苏教版高中数学必修2-1.2导学案-直线与平面的位置关系(2)2

苏教版必修2《直线与平面的位置关系》教案及教学反思第一部分：教案设计一、教学目标1.知识目标：了解直线和平面的基本概念及它们之间的位置关系；2.能力目标：能够正确运用直线与平面的位置关系进行解决问题；3.情感目标：让学生对几何知识产生浓厚的兴趣并且能够在实际生活中运用所学知识。

二、教学重点和难点1.教学重点：理解直线和平面的概念，掌握它们之间的位置关系；2.教学难点：对几何知识的抽象理解，直线与平面的三种位置关系的把握。

三、教学过程设计1. 复习通过简单的例题复习直线的基本概念：直线是由无数相邻点组成，且其上的任意两点可以连线。

2. 问题导入用图片或黑板绘图，让学生观察和感受直线与平面的相对位置关系，并引导学生思考直线与平面之间有哪些可能的相对位置关系。

3. 教学内容展示1.平面的基本概念：由无数个在同一平面内的点组成，且其上任意两点可以连线；2.平面和直线的关系：–直线在平面内，称该直线在平面内；–直线与平面相交于一个点，称该直线与该平面相交；–直线与平面不相交，称该直线在该平面外。

4. 练习请学生在书本上或者黑板上自己画图，并根据所给的情境判断直线与平面的位置关系。

5. 总结教师进行简单的总结与回顾，帮助同学们更好地理解并掌握直线与平面的位置关系。

四、教学评估考查同学们在掌握直线与平面位置关系方面的能力。

第二部分：教学反思本教案内容设计的难度适中，主要配合教材《苏教版必修2》中的有关知识点。

在制定教案时，我遵循了“以学生为中心”的教学理念，注重提高学生的参与度，把学生的思维引导和让学生自主思考放在教学的重要位置。

在教学过程中，我充分发挥学生的主动性，提出问题，引导学生自己解答，以此拓展学生的思路。

在教学过程中，我尽可能地为学生提供更多的知识点，丰富教学内容。

针对学生自身特点和学习差异，我采用了多种不同的教学方法，包括：“绘图+描述”、问题导入、学生自主答题等方式。

教学中，出现了一些问题。

有部分略显贫乏的学生表现出了一些消极态度。

直线与平面的位置关系（2）学案班级学号姓名一、学习目标1.掌握直线和平面垂直的定义:2.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理:3.掌握判定直线平面垂直的方法:二、课堂学习重点：直线与平面垂直的定义，判定定理和性质定理．难点：线面垂直的判定定理和性质定理的应用．三、知识建构1、直线a与平面α互相垂直．2、叫平面α的垂线直线a的垂面垂足．3、思考:在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么，在空间:(1)过一点有几条直线与已知平面垂直?(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?4、叫做这个点到这个平面的距离．5、直线与平面垂直的判定定理图形：符号：6、直线与平面垂直的性质定理．图形：符号：证明:7、叫做这条直线和这个平面的距离．四、数学运用:例1、求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．例2、已知://l α.求证:直线l 上各点到平面α的距离相等．例3、如图, 已知PA α⊥，PB β⊥， 垂足分别为A 、B ， 且l αβ= ，求证：AB l ⊥.例4、Rt ABC ∆所在平面外一点S ，且SA SB SC ==．（1） 求证：点S 在斜边中点D 的连线SD ⊥面ABC ；（2） 若直角边BA BC =，求证：BD ⊥面SAC .五、课后复习1. 已知直线,,l m n 与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由．（1） 若l α⊥，则l 与α相交．（2） 若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥则l α⊥．（3） 若//,,l m m n αα⊥⊥，则.l n ⊥2.给出下列四个结论： A B Pα β l（1）若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直．（2）若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直．（3）若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底所在的直线．（4）若直线垂直于梯形的两底所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线，其中正确的结论的序号为 ．3.判断下列命题的真假：（1） 平行于同一直线的两条直线平行；（2） 平行于同一平面的两条直线平行；（3） 垂直于同一直线的两条直线平行；（4） 垂直于同一平面的两条直线平行．4.共点的三条线段,.OA OB OC 两两垂直，则OA BC ⊥5.在四面体ABCD 中，面是直角三角形的至多有 个．.6.证明在正方体1111ABCD A BC D -中，AC ⊥平面11BDB D ．7.已知,,PA PB αβ⊥⊥垂足分别为,,A B 且l αβ=求证；l ⊥平面APB8.在正方体''''ABCD A B C D -中，求证；'AC BD ⊥。

