运泵功下,随着铜水纳米流体体积分数的升高和凹槽深宽比的增大,凹槽微通道壁面温度T w降低;流经凹槽微通道流体压降增幅较小㊂对于同一体积分数的铜水纳米流体,流体输运泵功增大,凹槽微通道外壁面温度降低;与深宽比为0.3的凹槽微通道相比,深宽比为0.5的凹槽微通道壁面温度较低㊂输运流体动力即泵功增强,凹槽微通道流速增大,微通道对流换热增强,同时,微通道流量增大,相对较多的热量被迁移;凹槽深宽比的增大,使得凹槽微通道传热面积增大;在一定范围内,体积分数较高的铜水纳米流体具有相对较高的热导率,有利于微通道内的强化传热㊂此外,由图9可见,铜水纳米流体流经凹槽微通道的压降随流体输运泵功增大而升高㊂铜水纳米流体体积分数对流经凹槽微通道的流体阻力和输运动力影响较小㊂3 结论本文针对铜水纳米流体在圆弧型凹槽微通道中的传热与流动进行了分析㊂数值分析结果表明:纳米流体浓度㊁流体输运动力因子和凹槽深宽比对凹槽强化微通道传热影响较大㊂(1)铜水纳米流体在微通道的流速比纯水(φ=0%)在微通道的流速低,并随纳米粒子体积分数升高和凹槽截面的增大而降低㊂与基液纯水相比,铜水纳米流体具有较高的热导率和热容量,能迁移相对较多的热流密度,因此,纳米流体具有显著降低微通道壁面温度和流体工质的温度的作用㊂(2)与无凹槽平板型微通道相比,微通道圆弧型凹槽内壁面处流体的流速相对较低,对流传热系数相对较小,并随凹槽深宽比的增大而下降㊂凹槽内流体的对流传热系数由凹槽上游区至下游区逐渐增大㊂受凹槽深宽比和纳米流体流速影响,在强化圆弧型凹槽微通道传热中,纳米流体存在一个优化的浓度范围㊂(3)在同样流体输运泵功下,随着铜水纳米流体体积分数㊁凹槽深宽比以及输运流体泵功的增大,凹槽微通道壁面温度降低㊂铜水纳米流体流经凹槽微通道压降随流体输运泵功增大而升高㊂铜水纳米流体体积分数和凹槽深宽比对流经凹槽微通道的流体阻力和输运动力影响较小㊂参考文献:[1] S o l o v i t zSA,C o n d e rTE.F l o wa n dT h e r m a l I n v e s-t i g a t i o no f aG r o o v e‐e n h a n c e d M i n i c h a n n e lA p p l i c a-t i o n[J].J o u r n a l o fT h e r m a l S c i e n c e a n dE n g i n e e r i n gA p p l i c a t i o n s,2010,2(1):011008.[2] L i uY,C u i J,J i a n g YX,e t a l.A N u m e r i c a l S t u d y o nH e a tT r a n s f e rP e r f o r m a n c eo f M i c r o c h a n n e l s w i t hD i f f e r e n t S u r f a c e M i c r o s t r u c t u r e s[J].A p p l i e dT h e r m a l E n g i n e e r i n g,2011,31(5):921‐931. 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[8] N a m b u r uPK,D a sD K,T a n g u t u r iK M,e t a l.N u-m e r i c a l S t u d y o fT u r b u l e n t F l o wa n dH e a tT r a n s f e rC h a r a c t e r i s t i c so f N a n o f l u i d s C o n s i d e r i n g V a r i a b l eP r o p e r t i e s[J].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fT h e r m a l S c i-e n c e s,2009,48(2):290‐302.[9] 李强,宣益民.纳米流体能量传递理论与应用[M].北京:科学出版社,2010.[10] 李强,宣宜民.铜水纳米流体流动与对流换热特性[J].中国科学,2002,32(3):331‐337.L iQ i a n g,X u a n Y i m i n.F l o wa n dC o n v e c t i v e H e a tT r a n s f e r C h a r a c t e r i s t i c s o f C u‐w a t e r N a n o f l u i d[J].S c i e n c e i nC h i n a,2002,32(3):331‐337.