苏教版高中数学必修2-1.2导学案-直线与平面的位置关系(2)2

苏教版必修2《直线与平面的位置关系》教案及教学反思第一部分：教案设计一、教学目标1.知识目标：了解直线和平面的基本概念及它们之间的位置关系；2.能力目标：能够正确运用直线与平面的位置关系进行解决问题；3.情感目标：让学生对几何知识产生浓厚的兴趣并且能够在实际生活中运用所学知识。

二、教学重点和难点1.教学重点：理解直线和平面的概念，掌握它们之间的位置关系；2.教学难点：对几何知识的抽象理解，直线与平面的三种位置关系的把握。

三、教学过程设计1. 复习通过简单的例题复习直线的基本概念：直线是由无数相邻点组成，且其上的任意两点可以连线。

2. 问题导入用图片或黑板绘图，让学生观察和感受直线与平面的相对位置关系，并引导学生思考直线与平面之间有哪些可能的相对位置关系。

3. 教学内容展示1.平面的基本概念：由无数个在同一平面内的点组成，且其上任意两点可以连线；2.平面和直线的关系：–直线在平面内，称该直线在平面内；–直线与平面相交于一个点，称该直线与该平面相交；–直线与平面不相交，称该直线在该平面外。

4. 练习请学生在书本上或者黑板上自己画图，并根据所给的情境判断直线与平面的位置关系。

5. 总结教师进行简单的总结与回顾，帮助同学们更好地理解并掌握直线与平面的位置关系。

四、教学评估考查同学们在掌握直线与平面位置关系方面的能力。

第二部分：教学反思本教案内容设计的难度适中，主要配合教材《苏教版必修2》中的有关知识点。

在制定教案时，我遵循了“以学生为中心”的教学理念，注重提高学生的参与度，把学生的思维引导和让学生自主思考放在教学的重要位置。

在教学过程中，我充分发挥学生的主动性，提出问题，引导学生自己解答，以此拓展学生的思路。

在教学过程中，我尽可能地为学生提供更多的知识点，丰富教学内容。

针对学生自身特点和学习差异，我采用了多种不同的教学方法，包括：“绘图+描述”、问题导入、学生自主答题等方式。

教学中，出现了一些问题。

有部分略显贫乏的学生表现出了一些消极态度。

直线与平面的位置关系（2）学案班级学号姓名一、学习目标1.掌握直线和平面垂直的定义:2.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理:3.掌握判定直线平面垂直的方法:二、课堂学习重点：直线与平面垂直的定义，判定定理和性质定理．难点：线面垂直的判定定理和性质定理的应用．三、知识建构1、直线a与平面α互相垂直．2、叫平面α的垂线直线a的垂面垂足．3、思考:在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么，在空间:(1)过一点有几条直线与已知平面垂直?(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?4、叫做这个点到这个平面的距离．5、直线与平面垂直的判定定理图形：符号：6、直线与平面垂直的性质定理．图形：符号：证明:7、叫做这条直线和这个平面的距离．四、数学运用:例1、求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．例2、已知://l α.求证:直线l 上各点到平面α的距离相等．例3、如图, 已知PA α⊥，PB β⊥， 垂足分别为A 、B ， 且l αβ= ，求证：AB l ⊥.例4、Rt ABC ∆所在平面外一点S ，且SA SB SC ==．（1） 求证：点S 在斜边中点D 的连线SD ⊥面ABC ；（2） 若直角边BA BC =，求证：BD ⊥面SAC .五、课后复习1. 已知直线,,l m n 与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由．（1） 若l α⊥，则l 与α相交．（2） 若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥则l α⊥．（3） 若//,,l m m n αα⊥⊥，则.l n ⊥2.给出下列四个结论： A B Pα β l（1）若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直．（2）若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直．（3）若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底所在的直线．（4）若直线垂直于梯形的两底所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线，其中正确的结论的序号为 ．3.判断下列命题的真假：（1） 平行于同一直线的两条直线平行；（2） 平行于同一平面的两条直线平行；（3） 垂直于同一直线的两条直线平行；（4） 垂直于同一平面的两条直线平行．4.共点的三条线段,.OA OB OC 两两垂直，则OA BC ⊥5.在四面体ABCD 中，面是直角三角形的至多有 个．.6.证明在正方体1111ABCD A BC D -中，AC ⊥平面11BDB D ．7.已知,,PA PB αβ⊥⊥垂足分别为,,A B 且l αβ=求证；l ⊥平面APB8.在正方体''''ABCD A B C D -中，求证；'AC BD ⊥。

