2013届高考文科数学一轮复习课时作业(14)导数与函数单调性

课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

课时作业14　导数与函数的单调性一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　B )A ．f (x )＝sin2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：对于A ，f (x )＝sin2x 的单调递增区间是(k ∈Z )；对[k π－π4，k π＋π4]于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >或33x <－，∴函数f (x )＝x 3－x 在和上单调递增；对于33(－∞，－33)(33，＋∞)D ，f ′(x )＝－1＋＝－，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 1x x －1x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，故选B.2．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是(　B )A. B.(1e ，e )(0，1e )C.D.(－∞，1e )(1e，＋∞)解析：因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·＝ln x ＋1，令f ′(x )<0，解得0<x <，故f (x )的单调递减区间是1x 1e .(0，1e )3．(2019·河南新乡二模)若函数y ＝在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )f (x )ln x 为P 函数．下列函数中为P 函数的为(　B )①f (x )＝1；②f (x )＝x ；③f (x )＝；④f (x )＝.1x x A ．①②④ B ．①③C ．①③④D ．②③解析：x ∈(1，＋∞)时，ln x >0，x 增大时，，都减小，1ln x 1x ln x ∴y ＝，y ＝在(1，＋∞)上都是减函数，∴f (x )＝1和f (x )＝都是P 函数；1ln x 1x ln x 1x ′＝，∴x ∈(1，e)时，′<0，x ∈(e ，＋∞)时，′>0，即(x ln x )ln x －1(ln x )2(x ln x )(xln x )y ＝在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )＝x 不是P 函数；xln x ′＝，∴x ∈(1，e 2)时，′<0，x ∈(e 2，＋∞)时，(x ln x )ln x －22x (ln x )2(xln x )′>0，即y ＝在(1，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，∴f (x )(xln x )xln x ＝不是P函数．故选B.x 4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是(　C )解析：由题图知当0<x <1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减．当x >1时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增．所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C 项．5．已知函数f (x )＝x 2－t cos x ，若其导函数f ′(x )在R 上单调递增，则实12数t 的取值范围为(　C )A.B.[－1，－13][－13，13]C ．[－1,1]D.[－1，13]解析：因为f (x )＝x 2－t cos x ，所以f ′(x )＝x ＋t sin x .令g (x )＝f ′(x )，因12为f ′(x )在R 上单调递增，所以g ′(x )＝1＋t cos x ≥0恒成立，所以t cos x ≥－1恒成立，因为cos x ∈[－1，1]，所以Error!所以－1≤t ≤1，即实数t 的取值范围为[－1,1]．6．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为(　A )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x .由已知f (x )>1－f ′(x )，可得g ′(x )>0在R 上恒成立，即g (x )是R 上的增函数．因为f (0)＝0，所以g (0)＝－1，则不等式e x f (x )>e x －1可化为g (x )>g (0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．7．已知函数y ＝f (x )对于任意x ∈满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其(－π2，π2)中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是(　A )A.f <fB.f <f 2(π3)(π4)2(－π3)(－π4)C ．f (0)<fD ．f (0)<2f 2(π4)(π3)解析：构造F (x )＝形式，f (x )cos x 则F ′(x )＝，f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos2x∵f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )在上单调递增．把选(－π2，π2)项转化后可知选A.二、填空题8．函数f (x )＝ln x －x 2－x ＋5的单调递增区间为.12(0，5－12)解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝－x －1>0可解得1x 0<x <.5－129．(2019·湖北襄阳调研)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，f (0)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为(0，＋∞)．解析：令F (x )＝，则F (0)＝1，f (x )e x F ′(x )＝＝<0，f ′(x )e x －f (x )e xe2xf ′(x )－f (x )e x故F (x )为R 上的减函数，有f (x )<e x 等价于F (x )<1，即F (x )<F (0)．故不等式f (x )<e x 的解集为(0，＋∞)．10．(2019·陕西渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4①，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·＝－1，(－19)即3a ＋2b ＝9②.联立①②两式解得a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2.∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3.三、解答题11．(2019·云南玉溪模拟)已知函数f (x )＝x ln x .(1)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，讨论函数g (x )的单调性；(2)若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，求直线l 的方程．解：(1)∵f (x )＝x ln x ，∴g (x )＝f (x )－a (x －1)＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a .由g ′(x )<0，得ln x ＋1－a <0，解得0<x <e a －1；由g ′(x )>0，得ln x ＋1－a >0，解得x >e a －1.∴g (x )在(0，e a －1)上单调递减，在(e a －1，＋∞)上单调递增．(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0ln x 0，切线的斜率为ln x 0＋1.∴切线l 的方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)．又切线l 过点(0，－1)，∴－1－x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(0－x 0)，即－1－x 0ln x 0＝－x 0ln x 0－x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1.12．(2019·山东枣庄调研)已知函数f (x )＝x e x －a(a ∈R )．(12x 2＋x )(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程；(2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间．解：(1)a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝2e.又f (1)＝e ，所以y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)f ′(x )＝(x ＋1)(e x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝ln a .①当a ＝时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在R 上单调递增．1e ②当0<a <时，ln a <－1，由f ′(x )>0，得x <ln a 或x >－1；由f ′(x )<0，1e 得ln a <x <－1，所以单调递增区间为(－∞，ln a )，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a ，－1)．③当a >时，ln a >－1，由f ′(x )>0，得x <－1或x >ln a ；由f ′(x )<0，得1e －1<x <ln a ，所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a )．综上所述，当a ＝时，f (x )在R 上单调递增；当0<a <时，单调递增区1e 1e 间为(－∞，ln a )，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a ，－1)；当a >时，单调1e 递增区间为(－∞，－1)，(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a )．13．设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋<4x ，若f (m ＋1)≤f (－m )12＋4m ＋2，则实数m 的取值范围是(　A )A. B.[－12，＋∞)[－32，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：令F (x )＝f (x )－2x 2，因为F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－4x 2＝0，所以F (－x )＝－F (x )，故F (x )＝f (x )－2x 2是奇函数．则当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＝f ′(x )－4x <－<0，故函数F (x )＝f (x )－2x 2在(－∞，0)上单调递减，12故函数F (x )在R 上单调递减．不等式f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2m 2，即F (m ＋1)≤F (－m )，由函数的单调性可得m ＋1≥－m ，即m ≥－.故选A.1214．(2019·西安八校联考)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )<0，若a ＝f (0)，b ＝f ，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是(12)b >a >c .解析：解法1：因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为(x －1)f ′(x )<0.所以当x >1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增．据此，可画出一个符合题意的函数f (x )的大致图象，如图所示．因为a ＝f (0)是图中点A 的纵坐标，b ＝f ()是图中点B 的纵坐标，c ＝f (3)12是图中点C 的纵坐标，故由图可得b >a >c .解法2：因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为(x －1)f ′(x )<0，所以当x >1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增．取符合题意的函数f (x )＝－(x －1)2，则a ＝f (0)＝－1，b ＝f ()12＝－，c ＝f (3)＝－4，故b >a >c .14 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)π是圆周率，e 是自然对数的底数，在3e ，e 3，e π，π3,3π，πe 六个数中，最小的数与最大的数分别是(　A )A ．3e,3πB ．3e ，e πC ．e 3，π3D ．πe,3π解析：构造函数f (x )＝，f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x )＝ln xx ，当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 1－ln xx 2时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．∵e<3<π，∴eln3<elnπ，πlne<πln3，即ln3e <lnπe ，lne π<ln3π.又函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，故3e <πe <π3，e 3<e π<3π，故这六个数中的最大数为π3或3π，由e<3<π及函数f (x )＝的单调性，得f (π)ln xx <f (3)<f (e)，即<<，由<，得lnπ3<ln3π，∴3π>π3，在ln ππln33lne e ln ππln333e ，e 3，e π，π3,3π，πe 六个数中的最大的数是3π，同理得最小的数为3e .故选A.16．(2019·重庆六校联考)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋(a －1)ln x .12(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1>x 2，恒有f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x －a ＋＝a －1x x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]，1x ①若a >2，由f ′(x )>0，得0<x <1或x >a －1，由f ′(x )<0，得1<x <a －1，则f (x )在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减；②若a ＝2，则f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③若1<a <2，由f ′(x )>0，得0<x <a －1或x >1，由f ′(x )<0，得a －1<x <1，则f (x )在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增，在(a －1,1)上单调递减；④若a ≤1，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．综上，若a >2，则f (x )在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减；若a ＝2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若1<a <2，则f (x )在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增，在(a －1,1)上单调递减；若a ≤1，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．(2)f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1⇔f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，令F (x )＝f (x )＋x ＝x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x ，12对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1>x 2，恒有f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1等价于函数F (x )在(0，＋∞)上是增函数．f ′(x )＝x －a ＋1＋＝[x 2－(a －1)x ＋a －1]，a －1x 1x 令g (x )＝x 2－(a －1)x ＋a －1，当a －1<0，即a <1时，x ＝<0，故要使f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒a －12成立，需g (0)≥0，即a －1≥0，a ≥1，无解．当a －1≥0，即a ≥1时，x ＝≥0，故要使f ′(x )≥0在(0，＋∞)上a －12恒成立，需g ()≥0，即()2－(a －1)·＋a －1≥0，化简得(a －1)a －12a －12a －12(a －5)≤0，解得1≤a ≤5.综上，实数a 的取值范围是[1,5]．。