(编辑 王艳丽)作者简介:陈 威,男,1968年生㊂上海海事大学商船学院教授㊂研究方向为纳米流体㊁多孔介质传热与流动和电子电器冷却㊂发表论文30余篇㊂黎源源,女,1989年生㊂上海海事大学商船学院硕士研究生㊂林 俊,男,1989年生㊂上海海事大学商船学院硕士研究生㊂㊃2822㊃中国机械工程第25卷第17期2014年9月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.新的机构自由度计算公式 G O M 公式的应用研究卢文娟 张立杰 曾达幸 张一同1.燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室,秦皇岛,0660042.燕山大学河北省重型机械流体动力传输与控制实验室,秦皇岛,066004摘要:总结了利用G OM 公式计算机构自由度的具体步骤,列举了常用基础杆组的位移参数,介绍了杆组阶的确定方法;给出计算输出构件自由度及快速判断构件运动性质的方法;选取了几种典型的机构验证了所提出方法的正确性㊂结果表明,该新公式可以避开虚约束计算,不需要借助复杂的数学工具,便能快速㊁有效地计算包括混联机构在内的机构自由度,其正确性与通用性在一定程度上得到了验证㊂关键词:自由度;虚约束;多环耦合;杆组参数中图分类号:T H 112 D O I :10.3969/j.i s s n .1004-132X.2014.17.003R e s e a r c ho nA p p l i c a t i o no fG O M F o r m u l a -aN o v e lM o b i l i t y Fo r m u l a L u W e n j u a n Z h a n g L i j i e Z e n g D a x i n g Z h a n g Y i t o n g1.K e y L a b o r a t o r y o fA d v a n c e dF o r g i n g &S t a m p i n g T e c h n o l o g y an dS c i e n c e ,M i n i s t r y o fE d u c a t i o no fC h i n a ,Y a n s h a nU n i v e r s i t y ,Q i n h u a n gd a o ,He b e i ,0660042.H e b e i P r o v i n c i a lK e y L a b o r a t o r y o fH e a v y M e c h i n e r y Fl u i dP o w e rT r a n s i m i s s i o na n dC o n t r o l ,Y a n s h a nU n i v e r s i t y ,Q i n h u a n gd a o ,He b e i ,066004A b s t r a c t :B a s e do nan e w m e t h o d ‐G OMf o r m u l ar e f e r r e dt ob e f o r e ,w h i c h w a se x pr e s s e d w i t h D O Fo f g e n e r a l l i n k ‐g r o u p ”,s t e p s o f c a l c u l a t i n g D O Fw i t h t h i s i d e aw e r e e s t a b l i s h e d f i r s t l y .M e a n -w h i l e ,d i s p l a c e m e n t p a r a m e t e r s o f b a s i c l i n k ‐g r o u p s c o mm o n l y u s e dw e r e l i s t e da n dam e t h o do f d e -t e r m i n i n g t h e r a n ko f l i n k ‐g r o u p w a s i n t r o d u c e d .S e c o n d l y ,a t h e o r y w h i c hc o u l d q u i c k l y de