高中数学：1.2《直线与平面的位置关系2》教案（苏教版必修2）总课题点、线、面之间的位置关系总课时第10课时分课题直线与平面的位置关系（二）分课时第2课时教学目标理解直线和平面垂直的定义及相关概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；能初步应用这两个定理．重点难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究．?引入新课1．观察：①圆锥的轴与底面半径都垂直吗？为什么？②圆锥的轴与底面所有直线都垂直吗？为什么？③圆锥的轴与底面垂直吗？2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的直线都，那么直线与平面互相垂直，记作．直线叫做平面；平面叫做直线的；垂线和平面的交点称为．思考：①正投影的投影线与投影面垂直吗？斜投影呢？②在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？③在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？3．从平面外一点引平面的垂线，，叫做这个点到这个平面的距离．4．直线和平面垂直的判定定理语言表示：符号表示：4．直线和平面垂直的性质定理语言表示：符号表示：?例题剖析例 1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．例2 已知直线// 平面，求证：直线各点到平面的距离相等．根据例2给出直线和平面的距离定义：．?巩固练习1．已知直线，，与平面，指出下列命题是否正确，并说明理由：（1）若⊥，则与相交；（2）若，，⊥，⊥，则⊥；（3）若//，⊥，⊥，则//．2．如图，在正方体中, 则与的位置关系_________．与的位置关系_________．进而可得BD1与平面ACB1的关系．3．某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．4．如图，已知⊥，⊥，垂足分别为，，且∩=，求证：⊥平面．?课堂小结直线与平面垂直的定义，直线与平面平行的判定定理和性质定理．?课后训练一基础题1．已知⊥平面，，则与的位置关系是()A、//B、⊥C、与垂直相交D、与垂直且异面2．下列命题中正确的是(其中为不相重合的直线，为平面)() ①若//，//，则// ②若⊥，⊥，则//③若//，//，则// ④若⊥，⊥，则//A．①②③④B．①④C．①D．④3．如图，在正方体中，求证⊥．4．如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆上不同于的任一点，求证：⊥平面．二提高题5．已知，直线//平面，直线，求证：⊥．6．在三棱锥中，顶点在平面内的射影是外心，求证：．三能力题7．证明：过一点和已知平面垂直的直线只有一条。

高一数学教学案(125)必修 2 直线与平面的位置关系(二)班级 姓名目标要求1.进一步理解直线与平面平行的判定定理．2.直线与平面平行的性质定理及应用． 重点难点重点：直线与平面平行的性质定理及应用．难点：直线与平面平行的判定定理、性质定理的综合应用． 典例剖析 例1、已知平面α平面β＝ l ，a α⊂，b β⊂，//a b ．求证://a l ．例2、一个长方体木块如图所示，要经过平面11AC 内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？alb βαBCA D 11例3、如图，CD αβ=,EF αγ=,AB βγ=,//AB α．求证：//CD EF ．例4、求证：如果一条直线和两个相交平面均平行，那么这条直线就和它们的交线平行. 学习反思直线与平面平行的判定定理 ________________________________________；γβFEDCBAα直线与平面平行的性质定理是 ． 两定理说明了 和 可以相互转化．课堂练习1、判断命题的真假（1）若直线//a 平面α，则//a α内任意直线； （ ） （2）若直线//a 平面α，则//a α内无数条直线； （ ）（3）若直线//a 平面α内无数条直线，则//a α； （ ）（4）若,a b 异面，则过不在,a b 上的任一点o 总有一个平面与,a b 都平行．（ ）2、如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈． 求证：AC BD =．3、在正方体1AC 中，分别作出符合下列条件的截面：(不需要写作法) （1）过正方体三个顶点且与直线AC 平行； （2）过BD 且与1AC 平行．DCBAα1A 1C1A 1C高一数学作业(125)班级 姓名 得分1、已知直线//a b ，且a 与平面α相交，则b 与α的位置关系是 ．2、过平面外一点与已知平面平行的直线有 条．3、a ，b 是两条不重合的直线，给出以下四个命题：①若||,,||a b b a αα⊂则 ②若||,,||a b a b αα⊂平面则 ③若||,a b ||,a α平面则||b α ④若||,||,||a b a b αα平面平面则 其中真命题的序号是_________________. 4、下面给出了四个命题①如果a 、b 是两条直线，且a||b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面 ②如果直线a 和平面α满足a||α，那么a 与α内的任何直线平行 ③如果直线a 、b 满足a||α，b||α，则直线a||b④如果直线a ，b 和平面α满足a||b ，a||α，b α⊄，那么b||α 其中正确的序号是_______________. 5、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,,//E B C F B C E F C C ∈∈,点M ∈侧面 11AA B B , 点,,M E F 确定平面γ．试作出平面γ与三棱柱111ABC A B C -表面的交线,并写出作法．1A C6、如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形。