高中数学：1.2《直线与平面的位置关系2》教案（苏教版必修2）总课题点、线、面之间的位置关系总课时第10课时分课题直线与平面的位置关系（二）分课时第2课时教学目标理解直线和平面垂直的定义及相关概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；能初步应用这两个定理．重点难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究．?引入新课1．观察：①圆锥的轴与底面半径都垂直吗？为什么？②圆锥的轴与底面所有直线都垂直吗？为什么？③圆锥的轴与底面垂直吗？2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的直线都，那么直线与平面互相垂直，记作．直线叫做平面；平面叫做直线的；垂线和平面的交点称为．思考：①正投影的投影线与投影面垂直吗？斜投影呢？②在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？③在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？3．从平面外一点引平面的垂线，，叫做这个点到这个平面的距离．4．直线和平面垂直的判定定理语言表示：符号表示：4．直线和平面垂直的性质定理语言表示：符号表示：?例题剖析例 1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．例2 已知直线// 平面，求证：直线各点到平面的距离相等．根据例2给出直线和平面的距离定义：．?巩固练习1．已知直线，，与平面，指出下列命题是否正确，并说明理由：（1）若⊥，则与相交；（2）若，，⊥，⊥，则⊥；（3）若//，⊥，⊥，则//．2．如图，在正方体中, 则与的位置关系_________．与的位置关系_________．进而可得BD1与平面ACB1的关系．3．某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．4．如图，已知⊥，⊥，垂足分别为，，且∩=，求证：⊥平面．?课堂小结直线与平面垂直的定义，直线与平面平行的判定定理和性质定理．?课后训练一基础题1．已知⊥平面，，则与的位置关系是()A、//B、⊥C、与垂直相交D、与垂直且异面2．下列命题中正确的是(其中为不相重合的直线，为平面)() ①若//，//，则// ②若⊥，⊥，则//③若//，//，则// ④若⊥，⊥，则//A．①②③④B．①④C．①D．④3．如图，在正方体中，求证⊥．4．如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆上不同于的任一点，求证：⊥平面．二提高题5．已知，直线//平面，直线，求证：⊥．6．在三棱锥中，顶点在平面内的射影是外心，求证：．三能力题7．证明：过一点和已知平面垂直的直线只有一条。

高一数学教学案(125)必修 2 直线与平面的位置关系(二)班级 姓名目标要求1.进一步理解直线与平面平行的判定定理．2.直线与平面平行的性质定理及应用． 重点难点重点：直线与平面平行的性质定理及应用．难点：直线与平面平行的判定定理、性质定理的综合应用． 典例剖析 例1、已知平面α平面β＝ l ，a α⊂，b β⊂，//a b ．求证://a l ．例2、一个长方体木块如图所示，要经过平面11AC 内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？alb βαBCA D 11例3、如图，CD αβ=,EF αγ=,AB βγ=,//AB α．求证：//CD EF ．例4、求证：如果一条直线和两个相交平面均平行，那么这条直线就和它们的交线平行. 学习反思直线与平面平行的判定定理 ________________________________________；γβFEDCBAα直线与平面平行的性质定理是 ． 两定理说明了 和 可以相互转化．课堂练习1、判断命题的真假（1）若直线//a 平面α，则//a α内任意直线； （ ） （2）若直线//a 平面α，则//a α内无数条直线； （ ）（3）若直线//a 平面α内无数条直线，则//a α； （ ）（4）若,a b 异面，则过不在,a b 上的任一点o 总有一个平面与,a b 都平行．（ ）2、如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈． 求证：AC BD =．3、在正方体1AC 中，分别作出符合下列条件的截面：(不需要写作法) （1）过正方体三个顶点且与直线AC 平行； （2）过BD 且与1AC 平行．DCBAα1A 1C1A 1C高一数学作业(125)班级 姓名 得分1、已知直线//a b ，且a 与平面α相交，则b 与α的位置关系是 ．2、过平面外一点与已知平面平行的直线有 条．3、a ，b 是两条不重合的直线，给出以下四个命题：①若||,,||a b b a αα⊂则 ②若||,,||a b a b αα⊂平面则 ③若||,a b ||,a α平面则||b α ④若||,||,||a b a b αα平面平面则 其中真命题的序号是_________________. 4、下面给出了四个命题①如果a 、b 是两条直线，且a||b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面 ②如果直线a 和平面α满足a||α，那么a 与α内的任何直线平行 ③如果直线a 、b 满足a||α，b||α，则直线a||b④如果直线a ，b 和平面α满足a||b ，a||α，b α⊄，那么b||α 其中正确的序号是_______________. 5、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,,//E B C F B C E F C C ∈∈,点M ∈侧面 11AA B B , 点,,M E F 确定平面γ．试作出平面γ与三棱柱111ABC A B C -表面的交线,并写出作法．1A C6、如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形。