t e r m i n e t h eD O Fa n dm o t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fo u t p u t p a r tw a sd e t e r m i n e d .F i n a l l y s e v e r a l t y p i c a l e x a m p l e sf r o mt h e l i t e r a t u r ew e r e p e r f o r m e d t o i l l u s t r a t e t h e a c c u r a c y a n d v a l i d i t y o f t h e n e wt h e o r y me n t i o n e d a b o v e .T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h i sn e wf o r m u l a c a na v o i dc a l c u l a t i ng vi r t u a l c o n s t r a i n t s ,a n dw i t h o u t t h e a i do f s o p h i s t i c a t e dm a t h e m a t i c a l t o o l ,t h eD O F s o fm e c h a n i s m s i n c l u d i n g h y b r i dm e c h a n i s m s c a n b e c a l c u l a t e d q u i c k l y a n d a v a i l a b l y .I n s h o r t ,i t s a c c u r a c y a n d v e r s a t i l i t y ge t a t e s t i n a c e r t a i n e x t e n t .K e y wo r d s :d e g r e e so f f r e e d o m (D O F );v i r t u a lc o n s t r a i n t ;m u l t i ‐l o o p c o u p l i n g ;p a r a m e t e ro f l i n k ‐g r o u p收稿日期:2013 04 10基金项目:国家自然科学基金资助项目(51275438);河北省高等学校科学技术研究项目(Q N 2014175);秦皇岛市科学技术研究与发展计划资助项目(201101A 069)0 引言对于机构自由度的研究要追溯到十九世纪后期,长期以来一直沿用的计算自由度的公式为G ‐K 公式[1‐2],该公式遵从 自由运动构件通过运动副组成机构时,由于运动副的约束,其构件自由度将减少”的思路,适用于平面机构和空间机构的自由度计算㊂然而随着机构学的发展,新机构的不断提出,出现了许多反例[3‐4],因而这个公式也就不能认为是 通用”的公式㊂究其原因可知:建立该公式的前提是所有 广义杆组”(每个独立环路与其相邻环路不重复独立杆件的组合,以下简称为 杆组”)产生的约束都是独立的,实际上并联机构中经常出现重复约束的情况(被称为 冗余约束”或 虚约束”)[5]㊂有缺陷的机构自由度计算公式往往制约着性能优异的新型实用机构的综合和应用[6]㊂为解决G ‐K 公式不能处理虚约束的问题,各国学者从避开虚约束的角度考虑,提出了各种形式不同的自由度计算公式㊂近十年间提出具有代表性的公式有:G o g u [7]基于线性变换方法用支链运动参数表示环路的自由度公式㊁杨廷力等[8]基于机构的方位特征集方程提出的可得到机构整周自由度的计算公式㊁R i c o 等[9‐10]基于李群李代数的理论,用支链位移子群维数和复合子群维数表示的自由度计算公式,以及Z h a n g 等[11‐12]基于虚拟环路和虚拟环约束提出的自由度计算公式㊂㊃3822㊃新的机构自由度计算公式 G OM 公式的应用研究卢文娟 张立杰 曾达幸等Copyright ©博看网. All Rights Reserved.