课时作业14 导数与函数的单调性一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( B ) A ．f (x )＝sin2x B ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－x D ．f (x )＝－x ＋ln x解析：对于A ，f (x )＝sin2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，故选B.2．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 解析：因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1e .3．(2019·某某某某二模)若函数y ＝f xln x在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )为P 函数．下列函数中为P 函数的为( B )①f (x )＝1；②f (x )＝x ；③f (x )＝1x；④f (x )＝x .A ．①②④B ．①③C ．①③④D ．②③解析：x ∈(1，＋∞)时，ln x >0，x 增大时，1ln x ，1x ln x 都减小，∴y ＝1ln x ，y ＝1x ln x在(1，＋∞)上都是减函数，∴f (x )＝1和f (x )＝1x 都是P 函数；⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′＝ln x －1ln x 2，∴x ∈(1，e)时，⎝⎛⎭⎪⎫x ln x ′<0，x ∈(e ，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′>0，即y ＝x ln x 在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )＝x 不是P 函数；⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′＝ln x －22x ln x2，∴x ∈(1，e 2)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′<0，x ∈(e 2，＋∞)时，⎝⎛⎭⎪⎫x ln x ′>0，即y ＝x ln x 在(1，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，∴f (x )＝x 不是P 函数．故选B.4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( C )解析：由题图知当0<x <1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减． 当x >1时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增． 所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C 项．5．已知函数f (x )＝12x 2－t cos x ，若其导函数f ′(x )在R 上单调递增，则实数t 的取值X 围为( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 解析：因为f (x )＝12x 2－t cos x ，所以f ′(x )＝x ＋t sin x .令g (x )＝f ′(x )，因为f ′(x )在R 上单调递增，所以g ′(x )＝1＋t cos x ≥0恒成立，所以t cos x ≥－1恒成立，因为cos x∈[－1，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ≥－1，t ≥－1，所以－1≤t ≤1，即实数t 的取值X 围为[－1,1]．6．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e xf (x )>e x－1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( A )A ．(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－1，＋∞)解析：设g (x )＝e xf (x )－e x，则g ′(x )＝e xf (x )＋e xf ′(x )－e x.由已知f (x )>1－f ′(x )，可得g ′(x )>0在R 上恒成立，即g (x )是R 上的增函数．因为f (0)＝0，所以g (0)＝－1，则不等式e xf (x )>e x－1可化为g (x )>g (0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．7．已知函数y ＝f (x )对于任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( A )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 C ．f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D ．f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3解析：构造F (x )＝f xcos x形式， 则F ′(x )＝f ′x cos x ＋f x sin xcos 2x， ∵f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增．把选项转化后可知选A.二、填空题8．函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为⎝⎛⎪⎫0，5－12.解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.9．(2019·某某襄阳调研)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，f (0)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为(0，＋∞)．解析：令F (x )＝f xex，则F (0)＝1，F ′(x )＝f ′x e x －f x e x e2x＝f ′x －f xex<0，故F (x )为R 上的减函数，有f (x )<e x等价于F (x )<1，即F (x )<F (0)．故不等式f (x )<e x的解集为(0，＋∞)．10．(2019·某某某某质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值X 围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4①，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ， 则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝－1， 即3a ＋2b ＝9②.联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2.∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3.三、解答题11．(2019·某某某某模拟)已知函数f (x )＝x ln x .(1)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，讨论函数g (x )的单调性； (2)若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，求直线l 的方程．解：(1)∵f (x )＝x ln x ，∴g (x )＝f (x )－a (x －1)＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a .由g ′(x )<0，得ln x ＋1－a <0，解得0<x <ea －1；由g ′(x )>0，得ln x ＋1－a >0，解得x >ea－1.∴g (x )在(0，ea －1)上单调递减，在(ea －1，＋∞)上单调递增．(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0ln x 0，切线的斜率为ln x 0＋1. ∴切线l 的方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)．又切线l 过点(0，－1)，∴－1－x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(0－x 0)，即－1－x 0ln x 0＝－x 0ln x 0－x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1.12．(2019·某某枣庄调研)已知函数f (x )＝x e x－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x (a ∈R )．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程； (2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间．解：(1)a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝2e.又f (1)＝e ，所以y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)f ′(x )＝(x ＋1)(e x－a )，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝ln a . ①当a ＝1e时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在R 上单调递增．②当0<a <1e 时，ln a <－1，由f ′(x )>0，得x <ln a 或x >－1；由f ′(x )<0，得ln a <x <－1，所以单调递增区间为(－∞，ln a )，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a ，－1)．③当a >1e 时，ln a >－1，由f ′(x )>0，得x <－1或x >ln a ；由f ′(x )<0，得－1<x <ln a ，所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a )．综上所述，当a ＝1e 时，f (x )在R 上单调递增；当0<a <1e 时，单调递增区间为(－∞，ln a )，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a ，－1)；当a >1e 时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a )．13．设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋12<4x ，若f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2，则实数m 的取值X 围是( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞ C ．[－1，＋∞) D ．[－2，＋∞)解析：令F (x )＝f (x )－2x 2，因为F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－4x 2＝0，所以F (－x )＝－F (x )，故F (x )＝f (x )－2x 2是奇函数．则当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＝f ′(x )－4x <－12<0，故函数F (x )＝f (x )－2x 2在(－∞，0)上单调递减，故函数F (x )在R 上单调递减．不等式f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2m 2，即F (m ＋1)≤F (－m )，由函数的单调性可得m ＋1≥－m ，即m ≥－12.故选A.14．(2019·某某八校联考)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )<0，若a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是b >a >c . 解析：解法1：因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为(x －1)f ′(x )<0.所以当x >1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增．据此，可画出一个符合题意的函数f (x )的大致图象，如图所示．因为a ＝f (0)是图中点A 的纵坐标，b ＝f (12)是图中点B 的纵坐标，c ＝f (3)是图中点C的纵坐标，故由图可得b >a >c .解法2：因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为(x －1)f ′(x )<0，所以当x >1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增．取符合题意的函数f (x )＝－(x －1)2，则a ＝f (0)＝－1，b ＝f (12)＝－14，c ＝f (3)＝－4，故b >a >c .尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·某某、某某调研考试)π是圆周率，e 是自然对数的底数，在3e，e 3，e π，π3,3π，πe六个数中，最小的数与最大的数分别是( A )A ．3e,3πB ．3e，e πC ．e 3，π3D ．πe,3π解析：构造函数f (x )＝ln x x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x )＝1－ln xx2，当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．∵e<3<π，∴eln3<elnπ，πlne<πln3，即ln3e<lnπe，lne π<ln3π.又函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx在定义域上单调递增，故3e<πe<π3，e 3<e π<3π，故这六个数中的最大数为π3或3π，由e<3<π及函数f (x )＝ln x x 的单调性，得f (π)<f (3)<f (e)，即lnππ<ln33<lne e ，由lnππ<ln33，得lnπ3<ln3π，∴3π>π3，在3e，e 3，e π，π3,3π，πe六个数中的最大的数是3π，同理得最小的数为3e.故选A.16．(2019·某某六校联考)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1>x 2，恒有f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1，某某数a 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝1x(x －1)[x －(a －1)]，①若a >2，由f ′(x )>0，得0<x <1或x >a －1，由f ′(x )<0，得1<x <a －1，则f (x )在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减；②若a ＝2，则f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③若1<a <2，由f ′(x )>0，得0<x <a －1或x >1，由f ′(x )<0，得a －1<x <1，则f (x )在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增，在(a －1,1)上单调递减；④若a ≤1，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．综上，若a >2，则f (x )在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减； 若a ＝2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若1<a <2，则f (x )在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增，在(a －1,1)上单调递减； 若a ≤1，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减． (2)f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1⇔f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2， 令F (x )＝f (x )＋x ＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1>x 2，恒有f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1等价于函数F (x )在(0，＋∞)上是增函数．f ′(x )＝x －a ＋1＋a －1x ＝1x[x 2－(a －1)x ＋a －1]，令g (x )＝x 2－(a －1)x ＋a －1， 当a －1<0，即a <1时，x ＝a －12<0，故要使f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，需g (0)≥0，即a －1≥0，a ≥1，无解．当a －1≥0，即a ≥1时，x ＝a －12≥0，故要使f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，需g (a －12)≥0，即(a －12)2－(a －1)·a －12＋a －1≥0，化简得(a －1)(a －5)≤0，解得1≤a ≤5.综上，实数a 的取值X 围是[1,5]．。