直线与平面的位置关系（1）
教学目标：
1．了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；
2．掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；
3．在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．
教学重点：
直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理以及性质定理．
教学难点：
直线和平面平行的判定定理以及性质定理的正确运用．
教学方法：
l m βαβ⊂⎬⎪=⎭
简记为：线面平行⇒线线平行注意：线面平行性质定理的运用关键在于过平面外的直线构造辅助平面与已知平面相交，则有已知直线与交线平行；
C
2．练习．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行；
2．线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行；
3．线面平行判定定理在使用时通常要在平面内找到一条线与已知直线平行；而线面平行的性质定理在使用时则需要构造辅助面找到交线，从而得到线线平行．。

课题：直线与平面垂直教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修②一、教学目标1．通过对实例、图片、模型的观察，让学生提炼并理解直线与平面垂直的定义．2．通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，引导学生探究直线与平面垂直的性质定理，尝试用文字、符号、图形语言对定义和定理进行准确表述和合理转换，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题．3．在探索直线与平面垂直的判定定理过程中发展学生的空间想象能力和合情推理能力，使学生感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想方法．二、教学重点、难点本节课的教学重点是运用直观感知、问题探究、操作确认等方法概括得出直线与平面垂直的定义和判定定理．教学难点是直线和平面垂直的性质定理的探究、发现和应用．三、教学方法与教学手段启发式教学与探究式教学相结合四、教学过程（一）直线与平面垂直定义的构建请同学们看四张图片：“圆锥图片”“国旗”“灯柱”“倾斜的虎丘塔”，从而引出课题：直线与平面垂直。

进而提出问题如何确定线面垂直关系呢播放动画，引导学生从观察熟悉的数学模型“圆锥体的形成”入手直观感知圆锥体的旋转轴与圆锥底面的垂直关系，以及旋转轴与底面圆上的所有半径都垂直，再通过抽象成数学模型加以分析，使其发现旋转轴所在直线l与圆锥底面所在平面α内的过交点O的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l与平面α内的所有直线垂直吗？并追问依据是什么？形成概念：由学生概括出自己理解的线面垂直，提出问题：“数学中对于这个概念的定义是如何规定的？”引导学生通过阅读教材予以理性确认，并引导学生用符号语言将它表示出来．（二）直线与平面垂直定义的应用问题一：如图在正方体中，已知AA 1垂直于底面，那么CC 1与底面的位置关系呢？ 问题二：你能写出更一般的正确结论并证明吗？让学生交流感受形成共识：①发现正确结论但不能直接使用；②体会定义的判定作用。

高二年级数学教学案
（二）直线与平面垂直的判定定理
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

简记为：“线线垂直，则线面垂直。

”
注意：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。

(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；
命题2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无。