基于此,为揭示杆组自由度对机构自由度的影响,从避开虚约束计算角度考虑,笔者提出了用杆组的自由度和输出杆基点位移参数的阶来表示自由度的公式 G OM(m o b i l i t y o f g r o u p sa n d o u t p u t p a r a m e t e r)公式㊂1 G OM公式理论1.1 G O M公式机构是由机架㊁输出构件以及连接机架和输出构件的各个杆组所组成的,则机构自由度和广义杆组的自由度及输出的位移参数之间存在着一定的关系㊂从这个思想出发,本课题组在之前的研究中提出了一种通过对各杆组位移参数的交集运算来反映输出参数的新自由度公式,简称为G OM公式[13],即F k=∑P k i=1f i-d g z k(1)F=∑L+1k=1F k+d B(2)其中,F k为第k个杆组的自由度;P k为第k个杆组中运动副的数目;L为机构中独立环路的数目;d g z k 为第k个杆组的位移参数(包括线位移和角位移)的阶,d g z k=d i m G g z k=d i m{α,β,γ,x,y,z},可写为d g z k{α,β,γ,x,y,z}㊂α㊁β㊁γ,x㊁y㊁z是形式参数,分别代表相对三个坐标轴的转动和移动,G g z k表示杆组的位移参数集合,G g z k={α,β,γ,x,y,z}㊂d B为基点位移参数集合的阶,d B=d i m O B㊂O B表示基点的位移集合,O B={α,β,γ,x,y,z}㊂1.2 杆组有效参数的交集规则基点参数O B是杆组有效参数G g z k的交集,即O B=∩L+1k=1G g z k(3)这就是杆组有效参数的交集定理,简称为交集规则㊂同时,基点参数的维数满足:d B=d i m(∩L+1k=1G g z k)(4)由于构件特定尺寸和运动副位置和方向的限定,失去作用的杆组位移参数称为无效参数,没有失去作用的位移参数称为有效参数㊂该规则的提出为更好地计算基点的位移参数㊁正确计算机构自由度㊁判断平台的运动性质提供了参考依据㊂2 杆组位移参数的确定2.1 G O M公式计算机构自由度的一般步骤以上述的G OM理论和公式为基础,总结机构自由度计算的步骤如下:(1)根据 机架上的坐标系建立必须遵守基点位移参数最少的原则”建立机构在一般位置时的全局坐标系[13]㊂(2)写出各杆组的位移参数集合,判断是否存在无效参数,即得到杆组的有效位移参数㊂(3)根据式(1)计算各杆组的自由度㊂(4)根据 交集规则”,即式(3)求输出构件上基点的位移参数㊂(5)利用式(2)计算机构自由度㊂(6)根据基点的位移参数与各杆组自由度判断输出构件的运动性质㊂2.2 杆组位移参数的确定用G OM公式正确计算机构的自由度,关键在于各杆组位移参数的确定㊂在坐标系一定的情况下,杆组的位移参数取决于运动副类型㊁轴线关系等因素㊂组成空间机构运动副常用的有转动副(R)㊁移动副(P)㊁螺旋副(H)㊁圆柱副(C)㊁球面副(S)㊁虎克铰(U)等㊂而对于圆柱副㊁球面副㊁虎克铰等多自由度运动副又可以认为是由轴线满足一定几何关系的转动副和移动副组成㊂所以本文中重点讨论由移动副和转动副构成的杆组的位移参数㊂对于由单个运动副构成的杆组的位移参数可根据以下原则确定: 杆组中含有哪个方向的移动运动副(包含移动副㊁圆柱副㊁螺旋副),便会产生对应的线位移参数或位移参数分量;杆组中有绕哪个轴线转动的转动运动副(包含转动副㊁圆柱副㊁球铰链㊁虎克铰),便有该轴线方向所对应的角位移参数”,这是确定杆组位移参数的两个基本原则㊂而由多个移动副串联构成的杆组,其杆组位移参数为各运动副产生位移参数的直接叠加㊂由移动副构成杆组产生位移参数的情况相对比较简单,只需根据移动副的轴线方向来确定可能产生的线位移分量即可㊂但是对于由轴线满足一定几何条件的多个转动副构成的杆组,除产生的角位移参数外,同时还会产生伴随的线位移参数,杆组参数不再是简单的角位移参数叠加,其结果与运动副的位置㊁连接情况㊁轴线方向等有关,对其确定较复杂㊂为方便描述,这里我们把 由多个运动副组成,除了会产生各个独立运动副对应的位移参数外,由于运动副的组合同时还会产生其他位移参数的杆组单元称为基础杆组”㊂本文列出了轴线满足表1中所列几种情况时基础杆组的位移参数㊂㊃4822㊃中国机械工程第25卷第17期2014年9月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.