直线与平面的位置关系（1）
教学目标：
1．了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；
2．掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；
3．在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．
教学重点：
直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理以及性质定理．
教学难点：
直线和平面平行的判定定理以及性质定理的正确运用．
教学方法：
l m βαβ⊂⎬⎪=⎭
简记为：线面平行⇒线线平行注意：线面平行性质定理的运用关键在于过平面外的直线构造辅助平面与已知平面相交，则有已知直线与交线平行；
C
2．练习．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行；
2．线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行；
3．线面平行判定定理在使用时通常要在平面内找到一条线与已知直线平行；而线面平行的性质定理在使用时则需要构造辅助面找到交线，从而得到线线平行．。

课题：直线与平面垂直教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修②一、教学目标1．通过对实例、图片、模型的观察，让学生提炼并理解直线与平面垂直的定义．2．通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，引导学生探究直线与平面垂直的性质定理，尝试用文字、符号、图形语言对定义和定理进行准确表述和合理转换，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题．3．在探索直线与平面垂直的判定定理过程中发展学生的空间想象能力和合情推理能力，使学生感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想方法．二、教学重点、难点本节课的教学重点是运用直观感知、问题探究、操作确认等方法概括得出直线与平面垂直的定义和判定定理．教学难点是直线和平面垂直的性质定理的探究、发现和应用．三、教学方法与教学手段启发式教学与探究式教学相结合四、教学过程（一）直线与平面垂直定义的构建请同学们看四张图片：“圆锥图片”“国旗”“灯柱”“倾斜的虎丘塔”，从而引出课题：直线与平面垂直。

进而提出问题如何确定线面垂直关系呢播放动画，引导学生从观察熟悉的数学模型“圆锥体的形成”入手直观感知圆锥体的旋转轴与圆锥底面的垂直关系，以及旋转轴与底面圆上的所有半径都垂直，再通过抽象成数学模型加以分析，使其发现旋转轴所在直线l与圆锥底面所在平面α内的过交点O的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l与平面α内的所有直线垂直吗？并追问依据是什么？形成概念：由学生概括出自己理解的线面垂直，提出问题：“数学中对于这个概念的定义是如何规定的？”引导学生通过阅读教材予以理性确认，并引导学生用符号语言将它表示出来．（二）直线与平面垂直定义的应用问题一：如图在正方体中，已知AA 1垂直于底面，那么CC 1与底面的位置关系呢？ 问题二：你能写出更一般的正确结论并证明吗？让学生交流感受形成共识：①发现正确结论但不能直接使用；②体会定义的判定作用。

高二年级数学教学案
（二）直线与平面垂直的判定定理
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

简记为：“线线垂直，则线面垂直。

”
注意：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。

(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；
命题2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无。

A BA 1 C 1 D C D 1 P ．B 1 第10课时 直线与平面的位置关系（2）【学习目标】1、 使学生掌握直线与平面平行的性质定理、明确由线面平行可以推出线线平行，应用定理证明一些简单问题，培养学生的逻辑思维能力；2、培养学生良好的思维习惯，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.【学习重点】直线与平面平行的性质定理及其应用.【自主学习】问题：如果直线和平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行？ 如图，已知直线l ∥α，l ⊂β，m =βα ，则直线l 与m 的位置关系如何？为什么？【课堂探究】 问题：你能得到一个什么样的命题？直线与平面的性质定理： 。

