最常用的统计学概率分布总结 含清晰图

统计学⼀些知识的总结：qq图,肥尾分布,置信区间
Q-Q图: ⽐较已知样本的分布和猜测分布的图, 猜测的概率分布通常为正态分布。

⽐如猜测样本是正态分布的，则有：
假设样本有n个，则⽤标准正态分布函数获取n个分位值。

取法:
将样本和这个n个值都从⼩到⼤排列，⼀⼀对应。

这样就能获得n对坐标。

标准正态分布函数⽣成的值作x，样本值作y，则可在直⾓坐标系中绘制出n个点。

如果所有点连成的线越接近直线 y=x,那么就能说样本分布越近似猜测的分布。

参考链接:
/tag/qq图/
肥尾分布的q-q图如下:
置信区间: 值在某⼀个区间内的概率⼤于95%，就把这个区间叫作95%的置信区间，以此类推。

R的q-q图中虚线画出了95%的置信区间。

几种常见的概率分布及应用常见的概率分布有很多种，在统计学和概率论中，这些分布被广泛应用于各种领域，包括自然科学、工程、经济和社会科学等。

下面是几种常见的概率分布及其应用：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的概率分布之一，它的概率密度函数在一个给定的区间内是常数。

这种分布广泛应用于统计推断、模拟和随机数生成等领域。

2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布适用于具有两个可能结果的离散试验，如抛硬币、打靶等。

在二项分布中，每个试验都是独立的，并且具有相同的概率。

二项分布在实验研究和贝叶斯统计等领域有广泛的应用。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间或空间内稀有事件发生次数的概率分布。

它在复杂事件模型、风险评估和可靠性分析等领域有广泛的应用。

4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的连续概率分布之一，也被称为高斯分布。

它具有对称的钟形曲线，广泛应用于自然科学、社会科学和工程等领域。

正态分布在统计推断、回归分析、贝叶斯统计等方面发挥着重要作用。

5. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布适用于描述事件发生之间的时间间隔的概率分布。

它在可靠性工程、队列论、生存分析等领域有广泛的应用。

6. γ分布（Gamma Distribution）：γ分布是一类连续概率分布，用于描述正数随机变量的分布，如等待时间、寿命和利润等。

它在贝叶斯统计、过程控制和金融分析等领域被广泛使用。

7. t分布（T-Distribution）：t分布是一种用于小样本情况下的概率分布，它类似于正态分布，但考虑了样本容量较小的情况。

t分布在统计推断和假设检验等方面有广泛的应用。

8. χ²分布（Chi-Square Distribution）：χ²分布是一种用于度量变量之间的独立性和相关性的概率分布。

常见概率分布类型解析概率分布是描述随机变量可能取值的概率的函数。

在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布类型，它们在不同的情境下具有不同的特点和应用。

本文将对几种常见的概率分布类型进行解析，包括二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布。

一、二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的同一试验中成功的次数的概率分布。

在每次试验中，事件只有两种可能的结果，通常用“成功”和“失败”来表示。

二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。

二项分布常用于描述二元随机变量的分布，例如抛硬币、赌博游戏等。

在实际应用中，二项分布可以用来估计二元事件发生的概率，进行假设检验等。

二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。

泊松分布适用于事件发生的次数是独立的且平均发生率是恒定的情况。

泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，P(X=k)表示事件发生次数为k的概率，λ表示单位时间（或单位空间）内事件平均发生率。

泊松分布常用于描述稀有事件的发生情况，例如电话交换机接到的电话数、一天内发生的交通事故数等。

在实际应用中，泊松分布可以用来预测未来一段时间内事件发生的概率。

三、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，也称为高斯分布。

正态分布具有钟形曲线的特点，均值、方差完全决定了正态分布的形状。

正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ表示均值，σ表示标准差。

正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，例如身高、体重、考试成绩等。

概率论常见的几种分布常见的概率论分布有：均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。

1. 均匀分布均匀分布是指在一段区间内，各个取值的概率是相等的。

比如在一个骰子的例子中，每个面出现的概率是相等的，为1/6。

均匀分布在实际应用中常用于随机数生成、样本抽取等场景。

2. 正态分布正态分布又被称为高斯分布，是最常见的概率分布之一。

正态分布的特点是呈钟形曲线，数据集中在均值周围，并且具有对称性。

正态分布在自然界中广泛存在，比如人的身高、体重等都近似服从正态分布。

在统计学和数据分析中，正态分布的应用非常广泛，例如在建模、假设检验和置信区间估计等方面。

3. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一段时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。

