t =，求ω的取值范围.作出sin y t =和12y =的图像，观察交点个数，可知使得1sin 2t =的最短区间长度为2π，最长长度为223ππ+，由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：1643ω≤<.故选：B【点睛】研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t x ωϕ=+），转化为研究sin y t =的图像和性质较为方便.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法正确的是（）A.直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.直线3y kx =-在y 轴上的截距是3C.过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D.点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1【答案】AD 【解析】【分析】A 确定直线在坐标轴上截距，再求面积即可判断；B 由直线斜截式即可判断；C 根据两点式使用前提判断；D 检验对称点的满足条件即可判断.【详解】A ：由直线20x y --=易得，其在x 、y 轴截距分别为2,2-，故该直线与坐标轴所围成三角形面积为12222⨯⨯-=，对；B ：由直线斜截式可知，3y kx =-y 轴上的截距是3-，错；C ：仅当1212x x y y ≠⎧⎨≠⎩时，直线才能表示为112121y y x x y y x x --=--，错；D ：因为点()0,2与点()1,1的中点为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，代入直线1y x =+，显然满足；又经过点()0,2与点()1,1的直线的斜率为21101-=--，而直线1y x =+的斜率为1，所以这两直线互相垂直；所以点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1，对.故选：AD10.关于直线m ，n 与平面α，β，以下四个命题中真命题是A.若//m α，//n β且//αβ，则//m n B.若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥C.若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥ D.若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n【答案】BC 【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．【详解】解：若//m α，//n β且//αβ，则m ，n 可能平行也可能异面，也可以相交，故A 错误；若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m ，n 一定垂直，故B 正确；若m α⊥，//n β且//αβ，则m ，n 一定垂直，故C 正确；若//m α，n β⊥且αβ⊥，则m ，n 可能相交､平行也可能异面，故D 错误故选：BC ．【点睛】考查线线平行与垂直的判定，基础题.11.下列命题正确的有（）．A.0AB AC CD BD --+=B.若()1,1a =r ，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为()3,1C.在ABC 中，若O 点满足0OA OB OC ++=，则O 点是ABC 的重心D.在ABC 中，若CA CB CP CA CB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，则P 点的轨迹经过ABC 的内心【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 利用向量的加减法运算判定；选项B 利用向量的坐标表示判定；选项C 利用三角形重心的向量表示判定；选项D 根据条件得点P 在ACB ∠的角平分线上，从而有P 点的轨迹经过ABC 的内心.【详解】选项A ：因为0AB AC CD BD CB CD BD DB BD --+=-+=+=，所以选项A 正确；选项B ：若()1,1a =r ，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标依然是()1,1，故选项B 错误；选项C ：由三角形的重心的向量表示可知，若O 点满足0OA OB OC ++=，则O 点是ABC 的重心，故选项C 正确；选项D ：在ABC 中，若CA CB CP CA CB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，则点P 在ACB ∠的角平分线上，所以P 点的轨迹经过ABC 的内心，故选项D 正确；故选：ACD.12.如图，在边长为2的正方形123SG G G 中，E ，F 分别是1223G G G G ,的中点，D 是EF 的中点，将13SG E SG F ， 分别沿SE ，SF 折起，使13,G G 两点重合于G ，下列说法正确的是（）A.若把2G EF 沿着EF 继续折起，2G 与G 恰好重合B.SG EF⊥C.四面体S GEF -的外接球体积为D.点G 在面SEF 上的射影为△SEF 的重心【答案】ABC 【解析】【分析】根据22GE GF G E G F ===，可说明2G 与G 恰好重合，判断A ;根据线面垂直的性质定理可判断B ;将四面体S GEF -补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C ;根据线面垂直证明线线垂直，说明点G 在面SEF 上的射影为三角形的高的交点，判断D .【详解】对于A ，因为22GE GF G E G F ===，故把2G EF 沿着EF 继续折起，2G 与G 恰好重合，A 正确；对于B ,因为GE GF =,D 是EF 的中点，故GD EF ⊥;又,,SG GE SG GF GE GF G ⊥⊥= ，故SG ⊥平面GEF,而EF ⊂平面GEF,故SG EF ⊥,又,,SG GD G SG GD =⊂ 平面SGD ,所以EF ⊥平面SDG ，SG ⊂平面SDG ,所以,B SG EF ⊥正确；对于C ，由翻折的性质可知，,,GE GF GS 两两垂直，将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同，其体对角线长l ==，所以长方体外接球的半径为2R =，故外接球的体积为34π32V ⎛=⋅= ⎝⎭，故C 正确；对于D ，因为,,GE GF GS 两两互相垂直，故SG ⊥平面GEF ,则SG EF ⊥,设P 为点G 在平面SEF 上的射影，连接EP,SP ,则GP EF ⊥,而,,SG GP G SG GP =⊂ 平面SGP ,故EF ⊥平面SGP,SP ⊂平面SGP,故EF SP ⊥，同理可证SF EP ⊥,即点P 为三角形SEF 高线的交点，所以点G 在平面SEF 上的射影为SEF 的垂心，故D 错误，综上，正确答案为ABC ，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知x ，*y ∈R ，若8x y xy ++=，则xy 的最大值为_________【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式x y +≥.【详解】 正数x ，y 满足8x y xy ++=，8xy x y ∴-=+≥，即80xy +-≤，解得02<≤，故4xy ≤，当且仅当2x y ==时取等号．xy ∴的最大值为4，故答案为：414.已知直线l 过点()1,2，且点()3,4P 到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________．【答案】1x =或2y =【解析】【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式即可得出答案.【详解】当直线l 斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =，满足题意；当直线l 斜率存在时，可设直线l 的方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=，因为点()3,4P 到直线l 的距离是2，则2=，解得0k =.所以直线l 的方程为2y =，综上所述，直线l 的方程为1x =或2y =.故答案为：1x =或2y =.15.已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线1AC 的长为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意首先画出图形，并设AB a = ，AD b = ，1AA c = ，然后根据三角形法则，用a 、b 、c表示1AC uuu r ，然后根据向量的模的计算公式和向量的数量积运算，即可求解.【详解】如图所示，设AB a = ，AD b = ，1AA c = ，则1a b c === ，两两向量之间的夹角都为3π，12a b a c b c ∴===又1AC a b c =++，两边同时平方得：()()2222212AC a b c a b c a b a c b c =++=+++++ 11111126222⎛⎫=+++⨯++= ⎪⎝⎭，1AC ∴= ，即1AC.16.若函数21x y x =+的图象上存在两点P ，Q 关于点()1,0对称，则直线PQ 的方程是______．【答案】410x y --=【解析】【分析】首先根据方程形式，设出点,P Q 的坐标，再根据中点坐标公式，即可求得两点坐标，再计算直线方程.【详解】根据题意，设2,1p P p p ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2,1q Q q q ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，因为线段PQ 的中点是()1,0，所以2212011p q p q p q +⎧=⎪⎪⎨⎪+=++⎪⎩，整理得21p q pq +=⎧⎨=-⎩，所以p ，q 为方程2210x x --=的根，解得1x =±所以14P ⎛+ ⎪⎝⎭，14Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或14P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，14Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．由两点式得直线PQ 的方程为410x y --=．故答案为：410x y --=四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，2CA =，2AB =，23BAC π∠=，D 为BC 的三等分点（靠近B 点）．（1）求AD BC ⋅的值；（2）若点P 满足CP CA λ= ，求PB PC ⋅ 的最小值，并求此时的λ．【答案】（1）2-（2）()min 94PB PC ⋅=- ，此时34λ=【解析】【分析】（1）将AD 和BC 分别用AB ，AC线性表示，再进行数量积运算即可；（2）建立如图所示的坐标系，设(),0P x ，利用向量数量积的坐标表示将所求式子表示为关于x 的函数，进而求结果.【小问1详解】因为()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，BC AC AB =- 所以()2221112233333AD BC AB AC AC AB AC AC AB AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-=- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】如图建立直角坐标系，则()0,0A ，()2,0C ，()1,3B -令(),0P x 所以()1,3PB x =-- ，()2,0PC x =- ∴()()12PB PC x x ⋅=+- ∴当12x =时，()min 94PB PC ⋅=- ，此时34λ=18.已知直线:(1)(23)60m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程；（2）若坐标原点O 到直线mm 与n 的位置关系.【答案】（1）370x y -=或120x y -+=；（2）//m n 或m n⊥【解析】【详解】试题分析：（1）联立360230.x y x y -++=⎧⎨-+=⎩，解得m 与n 的交点为（-21，-9），当直线l 过原点时，直线l 的方程为370x y -=；当直线l 不过原点时，设l 的方程为1x y b b+=-，将（-21，-9）代入得12b =-，解得所求直线方程（2）设原点O 到直线m 的距离为d ，则d ==，解得：14a =-或73a =-，分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系;试题解析：解：（1）联立360230.x y x y -++=⎧⎨-+=⎩，解得21,9,x y =-⎧⎨=-⎩即m 与n 的交点为（-21，-9）.当直线l 过原点时，直线l 的方程为370x y -=；当直线l 不过原点时，设l 的方程为1x y b b+=-，将（-21，-9）代入得12b =-，所以直线l 的方程为120x y -+=，故满足条件的直线l 方程为370x y -=或120x y -+=.（2）设原点O 到直线m 的距离为d ，则d ==14a =-或73a =-，当14a =-时，直线m 的方程为250x y --=，此时//m n ；当73a =-时，直线m 的方程为250x y +-=，此时m n ⊥.19.已知函数()4cos sin 3f x x x π骣琪=-琪桫．（Ⅰ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．（Ⅱ）在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c，若角C 为锐角，()f C =，且2c =，求ABC 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）[]1,2；【解析】【分析】（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数()f x 在区间[4π，2π上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得ABC 面积的最大值．【详解】解：（Ⅰ）()4cos sin()3f x x x π=-4cos sin cos cos sin 33x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭14cos sin 22x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-+sin 222sin(2)3x x x π=-=-，由42x ππ ，有22633x πππ- ，所以1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的值域为[]1,2．（Ⅱ）由()f C =，有sin(232C π-=，C 为锐角，233C ππ∴-=，3C π∴=．2c = ，∴由余弦定理得：224a b ab +-=，222a b ab + ，224a b ab ab ∴=+- ．1sin 24ABC S ab C ∴== ∴当a b =，即ABC 为正三角形时，ABC 20.为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为q （p q >），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．（1）求p 和q 的值；（2）求甲、乙两人共答对3道题的概率．【答案】（1）34p =，23q =（2）512【解析】【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解；（2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.【小问1详解】设A ：甲同学答对第一题，B ：乙同学答对第一题，则()P A p =，()P B q =．设C ：甲、乙两人均答对第一题，D ：甲、乙两人恰有一人答对第一题，则C A B = ，()()D A B A B =⋂⋃⋂．∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，∴A 与B 相互独立，A B 与A B ⋂互斥，∴()()()()P C P A B P A P B pq =⋂==,()(()()(1())(1())()P D P A B P A B P A P B P A P B =⋂+⋂=-+-．由题意得()()1,2511,12pq p q q p ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩解得3,423p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,33.4p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵p q >，∴34p =，23q =．【小问2详解】设i A ：甲同学答对了i 道题，i B :乙同学答对了i 道题，0,1,2i =．由题意得()11331344448P A =⨯+⨯=，()23394416P A =⨯=，()12112433339P B =⨯+⨯=，()2224339P B =⨯=．设E ：甲、乙两人共答对3道题，则()()1221E A B A B =⋂⋃⋂，∴()()122134945()8916912P E P A P A B B =+=⨯+=⋂⨯⋂，∴甲、乙两人共答对3道题的概率为512．21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：//MN 平面11BCC B ；（2）若AB MN ⊥，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）作辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解【小问1详解】证明：取AB 的中点为K ，连接MK ，NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11B M MA =，BK KA =，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而CN NA =，BK KA =，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而NK MK K = ，NK ，MK ⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ；【小问2详解】因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，所以CB AB ⊥，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，又AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N = ，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，故1,,BC AB BB 两两垂直，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,0A ，()1,1,0N ，()0,1,2M ，故()0,2,0BA = ，()1,1,0BN = ，()0,1,2BM = ，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z = ，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ ．22.已知函数()221(0,1)g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[]23，上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x =．（1）求a b ，的值；（2）不等式()220xx f k -⋅≥在[]11x ∈-，上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围【答案】（1）1,0a b ==；（2）(,0]-∞；（3）0k >.【解析】【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程组，即可求解；（2）由题意得到()12f x x x =+-，根据()220x x f k -⋅≥转化为221k t t ≤-+在[]11-，上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；（3）化简得到2121(23)021x x k k +-+-+=-，令21x t -=，得到2(23)(12)0t k t k -+++=，根据题意转化为方程2(23)(12)0t k t k -+++=有两个根12,t t 且1201,1t t <<≥，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()221(0,1)g x ax ax b a b =-++≠<，可得对称轴为1x =，当0a >时，()g x 在[]23，上为增函数，可得()()3421g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即96144411a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，解得1,0a b ==；当a<0时，()g x 在[]23，上为减函数，可得()()3124g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即96114414a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，解得1,3a b =-=，因为1b <，所以1,0a b ==.（2）由（1）可得()221g x x x =-+，所以()()12g x f x x x x==+-，方程()220x x f k -⋅≥化为12222x x x k +≥⋅+，所以212()122x x k -+≥，令12x t =，则221k t t ≤-+，因为[1,1]x ∈-，可得1[,2]2t ∈，令()2221(1)t t t t ϕ=-+=-，当1t =时，可得()min 0t ϕ=，所以0k ≤，即实数k 的取值范围是(,0]-∞.（3）方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭，可化为2121(23)021x x k k +-+-+=-，可得221(23)21(12)0x x k k --+-++=且210x-≠，令21x t -=，则方程化为2(23)(12)0(0)t k t k t -+++=≠，方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，所以由21xt =-的图象知，方程2(23)(12)0t k t k -+++=有两个根12,t t 且1201,1t t <<≥，记2()(23)(12)k t t k t k =-+++，则(0)0(1)0k k >⎧⎨<⎩或(0)0(1)023012k k k ⎧⎪>⎪=⎨⎪+⎪<<⎩，解得0k >，综上所述，实数k 的取值范围是0k >.。

长沙市2023年下学期高二第一次阶段性测试数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()3,2【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A.2.a =(2，-1，3)，b =(-1，4，-2)，c =(3，2，λ)，若2c a b =+，则实数λ等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据向量的数乘运算和向量坐标的相等即可求解.【详解】因为2c a b =+，所以c=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),所以4λ=，故选：C .3.在下列四个命题中，正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B.过点00(,)P x y 的直线方程都可以表示为：00()y y k x x -=-C.经过两个不同的点()111,P x y ，()222,P x y 的直线方程都可以表示为：()()()()121121=y y x x x x y y ----D.经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=【答案】C 【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系，以及点斜式，两点式，截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：当直线的倾斜角0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，倾斜角越大，斜率越大；当2πθ=时，不存在斜率；当,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，倾斜角越大，斜率越大，故A 错误；对B ：当直线斜率不存在时，不可以用00()y y k x x -=-表示，故B 错误；对C ：经过任意两个不同的点()111,P x y ，()222,P x y 的直线，当斜率等于零时，12y y =，12x x ≠，方程为1y y =，能用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；当直线的斜率不存在时，12y y ≠，12x x =，方程为1x x =，能用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示，故C 正确，对D ：经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=，0x y -=，故D 错误.故选：C.4.设直线,l m ，平面,αβ，则下列条件能推出//αβ的是（）A.,l m αα⊂⊂，且//,//l m ββB.,l m αβ⊥⊥，且//l mC.,l m αβ⊂⊂，且//l mD.//,//l m αβ，且//l m【答案】B 【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.【详解】对于A.,l m αα⊂⊂，且//,//l m ββ，由于无法得知,l m 是否相交，所以不能得到//αβ，对于B.,l m αβ⊥⊥，且//l m ，则//αβ，故B 正确，对于C.,l m αβ⊂⊂，且//l m ，此时,αβ可能相交，对于D.//,//l m αβ，且//l m ，则,αβ可能相交，故选：B5.方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（）A.k ∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞)B.k ∈(2，+∞)C.k ∈(﹣2，2)D.k ∈(0，1]【答案】D 【解析】【分析】化x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0为2223((1)324kx y k -++=-，由2334k -＞0求得k 的范围，然后逐一核对四个选项得答案.【详解】由x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0，得2223()(1)324k x y k -++=-，若方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆，则2334k -＞0，即﹣2＜k ＜2.∴A ，B 为方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C 为充要条件，而（0，1]⊂（﹣2，2），则D 为充分不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题.6.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（）A.54B.C.22D.4【答案】D 【解析】【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()10,0,1,0,1,0,1,,02P D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()10,1,1,1,,02PD DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，所以1522,2,242DE PD DE PD PD-⋅===-，所以点E 到直线PD 22512484DE PD DE PD ⎛⎫⋅ ⎪-=- ⎪⎝⎭.故选：D.7.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（）A.)2120x y +-- B.(1220x y -+=C.)2120x y -+= D.)2120x y --+=【答案】C 【解析】【分析】根据题设确定各顶点的坐标，代入选项解析式即可判断正误.【详解】由题意，另外4个顶点为y x =±与222x y +=的交点，所以，正八边形8个顶点分别为()(())1,1,2,1,1,2,0A B C E-，(1,1),(0,2),(1,1),(2,0)F H G D -----，A ：)2120x y +-=显然过(1,1),(2,0)C E ，满足；B ：(1220x y -+显然过2),(1,1)BC ，满足；C ：)2120x y -+=显然过(1,1)C ，(2,0)D -，不满足；D ：)2120x y -+=显然过(1,1),2)A B -，满足.故选：C8.已知,R x y +∈，满足22x y +=，则22x x y ++的最小值为（）A.54B.85C.1D.123+【答案】B 【解析】【分析】先求出点O 关于线段22x y +=的对称点C 的坐标，22C x y PO P +==，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解.【详解】如图，过点O 作点O 关于线段22x y +=的对称点C ，则PO PC =.设()00,C x y ，则有()0000212222y x x y ⎧⨯-=-⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得008545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以84,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.设(),P x y，则PO =C PO P ==，又,x y +∈R ，所以点P 到y 轴的距离为x ，所以x 可视为线段22x y +=上的点(),P x y 到y 轴的距离与到84,55C ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和.过P 作PD x ⊥轴，过点C 作CH x ⊥轴，显然有PD PC CD CH +≥≥，则CH 为所求最小值，此时CH 与线段AB 的交点1P ，即为最小值时P 的位置.易得85CH =，所以x +的最小值为85.故选：B ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点(),P x y 到y 轴的距离与到84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之和，从而结合图形即可得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如果0AB <，0BC >，那么直线0Ax By C ++=经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】ACD 【解析】【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.【详解】因为0AB <，故0B ≠，故直线的斜截式方程为：A Cy x B B=--，因为0AB <，0BC >，故0,0A CB B->-<，故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，故选：ACD.10.（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A.直线l 的斜率可以等于0B.若直线l 与y 轴的夹角为30°，则3m =或3m =-C.直线l 恒过点()2,1D.