表1 基础杆组的位移参数序号图示说明杆组位移参数集合G g z k位移参数的阶d g z k备注1移动副轴线沿着x 方向{0,0,0,x ,0,0}1当轴线沿着某坐标轴方向时,有一个该方向的线位移参数;如果移动轴线在平面内,有两个线性相关的线位移参数;轴线在空间则具有三个线性相关的线位移参数2转动副轴线沿着x 方向{α,0,0,0,0,0}1当转动轴线沿着某坐标轴方向时,有一个该方向的角位移参数;同理,如果转动轴线在平面内,有两个线性相关的角位移参数;轴线在空间则具有三个线性相关的角位移参数3两个转动副轴线垂直(分别设为x 方向和z 方向)且相交(即U 副){α,0,γ,0,0,0}2 两个角位移参数线性无关4两个转动副轴线垂直但中心不重合,设两个转动轴线分别为x 方向和y 方向{α,β,0,0,0,0}2 两个角位移参数线性无关5两个转动副轴线平行,且轴线方向不垂直于连杆{α,0,0,0,y ,z }3y 和z 是两个线性相关的线位移参数6 转动副轴线重合{α,0,0,0,0,0}1不管轴线共线的转动副的个数为多少,均不产生线位移参数7两个转动副轴线平行,且连杆沿着两个轴线的公垂线方向,为使杆组参数最少,沿着杆的方向建立y 轴{α,0,0,0,0,z }2不产生沿着连杆方向的线位移参数8三个转动副轴线平行{α,0,0,0,y ,z }3产生一个沿着轴线方向的角位移参数和垂直于该轴线方向的两个线位移参数,且三个参数线性无关9两个转动副轴线汇交{α,β,γ,0,0,0}3三个角位移参数线性相关,不产生线位移参数10三个转动副轴线汇交{α,β,γ,0,0,0}3三个角位移参数完全独立,不产生线位移参数注:表中坐标系的建立遵循使杆组 位移参数最少”的原则,尽可能沿着杆组中运动副轴线方向建立坐标轴;轴线汇交的情况 坐标原点和汇交点重合㊂机构中的复杂杆组均是由运动副按照一定方式连接在一起的㊂当各个连杆通过运动副串接在一起组成杆组时,以表1所列基础杆组的位移参数作为参考,根据杆组中运动副的类型及轴线关系,将所有基础杆组产生的位移参数进行叠加便可确定整个杆组的位移参数,从而便于后续自由度的计算㊂3 几种典型机构的自由度计算3.1 输出构件的自由度与运动性质对于并联机构我们习惯上选取动平台作为输出构件,以下实例中如果不特别指明,输出构件均㊃5822㊃新的机构自由度计算公式 G OM 公式的应用研究卢文娟 张立杰 曾达幸等Copyright ©博看网. All Rights Reserved.指动平台㊂而我们通常所说的 机构的自由度性质”实际指的是 输出构件的自由度性质”㊂只有当指定了机构的输出构件,这时对输出构件自由度性质的研究才具有意义㊂在研究自由度性质之前首先要了解 构件的自由度”:根据G OM公式的意义,公式中基点是输出构件上的点,其位移参数O B中独立参数的数目便是 构件的自由度”,构件的自由度数目总是小于等于机构的自由度数目㊂杆组的自由度表示了该杆组对输出构件运动的一种约束,如果机构中存在自由度小于零的杆组,则输出参数不全部独立[11](输出参数全部独立的充要条件是:所有广义杆组的自由度大于等于零),当自由度为-n的杆组连接输出构件和机架时,便使得输出参数的最大线性无关数减少n,即输出构件的自由度会减少n㊂所以输出构件的自由度数目F'=d B+∑F k'(F k'指所有小于零的杆组自由度)㊂如果机构中不含自由度大于零的杆组,则讨论下述几种情况:(1)当d B>F时,即当基点的位移参数的阶大于机构自由度数目时,则输出构件的自由度等于机构自由度数目F,基点的输出参数不全部独立,其中只有F个参数是独立参数,独立的位移参数表示输出构件的独立运动㊂(2)当d B=F时,输出构件的自由度等于机构自由度数目F,基点的输出参数全部独立,基点的位移参数表示输出构件的运动性质㊂(3)当d B<F时,d B表示输出构件的自由度数目,并且输出构件的自由度数目小于机构自由度数目,基点的位移参数表示输出构件的运动性质㊂3.2 单闭环机构的自由度图1所示为一个单闭环空间平行5H机构,空间5个具有不同节距且轴线平行的螺旋副依次相连㊂沿着各个螺旋副轴线的方向设为z方向,建立图1所示的坐标系㊂图1 空间平行5H机构3.2.1 选取机构中构件2作为输出构件根据2.2节中杆组位移参数确定的方法得到,杆组H1H2的阶为d H1H21=d i m{0,0,γ,x,y,z}=4杆组H5H3的阶为d H5H32=d i m{0,0,γ,x,y,z}=4根据式(1)计算杆组的自由度分别为F H1H2=∑P1i=1f i-d H1H21=2-4=-2F H5H3=∑P2i=1f i-d H5H32=3-4=-1根据交集规则,即式(3)得到基点的阶为d B=d i m(G H1H21∩G H5H32)=4将上述结果代入式(2)可得机构自由度:F= F H1H2+F H5H3+d B=-2-1+4=1,即该机构的自由度数目为1㊂其中d B>F,此时输出构件的自由度应等于机构自由度,即构件2的自由度为1,基点的阶为4,即四个位移参数γ,x,y,z中只有一个为独立参数㊂3.2.2 选取机构中构件4作为输出构件杆组H1H4的阶为d H1H41{0,0,γ,x,y,z}=4F H1H4=∑P1i=1f i-d H1H41=4-4=0杆组H5的阶为d H52{0,0,γ,0,0,0}=1F H5=∑P2i=1f