信号与系统(精编版)第2章 连续时间信号与系统的时域分析

第2章 连续时间信号与系统的时域分析
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应用数学积分，第(3)题也可这样简便地计算:
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
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2.2 LTI连续系统的时域分析
在电路课程的动态电路分析中我们已建立了电路的自由 响应、强迫响应与零输入响应、零状态响应的概念，这里只 是把这些概念扩展应用到LTI连续系统中来。本节主要讨论由 LTI连续系统的数学模型即微分方程求系统的自由响应、强迫 响应、零输入响应、零状态响应。
(2.1-17)
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
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证明：先设a＞0。对式(2.1-17)左端积分，有
再设a＜0。对式(2.1-17)左端积分，有
(2.1-18)
(2.1-19)
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对式(2.1-17)右端积分，有
(2.1-20)
比较式(2.1-18)、式(2.1-19)、式(2.1-20)，可的时域分析
48
(3) 这个积分属于换元移动积分，移动积分中的参变量t 在积分的上限或下限都是可以的。读者应清楚，计算这类积
分的关键之处是：参变量t是在τ坐标轴上移动的。就本问题 来说，积分区间是从τ＝t到τ＝∞。然后，应用冲激函数的偶 函数性、尺度变换性将本问题的被积函数改写为
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2. 偶函数性质
由图2.1-1(d)可以看出单位斜坡函数的导函数是偶函数， 可以猜想由单位斜坡函数的导函数极限演变而得的单位冲激
函数δ(t)应该是偶函数，即有
(2.1-13)
这样的猜想尽管欠严密，但可以理解。下面就此性质作如下
推导：考虑积分
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图2.1-7 δ(t)与一般信号f(t)相乘示意图
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若对式(2.1-10)再作－∞到∞的积分，即得
(2.1-11)
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将式(2.1-11)推广，可得
(2.1-12) 若考虑单位冲激函数的狄拉克定义，则式(2.1-11)、式 (2.1-12)亦可分别改写为
8
由上述极限演变的过程，我们给出单位冲激函数的直观 定义为
(2.1-5)
狄拉克(Dirac)归纳总结了一类单位面积函数极限演变为 单位冲激函数的情况，给出了单位冲激函数的数学定义式， 即
(2.1-6)
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由式(2.1-3)、式(2.1-5)不难看出ε(t)与δ(t)之间的关系:
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图2.1-8 冲激偶图形
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4. 单位冲激函数的尺度变换性质
本节定义的单位冲激函数是一种特殊的奇异函数，对它
施行尺度变换时与普通函数相比有它特殊的地方，这里将之
总结为单位冲激函数的尺度变换性质。
若a为不等于零的实常数，则有
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2.1 单位阶跃信号与单位冲激信号 2.2 LTI连续系统的时域分析 2.3 冲激响应与阶跃响应 2.4 卷积积分及其应用
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2.1 单位阶跃信号与单位冲激信号
2.1.1 单位阶跃函数与单位冲激函数 单位阶跃函数、单位冲激函数在连续信号与系统的时域
(2.1-7)
(2.1-8)
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图2.1-2 δ(t)换元移动积分示意图
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在LTI系统分析中经常使用单位阶跃函数、单位冲激函数 表示某些信号。例如，t＝0时接入电路的幅度为A的电压源， 可以用Aε(t)表示，如图2.1-3(a)所示；t＝t0时接入电路的幅度 为B的电压源，可以用Bε(t－t0)表示，如图2.1-3(b)所示。Bε(t －t0)称为延时阶跃函数。如图2.1-3(c)所示的信号f(t)，亦可用 单位阶跃函数与单位延时阶跃函数的加权代数和表
解 今后作这类积分时，一看积分限，二看冲激函数所在 位置。若积分区间不包含冲激函数所在位置，勿需计算，积 分结果就是零；若积分区间包含着冲激函数所在位置，则将 冲激函数所在的时刻代入积分号内除了冲激函数以外的函数 之中，经计算所得之数值，就是积分之值。
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本问题的积分区间是t=－∞到3，而冲激函数δ(t－4)为位 于t=4的冲激函数。根据前述方法，故知本问题的积分值为零， 即
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函数的4个重要性质，这里顺便提及的是，单位阶跃函数 及单位冲激函数的导函数亦有尺度变换性质。若a为大于零的 正实数，则有
ε(at)=ε(t)
(2.1-21)
由单位阶跃函数的定义即可理解式(2.1-21)是成立的。因
a＞0，当t＞0时ε(at)＝1，当t＜0 时ε(at)＝0，当t＝0时
ε(at)＝1/2，这样所画出的ε(at)之图形正是ε(t)。
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可以证明：若a为不等于零的实常数，则有
(2.1-22)
单位冲激函数定义的特殊性，决定了冲激函数相乘运算无 定义，即是说δ(t)×δ(t)无定义。
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例2.1-3 求积分
30
式中，f(t)在t=0处连续。将上式中的－t换为τ，t换为－τ，dt 换为－dτ，使积分的上、下限亦随之作相应的变化，这样就 有
(2.1-14)
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比较式(2.1-11)与式(2.1-14)，得
从而有
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3. 单位冲激函数的导数 单位冲激函数的一阶导dδ(t)/dt常用δ′(t)表示，称它为单 位冲激偶，简称冲激偶，其定义为
(2.1-1)
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图2.1-1 ε(t)、δ(t)直观定义用图
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对γ1(t)求导，即对式(2.1-1)求导，得
(2.1-4)
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示为
(2.1-9)