上面的定理用符号语言如何表示？若两直线都与平面平行，那么这两直线平行吗？【课堂展示】例1、一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？例2、如图：E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、C D 于F 、G .求证：EH ∥FG .α β m l例3、求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.思考：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系呢？【新知回顾】1、直线与平面平行的性质定理；2、证线与面平行的基本方法：线线平行线面平行线线平行【教学反思】直线与平面的位置关系（2）作业1.a 、b 两直线平行于平面α，那么a 、b 的位置关系是2.直线a ∥b ，b ⊂α，则a 与α的位置关系是 3．下列命题：（1）直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；（2）若直线a 不在平面α内，则a ∥α；（3）若直线a ∥b ,直线b ⊄α，则a ⊄α；（4）若直线a ∥b ，b ⊄α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线；（5）若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；（6）过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；（7）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；（8）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行。

1．2.3直线与平面的位置关系取一块形状为平行四边形ABCD的木板，将平行四边形ABCD木板的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD转动到任意一个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？1．直线与平面的位置关系：(1)直线a在平面α内：直线a和平面α有无数个公共点，记作a⊂α；(2)直线a与平面α相交：直线a和平面α有且只有－个公共点，记作a∩α＝A；(3)直线a与平面α平行：直线a和平面α有0个公共点，记作a∥α．2．直线与平面平行的判定定理．(1)文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”(2)符号语言：若l⊄α，m⊂α，且l∥m，则l∥α.3．线面平行的判定定理的作用：证明线面平行．用该定理判断直线l 和平面α平行时，必须具备三个条件：①直线l不在平面α内，即l⊄α；②直线m在平面α内，即m⊂α；③两直线l、m平行，即l∥m．三个条件缺一不可．4．直线和平面平行的性质定理．(1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．简称为：“若线面平行，则线线平行”．(2)符号语言：若l∥α、l⊂β，α∩β＝m，则l∥m.(3)直线和平面平行的性质定理中有三个条件：①直线l和平面α平行，即l∥α；②平面α和平面β相交于直线m，即α∩β＝m；③直线l在平面β内，即l⊂β.这三个条件是缺一不可的条件．5．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直．6．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．7．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．8．直线与平面垂直的判定定理．(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(2)符号语言：若l⊥m、l⊥n、m∩n＝B、m⊂α、n⊂α，则l⊥α.9．直线和平面垂直的性质定理．(1)文字语言：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)符号语言：已知直线a、b和平面α，若a⊥α，b⊥α，那么a∥b.10．直线和平面相交包括直线与平面垂直和直线与平面不垂直两种，后者叫做这个平面的斜线，其交点叫斜足，斜线上任意一点与斜足间的线段，叫做这个点到平面的斜线段．11．直线和平面所成角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：①当一直线垂直于平面，所成的角是直角；②当一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°；③直线和平面所成角的范围是[0°，90°]；④直线和平面所成角是斜线与该平面内直线所成角的最小值．12．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)找出斜线在给定平面内的射影；(2)指出并论证斜线与平面所成的角；(3)在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．,一、直线和平面的位置关系空间的直线与平面有如下三种位置关系：①直线在平面内——有无数个公共点；②直线与平面相交——有一个公共点；③直线与平面平行——没有公共点．为便于掌握三者间的从属关系可分类为：⎩⎪⎨⎪⎧直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交：有且只有一个公共点直线与平面平行：没有公共点直线在平面内：有无数个公共点同学们在学习时要借助于直线与平面的三种位置关系的画法和符号表示加强理解和掌握．判断直线在平面内的常用方法是：①公理1；②反证法．判断直线和平面相交的常用方法是：①证明直线和平面有且只有一个公共点；②反证法．二、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”符号语言为：若l ⊄α，m ⊂α，且l ∥m ，则l ∥α.这一定理告诉我们“证明线面平行的实质是证明线和平面内的一条直线平行”．请同学们谨记：线线平行具有传递性，但线面平行却没有传递性，即命题“a∥b，b∥α⇒a∥α”是假命题．直线与平面平行的判定方法：①依定义采用反证法；②判定定理；③利用公理4.三、直线和平面平行的性质定理如果一条直线和已知平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行，简称“若线面平行，则线线平行”．该定理的实质是由线面平行推出线线平行，常用于证明线线平行问题．但要谨记“线”的特殊性——是过已知直线的平面与已知平面的“交线”．虽然由线面平行，能得到线与平面内的无数条直线平行，但并不是和平面内的每一条直线都平行，若直线和平面平行，则这条直线与平面内的直线的位置关系包括平行和异面．四、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．该定理是证明线面垂直的重要方法，应用时要谨记“两条相交直线”这一条件．定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．