A BA 1 C 1 D C D 1 P ．B 1 第10课时 直线与平面的位置关系（2）【学习目标】1、 使学生掌握直线与平面平行的性质定理、明确由线面平行可以推出线线平行，应用定理证明一些简单问题，培养学生的逻辑思维能力；2、培养学生良好的思维习惯，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.【学习重点】直线与平面平行的性质定理及其应用.【自主学习】问题：如果直线和平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行？ 如图，已知直线l ∥α，l ⊂β，m =βα ，则直线l 与m 的位置关系如何？为什么？【课堂探究】 问题：你能得到一个什么样的命题？直线与平面的性质定理： 。

上面的定理用符号语言如何表示？若两直线都与平面平行，那么这两直线平行吗？【课堂展示】例1、一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？例2、如图：E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、C D 于F 、G .求证：EH ∥FG .α β m l例3、求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.思考：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系呢？【新知回顾】1、直线与平面平行的性质定理；2、证线与面平行的基本方法：线线平行线面平行线线平行【教学反思】直线与平面的位置关系（2）作业1.a 、b 两直线平行于平面α，那么a 、b 的位置关系是2.直线a ∥b ，b ⊂α，则a 与α的位置关系是 3．下列命题：（1）直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；（2）若直线a 不在平面α内，则a ∥α；（3）若直线a ∥b ,直线b ⊄α，则a ⊄α；（4）若直线a ∥b ，b ⊄α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线；（5）若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；（6）过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；（7）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；（8）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行。