泊松分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的平均速率是恒定的。

泊松分布在实际应用中常用于描述稀有事件的发生概率，比如电话呼叫中心的接听次数、交通事故的发生次数等。

4. 指数分布指数分布是描述连续随机变量的概率分布，用于描述时间间隔的概率分布。

指数分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的速率是恒定的。

指数分布在实际应用中常用于描述如等待时间、寿命等连续性事件的概率分布。

这四种分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。

它们分别适用于不同的场景和问题，能够帮助人们理解和分析数据。

在实际应用中，我们常常需要通过对数据进行建模和分析来确定数据的分布类型，从而更好地理解数据的特征和规律。

除了这四种常见的分布外，还有其他许多概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。

每种分布都有其独特的特点和应用领域。

在实际应用中，选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据，做出准确的推断和预测。

概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。

每种分布都有其特点和应用场景，在实际问题中选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的。

通过对数据的分布进行研究，我们能够更好地理解数据的规律和特征，为决策提供科学依据。

复习: 统计推断常用概率分布1.随机变量分布函数（1）累积分布函数(Cumulative Distribution Function (CDF))If X is any random variable, then its CDF is defined for any real number x byP X x（2）概率密度函数(Probability Density Function (PDF))The probability density function (PDF) f(x) of a continuous distribution is defined as the derivative of the (cumulative) distribution function F(x),ddso we havedt2. 正态分布（normal distribution ） （1）概率密度函数（PDF ）|µ,σ1σ√2πeµ以上结果可表示为 ~ ,.标准正态分布（standard normal distribution ）表示为N(0,1)x µ~N 0,1(2) 累积分布函数 (CDF)1σ√2πeµdt3. Chi-squared ( ）分布如果Z1, Z2 ..., Z n是相互独立的随机变量，且都服从于N(0,1)分布，那么服从自由度（degree of freedom, df）为n的χ 分布，记为X~χ n . （1）PDF of χ（2）CDF of χ4. t-分布(student's t-distribution)设)n (~Y )1,0(N ~X 2χ和，且X 和Y 相互独立，则称随机变量n Y X T /=服从df. 为n 的t-分布，记为T ～ t(n)。

（1）PDF of t-distribution（2）CDF of t-distribution5. F-分布X和Y是相互独立的χ 分布随机变量，d.f分别为m和n，则称随机变量n/ Y m/XF=服从df.为 (m, n)的F-分布，且通常写为F～F（m,n）。

常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。

不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。

以下是常用的概率分布类型及其特征。

1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。

例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。

伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。

2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。

它描述了在n次独立试验中成功的次数。

例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。

二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。

例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。

泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。

4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。

正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。

正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。

均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。

5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。

它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。

卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。

6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。

t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。

7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。

常用的概率分布类型与其特征概率分布是用于描述随机变量取值的概率的数学函数。

在统计学和概率论中，常用的概率分布类型包括离散型分布和连续型分布。

下面将分别介绍常见的离散型分布和连续型分布以及它们的特征。

离散型分布：1. 伯努利分布（Bernoulli distribution）是最简单的离散型分布，用于描述只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币。

特征是一个参数p，表示取得成功的概率，取值为0或12. 二项分布（Binomial distribution）是伯努利分布的扩展，用于描述独立重复进行的二项试验中成功次数的概率分布。