i-d H52=1-1=0根据交集规则得到基点的阶为d B=d i m(G H1H41∩G H52)=1将结果代入式(2)得到该机构自由度为F= F H1H4+F H5+d B=0+0+1=1,即该机构的自由度数目为1㊂其中,d B=F,此时输出构件的自由度等于机构自由度,即构件4的自由度为1,基点的阶为1,输出参数全部独立,基点的位移参数表示输出构件的运动性质,构件4具有一个绕着z 轴转动的自由度㊂该实例说明无论把机构中哪个构件作为输出构件,都可以正确计算出机构的自由度,机构的自由度数目与输出构件的选择无关㊂这也是验证自由度计算正确与否的一种方法㊂3.3 过约束”机构的自由度图2所示为K i m和T s a i于2002年提出的C P M机构,是G o g u总结的 不服从G‐K公式的反常机构”中一种典型的现代并联机构3‐P R R R㊂由于该机构中存在虚约束,致使一些自由度公式无法正确计算其自由度㊂该机构中连接基座和动平台的三个杆组相互垂直分布,每个杆组的四个运动副均保持平行,所㊃6822㊃中国机械工程第25卷第17期2014年9月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.以可以沿着三个杆组运动副轴线的方向分别建立坐标轴,如图2所示㊂图2 C P M机构[5]根据杆组位移参数确定的方法,每个杆组中三个转动副轴线平行,满足表1中的第8种情况,产生一个角位移参数和两个线位移参数,同时与定平台相连的移动副可以产生一个该方向的线位移参数,则可得到三个杆组的位移参数集合分别为G g z1={α,0,0,x,y,z}G g z2={0,β,0,x,y,z}G g z3={0,0,γ,x,y,z}经简单判断不存在无效参数,则得到各杆组的阶d g z1=d g z2=d g z3=4㊂将以上结果代入式(1)中,计算得到各杆组的自由度分别为F1=∑P1i=1f i-d g z1=4-4=0F2=∑P2i=1f i-d g z2=4-4=0F3=∑P3i=1f i-d g z3=4-4=0根据 交集规则”得到输出构件上基点的位移参数的阶:d B=d i m(G g z1∩G g z2∩G g z3)=d i m{0,0,0,x,y,z}=3将上述结果代入式(2)中计算得到该机构的自由度为F=F1+F2+F3+d B=0+0+0+3=3对结果进行简单分析可知:d B=F,此时输出构件的自由度等于机构自由度,动平台的自由度为3;基点的阶为3,输出参数全部独立,基点的位移参数表示输出构件的运动性质,即动平台具有3个移动自由度㊂3.4 分支含闭环的机构的自由度对分支中含有闭环的机构的自由度进行分析比较复杂,给机构自由度计算带来新的问题㊂该类机构中在某个杆组中嵌着另外一个闭环杆组,对其自由度的计算,常用的方法是:把子闭环看作一个多自由度的 广义运动副,直接以串联链代替它”[5]或者 将子闭环看作子并联机构来对待”[8]㊂随着机构学的发展,越来越多的该类机构被综合得到,这便需要有一种更简单有效的方法去计算该种机构的自由度㊂以O r t h o g l i d e操作机[14]为例,用G OM公式的思想和方法对该类分支中含有闭环的机构的自由度进行分析㊂图3所示的机构中,包含3个杆组,并且每个杆组都有一个平行四边形机构㊂参照运动副轴线的方向,建立图3所示的坐标系㊂各个杆组均含有封闭环路,每个杆组可以看作是一个混联的杆组,计算该杆组的自由度关键是计算该杆组的阶㊂3个杆组结构相同,我们首先选取其中的1个杆组A B C进行分析㊂图3 O r t h o g l i d e操作机[5]A B C杆组中与定平台相连的运动副为移动副A,方向沿着x方向,与动平台相连的是一个轴线为z方向的转动副C,其结构可以看作是4个轴线方向为y方向的转动副D㊁E㊁F㊁G并联,再与两个z方向的转动副㊁一个x方向的移动副串联构成的杆组㊂首先计算由转动副D㊁E㊁F㊁G组成的并联部分的阶:d i m(G D G∩G E F)=d i m({0,β,0,x,0,z}∩{0,0,0,x,0,z})=d i m{0,0,0,x,0,z}=d i m G B其中,G B表示该并联部分的位移参数,E F杆组的角位移参数是无效参数,该闭环的自由度为f i B=F D G+F E F+d i m(G B{0,0,0,x,0,z}=(∑2i=1f i-d i m(G D G{0,β,0,x,0,z})+(∑2i=1f i-d i m(G E F{0,0,0,x,0,z})+2=(2-3)+(2-2)+2=1其中,f i B为第i个分支中并联部分的杆组自由度㊂再计算杆组中由另外三个运动副,包含两个转动副B㊁C和一个移动副A构成的串联部分的阶:d i m G C=d i m{0,0,γ,x,y,0}=3㊃7822㊃新的机构自由度计算公式 G OM公式的应用研究 卢文娟 张立杰 曾达幸等Copyright©博看网. All Rights Reserved.