若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-【答案】BD 【解析】【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=，∴3m =或3m =-，故B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．11.对于函数()2(sin cos )f x x x x =++，有下列结论，其中正确的是（）A.最小正周期为πB.最大值为3C.递减区间为()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.对称中心为()ππ,0Z 6k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】将()()2sin cos 2f x x x x =++化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对称中心.【详解】()()222sin cos cos 2sin cos 2sin cos cos 2f x x x x x x x x x=+=++1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.对A ，2ππ2T ==，A 正确；对B ，ππ22π,Z 32x k k +=+∈时，即ππ,Z 12x k k =+∈时，()max 3f x =，故B 正确；对C ，令ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈,解得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，因此递减区间为()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，C 正确；对D ，令π2π,Z 3x k k +=∈，解得ππ,Z 62k x k =-+∈，此时()1f x =，故对称中心为ππ,1Z 62k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，故D 错误.故选：ABC.12.已知两圆方程为224x y +=与222(3)(4)(0)x y r r -++=>，则下列说法正确的是（）A.若两圆外切，则3r =B.若两圆公共弦所在的直线方程为3420x y --=，则=5r C.若两圆的公共弦长为r =D.若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r =【答案】AB 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设圆224x y +=为圆1C ，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径12r =.设圆222(3)(4)(0)x y r r -++=>为圆2C ，圆2C 的圆心为()23,4C -，半径1r r =.125C C =.A 选项，若两圆外切，则1212,52,3C C r r r r =+=+=，A 选项正确.B 选项，由()()22222434x y x y r⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=，则22292,25,52r r r -=-==，此时2121123,7,37r r r r C C -=+=<<，满足两圆相交，B 选项正确.C 选项，由()()22222434x y x y r ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=，()10,0C 到直线2293402r x y --+=的距离为2229229510r r d --==，所以223,1d d =-==，即22291,291010r r -=-=，则解得r或r =C 选项错误.D 选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D ，根据圆的几何性质可知12C D C D ⊥，所以2222212125421,r C D C C r r ==-=-==，D 选项错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()1,2,3a = ，()1,,0b x = ，且a b ⊥ ，则x =___________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】利用向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量()1,2,3a = ，()1,,0b x = ，且a b ⊥ ，则有120a b x ⋅=+= ，解得12x =-.故答案为：12-14.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【解析】【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：20x y +-=15.若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________．【答案】8【解析】【分析】由直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a=，即2,4a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题16.以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：（1）120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）_________【答案】2+【解析】【分析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，+表示坐标系中一点(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为ABC ∆是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合，令ABC ∆的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC ∆是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以1a =3a =，P ∴，0)到A 、B 、C 的距离分别为PA PB ==，2PC =-+即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则2PA PB PC ++=．故答案为：2+．【点睛】本题考查根据题给新定义的性质解题，涉及三角形的性质和两点间的距离的应用，理解新定义是解题的关键，考查转化思想和计算能力.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区城内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量()([]30a cosx sinx b x π==-∈ ，，，，，．（1）若a b，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅ ，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-.【解析】【分析】（1）根据a b ，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值．（2）根据()f x a b =⋅ 求解求函数y ＝f （x ）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x 的值．【详解】解：（1）∵向量()([]30a cosx sinx b x π==-∈ ，，，，，．由a b ，可得：3sinx =，即3tanx =-，∵x ∈[0，π]∴56x π=．（2）由()233f x a b cosx x π⎛⎫=⋅=-=+ ⎪⎝⎭ ∵x ∈[0，π]，∴225333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当2233x ππ+=时，即x ＝0时f （x ）max ＝3；当2332x ππ+=，即56x π=时()min f x =-【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．18.直线l 过点()1,1A ，且倾斜角比直线112y x =+的倾斜角大4π.（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与直线lm 的方程.【答案】（1）320x y --=；（2）38y x =+和312y x =-.【解析】【分析】（1）设直线l 的倾斜角为α，直线112y x =+的倾斜角为β，则由题意可得1,tan 42παββ=+=，再利用两角和的正切公式可求出tan α，即可得直线l 的斜率，从而可求出直线l 的方程；（2）由题意可设直线m 的方程为30x y n -+=，再利用两平行线间的距离公式列方程求解即可.【小问1详解】设直线l 的倾斜角为α，直线112y x =+的倾斜角为β，则题意得1,tan 42παββ=+=，所以tan tan 4παβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan tan41tan tan 4πβπβ+=-11231112+==-⨯，所以直线l 的方程为13(1)y x -=-，即320x y --=，【小问2详解】由题意可设直线m 的方程为30x y n -+=，因为直线m 与直线l=，解得=8n 或12n =-，所以直线m 的方程为38y x =+和312y x =-.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是正方形，PA AD =，点E 为PC 的中点．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）3π【解析】【分析】（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，则OE PA ，由PA ⊥平面ABCD ，可证得OE ⊥平面ABCD ，则AC OE ⊥，而由正方形的性质可得AC BD ⊥，所以由线面垂直的判定可证得结论，（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ．因为底面四边形ABCD 为正方形，所以,AC BD AO CO ⊥=．又点E 为PC 的中点，所以OE PA ．因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，所以,OE AB OE AD ⊥⊥,因为,AB AD ⊂平面ABCD AB AD A ⋂=，，所以OE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以AC OE ⊥．因为BD OE O ⋂=，,BD OE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE ．【小问2详解】解：设2AD =，则2PA AB BC CD ====．以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0)A D P C ，可得(0,2,2),(2,0,0),(2,2,0)DP DC AC =-==．由（1）知，平面BDE 的一个法向量为(2,2,0)AC =uuu r ．设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则20220n DC x n DP y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩ ，取1y =，可得0,1x z ==，所以(0,1,1)n = ，设平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角为θ，则||1cos 2||||n AC n AC θ⋅=== ，因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=，即平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角的大小为3π．20.已知圆22:64120C x y x y +--+=.（1）求过点()2,0且与圆C 相切的直线方程；（2）已知点()()2,02,2A B -，．则在圆C 上是否存在点P ，使得2228PA PB +=若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由．【答案】（1）2x =或3460x y --=；（2）存在，点P 的个数为2,理由见解析【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解，（2）由题意列式得P 轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，【小问1详解】由题意圆C ：()()22321x y -+-=，圆心()3,2C ，半径1r =，1）当直线l 的斜率不存在时，直线l ：2x =，符合题意；2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()2y k x =-即20kx y k --=，则圆心C 到直线l的距离1d ==，解得34k =，所以直线l 的方程为()324y x =-即3460x y --=综上，直线l 的方程为2x =或3460x y --=；【小问2详解】假设圆C 上存在点P ，设(),P x y ，则C ：()()22321x y -+-=，又()()()()222222202228PA PB x y x y +=++-+-+-=，即()2219x y +-=，P 的轨迹是圆心为()0,1，半径为3的圆.因为3131-<<+，所以圆C ：()()22321x y -+-=与圆()2219x y +-=相交，所以点P 的个数为221.在 ABC 中．a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，cos 2cos c C b a A =-（1）求角C ：（2）若cos cos 2a B b A +=，求锐角 ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π3C=（2）3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）对已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求出角C ；（2）设ABC 的外接圆半径为R ，利用正弦定理将已知等式化简变形可求得2c =，再利用正弦定理可求得sin 3a A =，2πsin()33b A =-，然后表示出三角形的面积，利用三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质可求得结果．【小问1详解】cos 2cos c C b a A =-及正弦定理得sin cos 2sin sin cos C C B A A=-，∴sin cos 2sin cos sin cos C A B C A C =-，∴sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C +=，即sin()2sin cos A C B C +=，∴sin 2sin cos B B C =，∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =，∵0πC <<，∴π3C =．【小问2详解】设ABC 外接圆的半径为R ，由cos cos 2a B b A +=，得2sin cos 2sin cos 2R A B R B A +=，即2sin 2R C =，则22sin sin c R C C==，∴2c =．ABC 的面积13sin 24S ab C ab ==．