与斜面有关的平抛运动

斜面平抛运动练习题

在物理学中，有一种非常经典的运动模式叫做斜面平抛运动。斜面

平抛运动指的是物体沿着斜面上抛后自由落体的过程。这个运动模式

是学习物理的基础，对于学生来说是非常重要的。为了帮助大家更好

地理解和掌握斜面平抛运动，我给大家推荐几道练习题。

题目一：小球沿着角度为30度的斜面以速度8m/s的初速度做斜面

平抛运动，求小球飞行的最远水平距离。

解析：首先我们要找到小球的初速度分解成斜面上沿和法线方向上

的分速度。由于小球是斜着上抛的，所以垂直向上的分速度为

v*sin(30°)，沿斜面的分速度为v*cos(30°)。接下来，我们需要根据公

式计算小球的飞行时间。由于沿斜面运动的距离和斜面长度相关，所

以我们需要计算小球下落到斜面底部的时间。根据自由落体公式

h=1/2*g*t^2，其中h为斜面高度，g为重力加速度，t为下落时间。将

斜面高度代入公式，可以求得小球下落到斜面底部的时间。最后，我

们可以根据飞行时间和水平分速度计算小球的最远水平距离。

题目二：一个小球从斜面顶部以角度60度和初速度5m/s进行斜面

平抛运动，求小球到达最高点的高度和到达地面的时间。

解析：与题目一类似，首先我们将小球的速度进行分解，沿斜面上

沿的分速度为v*sin(60°)，沿斜面下滑的分速度为v*cos(60°)。接下来，我们需要计算小球从斜面顶部到达最高点的时间。可以利用重力加速

度在垂直方向上的分速度v*sin(60°)和下落时间计算实现。根据自由落

体公式v=gt，可以得到上升时间为v*sin(60°)/g。于是，小球从斜面顶

小球在斜面平抛的规律

当小球在斜面上以水平方向进行平抛时，我们可以分析小球

在水平方向和竖直方向上的运动规律。

首先，水平方向上的运动是匀速直线运动。因为小球在水平

方向上不受任何水平力的作用，只受到竖直方向上的重力作用。而重力只对小球的竖直运动起作用，并不影响小球在水平方向

的运动。

其次，竖直方向上的运动是自由落体运动。小球在竖直方向

上受到重力的作用，因此竖直方向上的运动是加速运动。根据

重力加速度公式g=9.8m/s²，小球在竖直方向上的运动速度会不断增加，而且方向是向下的。

由于斜面的倾角不同，小球在斜面上的平抛运动规律也会有

所不同。

当斜面倾角为0度时，即斜面与水平面平行时，小球的平抛

运动退化为水平抛体运动。小球在水平方向上的速度保持不变，而在竖直方向上的速度会以重力加速度g向下增加。

当斜面倾角为45度时，即斜面的角度为最大角度时，小球

在水平方向上的速度和竖直方向上的速度是相等的。小球在斜

面上进行平抛运动时，水平方向上的速度和竖直方向上的速度

都保持不变。

当斜面倾角小于45度时，小球在水平方向上的速度大于竖

直方向上的速度，小球会沿着斜面向下运动，但速度逐渐减小。在斜面上进行平抛运动时，小球在水平方向上的速度会随着时

间的增加而减小，而竖直方向上的速度会随着重力加速度的作

用逐渐增大。

当斜面倾角大于45度时，小球在水平方向上的速度小于竖

直方向上的速度，小球会沿着斜面向上运动，但速度逐渐减小。在斜面上进行平抛运动时，小球在水平方向上的速度会随着时

间的增加而减小，而竖直方向上的速度会随着重力加速度的作

与斜面有关的平抛运动多角度引申

河北省鸡泽县第一中学 许童钰 057350

平抛运动是“曲线运动〞的重点，也是我们接触到的非常典型的曲线运动。化曲为直是我们解决问题的根本思路。应用平抛运动的规律解题的首先是将平抛物体的运动正确地沿两个方向分解为两个简单运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。根据运动的独立性原理决定了水平方向与竖直方向的两个分运动互不影响；而分运动之间、以及分运动和合运动之间的等时性那么是联系各分运动、以及分运动和合运动的桥梁，所以求解平抛运动的时间成为解决平抛运动问题的关键。

【例1】如图1所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α =53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，斜面顶端与平台的高度差h=，重力加速度g=10m/s 2