1．2.3直线与平面的位置关系取一块形状为平行四边形ABCD的木板，将平行四边形ABCD木板的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD转动到任意一个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？1．直线与平面的位置关系：(1)直线a在平面α内：直线a和平面α有无数个公共点，记作a⊂α；(2)直线a与平面α相交：直线a和平面α有且只有－个公共点，记作a∩α＝A；(3)直线a与平面α平行：直线a和平面α有0个公共点，记作a∥α．2．直线与平面平行的判定定理．(1)文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”(2)符号语言：若l⊄α，m⊂α，且l∥m，则l∥α.3．线面平行的判定定理的作用：证明线面平行．用该定理判断直线l 和平面α平行时，必须具备三个条件：①直线l不在平面α内，即l⊄α；②直线m在平面α内，即m⊂α；③两直线l、m平行，即l∥m．三个条件缺一不可．4．直线和平面平行的性质定理．(1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．简称为：“若线面平行，则线线平行”．(2)符号语言：若l∥α、l⊂β，α∩β＝m，则l∥m.(3)直线和平面平行的性质定理中有三个条件：①直线l和平面α平行，即l∥α；②平面α和平面β相交于直线m，即α∩β＝m；③直线l在平面β内，即l⊂β.这三个条件是缺一不可的条件．5．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直．6．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．7．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．8．直线与平面垂直的判定定理．(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(2)符号语言：若l⊥m、l⊥n、m∩n＝B、m⊂α、n⊂α，则l⊥α.9．直线和平面垂直的性质定理．(1)文字语言：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)符号语言：已知直线a、b和平面α，若a⊥α，b⊥α，那么a∥b.10．直线和平面相交包括直线与平面垂直和直线与平面不垂直两种，后者叫做这个平面的斜线，其交点叫斜足，斜线上任意一点与斜足间的线段，叫做这个点到平面的斜线段．11．直线和平面所成角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：①当一直线垂直于平面，所成的角是直角；②当一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°；③直线和平面所成角的范围是[0°，90°]；④直线和平面所成角是斜线与该平面内直线所成角的最小值．12．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)找出斜线在给定平面内的射影；(2)指出并论证斜线与平面所成的角；(3)在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．,一、直线和平面的位置关系空间的直线与平面有如下三种位置关系：①直线在平面内——有无数个公共点；②直线与平面相交——有一个公共点；③直线与平面平行——没有公共点．为便于掌握三者间的从属关系可分类为：⎩⎪⎨⎪⎧直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交：有且只有一个公共点直线与平面平行：没有公共点直线在平面内：有无数个公共点同学们在学习时要借助于直线与平面的三种位置关系的画法和符号表示加强理解和掌握．判断直线在平面内的常用方法是：①公理1；②反证法．判断直线和平面相交的常用方法是：①证明直线和平面有且只有一个公共点；②反证法．二、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理常表述为：“线线平行，则线面平行．”符号语言为：若l ⊄α，m ⊂α，且l ∥m ，则l ∥α.这一定理告诉我们“证明线面平行的实质是证明线和平面内的一条直线平行”．请同学们谨记：线线平行具有传递性，但线面平行却没有传递性，即命题“a∥b，b∥α⇒a∥α”是假命题．直线与平面平行的判定方法：①依定义采用反证法；②判定定理；③利用公理4.三、直线和平面平行的性质定理如果一条直线和已知平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行，简称“若线面平行，则线线平行”．该定理的实质是由线面平行推出线线平行，常用于证明线线平行问题．但要谨记“线”的特殊性——是过已知直线的平面与已知平面的“交线”．虽然由线面平行，能得到线与平面内的无数条直线平行，但并不是和平面内的每一条直线都平行，若直线和平面平行，则这条直线与平面内的直线的位置关系包括平行和异面．四、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．该定理是证明线面垂直的重要方法，应用时要谨记“两条相交直线”这一条件．定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．五、直线和平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．即垂直于同一个平面的两条直线平行．定理的证明运用了“反证法”，同学们要在老师的指导下完成定理的证明并由此掌握反证法的使用条件及操作过程．该定理给出了证明线线平行的又一方法．因此，利用该定理即可以证明线线垂直，也可以证明线线平行．六、直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．直线和平面所成的面包括0°角、直角、锐角，因此直线和平面所成角的范围是[0°，90°]．求斜线与平面所成的角一般步骤：①找出斜线在给定平面内的射影；②指出并论证斜线与平面所成的角；③在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．直线和平面所成角是通过其相应的平面角的大小来表示的，教材中由直线与平面垂直的定义及斜线和射影来定义直线和平面所成的角，在学习直线与平面垂直的定义时要区分“任意”与“无数”两个词的不同含义，命题“如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直”是假命题．基础巩固知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理1．如果点M是两条异面直线a、b外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面有________个．解析：过点M分别作直线a、b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则这样的平面不存在．否则两条相交直线确定的平面与a、b都平行．答案：0或12．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．解析：利用线面平行的性质定理判断．答案：平行3．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是________．解析：用定理来判定线面平行需满足三个条件．答案：0知识点二直线与平面垂直的判定定理和性质定理4．(2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．答案：C5．若两条直线满足条件________(填序号)，则这两条直线一定平行．①同垂直于一条直线；②同垂直于一个平面；③同平行于一个平面；④同在一个平面内．解析：根据线面垂直的性质定理．答案：②6．设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的序号是________．解析：根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．答案：①②③④7．给出下列命题：①垂直于同一平面的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．其中正确的命题的序号是________．解析：由线面垂直的性质知①②③④均正确．答案：①②③④8．如图，四面体PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB.∴△PAC、△PAB均为直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA知BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB.∴△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4个．答案：4个知识点三斜线、射影与线面角9．如图，△BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB与平面BCD所成的角；(2)求BP与平面PCD所成的角．解析：(1)∵PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影．∴∠PBD为PB与平面BCD所成的角．∵BD⊥BC，由三垂线定理得BC⊥BP，又∵CD的长等于点P到BC 的距离，∴BP＝CD.设BC＝a，则BD＝a，BP＝CD＝2a，∴在Rt△BPD中，cos∠DBP＝22.∴∠DBP＝45°，即PB与平面BCD所成角为45°.(2)如图，过点B作BE⊥CD于点E，连接PE.由PD⊥平面BCD得PD⊥BE，又PD∩CD＝D.∴BE⊥平面PCD.∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角．在Rt△BEP中，由(1)知：BE＝22a，BP＝2a，∴∠BPE＝30°，即BP与平面PCD所成角为30°.能力升级综合点一直线与平面平行的综合应用10．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．解析：如图，当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A、B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．答案：平行或相交11．如右图，已知：M 、N 分别是△ADB 和△ADC 的重心，点A 不在平面α内，B 、D 、C 在平面α内．求证：MN ∥α.证明：如图，连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于点P 、Q ，连接PQ .∵M 、N 分别是△ADB 、△ADC 的重心，∴AM MP ＝AN NQ＝2. ∴MN ∥PQ .又PQ ⊂α，MN ⊄α，∴MN ∥α.综合点二 直线与平面垂直的综合应用12．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边．不能保证该直线与平面垂直的是(C)A．①②B．②C．②④D．①②④解析：三角形的两边及圆的两条直径一定相交，而梯形的两边及正六边形的两边可能平行，故②④不能保证该直线与平面垂直．13．在三棱锥OABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA ＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是________．解析：画出三棱锥，将OM与平面ABC所成角放在直角三角形中求解．答案： 2综合点三平行关系的互相转化和综合应用14．如下图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，∠ABC＝60°，PA ＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE：ED＝2：1.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论．证明：如下图，当F为PC的中点时，BF∥面AEC.取PE的中点M，连接FM，有FM∥CE.①由EM＝12PE＝ED知：E是MD的中点，连BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连OE，∴BM∥OE.②由①②知：平面BFM∥平面ACE.又BF⊂平面BFM，∴BF∥平面AEC.因此当F为PC中点时满足题意．。