∵sin sin 2b a B A ==a A =，b B =，∴2πsin sin 33S A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π2πsin sin cos cos sin 333A A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4331sin cos 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭24331sin cos sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭43311sin 2cos 23444A A ⎛⎫=-+ ⎝⎭πsin 2363A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵π02A <<，π02B <<，2π3A B +=，∴2ππ032A <-<，∴ππ62A <<，∴ππ5π2666A <-<，∴1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴233S ⎛∈ ⎝，即锐角ABC面积的取值范围是233⎛ ⎝．22.已知圆心在x 轴上的圆C 与直线:4360l x y +-=切于点3,5E n ⎛⎫⎪⎝⎭，圆()22:3220D x a x y ay a +++-++=．（1）求圆C 的标准方程．（2）若圆C 上两动点,P Q ，与坐标原点()0,0O 所成角90POQ ∠=︒，求线段PQ 中点T 的轨迹方程；（3）已知1a >，圆D 与x 轴相交于两点,M N 两点（点M 在点N 的右侧）．过点M 任作一条倾斜角不为0的直线与圆C 相交于,A B 两点．问：是否存在实数a ，使得ANM BNM ∠=∠？若存在，求出实数a 值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22(1)4x y ++=（2）2232x x y ++=（3）存在，4a =【解析】【分析】（1）根据切点在过该切点的切线上，可得n 的值，再根据切线的性质，可以求出圆心的坐标，进而可以求出半径，最后求出圆的方程；（2）由90POQ ∠=︒得到34340x x y y +=，再由点在圆上得到2233323x x y ++=与2244423x x y ++=，从而利用完全平方公式与中点坐标公式即可得解.（3）假设这样的a 存在，0y =，求出M N 、两点的坐标，设出直线MN 的方程，与圆的方程联立，根据ANM BNM ∠=∠，可以得到AN BN k k =-，结合一元二次方程根与系数关系，可以求出a 的值.【小问1详解】依题意，设圆心C 的坐标为(),0t ，因为点3,5E n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线:4360l x y +-=上，则343605n ⨯+-=，解得65n =，故36,55E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又43l k =-，1CE l k k ⋅=-，60653535CE k t t -==---，则641,1533t t ⎛⎫-⨯-=-=- ⎪-⎝⎭，故()1,0C -所以2CE ==，即半径2r =.故圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=.【小问2详解】依题意，设()()3344,,,P x y Q x y ，(),T x y ，则3434,22x x y y x y =+=+，因为90POQ ∠=︒，所以0OP OQ ⋅=，即34340x x y y +=，则3434220x x y y +=，又,P Q 在圆C 上，则2233(1)4x y ++=，即2233323x x y ++=，2244(1)4x y ++=，即2244423x x y ++=，上述三式相加得，2222333443434422622x x x x y x y x y y +++++++=，整理得()()()4232344326x x x x y y +++++=，即()()2262222y x x +⨯+=，所以2232x x y ++=，即线段PQ 中点T 的轨迹方程为2232x x y ++=.【小问3详解】假设这样的a 存在，在圆D 中，令0y =，得2(3)2(1)0x a x a ++++=，解得12x =-或21x a =--，又由1a >知12a --<-，所以()()2,01,0M N a ---、.由题可知直线AB 的倾斜角不为0，设直线:2AB x my =-，()()1122,,,A x y B x y ，由222(1)4x my x y =-⎧⎨++=⎩，得()221230m y my +--=，∵点()2,0M -在圆C 内部，∴0∆>恒成立，则12122223,11m y y y y m m -+==++.因为ANM BNM ∠=∠，所以AN BN k k =-，即1212011y y x a x a +=++++，也即是1212011y y my a my a +=+-+-，整理得()12122(1)0my y a y y +-+=，从而22322(1)011m m a m m -⨯+-⨯=++，化简有()40m a -=，因为对任意的R m ∈都要成立，所以4a =，由此可得假设成立，存在满足条件的a ，且4a =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；。

湖南省长沙市县第六中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 极坐标方程表示的图形是（）A两个圆 B 两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线参考答案：C略2. 双曲线的右焦点的坐标为（）A. B. C.D .参考答案：A略3. 已知，则的值为( )A. B. C. D.参考答案：B4. 已知点，且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则的极小值是（）A．6 B．5 C.4 D．3参考答案：D设椭圆的右焦点为,∵||+||=2a=4那么，||=4﹣||所以，||+||=4﹣||+||=4+（||﹣||）当点位于P1时，||﹣||的差最小，其值为﹣||=此时，||+||也得到最小值，其值为3．故选D．5. 已知，且则的最小值为（）A． 6 B．7 C．8 D． 9参考答案：D略6. 以正方形的顶点为顶点的三棱锥的个数（）A B C D参考答案：D略7. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF 所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】连接BC1，A1C1，A1B，根据正方体的几何特征，我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角，判断三角形A1C1B的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角．【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选C【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，构造∠A1C1B 为异面直线AC和EF所成的角，是解答本题的关键．8. 圆C1与圆C2的位置关系是（）A. 外离B. 相交 C . 内切 D. 外切参考答案：C9. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则参考答案：A10. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A． 10 B．9 C．8 D．7参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是．参考答案：在同一条直线上【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．如图所示，由AC∥BD，可得AC与BD确定一个平面β，于是又已知可得α∩β=CD，再证明O∈直线CD即可．【解答】解：O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l?β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．【点评】熟练掌握确定一个平面的条件及点线面的位置关系是解题的关键．12. 已知是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：①若，则；②若，，则；③若上有两个点到的距离相等，则；④若，，则。

长沙市2023－2024学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}-1,0,1,2,32,3,0,1U A B ===，，则()U C A B = （）A.∅ B.{}0,1 C.{}0 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】求出{1,0,1}AU C =-，即得解.【详解】由题得{1,0,1}A U C =-，所以(){0,1}U C A B =.故选：B2.24x <的一个必要不充分条件是（）A.02x <≤B.20x -<< C.22x -≤≤ D.13x <<【答案】C 【解析】【分析】可根据命题特点进行转化，因为24x <化简后为22x -<<，题设需要寻找24x <的一个必要不充分条件，所以相当于寻找x 取值范围比22x -<<更大的范围即可【详解】24x <即22x -<<，因为22x -<<能推出22x -≤≤，而22x -≤≤不能推出22x -<<，所以24x <的一个必要不充分条件是22x -≤≤．答案选C【点睛】本题考查命题条件的推导，需注意两种不同的说法：A 是B 的充分不必要条件⇔B 的必要不充分条件是A ，同理A 是B 的必要不充分条件⇔B 的充分不必要条件是A3.如图，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNP 的位置关系为（）A.平行B.垂直C.相交D.直线在平面内【答案】A 【解析】【分析】根据图形，连接CD ，由M 、N 、P 为所在棱的中点结合正方体的结构特征，易得//AB MP ，然后利用线面平行的判定定理判断.【详解】如图所示：连接CD ，则//AB CD ，又因为M 、N 、P 为所在棱的中点，所以//CD MP ，所以//AB MP ，又AB ⊄平面MNP ，MP ⊂平面MNP ，所以直线AB //平面MNP ，故选：A【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及正方体的结构特征，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.4.已知平面向量(2,3)a x =，(1,9)b = ，如果a b ∥，则x =（）A.16B.16-C.13D.13-【答案】A 【解析】【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.【详解】由a b ∥可得1830x -=，所以16x =，故选：A5.下列一组数据的25%分位数是（）2.8,3.6,4.0,3.0,4.8,5.2,4.8,5.7,5.8,3.3A.3.0B.4C.4.4D.3.3【答案】D 【解析】【分析】先把这组数据按从小到大的顺序排列，根据百分位数的定义可得答案.【详解】把该组数据按照由小到大排列，可得：2.8,3.0,3.3,3.6,4.0,4.8,4.8,5.2,5.7,5.8，由1025% 2.5⨯=，不是整数，则第3个数据3.3是25%分位数．故选：D.6.已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，则12PF PF ⋅的最大值是（）A.254B.9C.16D.25【答案】D 【解析】【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.【详解】因为1210PF PF +=，所以21212252PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125PF PF ==时，12PF PF ⋅取到最大值.故选：D.7.实数,x y 满足2220x y x ++=,则1y xx --的取值范围是（）A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先对1y x x --化简,令11y t x -=-,则10tx y t -+-=与圆()2211x y ++=有交点，根据点到直线的距离小于等于半径解不等式即可.【详解】()22222011x y x x y ++=⇒++=,()1111111y x y x y x x x -----==----,令11y t x -=-,化简得10tx y t -+-=,所以10tx y t -+-=与圆()2211x y ++=有交点,1≤,解得403t ≤≤,所以111113y x --≤-≤-.故选:C.8.在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC =，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A.746B.845 C.745D.445【答案】B 【解析】【分析】利用A 、E 、F 、G 四点共面，25PG PD = ，由锥体体积公式，求出P AEFP ABCD V V --和P AGF P ABCD V V --的值，即可得P AEFGP ABCDV V --的值.【详解】如图所示，设PG PD λ=，由A 、E 、F 、G 四点共面，设AF xAE y AG =+ ，则()()AP PF x AP PE y AP PG +=+++ ，即()12()()33x AP AB AD AP xAP AB AP y AP y AD AP λλ++-=+-++-，得2120133333x x y y AP AB y AD λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又AP ，AB ，AD 不共面，则203312033103x y y xy λλ⎧--+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：2=5λ，即25PG PD = ，设1h ，2h 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB 的距离，则12h PF h PC=，所以1229P AEF F PAE PAE PAE P ABC C PAB PAB PAB V S PF PA h P S E V V V S h S P C A PB PF PE P PB F PC P PC ----⋅===⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，12P ABCP ABCD V V --=，19P AEF P ABCD V V --=，同理，215P AGF F PAG P ADC C PAD PA V PG PF PG PF PC P V V V PA P C D PD ----=⋅=⋅=⋅⋅=，12P ADC P ABCD V --=，115P AGF P ABCD V V --=，11891545P AEFG P AGF P AEF P ABCD P ABCD V V V V V -----+=+==则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为845.故选：B【点睛】方法点睛：点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个3选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论不正确的是（）．A.过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B.直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--C.直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是2D.已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出过点()1,3A ，()3,1B -的直线的斜率，进而得到倾斜角不为30︒；B 选项，变形后得到方程组，求出恒过点()3,3-；C 选项，直线240x y +-=变形为2480x y +-=，利用两平行线间距离公式求出答案；D 选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对称性求出PA PB +的最小值.