§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )(2)设{a ，b }是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )教材改编题1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2,3)，e 2＝(12，－34)答案 BD2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)答案 A解析 设P (x ，y )，由题意知P 1P —→ ＝13P 1P 2—→，∴(x －1，y －3)＝13(4－1,0－3)＝(1，－1)，即Error!∴Error!3．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(2，x －1)，若(2a －b )∥a ，则x 为________．答案 2或－1解析 2a －b ＝(2x －2,3－x )，∵(2a －b )∥a ，∴2x －2＝x (3－x )，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( )A.34AB → －14AC →B.14AB → －34AC →C.34AB → ＋14AC →D.14AB → ＋34AC →答案 A(2)如图，已知平面内有三个向量OA → ，OB → ，OC → ，其中OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，且|OA → |＝|OB → |＝1，|OC → |＝23.若OC → ＝λOA → ＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝______.答案 6解析 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC → ＝OB 1—→ ＋OA 1—→，因为OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23，所以|OB 1—→ |＝2，|B 1C —→|＝4，所以|OA 1—→ |＝|B 1C —→|＝4，所以OC → ＝4OA → ＋2OB → ，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B (－12，32)，C (3，3)．由OC → ＝λOA → ＋μOB → ，得Error!解得Error!所以λ＋μ＝6.教师备选1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB → ＝a ，AC → ＝b ，则向量AD →等于( )A ．a ＋b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a ＋23b答案 C解析 设圆的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，所以∠BAC ＝π3，∠ACB ＝π6，又∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，所以∠ACB ＝∠BAD ＝∠CAD ＝π6，则根据圆的性质得BD ＝AB ，又因为在Rt △ABC 中，AB ＝12AC ＝r ＝OD ，所以四边形ABDO 为菱形，所以AD → ＝AB → ＋AO →＝a ＋12b .2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG → ＝λCD → ＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题图可设CG → ＝xCE →(0<x <1)，则CG → ＝x (CB → ＋BE → )＝x (CB → ＋12CD →)＝x 2CD →＋xCB → .因为CG → ＝λCD → ＋μCB → ，CD → 与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．跟踪训练1 (1)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE → ＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1 D.516答案 A解析 DE → ＝12DA → ＋12DO→＝12DA → ＋14DB →＝12DA → ＋14(DA → ＋AB → )＝14AB → －34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.(2)如图，以向量OA → ＝a ，OB → ＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM → ＝13BC → ，CN → ＝13CD → ，则MN →＝________.(用a ，b 表示)答案 12a －16b解析 ∵BA → ＝OA → －OB →＝a －b ，BM → ＝16BA → ＝16a －16b ，∴OM → ＝OB → ＋BM →＝b ＋(16a －16b )＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON → ＝OC → ＋13CD → ＝12OD → ＋16OD → ＝23OD → ＝23a ＋23b .∴MN → ＝ON → －OM → ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.(133，83) B.(－133，－83)C.(133，43)D.(－133，－43)答案 D解析 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )．∵a －2b ＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c ＝－13(a －2b )＝(－133，－43).(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE → ＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85 C ．2 D.83答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，∴C (2,0)，A (0,2)，B (1,2)，E (0,1)，∴CA → ＝(－2,2)，CE → ＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA → ＝λCE → ＋μDB → ，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴Error!解得Error!故λ＋μ＝85.教师备选已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.(2，72)B.(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)答案 A解析 设D (x ，y )，则AD → ＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC → ＝2AD →，所以Error!解得Error!所以顶点D 的坐标为(2，72).思维升华 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体．跟踪训练2 (1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 以向量a 和b 的交点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO → ＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则Error!解得Error!∴λμ＝－2－12＝4.(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP → ＝2PC → ，点Q 是AC 的中点，若PA → ＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则AQ → ＝________，BC →＝________.答案 (－3,2) (－6,21)解析 AQ → ＝PQ → －PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC → ＝PA → ＋AC → ＝PA → ＋2AQ →＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，BC → ＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示例3 (1)已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，若(a －b )∥c ，则锐角x 等于( )A ．15° B ．30°C ．45° D ．60°答案 C(2)已知在平面直角坐标系Oxy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3—→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则λ等于( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1答案 D解析 设OP 3—→＝(x ，y )，则由OP 3—→∥a 知x ＋y ＝0，所以OP 3—→＝(x ，－x )．若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即Error!所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.教师备选1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案 12解析 由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.2．已知O 为坐标原点，点A (6,3)，若点P 在直线OA 上，且|OP → |＝12|PA →|，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为________________________．答案 (4,2)或(－12，－6)解析 ∵点P 在直线OA 上，∴OP → ∥PA →，又∵|OP → |＝12|PA → |，∴OP →＝±12PA → ，设点P (m ，n )，则OP → ＝(m ，n )，PA →＝(6－m ,3－n )．①若OP → ＝12PA →，则(m ，n )＝12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (2,1)，∵P 是OB 的中点，∴B (4,2)．②若OP →＝－12PA →，则(m ，n )＝－12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (－6，－3)，∵P 是OB 的中点，∴B (－12，－6)．综上所述，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．解 (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c|＝5，∴Error!解得Error!或Error!∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．课时精练1．(2022·泉州模拟)若向量AB → ＝(2,3)，AC → ＝(4,7)，则BC →等于( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案 B2．(2022·TOP300尖子生联考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC → ＋AB →＝0，则点C 的坐标为( )A.(12，12) B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)答案 D3．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是( )A ．a ＝(1,2)，b ＝(0,0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3,5)C ．a ＝(3,2)，b ＝(9,6)D ．a ＝(－34，12)，b ＝(3，－2)答案 B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 由m ∥n ，得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，所以sin 2B ＝sin 2A ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形；反之，△ABC 是等腰三角形，若a ＝c ≠b ，则不能得到m ∥n ，所以“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．5．(多选)(2022·聊城一中模拟)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD的中点，AC 与BD 交于点M ，设AB → ＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A.AC → ＝12a ＋b B.BC → ＝－12a ＋b C.BM → ＝－13a ＋23b D.EF → ＝－14a ＋b 答案 ABD解析 AC → ＝AD → ＋DC → ＝AD → ＋12AB → ＝12a ＋b ，故A 正确；BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝－12a ＋b ，故B 正确；BM → ＝BA → ＋AM → ＝－AB → ＋23AC → ＝－23a ＋23b ，故C 错误；EF → ＝EA → ＋AD → ＋DF → ＝－12AB → ＋AD → ＋14AB → ＝－14a ＋b ，故D 正确．6．(多选)已知向量OA → ＝(1，－3)，OB → ＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2 B.12C ．1D ．－1答案 ABD解析 各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB → ＝OB → －OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC → ＝OC → －OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，A ，B ，C 三点就可构成三角形．7．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，若点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC → ＝2AB →，设点D 的坐标为(x ，y )，则DC → ＝(4－x ,2－y )，又AB →＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即Error!∴Error!∴点D 的坐标为(2,4)．8．(2022·开封模拟)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．若(2m ＋n )∥(m －2n )，则λ＝________.答案 0解析 由题意得，2m ＋n ＝(3λ＋4,4)，m －2n ＝(－λ－3，－3)，∵(2m ＋n )∥(m －2n )，∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA → ＝c ，且CM → ＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一 ∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴Error!解得Error!方法二 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，又a ＝m b ＋n c ，∴m b ＋n c ＝－b －c ，∴Error!(3)设O 为坐标原点，∵CM → ＝OM → －OC →＝3c ，∴OM → ＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN → ＝ON → －OC →＝－2b ，∴ON → ＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB → ＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，解得k ＝－12.(2)方法一 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴Error!解得m ＝32.方法二 AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.11．(2022·金华模拟)已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n ＝(sin C ，a ＋b )，且m ∥n ，则B 的大小是( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3答案 B解析 因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )．由正弦定理得(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32.又0<B <π，所以B ＝5π6.12．(多选)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP →＝xOA → ＋yOB → (x ，y ∈R )，则下列结论中正确的是( )A ．当x ＝0时，y ∈[2,3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．当P 在C 点时，x ＝1，y ＝2答案 BC解析 当OP → ＝y OB →时，点P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故A 中结论错误；当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12(EB →＋BC → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋AB → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋OB → －OA → )＝－12OA → ＋52OB →，故B 中结论正确；当x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是一条线段，故C 中结论正确；因为OB → ＝12(OC →＋OA → )，所以OC → ＝2OB → －OA →，则OP → ＝－OA → ＋2OB →，所以x ＝－1，y ＝2，D 错误．13．已知|OA → |＝1，|OB → |＝3，OA → ·OB → ＝0，点C 在∠AOB 内，且OC → 与OA → 的夹角为30°，设OC →＝mOA → ＋nOB → (m ，n ∈R )，则m n的值为______．答案 3解析 ∵OA → ·OB →＝0，∴OA → ⊥OB →，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则OA → ＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA → ＋nOB → ＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3nm ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3.14．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM → ＝34AB → ＋14AC →.则△ABM 与△ABC 的面积之比为________；若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO → ＝xBM → ＋yBN →，则x ＋y ＝________.答案 1∶4 107解析 由AM → ＝34AB → ＋14AC →，可知点M ，B ，C 三点共线，令BM → ＝λBC →(λ∈R )，则AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋λBC → ＝AB → ＋λ(AC → －AB → )＝(1－λ)AB → ＋λAC →，所以λ＝14，即点M 在边BC 上，如图所示，所以S△ABM S △ABC ＝BM BC ＝14.由BO → ＝xBM → ＋yBN →，得BO → ＝xBM → ＋y 2BA →，BO → ＝x 4BC →＋yBN → ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线得Error!解得Error!所以x ＋y ＝107.15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a 在基底{p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a 在基底{m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)}下的坐标为______．答案 (0,2)解析 因为a 在基底{p ，q }下的坐标为(－2,2)，所以a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以Error!即Error!所以a 在基底{m ，n }下的坐标为(0,2)．16．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG → ＝λPQ → ，将OG → 用λ，OP → ，OQ →表示；(2)设OP → ＝xOA → ，OQ → ＝yOB → ，求证：1x ＋1y是定值．(1)解 OG → ＝OP → ＋PG →＝OP → ＋λPQ →＝OP → ＋λ(OQ → －OP →)＝(1－λ)OP → ＋λOQ →.(2)证明 由(1)得OG → ＝(1－λ)OP → ＋λOQ →＝(1－λ)xOA → ＋λy OB →，因为G 是△OAB 的重心，所以OG → ＝23OM → ＝23×12(OA →＋OB → )＝13OA → ＋13OB → .又OA → ，OB →不共线，所以Error!解得Error!所以1x ＋1y ＝3，即1x ＋1y 为定值．。