O 课 题：直线与平面垂直
一、教学目标
1借助对实例的观察与思考，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解定义；
2通过独立思考、合作探究，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用；
3在判定定理的探究中体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想，培养善
于观察、类比、归纳、反思等良好的思维品质
二、教学重点与难点
教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理；
教学难点：判定定理的探究
三、教学方法
教学方法：启发式、自主学习、合作探究；
四、教学过程
一直线与平面垂直的概念建构
问题1：观察圆锥SO （如图，它给我们以轴SO 轴SO 与底面内的哪些直线垂直呢？
直线与平面垂直的定义：
图形表示：
符号表示：
思考1:一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直吗？
二直线与平面垂直的定义的简单运用
例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
三直线与平面垂直判定定理的探究
问题2：将一本书竖立在桌面上，怎样才能让书脊所在直线与桌面垂直？
直线与平面垂直的判定定理：
图形表示：
符号表示：
（四）直线与平面垂直判定定理的运用
例2 如图，已知正方体1111D C B A ABCD
1证明：直线1AA 与平面ABCD 垂直
（2）直线1AB 与平面11BCD A 是否垂直？为什么？
五、课堂小结
六、自主检测
已知：,,βα⊥⊥PB PA 垂足分别为B A ,,且l =⋂βα 求证：APB l 平面⊥。

江苏省灌云县第一中学2013-2014学年高中数学 1.2.3 直线和平面的位置关系（2）导学案（无答案）苏教版必修2学习目标：1.理解直线和平面垂直的定义及相关概念；2.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；能初步应用这两个定理．学习重难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究．一、自学质疑1．直线与平面平行的判定定理与性质定理是什么？2. 观察：①圆锥的轴与底面半径都垂直吗？为什么？②圆锥的轴与底面所有直线都垂直吗？为什么？③圆锥的轴与底面垂直吗？3..与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的直线都，那么直线a 与平面α互相垂直，记作．直线a叫做平面；平面叫做直线a 的；垂线和平面的交点称为．思考：①正投影的投影线与投影面垂直吗？斜投影呢？②在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？③在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？4．从平面外一点引平面的垂线，，叫做这个点到这个平面的距离．5．直线和平面垂直的判定定理(1)文字语言:(2)符号语言:(3)图形语言:(4)定理中需要注意哪些问题?由几个条件才能推出结论?(5)线面垂直的判定定理的作用是什么?6. 直线和平面垂直的性质定理(1)文字语言:(2)符号语言:(3)图形语言:二、例题剖析例1. 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．例2.已知直线l // 平面α，求证：直线l 各点到平面α的距离相等．根据例2给出直线和平面的距离定义： ．练习:1. 已知a ⊥平面α，b ⊂α，则a 与b 的位置关系是____________2.判断下列命题的真假:(1)平行于同一条直线的两条直线平行； （ ）(2)平行于同一个平面的两条直线平行； （ ）(3) 垂直于同一条直线的两条直线平行； （ ）(4) 垂直于同一个平面的两条直线平行； （ ）3．下列命题正确的是__________________-(1)若一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；(2)若一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；(3)若一条直线和一个平面内任何一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.4．已知直线l ，m ，n 与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由：（1）若l ⊥α，则l 与α相交；（2）若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α；（3）若l //m ，m ⊥α，n ⊥α，则l //n ．5.下列命题中正确的是(其中c b a ，，为不相重合的直线，α为平面) ____________ ①若b //a ，c //a ，则b //c ②若b ⊥a ，c ⊥a ，则b //c③若a //b ，b //α，则a //b ④若a ⊥α，b ⊥α，则a //b6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中, 则1BD 与AC 的位置关系__________．1BD 与C B 1的位置关系___________．进而可得BD 1与平面ACB 1的关系 ______ ．三、课堂小结1.本节课我学到了哪些知识？2.本节课我学到了哪些方法？C A。