【详解】A 选项，过点()1,3A ，()3,1B -的直线的斜率为()311132-=--，设直线倾斜角为θ，则1tan 2θ=，由于tan 303︒=，故过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角不为30︒，A 错误；B 选项，直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 变形得到()()34330x y x m m +-++=∈R ，令343030x y x +-=⎧⎨+=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过点()3,3-，B 错误；C 选项，直线240x y +-=变形为2480x y +-=，故与直线2410x y ++=10==，故C 错误；D 选项，在平面直角坐标系中画出()2,3A ，()1,1B -，两点都在x 轴上方，画出()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1D --，连接AD ，与x 轴交于点P ，则AD 即为PA PB +的最小值，则()min5PA PB+==，D 正确.故选：ABC10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0,(π,π)ωϕ>∈-）相邻的两个零点为π5π,36，则（）A.函数()f x 的图象的一条对称轴是π6x =B.函数()f x 的图象的一条对称轴是π12x =C.ϕ的值可能是π3D.ϕ的值可能是5π6【答案】BC 【解析】【分析】由5π262π3πT =-=，得到周期，再由1π5π7π23612x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到对称轴方程，然后由π3是零点得到2ππ,Z 3k k ϕ=-∈判断即可.【详解】由5π262π3πT =-=，得2ππT ω==，则2ω=，则1π5π7π23612x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以7π12x =为()f x 的一条对称轴，故()f x 的对称轴可表示为7ππ,Z 122x k k =+⋅∈，故A 错误，B 正确；∵π3是零点，故2ππ,Z 3k k ϕ+=∈，则2ππ,Z 3k k ϕ=-∈（k ∈Z ）.故C 正确，D 错误.故选：BC.11.如图，在三棱锥-P ABC 中，2PA AB AC BC ====，若三棱锥-P ABC 的体积为233V =，则下列说法正确的有（）A.PA BC⊥B.直线PC 与面PAB 所成角的正弦值为64C.点A 到平面PBC 的距离为233D.三棱锥-P ABC 的外接球表面积28π3S =【答案】ABD 【解析】【分析】A.由体积公式，计算点P 到平面ABC 的距离，即可判断；B.根据垂直关系，构造线面角，即可判断；C.利用等体积转化，即可求解并判断；D.根据外接球的半径公式，即可求解并判断.【详解】设点P 到平面ABC 的距离为h ，三棱锥的体积1133223223V h =⨯⨯⨯⨯=，得2h =，因为2PA =，所以PA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，故A 正确；因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB ⋂平面ABC AB =，取AB 的中点D ，连结,PD CD ，因为ABC 是等边三角形，所以CD ⊥平面PAB ，CPD ∠为直线PC 与面PAB 所成角，3CD =，2222PC PA AC =+=所以6sin 4CD CPD PC ∠==,故B 正确；PBC 中，22PB PC ==，2BC =，所以BC ()22217-=，12772=⨯=PBC S △,设点A 到平面PBC 的距离为h '，则13733h '=，得2217h '=，故C 错误；如图，过ABC 的中心H 作平面ABC 的垂线，过线段PA 的中点M 作PA 的垂线，两条垂线交于点O ，则点O 到四点,,,P A B C 的距离相等，即点O 是三棱锥外接球的球心，ABC 外接圆的半径3232233r HA ==⨯=，12PA OH ==,所以三棱锥外接球的半径222123PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以外接球的表面积228π34πS R ==，故D 正确.故选：ABD12.已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,R x x ∀∈，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（）A.()3f x x =是“[]1,1-封闭”函数B.定义在R 上函数()f x 都是“{}0封闭”函数C.若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈D.若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*,N a b ∈，则()f x 在区间[],a b 上单调递减【答案】BC 【解析】【分析】特殊值122,1x x ==判断A ；根据定义及函数的性质判断B ；根据定义得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，再判断所给定区间里是否有22()()f x k f x k +-=成立判断C ；举例说明判断D 作答.【详解】对于A ：当122,1x x ==时，121[1,1]x x -=∈-，而12()()817[1,1]f x f x -=-=∉-，A 错误；对B ：对于集合{}0，12,R x x ∀∈使120x x -=，即12x x =，必有12()()0f x f x -=，所以定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数，B 正确；对C ：对于集合{}1，12,R x x ∀∈使{}121x x -∈，则121x x =+，而()f x 是“{}1封闭”函数，则22(1)()1f x f x +-=，即R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，对于集合{}k ，12,R x x ∀∈使{}12x x k -∈，则12x x k =+，*N k ∈，而22()(1)1f x k f x k +=+-+，22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+，…，22(1)()1f x f x +=+，所以()()()()()()2222221112f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++ ，即22()()f x k f x k +=+，故21()()f x f x k -=，()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*N k ∈，C 正确；对D ，函数()f x x =，集合[1,2]A =，12,R x x ∀∈，当[]121,2x x m -=∈时，()()[]12121,2f x f x x x m -=-=∈，则函数()f x 是“[1,2]封闭”函数，而函数()f x x =是R 上的增函数，D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：对于C ，根据给定的条件得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，R x ∀∈有()()f x a f x b +=+恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 是虚数单位，化简2i1i-+的结果为__________.【答案】13i 22-【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222----===-++-.故答案为：13i 22-.14.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23和35，则密码被成功破译的概率为________．【答案】1315【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设事件A =“甲能破译密码”，事件B =“乙能破译密码”，则事件A 与B 相互独立，且23(),()35P A P B ==，则密码被成功破译的概率为：()()()()()()()()()P P AB P AB P AB P A P B P A P B P A P B =++=++23232313(1)(1)35353515=⨯+-⨯+⨯-=.故答案为：1315.15.已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=和两点(,0),(,0) (0)A m B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为_____________．【答案】8【解析】【分析】根据给定条件可得点P 是动圆222x y m +=与圆C 的公共点，再借助两圆的位置关系列式求解即得.【详解】因点P 满足90APB ∠=︒，则点P 在以线段AB 为直径的圆上(除点A ，B 外)，即点P 在以原点O 为圆心，m 为半径的圆上，于是得点P 的轨迹方程为：222(0)x y m y +=≠，又圆22:(3)(4)9C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为3，而点P 在圆C 上，即圆O 与圆C 有公共点，因此有|3|||3m OC m -≤≤+，而||5OC ==，即3535m m +≥⎧⎨-≤⎩，解得28m ≤≤，当且仅当圆O 与圆C 内切时，m =8，圆O 与圆C 外切时，m =2，所以m 的最大值为8.故答案为：816.设函数π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，且()f x 的图象在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个最高点，则ω的取值范围是____________．【答案】516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【解析】【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的π4x ω+所在的区间，解不等式组，可求得结果.【详解】πππππππ(,0(,6446444x x ωωωω∈>∴+∈++ ,()f x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，恰有两个最高点，πππ2π2π642,Z 5πππ2π+2π3π244k k k k k ωω⎧≤+<+⎪⎪∴∈⎨⎪<+≤+⎪⎩即331212,Z 228+9811k k k k k ωω⎧-≤<+⎪∈⎨⎪<≤+⎩，当0k <时，不符合题意,当0k =时，不等式组为3322911ωω⎧-≤<⎪⎨⎪<≤⎩，不等式无解，当1k =时,不等式组为2127221719ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，不等式无解，当2k =时，4551,222527.ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩得51252ω<<，当3k =时，6975223335ωω⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，得69352ω≤≤，当4k ≥时,不等式无解.ω∴∈516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：516925,,3522⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l ：2340x y -+=与直线2l ：30x y +-=的交点为M ．（1）求过点M 且与直线1l 垂直的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线3l ：250x y -+=平行的直线l '的方程．【答案】（1）3270x y +-=；（2）230x y -+=．【解析】【分析】（1）先求两条直线的交点,设所求直线斜率k ，利用点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出k ，从而确定直线方程；（2）根据直线平行求出直线的斜率,利用点斜式方程求解即可.【详解】（1）由234030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，∴1l ，2l 交点M 坐标为()1,2，∵1l l ⊥，∴直线l 的斜率32k =-，直线l 的方程为()3212y x -=--，即3270x y +-=．（2）∵3//'l l ，∴直线l '的斜率12k =，又l '经过点()1,2M ，∴直线l '的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=．18.移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．【答案】（1）56；（2）415.【解析】【分析】（1）选择套餐2和套餐3的客户数除以选择套餐1，2，3的总数即可求解；（2）按照分层抽样计算优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，再按照古典概型计算即可求解.【详解】（1）设事件A 为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则()1501005501501006P A +==++.（2）设事件B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为：1a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，从中选出2人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个．其中使得事件B 成立的有12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个．则()415P B =.故这2人获得相等优惠金额的概率为415.19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2a c C b b =-．（1）求角B ；（2）已知21b a c =-=，，求ABC 的面积．【答案】（1）π3（2）4【解析】【分析】（1）结合正弦定理及三角恒等变换，化简cos 2a c C b b=-可得cos B 的值，讨论即可得角B （2）结合余弦定理及完全平方公式，可求得ac ，即可由面积公式求得结果【小问1详解】cos ,2cos 22a c C b C a c b b=-∴=- ，由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，化简可得，sin 2sin cos C C B =，又1πsin 0,cos ,(0,π),23C B B B ≠∴=∈∴= ．【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得，2222cos b c a ac B =+-⋅，2222π()22cos ()3b c a ac ac b c a ac ∴=-+-⋅∴=-+，112,1,3,sin 32224ABC b a c ac S ac B =-=∴=∴=⋅=⨯⨯= ．20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点，OCD 是边长为1的等边三角形，且6A BCD V -=.（1）证明:OA CD ⊥;（2）若2ED AE =，求二面角B EC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4214-【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD 即可;（2）取CD 的中点G ，BC 的中点F ，连接,OF OG ，根据条件证明,,OA OF OG 两两垂直，分别以,,OF OG OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，求出平面BEC 和平面ECD 的法向量，根据公式求解即可.【小问1详解】因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.