五、直线和平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．定理的证明运用了“反证法”，同学们要在老师的指导下完成定理的证明并由此掌握反证法的使用条件及操作过程．该定理给出了证明线线平行的又一方法．因此，利用该定理即可以证明线线垂直，也可以证明线线平行．六、直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．直线和平面所成的面包括0°角、直角、锐角，因此直线和平面所成角的范围是[0°，90°]．求斜线与平面所成的角一般步骤：①找出斜线在给定平面内的射影；②指出并论证斜线与平面所成的角；③在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．直线和平面所成角是通过其相应的平面角的大小来表示的，教材中由直线与平面垂直的定义及斜线和射影来定义直线和平面所成的角，在学习直线与平面垂直的定义时要区分“任意”与“无数”两个词的不同含义，命题“如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直”是假命题．基础巩固知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理1．如果点M是两条异面直线a、b外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面有________个．解析：过点M分别作直线a、b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则这样的平面不存在．否则两条相交直线确定的平面与a、b都平行．答案：0或12．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．解析：利用线面平行的性质定理判断．答案：平行3．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是________．解析：用定理来判定线面平行需满足三个条件．答案：0知识点二直线与平面垂直的判定定理和性质定理4．(2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．答案：C5．若两条直线满足条件________(填序号)，则这两条直线一定平行．①同垂直于一条直线；②同垂直于一个平面；③同平行于一个平面；④同在一个平面内．解析：根据线面垂直的性质定理．答案：②6．设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的序号是________．解析：根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．答案：①②③④7．给出下列命题：①垂直于同一平面的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．其中正确的命题的序号是________．解析：由线面垂直的性质知①②③④均正确．答案：①②③④8．如图，四面体PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB.∴△PAC、△PAB均为直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA知BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB.∴△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4个．答案：4个知识点三斜线、射影与线面角9．如图，△BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB与平面BCD所成的角；(2)求BP与平面PCD所成的角．解析：(1)∵PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影．∴∠PBD为PB与平面BCD所成的角．∵BD⊥BC，由三垂线定理得BC⊥BP，又∵CD的长等于点P到BC 的距离，∴BP＝CD.设BC＝a，则BD＝a，BP＝CD＝2a，∴在Rt△BPD中，cos∠DBP＝22.∴∠DBP＝45°，即PB与平面BCD所成角为45°.(2)如图，过点B作BE⊥CD于点E，连接PE.由PD⊥平面BCD得PD⊥BE，又PD∩CD＝D.∴BE⊥平面PCD.∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角．在Rt△BEP中，由(1)知：BE＝22a，BP＝2a，∴∠BPE＝30°，即BP与平面PCD所成角为30°.能力升级综合点一直线与平面平行的综合应用10．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．解析：如图，当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A、B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．答案：平行或相交11．如右图，已知：M 、N 分别是△ADB 和△ADC 的重心，点A 不在平面α内，B 、D 、C 在平面α内．求证：MN ∥α.证明：如图，连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于点P 、Q ，连接PQ .∵M 、N 分别是△ADB 、△ADC 的重心，∴AM MP ＝AN NQ＝2. ∴MN ∥PQ .又PQ ⊂α，MN ⊄α，∴MN ∥α.综合点二 直线与平面垂直的综合应用12．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边．不能保证该直线与平面垂直的是(C)A．①②B．②C．②④D．①②④解析：三角形的两边及圆的两条直径一定相交，而梯形的两边及正六边形的两边可能平行，故②④不能保证该直线与平面垂直．13．在三棱锥OABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA ＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是________．解析：画出三棱锥，将OM与平面ABC所成角放在直角三角形中求解．答案： 2综合点三平行关系的互相转化和综合应用14．如下图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，∠ABC＝60°，PA ＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE：ED＝2：1.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论．证明：如下图，当F为PC的中点时，BF∥面AEC.取PE的中点M，连接FM，有FM∥CE.①由EM＝12PE＝ED知：E是MD的中点，连BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连OE，∴BM∥OE.②由①②知：平面BFM∥平面ACE.又BF⊂平面BFM，∴BF∥平面AEC.因此当F为PC中点时满足题意．。