课时作业(十四)［第14讲 用导数研究函数单调性与极值］［时间：45分钟分值：100分］基础热身 1. 函 数f (x ) = x 3 — x 的 单 调 增 区 间 为2. 如果函数y = f (x )的图象如图K14— 1,那么其导函数y = f '(x )的图象可能是图 K142中的(填序号)3 23. ______________________________________ 函数f (x ) = x — 3x + 7的极大值是 .4. 若函数y = ln x — ax 的增区间为(0,1)，则a 的值是 ____________ . 能力提升5. ___________________________________________ 函数f (x ) = (x — 3)e x 的单调递增区间是 ___________________________________________________ .6. _____________________________________________________________________ 函数f (x ) = x + ax + 3x — 9，已知f ( x )在x = — 3时取得极值，则 a= __________________ .7. ____________________________________________________________________ 若函数f (x ) = x 3 + bx 2 + cx + d 的单调递减区间为(一1,2)，贝U b = _____________________ , c =12. ________________________________________________ 设f (x ) , g (x )是R 上的可导函数，f '(x ) , g '(x )分别为f (x ) , g (x )的导函数， 且满足 f '(x )g (x ) + f (x )g '(x )<0，则当 a <x <b 时，有____________________________________________________________ .(填序号)(1) f (x )g (b )>f (b )g (x ) ； (2) f (x ) g ( a )>f (a ) • g (x ) ； (3) f (x )g (x )>f图 K14— 1 图 K14— 29. ________________________________________________________________________ 已知a >0,函数f (x ) = x 3 — ax 在［1 ,)上是单调增函数，则a 的最大值是 _____________________.10. _______________________ ［2011 •福建卷改编］若 a >0, b >0,且函数 f (x ) = 4x — ax — 2bx + 2 在 x = 1 处有 极值，则ab 的最大值等于 .11. ［2012 •苏北四市一调］ 已知函数f (x ) = mx + nx 2的图象在(13. (8分)已知函数f (x)= 4x2—72—x，x€ [0,1] ，求f(x)的单调区间.(b)g( b)；(4) f (x)g(x)>f (b) g(a).214. (8分)已知函数f(x) = x3+ ax2+ bx+ c在x= 1与x= —3时都取得极值. ⑴求a, b的值；3⑵若f(—1)=㊁，求f(x)的单调区间和极值._ 315. (12 分)已知函数f (x) = x —ax —1.(1) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a,使f (x)在(—1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围;若不存在，请说明理由.16. (12 分)已知函数f (x) = | ax—2| + b ln x(x>0,实数a, b 为常数).(1)若a= 1, f(x)在(0,+^)上是单调增函数，求b的取值范围；1⑵若a>2, b= 1,求方程f (x) = -在(0,1］上解的个数.x【基础热身】-33,+O ，故单调增区间为——O, 32. (1)［解析］由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正T 负T 正T 负， 所以只有⑴正确.3. 7 ［解析］由f '(x ) = 3x 2— 6x 易得，函数f (x )的单调递增区间为(一O , 0) , (2 , + O )，单调递减区间为(0,2)，故极大值为f (0) = 7.14. 1 ［解析］由条件可知，y '= -― a >0的解集为(0,1)，代入端点值1,可知a = 1.x【能力提升】5. (2 ,+O )［解析］f '(x ) = (x — 3) 'e x + (x — 3)(e x ) '= (x -2)e x ,令 f '(x ) > 0, 解得x > 2.6. 5 ［解析］•/ f '(x ) = 3x 2+ 2ax + 3，又 f (x )在 x =- 3 时取得极值，二 f ' ( — 3)= 30- 6a = 0,贝U a = 5.3 2 2 7. - 2 — 6 ［解析］因为f '(x ) = 3x + 2bx + c,由题设知—1<x <2是不等式3x + 2bx + c <0的解集，所以——1,2是方程3x 2 + 2bx + c = 0的两个根，由根与系数的关系得c =— 6.8 1 1 ［解析］X 1、X 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而 X 2与X 3是变号零点，因此它们是极值点，且 X 2是极大值点，X 3是极小值点.2 2 29. 3 ［解析］f '(X )= 3x — a,在［1 , +O )上, f '(x ) >0 恒成立，则 3x — a >0, a <3x . 又g (x ) = 3x 2在［1 ,+O )上递增，故 a w 3, a 的最大值为3.10. 9 ［解析］f '(x ) = 12x - 2ax -2b , ••• f (X )在X = 1处有极值，•••f ' (1) = 0，即 12 — 2a - 2b = 0，化简得 a + b = 6, •/ a >0, b >0,a +b 2•- ab w —2 — = 9,当且仅当a = b = 3时，ab 有最大值，最大值为9.11 . ［ — 2 , — 1］［解析］因为 f '(x ) = 3mX + 2nx ,由题意得f '——1 = 3m ——2n =——3, m= 1,所以f — 1 =——耐 n = 2, n = 3,所以f '(x ) = 3x 2 + 6x ,又f (x )在区间［t , t + 1］上单调递减,2f ' t = 3t + 6t w 0 , 在区间［t , t+ 1］上恒成立，所以2f ' t + 1= 3 t + 12+ 6€［——2,——1］.12. (3)［解析］•/ f ' (x )g (x ) + f (x )g'(x ) =［f (x )g (x )］ ' <0, • f (x )g (x )为减函数， 又••• a <x <b,「. f (a ) g ( a )> f (x ) g (x )> f (b ) g ( b ).2——4x + 16x ——7 2x ——1 2x ——713. ［解答］对函数f (X )求导，得f '(X ) = 2———2 =——2—— 2 ---------------- .令2X2Xf ' (X) = 0,解得 X 1= 2, X 2= 7.课时作业(十四)1. ——OOf,+O［解析］由 f '( x ) = 3x 2— 1>0 得，x €所以 f ' ( x) = 3x 2 + 6x wo解之得tt + 1 w 0,3当变化时，'(、()的变化情况如下表:所以，当x € 0, 2时，f (x )是减函数；当x € 2, 1时，f (x )是增函数.214.［解答］(1) f '(x ) = 3x + 2ax + b .2由题意，得x = 1和x =— 3为f '(x ) = 0的解， 2 2 b 2 ••— 3a = 1 — 3，3= 1X — 3，1• a =— 2，b = — 2.13 I 2⑵ 由(1)知 f (x ) = x — 2x — 2x + c ,1 3由 f ( — 1) =— 1 — 2 + 2 + c = 2,得 c = 1,2 2 49当x = — 3时，f (x )有极大值，f — 3 = 27；1 当x = 1时，f (x )有极小值，f (1) =— 22215.［解答］(1) f '(x ) = 3x — a ,故3x — a 》0在R 上恒成立， •・ a w 0.(2) f (x )在(—1,1)上单调递减，则3x 2— a w0在(—1,1)上恒成立，即a >3x 2在(—1,1) 上恒成立，• a > 3.16.［解答］(1) —x + 2 + b ln x 0<x <2, a = 1，则 f (x ) = |x — 2| + b ln x =x — 2+ b ln x x >2 .①当0<x <2时,b f (x ) = — x + 2+ b ln x , f '(x ) =— 1 + xb由条件，得—1 + ->0恒成立，即b >x 恒成立. x• b > 2.b②当 x >2 时，f (x ) = x — 2 + b ln x , f '( x ) = 1 + 一,—b由条件，得1 + ->0恒成立，即b >— x 恒成立.x• b >— 2.•/ f (x )的图象在(0，+)上单调递增，不间断. 综合①，②得， b 的取值范围是b >2.f (x ) = x 3— j x 2 — 2x + 1, f '(x )的变化情况如下: • f (x )的递增区间为 一a, — 3和(1 , )，递减区间为 一3, 12f '(x ) = 3x — x — 2.1 (2)令g( x) = | ax—2| + ln x —-,1 2—ax + 2+ In x — 0<x < , x a即 g (x )=1 2 ax — 2+ In x — x > -.x at2丄 当 0<x < 时，g (x )=- a , 1 1g (x) — 七+x 2, 2 1 a -0<x< ,• •->=,a x 22 - “ ，a a a a -2则 g (x)> — a + 2+ 4 =4>0,2即g '(x )>0,「. g (x )在0,;上单调递增.a2 1当 x 》a 时，g ( x ) = ax — 2+ In x — ^, , 1 1 g (x) = a +- + 子>0,z\. z\. 2•- g ( x )在-,+^ 上是单调增函数. ••• g(x )的图象在(0 ,+^)上不间断， • g (x )在(0 ,+^)上是单调增函数.2 2 a 2 ••• g a = In a — ，而 a >2,A I 门匸0, 2则 g a <0,g (1)= I a — 2| —1 = a — 3,① 当 a >3 时，••• g (1) >0,.・.g (x ) = 0 在(0,1］上有惟一解,1即方程f (x )=-解的个数为1个；x ② 当 2< a <3 时，••• g (1)<0 , • g (x ) = 0 在(0,1］上无解，1即方程f (x )=-解的个数为0个.xiax + 2 + In x —,x。

高考文科数学导数专题复习第1讲 变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1.导数的概念1函数y ＝fx 在x ＝x 0处的导数f ′x 0或y ′|x ＝x 0,即f ′x 0＝0lim x ∆→错误!. 2函数fx 的导函数f ′x ＝0lim x ∆→错误!为fx 的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝fx 在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝fx 在点Px 0,fx 0处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′x 0x －x 0.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′x ,g ′x 存在,则有：考点一 导数的计算例1 求下列函数的导数：1y ＝e x ln x ；2y ＝x 错误!；解 1y ′＝e x ′ln x ＋e x ln x ′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x .2因为y ＝x 3＋1＋错误!, 所以y ′＝x 3′＋1′＋错误!′＝3x 2－错误!.训练1 1 已知函数fx 的导函数为f ′x ,且满足fx ＝2x ·f ′1＋ln x ,则f ′1等于A.－eB.－1解析由fx＝2xf′1＋ln x,得f′x＝2f′1＋错误!,∴f′1＝2f′1＋1,则f′1＝－1.答案B22015·天津卷已知函数fx＝ax ln x,x∈0,＋∞,其中a为实数,f′x为fx的导函数.若f′1＝3,则a的值为________.2f′x＝a错误!＝a1＋ln x.由于f′1＝a1＋ln 1＝a,又f′1＝3,所以a＝3.答案23考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程例22016·全国Ⅲ卷已知fx为偶函数,当x≤0时,fx＝e－x－1－x,则曲线y＝fx在点1,2处的切线方程是________.解析1设x>0,则－x<0,f－x＝e x－1＋x.又fx为偶函数,fx＝f－x＝e x－1＋x,所以当x>0时,fx＝e x－1＋x.因此,当x>0时,f′x＝e x－1＋1,f′1＝e0＋1＝2.则曲线y＝fx在点1,2处的切线的斜率为f′1＝2,所以切线方程为y－2＝2x－1,即2x－y＝0.答案2x－y＝0训练22017·威海质检已知函数fx＝x ln x,若直线l过点0,－1,并且与曲线y＝fx相切,则直线l的方程为＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝02∵点0,－1不在曲线fx＝x ln x上,∴设切点为x0,y0.又∵f′x＝1＋ln x,∴错误!解得x＝1,y0＝0.∴切点为1,0,∴f′1＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝00.答案B命题角度二求切点坐标例32017·西安调研设曲线y＝e x在点0,1处的切线与曲线y＝错误!x>0上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝e x,知曲线y＝e x在点0,1处的切线斜率k1＝e0＝1.设Pm,n,又y＝错误!x>0的导数y′＝－错误!,曲线y＝错误!x>0在点P处的切线斜率k2＝－错误!.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为1,1.答案1,1训练3若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.解析1由题意得y′＝ln x＋x·错误!＝1＋ln x,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设Pm,n,则1＋ln m＝2,解得m＝e,所以n＝eln e＝e,即点P的坐标为e,e. 答案1e,e命题角度三求与切线有关的参数值或范围例42015·全国Ⅱ卷已知曲线y＝x＋ln x在点1,1处的切线与曲线y＝ax2＋a＋2x＋1相切,则a＝________.解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋错误!,得曲线在点1,1处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程为y－1＝2x－1,即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋a＋2x＋1相切,消去y,得ax2＋ax＋2＝0,∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0,解得a＝8.答案8训练41.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′x＝2在0,＋∞上有解,而f′x＝错误!＋a,即错误!＋a在0,＋∞上有解,a＝2－错误!,因为a＞0,所以2－错误!＜2,所以a的取值范围是－∞,2.答案 2－∞,22.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y＝x－2平行时,点P 到直线y＝x－2的距离最小,直线y＝x－2的斜率为1,令y＝x2－ln x,得y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1或x＝－错误!舍去,故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为1,1,点1,1到直线y＝x－2的距离等于错误!,∴点P到直线y＝x－2的最小距离为错误!.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在某个区间内可导,则：1若f′x>0,则fx在这个区间内单调递增；2若f′x<0,则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0,则fx在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性例1设fx＝e x ax2＋x＋1a＞0,试讨论fx的单调性.解f′x＝e x ax2＋x＋1＋e x2ax＋1＝e x ax2＋2a＋1x＋2＝e x ax＋1x＋2＝a e x错误!x＋2①当a＝错误!时,f′x＝错误!e x x＋22≥0恒成立,∴函数fx在R上单调递增；②当0＜a＜错误!时,有错误!＞2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0,有x＞－2或x＜－错误!,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0,有－错误!＜x＜－2,∴函数fx在错误!和－2,＋∞上单调递增,在错误!上单调递减；③当a＞错误!时,有错误!＜2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0时,有x＞－错误!或x＜－2,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0时,有－2＜x＜－错误!,∴函数fx在－∞,－2和错误!上单调递增；在错误!上单调递减.训练12016·四川卷节选设函数fx＝ax2－a－ln x,gx＝错误!－错误!,其中a∈R,e＝…为自然对数的底数.1讨论fx的单调性；2证明：当x>1时,gx>0.1解由题意得f′x＝2ax－错误!＝错误!x>0.当a≤0时,f′x<0,fx在0,＋∞内单调递减.当a>0时,由f′x＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′x<0,fx单调递减；当x∈错误!时,f′x>0,fx单调递增.2证明令sx＝e x－1－x,则s′x＝e x－1－1.当x>1时,s′x>0,所以e x－1>x,从而gx＝错误!－错误!>0.考点二求函数的单调区间例22015·重庆卷改编已知函数fx＝ax3＋x2a∈R在x＝－错误!处取得极值.1确定a的值；2若gx＝fx e x,求函数gx的单调减区间.解1对fx求导得f′x＝3ax2＋2x,因为fx在x＝－错误!处取得极值,所以f′错误!＝0,即3a·错误!＋2·错误!＝错误!－错误!＝0,解得a＝错误!.2由1得gx＝错误!e x故g′x＝错误!e x＋错误!e x＝错误!e x＝错误!xx＋1x＋4e x.令g′x<0,得xx＋1x＋4<0.解之得－1<x<0或x<－4.所以gx的单调减区间为－1,0,－∞,－4.训练2 已知函数fx＝错误!＋错误!－ln x－错误!,其中a∈R,且曲线y＝fx在点1,f1处的切线垂直于直线y＝错误!x.1求a的值；2求函数fx的单调区间.解1对fx求导得f′x＝错误!－错误!－错误!,由fx在点1,f1处的切线垂直于直线y ＝错误!x知f′1＝－错误!－a＝－2,解得a＝错误!.2由1知fx＝错误!＋错误!－ln x －错误!,x>0.则f′x＝错误!.令f′x＝0,解得x＝－1或x＝5.但－10,＋∞,舍去.当x∈0,5时,f′x<0；当x∈5,＋∞时,f′x>0.∴fx的增区间为5,＋∞,减区间为0,5.考点三已知函数的单调性求参数例32017·西安模拟已知函数fx＝ln x,gx＝错误!ax2＋2xa≠0.1若函数hx＝fx－gx存在单调递减区间,求a的取值范围；2若函数hx＝fx－gx在1,4上单调递减,求a的取值范围.解1hx＝ln x－错误!ax2－2x,x>0.∴h′x＝错误!－ax－2.若函数hx在0,＋∞上存在单调减区间,则当x>0时,错误!－ax－2<0有解,即a>错误!－错误!有解.设Gx＝错误!－错误!,所以只要a>Gx min.又Gx＝错误!错误!－1,所以Gx min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是－1,＋∞.2由hx在1,4上单调递减,∴当x∈1,4时,h′x＝错误!－ax－2≤0恒成立,则a≥错误!－错误!恒成立,所以a≥Gx max.