特征是两个参数n和p，n表示试验次数，p表示单次试验成功的概率。

3. 泊松分布（Poisson distribution）用于描述单位时间内事件发生次数的概率分布。

特征是一个参数λ，表示单位时间内事件平均发生的次数。

连续型分布：1. 均匀分布（Uniform distribution）是最简单的连续型分布，用于描述在一个区间内各个取值概率相等的情况。

特征是两个参数a和b，表示区间的上下界。

2. 正态分布（Normal distribution）是最常见的连续型分布，也称为高斯分布。

在许多自然现象中常见，如测量误差、生物学特征等。

特征是两个参数μ和σ，μ表示均值，σ表示标准差，曲线呈钟形。

3. 指数分布（Exponential distribution）用于描述不断独立进行的事件中第一个事件发生的时间间隔的概率分布。

特征是一个参数λ，表示事件发生的速率。

4. γ（伽玛）分布（Gamma distribution）也用于描述事件发生的时间间隔，但相对于指数分布而言，γ分布更加灵活，可以包含更多的形态。

特征是两个参数α和β，α表示发生的次数，β表示单位时间间隔内的事件平均发生次数。

5. β分布（Beta distribution）用于描述由有限个独立事件组成的随机变量的概率分布，其取值范围在[0, 1]之间。

常见概率分布类型解析概率分布是描述随机变量可能取值的概率分布情况的数学模型。

在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布类型，每种类型都有其特定的特征和应用场景。

本文将对常见的概率分布类型进行解析，帮助读者更好地理解和应用这些概率分布。

一、离散型概率分布1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是最常见的离散型概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

其中，伯努利试验是指只有两种可能结果的随机试验，如抛硬币、投篮等。

二项分布的概率质量函数为二项式系数的形式，通常用于描述成功概率固定的多次独立重复试验的结果。

2. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。

它适用于描述在一个固定时间或空间范围内，事件发生的次数满足一定条件的情况，如电话交换机接到的电话数、一天内发生的交通事故数等。

泊松分布的概率质量函数具有简单的形式，适用于事件发生率低、事件相互独立的情况。

二、连续型概率分布1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的连续型概率分布，也称为高斯分布。

它具有钟形曲线，均值和标准差完全决定了分布的形状。

正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，许多现实世界的数据都服从正态分布，如身高、体重等。

中心极限定理表明，大量独立随机变量的均值近似服从正态分布。

2. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述独立随机事件发生时间间隔的概率分布。

它常用于描述连续事件的等待时间，如客户到达间隔时间、设备故障间隔时间等。

指数分布具有无记忆性的特点，即已经等待了一段时间后，未来的等待时间与已经等待的时间长度无关。

3. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的连续型概率分布，描述了在一段区间内所有取值的概率相等的情况。

概率论与统计学基本概念ym_csu@原创内容，转载请注明出处概率论基本概念三个公理•0≤P E ≤1•P S =1•P ڂi=1∞E i =σi=0∞P E i ,E i E j =∅,i ≠j条件概率公式全概率公式贝叶斯公式条件概率公式贝叶斯公式全概率公式•P(A):先验概率。

是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现的概率•P(A|B):后验概率。

后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“果”。

朴素贝叶斯•通过假设两个事件条件独立来简化问题，即假设：•P(AB)=P(A)P(B)•机器学习中朴素贝叶斯方法就是根据后验概率最大化来进行参数估计，即求解max{ςP(x i|Y)}一些经典问题•非概率问题概率方法•赌徒破产问题随机变量•定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量。

概率分布函数和概率密度（以连续随机变量为例）•F(x)=P{X<x}=׬−∞x f x dx •F(x,y)=P{X<x,Y<y}=׬−∞x ׬−∞y f x,y dxdy •其中F 为概率分函数，f 为概率密度边缘分布（以连续随机变量为例）•对于连续型随机变量(X,Y)，设它的概率密度为f(x,y)+∞f x,y dy•f x x=׬−∞+∞f x,y dx•f y y=׬−∞期望•E X=σx i p i+∞xf x dx•E X=׬−∞•如果X，Y独立，则•E XY=E X E(Y)•E(X k)称为X的k阶矩，期望为一阶矩方差与协方差•D X=E X−E X2=E X2−E2(X)•D X,Y=D X+D Y+2E X−E X Y−E Y•E X−E X Y−E Y=E XY−E X E Y=Cov X,Y独立性，协方差，相关系系数关系•X，Y相互独立⟹Cov X,Y=0•Conv X,Y=0⇏X，Y相互独立•假设(X,Y)服从二元正态分布：•X，Y相互独立⟺Cov X,Y=0•Cov X,Y描述的是X,Y的线性相关的程度,通常用相关系数(皮尔逊相关系数)表示•ρxy=Cov(X,Y)D x D(y)•D(X)=0,则X==E(X)概率论中最重要的两个定理•大数定理•大数定理论述了随机变量前一些项的算术均值在一定条件下收敛到期望。