其中,G C表示杆组串联部分的位移参数㊂杆组A B C的阶:d A C1=d i m G A C1=d A C1(G B∩G C)=d A C1{0,0,γ,x,y,z}=4该杆组的所有运动副的自由度数目为∑P1i=1f i=∑P1i=1f i C+∑P1i=1f i B=3+1=4其中,f i C为杆组中串联部分运动副的自由度数目;f i B为杆组中并联部分运动副的自由度数目㊂代入式(1)计算该混联杆组自由度为F1=∑P1i=1f i-d A C1=4-4=0同理,根据机构结构的对称性,得到另外两个杆组的阶分别为d g z2=d i m(G g z2)=d g z2{0,0,γ,x,y,z}=4d g z3=d i m(G g z3)=d g z3{0,β,0,x,y,z}=4对应的杆组的自由度为F2=∑P2i=1f i-d g z2=(3+1)-4=0F3=∑P3i=1f i-d g z3=(3+1)-4=0利用交集规则得到基点的位移参数的阶为d i m(G A C1{0,0,γ,x,y,z}∩G g z2{0,0,γ,x,y,z}∩G g z3{0,β,0,x,y,z})=d3{0,0,0,x,y,z}=3将上述结果代入到式(2)得到机构自由度:F=F1+F2+F3+d B=0+0+0+3=3结果中,F=d B,基点的位移参数集合为{0, 0,0,x,y,z},即说明动平台平动,有3个移动自由度㊂3.5 多环耦合机构的自由度图4所示机构是由三个杆组构成的非对称机构,第一个杆组是由圆柱副C1和转动副R2构成;第二个杆组由H5㊁R4和C3构成,并且运动副轴线存在一些特殊的平行关系, C1//R2//C3//R4//H5,同时它们和第三个杆组中的R6轴线平行;第三个杆组由P9㊁P10㊁P11㊁P12构成的闭环杆组再与R8㊁R7㊁R6三个转动副串联构成该高阶混合杆组,其中R7//R8㊂这里我们分析该机构的一般位型,即C1㊁C3㊁R2㊁R4㊁R7㊁R86条轴线,整体看,它们不共面㊂根据机构中运动副的轴线关系,为使得到的杆组参数最少,沿着C1轴线的方向建立坐标轴,设为x方向,沿着P9导路的方向设为y方向,根据右手法则确定z轴方向,如图4所示㊂对于杆组1,连杆垂直于C1的轴线,沿着y轴方向,其杆组位移参数的阶为d g z1=d i m{α,0,0,x, y,0}=3,其自由度为图4 一种混联空间机构[5]F1=∑P1i=1f i-d1=3-3=0杆组2的位移参数的阶为d g z2=d i m{α,0,0, x,y,z}=4,即该杆组的阶为4,杆组的自由度为F2=∑P2i=1f i-d2=4-4=0重点分析杆组3的位移参数及自由度:该杆组是由P9㊁P10构成的杆组,与由P11㊁P12构成的杆组并联,再与由R8㊁R7㊁R6三个转动副串联构成该高阶混合杆组㊂先计算由P9㊁P10㊁P11㊁P12构成的闭环部分的杆组位移参数和自由度㊂由P9㊁P10构成的杆组的位移参数集合为G3C1={0,0,0,x,y,0},其阶数为d3C1=2,其自由度为F31=2-2=0㊂由P11㊁P12构成的杆组的位移参数集合为G3C2={0,0,0,x,y,z},其阶数为d3C2=3;其自由度为F32=2-3=-1㊂则由P9㊁P10㊁P11㊁P12组成的并联杆组的位移参数集合G B,根据交集规则得到:G3C1{0,0,0,x,y,0}∩G3C2{0,0,0,x,y,z}=G B{0,0,0,x,y,0}其阶为d3B=d i m{0,0,0,x,y,0}=2该闭环的自由度为F3B=F31+F32+d3B=0-1+2=1对于由R8㊁R7和R6三个转动副串联构成的杆组的位移参数集合为G C={α,β,γ,x,y,z},其参数的阶为d3C=6㊂于是可得杆组3的位移参数为G B{0,0,0,x,y,0}+G C{α,β,γ,x,y,z}=G3(α,β,γ,x,y,z}则杆组3的阶数为d g z3(G B∩G C)=d g z3{α,β,γ,x,y,z}=6该杆组的自由度为F3=∑P3i=1f i-d g z3=∑P'3i=1f i C+F3B-d g z3=3+1-6=-2㊃8822㊃中国机械工程第25卷第17期2014年9月上半月Copyright©博看网. 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