又Gx＝错误!错误!－1,x∈1,4因为x∈1,4,所以错误!∈错误!,所以Gx max＝－错误!此时x＝4,所以a≥－错误!.当a＝－错误!时,h′x＝错误!＋错误!x－2＝错误!＝错误!,∵x∈1,4,∴h′x＝错误!≤0,当且仅当x＝4时等号成立.∴hx在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是错误!.训练3已知函数fx＝x3－ax－1.1若fx在R上为增函数,求实数a的取值范围；2若函数fx的单调减区间为－1,1,求a的值.解1因为fx在R上是增函数,所以f′x＝3x2－a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a＝0时,f′x＝3x2≥0,当且仅当x＝0时取等号.∴fx＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是－∞,0.2f′x＝3x2－a.当a≤0时,f′x≥0,fx在－∞,＋∞上为增函数,所以a≤0不合题意.当a>0时,令3x2－a<0,得－错误!<x<错误!,∴fx的单调递减区间为错误!,依题意,错误!＝1,即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系1函数的极小值与极小值点:若函数fx在点x＝a处的函数值fa比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′a＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则点a叫做函数的极小值点,fa叫做函数的极小值.2函数的极大值与极大值点:若函数fx在点x＝b处的函数值fb比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′b＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则点b叫做函数的极大值点,fb叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系1函数fx在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上函数y＝fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2求y＝fx在a,b上的最大小值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值例1设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数y＝1－xf′x的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.函数fx有极大值f－2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f－2D.函数fx有极大值f－2和极小值f2解析由题图可知,当x<－2时,1－x>3,此时f′x>0；当－2<x<1时,0<1－x<3,此时f′x<0；当1<x<2时,－1<1－x<0,此时f′x<0；当x>2时,1－x<－1,此时f′x>0,由此可以得到函数fx在x＝－2处取得极大值,在x＝2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值例2求函数fx＝x－a ln xa∈R的极值.解由f′x＝1－错误!＝错误!,x>0知：1当a≤0时,f′x>0,函数fx为0,＋∞上的增函数,函数fx无极值；2当a>0时,令f′x＝0,解得x＝a.又当x∈0,a时,f′x<0；当x∈a,＋∞,f′x>0,从而函数fx在x＝a处取得极小值,且极小值为fa＝a－a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数fx无极值；当a>0时,函数fx在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.命题角度三已知极值求参数例3已知关于x的函数fx＝－错误!x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－错误!,试求b,c 的值.解∵f′x＝－x2＋2bx＋c,由fx在x＝1处有极值－错误!,可得错误!解得错误!或错误!若b＝1,c＝－1,则f′x＝－x2＋2x－1＝－x－12≤0,fx没有极值.若b＝－1,c＝3,则f′x ＝－x2－2x＋3＝－x＋3x－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：∴当x＝1时,fx有极大值－错误!,满足题意.故b＝－1,c＝3为所求.训练1设函数fx＝ax3－2x2＋x＋ca>0.1当a＝1,且函数图象过0,1时,求函数的极小值；2若fx在R上无极值点,求a的取值范围.解由题意得f′x＝3ax2－4x＋1.1函数图象过0,1时,有f0＝c＝1.当a＝1时,f′x＝3x2－4x＋1.令f′x>0,解得x<错误!或x>1；令f′x<0,解得错误!<x<1.所以函数在错误!和1,＋∞上单调递增；在错误!上单调递减.故函数fx的极小值是f1＝13－2×12＋1＋1＝1. 2若fx在R上无极值点,则fx在R上是单调函数,故f′x≥0或f′x≤0恒成立.当a＝0时,f′x＝－4x＋1,显然不满足条件；当a≠0时,f′x≥0或f′1≤0恒成立的充要条件是Δ＝－42－4×3a×1≤0,即16－12a≤0,解得a≥错误!.综上,a的取值范围是错误!.考点二利用导数求函数的最值例4 2017·郑州模拟已知函数fx＝x－k e x.1求fx的单调区间；2求fx在区间0,1上的最小值.解1由fx＝x－k e x,得f′x＝x－k＋1e x,令f′x＝0,得x＝k－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：所以,fx的单调递减区间是－∞,k－1；单调递增区间是k－1,＋∞.2当k－1≤0,即k≤1时,函数fx在0,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为f0＝－k,当0<k－1<1,即1<k<2时,由1知fx在0,k－1上单调递减,在k－1,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为fk－1＝－e k－1.当k－1≥1,即k≥2时,函数fx在0,1上单调递减,所以fx在区间0,1上的最小值为f1＝1－k e.综上可知,当k≤1时,fx min＝－k；当1<k<2时,fx min＝－e k－1；当k≥2时,fx min＝1－k e.训练2设函数fx＝a ln x－bx2x>0,若函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切,1求实数a,b的值；2求函数fx在错误!上的最大值.解1由fx＝a ln x－bx2,得f′x＝错误!－2bxx>0.∵函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切.∴错误!解得错误!2由1知fx＝ln x－错误!x2,则f′x＝错误!－x＝错误!,当错误!≤x≤e时,令f′x>0,得错误!<x<1,令f′x<0,得1<x<e,∴fx在错误!上单调递增,在1,e上单调递减,∴fx max＝f1＝－错误!.考点三函数极值与最值的综合问题例5已知函数fx＝错误!a>0的导函数y＝f′x的两个零点为－3和0.1求fx的单调区间；2若fx的极小值为－e3,求fx在区间－5,＋∞上的最大值.解1f′x＝错误!＝错误!.令gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c,由于e x>0.令f′x＝0,则gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c＝0,∴－3和0是y＝gx的零点,且f′x与gx的符号相同.又因为a>0,所以－3<x<0时,gx>0,即f′x>0,当x<－3或x>0时,gx<0,即f′x<0,所以fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.2由1知,x＝－3是fx的极小值点,所以有错误!解得a＝1,b＝5,c＝5,所以fx＝错误!.因为fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.所以f0＝5为函数fx的极大值,故fx在区间－5,＋∞上的最大值取f－5和f0中的最大者,又f－5＝错误!＝5e5>5＝f0,所数fx在区间－5,＋∞上的最大值是5e5.训练3 2017·衡水中学月考已知函数fx＝ax－1－ln xa∈R.1讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；2若函数fx在x＝1处取得极值,x∈0,＋∞,fx≥bx－2恒成立,求实数b的最大值.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝a－错误!＝错误!.当a≤0时,f′x≤0在0,＋∞上恒成立,函数fx在0,＋∞上单调递减.∴fx在0,＋∞上没有极值点.当a>0时,由f′x<0,得0<x<错误!；由f′x>0,得x>错误!,∴fx在错误!上递减,在错误!上递增,即fx在x＝错误!处有极小值.综上,当a≤0时,fx在0,＋∞上没有极值点；当a>0时,fx在0,＋∞上有一个极值点.2∵函数fx在x＝1处取得极值,∴f′1＝a－1＝0,则a＝1,从而fx＝x－1－ln x.因此fx≥bx－21＋错误!－错误!≥b,令gx＝1＋错误!－错误!,则g′x＝错误!,令g′x＝0,得x＝e2,则gx在0,e2上递减,在e2,＋∞上递增,∴gx min＝g e2＝1－错误!,即b≤1－错误!.故实数b的最大值是1－错误!.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质例12015·全国Ⅱ卷已知函数fx＝ln x＋a1－x.1讨论fx的单调性；2当fx有最大值,且最大值大于2a－2时,求a的取值范围.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝错误!－a.若a≤0,则f′x>0,所以fx在0,＋∞上单调递增.若a>0,则当x∈错误!时,f′x>0；当x∈错误!时,f′x<0.所以fx在错误!上单调递增,在错误!上单调递减.2由1知,当a≤0,fx在0,＋∞上无最大值；当a>0时,fx在x＝错误!取得最大值,最大值为f 错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f 错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令ga＝ln a＋a－1,则ga在0,＋∞上单调递增,g1＝0.于是,当0<a<1时,ga<0；当a>1时,ga>0.因此,a的取值范围是0,1.训练1设fx＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.1若fx在错误!上存在单调递增区间,求a的取值范围；2当0＜a＜2时,fx在1,4上的最小值为－错误!,求fx在该区间上的最大值.解1由f′x＝－x2＋x＋2a＝－错误!错误!＋错误!＋2a,当x∈错误!时,f′x的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0,得a＞－错误!.所以,当a＞－错误!时,fx在错误!上存在单调递增区间.2已知0＜a＜2,fx在1,4上取到最小值－错误!,而f′x＝－x2＋x＋2a的图象开口向下,且对称轴x＝错误!,∴f′1＝－1＋1＋2a＝2a＞0,f′4＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0,则必有一点x0∈1,4,使得f′x0＝0,此时函数fx在1,x0上单调递增,在x0,4上单调递减,f1＝－错误!＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0,∴f4＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!a＝1.此时,由f′x0＝－x错误!＋x0＋2＝0x0＝2或－1舍去,所以函数fx max＝f2＝错误!.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根例2 2015·北京卷设函数fx＝错误!－k ln x,k>0.1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点. 1解由fx＝错误!－k ln xk>0,得x>0且f′x＝x－错误!＝错误!.由f′x＝0,解得x＝错误!负值舍去.fx与f′x在区间0,＋∞上的情况如下：所以fx的单调递减区间是0,错误!,单调递增区间是错误!,＋∞.fx在x＝错误!处取得极小值f错误!＝错误!.2证明由1知,fx在区间0,＋∞上的最小值为f错误!＝错误!.因为fx存在零点,所以错误!≤0,从而k≥e.当k＝e时,fx在区间1,错误!上单调递减,且f错误!＝0,所以x＝错误!是fx 在区间1,错误!上的唯一零点.当k>e时,fx在区间0,错误!上单调递减,且f1＝错误!>0,f错误!＝错误!<0,所以fx在区间1,错误!上仅有一个零点.综上可知,若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点.训练22016·北京卷节选设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0,f0处的切线方程；2设a＝b＝4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围.解1由fx＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′x＝3x2＋2ax＋b.因为f0＝c,f′0＝b,所以曲线y＝fx 在点0,f0处的切线方程为y＝bx＋c.2当a＝b＝4时,fx＝x3＋4x2＋4x＋c,所以f′x＝3x2＋8x＋4.令f′x＝0,得3x2＋8x＋4＝0,解得x＝－2或x＝－错误!.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下：所以,当c>0且c－错误!<0,存在x1∈－4,－2,x2∈错误!,x3∈错误!,使得fx1＝fx2＝fx3＝0.由fx的单调性知,当且仅当c∈错误!时,函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题例32017·合肥模拟已知fx＝x ln x,gx＝x3＋ax2－x＋2.1如果函数gx的单调递减区间为错误!,求函数gx的解析式；2对任意x∈0,＋∞,2fx≤g′x＋2恒成立,求实数a的取值范围.解1g′x＝3x2＋2ax－1,由题意3x2＋2ax－1<0的解集是错误!,即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－错误!,1.将x＝1或－错误!代入方程3x2＋2ax－1＝0,得a＝－1.所以gx＝x3－x2－x ＋2.2由题意2x ln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈0,＋∞上恒成立,可得a≥ln x－错误!x－错误!,设hx＝ln x－错误!x－错误!,则h′x＝错误!－错误!＋错误!＝－错误!,令h′x＝0,得x＝1或－错误!舍,当0<x<1时,h′x>0,当x>1时,h′x<0,所以当x＝1时,hx取得最大值,hx max＝－2,所以a≥－2,所以a的取值范围是－2,＋∞.训练3已知函数fx＝x2－ln x－ax,a∈R.1当a＝1时,求fx的最小值；2若fx>x,求a的取值范围.解1当a＝1时,fx＝x2－ln x－x,f′x＝错误!.当x∈0,1时,f′x<0；当x∈1,＋∞时,f′x>0.所以fx的最小值为f1＝0.2由fx>x,得fx－x＝x2－ln x－a＋1x>0.由于x>0,所以fx>x等价于x－错误!>a＋1.令gx ＝x－错误!,则g′x＝错误!.当x∈0,1时,g′x<0；当x∈1,＋∞时,g′x>0.故gx有最小值g1＝1.故a＋1<1,a<0,即a的取值范围是－∞,0.命题角度二证明不等式例42017·昆明一中月考已知函数fx＝ln x－错误!.1求函数fx的单调递增区间；2证明：当x>1时,fx<x－1.1解f′x＝错误!－x＋1＝错误!,x∈0,＋∞.由f′x>0得错误!解得0<x<错误!.故fx的单调递增区间是错误!.2证明令Fx＝fx－x－1,x∈0,＋∞.则有F′x＝错误!.当x∈1,＋∞时,F′x<0,所以Fx在1,＋∞上单调递减,故当x>1时,Fx<F1＝0,即当x>1时,fx<x－1.故当x>1时,fx<x－1.训练4 2017·泰安模拟已知函数fx＝ln x.1求函数Fx＝错误!＋错误!的最大值；2证明：错误!＋错误!<x－fx；1解Fx＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!,F′x＝错误!,当F′x>0时,0<x<e；当F′x<0时,x>e,故Fx在0,e上是增函数,在e,＋∞上是减函数,故Fx max＝F e＝错误!＋错误!.2证明令hx＝x－fx＝x－ln x,则h′x＝1－错误!＝错误!,当h′x<0时,0<x<1；当h′x>0时,x>1,故hx在0,1上是减函数,在1＋∞上是增函数,故hx min＝h1＝1.又Fx max＝错误!＋错误!<1,故Fx<hx,即错误!＋错误!<x－fx.。