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图2.1-3 一般的阶跃信号用时移单位阶跃信号加权和表示
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类似地，位于t=0、冲激强度为A的冲激信号，可以用 Aδ(t)表示，如图2.1-4(a)所示；位于t＝t0、冲激强度为B的 冲激信号，可以用Bδ(t－t0)表示，如图2.1-4(b)所示。 Bδ(t－t0)称为延时冲激信号。如图2.1-4(c)所示的信号f(t)，亦 可用单位冲激函数与单位延时冲激信号的加权代数和表
分析中举足轻重，占有重要的地位。所以我们在作“时域分 析”之前，先对这两个最基本的连续信号作充分的认识与了 解。
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单位阶跃函数可以看做由单位斜坡函数极限情况演变而 得，单位冲激函数可以看做由单位斜坡函数的导函数极限情 况演变而得。其极限演变过程示于图2.1-1。单位斜坡函数的 函数式为
(2.1-15)
式中，f(t)及其各阶导函数均为连续有界函数，
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对式(2.1-15)的成立可作如下推导：对式(2.1-15)的左端应 用分部积分，有
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类似地，δ(t)的n阶导δ(n)(t)的定义为
34 (2.1-16)
式中：
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2.2.1 微分方程经典解与自由响应、强迫响应
在1.2节中我们已归纳出一个n阶LTI连续系统的一般形式， 为了分析的方便，重书写在这里，即
(2.2-1)
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由高等数学知式(2.2-1)的解为
(2.2-2) 式中：yh(t)、yp(t)在数学中分别称为方程的齐次解与特解。
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若t≤－2，则
若－2≤t＜－1，则
若-1＜t＜1，则
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若1＜t＜2，则
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若t≥2，则
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综合以上各段计算结果，得
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例2.1-4 求积分 解 考虑冲激函数是偶函数，有δ(1－t)=δ(t－1)，所以
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观察上式，积分区间包含着δ(t－1)所在的t＝1位置，将
t＝1代入
故得积分值
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例2.1-5 计算下列积分:
18
例2.1-2 如图2.1-6(a)所示信号f(t)的波形图，设
求函数 y(t)并画出y(t)的波形图。
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图2.1-6 例2.1-2用图
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解 将f(t)换元为f(τ)，即f(t)|t=τ=f(τ)，图(a)中符号t→τ表示 将变量t换元为τ。写f(τ)的函数表达式为
示为
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图2.1-4 一般的冲激信号用时移单位冲激信号加权和表示
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例2.1-1 如图2.1-5(a)所示信号f(t)，求其一阶导函数f′(t)， 并画出f′(t)之波形。
解 由f(t)图形可知t=－1，1是它的两个第一类间断点， t=2，3是它的两个拐点。写f(t)的分段函数表达式为
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解 (1) 积分区间包含δ(t)所在t=0的位置。但是，本问题 将t＝0代入sinπt/t中，出现0/0的不定型，遇到这种不定型的情 况(0/0或∞/∞)，可应用数学中的罗彼达法则求其函数值:
故得积分
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(2)
对上式的第一项积分，可应用单位冲激函数一阶导函数定义 求得积分值；对上式第二项的积分可应用冲激函数的筛选性 质求得积分值。所以
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图2.1-5 例2.1-1用图
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考虑在函数拐点处其一阶导函数在该处为第一类间断点， 在函数第一类间断点处其一阶导函数出现冲激，所以对f(t)求 导，得
画f′(t)波形如图2.1-5(b)所示。
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式(2.2-4)、式(2.2-5)中Ci、Cj均为待定常数。
(2.2-5)
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求特解的过程如下：
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再分析讨论：t在什么区间取值包含冲激函数所在位置 τ＝2，并计算出其值；t又在什么区间取值不包含冲激函数δ(τ －2)所在位置τ＝2，这区间的积分值必然是零。根据以上分 析，我们具体计算本移动积分如下：
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当t＞2时，积分区间从t到∞，不包含δ(τ－2)所在位置τ＝ 2，故积分为0；当t＜2时，积分区间从t到∞就包含了δ(τ－2) 所在位置τ＝2，所以积分为2。故得
令式(2.2-1)右端等于零，这时的方程为齐次方程。齐次 解满足齐次方程，即有
(2.2-3)
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该齐次方程对应的特征方程为
解得n个特征根λ1，λ2，…，λn。若特征根均为相异单根，则 齐次解形式为
(2.2-4)
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若设λ1为r重根，其余特征根为相异单根，这种情况下齐 次解的形式为
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2.1.2 单位冲激函数的性质
1. 筛选性质(抽样性质)
如果函数f(t)为连续的有界函数，则有
(2.1-10) 式(2.1-10)表明，一个连续有界函数f(t)与位于t=0处单位冲激 函数δ(t)相乘，其乘积结果函数为位于t=0、强度为f(0)的冲激 函数。可这样理解式(2.1-10)：由于δ(t)在除t=0之外处处 为零，而f(t)处处有界，所以乘积为0；当t=0时f(t)的函数值为 f(0)，所以f(t)与δ(t)相乘得到式(2.1-10)所表述的结果。上述分 析过程可用图2.1-7作直观简明表示。