【小问2详解】取CD 的中点G ，BC 的中点F ，连接,OF OG ，因为OCD 是边长为1的等边三角形，所以OG CD ⊥，因为//OF CD ，所以OF OG ⊥，由（1）知AO ⊥平面BCD ，所以,,OA OF OG 两两垂直，分别以,,OF OG OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，因为OCD 是边长为1的等边三角形，O 为BD 的中点，所以1,120OB OC BOC ==∠= ，则30CBD ∠= ，所以BCD △为直角三角形，BC =，因为6A BCD V -=，所以1111326A BCDV AO AO-=⨯⨯=⇒=，则111,,,,,222222B C D⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为2ED AE=，即13AE AD=，设(),,E x y z，(),,1AE x y z=-，1,,122AD⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，得132,,663E⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，设平面BEC的法向量为()1,,n x y z=，()2232,,,0,333BE BC⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭，则11002200333n BC yx zn BE x y z=⎧⋅==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎩-++=⎪⎪⎩⎩，令1x=，则()11,0,1n=，设平面ECD的法向量为()2,,b cn a=，()22,,,1,0,0333EC CD⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则22002322333a an CDca b cn EC-=⎧⎧=⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨=+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，令2b=，则(20,n=，所以121212cos,14n nn nn n⋅===⋅，由图可知二面角B EC D--为钝角，则二面角B EC D--的余弦值为14-. 21.已知函数()2()log1(0,1)xaf x a kx a a=++>≠为偶函数．（1）求k的值；（2）设函数()()25f x x xg x a a+=-，若[1,2]x∀∈-，()0g x≤恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1k=-（2）(,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭U 【解析】【分析】（1）由函数()f x 为R 上的偶函数可得()()11f f -=，即可得解；（2）由（1）得2252()x x g x a a -+=，令x t a =，则2252y t t =-+，则要使[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，只需要函数x t a =的值域是不等式22520t t -+≤的解集的子集即可，再分01a <<和1a >两种情况讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ，因为函数()2()log 1(0,1)x a f x a kx a a =++>≠为偶函数，所以()()11f f -=，即()221log 1log 1a a k a k a ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭，所以()22222111log 1log 1log 221a a a a a a ak a ⎛⎫⎛⎫+-+=⋅=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎭+=⎝，解得1k =-，经检验，符合题意，所以1k =-；【小问2详解】由（1）得()2()log 1x a f x ak =+-，则()2log 12252()25x a x a x x g x a a a a +=--+=，令x t a =，则2252y t t =-+，令22520y t t =-+≤，解得122t ≤≤，要使[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，只需要函数x t a =的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集即可，当01a <<时，因为[1,2]x ∈-，所以21,x t a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2121201a aa ⎧≥⎪⎪⎪≤⎨⎪<<⎪⎪⎩，解得12a ≤<，当1a >时，则21,x t a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则211221a a a ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，解得1a <≤综上所述，a的取值范围为(2,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭U ．【点睛】关键点点睛：将[1,2]x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，转化为函数x t a =的值域是不等式22520t t -+≤的解集的子集，是解决本题的关键.22.已知圆O 的方程为2216x y +=，直线l 与圆O 交于,R S两点．（1）若坐标原点O 到直线的距离为32，且l 过点(3,0)M ，求直线l 的方程；（2）已知点(4,0)P -，Q 为RS 的中点，若,R S 在x 轴上方，且满足π4OPR OPS ∠+∠=，在圆O 上是否存在定点T ，使得PQT △的面积为定值？若存在，求出PQT △的面积；若不存在，说明理由．【答案】（1）30x -=；（2）存在点(0,4)T ，使PQT S △为定值8.【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为：3x my =+，根据原点O 到直线的距离为32，解出m 的值即可；（2）设1122(,),(,)R x y S x y ，直线RS 的方程为：y kx b =+，利用韦达定理及π4OPR OPS ∠+∠=，可得1k =-，(,)(0)22b b Q b >，从而得点Q 的轨迹为(0y x x =<<，设T ππ(4cos ,4sin ),[0,)(,π)(π,2π)44θθθ∈⋃⋃，可得PQT S =π|1]8sin |4b θθ++-，再根据三角函数的性质即可得解.【小问1详解】解：设直线l 的方程为：3x my =+，因为原点O 到直线的距离为32，32=，解得m =，所以直线l的方程为30x ±-=；【小问2详解】解：设1122(,),(,)R x y S x y ，直线RS 的方程为：y kx b =+，由2216x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，可得222(1)2160k x kbx b +++-=，则22222244(1)(16)4(1616)0k b k b k b ∆=-+-=-+>，2121222216,11kb b x x x x k k -+=-=++，所以12121222()21b y y kx b kx b k x x b k +=+++=++=+，因为,R S 在x 轴上方，所以120y y +>，所以0b >，又因为Q 为RS 的中点，所以22(,)11kb b Q k k -++，又因为11tan 4y OPR x ∠=+，22tan 4y OPS x ∠=+，所以πtan()tan14OPR OPS ∠+∠==，即12121212441144y y x x y y x x +++=-⋅++，整理得：12211212(4)(4)(4)(4)y x y x x x y y +++=++-，又因为1122,y kx b y kx b =+=+，整理得：221212(21)(44)()8160k k x x k b kb x x b b +-++-++++-=，代入2121222216,11kb b x x x x k k -+=-=++，化简得(1)4(1)b k k k +=+，所以4b k =或1k =-，当4b k =时，直线RS 过定点(4,0)-不符题意，所以1k =-，所以(,0)22b b Q b >，所以点Q 在直线y x =上，即点Q的轨迹为(02y x x =<<，所以直线:PQ 2(4)42by x b =++，即(4)8b y x b =++，(8)40bx b y b -++=且||PQ =，假设存在满足条件的点T ，其坐标为ππ(4cos ,4sin ),[0,(,π)(π,2π)44θθθ∈⋃⋃，则点T 到直线PQ的距离d ==，所以1||2PQT S PQ d =⋅⋅12=1|4cos 4(8)sin 4|24b b b θθ-++==|cos sin 8sin ||(cos sin 1)8sin |b b b b θθθθθθ=--+=-+-π|)1]8sin |4b θθ=++-，π104θ++=，即πcos()42θ+=-，π3π44θ+=，π2θ=时，PQT S △为定值8，此时T 的坐标为(0,4)，所以存在点(0,4)T ，使PQT S △为定值8.【点睛】关键点睛：本题的关键是得出点Q的轨迹，为后面设点Q的坐标和求Q的坐标作好铺垫.。

上学期期中考试高二数学理试题（时量 120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆x y 22+4=4的离心率是(A)A.2 B. 42 C. 34 D. 12【解析】A2. 给出下列四个命题：其中真命题的是（C ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；B. 命题“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”；C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；D. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件.【解析】 A 为假命题，“若21x =，则1x =”的否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”； B 为假命题，“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定应为“2,10x R x x ∀∈+-≥”；C 正确； D 为假命题，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件.选C.3. 样本中共有五个个体，其值分别为,0,1,2,3a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（D ）65【解析】D4已知命题:p x R ∃∈，使sin 2x =命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论： ①命题“p q ∧”是真命题，②命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，③命题“p q ⌝∨”是真命题，④命题“p q ∧⌝”是假命题.其中正确的个数是（B ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确，选B. 5．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程a x b y ˆˆ+=中的b 为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ C ）A. 72.0万元B. 67. 7万元C.65.5万元D.63.6万元【解析】由表可计算2745324=+++=x ,42454392649=+++=y ,因为点)42,27(在回归直线a x b yˆˆˆ+=上,且b ˆ为9.4，所以42 =9.4×a ˆ27+, 解得a ˆ= 9.1,故回归方程为1.94.9ˆ+=x y, 令x =6得=y ˆ65.5,选C. 6．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线2211312x y -=的右焦点，则此抛物线的方程是（D ） A. 22y x = B. 24y x = C ．210y x = D. 220y x =【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，因为双曲线2211312x y -=的右焦点是(5,0)，则52p=，即10p =，所以抛物线方程为220y x =，选D. 7．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为(B) A ．2B ．6C ．3D ．8【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选B8．已知抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线mx y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ A ）A ．23B ．2C ．25D ．3【解析】22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 222212121212132()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==选A 二、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)9．在边长为2的正方形内随机地取一点，则该点到正方形中心的距离小于1的概率为4π. 【解析】边长为2的正方形内，所有到正方形中心的距离小于1的点均在以正方形中心为圆心的单位圆内，故所求概率为该圆与该正方形的面积之比，故其概率为4π. 10. 双曲线y 2-4x 2=64上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则P 到它的另个焦点的距离等于为 17 . 【解析】1711. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .【解析】10 列表分析12. 已知定圆221:(2)49C x y ++=定圆222:(2)1C x y -+=动圆M 与圆1C 内切和2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ______【解析】2211612x x += 13．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 ______【解析】()2,214．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是____②__③_____【解析】2(,),x y a 设曲线上任意点P 曲线C 如果经过原点，1a =，与条件不符①错；若(x,y)在曲线上则(-x.-y)也在曲线上,故曲线C 关于原点对称 ②对;三角形12F F P 的面积12S =12||||PF PF 121sin 2F PF ∠≤12||||PF PF =22a ③对.15. 若双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线C 2：y 2= 2px (p >0)的一个交点在x 轴上的射影在抛物线C 2的焦点的右侧，则双曲线C 1的离心率的取值范围是 .【解析】取双曲线C 1的一条渐近线方程y =x ab与抛物线C 2的方程y 2 = 2px 联立，求得两交点的横坐标分别为0，222b pa ，依题意有222bpa >2p ，故b 2<4a 2，所以e <5，故其离心率的取值范围是(1, 5).三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知0>a ,设命题:p 函数xa y =在R 上单调递减，:q 设函数⎩⎨⎧<≥-=)2(,2)2(,22a x a a x a x y , 函数1>y 恒成立,若p ∧q 为假, p ∨q 为真,求a 的取值范围. 