课时分层训练(十四) 导数与函数的单调性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －1x ＋1x(x ＞0)．令y ′＜0，得0＜x ＜1，∴单调递减区间为(0,1)．]2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图像如图2­11­3所示，则下列叙述正确的是( )图2­11­3A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )C [依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增加的，由a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．因此C 正确．]3．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，52 D [∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x ＞2时，g ′(x )＞0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52，故选D.]4．(2017·山东高考)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( ) A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos xA [若f (x )具有性质M ，则[e xf (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意． 故选A ．]5．(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( ) 【导学号：00090066】A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)B [由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上是增加的，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1，故选B.] 二、填空题6．函数f (x )＝ln x x的单调递增区间是________．(0，e) [由f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝1－ln x x 2＞0(x ＞0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ＞0，x ＞0，解得x ∈(0，e)．]7．若函数y ＝ax ＋sin x 在R 上是增加的，则a 的最小值为________．1 [函数y ＝ax ＋sin x 在R 上单调递增等价于y ′＝a ＋cos x ≥0在R 上恒成立，即a ≥－cos x 在R 上恒成立，因为－1≤－cos x ≤1，所以a ≥1，即a 的最小值为1.] 8．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以f (x )在R 上是增加的， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间.【导学号：00090067】[解] (1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.5分(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x－ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减少的. 8分由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞).12分10．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 2分因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.5分(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.8分令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·江淮十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ≤2 B ．a ≥4 C ．a ≤2D ．0＜a ≤3A [易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9x＜0，解得0＜x ＜3.因为函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上是减少的，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，a ＋1≤3，解得1＜a ≤2，选A]2．(2017·石家庄质检(二))设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．【导学号：00090068】(－2,0)∪(2，＋∞) [令g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f －x －x ＝－f x －x ＝f xx＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)，则f (x )＝xg (x )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，g x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，g x ＜0，解得x ＞2或－2＜x ＜0，故不等式f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]3．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减少的，求实数m 的取值范围．[解] (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.5分(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减少的，∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞).9分∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]. 12分。

课时作业(十六) 导数与函数的单调性1．当x >0时，f (x )＝x ＋4x 的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，2)C ．( 2 ，＋∞)D ．(0， 2 )B [由f ′(x )＝1－4x2 ＝（x －2）（x ＋2）x2 <0，又x >0，可得x ∈(0，2).故选B.]2．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln xB [对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是[k π－π4 ，k π＋π4 ](k ∈Z )；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33 或x <－33 ，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33 和⎝⎛⎭⎫33，＋∞ 上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0，1)上单调递增．综上所述，应选B.]3．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数).则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )C [由条件可知当0<x <1时，xf ′(x )<0， 所以f ′(x )<0，函数递减．当x >1时，xf ′(x )>0，所以f ′(x )>0，函数递增，所以当x ＝1时，函数取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )>0，函数递增，当－1<x <0时，xf ′(x )>0，所以f ′(x )<0，函数递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值，符合条件的只有C 项．]4．(多选)函数f (x )＝12 ax 2－(a ＋2)x ＋2ln x 单调递增的必要不充分条件有( )A ．a ≥2B ．a ＝2C ．a ≥1D ．a >2AC [f (x )＝12ax 2－(a ＋2)x ＋2ln x ，∴f ′(x )＝ax －(a ＋2)＋2x ＝ax2－（a ＋2）x ＋2x ≥0，∴ax 2－(a ＋2)x ＋2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0a ＋22a <0f （0）＝2>0 或 ⎩⎨⎧a>0Δ＝（a ＋2）2－8a≤0解得a ＝2.∴当a ＝2时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则函数f (x )单调递增的必要不充分条件，a ≥2，a ≥1都可以． 故选AC.]5．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，则( ) A ．f (－ 2 )<f (e)<f ( 5 ) B ．f (e)<f (－ 2 )<f ( 5 ) C ．f ( 5 )<f (e)<f (－ 2 )D ．f (－ 2 )<f ( 5 )<f (e)D [因为f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．又当x >0时，f ′(x )＝e x －1ex >0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为 2 < 5 <e ，所以f ( 2 )<f ( 5 )<f (e)，又f (－ 2 )＝f ( 2 )，所以f (－ 2 )<f ( 5 )<f (e)，故选D.]6．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析： 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x2－5x ＋2x (x >0).令f ′(x )＝2x2－5x ＋2x＝（2x －1）（x －2）x>0(x >0)，解得x >2或0<x <12 .综上所述，函数f (x )的单调递增区间是(0，12)和(2，＋∞).答案： (0，12)和(2，＋∞)7．函数f (x )＝ln x －x1＋2x 为________函数(填“增”或“减”).解析： 由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞). ∵f (x )＝ln x －x1＋2x，∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x （1＋2x ）2 ＝4x2＋3x ＋1x （1＋2x ）2 .∵x >0，∴4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. ∴当x >0时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 答案： 增8．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析： 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞).答案： (－3，0)∪(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23 . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解析： (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23 时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23 ＝3×⎝⎛⎭⎫23 2 ＋2a ×23 －1，解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ， 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13 (x －1)，令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13 ；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13 和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1 . 10．已知函数f (x )＝12x 3＋x 2.(1)求曲线f (x )在点⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43 处的切线方程； (2)讨论函数y ＝f (x )e x 的单调性．解析： (1)∵f (x )＝12 x 3＋x 2，∴f ′(x )＝32 x 2＋2x .∴f ′⎝⎛⎭⎫－43 ＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫－43 ＝1627， 所以曲线f (x )在⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43 处的切线方程为y ＝1627 . (2)令g (x )＝f (x )e x ＝⎝⎛⎭⎫12x3＋x2 e x ， ∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x3＋x2 e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4， 当x <－4时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．综上可知，g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．11．(多选)若函数e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x 3ACD [对于A 项，f (x )＝ln x ，则g (x )＝e x ln x ，则g ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ，函数g (x )＝e x ln x 在(0，＋∞)先减后增；对于B 项，f (x )＝x 2＋1，则g (x )＝e x f (x )＝e x (x 2＋1)，g ′(x )＝e x (x 2＋1)＋2x e x ＝e x (x ＋1)2>0在实数集R 上恒成立，所以g (x )＝e x f (x )在定义域R 上单调递增，对于C 项，f (x )＝sin x ，则g (x )＝e x sin x ，g ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝ 2 e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ，显然g (x )不单调；对于D 项，f (x )＝x 3，则g (x )＝e x f (x )＝e x x 3，g ′(x )＝e x x 3＋3e x x 2＝e x (x 3＋3x 2)＝e x x 2(x ＋3)，当x <－3时，g ′(x )<0，所以g (x )＝e x f (x )在定义域R 上先减后增；所以具有M 性质的函数为B 项，不具有M 性质的函数为A ，C ，D 项．故选ACD 项．]12．(2020·武汉市学习质量检测)若函数f (x )＝cos x ＋a sin x 在(0，π2 )上单调递减，则实数a 的取值范围为________．解析： 因为f (x )＝cos x ＋asin x ，所以f ′(x )＝－sin2x －cosx （cos x ＋a ）sin2x＝－1－a cosxsin2x.因为f (x )在(0，π2 )上单调递减，所以－1－a cosxsin2x≤0对任意的x ∈(0，π2)恒成立，所以a cos x ≥－1对任意的x ∈(0，π2 )恒成立．当x ∈(0，π2)时，cos x ∈(0，1)，所以－1cos x ∈(－∞，－1)，所以a ≥－1cos x 对任意的x ∈(0，π2 )恒成立，所以a ≥－1，所以实数a 的取值范围是[－1，＋∞).答案： [－1，＋∞)13．设函数f (x )＝13 x 3－a2 x 2＋1.(1)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析： (1)由题得f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )，a >0. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a ).(2)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立． 则存在x ∈(－2，－1)使－a >－x －2x 成立，即－a >⎝⎛⎭⎫－x －2x min . 因为x ∈(－2，－1)，所以－x ∈(1，2)， 则－x －2x≥2（－x ）·⎝⎛⎭⎫－2x ＝2 2 ， 当且仅当－x ＝－2x ，即x ＝－ 2 时等号成立，所以－a >2 2 ，则a <－2 2 .所以实数a 的取值范围为(－∞，－2 2 ).14.已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围． 解析： (1)由已知得，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－8，8a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，所以h (x )＝x 2－8x ＋2.f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)由(1)得f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2（x －1）（x －3）x .因为x >0，所以f ′(x )，f (x )的变化如表所示．x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )单调递增单调递减单调递增所以f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，要使函数f (x )在区间(1，m ＋12 )上是单调函数，则⎩⎨⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12 <m ≤52 .故实数m 的取值范围是(12 ，52 ].15．(创新型)求形如y ＝f (x )g (x )的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，再两边同时求导得1y ·y ′＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )1f （x ） ·f ′(x )，于是得到y ′＝f (x )g (x )·[g ′(x )ln f (x )＋g (x ).1f （x ）f ′(x )]，运用此方法求得函数y ＝x 1x 的单调递增区间是( ) A ．(e ，4) B ．(3，6) C ．(0，e)D ．(2，3)C [由题意知y ′＝x 1x (－1x2 ·ln x ＋1x2 )＝x 1x ·1－ln xx2 (x >0)，令y ′>0，得1－ln x >0，所以0<x <e ，所以函数y ＝x 1x 的单调递增区间为(0，e)，故选C.]16．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，能说明“若f ′(x )<0对任意的x ∈(0，＋∞)都成立且f (0)>0，则f (x )在(0，＋∞)上必有零点”为假命题的一个函数是________．解析： “若f ′(x )<0对任意的x ∈(0，＋∞)都成立且f (0)>0”，则在(0，＋∞)上递减，且f (0)>0，再由“f (x )在(0，＋∞)上必有零点”为假命题，可得f (x )的图象在(0，＋∞)与x 轴无交点，这样的函数可以是y ＝a x (0<a <1). 答案： y ＝⎝⎛⎭⎫12 x。