，sin53° = 0.8，cos53°

= 0.6，求

⑴小球水平抛出的初速度v 0是多少？ ⑵斜面顶端与平台边缘的水平距离s 是多少？

⑶假设斜面顶端高H = ，那么小球离开平台后经多长时间t 到达斜面底端？

【解析】〔1〕由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否那么小球会弹起，所以v y = v 0tan53°

v y 2

= 2gh

代入数据，得v y = 4m/s ，v 0 = 3m/s 〔2〕由v y = gt 1得t 1 =

s =v 0t 1 = 3× =

〔3〕小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a =

mg sin53° m

= 8m/s 2

初速度 υ = υ02 + υy 2 = 5m/s

斜面上的平抛运动

一、斜面上的平抛运动

○顺着斜面运动

（斜面足够长）

1.【典型例题】如图所示，斜面倾角为θ，小球从A点以初速度v0

水平抛出，恰好落到斜面B点，求：

①AB间的距离；

②物体在空中飞行的时间；

2.如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，

它落到斜面上B点所用的时间为（）

答案：B 〔同类题〕

3. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。设一位运动员由山坡顶部的A 点沿水平方向飞出，到山坡上的B 点着陆。如图所示，已知运动员水平飞行的速度为v 0=20m/s ，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面。(取g=10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)求:

(1)运动员在空中飞行的时间t ; (2)AB 间的距离s 。 答案:(1)3s (2)75m

解析:(1)设运动员从A 到B 时间为t ，则有

x =v 0t y =gt 2

由数学关系知tan θ=y /x 所以t =3s 。 (2)A 、B 间的距离为:

s = m =75m 。 〔STS 〕跳台滑雪

4. 如图所示，在足够长的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t 1；若将此球改用2v 0抛出，落到斜面上所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为（ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4 答案：B

斜面上的平抛运动

一、斜面上的平抛运动

○顺着斜面运动

（斜面足够长）

<落到斜面>

1.【典型例题】如图所示，斜面倾角为θ，小球从A点以初速度v0

水平抛出，恰好落到斜面B点，求：

①AB间的距离；

②物体在空中飞行的时间；

2.如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，

它落到斜面上B点所用的时间为（）

答案：B 〔同类题〕

3. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。设一位运动员由山坡顶部的A 点沿水平方向飞出，到山坡上的B 点着陆。如图所示，已知运动员水平飞行的速度为v 0=20m/s ，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面。(取g=10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)求:

(1)运动员在空中飞行的时间t ; (2)AB 间的距离s 。 答案:(1)3s (2)75m

解析:(1)设运动员从A 到B 时间为t ，则有

x =v 0t y =gt 2

由数学关系知tan θ=y /x 所以t =3s 。 (2)A 、B 间的距离为:

s = m =75m 。 〔STS 〕跳台滑雪

4. 如图所示，在足够长的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t 1；若将此球改用2v 0抛出，落到斜面上所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为（ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4 答案：B

例析平抛运动与斜面的组合问题

许文

将平抛运动与斜面组合是一种常见的深化平抛运动的构题方式。这类组合问题往往通过斜面的一些隐含条件，能很好地考查同学们对平抛运动规律的理解与运用。下面通过实例剖析平抛运动与斜面组合的几种经典构题方式，探究各种组合问题的命题规律，总结求解问题的分析方法。

一、起点在斜面外、落点在斜面上的平抛

起点在斜面外、落点在斜面上的平抛运动问题往往会给出做平拋运动的物体落在斜面上的速度方向与斜面的夹角或物体落在斜面上的位置。斜面往往会隐含着物体做平抛运动末速度的方向、平抛运动的水平位移与竖直位移间的关系。通常根据斜面的倾角，由几何关系、三角函数等数学知识找出相关的隐含条件，才能使问题得以顺利求解。

例1如图1所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面时运动的时间为t，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（）。

点评

本题中斜面约束了小球的平抛运动，斜面的倾角隐含着小球做平抛运动的末速度方向、水平位移与竖直位移间的关系。通过相关的数学知识找出这种隐含条件是分析求解这类问题的关键。

例2如图2所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰好落在b点。若小球的平抛初速度变为v，落点位于c点，则（）。

A.v0

B.√2v0

C.2v0

D.v>3v0

例3如图4所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，现测得AB：BC：CD=5：3：1，则（）。

第五章抛体运动

专题4与斜面、曲面相结合的平抛运动课程标准核心素养

1. 进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点.