1.2.2 空间两条直线的位置关系2
学习要求
1. 掌握异面直线的定义．
２．理解并掌握异面直线判定方法．
.3.掌握异面直线所成的角的计算方法． 【课堂互动】
自学评价
１. 异面直线的定义
２．异面直线的特点
３．画法：平面衬托法
４．异面直线的判定方法
(1)定义法
(2)判定定理
(3)反证法
５．异面直线所成的角
(1)定义：
(2)范围： ６．异面直线的垂直
【精典范例】
例1：已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体.
(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC 1是异面直线;
(2)求异面直线AA 1与BC 所成的角;
(3)求异面直线BC 1和AC 所成的角.
C A 1
a b a b a
b
追踪训练
１．指出下列命题是否正确，并说明理由：
(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；
(2) 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．
２．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，那些棱所在直线与直线AA 1是异面直线且互相垂直．
３．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：
(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．
４．在空间四边形ABCD 中, E 、F 分别是AB 、CD 中点, 且EF=5 , 又AD=6, BC=8. 求AD 与BC 所成角的大小.
课堂小结
B
C A
D
E
F H。

1.2.3 直线与平面的位置关系（2）
教学目标：
1．掌握直线与直线垂直的概念；了解点到平面的距离；直线到平面的距离；
2．掌握直线与平面垂直的判定定理；
3．能够初步运用线面垂直的定义和判定定理证明简单命题．
教材分析及教材内容的定位：
垂直关系是历年高考的核心内容之一，空间的垂直有三种：线线垂直、线面垂直和面面垂直；线面垂直是联系线线垂直和面面垂直的桥梁，因而本节课是重中之重. 线面垂直判定定理运用的关键在于证明直线和平面内的两条相交直线垂直；对于线面垂直的定义，用它来证明线面垂直较为困难，而已知线面垂直时，根据定义可知这条直线垂直于这个平面内的所有直线，提供了一种证明线线垂直的方法，即要证明线线垂直，则需要证明线面垂直.线面垂直的性质定理则为证明线线平行提供了一种重要方法.
教学重点：
直线与平面垂直的概念、判定定理和性质定理；
教学难点：
直线与平面垂直的概念及判定定理的归纳和概括.
教学方法：
问题探究，自主发现式．
教学过程：
一、问题情境
1．复习：线面平行的定义，判定定理与性质定理
2．在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内外，是否存在线面垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？
二、学生活动
C
α
P
C。