§3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2015·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)2．下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)3．(2015·东北三省三校一模)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2』 C ．(－∞，52)D ．(－∞，52』4．(2015·长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a6．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．7．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在『－1,1』上是单调减函数，则a 的取值范围是________．8．(2015·成都一诊)已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在『1,2』上为单调函数，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．10．(2015·沈阳质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在『1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间『a －1，a ＋1』上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤312．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)13．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在『23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间『t ，t ＋1』上不单调，则t 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈『1,2』，函数g (x )＝x 3＋x 2·『f ′(x )＋m2』在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．答案精析1．D 『函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝『(x －3)e x 』′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增， 此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.』2．C 『y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈(3π2，5π2)时，恒有x cosx >0.』3．D 『∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52，故选D.』4．A 『f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．』 5．C 『依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f (12)，即有f (3)<f (0)<f (12)，c <a <b .』6．(0,1)解析 函数的定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)． 7．『34，＋∞)解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝『x 2＋(2－2a )x －2a 』e x ，由题意当x ∈『－1,1』时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈『－1,1』时恒成立． 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.8．(0，25』∪『1，＋∞)解析 f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在『1,2』上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在『1,2』上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在『1,2』上恒成立． 令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在『1,2』上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3， 又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.9．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．10．解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在『1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在『1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在『1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈『1，＋∞)，∵x ＋1x ∈『2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2』． 11．A 『∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3』上原函数是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.』 12．D 『令g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝(f (x )e x )′＝f ′(x )e x－f (x )e xe 2x＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以函数g (x )＝f (x )e x 是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f (1)e 1<f (0)1，f (2 016)e 2 016<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)．』 13．(－19，＋∞)解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈『23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是(－19，＋∞)．14．(0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间『t ，t ＋1』上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.15．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，当a >0时，f (x )的增区间为(0,1)， 减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈『1,2』恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373.所以－373<m <－9.即实数m 的取值范围是(－373，－9)．。

课时作业(十四)第1课时导数与函数的单调性时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.函数f(x)=2x-ln x的单调递减区间为 ()A.B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. (-∞,0)∪(1,+∞)2.函数f(x)的导函数f'(x)有下列信息:①f'(x)>0时,-1<x<2;②f'(x)<0时,x<-1或x>2;③f'(x)=0时,x=-1或x=2.则函数f(x)的大致图像是()A B C D图K14-13.函数f(x)=x2+在(2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 ()A. (-∞,8)B. (-∞,8]C. (-∞,16)D. (-∞,16]4.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调递减区间为.5.函数f(x)=1+x+cos x在上的单调递增区间是.能力提升6.[2017·湖北襄阳联考]已知函数f(x)=x-ln|x|,则f(x)的图像大致为 ()A B C D图K14-27.[2017·长沙长郡中学月考]若函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下列区间上单调递增的是()A. (-∞,-1]B. (-1,0)C. (0,1)D. (2,+∞)8.[2017·天津耀华中学月考]已知函数f(x)=x+b ln x在区间(0,2)上不是单调函数,则b 的取值范围是()A. (-∞,0)B. (-∞,-2)C. (-2,0)D. (-2,+∞)9.[2017·山东实验中学一诊]已知函数f(x)=(b∈R),若存在x∈,使得f(x)>-x·f'(x),则实数b的取值范围是 ()A. (-∞,)B.C.D. (-∞,3)10.函数f(x)=(x-2)e x的单调递减区间是.11.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是.12.若函数f(x)=x2-e x-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是.13.(15分)已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.14.(15分)[2017·佛山一模]已知函数f(x)=e ax+λln x,其中a<0,e是自然对数的底数.若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求λ的取值范围.难点突破15.(5分)已知定义在R上的函数y=f(x)满足函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,且当x ∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0(f'(x)是函数f(x)的导函数)成立.若a=sin·f,b=ln2·f(ln 2),c=lo·f,则a,b,c的大小关系是()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b16.(5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<,则不等式f(x2)<+的解集为.课时作业(十四)第1课时导数与函数的单调性1. A[解析] 函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f'(x)=2-=,令f'(x)<0,得0<x<.2.C[解析] 根据题意知,函数f(x)在(-1,2)上是增函数,在(-∞,-1),(2,+∞)上是减函数.故选C.3. D[解析] 由f(x)=x2+,得f'(x)=2x-=.因为f(x)在(2,+∞)上单调递增,所以≥0,即a≤2x3,在(2,+∞)上恒成立,因为2x3>2×23=16,所以a≤16.故选D.4. (-1,11)[解析] 由f(x)=x3-15x2-33x+6得f'(x)=3x2-30x-33.令f'(x)<0,即3(x-11)(x+1)<0,解得-1<x<11,所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,11).5.[解析] f'(x)=-sin x,令f'(x)>0,得sin x<,因为x∈,所以0<x<.6. A[解析] 当x<0时,f(x)=x-ln(-x),f'(x)=1-=,函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,所以排除选项B,C,D.当x>0时,f(x)=x-ln x,f'(x)=1-=,当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.故选A.7.D[解析] f'(x)=1-=,令f'(x)=0得x2=b,则x=±.因为函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,所以1<<2.由f'(x)>0,得x<-或x>,则函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),结合选项知,函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增.8. C[解析] f'(x)=1+=.设g(x)=x+b(x>0),则g(x)是增函数,故需满足g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,即b<0,b>-2,所以b∈(-2,0).9. C[解析] 由f(x)>-x·f'(x),得f(x)+x·f'(x)>0,即[xf(x)]'>0,所以+2(x-b)>0,即b<+x,当x∈时有解,易知当x∈时,+x的最大值为+2=,所以b<,故选C.10.(-∞,1)[解析] 因为f(x)=(x-2)e x,所以f'(x)=(x-1)e x.令f'(x)<0,得x<1,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1).11.a≥1[解析] 因为f'(x)=3x2-2ax-1,f(x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1<0在(0,1)内恒成立,所以f'(0)≤0且f'(1)≤0,解得a≥1.12. (-∞,2ln 2-2)[解析] 因为f(x)=x2-e x-ax,所以f'(x)=2x-e x-a.因为函数f(x)=x2-e x-ax在R上存在单调递增区间,所以f'(x)=2x-e x-a>0有解,即a<2x-e x有解.设g(x)=2x-e x,则g'(x)=2-e x,令g'(x)=0,解得x=ln 2,则当x<ln 2时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>ln 2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以当x=ln 2时,g(x)取得最大值,且g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2,所以a<2ln 2-2.13.解:(1)f'(x)=--(x>0).由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,知f'(1)=--a=-2,解得a=.(2)由(1)知f(x)=+-ln x-,则f'(x)=.令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以当x∈(0,5)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,5)上单调递减;当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(5,+∞)上单调递增.14.解:f'(x)=a e ax+=(x>0).①若λ≤0,则f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.②若λ>0,令g(x)=ax e ax+λ,其中a<0,x>0,则g'(x)=a e ax(1+ax).令g'(x)=0,得x=-.当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增.故当x=-时,g(x)取极小值也是最小值,函数g(x)的最小值为g=λ-.因此当λ-≥0,即λ≥时,g(x)≥0,此时f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上所述,所求λ的取值范围是(-∞,0]∪.15.A[解析] 因为函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图像关于y轴对称,所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]'=f(x)+xf'(x),所以当x∈(-∞,0)时,[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,函数y=xf(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减.因为0<sin<,1>ln 2>ln=,lo=2,所以0<sin<ln 2<lo,所以a>b>c.16. (-∞,-1)∪(1,+∞)[解析] 由题意构造函数F(x)=f(x)-x,则F'(x)=f'(x)-.因为f'(x)<,所以F'(x)=f'(x)-<0,即函数F(x)在R上单调递减.因为f(x2)<+,f(1)=1,所以f(x2)-<f(1)-,所以F(x2)<F(1),又函数F(x)在R上单调递减,所以x2>1,即x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).。

课时作业(十四)[第14讲导数与函数单调性］[时间：35分钟分值：80分]错误!1．［2011·皖南八校联考] 若函数y＝f(x）的导函数在区间［a，b］上是先增后减的函数,则函数y＝f(x）在区间［a，b]上的图像可能是( ）K1412．函数f（x)＝（x－3)e x的单调递增区间是（)A．（－∞，2) B．(0,3)C．（1,4) D．(2，＋∞)3．如图K14－2所示是函数f（x）的导函数f′(x)的图像，则下列判断中正确的是（)A．函数f(x）在(－3，0）上是减函数B．函数f（x）在（1,3)上是减函数C．函数f(x)在(0,2）上是减函数D．函数f（x）在(3，4）上是增函数4．若函数f（x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为［－1,2］,则b＝________，c＝________。