2. 熟练运用平抛运动规律解决相关问题．1、物理观念：平抛运动与斜面曲面的结合问题。

2、科学思维：利用速度和位移分解的思想解决问题。

3、科学探究：探究平抛运动与斜面相结合的问题的解题突破口。

4、科学态度与责任：利用平抛运动的规律和几何关系解决实际问题。

知识点01 与斜面有关的平抛运动

运动情形题干信息分析方法

从空中水平抛出垂直落到斜面上

速度方向分解速度，构建速度三角形v x＝v0

v y＝gt

θ与v0、t的关系：

tan θ＝

v x

v y＝

v0

gt

从斜面水平抛出又落到斜面上

位移方向分解位移，构建位移三角形x＝v0t

y＝

1

2gt2

θ与v0、t的关系：

tan θ＝

y

x＝

gt

2v0

目标导航知识精讲

【即学即练1】如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t ＝ 3 s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，由此计算出物体的水平位移x和水平初速度v0正确的是()

A．x＝25 m B．x＝521 m

C．v0＝10 m/s D．v0＝20 m/s

知识点02 与曲面相关的平抛运动

已知速度方向

情景示例解题策略

从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地

进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速

度方向沿该点圆弧的切线方向

分解速度tan θ＝

v y

v0＝

gt

v0

利用位移关系从圆心处抛出落到半径为R的圆弧

上，如图所示，位移大小等于半径R

⎩⎪

⎨

⎪⎧

x＝v0t

y＝

与斜面有关的平抛运动

与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：

(1)物体从空中抛出落在斜面上；

(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．

在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．

两种情况的特点及分析方法对比如下：

方法内容斜面飞行时间总结

分解速度

水平方向：v x＝v0

竖直方向：v y＝gt

合速度：v＝v x2＋v y2

特点：tan θ＝

v x

v y＝

v0

gt

t＝

v0

g tan θ

分解速度，构建

速度三角形

分解位移

水平方向：x＝v0t

竖直方向：y＝

1

2gt2

合位移：s＝x2＋y2

特点：tan θ＝

y

x＝

gt

2v0

t＝

2v0tan θ

g

分解位移，构建

位移三角形

【例1】如图所示，以9.8 m/s的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)()

A.

2

3s B.

22

3s ， C. 3 s D.2 s

【例2】如图所示，AB为固定斜面倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)

(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；

(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最

大距离为多大？

【例3】如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g ，则A 、B 之间的水平距离为( )

与斜面结合的平抛运动问题

考点规律分析

与斜面结合的平抛运动常见的两类情况

(1)顺着斜面抛：如图甲所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：

①到达斜面的速度方向与斜面夹角恒定；

②到达斜面的水平位移和竖直位移的关系：tanθ＝y

x＝1

2gt

2

v0t＝

gt

2v0；

③运动时间t＝2v0tanθ

g。

(2)对着斜面抛：如图乙所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：

①速度方向与斜面垂直；

②水平分速度与竖直分速度的关系：tanθ＝v0

v y＝

v0

gt；

③运动时间t＝

v0

g tanθ。

例题讲解

女子跳台滑雪如图所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ取37°，斜坡可以看成一斜面。(取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：

(1)运动员在空中飞行的时间t ； (2)A 、B 间的距离s 。

[规范解答] (1)运动员由A 点到B 点做平抛运动，水平方向的位移x ＝v 0t ，竖直方向的位移y ＝1

2gt 2，

又y

x ＝tan37°，联立以上三式得t ＝2v 0tan37°g ＝3 s 。

(2)由题意知sin37°＝y s ＝12

gt 2s ， 得A 、B 间的距离s ＝gt 2

与斜面有关的平抛运动

1．如图，从斜面上的点以速度υ0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，己知AB=75m，a=37°，不计空气阻力，下列说法正确的是

A.物体的位移大小为75m

B.物体飞行的时间为6s

C.物体的初速度v0大小为20m/s

D.物体在B点的速度大小为30m/s

【答案】AC

【解析】

试题分析：由图可知，物体的位移大小为75m，选项A正确；物体飞行的时

间为

，选项B错误；物体的初速度v0大小

为

，选项C正确；物体在B点的速度大小

为

D错误；故选AC.

考点：平抛运动的规律.