【解析】若p 是真命题, 则10<<a 若q 是真命题,即1min >y ，又a y 2min = ∴21a > ∴q 为真命题时12a >； 又∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假． 若p 真q 假, 则210≤<a ; 若p 假q 真, 则1≥a故a 的取值范围为10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦或[)1,+∞17．（本小题满分12分）已知动圆M 过定点F(2,0)，且与直线2x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C 的方程(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于A,B 两点，求AB 【解析】(1)依题意知动圆圆心M 的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线，其方程为28y x = (2) 依题意直线AB 的方程为y=x-2,代入方程y 2=8x 得x 2-12x+4=0,得1212x x += 故AB =12416x x ++= 18．（本小题满分12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,M p 及图中a 的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.【解析】（1）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.40.1040m p M ===. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.（2）因为该校高二学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为11411515P =-=. 19．（本小题满分12分）P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，12,F F 为左、右焦点，如图所示． (1)若1PF 的中点为M ，求证:1152MO PF =-(2)若01260F PF =，求|PF 1|·|PF 2|之值；(3)椭圆上是否存在点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，若存在， 求出P 点的坐标，若不存在，试说明理由【解析】(1)证明：在△F 1PF 2中，MO 为中位线， ∴|MO |＝|PF 2|2＝2a －|PF 1|2＝a －|PF 1|2＝5－12|PF 1|.(2)解：∵ |PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100－2|PF 1|·|PF 2|，在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝100－2|PF 1|·|PF 2|－36，∴|PF 1|·|PF 2|＝643. (3)设点P (x 0，y 0)，则x 2025＋y 2016＝1.①易知F 1（-3，0），F 2（3，0），故PF 1＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2＝(－3－x 0，－y 0)，∵PF 1·PF 2=0，∴x 20－9＋y 20＝0，②由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P 不存在．P2(-5,9)20．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）。

湖南省长沙县第六中学高二上学期第一次阶段性考试数学（理）试题（无答案）高二(文科)数学试卷总分值：150分 时量：120分钟一、选择题〔此题共12小题，共5×12=60分〕1、等比数列 32, 16, 8, 4, 2，1 的公比q 是〔 〕A. -2B. 12 C. 1 D. 22、公比为1的等比数列一定是 〔 〕A 、递增数列B 、摆动数列C 、递减数列D 、非零常数列3．设,,a b c R ∈，且a b >，那么以下不等式成立的是〔 〕A. 22a b >B. 22ac bc >C. a c b c +>+D. 11a b <4、在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，那么n 为 〔 〕A. 6B. 5C. 4D. 35、在1和9的中间拔出一个数A ，使得1，A ，9成等比数列，那么A=〔〕 A ．3 B ．5 C ．3- D ．3±6、等差数列{a n }中，1742a a += ， 那么前7项的和7S 等于〔 〕A 、 21B 、42C 、84D 、1477、等比数列公比1q ≠，那么以下哪个不是．．它的前n 项和公式〔 〕A ．()111n a q q --B ．11na a q -- C ．111n a a q +-- D ．11n a a qq --8、假设－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么〔 〕A b=3，ac=9B b=－3，ac=9C b=3，ac=－9D b=－3，ac=－99、在等差数列{}n a 中有342a a +=，566a a +=，那么89a a +=〔 〕A ．8B ．10C ．12D ．1410、不等式()200ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么〔 〕A ．0a >且0∆≤B ．0a >且0∆<C ．0a <且0∆>D ．0a <且0∆≤11、.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，那么3132310log log log a a a +++＝〔 〕A ．12B ．10C ．8D ．612、数列1，1＋2，1＋2＋22，…，211+2+2++2n -，…的前n 项和为( )A ．122n n +--B ．12n n +-C ．2n －nD ．2n二、填空题〔此题共4小题，共5×4=20分〕13、数列－1，3，－5，7，…的一个通项公式是：n a = 。

湖南省长沙市高二上学期数学第一次阶段考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·辽宁期中) 设P={质数}，Q={偶数}，则P∩Q等于（）A . {2}B . 2C . ND . ∅2. （2分） (2019高一下·邢台月考) 若，且，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于（）A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°4. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（）A .D .5. （2分）在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于（）A . 15B . 12C . 9D . 66. （2分）若实数x,y满足,则z=x+2y的最小值是（）A . 0B .C . 1D . 27. （2分）(2020·洛阳模拟) 圆关于直线对称，则的最小值是（）A . 1B . 3C . 5D . 98. （2分）等差数列公差为2，若，，成等比数列，则等于（）C . -8D . -109. （2分）已知约束条件对应的平面区域如图所示，其中对应的直线方程分别为：，若目标函数仅在点处取到最大值，则有（）A .B .C .D . 或10. （2分）已知向量，若，则m+n的最小值为（）A .B . -1C . -1D .11. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f （-1）=3，数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an）（n∈N*），则f（a36）+f（a37）=（）A .D . 312. （2分） (2019高三上·吉林月考) 若数列满足：且，则（）A .B . -1C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高三上·天津期末) 设是等差数列，若，，则 ________；若，则数列的前项和 ________.14. （1分） (2018高一下·攀枝花期末) 若等腰的周长为3，则的腰上的中线的长的最小值为________．15. （1分）依次写出数列a1=1、a2、a3…，法则如下：若an﹣2为自然数，则an+1=an﹣2，否则an+1=an+3．则a6=________．16. （1分）已知：x∈（0，+∞），观察下列式子：x+≥3…类比有x+，则a的值为________三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分） (2016高一下·钦州期末) 已知数列{an}为等差数列，且a1=1．{bn}为等比数列，数列{an+bn}的前三项依次为3，7，13．求（1）数列{an}，{bn}的通项公式；（2）数列{an+bn}的前n项和Sn．18. （10分）(2020·海南模拟) 已知数列的前项和为，且.（1）证明：数列为常数列.（2）求数列的前项和 .19. （10分） (2018高二下·邯郸期末) 如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.20. （10分）在锐角△ABC中，=（1）求角A；（2）若a=，求bc的取值范围．21. （2分） (2016高二上·商丘期中) 在公比为正数的等比数列{an}中，，，数列{bn}（bn＞0）的前n项和为Sn满足（n≥2），且S10=100．（ I）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（ II）求数列{anbn}的前n项和为Tn ．22. （10分） (2018高二上·济宁月考) 数列中，，当时，其前项和满足．（1）求的表达式；（2）设＝ ,求数列的前项和．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共52分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

湖南省长沙市2017-2018学年高二数学上学期第一阶段检测试题（无答案）一、选择题：（10×5）1．下列赋值语句错误的是( ).A ．i ＝i －1B ．m ＝m 2＋1C ．k ＝－1kD ．x*y ＝a2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,0 a ＝1b ＝3a ＝a ＋b b ＝a －bPRINT a ，b3．下列各进位制数中，最大的数是( )A ．11111(2)B ．1221(3)C ．312(4)D ．56(8)4、阅读图所示的程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S ＝2*iD ．S ＝2*i ＋45．林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A ．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 6．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)．若第16组抽出的号码是126，则第1组抽出的号码是( )A ．4B ．5C ．6D ．77． 一组数据中的每一个数据都乘2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( ) A ．40.6,1.1 B ．48.8,4.4C ． 81.2,44.4 D ．78.8,75.68．红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥事件但不是对立事件D ．以上答案都不对9．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A ．43B ．83C ．23D ．无法计算 10、从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A ．70.09B ．70.12C ．70.55D ．71.05二、填空题（5×5）11、217与155的最大公约数是________．12、用秦九韶算法计算多项式f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64 当x ＝2时的值时，v 4的值为________．13、已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |等于14．一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12，设其平均值为m ，中位数为n ，众数为p ，则有m ，n ，p 的大小关系为________．15．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，若在区间[12，2]上随机取一点，则使得f (x 0)≥0的概率为________． 三、解答题： 16．(12分) 求数列1，211+，3211++，…，n+++ 211前n 项的和.17．(12分) 已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值．(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少？ (3)写出程序框图的程序语句．18．(12分) 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图：(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；(2)求频率分布直方图中的a ，b 的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)19．(13分) PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值茎叶图如图(十位为茎，个位为叶)，若从这6天的数据中随机抽出2天，(1)求恰有一天空气质量超标的概率； (2)求至多有一天空气质量超标的概率．20、(13分) 已知方程222(3)x y t x +-+22(14)t y +-41690t ++=表示一个圆。

命题: 吴余林 （2012.10.6）一、选择题：本大题共8*5分=40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1．命题“2,12x R x x ∃∈+<”的否定为 ( ) DA ．2000,12x R x x ∃∈+≥ B ．2,12x R x x ∀∈+<C ．不存在实数x ，212x x +≥ D ．2,12x R x x ∀∈+≥2．在抛物线22y px =上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ）C A.0.5 B.1 C. 2 D. 43．已知有相同两焦点12,F F 的椭圆2215x y +=和双曲线2213x y -=，P 是它们的一个交点，则12F PF ∆的形状是 （ ） BA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝有三角形D ．等腰三角形4．若椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是 （ ）D A ．20x y -= B ．240x y +-= C ．213140x y +-= D ．280x y +-=5．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补．记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的 ( ) 条件 CA ．必要不充分B ．充分而不必要C ．充要D ．既不充分也不必要 6.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且PA PB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）AA ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点是“点”7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，作渐近线x a by =的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) C A ．21<<e B ．21<<e C ．2>e D ．2>e8．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为 （ ）B A ．ab a 222+B ．22b a a + C ．ab D ．ba二、填空题：本大题共7小题*5分=35分．9．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离是3，则P 到另一个焦点的距离是_____．710．椭圆）0(022<<=++b a ab by ax 的焦点坐标是______________．11．过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于___________．812．与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是 ．221416y x -= 13．长为3的线段AB 的端点,A B 分别在,x y 轴上移动，动点(,)C x y 满足2=，则动点C 的轨迹方程是 ．14122=+y x 14．已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为1- 15．（1）已知1y x=的图象为双曲线，在双曲线的两支上分别取点,P Q ，则线段PQ 的最小值为 ；（2）已知1y x=-的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点,P Q ，则线段PQ 的最小值为 。