错误!5．［2011·东北三校联考］函数f（x)在定义域R内可导，若f(x）＝f（2－x)，且当x∈（－∞，1）时，(x－1)·f′(x）〈0，设a ＝f（0)，b＝f错误!，c＝f（3），则( )A．a〈b<c B．c<a<b C．c〈b<a D．b<c〈a6．若a＝ln33，b＝ln55，c＝错误!，则（)A．a〈b〈c B．c〈b<aC．c〈a〈b D．b〈a<c7．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1）的单调递减区间是（）A．（2，4）B．（－3，－1）C．(1,3) D．(0,2)8．若函数y＝a（x3－x)的递减区间为错误!，则a的取值范围是（)A．a＞0 B．－1＜a＜0C．a＞1 D．0＜a＜19．已知函数f（x）是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x）＞0，若f（－1）＝0，那么关于x的不等式xf（x)＜0的解集是________．10．[2011·中山实验高中月考］若函数f(x）＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．11．［2011·宁波十校联考］已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，f （－4），f错误!,f错误!的大小关系为________________（用“〈”连接）．12．(13分)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1（a<0)．若曲线y＝f(x）的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行,求: (1)a的值；(2)函数f（x）的单调区间．错误!13．(12分)［2011·辽宁卷] 已知函数f（x)＝ln x－ax2＋（2－a)x。

高考数学一轮复习 导数的应用课时作业14 理 北师大版一、选择题1．函数 f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x， 令f ′(x )>0，解得x >2. 答案：D2．已知函数 f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且 f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：可以求出 f (x )＝x 4－2x 2＋c ，其中c 为常数．由于 f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f ′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时， f (x )＝－5，故x 的值为0.答案：B3．若函数 f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．0<a <1D ．0<a ≤1解析：∵f ′(x )＝3ax 2－3，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．若a ≤0，显然有f ′(x )<0；若a >0，由f ′(x )≤0得－1a≤x ≤1a，于是1a≥1，∴0<a ≤1，综上知a ≤1.答案：B4．函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则( ) A ．a ＝－11，b ＝4 B ．a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝11，b ＝－4 D ．a ＝4，b ＝－11解析：由 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.(经检验应舍去)．答案：D5．已知 f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∵ f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x ＝0时， f (x )＝m 最大．∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5.∴最小值为－37.答案：A6．对于函数 f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程 f (x )＝0一定有三个不等的实数根．这四种说法中，正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax －1中Δ＝4a 2＋12>0，故该函数必有2个极值点x 1，x 2，且x 1·x 2＝－13<0，不妨设x 1<0，x 2>0，易知在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，而 f (0)＝1，故极大值必大于1，极小值小于1.而方程 f (x )＝0不一定有三个不等的实数根．甲、乙、丙三人的说法正确．答案：C 二、填空题7． f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 解析： f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减，∴x ＝2是极小值点．故c ＝2不合题意，c ＝6.答案：68．(2011年广东省中山市实验高中高三第一次月考)若函数 f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________ .解析：求导，可求得 f (x )的递增区间为(12，＋∞)，递减区间为(0，12)．函数 f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12k ＋1>12，解得1≤k <32.答案：1≤k <329．已知函数 f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m 等于__________．解析：若 f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数， 则m 2－4＝0，m ＝±2.若g ′(x )＝－3x 2＋4x ＋m <0恒成立， 则16＋4×3m <0，解得m <－43，故m ＝－2.答案：－2 三、解答题10．（2011年安徽高考） 设f (x )＝ex1＋ax2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解析：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax 1＋ax 22.① (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值所以，x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0＜a ≤1.11．(2011年浙江省杭州市萧山九中高三)已知函数 f (x )＝13x 3＋x 2－2.(1)设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1＝3，若点(a n ，a n ＋12－a n ＋1)(n ∈N *)在函数 y ＝f ′(x )的图象上，点(n ，S n )也在 y ＝f ′(x )的图象上；(2)求函数 f (x )在区间(a －1，a )内的极值．解：(1)证明：因为 f (x )＝13x 3＋x 2－2，所以 f ′(x ) ＝x 2＋2x .由点(a n ，a n ＋12－2a n ＋1)(n∈N *)在函数 y ＝f ′(x )的图象上，得a n ＋12－2a n ＋1＝a n 2＋2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.又a >0(n ∈N *)，所以a n ＋1－a n ＝2.又因为a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，公差为2的等差数列．所以S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n ，又因为 f ′(n )＝n 2＋2n ，所以S n ＝ f ′(n )．故点(n ，S n )也在函数 y ＝f ′(x )的图象上． (2)解： f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 由 f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2.当x 变化时， f ′(x )、 f (x )的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2 (－2,0) 0 (0，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗①当a －1<－2<a ，即－2<a <－1时， f (x )的极大值为 f (－2)＝－23，此时 f (x )无极小值；②当a －1<0<a ，即0<a <1时， f (x )的极小值为 f (0)＝－2，此时 f (x )无极大值； ③当a ≤－2或－1≤a ≤0或a ≥1时， f (x )既无极大值又无极小值．12．(2011年湖北八校)已知函数F (x )＝－14x 4＋ax 3＋a 2＋5a －22x 2＋b .(a ，b 为常数)(1)当a ＝1时，F (x )＝0有两个不相等的实根，求b 的取值范围；(2)若F (x )有三个不同的极值点0，x 1，x 2.a 为何值时，能使函数F (x )在x 1(或者x 2)处取得的极值为b?(3)若对任意的a ∈[－1,0]，不等式F (x )≥－8在[－2,2]上恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，F (x )＝－14x 4＋x 3＋2x 2＋b ，F (x )＝0⇔b ＝14x 4－x 3－2x 2，记g (x )＝14x4－x 3－2x 2，则g ′(x )＝x 3－3x 2－4x ＝x (x ＋1)(x －4)，令g ′(x )＝0，得x ＝－1,0,4，当x 变化时，g ′(x )、g (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,0) 0 (0,4) 4 (4，＋∞) g ′(x ) －0 ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极小值－34极大值0极小值－32由已知，知直线y ＝b 与y ＝g (x )的图象有且只有两个公共点，所以，－32<b <－4，或b >0，∴b 的取值范围为(－32，－34)∪(0，＋∞)．(2)f ′(x )＝－x 3＋3ax 2＋(a 2＋5a －2)x ＝－x [x 2－3ax －(a 2＋5a －2)]， 则x 1，x 2是x 2－3ax －(a 2＋5a －2)＝0的两个不相等的非零实根， ∴Δ＝9a 2＋4(a 2＋5a －2)＝13a 2＋20a －8>0，且a 2＋5a －2≠0(*) 不妨设F (x 1)＝b ，∴－14x 14＋ax 13＋a 2＋5a －22x 12＝0，即∴－x 12＋4ax 1＋2(a 2＋5a －2)＝0① 又∵x 12－3ax 1－(a 2＋5a －2)＝0②①＋②得ax 1＋(a 2＋5a －2)＝0，即－(a 2＋5a －2)＝ax 1③ 代入②，得x 12－2ax 1＝0，∵x 1≠0，∴x 1＝2a ，代入③，得3a 2＋5a －2＝0，∴a ＝－2或a ＝13.经检验，a ＝－2或a ＝13都满足(*)，故a ＝－2或a ＝13.(3)当a ∈[－1,0]时，可知Δ＝13a 2＋20a －8<0，∴x 2－3ax －(a 2＋5a －2)>0恒成立，∴x >0时，f ′(x )<0；x <0时，f ′(x )>0. ∴F (x )在(－∞，0)内递增，在(0，＋∞)内递减，∴F (x )在[－2,2]上的最小值min{F (－2)，F (2)}＝2a 2＋18a －8＋b ≥－8恒成立， ∴b ≥－2a 2－18a ＝－2[(a ＋92)2－814]，当a ＝－1时，－2a 2－18a 取最大值16，所以b 的取值范围为[16，＋∞)．。

课时作业14 导数与函数的单调性一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( B )A ．f (x )＝sin2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：对于A ，f (x )＝sin2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，故选B.2．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 解析：因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )<0，解得0<x <1e ，故f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . 3．(2019·河南新乡二模)若函数y ＝f (x )ln x 在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )为P 函数．下列函数中为P 函数的为( B )①f (x )＝1；②f (x )＝x ；③f (x )＝1x ；④f (x )＝x .A ．①②④B ．①③C ．①③④D ．②③解析：x ∈(1，＋∞)时，ln x >0，x 增大时，1ln x ，1x ln x 都减小，∴y ＝1ln x ，y＝1x ln x 在(1，＋∞)上都是减函数，∴f (x )＝1和f (x )＝1x 都是P 函数；⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′＝ln x －1(ln x )2，∴x ∈(1，e)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′<0，x ∈(e ，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′>0，即y ＝x ln x 在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )＝x 不是P 函数；⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′＝ln x －22x (ln x )2，∴x ∈(1，e 2)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′<0，x ∈(e 2，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x ′>0，即y ＝x ln x 在(1，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，∴f (x )＝x 不是P 函数．故选B.4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( C )解析：由题图知当0<x <1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减． 当x >1时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增．所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C 项．5．已知函数f (x )＝12x 2－t cos x ，若其导函数f ′(x )在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 解析：因为f (x )＝12x 2－t cos x ，所以f ′(x )＝x ＋t sin x .令g (x )＝f ′(x )，因为f ′(x )在R 上单调递增，所以g ′(x )＝1＋t cos x ≥0恒成立，所以t cos x ≥－1恒成立，因为cos x ∈[－1，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ≥－1，t ≥－1，所以－1≤t ≤1，即实数t 的取值范围为[－1,1]．6．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( A )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x .由已知f (x )>1－f ′(x )，可得g ′(x )>0在R 上恒成立，即g (x )是R 上的增函数．因为f (0)＝0，所以g (0)＝－1，则不等式e x f (x )>e x －1可化为g (x )>g (0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．7．已知函数y ＝f (x )对于任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( A ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 C ．f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D ．f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析：构造F (x )＝f (x )cos x 形式，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x， ∵f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增．把选项转化后可知选A.二、填空题8．函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为⎝ ⎛⎭0，2. 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.9．(2019·湖北襄阳调研)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，f (0)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为(0，＋∞)．解析：令F (x )＝f (x )e x ，则F (0)＝1，F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x<0， 故F (x )为R 上的减函数，有f (x )<e x 等价于F (x )<1，即F (x )<F (0)．故不等式f (x )<e x 的解集为(0，＋∞)．10．(2019·陕西渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4①，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝－1， 即3a ＋2b ＝9②.联立①②两式解得a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2.∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3.三、解答题11．(2019·云南玉溪模拟)已知函数f (x )＝x ln x .(1)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，讨论函数g (x )的单调性；(2)若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，求直线l 的方程． 解：(1)∵f (x )＝x ln x ，∴g (x )＝f (x )－a (x －1)＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a .