2．如图所示，斜面与水平面夹角，在斜面上空A点水平抛出两个小球a、b，初速度分别为v a、v b，a球落在斜面上的N点，而AN恰好垂直于斜面，而b球恰好垂直打到斜面上M点，则（）

A．a、b两球水平位移之比2v a:v b

B．a、b两球水平位移之比2v a2 :v b2

C．a、b两球下落的高度之比4v a2 :v b2

D．a、b两球下落的高度之比2v a2 :v b2

【答案】BC

【解析】

试题分析：a球落在N点，位移与斜面垂直，则位移与水平方向的夹角为90°-θ，设此时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα=2tan（90°-θ），b球速度方向与斜面垂直，

速度与水平方向的夹角为90°-θ，

则a、b两球下落的高度之比

22

4:

a b

v v．故C正确，D

a、b两球的

运动时间之比为v a：2v b，根据x=v0t，则水平位移之比为：x a：x b＝v a2：2v b2．故B正确，A 错误．故选：BC．

考点：平抛运动的规律.

专题15 斜面上的平抛运动

一、物体的起点在斜面外，落点在斜面上 1．求平抛时间

1．以Vo=9.8m/s 的初速水平抛出一小球，小球垂直撞击倾角为30°

的斜面，问小球在空中飞行了多少时间。

2．求平抛初速度

2．如图3，在倾角为37°的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，

该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。

,

3．求平抛物体的落点

3.如图5－14所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd 。从

a 点正上方O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上

b 点，

若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面

上的( Ａ )

A ．b 与c 之间某一点

B ．c 点

C ．c 与d 之间某一点

D ．d 点

!

二、物体的起点和落点均在斜面上

此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角。一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解。

1．求平抛初速度及时间

4．如图，倾角为θ的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长为L ，求抛出的初速度及时间

5.如图所示,从倾角为θ的斜面上的A 点以速度V 0平抛一个小球,小

球落在斜面上的B 点.则小球从A 到B 的运动时间为 。

Vo 30°Vo

#

2．求平抛末速度及位移大小

6．如图，从倾角为θ的斜面上的A 点，以初速度v 0，沿水平方向抛出一个小球，落在斜面上B 点。求：小球落到B 点的速度及A 、B 间的距离。

3．求最大距离（按需分解）

7．如图，在倾角为θ的斜面上以速度vo 水平抛出一个小球，设斜

第16讲 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型

一.知识总结

斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。

1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论） (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。 (2)刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。

(3)运动的时间与初速度成正比⎝ ⎛⎭⎪⎫

t ＝2v 0tan θg 。 (4)位移与初速度的二次方成正比⎝ ⎛⎭⎪⎫s ＝2v 2

0tan θg cos θ。

(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。

2．常见的模型

模型

方法

分解速度，构建

速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向

的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形

分解位移，构建

位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹

角

基本 规律

水平：v x ＝v 0

竖直：v y ＝gt 合速度：

v ＝v 2x ＋v 2

y

水平：v x ＝v 0 竖直：v y ＝gt 合速度：

v ＝v 2x ＋v 2

y

水平：x ＝v 0t 竖直：y ＝1

2gt 2 合位移： s ＝x 2＋y 2

方向：tanθ＝v x

v y方向：tanθ＝

v y

v x方向：tanθ＝

y

x

运动时间由tanθ＝

v0

v y＝

v0

gt

得t＝

v0

g tanθ

由tanθ＝

高三专题提高训练：与斜面相关联的平抛运动

常见模型

【例1】(2019·河南信阳一模)如图7所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。则运动员落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角φ满足()

A.tan φ＝1.33

B.tan φ＝1.44

C.tan φ＝1.50

D.tan φ＝2.00

【变式】在【例1】中，若运动员从O点飞出的初速度为20 m/s，则运动员离开O点后离斜坡的最远距离为()

A.30 m

B.15 m

C.18 m

D.9 m

例1、解析运动员落到斜坡上的瞬间，对其速度进行分解，如图所示。竖直分速度v y

＝gt，与水平分速度v0的比值tan φ＝v y

v0＝

gt

v0

；竖直分位移

y＝1

2

gt2，与水平分位移x＝v0t的比值tan θ＝

y

x

＝

gt

2v0

，可见

tan φ＝2tan θ＝1.50，选项C正确。答案 C

变式解析将运动员的初速度v0和加速度g分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解，如图所示，初速度v0沿垂直斜面方向上的分量为v1＝v0sin θ，加速度g在垂直于斜面方向上的分量为a1＝g cos θ，根据分运动各自独立的原理可知，离斜面的最大距离仅由v1和a1决定，当垂直于斜面的分速度的大小减为零时，运动员离斜面的距离

最大，最大距离d＝v21

2a1

＝

v20sin2θ

2g cos θ

＝9 m。选项D正确。