HY2021-2021学年度第一(dìyī)学期第一次学段考试高二数学〔理〕试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分，只有一个正确选项〕1．的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，那么ABC的周长是〔〕A．B．6 C．D．122．双曲线的一个焦点坐标为〔〕A. B. C. D.3．抛物线的准线方程是，那么的值是〔〕A. B. C. 4 D.4．中心在原点的双曲线的一个顶点为，虚轴长为2．那么双曲线C的方程为( )A. B． C． D．5．椭圆，长轴在轴上. 假设焦距为，那么等于〔〕A. B. C. D. 6．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点一样，离心率为，那么此椭圆的方程为〔〕A．B．C．D．7．相距(xiāngjù)1千米的甲、乙两地，听到炮弹爆炸的时间是相差2秒，那么炮弹爆炸点的轨迹可能是〔〕A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线8．过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,假设,那么椭圆的离心率为〔〕A. B. C. D.9．假设点到双曲线的一条渐近线的间隔为，那么双曲线的离心率为〔〕A.2B.C.22D.23 10．P为椭圆上的点，是两焦点，假设，那么的面积是〔〕A. B. C.43 D.11．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，那么的值是〔〕A. B. C. D.12．抛物线上的点到直线(zhíxiàn)间隔的最小值是〔〕A. B. C. D.二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．假设是双曲线左支上一点，那么的取值范围是；14．抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为y ，且焦点在直线上．那么抛物线C的方程为；15．直线过抛物线的焦点，且与抛物线C交于两点〔点A在x轴的上方〕，假设，那么；16．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，那么椭圆E的离心率的取值范围是_________.三、解答题〔一共70分，写出必要的步骤〕17．〔本小题一共10分〕如下图，在ABC∆的周长为∆中，，且ABC 20．建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．CA B18．〔本小题一共(yīgòng)12分〕点,A B的坐标分别是，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．19．〔本小题一共12分〕点P是椭圆一点，F为椭圆C 的一个焦点，的最小值为，最大值为．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕直线被椭圆C截得的弦长为，求m的值．20．〔本小题一共12分〕双曲线C与双曲线有一共同的渐近线，且过点．〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕假设直线与双曲线C左支交于,A B两点，求的取值范围；21．〔本小题一共(yīgòng)12分〕F 为抛物线的焦点，过F垂直于x 轴的直线被C 截得的弦的长度为4． 〔1〕求抛物线C 的方程； 〔2〕过点，且斜率为的直线被抛物线C 截得的弦为，假设点F 在以AB 为直径的圆内，求m 的范围．22．〔本小题一共12分〕椭圆的左、右焦点为别为、，且过点和.〔1〕求椭圆的HY 方程；〔2〕如图，点A 为椭圆上一动点〔非长轴端点〕，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点C ，求ABC 面积的最大值．一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CCDDCB BDAACBxyO1F 2FCBA二、填空题 13.14.15.16.三、解答(ji ěd á)题17.解：以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如下图，那么A (－3，0)，B (3，0)．因为||6AB =，且ABC ∆的周长为20，所以|AC |+|BC |＝20-6=14>6. 〔5分〕由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为14的椭圆(除去与x 轴的交点)．所以a ＝7，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝40即所求轨迹方程为. 〔10分〕18.解：设动点M 〔x,y 〕,那么，整理得，即. 〔3分〕(1)当m ＝-1时，，表示圆心在原点，半径为2的圆； 〔6分〕(2)当-4m>0即m<0且时，方程221(2)4-4x y x m+=≠±，表示椭圆〔除去与x 轴两个交点〕； 〔9分〕(3)当-4m ＜0即m ＞0时，方程为221(2)4-4x y x m+=≠±，表示的双曲线〔除去与x 轴两个交点〕. 〔12分〕 19.解：〔1〕由题意可知，所以椭圆方程为. 〔4分〕〔2〕设直线(zh íxi àn)l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立得,, 又，〔8分〕|MN|＝1＋k2·〔x1＋x2〕2－4x1·x2＝423，整理得∴m＝±1，符合题意.综上，m＝±1. 〔12分〕20.解：〔1〕设双曲线C的方程为，把点(2,2)代入可得，所以双曲线C的方程为。

新干二中高二年第一次段考数学试题（理侧、理普）试卷一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1、 已知直线 x － 3y － 2＝0，则该直线的倾斜角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所形成的几何体包含A. 一个圆台、两个圆锥B. 两个圆台、一个圆柱C. 两个圆台、一个圆锥D. 一个圆柱、两个圆锥3、点 P 为 ABC 所在平面外一点， PO ⊥平面 ABC ，垂足为 O,若 PA=PB=PC ，则点 O 是 ABC 的A. 心里B. 外心C. 重心D.垂心4、以下四个命题中错误的个数是（）①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．5、点 P(2 ， m)到直线 l ： 5x －12y ＋ 6＝0 的距离为 4，则 m 的值为 ( )． 1．－ 3．1 或5．－ 3 或17ABC3 D36、假如一个水平搁置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是A. B. C.D.7、某几何体的三视图以以以下图，则该几何体的体积是A.B.C.D.7题图8题图8、如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两点，且的长为定值，则下边四个值中不是定值的是A. 点到平面的距离B. 直线与平面所成的角C. 三棱锥的体积D.的面积9、设是两条直线，是三个平面，以下推导错误的选项是（）A．B．C．D．10、已知三棱锥D－ ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝ AC＝3，BC＝ 2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为()A.331B. 3C． 01D．－ 211、三棱锥A— BCD中， AC底面BCD, BD DC， BD=DC， AC=a，∠ ABC=30o，则点 C 到平面ABD的距离是A. B. C. D.12 、已知三棱锥的全部极点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为A. 3二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13、若直线 (m＋ 1)x － y－ (m＋5) ＝ 0 与直线 2x－my－ 6＝ 0 平行，则m＝ ________.14、如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是______15、如图，已知正三棱锥P—ABC，侧棱 PA， PB，PC的长为 2，且∠ APB=30o,E ， F 分别是侧棱PC，PA 上的动点，则△ BEF的周长的最小值为______________16、已知m、l 是直线，、是平面，给出以下命题：①若 l 垂直于内两条订交直线，则。

湖南省长沙市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·黄山月考) 已知命题p： x1,x2 R,(f(x2) f(x1))(x2 x1)≥0,则p是（）A . x1,x2 R,(f(x2) f(x1))(x2 x1)≤0B . x1,x2 R,(f(x2) f(x1))(x2 x1)≤0C . x1,x2 R,(f(x2) f(x1))(x2 x1)<0D . x1,x2 R,(f(x2) f(x1))(x2 x1)<02. （2分）下列四种说法：①命题“x∈R，使得x2＋1＞3x”的否定是“x∈R，都有x2＋1≤3x”；②设p、q是简单命题，若“”为假命题，则“” 为真命题；③把函数的图像上所有的点向右平移个单位即可得到函数的图像．其中所有正确说法的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①②③3. （2分）下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 0个4. （2分）设数列{an}是等比数列，则“a1<a2<a3"是“数列{an}为递增数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2018高二上·沈阳期末) 已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则（）A . -4B .C . 4D . 66. （2分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1 ， F2 ，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2 ， |MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·大庆期中) 设双曲线的离心率e=2，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2 ，则点P（x1 ， x2）满足（）A . 必在圆x2+y2=2内B . 必在圆x2+y2=2外C . 必在圆x2+y2=2上D . 以上三种情形都有可能8. （2分） P为双曲线右支上一点，F1 ， F2分别是双曲线的左焦点和右焦点，过P点作PH⊥F1F2 ，若PF1⊥PF2 ，则PH=（）A .B .C .D .9. （2分）抛物线的焦点为F，其上的动点M在准线上的射影为M，若是等边三角形，则M的横坐标是（）A .B . pC .D . 3p10. （2分） (2017高二下·普宁开学考) F1 ， F2分别是双曲线﹣ =1（a，b＞0）的左右焦点，点P在双曲线上，满足 =0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . +1D . +111. （2分）设是的相反向量，则下列说法错误的是（）A . 与的长度必相等B . ∥C . 与一定不相等D . +=12. （2分）已知双曲线 =1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2 ．则双曲线的离心率是（）A .B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·湘东期末) 已知F是抛物线x2=4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为（0，﹣1），则的最小值等于________．14. （1分）已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥ex ，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________15. （1分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．16. （1分）(2018·鄂伦春模拟) 设为椭圆上在第一象限内的一点，，分别为左、右焦点，若，则以为圆心，为半径的圆的标准方程为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）设， Xn是曲线y=X2n+2+1在点（1,2）处的切线与x轴焦点的横坐标（1）求数列｛xn｝的通项公式；（2）记Tn=....,证明Tn18. （10分） (2018高二下·河南期中) 设命题实数满足，命题实数满足 .（1）若，为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19. （5分） (2017高三上·张掖期末) 已知椭圆： + =1（a＞b＞0），离心率为，焦点F1（0，﹣c），F2（0，c）过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△F2MN的周长为4．（I）求椭圆方程；（II）与y轴不重合的直线l与y轴交于点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B且=λ ．若+λ =4 ，求m的取值范围．20. （10分）如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E；设，，其中0＜m≤1，0＜n≤1．（1）求表达式的值，并说明理由；（2）求△ADE面积的最大和最小值，并指出相应的m、n的值．21. （10分） (2019高二上·哈尔滨月考) 已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．22. （10分）(2018·江西模拟) 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以点为圆心，以3为半径的圆与以点为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.设点，在中， .（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线不经过点，且与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率分别为，，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。