1.2.3 直线与平面的位置关系第1课时至厦门与平面平行的判定【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．一、填空题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．1．2．3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定答案知识梳理1．直线在平面外a⊄α2．这个平面内的一条直线作业设计1．0解析①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．2．b∥α或b与α相交3．平行或相交4．平行5．0,1或无数6．12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．7．无数8．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C19．平行解析设BD的中点为F，则EF∥BD1．10．证明取D1B1的中点O，连结OF，OB．∵OF綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OF綊BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．11．证明连结AF延长交BC于G，连结PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．12．①③13．证明方法一如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN．∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE ＝BD ．又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ． 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ BD ． ∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN ． 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连结AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连结EK ．∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK．∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ ∥EK ． 又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ ∥面BCE ．第2课时 直线与平面平行的性质【课时目标】 1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q 在CD上，则PQ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________．二、解答题10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③A1D1始终水面EFGH平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF ∥AB ． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH ． 又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH ． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a ∥平面α，则a ∥b ．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n ∥α． 8．223a解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3．9．m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE ∶EB ＝m ∶n ．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA ∥GH ．11．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH ．又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ． ∴EF ∥平面BCD ．而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ， ∴EF ∥CD ．而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．任意一条直线都垂直a⊥α2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m ∩n ＝O ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a ∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P 到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)9．90°解析∵B1C1⊥面ABB1A1，∴B1C1⊥MN．又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1M，∴MN⊥C1M．∴∠C1MN＝90°．10．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．11．证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF ． ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21．∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC．13．证明(1)∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵AQ⊂平面SAB，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，∴AQ⊥平面SBC．(2)∵AQ⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，∴SC⊥平面APQ．∵PQ⊂平面APQ，∴PQ⊥SC．第4课时直线与平面垂直的性质【课时目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理．2．会求直线与平面所成的角．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．该定理用图形表示为： 用符号表示为：________________________．2．直线和平面的距离：一条直线和一个平面________，这条直线上______________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．3．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面______________．规定：若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是________．若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是________的角．一、填空题1．与两条异面直线同时垂直的平面有________个．2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ； ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是______________．4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)．①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．5．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．(1)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的______心；(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．6．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．7．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b 平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．(正三棱柱：侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱)二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．求线面角，确定直线在平面内的射影的位置，是解题的关键．因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．第4课时直线与平面垂直的性质答案知识梳理1．平行a⊥α，b⊥α⇒a∥b2．平行 任意一点3．所成的角 直角 0° 作业设计 1．0 2．3解析 ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)． 3．PE>PF>PG解析 由于PG ⊥平面α于G ，PF ⊥EF ， ∴PG 最短，PF<PE ，∴PE>PF>PG ． 4．①②④解析 PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，①正确； 又BC ⊥AC ，∴BC ⊥面PAC ， ∴BC ⊥PC ，②、④均正确． 5．(1)内 (2)垂 (3)外 6．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．7．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．8．(1)45° (2)30° (3)90° 解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°． (2)连结A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D ⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ， ∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．(3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°． 9．30°解析 取AC 的中点E ，连结C 1E ，BE ，则∠BC 1E 即为所求的角．又由BC 1＝3，BE ＝32，所以sin ∠BC 1E ＝12，∠BC 1E ＝30°．10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连结ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．11．证明连结AG 并延长交BC 于D ，连结A ′G ′并延长交B ′C ′于D ′，连结DD ′，由AA ′⊥α，BB ′⊥α，CC ′⊥α，得AA ′∥BB ′∥CC ′．∵D 、D ′分别为BC 和B ′C ′的中点，∴DD ′∥CC ′∥BB ′，∴DD ′∥AA ′，∵G 、G ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的重心， ∴AG GD ＝A ′G ′G ′D ′，∴GG ′∥AA ′， 又∵AA ′⊥α，∴GG ′⊥α．12．证明 ∵M 、N 分别是EA 与EC 的中点， ∴MN ∥AC ，又∵AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC ，∵DB ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ， ∴BD ∥EC ，四边形BDEC 为直角梯形， ∵N 为EC 中点，EC ＝2BD ，∴NC 綊BD ，∴四边形BCND 为矩形， ∴DN ∥BC ，又∵DN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DN ∥平面ABC ， 又∵MN ∩DN ＝N ，∴平面DMN ∥平面ABC ． 13．(1)证明 如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1， 得BC ⊥平面ACC 1A 1． 连结AC 1，则BC ⊥AC 1．由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1． 又BC ∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ．因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点． 又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN ∥AC 1．故MN ⊥平面A 1BC ． (2)解 如图所示，因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ， 则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成的角．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝22a ，BC 1＝2a ．在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12，所以∠C 1BD ＝30°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．。