由g ′(x )<0，得ln x ＋1－a <0，解得0<x <e a －1；由g ′(x )>0，得ln x ＋1－a >0，解得x >e a －1.∴g (x )在(0，e a －1)上单调递减，在(e a －1，＋∞)上单调递增．(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0ln x 0，切线的斜率为ln x 0＋1.∴切线l 的方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)．又切线l 过点(0，－1)，∴－1－x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(0－x 0)，即－1－x 0ln x 0＝－x 0ln x 0－x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1.12．(2019·山东枣庄调研)已知函数f (x )＝x e x－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x (a ∈R )． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程；(2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间．解：(1)a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝2e.又f (1)＝e ，所以y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)f ′(x )＝(x ＋1)(e x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝ln a .①当a ＝1e 时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在R 上单调递增．②当0<a <1e 时，ln a <－1，由f ′(x )>0，得x <ln a 或x >－1；由f ′(x )<0，得ln a <x <－1，所以单调递增区间为(－∞，ln a )，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a ，－1)．③当a >1e 时，ln a >－1，由f ′(x )>0，得x <－1或x >ln a ；由f ′(x )<0，得－1<x <ln a ，所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a )．综上所述，当a ＝1e 时，f (x )在R 上单调递增；当0<a <1e 时，单调递增区间为(－∞，ln a )，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a ，－1)；当a >1e 时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a )．13．设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋12<4x ，若f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2，则实数m 的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞ C ．[－1，＋∞) D ．[－2，＋∞)解析：令F (x )＝f (x )－2x 2，因为F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－4x 2＝0，所以F (－x )＝－F (x )，故F (x )＝f (x )－2x 2是奇函数．则当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＝f ′(x )－4x <－12<0，故函数F (x )＝f (x )－2x 2在(－∞，0)上单调递减，故函数F (x )在R 上单调递减．不等式f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2m 2，即F (m ＋1)≤F (－m )，由函数的单调性可得m ＋1≥－m ，即m ≥－12.故选A.14．(2019·西安八校联考)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )<0，若a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是b >a >c . 解析：解法1：因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为(x －1)f ′(x )<0.所以当x >1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增．据此，可画出一个符合题意的函数f (x )的大致图象，如图所示．因为a ＝f (0)是图中点A 的纵坐标，b ＝f (12)是图中点B 的纵坐标，c ＝f (3)是图中点C 的纵坐标，故由图可得b >a >c .解法2：因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为(x －1)f ′(x )<0，所以当x >1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增．取符合题意的函数f (x )＝－(x －1)2，则a ＝f (0)＝－1，b ＝f (12)＝－14，c ＝f (3)＝－4，故b >a >c .尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)π是圆周率，e 是自然对数的底数，在3e ，e 3，e π，π3,3π，πe 六个数中，最小的数与最大的数分别是( A )A ．3e,3πB ．3e ，e πC ．e 3，π3D ．πe,3π解析：构造函数f (x )＝ln x x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x )＝1－ln x x 2，当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．∵e<3<π，∴eln3<elnπ，πlne<πln3，即ln3e <lnπe ，lne π<ln3π.又函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，故3e <πe <π3，e 3<e π<3π，故这六个数中的最大数为π3或3π，由e<3<π及函数f (x )＝ln x x 的单调性，得f (π)<f (3)<f (e)，即lnππ<ln33<lne e ，由lnππ<ln33，得lnπ3<ln3π，∴3π>π3，在3e ，e 3，e π，π3,3π，πe 六个数中的最大的数是3π，同理得最小的数为3e .故选A.16．(2019·重庆六校联考)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1>x 2，恒有f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝1x (x －1)[x －(a －1)]，①若a >2，由f ′(x )>0，得0<x <1或x >a －1，由f ′(x )<0，得1<x <a －1，则f (x )在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减；②若a ＝2，则f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③若1<a <2，由f ′(x )>0，得0<x <a －1或x >1，由f ′(x )<0，得a －1<x <1，则f (x )在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增，在(a －1,1)上单调递减；④若a ≤1，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．综上，若a >2，则f (x )在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减；若a ＝2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若1<a <2，则f (x )在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增，在(a －1,1)上单调递减；若a ≤1，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．(2)f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1⇔f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，令F (x )＝f (x )＋x ＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1>x 2，恒有f (x 1)－f (x 2)>x 2－x 1等价于函数F (x )在(0，＋∞)上是增函数．f ′(x )＝x －a ＋1＋a －1x ＝1x [x 2－(a －1)x ＋a －1]，令g (x )＝x 2－(a －1)x ＋a －1，当a －1<0，即a <1时，x ＝a －12<0，故要使f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，需g (0)≥0，即a －1≥0，a ≥1，无解．当a －1≥0，即a ≥1时，x ＝a －12≥0，故要使f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，需g (a －12)≥0，即(a －12)2－(a －1)·a －12＋a －1≥0，化简得(a －1)(a －5)≤0，解得1≤a ≤5.综上，实数a 的取值范围是[1,5]．。

课时作业14 导数与函数的单调性一、选择题1．函数y ＝(3－x 2)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞)D ．(－3,1)解析：y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)，由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，所以函数y ＝(3－x 2)e x的单调递增区间是(－3,1)，故选D.答案：D2．函数f (x )＝－xe x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )大小关系不能确定解析：因为f ′(x )＝－e x－x e xe 2x ＝x －1e x ，当x <1时有f ′(x )<0，故f (x )在x <1时为减函数，从而有f (a )>f (b )．答案：C3．(2017·兰州一中调研)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0,3]解析：f ′(x )＝x －9x ，当f ′(x )＝x －9x≤0时，0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，因为f (x )在[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2，故A 正确．答案：A4．(2017·十堰模拟)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1，2]上不单调，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．(－3,1)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：因为f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，所以f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，解得a ≥1或a ≤－3.答案：B5．若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A ．3f (1)<f (3) B ．3f (1)>f (3) C ．3f (1)＝f (3) D ．f (1)＝f (3)解析：由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f x x 2<0恒成立，因此f xx在R 上单调递减，∴f3<f1，即3f (1)>f (3)，故选B.答案：B6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b . 答案：C 二、填空题7．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增8．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1，4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－49．(2017·秦皇岛模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．解析：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞ 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x ＋k ex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －kex.又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 11．(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(Ⅰ)求a ，b 的值； (Ⅱ)求f (x )的单调区间． 解：(Ⅰ)因为f (x )＝x e a －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f＝2e ＋2，f ＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )＝x e 2－x＋e x . 由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋ex －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋ex －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值． 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．1．(2017·厦门模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝12x －1－x 3B ．f (x )＝12x －1＋x 3C ．f (x )＝12x ＋1－x 3D ．f (x )＝－12x ＋1－x 3解析：根据函数的定义域可以排除选项C ，D ；对于选项B ：f ′(x )＝－2x －2＋3x 2，当x >12时，f ′(x )不可能恒小于0，即函数不可能恒为减函数，故不符合．答案：A2．(2017·江西五校联考)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：令g (x )＝f xcos x，则g ′(x )＝ f xx －f xxcos 2x＝f xx ＋f x xcos 2x，由对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0可得g ′(x )>0，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数．所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，故选A.答案：A3．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，若函数g (x )＝f (x ＋1)＋5，对∀x ∈R ，总有g ′(x )>2x ，则g (x )<x 2＋4的解集为________．解析：设F (x )＝g (x )－x 2－4，则F ′(x )＝g ′(x )－2x >0，则F (x )＝g (x )－x 2－4为增函数，且F (－1)＝g (－1)－5＝f (－1＋1)＋5－5＝f (0)＝0，故F (x )<0，即g (x )<x 2＋4的解集为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)4．已知函数f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x(其中e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)定义：若函数h (x )在区间[s ，t ](s <t )上的取值范围为[s ，t ]，则称区间[s ，t ]为函数h (x )的“域同区间”．试问函数f (x )在(1，＋∞)上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝(x 2－1)e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1，因为e x>0，且在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f ′(x )>0，在区间(－1,1)上，f ′(x )<0，所以函数f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x的单调递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间是(－1,1)．(2)由(1)知函数f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x在区间(1，＋∞)上单调递增，若存在“域同区间”[s ，t ](1<s <t )，则必有f (s )＝s 且f (t )＝t ，也就是说方程(x 2－2x ＋1)e x＝x 在区间(1，＋∞)上至少存在两个不等的实数根．方程可以转化为x 2－2x ＋1＝x e x ，令g (x )＝x e x ，g ′(x )＝1－x e x ，显然x >1使得g ′(x )<0恒成立，g (x )＝x e x 在区间(1，＋∞)上是单调递减的，且g (x )<g (1)＝1e ；但二次函数h (x )＝x 2－2x ＋1在区间(1，＋∞)上是单调递增的，且h (x )>h (1)＝0；所以g (x )，h (x )的图象在区间(1，＋∞)上有唯一的交点，方程x 2－2x ＋1＝xe x 即(x 2－2x ＋1)e x＝x 在区间(1，＋∞)上不存在两个不等的实数根，因此函数f (x )在(1，＋∞)上不存在“域同区间”．。